s 2 s 3 s 1 + Σ s 4 v r x v t OSCILADORES SENOIDAIS Duas técnicas principais são utilizadas para a geração de senoides:

OSCILADORES SENOIDAIS

Duas técnicas principais são utilizadas para a geração de senoides:

1) Osciladores lineares:

Consistem, basicamente, de um amplificador com realimentação positiva onde a rede β é um circuito seletivo (RC ou LC).

2) Conformadores de senóide:

A senóide é obtida pela conformação de uma onda triangular.

OSCILADORES SENOIDAIS LINEARES

Ganho de malha (“loop gain”)

Critério de Barkhausen:

Para haver oscilação senoidal

1 ( ) ( ) 1 0 o o o A j A j A

β

β ω

ω

β

 ₌  = ⇒ _  = 

“Na frequência de oscilação ωo, o ganho de malha deve ter fase 0o e módulo unitário.“

Amplificador

A

Rede

β

(seletiva)

Σ

s

₁

+

s

₂

s

₃

+

s

₄ realimentação positiva

( )

( )

1

( ) ( )

f

A s

A s

s A s

β

=

−

( )

r

( ) ( )

t

V

L s

s A s

V

β

=

=

Amplificador

A

Rede

β

(seletiva)

Σ

v

r

x

+

+

v

t

+

~

Intuitivamente, se o sinal de retorno (Vr) for igual, em módulo e fase, ao sinal de

transmissão (Vt), a saída Vo será sustentada mesmo sem a presença do sinal de entrada do

amplificador. ( ) ( ) 1 ( ) o o o r t V j L j V j

ω

ω

ω

= = (1.1)

Deve-se notar que a oscilação ocorre somente na frequência

( )

ω_o onde a fase do ganho de malha

( )

βA for 0o.

Seguindo este raciocínio intuitivo, se L jω < , a oscilação não se sustenta e se

( )

_o 1 L jω > a

( )

_o 1 amplitude de V crescerá até que o amplificador entre na região de saturação, resultando numa _r senóide com distorção.

Uma visão alternativa para o estudo dos osciladores senoidais consiste na determinação dos pólos da função de transferência

( ) ( ) 1 ( ) ( ) f A s A s s A s

β

= − (1.2)

Os pólos de Af(s) estão localizados nas raízes do polinômio do denominador da função de rtransferência (equação característica):

1−

β

( ) ( ) 0s A s = (1.3) Por exemplo: 2 ( ) e ( ) 1 s A s K s s bs

β

≡ ≡ + + 1−

β

( ) ( )s A s = 0 2 1 0 1 s K s bs − = + + 2 _{1 0} s +bs + −Ks =

(

)

2 _{1 0} s + b K s− + = (1.4)

σ

j

ω

K =b

Para que o circuito produza oscilações sustentadas na frequência ω , as raízes devem estar _o localizadas em s= ±jω_o.

CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS:

Para garantir oscilação senoidal as raízes do polinômio 1−β( ) ( )s A s devem estar localizadas exatamente sobre o eixo jω . Significa dizer que ao longo do tempo β( )s e A s( ) não podem sofrer alterações sob pena de parar de oscilar ou distorcer.

Sabemos que as características do circuito sofrem alterações por efeito de temperatura, envelhecimento, etc... Desta forma, para construir um oscilador senoidal devemos utilizar algum mecanismo de controle do ganho do amplificador.

σ

jω Oscilação não sustentada

σ

jω Oscilação sustentada

Oscilação sustentada, com distorção

Limitação do amplificador

σ

São duas as preocupações básicas:

1) Garantir que o circuito sempre oscilará. Para isto, devemos garantir β ligeiramente A maior que a unidade na frequência ω . Isto posicionará os pólos no semiplano lateral _o direito (SLD) do plano complexo s.

1

A

β > ⇒ oscilação garantida (com distorção)

2) Garantir que βA=1 quando a amplitude do sinal de saída atingir um valor desejado. 1

o

v

A

β =

Com esta técnica, os pólos são inicialmente posicionados no SLD do plano s, garantindo o processo de oscilação e, posteriormente, á medida que a amplitude do sinal de saída aumenta (em módulo), os pólos vão se deslocando, suavemente, na direção do eixo jω , evitando a distorção.

Um circuito de controle eficiente:

Rf R1 R2 R3 R4 R5 Vo U1 + -OUT VCC + VCC -D1 D2 Vi i V o V o V+ o V− Inclinação: 3 1 / / 1 Rf R R   +     Inclinação: 4 1 / / 1 Rf R R   +     Inclinação: 1 1 Rf R   +     Posição final βA = 1

σ

j

ω

Posição inicial β ≥ 1A Ação do mecanismo de controle do ganho A

Para D1 e D2 cortados e aplicando superposição na determinação de VA e VB, tem-se: 1 1 o f i V R A V R = = + 3 2 2 3 2 3 A CC o R R V V V R R R R = + + + 5 4 4 5 4 5 B CC o R R V V V R R R R = − + + +

A situação de D1 e D2 cortados ocorre para baixas amplitudes de Vo. Com o aumento da

amplitude ocorrerá a condução dos diodos D1 e D2, respectivamente nos semi-ciclos negativo e

positivo, colocando Rf em paralelo com R3 ou R4 e, consequentemente forçando a redução do

ganho. Os limites (vo+ e vo-) de condução de D1 e D2 são dados pelas expressões:

D1 conduz: o A i D A D V V V V V V A − = − ⇒ = − D2 conduz: o B i D B D V V V V V V A + = + ⇒ = + Assim: 3 2 2 3 2 3 o A D CC o V R R V V V V A R R R R − _{ } = − =_ + _ + +   3 2 2 3 2 3 1 o CC D R R V V V R R A R R − ₋ _{= −} ₊   ₊   ₊      Fazendo :

(

)

3 2 2 3 2 3 1 R R k k R R R R = ⇒ − = + +

Vem:

(

1

) (

1

)

o CC D A V kV V A k − _{= − +} − − Analogamente:

(

) (

)

4 4 5 onde, 1 1 o CC D R A V kV V k A k R R + _{= − + =} − − +

OBS.: Como a curva de condução do diodo é exponencial, as transições em torno de

e

o o

OSCILADOR EM PONTE DE WIEN Cálculo de βA:

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 _{1 1} 1 R R sR C sR C A A A sR C R _{sR C sR C sR C} sC sR C β = + = + + ₊ + + + + 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 sR C A A s R R C C sR C sR C sR C β = + + + + 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 A A R C sR C sR C R C β = + + + + Vo R2 R1 C1 C2 p

Z

s

Z

A

REDE β 1 1 1 1 1

1

1

s

sR C

Z

R

sC

sC

+

=

+

=

2 2 2 2 2

1

/ /

1

p

R

Z

R

sC

sR C

=

=

+

Vo

A

s

Z

p

Z

t V + − r

V

p r t p s Z V A V Z Z = + p r t p s Z V A A V Z Z

β

= = +

Aplicando o critério de Barkhausen: Para s = jω_o 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 o o A A R C j R C R C R C β ω ω =     − + + +         0o A β =  1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 ou 2 o o o o R C f R C R R C C R R C C ω ω ω π − = ⇒ = ⇒ =

Nesta frequência, onde a β =A 0o, tem-se a condição de oscilação:

1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 o R C A A A R C R C R C ω ω β ₌ = = ⇒ = + +   + +    

Usando o amplificador com ganho controlado pela amplitude do sinal de saída:

Rf R1 R2 R3 R4 R5 Vo U1 + -OUT VCC + VCC -D1 D2 R R C C 1 1 1 3 p.ex.: 0,03 o f RC R A R A ω δ δ = = + = + =

Análise alternativa

Usando, por simplicidade, R₁ =R₂ = e R C₁ =C₂ = , vem: C

( ) ( )

2 2 2

₍

₃

₎

₁ A sRC s A s s R C s RC β = + + Calculando as raízes de 1−β

( ) ( )

s A s = 0

( ) ( )

2 2 2

₍

₎

2 22 22 2

(

₍

)

₎

3 1 1 1 0 3 1 3 1 s R C s A RC A sRC s A s s R C s RC s R C s RC β + − + − = − = = + + + +

(

)

2 2 2 3 1 0 s R C +s −A RC+ =

(

)

(

)

2 _{2 2 2 2}

₍

_{) (}

₎

2 2 2 3 3 4 ₁ 3 3 4 2 2 A RC A R C R C s A A R C RC − − ± − − _{ } = = _− − ± − − _   raízes: reais

(

)

2 ₂ 1 2 1 1 3 4 0 6 9 4 0 1 5 A s RC A A A A s RC  = ⇒ = −  − − ≥ ⇒ − + − = ⇒ _  = ⇒ = 

raízes: complexos conjugados: raízes: sobre o eixo imaginário:

1 5 A raízes: complexos conjugados raízes: reais

σ

j

ω

= 3 A = 1 A _{A= 5} − 1 RC −j 1 RC 1 j RC 1 RC < < 1 A 5 A = 3 ⇒ s = ±j 1 RC

Oscilador em ponte de Wien com controle de frequência.

Observe que o caminho de realimentação positiva é o que passa pela associação em série de R1 e C1 e a impedância de entrada R2, do amplificador A, é a impedância vista por C2

formando a ponte de Wien. Desta forma, esta estrutura apresenta a mesma frequência e condição de ocilação da estrutura analisada anteriormente:

1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 o R C w e A R C R R C C = = + +

Entretanto, a estrutura do amplificador é diferente e, conseqüentemente, o ganho Av

será diferente. O sinal que chega em vx é amplificado passando por dois caminhos distintos.

Assim, o sinal de saída vo pode ser obtido aplicando-se superposição, Isto é, o sinal de saída

será a soma das contribuições de vx amplificadas em cada um dos caminhos:

5 3 5 4 2 4 3 5 5 2 4 4 1 1 o x x o v x R R R v v v R R R v R R R A v R R R      = _ + _+ _− _− _      = = + +

Por inspeção, verificamos que a escolha conveniente de R3, R4 e R5 fará com que o

ganho Av ajustado no amplificador seja sempre igual ao ganho A da condição de oscilação, Vo Vx U2 + -OUT U1 + -OUT R1 R4 R5 R3 C1 C2 R6 R7 R7 R6 VCC + VCC -D1 D2 R2 A

para qualquer valor de R2. Assim, variando R2, a condição de oscilação é mantida enquanto a

frequência de oscilação varia, desde que os componentes sejam ajustados seguindo o critério:

5 2 5 3 1 4 1 4 R C R e R R R = C R =

Oscilador em ponte de Wien com controle de amplitude alternativo.

Neste circuito, a tensão instantânea sobre Rf depende da amplitude de vo. Os diodos só

começam a conduzir quando esta tensão for maior que vd (≈ 0,6V). A partir desta amplitude, o

resistor Rx, em série com a resistência dinâmica do diodo, é colocado em paralelo com o

resistor Rf, reduzindo o ganho do amplificador, limitando a amplitude do sinal de saída no valor

ajustado através de Rx. R R Rf R1 C C Rx U1 + -OUT _Vo D1 D2

Oscilador por desvio de fase (“phase shift oscilator”)

Para verificar a frequência e condição de oscilação desta estrutura, devemos abrir a malha de realimentação positiva e determinar a função de transferência A(s)β(s) e aplicar o critério de Barkhausen. Observando o circuito, vemos que existem dois ramos de realimentação e ambos conduzem sinal realimentado para a entrada (–) do amplificador operacional, o que caracterizaria a existência, somente, de realimentação negativa. Entretanto, a rede RC do outro ramo de realimentação provoca um desvio na fase do sinal realimentado. Desta forma, em determinadas condições a serem determinadas, por esta malha, o critério de barkausen pode ser atendido, fazendo com que o circuito oscile. Para esta análise, a malha que deve ser aberta para determinação da frequência e condição de oscilação é a malha que contem a rede RC.

Interrompendo o circuito conforme indicado na figura e aplicando um sinal Vt, a função de

transferência A(s)β(s) pode ser obtida utilizando o método das malhas para análise de circuitos: 2 3 2 2 1 1 2 0 0 0 1 _{1 1 1} 0 _{2 2} 1 2 1 0 t t R R v sC R R sC R R v i R R _{R R R R} sC _{sC sC sC} R R R sC R R sC + − − + − = =       + − _{ +   + −  + }       − + − − + U1 + -OUT C C C Rf R R Vo t

V

+

−

r

V

+

−

i

1

i

2

i

3 _{terra virtual}

(

)

3 2 3 2 2 3 2 ₁ 3 4 1 _{3 4} f f r f t t s R C R s RC R v i R v v sRC sRC _sRC sRC = − = − = − + + _{+ +}

Aplicando o critério de Baerkhausen:

2 2 : 1 3 4 o o f r t o o para s jw w RC R v A v j w RC w RC

β

= = =   − +    

( )

2 2 0 1 1 1 3 0 3 3 o o o o A w RC w w w RC RC RC

β

= − = ⇒ = ⇒ = 

Na frequência ω tem-se a condição de oscilação: _o

( )

2 2 2 2 2 2 4 4 1 12 1 4 3 o o f f f w w o w RC R A R R R w RC RC RC

β

₌ = = ⇒ = = ⇒ =

Usando o controle de ganho no amplificador:

Vo R1 R2 R2 R1 VCC + VCC -D1 D2 U1 + -OUT C C C Rf R R

OSCILADORES LC Oscilador Colpitts

Considerar:

Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):

Aplicando lei de Kirchoff no coletor

(

Σ =i 0

)

:

2 1 ( 1) 0 1 / / c b fe b o V i sr C h i r sC π ′ + + + =      

[

2

]

2 1 ( 1) ( 1) 0 1 1 b b fe b o i sr C sL r i sr C h i sC r π π π ′ + + ′ + + + =   +     R2 RE C2 C1 Q1 L VCC + R1 C→ ∞ C→ ∞ L→ ∞ C→ ∞ 1/ / 2 B R =R R r_π b

i

i ′



b

r

_π

r

_π

r

_o sC1₁ 2 1 sC sL fe b h i c V 2 ( 1) b i sr C′ _π +



[

]

2 2 1 1 ( 1) ( 1) 0 b fe b b o i sr C h i i sr C sL r sC r π π π   ′ + + + ′ + + ⋅_ + _ =  

[

]

2 2 1 1 ( 1) ( 1) b fe b o i h A i sr C sr C sL r sC r π π π

β

= ′ = −   + + + + _ + _  

(

2

)

2 2 1 1 ( 1) b fe b o i h A i sr C s LC r sL r sC r π π π

β

= ′ = −   + + + + _ + _   2 3 2 2 1 2 1 2 1 1 b fe b o o o i h A r sL r i sr C s LC s LC C r s LC sr C r r r π π π π π

β

= ′ = − + + + + + + + 3 2 1 2 2 1 2 1 1 b fe b o o o i h A i r L r s LC C r s LC LC s r C r C r r r π π π π π

β

= ′ = −     + _ + _+ _ + + _+ +     Para s = jω_o 3 2 1 2 2 1 2 1 1 b fe b o o o o o o i h A i r L r j LC C r LC LC j r C r C r r r π π π π π

β

ω

ω

ω

′ − = =     − − _ + _+ _ + + _+ +     3 2 2 1 1 2 2 1 1 b fe b o o o o o o i h A i _{L r r} j r C r C LC C r LC LC r r r π π π π π

β

ω

ω

ω

′ − = =       + + − − + + +            

Aplicando o critério de Barkhausen: 0 A β =  2 3 2 1 1 2 o o o L r C r C LC C r r π π π

ω

_ + + _=

ω

  2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 o o o o L r C r C r C C LC C r C C r r L C C π π π π

ω

ω

  + +     = ⇒ = + + Fazendo: 1 2 1 2 1 2 1 2 o o C C L L C C r r r r C +C  π ⇒ C +C  π 2 1 2 1 2 1 1 1 o o eq eq C C LC LC L C C

ω

≅ = ⇒

ω

≅ + 1 o A_{ω ω} β ₌ = 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 fe fe o o o o o h h A r r r r LC LC LC LC C C r r r r L C C π π π π

β

ω

− − = = =     − _ + _+ + − _ + _+ +     + 1 2 1 2 _{2 1} 1 2 1 2 1 1 _{1 1 1} fe fe o o _{o o} h h A r r C C C C _{C r C r} C r C r _{C r C r} π π _{π π}

β

= − = − = + + _{   } − − + + _{− +  − + + +}    

2 1 2 1 1 2 1 2 1 fe fe o o h h A r r C C C C C r C C r C π π

β

= − = = − − + Na prática: 2 1 1 2 fe o r C C h C r C π > +

Oscilador Hartley

Considerar:

Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):

Aplicando lei de Kirchoff no coletor

(

Σ =i 0

)

:

( )

2 1 1 0 / / c b fe b o r V i h i sL r sL π   ′_ + +_ + =   2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 b b fe b o r i r sL sC r i h i sL r sL π π π    ′ _ + _ + _   _{  } ′_ + _+ + =     +     b

i

i ′



b

r

_π

r

_π

r

_o sL1 sL2 1 sC fe b h i c V 2 1 b r i L

s

π ′



_

₊



_







RE C Q1 L1 VCC + R1 L2 R2 C→ ∞ C→ ∞ L→ ∞ C→ ∞ 1/ / 2 B R =R R r_π

2 2 1 1 1 1 1 1 0 b fe b b o r r i h i i r sL sL sC r sL π π π         ′_ + +_ + ′ _ + _ + _⋅_ + _ =        2 2 1 1 1 1 1 1 b fe b o i h A i _{r r} r sL sL sC r sL π π π

β

= ′ = −         + +_ + + _⋅ +              2 2 ₁ 2 2 2 1 b fe b _o o i h A i sL r sL r sL r r sL s L C sr L π π π

β

= ′ = −  +  ₊ + ₊ _⋅ +             

(

2

)

(

)

2 2 1 2 3 2 1 2 b fe b _o o i h A i _{sL r s r L C sL r sL r} sL s r L L C π π π

β

= ′ = −  + + +   + _{+ }      _{  }

(

)

(

) (

)

3 1 2 3 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 fe o b b o o o o o h s r L L C i A i s r L L C s r r L C_π s r L L C_π s L L s rL_π s r r L C_π s rL r r_π

β

= ′ = − + + + + + + +

(

)

(

)

(

) (

)

3 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 fe o b b o o o o o h s r L L C i A i s r r_π L L C s L L r r L C_π r r L C_π s r L_π r L r r_π

β

= ′ = − + + + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 fe o b o b o o o o h s r L L C i A r r i s r r L L C s L L r r L C r r L C s r L r L s π π π π π

β

/ − ′ = = + + + + + + + Para s = jω_o

(

)

(

)

(

) (

)

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 fe o o b o b o o o o o o o h r L L C i A r r i r r_π L L C j L L r r L C_π r r L C_π r L_π r L j π

ω

β

ω

ω

ω

− − ′ = = − + + + + + + −

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 fe o o b b o o o o o o o o h r L L C i A i r r r r_π L L C r L_π r L j L L r r L C_π r r L C_π π

ω

β

ω

ω

ω

− − ′ = =   − + + + + _ + + − _  

Aplicando o critério de Barkhausen:

0 A β = 

(

1 2 1 2

)

o o o o o r r L L r r L C_π r r L C_π π

ω

ω

+ + =

(

)

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 o o o o o o r r L L L L r r L C r r L C L L C r r π π π π

ω

= ⇒

ω

= + + _{+ +} Fazendo:

(

)

1 2

₍

1 2

₎

1 2 1 2 o o L L L L L L C r r r r_π L L C π + ⇒ +  

(

)

2 1 2 1 1 1 o o eq eq L L C L C L C

ω

≅ = ⇒

ω

≅ + 1 o A_{ω ω} β ₌ =

(

)

(

)

(

)

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 fe o o _{fe o} o o o o o o h r L L C _{h r} A r r L L C r L r L r L r L r r L L C π π π π

ω

β

ω

ω

− − ₋ = = = − + + +  +  + −    

2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 fe o fe o o o o o h r h r A L L r r r r r L r L _{L L} r r L L L L π π π π

β

= − = − =       + − + − +  ₊            + −    ₊    2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 fe o fe o o o o h r h r A L L L L _{r r} r r r r L L L L π π π

β

= − = − =     _{− −} + − +_{ } − +_{ }     2 1 1 2 1 2 2 1 fe o o fe L L L L h r r r h r L π L L L π = + + ⇒ = + Na prática: 2 1 2 1 fe o L r L h L L r π > +

OSCILADOR A CRISTAL Cp L Vt Vr A Cp > > Cs Circuito Equivalente XTAL Símbolo Z2 Z1 Z3 XTAL Cs R

(

)

(

)

2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 ₁ s s s _{s p p s p s p} p p s s p s s s LC LC Z s sC _{s LC C s C C sC C C} sC sC _s s LC _{LC C} sL sC + + = = = = ⋅ + + + + + ₊ + +

(

)

2 3 2 1 1 ( ) s p s p s p s j LC Z j j C C C LC C ω ω ω ω ω = − = − ⋅ + −

(

)

2 2 2 3 2 2 2 1 1 ( ) onde: como 1 s s p s s p s p s p p p s p s p LC Z j j C C C C C L C C ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω      ₌    >  −    = − ⋅ _{ } >> ⇒_ ≈ − _{  }  =     ₊   

Pode-se observar que Z3(jω)= jX

( )

ω . A reatância X

( )

ω é indutiva na faixa ω ω ωs < < p. Então,

nesta faixa de frequência, o cristal se comporta como um indutor, e o circuito se torna um oscilador Colpitts.

Curva de reatância do cristal:

Calculando-se Aβ , obtém-se:

(

1 2 31

)

2 2

(

1 3

)

r t v AZ Z A v R Z Z Z Z Z Z β = = + + + + Considerando _{1 2} 1 2 1 1 Z e Z j Cω j Cω

= = , temos para a frequência ω ω= _o:

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 o o s o s o o o p o p o o o p o p A C C A jR C C C C C C ω β ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − =   ₋    ₋  − − − + − −  _ _  _ _ − −          

0

X(ω)

ω

s

ω

p

ω

indutivo capacitivo 3 Z é indutivo para ω_s < <ω ω_p XTAL L

≡

Aplicando o critério de Barkhausen: 0 1 o A β ω =  1 1 o C + ω ₂ 1 o C + ω 2 2 2 2 0 o s o p p C ω ω ω ω  ₋  =    ₋    Explicitando 2 o ω , vem: 2 2 1 2 1 2 1 1 1 s , como o p s o s s p C C C C C LC _C LC C C ω ω     =  +   ₊   +      1 A β = 2 1 o A A ω β − = C C1 2 1 o ω C2 1 o ω − 1 1 o C − ω 2 2 2 2 1 o s o p p C ω ω ω ω =   ₋   _{ −} _      2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 o s o s p o p p o p C A A C C C C ω ω ω ω ω ω ω ω  ₋   ₋  = + _ _ ⇒ = + _ _ − −     como ωp ≅ωs, então: 2 2 1 2 2 1 o s p o p C A C ω ω ω ω  ₋  = + _ _ −   ( 1) 1 ₁ p C A C ≅−   ⇒ = −_ − _  