Trong mục này ta sẽ xét một vài ví dụ ứng dụng của công thức nghịch đảo cho bài toán đếm các cấu hình tổ hợp.
5.4 .1 C ôn g th ứ c tín h g iá trị củ a <p-hàm E u ler
(pin)
Trong Ví dụ 3.2, bằng nguyên lý bao hàm và loại trừ ta đ ã chứng minh được rằng
ờ đây, n = P ịlP2 2 ■ ■ -'Pịt là phân tích chính tắc của n thành tích của các thừa số nguyên tố. Từ công thức này ta thấy ngay rằng nếu m v à n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thì ip(mn) = ip(m)ip{n).
Ta dùng ký hiệu <Pd(n ) để chỉ số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà có ước số chung lợn nhất với n bằng d. Khi đó hiển nhiên là
<Pi(n) — <f(n). Ký hiệu gcd(n,m) là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên dương n và m. Khi đó ipd{n) là số các số nguyên dương dạng
dd' với gcd{dd',n) — d, tức là 1 < d! < ^ và gcdíd', rị ) = 1. Suy ra
a a
■ * 1 = « © = f © -
Giả sử di,(Ỉ2, . . . ,dk là tấ t cả các ước số nguyên dương của n, còn
d[, d'2, . . . , đk tương ứng là các ước số bù của chúng, tức là địdị = n, i '=
1,2,7.. ,k. Khi đó
<p(d'ị) = (p(n/di) = ipdi(n).
5.4. Ung dụng của công thúc nghịch đảo cho bài toán đếm 177 Nhưng hiển nhiên là X^=1 <Pdi {rì) = n. Do đó Y Ì =l <p{d!ị) = Vdị (n ) =
n. Từ đó ta nhận được công thức Gauss: n = : S ^ ( d)'
d\n
Từ đằng thức trêri, áp dụng công thức nghịch đảo cho tập p được sắp bộ phận bằng thứ tự bộ phận là quan hệ chia hết (Xem Ví dụ 5.8), ta nhận được công thức tính giá trị của íp-hằm Euler <p(n) sau đây:
¥>(») = ỵ ^ đ f i Q =
d\n d\n
5.4.2 D ã y x y c lic
Trên tập các ánh xạ íp : { 1 ,2 ,... , m} —> {ữi, ữ2; • • • ; Un} ta xác định quan hệ hai ngôi ~ như sau: (p ~ ip' nếu tồn tại d G {1, 2, . . . , m} sao cho với mọi i G { 1 ,2 ,... , m} ta có ip'(i) = ip{i + d), ở đây i + d được lấy theo modulo m. Dễ kiểm tra thấy rằng quan hệ ~ là quan hệ tương đương. Nếu (<£>(1), ¥>(2),... ,<p(m)) và .. . ,ip'{m)) là các
véc tơ tương ứng vớỉ các ánh xạ tương đương ip và <p', thì sau một phép tịnh tiến vòng tròn nào đó các véc tơ này sẽ trùng nhau. Vì thế, tập hợp tấ t cả các véc tơ tương ứng với một lớp các ánh xạ tương đương được gọi là một dãy xyclic.
Bài toán: Hãy tính số M mn các dãy xyclic theo m và n.
G iải. Số d, được gọi là chu kỳ của véc tơ (íp(l),ip(2),. . . nếu với mọi i = 1, 2, . . . ,771, íp(i + d) — <p(i)- Dễ thấy rằng các véc ta
(y>(l), ụ>(2) , . . . , ip(m)) của các ánh xạ thuộc cùng một lớp tương đương
có cùng một chu kỳ nhỏ nhất.
Ký hiệu số các lớp tương đương, mà véc tơ (y>(l), ¥>(2),. ■ ■ ,
của mỗi ánh xạ ip trong nó có chu kỳ nhò nhất d, bằng M(d). Vì số phần tử trỏng mỗi một lớp tương đương như thế bằng d, nên tổng số các ánh xạ if, mà véc tơ (<p(l), ụ>(2) , ... ,ip(m)) của Ĩ1Ó có chu kỳ nhỏ
nhất là d, bằng dM{d). Cộng lại theo mọi ước số d của TO, ta nhận được sổ tấ t cả các ánh xạ cp : {1, 2, . . . ,m} —»■ {ai,a.2, •. • ,a n}. Vì vậy,
nm = Y^d M { d ).
dịrn
178 Chuơng 5. Nghịch đảo Mõbius
Àp dụng công thức nghịch đảo cho tập p được sắp bộ phận bằng thứ tự bộ phận là quan hệ chia hết (Xem Ví dụ 5.8) ta nhận được
m M (m ) = V n V ( ^ ) •
'• J,dỊm Suy ra
d\m
Vì mọi chu kỳ nhỏ nhất đều là ước số của TO, nên
M mn = Y , M { d ) . d\m Vì vậy, Mmn = d\m d\m 6\d = £ỏ TO n f £ > ổ )d với ' ' ề\d\m - 5\m d với x ' 6\d\m
Thực hiện đổi biến k = d/ỏ ta được
ỗ\m k với k\(m/ô) Nhưng như ta đã chứng minh ờ 5.4.1, m /ỗ
E
k với fcị(m/ổ) Vì vậy, 5ịm5.4. ứng dụng của công thức nghịch đảo cho bài toán đếm 179 hay sau khi thực hiện đổi biến d — (m/ỏ) ta được
Mmn — —
^2
d ị m
nm/ẽ.
Công thức này ta cũng đã chứng minh bằng lý thuyết Pólya ờ Ví
dụ 4.7. □
5.4 .3 C ô n g t h ứ c ch o n g u y ê n lý b ao h àm v à loại tr ừ
Ở Chương 3, Mục 3.1 ta đã chứng minh công thức cho nguyên lý bao hàm và loại trừ. Ớ đây, ta muốn chứng minh lại công thức đó bằng công thức nghịch đảo.
Giả sử A là một tập hữu hạn và Aỵ, A-2-, ■ ■ ■ , An là các tập con của A. Ta cũng giả sử X là tập luỹ thừa của tập { 1 ,2 ,... , n} được sắp bộ
phận bằng quan hệ bao hàm.Ta cũng định nghĩa các hàm s{x) và e(x) trên X như sau:
s : X -¥ c : I (->• s ự ) = I f ì ie/ Ai\,
e : X ^ c : ỉ ^ eự),
ở đây e (/) là số các phần tử của nieM i, mà không thuộc một tập con Aj nào với j Ệ I.
Giả sử X e f lie J M và J = {í e { 1 ,2 ,... ,n} Ị X € Ai}. Khi đó
x e H i g / Ă-i / c J. N g ư ợ c lạ i, n ế u I c J t h ì s ố c á c p h ầ n t ử X s a o
cho {i G { 1 ,2 ,... ,n} I X € Ai} = J bằng e(J). Vì vậy ta có
I C J
Áp dụng công thức nghịch đảo cho tập X đưạc sắp bộ phận bằng thứ tự bộ phận là quan hệ bao hàm (Xem Hệ quả 5.3), ta được
e(/) = 5 > ( J , J > ( J ) . I C J
Hàm J ) cho X đã được tính trong Ví dụ 5.9. Vì vậy ta nhận được công thức sàng tổng quát
e(J) =
I C J
180 Chuơng 5. Nghịch đảo Mobius X a b c d e /(* ) 5 ‐ 1 4 0 1 . . fl I Bảng 5.1: Dùng cho Bài tập 5.3 Nói riêng, ta có | A \ ( A 1 U A 2 U . . . U Ạ „ ) | = e(0) = 0CJ J€X
tức là ta nhận được nguyên lý bao hàm và loại trừ dạng kinh điển.
Bài tập Chương 5
5.1 Giả sừ X — {a, b, c, d, e} là tập được sắp bộ phận bằng thứ tự bộ phận < như sau: a < b < c < d, a < e < d.
(a) Hãy biểu diễn X bằng sơ đồ Hasse;
(b) Hãy viết ma trận của hàm Zeta và hàm Mõbius cho X . 5.2 Giả sử X là tập được sắp bộ phận.
(a) Chứng minh rằng c2(x,y) = |[z,ỉ/]|;
(b) Chứng minh rằng nếu 77 = ^ — ổ, thì T}k{x, y) bằng số các xích độ dài k từ X đến y . 5.3 Giả sử X = {o, b, c, d, e} là tập được sắp bộ phận bằng th ứ tự bộ phận < như ờ Bài tập 5.1 và / : X —»■ c là hàm được xác định bời bảng 5.1 Ta cũng giả sừ rằng g : X -»
c
là hàm thoả mãn f i x ) —Ex<y 9 Ìy)- Hãy xác định hàm g{x).
5.4 Giả sử X = {a, b, c, d, e, /} là tập được sắp bộ phận bằng thứ tự bộ phận < như sau: a < b < d < f , a < c < e < f , b < e.
(a) Hãỵ biểu diễn X bằng sơ đồ Hasse;
Bài tập Chương 5 181
(b) Hãy tìm hàm Mõbius Ịi(x, y) cho X;
(c) Già sừ t{x) và e{x) là các hàm xác định trên X với giá trị trong
c
và thoà mãn t(x) —Yly<x e ( y )
cho m<?i X £ X . Hãy xác định hàm e{x) nếu t(a) = l,í(ò)_= —1 ,t(c) = 0,t(d) = 3, t(e) = 5.5 Có bao nhiêu loại vòng hạt khác nhau bao gồm 6 hạt với mộttrong ba màu là vàng, đen, trắng?
5.6 Xét các vòng hạt gồm 16 hạt với một trong ba màu là vàng, đen, trắng.
(a) Hãy xác định tổng số các loại vòng hạt trên;
(b) Hãy liệt kê ra các loại vòng hạt trên mà có chu kỳ bằng 1,2 và 4;
5.7 Giả sử f ( n ) là hàm xác định trên p . Ta định nghĩa hàm g(n) =
Ĩ2dịn f(d)- Hãy tính /(30) qua tổng và hiệu của các giá trị của
hàm g(n).
5.8 Giả sử d(n) là số các ước số nguyên dương của số nguyên dương
n. Chứng minh rằng với mọi n e p ta có
5.9 Giả sử ơ(n) là tổng của các ước số nguyên dương của số n e p ,
5.10 Giả sử f ( x ) là hàm trên tập các số thực X > 1. Ta định nghĩa hàm g{x) như sau:
2,t(/)=4.
k\n k\n n < x Chứng minh rằng n < x182 Chương 5. Nghịch đẩo Mõbius 5.11 Giả sử g(x) là hàm xác định trên tập các số thực X > 1. Ta định nghĩa hàm f ( x ) như sau: ỉ ( x ) = ] ^ ( n )9 ( 0 • n < x J> Chứng minh rằng 9{x) = ( ẩ n < x ĩ 5.12 Giả sử a > 0 và f ( x ) là hàm trên tậpícác số thực X > 1. Ta định nghĩa hàm g(x) như sau:
»<*> = Ẹ i /(£)■
n < x l / a Chứng minh rằng ụ , ( n ) ( X n< a?1/® 5.13 Giả sử a > 0 và g(x) là hàm trên tập các số thực X > 1 . Ta định nghĩa hàm f(x ) như sau: f i ( n ) ( X n<x1//o Chứng minh rằng /< * > - n < x l ' Q»<*) = Ẹ i H ể ) -
5.14 (*) Ta định nghĩa hàm Von Mangoldt là hàm
A( ) • - Ị loể P ’ n®u n = pk lk luỹ thừ a nguyên tố,
[o,
trong các trường hợp còn lại.Ta cũng giả sử L(n) = log n. Chứng minh rằng L = 1 * A và
A = -Ẽrf|nM<Ol°góf. . •