Các định nghĩa cơ bàn

Như ta đã thấy ở trong mục trưóò, khái niệm đồ thị xuất hiện từ nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống. Trong mỗi lĩnh vực riêng cùa mình, người ta cần tới một kiểu đồ thị nào đó. Vì vậy mà cũng xuất hiện nhiều loại đồ thị khác nhau. Song tựu chung lại ta có thể xếp chúng vào tám loại chính sau đây: đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đ a đồ thị có hướng, đa đồ thị vô hướng, trọng đồ có hướng, trọng đồ vô 'hướng, đa trọng đồ có hướng và đa trọng đồ vô hướng. Ta lần lượt định nghĩa các loại đồ thị này.

Đồ thi có hướng

Một đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ờ đây V là một tập, còn E là một tập con của tích Đề các V X V, tức là E là

một quan hệ hai ngôi trên V.

Các phần từ của V được gọi là các đỉnh, còn các phần từ của E được gọi là các cung của đồ thị có hướng G. Cụ thề hơn, nếu (a, b) £ E thì (a, b) được gọi là cung của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng đi từ a tới b.

Để được trực quan người ta thường biểu diễn đồ thị có hướng G trên mặt phẳng như sau. Các đỉnh của G được biểu diễn bằng các vòng

186 Chương 6. Các khái niệm và kết quả cơ bản của đồ thị

e

d

Hình 6.2: Ví dụ một đồ thị có hướng

tròn nhỏ, còn các cung thì được biểu diễn bằng các đường cong nối đỉnh đầu với đỉnh cuối và có mũi tên hướng từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối.

V í d ụ 6.1. ChoG = (V, E) với V = {a,b,c,d,e, /} v ằ E = {(a ,a ), (a, b), (b, d), (d, b), (c, e), (e, a)}. Khi đó G là đồ thị có hướng được biểu diễn

bằng Hình 6.2. □

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Nếu (a, b) £ E thì các đỉnh a và ò được gọi là liên thuộc với cung (a, ò). Khi đó a và b cũng được gọi là kề nhau. Hai cung bất kỳ của G được gọi là ke nhau nếu chúng có đỉnh chúng. Cung dạng (a,-a) với a € V được gọi là khuyên. Đỉnh không liên thuộc với một cung nào được gọi là đỉnh cô lập. Số các đỉnh của G, tức là |V|, được gọi là cấp của G, còn số các cung của

G, tức là IE\, được gọi là cỡ của G.

Đồ thị v ô hướng

Một đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G == (V, E ), ở đây V là một tập, còn E là tập với các phần tử là các đa tập lực lượng 2 trên V.

Các phần tử của V cũng được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của

E được gọi là các cạnh của đồ thị vô hướng G. Nếu e = {a, 6} là một

cạnh của G thì a và 6 được gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e. Ta cũng thường ký hiệu cạnh {a, b} ngắn gọn là ab.

Người ta cũng thường biểu diễn đồ thị vô hướng trên m ặt phằng tương tự như ta biểu diễn đồ thị có hướng: các đỉnh của đồ thị được biểu diễn bằng eác vòng tròn nhỏ, còn các cạnh thì được biểu diễn bằng

6.2. Các định nghĩa cơ bản ₁₈₇

c

Hình 6.3: Ví dụ một đồ thị vô hướng /

một đường cong nối các đỉnh của cạnh. Điểm khác biệt ờ đây là không có mũi tên chỉ hướng trên các đường cong đó.

V í d ụ 6.2. Cho G = (V ,E ) với V = {a,b,c,d} và E = {{a, a}, {a, b}, {ò, d}, {ò, c}, {c, d}}. Khi đó G là một đồ thị vô hướng và được biểu

diễn bằng Hình 6.3. □

Đồ thị có hướng được định nghĩa ở trên cũng thường được gọi là

đơn đồ thị có hướng. Lý do là vì với hai đỉnh a và 6 bất kỳ tồn tại duy

nhất một cung với đỉnh đầu là a và đỉnh cuối là b. Với lý do tương tự, đồ thị vô hướng được định nghĩa ò trên cũng thường được gội là đơn

đồ thị vô hướng. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng ta cần có nhiều

cung với cùng đỉnh đầu và cùng đỉnh cuối hay cần có nhiều cạnh cùng liên thuộc với hai đỉnh đã cho. Vì vậy, người ta đưa ra khái niệm đa đồ thị có hướng và đa đồ thị vô hướng.

Đa đồ th ị có hướng v à đ a đồ th i vô hướng

Một đa đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G — (V, E), ở đây V là một tập, còn E là một đa tập vớĩ các phần tử đều thuộc tích Đề các

V X V. Đa đồ thị có hướng cũng được biểu diễn trên mặt phằng tương

tự như đồ thị có hướng, trong đó các cung có cùng đỉnh đầu và đỉnh cuối phải được biểu diễn bằng các đường cong khác nhau. Tương tự, một đa đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, È), ở đây V là- một tập, còn E là một đ a tập với các phần từ đều là đ a tập lực lượng 2 trên V. Trong biểu diễn trên mặt phằng của đa đồ thị vô hướng, các

188 Chuơng 6. Các khái niệm và kết quả cơ bản của đồ thị

cạnh khác nhau nhưng có các đỉnh đầu mút như nhau phải được biểu diễn bằng các đường cong khác nhau.

V í d ụ 6 . 3 . Cặp Ơ Ị = (V , E\) v ớ i V = { a , ò, c, d} và E\ — { ( a , d), ( a , d),

(d, a ),(c ,d ),(a ,c),(c,a),'(6,a ),(c ,6),(c ,6)} là một đ a đồ thị có hướng, còn cặp (?2 = (Vĩ&ì) với V = {a,b,c,d} và Ẽ2 = {{a,d},{a,d},{d ,a}, {c,d}, {a,c}, {c,a}, {ò,o}, {c, 6}, {c, ò}} là một đa đồ thị vô hướng. Gi và Gi được biểu diễn trên mặt phằng tương ứng như trên Hình 6.4 và

Hình 6.5, □

Tương ứng với bốn loại đồ thị định nghĩa ờ trên là bốn loại đồ thị có trọng lượng mà ta sẽ định nghĩa dưới đây. Đe đơn giản ta dùng thuật ngữ đồ thị để chỉ một trong bốn loại đồ thị đó.

Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị có trọng luợnq hay thường gọi

6.2. Các định nghĩa cơ bâu ₁₈₉ a

Hình 6.6: Ví dụ một trọng đồ có hướng tắ t là trọng đồ, nếu ít nhất một trong hai hàm

f : V - > W v và g : E - > W B,

được xác định, ờ đây W y và W e là các tập nào đấy. Các phần 'tử của

W y và W e có thể chỉ đơn thuần là các dữ liệu nhưng thường thì có

một ý nghĩa định lượng nào đấy. Giá trị f(v ) cho V G V đưạc gọi là

trọng lượng cửa đinh V, c ò n g iá t r ị g(e) c h o e € E đ ư ợ c g ọ i là trọng lượng của cung hay cạnh e. Người ta cũng thường ký hiệu trọng đồ

bằng G = (V, E, / ) hay G = (V, E, g) hay G = (V,E, / , g) tuỳ thuộc vào việc chỉ một hàm / , chỉ một hàm g hay cả hai hàm / và g được xác định.

V í d u 6.4. Cho G = (V ,E ,g ) với V = {a,b,c,d,e}, E = {(a,6), (a,c), (ò, e), (e, d), (b, d), (c, e)} và g : E —> N được xác địrfh như sau:

g{a, b) = g(b, e) = g{c, e) = 5, g{a,c)= 4,

g(e,d) = g(b,đ) = 7.

Khi đó G là trọng đồ cỏ hướng được biểu diễn bời Hình 6.6. □

Đồ thị G' — ( V ', E') được gọi là đò thị con của đồ thị G = (V, E) nếu V' c V và È' c E. Đồ thị con ơ = {V', E') của đồ thị G = (V, É) được gọi là đò thị con bao trùm của G nếu V' = V. Nếu E' chứa tấ t cả các cung hay cạnh của G, mà cả hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc

V ', thì G' — (V', E') được gọi là đồ thị con của G = cV,, E) cảm sinh bài

190 Chương 6. Các khái niệm và kết quả cơ bản của đò thị

tập đinh V' hay cũng được gọi là'đồ thị con cảm sinh bởi G = (V,E)

trên tập đỉnh V '. Khi đó G' cũng được ký hiệu là ơ = G\y'].

Ta thường phải xây dựng các đồ thị mới từ các đồ thị đã cho bằng cách xoá hay thêm một số đỉnh hoặq cạnh. Nếu w c V, thì G — w =

G[v \ W], tức là đồ thị con của Ò nhận được từ G bằng cách xoá đi

các đỉnh thuộc w và mọi cung (hay cạnh) liên thuộc với các đỉnh trong

w . Tương tự, nếu É ' c E, thi'G - E ' = (V, E \ E '). Nếu w = {w}

và E ' = {(x, y)} (hay E' = ịxy}) thì ký hiệu ỏr trên được đơn giản viết thành G — w và G — (x, y) (hay G — xỳ). Tương tự, nếu X và y không kề nhau trong G thì G + (X, y) (hay G + xy) là đồ thị nhận được từ

G b ằ n g c á c h n ố i X v ớ i y b ằ n g c u n g (x , y ) ( t ư ơ n g ứ n g , b ằ n g c ạ n h xy).

Nếu G\ = (V i ,E ị ) và Ơ2 — (V2,Ẽ2) là hai đồ thị đã cho, thì hợp cùa

hai đồ thị này, ký hiệu là G\ u Ơ2, là đồ thị với tập đỉnh là V\ u Vi và

tập cung (hay cạnh) là El u Ẽ2- Nếu cả hai đồ thị G\ và Gì là đồ thị vô hướng, thì két nối của hai đồ thị G1 và Ơ2, ký hiệu là Gi + Ỡ2, là đồ thị nhận được từ Gi u Ơ2 bằng cách thêm vào tấ t cả các cạnh dạng

xy v ớ i X 7^ y v à X € Vì, y € V2.

Hiển nhiên là nếu một đồ thị vô hướng không có khuyên có cấp bằng n thì cỡ m của nó thoả mãn 0 < m < (2). Đồ thị vô hướng cấp n và cỡ m = 0 được gọi là n-đồ thị rỗng hay n-đo thị hoàn toàn rời rạc và được ký hiệu là On hay En. Còn đồ thị vô hướng không có khuyên cấp n và cỡ m = (2) được gọi là n-đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu là K n.

Giả sử G = (F, E) là một đồ thị vô hướng không có khuyên với

\v\ = n. Ta định nghĩa đề thị bù của G, ký hiệu là G, là đồ thị vô

hướng với tập đỉnh cũng là y , còn tập cạnh là B ( K n) \ E.

Lớp đồ thị đặc biệt sau đây gọi là đồ thị m-phần cũng thường được chú ý. Một đồ thị vô hướng không có khuyên G = (V,E) được gọi là đo thị m-phần nếu ta có thề phân hoạch V thành dạng V =

Vi u V2 u ... u v m với Vị ^ 0, i = 1 ,2 ,... , m, sao cho các đỉnh trong cùng Vi, i = 1 ,2 ,... ,m, lằ không kề nhau. Nếu G là đồ thị m-phần và tồn tại cạnh nối một đỉnh bất kỳ của Vi với một đỉnh bất kỳ của Vj cho mọi ỉ Ỷ j thì G được gọi là m-phần đầy đủ. Đồ thị 2-phần đầy đủ,

trong đó các phần Vị và v2 có |Vi| = m, IV21 = n được ký hiệu là Kmn-

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng và V e V. Ký hiệu

N+(v) = { x £ V \ { v , x ) e E } ,

N ~ (v ) = {y € V I (y,v) e E}.

6.2. Các định nghĩa cơ bản ₁₉₁ Khi đó |Ar+(u)| được gọi là bậc đi ra, còn IN (v)| được gọi là bậc đi

vào của V.

Bây giờ giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng và V £ V. Ký hiệu

Khi đó N g {v ) được gọi là t ậ p c á c láng giầng c ủ a V. Trong trường hợp

đồ thị G được hiểu ngầm, ta ký hiệu Nc{v) đơn giản bằng N(v).

Ta định nghĩa bậc của đỉnh V trong đồ thị G, ký hiệu là degGr(u) hay ngắn gọn là đeg(u) nếu như G được hiểu ngầm, như sau:

và gọi chúng tương ứng là bậc nhỏ nhất và bậc lớn nhất của'các đỉnh của G. Nếu Ỏ(G) = A (G) — k, thì mọi,đỉnh của G đều có bậc bằng k và G được gọi là đồ thị chính qui bậc k hay ngắn gọn là k-chính qui. -Một đồ thị vô hướng/được gọi là chinh qui nếu nó là k-chính qui với

một k nào đấy. Đồ thị vô hướng /c-chính qrai cũng được gọi là đồ thị

bậc k.

Có những đồ thị kháé nhau nhưng sau khi đổi tên các đỉnh của các đồ thị đó thì chúng lại có thể trùng nhau. Những đồ thị như thế được gọi là đằng cấu và trong lý thuyết đồ thị người ta thường đồng nhất chúng. Cụ thể hơn, đồ thí có hướng (tương ứng, vô hướng) G = (V, E) và G' = (V’,E ') được gọi là đẳng cấu vớ ì nhau nếu tồn tại song ánh

(p : V V' sao cho (a, b) e E (tương ứng, {a, b} G E) khi và chỉ khi (ip(a),ip(b)) e E (tương ứng, {cp(a),p(b)} e E). Song ánh ự> như trên

được gọi lạ đẳng cấu của G và G'. Hai đồ thị đằng cấu với nhau G và

G' được ký hiệu ì ằ G = ơ .

V í dụ 6.5. Giả sừ G — (V, E) và G' — {V', E') là các đồ thị vô hướng trong Hình 6.7. Khi đó G = ơ và ánh xạ Ip : V - } V ' với

N g (v ) = {a; € V Ị X ^ V và {x,«} € E}. \N(v)ị, lịiếu { v , v } £ E , |iV(v)| + 2, nếu {v,v} ẹ E. Ta cũng ký hiệu <p(l) = a, <p(5) = 6, <p(2) = c ,' cp(6) = d, <p(3) = e, <p(4) = / là đằng cấu của G và G'. □

192 Chương 6. Các khái niệm và kết quả cơ bản của đồ thị G — (V,E) 2 3 G' = (V ',E ') a Hình 6.7: Ví dụ hai đồ thị vô hướng đằng cấu

Đ inh lý 6.1 (B ổ đ ề b ắ t tay ). Trong đồ thị vô hướng G = (V, E) bất

kỳ ta luôn có

J ] d e g ( u ) = 2\B\.

v£V

C h ứ n g m in h . Mỗi X e N(v) ta tương ứng với e = {v, x} 6 E. Dễ thấy rằng tương ứng này là song ánh giữa N(v) và E v = {{w, x } £ E I V / x } .

Vì thế

£ IN(v)\ = 1^ 1-

v€.V V&v

Vì mỗi cạnh {v, x } e E với V Ỷ x có hai đỉnh liên thuộc với nó là V

và X, nên trong tổng ờ vế phải mỗi {v, x} 6 E với V Ỷ x đã được tính

đúng hai lần: một lần trong Ev và một lần trong E x . Do đó

£ l ^ l = 2|£ i|, .

v é V

à đây Eị là tập tấ t cả các cạnh không phầi là khuyên của G. Do đó,

v S V

Mặt khác, ta có Ẽ2 = E \ Eị là tập tấ t cả các khuyên của G. Ký hiệu V\ = {v e V I {«, u} Ệ E}, Vỉ = {w € V I {w,w} € -E}. Khi đó, vì

với mỗi đình V 6 V2, ta có đúng một khuyên {v, v} € E, nên ỊV2I = \Ei\-

Vì vậy,

6.3. Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch ₁₉₃

d e g ( u ) = deg(v) + deg(-ư)

vev v€Vi v^iV2

£ 1^)1 + £ 1^)1 + 2íy2i

v e V i v£V2 . ] T |J V (v )| + 2 |F 2 | = 2 1 ^ 1 + 2\E2\ = 2\E\.

□

vév

6.3 Hành trình, đường, chu trình, vết và mach

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Một hành trình có hướng trong G là một dãy ^061^162^2 • • • e-nVn sao cho với mọi ỉ = 0 ,1, . . . , n,

Vị 6 V, c ò n v ớ i m ọ i i = 1 , 2 , . . . ,71, ti € E v à ẽị = (vi-\,vi). K h i

đó n được gọi là độ dài, đinh V(ì được gọi là đỉnh đầu, còn vn được

g ọ i l à đ ỉn h c u ố i c ủ a h à n h t r ìn h c ó h ư ớ n g tr ê n . T ư ơ n g t ự , m ộ t hành trình vô hướng trong G là một dãy VQeiViẼ2V2 ■ ■ ■ envn sao cho vợi mọi

i = 0 ,1 ,... , n, Vi G V, còn với mọi i = 1 ,2 ,... , n, Ẽi Ễ E và hoặc Êị = (v ì-i,v ì) h o ặ c ej = (v ì,v ì-i). K h i đ ó n c ũ n g đ ư ợ c g ọ i là đ ộ d à i, đ ỉn h VQ đ ư ợ c g ọ i l à đ ỉn h đ ầ u , c ò n đ ỉn h vn đ ư ợ c g ọ i là đ ỉn h c u ố i c ủ a h à n h tr ìn h v ô h ư ớ n g tr ê n . Một hành trình (có hướng, vô hướng) được gọi là khép kín nếu đỉnh đ ầ u v à đ ỉn h c u ố i c ủ a n ó tr ù n g n h a u . V í d ụ 6.6. Giả sừ G = (V,E) là đồ thị có hướng như ờ Hình 6.8. K h i đ ó :

(a) U id v2eĩ)v6e&v5e7v2^2v3 là một hành trình có hướng với đỉnh đầu

l à V i , đ ỉ n h c u ố i l à V3 v à đ ộ đ à i b ằ n g 5.

(b) vieiV2e7V$eíiV4esV3e2V2e7V5eeVQ là một hành trình vô hướng với

đỉnh đầu là V ị , đỉnh cuối là VQ và độ dài bằng 7. (c) V2eỹV(;epjVr}e7V2 là một hành trình có hướng khép kín.

(d) V2e-Vr,e5V4eoVỊ,e2V2 là một hành trình vô hướng khép kín. □

Trong trường hợp hành trình có hướng, mỗi cung e.j đều có đỉnh đầu là đỉnh đứng trước và đỉnh cuối là đỉnh đứng saũ e-i trong dãy, tức là nổ

đ ư ợ c x á c đ ịn h b ờ i c h ín h h a i đ ỉn ỉi'đ ó . V ì v ậ y n g ư ờ i t a t h ư ờ n g đ ơ n g iả n

194 Chương 6. Các khấi niệm và kết quả cơ bản của đồ thị

V 2 Ê2 V z

Hình 6.8: Dùng để minh hóạ cho hành trình trong đồ thị

gọi dãy các đỉnh VQV\V2• •. vn của G là hành trình có hướng trong G nếu

v ớ i mọi i = 0 ,1 ,. . . , n — 1, (Vi, V i + i ) là một cung của G. Tình huống có

hơi khác với trường hợp hành trình vô hướng. Nếu trong G giữa hai đỉnh V i và V j cổ cả hai cung là ei = (Vi,Vj) và e2 = (Vj,Vi) thì hai dãy

c o n V i e \ V j v à VịẼ2Vj l à h a i đ o ạ n k h á c n h a u t r o n g h à n h tr ìn h . V ì t h ế ,

cung giữa Vị và Vj cần được chỉ ra cụ thể. Tuy nhiên nếu trong G chỉ có một cung giữa Vị và V j (hoặc là (V ị , V j) hoặc là ( v j , V ị ) nhưng không

đồng thời cả hai), thì cung giữa hai đỉnh đó cũng được xác định*duy nhất trong G bởi Vi và Vj. Do đó để đơn giản ta cũng thay đoạn VịẼiVj

với Ẽ\ = (Vi,Vj) hay ViẼ2Vj với V2 — (Vj,Vi) của hành trình bằng V ị V j .

Một "hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng), trong đó các đỉnh đều khác nhau được gọi là một đuờng có huớng (tương ứng, vô hướng). Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng), trong đỏ các cung đều khác nhau được gọi là một vết có hướng (tương ứng, vô hướng). Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng) khép kín, mà khi xoá đỉnh cuối thì trờ thành một đường có hướng (tương ứng, vô hướng), được gọi là một chu trình có hướng (tương ứng, vô hướng). Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng) khép kín, trong đó các cung đều khác nhau, được gọi là một mạch có hướng (tương ứng, vô huớng).

Trên đây ta đã đưa ra các định nghĩa của hành trình, đường, chu trình, vết và mạch (có hướng, vô hướng) trong đồ thị có hướng. Các khái niệm tương tự cũng có thể định nghĩa trong đồ thị vô hướng. Tuy nhiên, ta nhận xét thấy rằng trong đồ thị vô hướng giữa hai đỉnh bất

6.3. Hành trình, đuặng, chu trình, vết và mạch ₁₉₅ a

e b

d c

Hình 6.9: Đồ thị Petersen

kỳ chỉ có nhiều nhất là một cạnh. Vì thế, các khái niệm trên có thề định nghĩa trong đồ thị vô hướng đơn giản hơn như sau.

Giả sừ G = (V, E) là một đồ thị vô hướng. Một hành trình (tất

n h iê n l à v ô h ư ớ n g ! ) t r o n g G là m ộ t d ã y c á c đ ỉn h VũV\V2 .. . vn s a o c h o

với mọi i = 0 ,1 ,... , n — 1, {i>j, «i+i} là một cạnh của G. Các cạnh

{ v ị , V ị + i } , i = 0 , 1 , . . . , n — 1, cũng được gọi là các cạnh của hành trìn h

VQVi... vn. Khi đó ĩi được gọi là độ dài, Vo được gọi là đỉnh đầu, còn vn được gọi là đỉnh cuối của hành trình trên. Một hành trình được gọi là

khép kin nếu đỉnh đầu và đỉĩih cuối cùa nó trùng nhau. Một hành trình

được gọi là đường nếu các đỉnh của hành trình đó đều khác nhau. Một hành trình được gọi là vét nếu các cạnh cúa hành trình đó đều khác nhau. Một hành trình khép kín được gọi là chu trình, nếu nó có độ dài ít nhất là 3 và khi xoá đi đỉnh cuối thì trờ thành đường. Một hành trình khép kín được gọi'là mạch nếu mọi cạnh của Ĩ1Ó đều khác nhau. V í d ụ 6.7. Cho đồ thị G = (y, E) như ò Hình 6.9. Đồ thị này được gọi là đồ thị Petersen. Khi đó,

(a) abcde là một đường; (b) abcdea là một chu trình;

(c) abcdeaa'c'e'e là một vết. □

L iên th ô n g

Một đồ thị (có hướng, vô hướngịì G = (Vi E) được gọi là liên thông

196 Chương 6. Gác khái niệm và kết quả cơ bản của đò thị

G = (V , E)

b h

Hình 6.10: Đồ thị G với hai thành phần liên thông là G\ và Gi

yếu hay cũng gọi tắ t là liên thông, nếu với hai đỉnh V i và V j khác nhau

bất kỳ của G tồn tại một hành trình vô hướng trong G với đỉnh đầu là

Vị v à đ ỉ n h c u ố i là Vj. T r o n g t r ư ờ n g h ợ p n g ư ợ c lạ i, đ ồ t h ị đ ư ợ c g ọ i là k h ô n g liê n t h ô n g .

Đồ thị con liên thông G' — (V', E') của một đồ thị (có hướng, vô hướng) G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thông của G, nếu

G' — G[V'\ và với mọi V" c V, mà thực sự chứa V ' , đồ thị G\y"\ là k h ô n g liê n t h ô n g .

V í d ụ 6.8. Đồ thị có hướng G = (V, E) cho trong Hình 6.10 là đồ thị không liên thông. Nó có hai thành phần liên thông là G\ và Ơ2- □

Đối vói đồ thị có hướng ngoài kiểu liên thông định nghĩa ờ trên

n g ư ờ i t a c ò n đ ị n h n g h ĩa k iể u liê n t h ô n g m ộ t c h iề u v à k i ể u liê n t h ô n g m ạ n h n h ư s a u .

Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông một chiều, nếu với hai đỉnh khác nhau bất kỳ Vi và V j , tồn tại một hành trình có hướng

với đỉnh đầu là Vi và đỉnh cuối là Vj hoặc một hành trình có hướng với

đỉnh đầu là V j và đỉnh cuối là Vị (hoặc cả hai hành trình đó).

Đồ thị có hướng G = (V,E) được gọi là liên thông mạnh, nếu với hai đỉnh b ất kỳ khác nhau Vị và Vj, luôn tồn tại cả hành trình có hướng với đỉnh đầu là Vị và đỉnh cuối là Vj và hành trình có hướng với đỉnh

đầu là V j 'và đỉnh cuối là Vị .

6.4. Cây ₁₉₇

G = ( V , E )

Hình 6.11: Ví dụ một rừng gồm 4 cây

6.4 Cây

Một đồ thị vô hướng liên thông không có khuyên và không có chu trình được gọi là cây.

Một đồ thị vô hướng không có khuyên (không nhất thiết phải là liên thông) và không có chu trình đựơc gọi là rừng.

T ừ các định nghĩa trên dễ thấy rằng mỗi thành phần liên thông cùa rừng là cây.

V í d ụ 6.9. Đồ thị G — (V. E) trên Hình 6.11 là rừng gồm 4 cây là

G i , Ơ 2 , <?3, c ?4 . □

Các đỉnh bậc 1 của cây được gọi là đinh lá hay đỉnh cúối, còn cá,c đỉnh bậc lớn hơn 1 của cây được gọi là đinh cành hay đỉnh trong.

Cấu trúc của cây được mô tả bởi định lý sau đây.

Đinh lý 6.2 (Đ inh lý móc xích kiểu hoa cúc). Giả sứ T = (V, E)

là đồ thị vô huớng không có khuyên. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đuơng nhau:

(a) T là cây;

(b) T không chứa chu trình và \E\ = |V| — 1; (c) T liên thông và ỊEỊ = ỊyỊ — ĩ;

198 Chương 6. Các khái niệm vấ két quả cơ bản của đồ thị

(d) T là đồ thị liên thông, nhung nếu xoá đi một cạnh bất kỳ thì đồ thí nhận được là không liên thông;

(e) Hai đinh khác nhau bất kỳ của T ẵuợc nối với nhau hòi đúng

một đuờng; „ 1

(f) T không chứa chu trình, nhưng nếu ta thêm một cạnh nối hai đỉnh không ke nhau trong T thì đồ thị nhận được có đúng một chu trình.

C h ứ n g m inh . 1. (a) =$■ (b): Giả sử T là cây. Khi đó theo định nghĩa cây, T không chứa chu trình. Vì vậy để chứng minh (b) ta chỉ còn phải chứng minh rằrig T có \v\ — 1 cạnh. Ta chứng minh khằng định này bằng qui nạp theo ỊVỊ. Khẳng định là hiển nhiên đúng nếu ỊVỊ — 1. Giả sử với mọi Ị VỊ < k, khẳng định đã được chứng minh là đúng. Ta chứng minh rằng nó cũng đúng cho Ị VỊ = k + 1.

Giả sử e = {u, là một cạnh của cây T. Xoá cạnh này khỏi T ta

t h u đ ư ợ c đ ồ t h ị m ớ i T ' . N ế u u v à V c ù n g t h u ộ c m ộ t t h à n h p h ầ n liê n

thông của T ' và chằng hạn p là một hành trình của thành phần liên thông đó nối u với V , thì uevP là một hành trình khép kín. Từ hành

trình này ta có thể xây dựng được một chu trình trong T. Điều này mâu thuẫn với giả thiết T là cây. Vậy u và V phải thuộc hai thành phần liên thông khác nhau của T ' , chằng hạn u thuộc thành phần liên thông

Tị, còn V thuộc thành phần liên thông T% của T ' . Nếu ngoài T\ và T2, T còn có t h à n h p h ầ n liê n t h ô n g T3, t h ì t r o n g T t a k h ô n g t h ể n ố i u b ằ n g m ộ t h à n h t r ìn h v ớ i m ộ t đ ỉn h X t r o n g T3. Đ i ề u n à y m â u t h u ẫ n v ớ i g iả

thiết rằng T là đồ thị liên thông. Vậy T' có đúng hai thành phần liên thông là Tỵ = (V i,E i) và T2 = (VỉịEĩ). Khi đó Tị là cây với |Vi| < k, và theo giả thiết qui nạp, |i?j| = \Vi\ — 1, i = 1,2. Ta có

m = m i + |y2|, |£ | = |£ i| + |£ 2| + 1. Suy ra,

\E\ = 1 ^ 1 + 1^1 + 1 = (1 ^1 - 1 ) + (|V2| - 1 ) + 1

= (F il + M ) - 1 = M - 1 -

2. (b ) =>• (c): Giả sử T là đồ thị không chứa chu trình và có 1-^1 = M - 1- Để chứng minh khẳng định (c) ta chỉ còn phải chứng minh rằng T là đồ thị liên thông. Giả sử T không-liên thông. Khi đó T

6.4. Cây ₁₉₉ bao gồm k > 2 thành phần liên thông, chằng hạn là T ị , T ì , . . . ‘, Tk. Do T+

không chứa chu trình, nên các thành phần liên thông Tị = (Vị, Eị), i =

1 ,2 ,... ,k, là cây. Vì (a) =>■ (b) đã được chứng minh, nên ta suy ra 1^1 = jv j| - 1, .* = 1 , 2 Vì \E\ ■= l ^ i + ... + \Ek \, \v\ =

\Vi\ + ... + \Vk\, nên ta có

\E\ = \Ex\ + \E2\ + ... + \Ek\

= (|Vi| - 1) + (1V2I — 1) H---- + (|Vfc| — 1) = \Vị - k. ■

Vì k > 2, nên đẳng thức nhận được mâu thuẫn với giả thiết |£ | = ị VỊ — 1. Vậy T phải là đồ thị liên thông.

v 3. (c) => (d): Trước hết ta chứng minh rằng nếu một đồ thị vô hướng không có khuyên bất kỳ G = (V, E) có k thành phần liên thông thì \E\ > \v\ — k. Ta chứng minh khẳng định này bằng qui nạp theo

\E\. Với l^l = 0, khẳng định trên là hiển nhiên đúng vì khi đó G = On,

tức là k = Ị VỊ. Giả sử khẳng định đã được chứng minh là đúng cho các đồ thị có t cạnh và G = (V, E) là một đồ thị vô hướng liên thông với \E\ — t + 1- Nếu ta xoá đi một cạnh của G thì đồ thị nhận được

G' sẽ có I VỊ đỉnh, t cạnh và số thành phần liên thông hoặc bằng k

hoặc bằng k + 1. Nếu số thành phần liên thông bằng k thì theo giả thiết qui nạp i > ỊVỊ — k. Suy ra, \E\ = t + 1 > |VỊ —.k và đây. là điều ta cần chứng miijh. Nếu số thành phần liên thông bằng k + 1, thì cũng theo giả thiết qui nạp, t > \v\ — (k + 1) = 1^1 - k — 1. Suy ra, |i?| = f + 1 > (ll^l — k — 1) + 1 = |ì^| — k và đây cũng íà điều ta cần chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh (c) => (d). Giả sử T = (V, E) là đồ thị vô hướng liên thông với |iĩ| = \v\ — 1. Nếu xoá một cạnh của T thì đồ thị nhận được T ' sẽ có |I?| — 1 cạnh. Nếu T' vẫn liên thông, thì theo khẳng định vừa chứng minh ờ đoạn trên, \E\ — 1 > \v\ — 1. Nhưng |£Ị = Ịv'ị - 1, nên |E | - 1 = \v\ - 2. Ta nhạn được |'ý| - 2 > |V.Ị - 1. Mâu thuẫn. Vậy đồ thị nhận được từ T bằng cách xoá đi một cạnh bất kỳ là không liên thông.

4. (d) =>■ (e): Giả sừ T = (V, E) là đồ thị thoả mãn (d). Vì T liên thông nên hai đỉnh khác nhau bất kỳ tí và V của T được nối với nhau bằng một hành trình Q. Giả sử đỉnh a là đỉnh xuất hiện ít nhất hai lần trong Q, Qi là đoạn hành trình của Q tù u tới lần xuất hiện đầu tiên

c ủ a - a t r o n g Q, CÒX1-Q2 -là đ o ạ n h ạ n h t r ìn h c ủ a Q t ừ lầ n x u ấ t h i ệ n c u ố i

200 Chương 6. Các khái niệm và kết quả cơ bản của đồ thị

cùng của a trong Q tới V. Khi đó Q 1 u Qì là hành trình trong T nối u với V, trong đó đỉnh a xuất hiện đúng một lần. Lặp lại quá trình trên một số hữu hạn lần ta sẽ nhận được đường p trong T nối u với V.

Giả sử hai đỉnh khác nhau u VÈL V của T được nối với nhau bằng hai đường khác nhau là Pi vằ p2- Khi đó Q = Pi u P2 là một hành

trình khép kín trong T. Nếu e — {u, v} là một cạnh của Q, thì T — e sẽ là đồ thị liên thông. Thật vậy, nếu hành trình H nào đó trong T nối hai đỉnh khác nhau X v ằ y không chứa cạnh e thì H cũng là hành trình trong T — e nối X và y\ còn nếu H chứa e thì (Ỉ I — e) u (Q - e) sẽ là hành trình trong T — e nối X và y. Điều vừa nhận được mâu thuẫn với

(d). Vậy hai đỉnh khác nhau bất kỳ của T được nối với nhau bởi đúng một đường.

5. (e) =$■ (f): Giả sừ đồ thị vô hướng T =

(y,E)

thoả mãn (e). Khi đó T không chứa chu trình vì trong trường hợp ngược lại hai đỉnh khác nhau bất kỳ của chu trình đó sẽ được nối với nhau bằng hai đường. Bây giờ nếu thêm vào T một cạnh e nối hai đỉnh u v ằ v không kề nhau nào đó trong T, thì cạnh e đó cùng với đường nối u với V trong T sẽ tạo thành chu trình trong đồ thị T + e. Nếu trong T + e có hai chu trình là C\ và Ơ2, thì dễ thấy rằng cả Cị và C‘2 đều chứa e (vì T không chứa

chu trình!). Khi đó Cị — e.và Ơ2 — e là hai đường khác nhau nối u với V. Điều này mâu thuẫn với (e). Vây T + e có đúng một chu trình.

6. (f) =>• (a): Giả sử đồ thị vô hướng T = (V, E) thoả mãn (f). Để chứng minh T là câỵ ta chỉ còn phải chứng minh rằng T liên thông.

Giả sử T không liên thông. Khi đó T có ít nhất là hai thành phần liên thông. Nếu ta thêm một cạnh nối hai đỉnh không kề nhau nhưng thuộc hai thành phần liên thông khác nhau của T thì ta không nhận được một chu trình nào trong đồ thị nhận được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (f). Vậy T liên thông và cùng với khẳng định (f), T

là cây. □

No documento LÝ THUYẾT TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ - NGÔ ĐẮC TÂN (páginas 185-200)