1.1 Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tấ t cả sinh viên của nhóm đó thành một hàng sao cho nam nữ đúng xen nhau? h ị I) /
1.2 Trong bảng chữ cái tiếng Anh có 21 phụ âm và 5 nguyên âm. Hồi có bao nhiêu xâu gồm 6 chữ thường chứa:
(a) đúng một nguyên -âm? (b) đúng hai nguyên âm? (c) ít nhất một nguyên âm? (d) ít nhất hai nguyên âm?
Bài tập Chương 1 51
1.3 Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 6 uỷ viên, trong đó
(a) số uỷ viên nam bằng số uỷ viên nữ? (b) số uỷ viên nam ít hơn số uỷ viên nữ?
1.4 Có bao nhiêu xâu nhị phân chứa đúng tám số 0 và mười số 1 và ngay sau mỗi số 0 nhất thiết phải là số 1?
1.5 Có bao nhiêu xâu nhị phân chứa đúng năm số 0 và mười bốn số 1 và ngay sau mỗi số 0 nhất thiết phải là hai số 1 liên tiếp?
1.6 Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 chứa ít nhất ba số 0 và ít nhất ba số 1?
1.7 Để làm biển đăng ký xe người ta sử dụng 26 chữ cái tiếng Anh £ từ A tới
z
và 10 chữ số từ 0 tới 91 Hỏi có bao nhiêu biền đăngịQ ký xe chứa 3 chữ cái tiếp theo là 3 chữ số nếu mỗi chữ cái hoặc chữ số xuất hiện trong biển số không quá một lần?
1.8 Trong một cửa hàng bán túi đựng hàng có các loại túi sau: loại đựng gạo, loại đựng trứng, loại đựng muối, loại đựng vừng, loại đựng hạt cải/ loại đựng nho, loại đựng đường và loại đựng bột mì. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua:
(a) 6 chiếc túi? (b) 12 chiếc túi? (c) 24 chiếc túi?
(d) 12 chiếc túi sao cho mỗi loại có ít nhất một chiếc?
(e) 12 chiếc túi sao cho ít nhất có 3 chiếc là loại đựng trứng và không quá 2 chiếc là loại đựng muối?
1.9 Trong một két đựng tiền có những tờ 1 nghìn, 2 nghìn, 5 nghìn, 10 nghìn, 20 nghìn, 50 nghìn và 100 nghìn. Hơn thế nĩra, mỗi loại tiền đó có ít nhất 5 tờ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ két đựng tiền đó nếu các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và thứ tự mà các tờ tiền được chọn ra là không quan trọng? 1.10 Phương trình Xỵ + X2 + Xz = 11 có bao nhiêu pghiệm nguyên
không âm? ^
u .
52 Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản
1.11 Một nhà xuất bản có 3000 bản giống hệt nhau của một cuốn sách _ 5**I toán học rời rạc. Hỏi có bao nhiêu cách cất chúng vào 3 kho
ỈƠOD"! khác nhau?
1.12 Phương trình Xi + X2 + X;ị.+ Xa M- X5 = 21 có bao nhiêu nghiệm
nguyên không âm sao cho (a) X X > 1?
(b) Xi > 2 cho mọi i = 1,2,3,4,5? (c) 0 < XI < 10?
(d) 0 < X\ < 3, 1 < X2 < 4 và £3 > 15?
1.13 Bất đẳng thức Xi + X2 + X3 < 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên
không âm?
1.14 Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1 000 000 có tổng các chữ
số của nó bằng 19? ■
1.15 Chứng minh rằng số cách xếp n đồ vật khác nhau vào trong ^
k hộp khác nhau sao cho có ĩii vật được xếp vào hộp thứ i với
i = 1, 2,. .. , k bằng I n ), ờ đây 711+712 + .. .+Uk = n.
\ n i , n 2ì... , n kJ
1.16 Có bao nhiêu cách phân phối năm đồ vật khác nhau vào ba hộp giống nhau?
1.17 Có bao nhiêu cách phân phối năm đồ vật giống nhau vào ba hộp giống nhau?
1.18 Tìm các số 5(5, k) cho k = 0, i., 2,3,4,5 bằng cách đếm trực tiếp các phân hoạch và bằng cách sử dụng đồng nhất thức
m n = y^5(n,fc)(m )fc.
fc=o
1.19 (*) Bằng cách đếm số!'các hàm từ tập lực lượng n vào tập lực lượng m + 1 bằng hai cách, hãy chứng minh đồng nhất thức
(m + l r =
1.20 Xét tích (a2 + ò3 + c4)10. Hãy tìm các hệ số của a4ò6c24, a6ò12c12 và a 12ò9c . - . .. .
Bài tập Chương 1 53 1.21 (*) Một cách chia tập N' thành p khối là một bộ có thứ tự gồm 'p
tập con (Ai, Ậ2, , A p) của N, trong đó một số tập con có thể
là tập rỗng, thoả mãn các điều kiện sau:
(i)
N=
Ảỵu . . . u
Áp\'
(ii) Ai n Ạj = 0 nếu i Ỷ j-
Chứng minh rằng số các cách chia (Ai, A%,... ,A P) của N với
\N\ = n, \Ak\ = ik cho k = 1,2;... ,p, là hệ số đa thức
1.22 (*) Chứng minh rằng
k\s(n, k) = S2 (■ - n
• V
t—' \ Ì l , Ĩ2, . . . ,ik j
ờ đây tổng được lấy theo tấ t cả các bộ có thứ tự (ii,Ì2, - ■ ■ , ik)
gồm
k
thành phần là các số nguyên dương sao cho i\ + Ì2 + ■ ■ • + ik = n. ■ 1.23 Chứng minh rằng (i) (n — k) = n ( ^ k v<"^ k < n v ầ n ^ÍQ-,(ìi) (*) (" 7 *) = (?) (" l ‘) với 1 ^ " - h vi * s "■
1.24 'Tính các tổng sau«©GH;i)CìK:»)H+-+C:)(?
(>»(;) (ô)+(T)(")+(")©+'"+(:)(:
2 / \ 2 / \ 2 / \ 2<“> © +ỡ +G) +'"+C)
1.25 Chứng minh rằng » Ẻ < - 1 > ‘ ( ”) = { Ỉ ; “Wnếu n = 0.0 ' 0, nếu m ^ n , 1, nếu m = n.54 Chương 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản
1.26 Chứng minh rằng
f n \ ( m \ f n \ ( ( n\ ( m \ f n + m \
JỊ i
1.27 (*) Chứng minh rằng S(n,k)(m )k là số các cách xếp n quả bóng khác nhau vào m hộp khác nhap sao cho có đúng m - k hộp vẫn còn trống rỗng. 1.28 (*) Chứng minh rằng
(i) s(n + i,k) = Y i ( n] s ( j , k - i y ,
3 = 0 (ii ) T n + l = ị l ( f j T k. fc=0 ' '1.29 (*) Sử dụng đường tăng dần của một lưới nguyên để chứng minh các đồng nhất thức sau đây:
/•\ /-1- _ 1 _ í n\ f n + l \ , f n + k \ f n + k + l \
(i) Công thức tô'„g Q + ( ” ; ] + ■ • ■ + ( _ ; J = ( ‘ " j ; [Chỉ dẫn: Xét các đường tăng dần của lưới nguyên từ (0,0) tới
(k, n + 1).]
(ii) C ô n g t h ứ c t ổ n g Q + Q + Ệ ) + • • • + Q = 2";
/ ^ , / m + 1\ ( m \ ( m \
(nì) Đồng nhất thức Pascal { ; + l ) = [ k
[Chỉ dẫn: Xét các đường tăng dần của lưới nguyên từ (0,0) tới (to — k, k + 1) với m > k.}
(iv) Đồng nhất thức Vandermonde (yỵ n ^ +
( m \ / n \ ( m + rì\
" ' + u ) w = ( k )•
1.30 (**) Mỗi biểu thức của số nguyên dương n dưới dạng tổng của
k số nguyên dương được gọi là một hợp thành của n thành k
phần. Một hạp thành của n chính là một hợp thành của n thành
k phần với k nguyên dương nào đó. Ví dụ, 4 có 8 hợp thành là
4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 3, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1, tức là có 1 hợp thành của 4 thành 1 phần, 3 hợp thành của 4 thành
Bài tập Chuơng 1 55 2 phần, 3 hợp thành của 4 thành 3 phần và 1 hợp thành của 4 thành 4 phần. Ký hiệu số hạp thành của n thành k phần là C(n, k), còn tổng số các hợp thành của n là C(n). Hãy xác định C(n, k) và C(n). 1.31 (*) Ký hiệu [n] = {1,2,.. . , n}, g(n, k) là số các tập con lực lượng
k của [ra] mà không chứa hai số nguyên liên' tiếp nào, còn gn là số
tất cả các tập con của [n] mà không chứa hai số nguyên liên tiếp nào. Chứng minh rằng
( l l) 9 n — 9 n —1 "1“ ổ n —2-
1.32 (*) Ta định nghĩa Fo = 0, Fi = 1 và Fn = gn- 2 vói mọi n > 2. Các số Fi (i = 0, 1, 2, . . . ) này được gọi là các số Fibonacci. Chứng minh rằng:
(i) Fn = Fn‐ 1 + Fn‐ 2 cho mọi n > 2;
1.33 (**) Có bao nhiêu cách chọn 3 số khác nhau từ tập {1,2, 3,. .. , 600} sao cho tổng của chúng chia hết cho 3?
1.34 Có bao nhiêu số có 3 chữ số, trong đó các chữ số đều phải khác nhau và giảm từ trái sang phải?
1.35 Có bao nhiêu cách chia 10 cái kẹo giống hệt nhau cho 3 em bé sao cho mỗi em nhận được ít nhất môt cái? Hãy tổng quát hoá bài toán trên cho trường hợp chia n cái kẹo giống hệt nhau cho m
1.36 Xét một đ a giác có n cạnh trong đó các đường thằng chứa hai đường chéo bất kỳ không trùng hoặc song song nhau và các đường thẳng chứa ba đường chéo không cùng xuất phát từ một đỉnh không cắt nhau tại một điểm không phải là đỉnh. Hãy tính số các giao điểm không phải là đỉnh được tạo thành bời tấ t cả các đường thằng chứa các đường chéo của đa giác đó.
1.37 (**) Tìm tương ứng một-một giữa các phần tử của tập On các xâu nhị phân độ dài 71, tập pn các tập con của tập [n] và tập Cn+ 1
các hợp thành của n + 1. em bé.
56 Chuơng 1. Các bài toán và kết quả tổ hợp cơ bản
1.38 (**) Tìm tương ứng một-một giữa các hợp thành của n, trong đó mỗi phần hoặc là 1 hoặc là 2 và các hợp thành của n + 2, trong dó mỗi phần ít nhất là 2.
1.39 (*) Chứng minh rằng: » I
(i) Số các hợp thậnh của n thành các phần lớn hơn 1 bằng F„_i; (ii) Số các hợp thành của n thành các phần là số lè bằng Fn; (iii) Số các hợp thành của n, trong đó mỗi phần hoặc là 1 hoặc là 2, bằng Fn+1.
1.40 Có bao nhiêu cách sắp xếp tấ t cả các chữ X, y, z, IV, w, w, w thành các xâu, trong đó không có hai chữ w nào cạnh nhau?
1.41 Chứng minh-rằng số các cách khác nhau để xếp m số khác nhau từ tâp [nl lên môt đường tròn bằng ———— —, nếu như các cách
m(n — m)\
xếp chỉ khác nhau bởi phép quay theo đường tròn được coi là một. 1.42 Một song ánh / : AT —> N được gọi là một hoán vị của tập N .
Hãy tìm số các hoán vị của tập [2n] mà ánh xạ các số chẵn vào các số chẵn.
1.43 (**) Một phân hoạch của [n] được gọi là có kiểu (kị, &2, ... , kn) nếu nó có kị khối lực lượng ỉ. Chứng minh rằng nếu &1, &2, ... , kn là các số nguyên không âm, thì tổng số các phân hoạch kiểu.
(ki,k2, . . . ,k n) bằng
n!
1 . 4 4 T a đ ặ t t ư ơ n g ứ n g d ã y Oi < (ị{ ^ '.: ỉ • < g ồ m k p h ầ n t ử c ủ a t ậ p
[m] với tập con {ai, Ũ2 + 1, . . . , afc + (fc — 1)} của tập [m + k — lỊ.
(i) Chứng minh rằng tương ứng trến là một-một;
(ii) Chứng minh rằng số cách chọn k vật nếu cho phép các vật được chọn lặp lại từ m vật đã cho bằng 1.45 (*) Cho tập N lực lượng n. Chứng minh rằng số cách chọn k vật từ N nếù cho phép các vật được chọn lặp lại bằng số các bộ có thứ tự (x i, X2,... , x n) gồm rì thành phần là các số nguyên không âm sao chò X\ + X2 H--- b x n — k.
C T 1)
Bài tập Chuơng 1 57 1.46 Xét tập có 2n vật trong đó có n vật không phân biệt được với
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn n vật từ tập đó?
\ / 7 2\ 77, Ị 7 ĩ \
k \ ) <
vít)
C^° 1 ^ — 2 v* \ k ) <n ^ ^ cho 1 < k < n.
1.48 Ta định nghĩa đa thức {x]n (gọi là giai thừa tăng thứ n của x) bằng đằng thức [x)n = x{x + 1). . . (x + n — 1). Hãy chứng minh đồng nhất thức đa thức sau đây:
[x + l]n _ A [x]fc
n! í Ả;!
1.49 (*) Chứng minh rằng (i) [m]„ là-số cách xếp chồng là quan trọng vì
(ii) Số cách xếp n vật vào m chồng sao cho mọi chồng đều không (i) [mịn là-số cách xếp n vật vào m chồng, ờ đây thứ tự trong mỗi chồng là quan trọng và một số chồng có thể rỗng;
(ii) Số cách xếp n vật vào rỗng bằng n ! ^ n
(iv) = r +‘ ^ ( " : ỉ ) b k -
[Chú thích: số ( - 1 ) ” đượcđược gọi là số Lah.]
1.50 (*) Số Stirling loại một s (n ,k ) được định nghĩa là hệ số của x k trong đồng nhất thức đà thức sau đây:
n
(x)n = y~'j s(n, k)xk. fc=0
Hãy chứng minh các công thức sau đây cho số Stirling loại một:
Chương 2
Các phương pháp đếựi
dùng hàm sinh
I
Trong chương này ta đề cập tới các phương pháp đếm dùng hàm sinh. Đây là các phương pháp đếm hữu hiệu và đang được phát triển. Khái niệm quan trọng làm cơ sờ cho việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp này là chuỗi luỹ thừa hình thức. Bằng các phép toán được định nghĩa trên các đối tượng này ta có thể biến chúng thành một cấu trúc đại số. Vì thế mà ta sừ dụng được công cụ cũng như các kết quả của các lĩnh vực toán học khác vào việc giải quyết các bài toán đếm trong tổ hợp. Nhiều loại hàm sinh đã được định nghĩa và được sử dụng trong các loại bài toán đếm khác nhau. Tuy nhiên hàm sinh thông thường và hàm sinh mũ là hai loại hàm sinh đã được dùng rộng rãi và hữu hiệu hơn cả. Vì vậy ta chỉ đề cập tới hai ĩoại hàm sinh đó trong chương này.
2.1 Các kiến thứ c hỗ trợ
Trong mục này ta trình bấy những kiến thức hỗ trợ cần thiết để sử dụng cho các phương pháp đếm dùng hàm sinh. Đó là các kết quả có liên quan tới các phép toán, các toán tử và phép truy toán cho chuỗi luỹ thừa hình thức. Nhờ các phép toán được định nghía mà tập tấ t cả các chuỗi lũy thừa hình thức trở thành một cấu trúc đại số. Do đó ta có thể sử dụng được cáe kết quả của cấu trúc này để giải quyết bài toán đếm. Trước hết ta định nghĩa chuỗi luỹ thừa hình thức và các
60 Chương 2. Gác phương pháp đếm dùng hàm sinh
2.1.1 C h u ỗ i lu ỹ th ừ a hình th ứ c
Giả sử N — {0,1, 2 ,. .. } và c là tập hợp tấ t cả các số phức. Ta ký hiệu tập tất cả các ánh xạ của N vào c bằng CN , tức là
CN = {a : N -> C).
Đề thuận tiện và trực quan ta sẽ biểu diễn mỗi phần từ a £ C N dưới dạng
oo
a — a(x) = ^ 2 ũjX^,
j =0
ở đây aj — a(j) cho mọi j 6 N , và gọi nó là chuỗi luỹ thửa hình thức
của a(x). Vai trò củạ xi ở đây có thể ví như người chủ của vị trí j . Sự hiện diện của chúng tạo ra sự giống nhau của chuỗi luỹ thừa hình thức với các hàm giải tích.
00 00
Giả sừ aịx) = dj-xi và b(x) = bjX3 là hai chuỗi luỹ thừa hình
j= 0 j =0
thức bất kỳ. Ta định nghĩa phép toán cộng, phép toán nhân trong CN và phép nhân các phần tử của CN với một số z e c như sau:
oo oo oo
a(x) + b(x) = ^ djxi + ^ bjxi = + bj )xi ,
j= 0 j =0 j =0
(
có \ ị 00 \ 00 / j ị \ ỵ2 ai xj bì xj Ị = ( ỵ2 akbj-k ) j=0 ) \j= 0 / j=0 Vfc=o / ( CO \ oocijxi Ị = 'ỹ^ịzaj)xj.
j= 0 / j=0Dễ kiềm tra thấy rằng C N lập thành một không gian véc tơ trên c đối với phép toán cộng trong C N và phép nhân các phần tử của C N với một số z £ c . Đối với phép nhân, C N có phần tử đơn vị là
l(x) = 1 + .
j=i
mà ta sẽ đơn giản ký hiệu là 1. Ta cũng dễ kiểm tra thấy rằng C N lập
thành một vành giao hoán có đơn vị 1 đối với phép cộng và phép nhân
trong CN .
2.1. Các kiến thức hỗ trợ 61 Phép toán nhân và phép nhân mỗi phần tử của C N với một số 2 e c thoả mãn các hệ thức sau:
z[a(x)b{x)} = \za(x)]b{x) — a(x)[zb(x)].
Điều đó chứng tồ rằng C N lập thành một đại số trên c . Như vậy, ta đã chứng minh được định lý sau đây.
Đ ịnh lý 2.1. Tập C N đối với phép toán cộng, phép toán nhân và phép
nhân một phần tú của C N với một số của c lập thành một đại số giao
hoán trên c . □
Xin nhắc lại định nghĩa đại số. Đại số A trên một trường K là một vành có đơn vị mà đồng thời cũng là không gián véc tơ trên K với phép nhân trong vành và phép nhân với một số của trường liên hệ với nhau bằng hệ thức
k{ab) = (ka)b = a(kb),
ờ đây k € K v ằ a , b G A. Đại số A trên trường K được gọi là giao hoán
nếu phép nhân trong A là giao hoán.
Nểu với n e N , chuỗi luỹ thừa hình thức a(x) cổ an 0 và ữj = 0
cho mọi j > n, thì a(x) được gọi là đa thức bậc n và được đơn giản
n '