Ở mục trước ta đã định nghĩa hàm sinh mũ cho dãy số (aj)ỗ° là chuỗi luỹ thừa hình thức
oo
b(x) — với bj = -TỊ-.
j=0 J
Hàm sinh mũ đóng một vai trò nền tảng trong việc nghiên cứu các loài tổ-hợp (combinatorial species). Trong mục này ta chỉ đề cập tới phương pháp sử dụng hàm sinh mũ để giải quyết một số bài toán đếm như thế nào.
Giả sử với mỗi tập hữu hạn N ta có một tập S (N) các vật mà ta muốn đếm. (Như vậy, tập các vật cần đếm S(N) phụ thuộc vào tập
N.) Gác vật của. S (N) có thề xem như là “được gắn nhãn” hay “được
98 Chương 2. Các phương pháp đếm dùng hàm sinh đỡ” bời tập N. Vì vậy, tập N có thể xem như là tập giá hay ngắn gọn gọi là giá của S(N). Do đó, nếu N và M là các tập hữu hạn khác nhau, tức là JV / M, thì ta luôn giả thiết rằng S( N) n S( M ) — 0. Hơn thế nữa, nếu \N\ = \M\, thì ta cũng luôn giả thiết rằng ỊStiV)! = |5(M )|.
' J Ị X
Khi đó, hàm sinh mủ cho dãy các tập 5([0]), S([l]), 5([2]),... hay ngắn gọn (^([n]))^, được định nghĩa là hàm sinh mũ cho dãy số |5 ([0])U 5 ([1 ])|,|5([2 ])|,....
Giả sử (T([j]))“ là một dãy các tập các vật khác. Ta định nghĩa tập 5T([j]) là tập bao gồm tấ t cả các cặp (ơ, r ), ở đây ơ là một phần tử của tập S ( K ) với K là một tập con bất kỳ của [j\, còn T là một phần tử của tập T ( K ) với K = [j] \ K. Khi đó,
\ s T ( m = ỵ / ((ik) \ s m ) \ \ T ( \ j - k } ) \ -
Ký hiệu hàm sinh mũ cho dãy {S{[j})ự , (T([j]))^° và (ST([j]))£° tương ứng bằng s (x),t(x) và st(x). Khi đó, từ định nghĩa của ST([j\) ở trên ta dê thấy rằng
s t ( x ) = s ( x ) t ( x ) .
V í d ụ 2.11. Với mỗi z €lC, ta ký hiệu chuỗi luỹ thừa hình thức E{zx)
bằng ezx. Khi đó
„ r2 ~3
y-r 6 /6 0 ^ 0
e v x + 2\x + 3Ĩ + ■" '
Như vậy, ezx chính là hàm sinh mũ cho dãy số z ° , z1 , z 2, . .. , z ì , ---- □
Ý tường sừ dụng hàm sinh mũ để giải quyết bài toán đếm cho các cấu hình tổ hợp đã được nói tới trong mục trước. Bây giờ ta xét một số ví dụ cụ thể, ờ đó hàm sinh mũ đã được áp dụng một cách thành công để giải quyết bài toán đếm.
V í du 2 .12 . Số mạt thứ tự.
Giả sử X là một tập hữu hạn và X = , x n}. Ta sẽ
đồng nhất hoán vị (ai, ữ2) • • • > ữn) của các phần tử của' X với song ánh
(f : X -> X : Xi H-). dị. K h i đ ó p h ầ n t ử Xi 6 X đ ư ợ c g ọ i l à đ i ể m b ấ t
động của hoán yị ip trên X nếu <p{xì) = Xi- Hoán vị ip của X , mà không có điểm bất động nào, được gọi là một mất thứ tự của X . Số tấ t cả các m ất thứ tự của tập hữu hạn X lực lượng n được ký hiệu là Dn.
Bài toán: Hãy tính Dn theo 71, .
2.3. Phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ 99 G iải. Giả sử p ([«,]•), là tập tấ t cả các hoán vị của tập [n] và p(x) là hàm sinh mũ cho dãy p([0]), p([l]), ... ,P([n]), . . . . Mỗi hoán vị của [n] có thể phân tích thànK tích của các chu trình độc lập, tức là nó có dạng
ờ đây các chu trình (*) tương ứng với các điểm bất động của hoán
vị đó. Vì vậy, mọi hoán vị ip của [n] có thể xem như là cặp (Ơ,T),
ở đây ơ là một hoán vị không có điểm bất động trên K c [n] (một
mất thứ tự) và T.là một hoán vị đồng nhất trên K = [n] \ K. Chằrig hạn, hoán vị (19573)(46)(2)(8)(10) trên {1,2,... , 10} có thể xem là cặp
(ơ, t ) với ơ = (19573)(46) là một mất thứ tự trẽn {1,3,4,5,6,7,9}, còn
T = (2)(8)(10) là hoán vị đồng nhất trên {2,8,10}.
Ký hiệu I([n}) là tập các hoán vị đồng nhất trên [n], còn D([n}) ■ là tập các m ất thứ tự trên [n]. Khi đó Ị/([n])| = 1 và |jD([n])| = D n cho mọi n = 0, 1, 2, .. . . Do đó, hàm sinh mũ cho dãy (/([n]))^° và
(D([n]))~ tương ứng là
Mặt khác, như đã lập luận ở trên, ta có P([rc]) = DI([nỴ). Vì vậy p(x) —
di(x) = d(x)i(x), ở đây di(x) là hàm sinh mũ cho dãy (£>7([n]))^°.
Suy ra,
d(x) = p{x) (i(x)) 1 = p(x) (-E(x)) 1 = p(x)E ( - x )
= ( l + a: + X3 H---) ^1 — YjX + - Ị ỹ X 2 — ^ x 3 + • • (**-•• *)(* *)(*)(*) • ■ • = 1 + JỊX + 2Ĩx 2 + 3Ị*3 + " ■ = E (x )> d ( x) = £>0 + — X + ậ a : 2 + ậ x 3 + • • ■ . , 11 21 „2 3! 3 p(*) = 1 + ỵ X + 2ĨX + 3!x + " ' 1 + X + X 2 + £3 H‐‐‐‐‐. □
100 Chuơng 2. Các phuợng pháp đếm dùng hàm sinh Xét hàm sinh mũ của dãy các tập (<S'([j]))2°:
X -ị--- .
Khi đó, nếu ký hiệu D {s(x)) bằng s'(x) và tập các vật được đếm bởi
s'(x) với giá [j] bằng S'([j]), thì
Đẳng thức trên chứng tò rằng 5"([j]) = S([j + 1]) cho mọi j > 0. Phần tử “thừa” j + 1 cho tập 5'([j]) có nhiều ưu việt mà ta có thể sử dụng để thiết lập các hệ thức mà s(x) cần phải thoả mãn. Ta minh hoạ điều này và phương pháp sử dụng hàm sinh mũ cho bài toán đếm ở hai ví dụ dưới đây.
V í d ụ 2.13. Sắp xếp thành vòng tròn.
Có j vị trí trên một vòng tròn. Mỗi cách sắp xếp j số của tập [j] = {1,2,... ,j } vào j vị trí đó được gọi là một sắp xếp thành vòng
tròn của tập \j]. Hai sắp xếp thành vòng tròn của tập \j\ được coi là
như nhau nếu cùng xuất phát từ vị trí chứa số 1 và đi theo chiều quay của kim đồng hồ. ta lần lượt gặp các số tương ứng bằng nhau trong hai sắp xếp đó.
Bài toán: Tính số sắp xếp thành vòng tròn của tập [7] theo j .
G iài. Ký hiệu tập các sắp xếp thành vòng tròn của tập [j] bằng C([j]). Giả sử c(x) là hàm sinh mũ cho dãy (ơ([j]))“ và c'{x) — D (c(x)). Khi đó, như ta đã cộ nhận xét ờ trên đối với đạo hàm của hàm sinh mũ, các sắp xếp thành vòng tròn của tập [j + 1] được đếm bời c'(x) với giá [j]. Mặt khác, mỗi sắp xếp thành vòng tròn của tập [j +1] cũng có thể đồng nhất với một sắp xếp thành hàng ngang của tập [j] bằng cách “cắt” vị trí chứa số j + 1 ra khỏi vòng tròn và “căng” các vị trí còn lại của sắp xếp ra “thành hàng ngang” với số đầu tiên là số sau j + 1 trên vòng tròn theq chiều kim đồng hồ. Ví dụ, sắp xếp thành vòrig tròn 32154 của tập [5] được đồng nhất với sắp xếp thành hàng ngang 4321 của tập [4]. Vì vậy, nếu ta ký hiệu p([j]) là tập các sắp xếp thành-hàng ngang của tập bi p(x ) là hàm sinh mũ cho dãy (p([j]))“ , thì
|g([2] ) L , m m __2 . ' | g( [4] ) i..3
x à + ■ ■ ■ .
c'(x) — p(x) với
s
(c(x)) = 1 (vì |ơ(0)| = 1).2.3. Phuơng pháp đếm bằng hàm sinh mũ 101 Hiển nhiên là P([j]) chính là tập các hoán vị của [j] và vì thế |-P([j])| =
j\. Do đó, CO CO -
ị xj = J 2 xj = r b '
j=0Jl . j= 0 1 * Đằng thức cuối cùng có được nhờ Mệnh đề 2.3. Vậy c'(x) = — với s (c(x).) = 1. Sừ dụng Mệnh đề 2.13(1) ta suy ra c ( x) = —1/(1 — x) + Co v ớ i Co là m ộ t h ằ n g s ố . T ừ s (c (x .)) = 1 v à 5 (1/(1 — x)) = 0 s u y ra Co = 1 và ta nhận được N 00 ỉ_I'y—1 c(x) = 1 — L{ 1 — x) = 1 — x ý 3 = 1 J j = 1 J Vậy |ơ([j])| = ( j -!')!• □ V í d u 2.14. i?-hoán vị của tập [2j — 1] (j > 1).Hoán vị ( a i, a 2, . . . ,ã2j - i ) của tập [2j — 1] được gọi là E-hoán vị
của tập [2j — 1] nếu ak > Cbk- 1 cho k chẵn và ak < ữfc‐ 1 cho k lè.
Bài toán André: Tính số -E-hoán vị của tập [2j — 1] theo j ■
G iải. Giả'sử T([2j — 1]) là tập các E -hoán vị của tập [2j — 1], Ì2j- 1 = \T([2j - 1])|. Ta đ ặt T([2j]) = 0. Khi đó, |f([2j])| = 0 và neu t(x) là
hàm sinh mũ cho dãy các tạp (^([j]))^0, thì
í(*) = ỊT* + | ® 3 '+ § * 5 + - " • Ký hiệu D (í(x)) bằng t'(x). Khi đó
, *3 2 , *5 4 . Í7 „6 ,
t { x ) = l \ + ỉ \ x + ỉ x + ỉ x + ' " -
Như vậy là các E-ìioấn vị của tập [2j — 1] được đếm bởi t'(x) với giá [2j — 2j. Dễ thấy rằng trong mỗi -E-hoán vị (ai, 02,. • • ,0,2j - i ) của tập
102 Chương 2. Các phương pháp đếm dùng hàm sinh
[2j — 1], số 2j — 1 cần phải ở vị trí chẵn (vì 2j — 1 là số ìớ n n hất trong tập [2j — 1]). Do đó, với j > 2 phần bên trái của 2j — 1 trong một -E-hoán vị
a của tập [2j - 1] tạo thành một I?-hoán vị ơ của tập con K lực lượng lè
nào đó của tập [2j — 2]; còn phần bê]ji phải của 2j — 1 trong a tạo thành một E -hoán vị r của tập [2j — 2] \ A , Dễ thấy rằng tương ứng a với cặp
(ơ, r ) nói trên là tương ứng một-một. Ví dụ, phần tử a — (3,4,1,5,2)
của T’([5]) tương ứng với cặp (cr,r) = ((3,4,1), (2)), ở đây ơ = (3,4,1) là một hoán vị của tập {1,3,4}, còn-.T = (2) là một hoán vị của tập {2}. Như vậy, ta nhận được tương ứng một-một giữa các phần tử của
T([2j — 1]) và T 2([2j — 2]) cho mọi j > 2. Lại có s (t'( x)) = Í1 = 1. Vì
vậy ta nhận được phương trình
t'(x) = 1 + t2(x).
Sừ dụng Mệnh đề 2.16(5),(2) ta suy ra
t(x) = tg(x).
Việc tìm dạng biểu diễn của tg(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa để tìm ra các số B-hoán vị Í2j- 1 là một bài toán lý thú. Nó liên quan tới số
Bernoulli Bj, một trong các số có vai trò quan trọng trong nhiều bài toán tổ hợp và được định nghĩa như sau.
Giả sử e(x) £ C N là phần tử sao cho E{x) — 1 = xe(x). Khi đó hiển nhiên là e(x) — 'P~~~ị ỹ xj s (e(x )) = Theo Mệnh đề 2.2,
e(x) là phần tử khà nghịch của C N . Giả sử
°° p ■ e-1 (z) = X / ặ * 7'
3=0 J
là phần tử nghịch đảo của e(x). Khi đó cảc số Bj, j = 0 , 1 , 2 , . . . , được gọi là các số Bernoulli. Vì e(a;)e_1(a;) = 1, nên ta có B 0 = l , ( ộ = 0 cho j = 1 , 2 , . . . . Ta có theo định nghĩa xe(x) = E(x) — 1 <=> — xe(x) — 1 — E{x) <=> - x e ( x ) = \(E(x) - 1) + Ị] [E(—x) — 1]
2.3. Phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ 103
- x e ( x ) = (xe(x) + 1) ( - x e ( - x ) )
«=> e(x) = xe(x)e(—x) + e(—x)
4$ e~1(—x) = x + e~l {x). Áp dụng Mệnh đề 2.9 ta có °° r> e -1( - x ) = Y ^ ^ ( - x ý . Do đó j=0 °° p °° 70 j— 0 J j=0
Suy ra B0 = 1, i?i = “ và i?2j+i = 0 cho mọi j — 1 ,2 ,---- Vì vậy,- - v a U2j +1 = u cn
oo
-1(*) = l - f + Ễ
j - 1Ế í (*■)'
T ù định nghĩa của sin(a(x)) , COS(a(x)) và tg(a(a;)) và tính chất của
E(a(x)) ta có xtg(x) = isin (x ) cos_1(x) = X ■E(ix) - E '(-ix) 2 2i jE(ix) + £^(-ia:) E 2(ỉx) + E2(—ỉx) - 2 E( i x) E {- ix) E 2( ix) — E2(—ix)
(E (2ix) + E ( —2ix) — 2) E( 2ix) E(Aix) - 1 E ự i x ) + 1 - 2£(2ix) i?(4i:r) — 1 ia: [2 (E ( 2 i x) — 1) — (E( 4i x) — 1)] E{Aix) - 1 _ 2irr (E(2ix) - 1) E( 4ix) - 1 1IX 2Ì£ (E(2ix) + 1) — 4ix E( 4ix) — 1 1X 2kc (i?(2i:r) + 1) 2kc (i?(2i:r) + 1) 4ix
(£(2iaỌ - 1) (i(2 ix ) + 1) _ E{4ix) - 1 I X
104 Chương 2. Các phuơng pháp đếm dùng hàm sinh
2ix 4 ỈX
2ixe(2ix) 4ia;e(4ia;)
= e-1 (2Ĩ2:) - e_1(4ix) - ix. Vậy xtg(x) = e 1(2ix) — e l {A ìx ) - ix . Mặt khác, ta đã chứng minh ở trên rằng 00 » = l - f +
Ễ
Bĩ í- xV. Do đó xtg(a:)1 - T +ỵ
ề
i2ixỹl
— IX. Suy ra£
3=1 ( - l ) j - 12 ^ - ( 2 ^ - l)ỉ?2j 2?—1 m ' Vì vậy, t y - l = <~1), ~‘4,y r i ì g ạ e h o m ọ i j = l , 2 , 3 , . . . . Từ hệ thức truy hồi Bo — 1, jr~— B j - k = 0 ta có thề tính được các số Bernoulli £?2j. Từ đó ta có thề tính được Í2j‐1‐ Bàng 2.1 cho ta biết một số giẩ trị đầu tiên của I?2j và í 2j —1 -Bài tập Chuơng 2 105
3 1 2 3 4 5
B 2j 1 1 1 1 5
6 30 42 30 66
t2j - l 1 2 16 272 .7936
Bảng 2.1: Một số giá trị đầu tiên của i?2j và Í2j-1
Bài tập C hương 2
2.1 Chứng minh rằng nếu a(x) là đa thức bậc m với ao Ỷ Oj K x ) là đa thức bâc n và m < n, thì = d(x) + ■ ở đây d(x) là
a{x) a(x)
đa thức bậc n - m v à c(x) là đa thức bậc nhỏ hơn m.
2.2 Chứng minh rằng vợi mọi a(x) = Y^jLo a,jXÍ e C N , ■ a^ có hệ
' — X' số của x n bằng J2ỹ= 0 aj-
2.3 Chứng minh rằng -( r _ ^ n + ĩ = X , r y .
2.4 Giả sừ a(x) = 53“ Lo aj x^ Kx ) = là c^c phần tử của
C N. Chứng minh rằng nếu a(x) là một đa thức hoặc nếu bo = 0,
thì dj (b(x)ý e CN . (Ta gọi phần tử này ở 2.1.1 là hợp
thành của a(x) vói b(x) và ký hiệu là a(x) o b(x).)
2.5 Chứng minh rằng với mọi a(x),b(x),c(x) G C N với òo = Co = 0
ta có
(i) [a(x) o ò(a:)] o c(x) = a(x) o [ò(íc) o c(z)];
(li) D[a(x) o ò(a;)] = [D (a(x)) o b(x)]D (b(x)).
2.6 (*) Hãy đặc trưng các a(x) £ C N có tính chất D* (D (a(x))) 7^ a(x).
j
2.7 Tìm hàm sinh thông thường cho dãy số ũj — ^ 2 k ’ 7 = 0 , 1 , 2 , - - -
k= 0
106 Chương 2■ Các phương pháp đếm dùng hàm sinh j
và dãy số a3 = /c3, j = 0, 1, 2 , . . . và các công thức tính các ãj
k —Q
này qua j .
2.8 Dãy các số ao, ai, 02, .theảtaiãn ao = 1 và ũj — 2ữj_i —3 = 0 cho mọi j > 1. Hãy tìm công thức tính <jj qua j.
2.9 Dãy các số ao, di, d2, ■ ■ ■ thoả mãn ao = 1 và cij - j d j - i - 1 = 0
cho mọi j > 1. Hãy tìm công thức tính aj qua j.
2.10 Dãy các số ữo, dị, ã2, . ■ ■ thoả mãn ŨQ = 5 vằ a,j — 3cij_i — 2J = 0
cho mọi j > 1. Hãy tìm công thức tính ãj qua j.
2.11 Dãy các số ao, ai, 02, . . . thoả mãn ao = 2 và ũj — 2ữj_i — 3J = 0 cho mọi j > 1. Hãy tìm công thức tính a,j qua j .
ữ?-i 2.12 (*) Dãy các số ao, a i , ữ 2, .. • thoả mãn ao = 1, ai = 2 và ữj =
a , j‐ 2
cho raọi j > 2. Hãy tìm công thức tính ãj qua j.
2.13 (* ) D ã y c á c s ố ao,aỵ,a2, ■. ■ t h o ả m ã n .a o = 2, a i = 2 v à CLj =
cho mọi j > 2. Hãy tìm công thức tính a,j qua j.
2.14 Dãy các số Qo,ai,a2, . . . thoả mãn ão = 2, ai = 2 , 0 2 = 4 và = 3aj_! - 3aj_2 + ữj‐3 cho mọi j > 3. Hãy tìm công thức tính ữj qua j.
2.15 Dãy các số ữo, ai, a2, ■.. th oảmãnao = 0, a\ = 1 v k a j+ 2 — 5ữj+i +
6aj = 0 cho mọi j > 0.
(i) Hãy xác định hàm sinh thông thường cho dãy số này; (ii) Hãy tìm công thức tính ãj qua j.
2.16 (*) Tìm hàm sinh thông thường cho số các phân hoạch của n thành các phần khác nhau mà là luỹ thừa của 2. ỹ
2.17 (*) Với k cố định, hãy tìm hàm sinh thông thường cho số các phân hoạch của n thành đúng k phần.
2.18 (*) Chứng minh rằng số các phân hoạch của n thành nhiều nhất
k phần bằng số các phân hoạch của n + k thành đúng k phần.
2.19 (*) Giả sử Ai(x) được xác định đệ qui bằng Ả2(x) = 1, Az{x) =
1 + X và Ai+\{x) = Aiịx) + ,xi~l A i -i (x) cho ị > 3. Chứng mĩnh
Bài tập Chuơng 2 107 rằng Ai+i(x) là hàm sinh thông thường cho số các phân hoạch với sự khác biệt giữa các phần ít nhất là 2 và phần lớn nhất nhỏ hơn
i. (Như vậy, Aoo(x) là hàm sinh thông thường cho số các phân
hoạch của n với các phần khác nhau ít nhất là 2.) 2.20 (*) Chứng minh rằng
(i) Hàm sinh thông thường cho số các hợp thành của n thành
đ ú n g k p h ầ n l à C(x, k) = (a; + X2 + X3+ . . . )k. H ã y k i ể m t r a r ằ n g
số các hợp thành của n thành k phần bằng ^ ^ ;
(ii) Hàm sinh thông thường cho số tấ t cả các hợp thành của n là C(x) = — —— . Hãy kiểm tra rằng số các hơp thành của n
ĩ — 2x
bằng 2"_1;
(iii) Hàm sinh thông thường cho số các hợp thành thành đúng k phần với mỗi phần lớn nhất bằng TO là
C(x, k, m) = (x + X2 + X3 + ■ ■ • + x m ) fe;
(iv) Hàm sinh thông thường cho số tấ t cả các hợp thành của n với tấ t cả các phần lớn nhất bằng TO là
n t _ 1 _ x
C(x, —,m) = ---rrrr-
^ ' l - 2x + x rn+l
2.21 Chứng minh rằng hàm sinh mũ cho số các phân hoạch có thứ tự của một tập thành k khối khác rỗng là (e* — l ) fc và hàm sinh mũ cho số các phân hoạch không có thứ tự của một tập thành k khối không rỗng là
( è * - ! ) * ỵ ^ S U k ) Ị
k\ ị - i j\
5 = 0 J
(Hàm sinh mũ cho các số Stirling loại hai.)
2.22 Chứng minh rằng hàm sinh mũ cho các số Bell T j , j = 0 , 1 , 2 , . . . là
00 r p ■ Ẽ | ^ ' =
j=0 J
2.23 (**) Hoán vị ( a i,02, . . . ,a,2j) của tập [2j] được gọi là i?-hoán vị
của [2j} nếu a,k > ữk- 1 với k chẵn và dk < a,k‐ 1 với k lè. Ký hiệu
108 Chương % Các phuơng pháp đếm dùng hàm sinh số các U-hoắn vị của tập [2j) là S2j . Ta cũng đặt S2j+ 1 = 0 cho
mọi j = 0,1,2, — Chứng minh rằng hàm sinh mũ s(x) cho dãy số (Sjự là hàm sec(a;).
2.24 (**) Giả sử . . I
Khi đó các số Ej được gọi là các số Euler.
(i) Chứng minh rằng E2j+ 1 = 0 cho mọi j = 0 , 1 , 2 , ;
(ii) Chứng minh rằng
Ê
}
(iii) Chứng minh rằng s2j — ( ~ l Ỵ E 2j cho mọi j = 0 , 1 , 2 , __