ΤΡΑΧΑΝΑΣ- ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι (ΠΕΚ)

´ÐÙÈÊàÊΠ

¾ ÈØÓÖÔÐÑÖ Ú ÛÈÒÈÔÛàÛÎ Ú ÌРÔÈÐ, ÉÌÉÈРàÚ, ÛÖ ×ÐÖ ûÑÒÈÙÐÑÖ ý È×Ö  Ö ÒÈ ÛÈ ×ØÖ-ÉÒΠÓÈÛÈ ÛÎÚ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ÓÎÞÈÔÐÑΠÚ. ¶ ÙÞÌÛÐÑΠ ÏÌàØÐ È ÌРÔÈÐ ×ÖÒÜ  È×ÒΠ. °Ô Ì ÔÈ Ùà ÓÈ ÓÈ ÍÈÚ m Ü×Ö ÑÌÐÛÈÐ ÙÌ ÓÐÈ ËÜ ÔÈÓÎ F ˆ ÿkx …7:1† ×ÖÜ ÌРÔÈÐ ÈÔÈ ÒÖÊÎ ÛÎÚ È×ÖÓÈ ÑØÜÔÙÎÚ È×Ö  ÛÖ ÌÒÑÛÐÑÖ  ÑÌ ÔÛØÖ ÙÛÖ x ˆ 0, ÛÖ ÛÌ Î ÌÕРÙàÙÎ ÛÖÜ ¼ÌÜ ÛàÔÈ ÏÈ ÊØÈ ÝÌÛÈÐ àÚ mx ˆ ÿkx ) x ‡ !2_{x ˆ 0; ! ˆ}  k m r ÑÈÐ Î ÒÜ ÙÎ ÛÎÚ ÏÈ Ì ÞÌÐ ÛÎÔ ÎÓÐÛÖÔÐÑΠ ÓÖØÝΠ x…t† ˆ A cos…!t ‡ † …7:2† ×ÖÜ ÈÔÛÐ×ØÖÙà×ÌÜ ÌÐ ÓÐÈ ÈØÓÖÔÐÑΠ ÛÈÒÈ ÔÛàÙÎ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÓÌ ÙÜÞÔÖ ÛÎÛÈ ! ˆpk=mÑÈÐ ×ÌØРÖËÖ T ˆ2 ! ˆ 2  m k r ×ÖÜ ÌРÔÈÐ ÈÔÌÕÈ ØÛÎÛÎ È×Ö  ÛÖ ×ÒÈ ÛÖÚ ÛÎÚ ÛÈÒÈ ÔÛàÙÎÚ, ËÎÒÈËΠ ÛÎ ÙÛÈÏÌØÈ  A ÙÛÎ ÒÜ ÙÎ (7.2). ¶ ËÜ ÔÈÓÎ (7.1) È×ÖØØÌ ÌÐ È×Ö  Ì ÔÈ ËÜÔÈÓÐÑÖ  V …x† ×ÖÜ ×ØÖÙËÐÖØРÍÌÛÈÐ È×Ö  ÛÎ ÊÔàÙÛΠ ÙÞÌ ÙÎ F ˆ ÿkx ˆ ÿdV dx ) V ˆ 1 2kx2

ÑÈÐ ÌРÔÈÐ ÊÔàÙÛÖ  àÚ ×ÈØÈÉÖÒÐÑÖ  ËÜÔÈÓÐÑÖ  Π ËÜÔÈÓÐÑÖ  ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ ÑÈÐ ÓÌ ÞÈØÈÑÛÎØÐÙÛÐÑΠ ÓÖØÝΠ Ö ×àÚ ÈÜÛΠ ÛÖÜ ÁÞΠÓÈÛÖÚ 7.1. ¶ Ù×ÖÜËÈÐÖ ÛÎÛÈ ÛÖÜ ×ÈØÈÉÖÒÐÑÖÜ  ËÜÔÈÓÐÑÖÜ  ÖÝÌРÒÌÛÈÐ ÙÛÖ ÊÌÊÖÔÖ Ú Ö ÛÐ È×ÖÛÌÒÌР ÓÐÈ ×ÖÒÜ  ÑÈÒΠ ×ØÖÙÌ ÊÊÐÙÎ ÌÔÖ Ú ÛÜÞÖ ÔÛÖÚ ËÜÔÈÓÐÑÖÜ  ÙÛÎ ÊÌÐÛÖÔÐÈ  ÌÔÖ Ú ÙÎÓÌРÖÜ ÌÜÙÛÈÏÖÜ Ú ÐÙÖØØÖ×РÈÚ ÛÖÜ. ¿ØÈ ÊÓÈÛÐ, Ü×ÖÏÌ ÙÛÌ Ö ÛÐ ÓÈÚ ËРÔÌÛÈÐ Ì ÔÈ ÛÜÞÖ Ô ÓÖÔÖËÐÈ ÙÛÈÛÖ ËÜÔÈÓÐÑÖ  V …x† ×ÖÜ Ì ÞÌÐ Ì ÔÈ ÌÒÈ ÞÐÙÛÖ, ËÎÒÈËΠ Ì ÔÈ ÙÎÓÌÐ Ö ÌÜÙÛÈÏÖÜ Ú ÐÙÖØØÖ×РÈÚ, ÙÛÖ x ˆ 0 ÙÛÖ Ö×ÖÐ Ö Ì×ÐÒÌ ÕÈÓÌ ÔÈ ÛÖ×ÖÏÌÛΠÙÖÜÓÌ ÑÈÐ ÛÎÔ ÈØÞΠ ÛÖÜ ÙÞÌÛÐÑÖÜ  È ÕÖÔÈ. °Ô ÈÔÈ×ÛÜ ÕÖÜÓÌ Ûà ØÈ ÛÎ ÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ V …x† ÙÌ ËÜÔÈÓÖÙÌÐØÈ  Taylor ÊÜ Øà È×Ö  ÛÖ x ˆ 0, ÏÈ Ì ÞÖÜÓÌ V …x† ˆ V …0† ‡ V0_{0†x ‡}1 2V00…0†x2‡ 1 1 1 …7:3†  ¾ÓàÚ ÈÝÖÜ  ÛÖ x ˆ 0 ÌРÔÈÐ ÙÎÓÌÐ Ö ÐÙÖØØÖ×РÈÚ, ÏÈ ÌРÔÈÐ V0_{0† ˆ 0 ÌÔà  ÏÈ ÌРÔÈÐ} Ì×РÙÎÚ V00_{0† ˆ k > 0 ÈÝÖÜ  ×ØÖ ÑÌÐÛÈÐ ÊÐÈ Ì ÔÈ ÛÖ×ÐÑÖ  ÌÒÈ ÞÐÙÛÖ ÛÎÚ V …x†.} ´×Ð×ÒÌ ÖÔ, ÓÐÈ ÑÈÐ Î ÙÛÈ ÏÓÎ ÈÔÈÝÖØÈ Ú ÛÎÚ ËÜÔÈÓÐÑÎ Ú ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ Ó×ÖØÌР ÔÈ Ì×ÐÒÌÊÌР ÑÈÛÈ  ÉÖÜ ÒÎÙÎ, ÛÎ ËÐÈÒÌ ÊÖÜÓÌ Ì ÛÙÐ à ÙÛÌ ÔÈ ÌРÔÈÐ V …0† ˆ 0, Ö×Ö ÛÌ Î (7.3) ÊØÈ ÝÌÛÈÐ ÛÌÒÐÑÈ  àÚ V …x† ˆ1₂kx2_{‡ 1 1 1} Ö ×ÖÜ ÖÐ ÈÔà ÛÌØÌÚ ËÜÔÈ ÓÌÐÚ ÙÛÖ ÈÔÈ ×ÛÜÊÓÈ Ó×ÖØÖÜ Ô ÔÈ ÈÓÌÒÎÏÖÜ Ô ÊÐÈ ÓÐÑØÈ  x ÿËÎÒÈËΠ ÊÐÈ ÓÐÑØÌ Ú ÛÈÒÈÔÛà ÙÌÐÚ ÊÜ Øà È×Ö  ÛÖ ÙÎÓÌÐ Ö ÐÙÖØØÖ×РÈÚÿ ÑÈÐ Ì ÛÙÐ Ì×ÐÍÌР ÛÌÒÐÑÈ  ÓÖ ÔÖ Ö û×ÈØÈÉÖÒÐÑÖ Ú Ö ØÖÚý ÑÈÐ ÓÈÚ ×ÈØÌ ÞÌÐ ÓÐÈ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÎÛÐÑΠ ×ØÖÙÌ ÊÊÐÙÎ ÛÖÜ ÈØÞÐÑÖÜ  ËÜÔÈÓÐÑÖÜ  ÙÛÎ ÊÌÐÛÖÔÐÈ  ÛÖÜ ÌÒÈÞРÙÛÖÜ ÛÖÜ (ÁÞ. 7.2). ÁŶ»°7.1:ÂÖ ËÜÔÈÓÐÑÖ  ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ.

1. ºÃÁ¶ ¶Á ´½¸ÁÇÁ¶Á 285 ¶ ×ÈØÈÉÖÒÐÑΠ ×ØÖÙÌ ÊÊÐÙÎ ÿÖ ×àÚ ÌРÔÈÐ ÌÜ ÒÖÊÖ ÔÈ È×ÖÑÒÎÏÌР Î ×ÈØÈ×È Ôà ËÐÈËÐÑÈÙРÈÿ ÉØРÙÑÌÐ È ÓÌÙÎ ÈÕÐÖ×ÖРÎÙÎ ÙÛÎ ÓÌÒÌ ÛÎ ÛÎÚ ËÖÔÎÛÐÑÎ Ú ÑРÔÎÙÎÚ ÛàÔ ËÐÈÛÖÓÐÑà Ô ÓÖØРàÔ, Ö ×àÚ ÏÈ ËÖÜ ÓÌ ÈØÊÖ ÛÌØÈ.

1. ºÜ ÙÎ ÛÎÚ ÌÕРÙàÙÎÚ SchroÈdinger

²ÐÈ ÛÖÔ ÑÉÈÔÛÖÓÎÞÈÔÐÑÖ  ÞÌÐØÐÙÓÖ  ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ Î ÌÕРÙàÙÎ ÛÖÜ ¼ÌÜ ÛàÔÈ ÏÈ ÈÔÛÐÑÈÛÈÙÛÈÏÌР, ÉÌÉÈРàÚ, È×Ö  ÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ SchroÈdinger 00_‡2m h2 ÿ E ÿ V …x†1 ˆ 0 Î Ö×ÖÐ È ÊÐÈ V …x† ˆ1 2kx2 ˆ12m!2x2 ×ÈРØÔÌÐ ÛÎ ÓÖØÝΠ 00_‡2m h2 E ÿ 1 2m!2x2   ˆ 0 …7:4† ÑÈÐ ÛÖ ÈÔÈÓÌÔÖ ÓÌÔÖ È×ÖÛÌ ÒÌÙÓÈ È×Ö  ÛÎ ÒÜ ÙÎ ÛÎÚ ÌРÔÈÐ Î ÑÉÈ ÔÛàÙÎ ÛÎÚ Ì-ÔÌ ØÊÌÐÈÚ, ÌÝÖ ÙÖÔ ÑÈÐ ÙÛÖ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÖ ÑÒÈÙÐÑÖ  ×ØÖ ÉÒÎÓÈ Î ÑРÔÎÙÎ ÌРÔÈÐ ×È ÔÛÈ ËÌ ÙÓÐÈ. ·È ×ÈØÖÜÙÐÈ ÙÖÜÓÌ ÛÎ ËÐÈËÐÑÈÙÐ È Ì×РÒÜÙÎÚ ÛÎÚ (7.4) ÙÌ ÛÌ ÙÙÌØÈ ÉÈ-ÙÐÑÈ  ÉΠÓÈÛÈ. ÁŶ»°7.2:ÁÛÎ ÊÌÐÛÖÔÐÈ  ÛÖÜ ÌÒÈÞРÙÛÖÜ ÛÖÜ ÑÈ ÏÌ ËÜÔÈÓÐÑÖ  V …x† Ó×ÖØÌР ÔÈ ×ØÖÙÌÊÊÐÙÛÌР È×Ö  ÛÖ ËÜÔÈÓÐÑÖ  ÌÔÖ Ú ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ. SCHR ODINGER

±¶»° 1: ³ÐÈÙÛÈÛÐÑΠ È×ÒÖ×ÖРÎÙÎ ÛÎÚ ÌÕÐÙà ÙÌàÚ  ´ÔÈ ×Øà ÛÖ ÉÈÙÐÑÖ  ÉΠÓÈ ÊÐÈ ÛÎ ÒÜ ÙÎ ÛÎ Ú (7.4) ÌРÔÈÐ ÔÈ È×ÒÖ×ÖÐΠÙÖÜÓÌ ÛÎ ÓÖØÝΠ ÛÎÚ ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐà ÔÛÈÚ ÛÎ ÓÌ ÏÖËÖ ÛÎÚ ËÐÈÙÛÈÛÐÑÎ Ú ÈÔÈ ÒÜÙÎÚ. ¶ ÉÈÙÐÑΠ ÐËÌ È ÌРÔÈÐ È×ÒΠ. ´ÝÖ ÙÖÔ ÖÐ ÈØÐÏÓÎÛÐÑÌ Ú ÛÐÓÌ Ú ÛàÔ ÛØÐà Ô ×ÈØÈÓÌ ÛØàÔ h; m ÑÈÐ ! ÌÕÈØÛà ÔÛÈÐ È×Ö  ÛÖ ÙÜ ÙÛÎÓÈ ÛàÔ ÛØÐà Ô ÉÈÙÐÑà Ô ÓÖÔÈ ËàÔ L; M; T ×ÖÜ ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐÖÜ ÓÌ, Ó×ÖØÖÜ ÓÌ ×È ÔÛÈ ÿÓÌ ÑÈÛÈ ÒÒÎÒÎ ÌÑÒÖÊΠ ÈÜÛà Ô ÛàÔ ÉÈÙÐ-Ñà Ô ÓÖÔÈ ËàÔÿ ÔÈ ÛÖÜÚ Ëà ÙÖÜÓÌ Ö×ÖÐÈËΠ×ÖÛÌ ÈØÐÏÓÎÛÐÑΠ ÛÐÓΠ ÏÌ ÒÖÜÓÌ ÑÈÐ, ÌÐËÐÑÖ ÛÌØÈ, Ó×ÖØÖÜ ÓÌ ÔÈ ÛÐÚ ÑÈ ÔÖÜÓÌ ÑÈÐ ÛÐÚ ÛØÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÈ. »×ÖØÖÜ ÓÌ ËÎÒÈËΠ ÔÈ ÏÌ ÙÖÜÓÌ ÙÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ Schrodinger h ˆ m ˆ ! ˆ 1 ÑÈÐ ÈÝÖÜ  ÛÎ ÒÜ ÙÖÜÓÌ ÙÌ ÈÜÛΠ ÛÎÔ È×ÒÖ×ÖÐÎÓÌ ÔÎ ÿÑÈÐ ÈËÐÈ ÙÛÈÛÎ ×ÒÌ ÖÔÿ ÊØÈÝΠ ÔÈ Ì×ÈÔÈÝÌ ØÖÜÓÌ ÛÎÔ ÌÕÈ ØÛÎÙÎ È×Ö  ÛÈ h; m ÑÈÐ ! ÙÛÈ ÛÌÒÐÑÈ  È×ÖÛÌ-ÒÌ ÙÓÈÛÈ. °Ú ÈÝΠÙÖÜÓÌ Ö ÓàÚ ÌÑÑØÌÓÌ Ú ÊÐÈ ÛÎÔ à ØÈ ÛÖ ÏÌ ÓÈ ÛÎÚ ûËÐÈÙÛÈÛÐÑÎ Ú È×ÖÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎÚý ÑÈÐ ÈÚ ËÖÜ ÓÌ ×à Ú ÒÜ ÔÌÛÈÐ Î ËÐÈÙÛÈÛÐÑÈ  È×ÒÖ×ÖÐÎÓÌ ÔÎ ÌÕРÙàÙÎ Schrodinger 00_{‡ …2E ÿ x}2_{† ˆ 0 …7:5†} ÛÎÚ Ö×ÖРÈÚ Î ÓÖØÝΠ ÌРÔÈÐ ÿÈÔ ÓÎ ÛÐ È ÒÒÖÿ ×ÖÒÜ  ûÝÐÒÐÑÖ ÛÌØÎý È×Ö  ÛÎÔ ÈØÞÐÑΠ. ±¶»° 2: °ÔÈÍΠÛÎÙÎ ÛàÔ ÒÜ ÙÌàÔ ×ÖÜ ÓÎËÌÔРÍÖÔÛÈÐ ÙÛÖ È ×ÌÐØÖ: ¶ ûÈÝÈРØÌÙÎý ÛÖÜ ÈÙÜÓ×ÛàÛÐÑÖÜ  ×ÈØÈ ÊÖÔÛÈ ³ÌËÖÓÌ ÔÖÜ Ö ÛÐ ÈÔÈÍÎÛÖÜ ÓÌ ÒÜ ÙÌÐÚ ×ÖÜ ÓÎËÌÔРÍÖÔÛÈÐ ÙÛÖ 6 1, ÛÖ ÈÔÈÊÑÈÐ Ö Ì×Ö ÓÌÔÖ ÉΠÓÈ ÌРÔÈÐ ÔÈ ÓÌÒÌÛΠÙÖÜÓÌ ÛÎÔ (7.5) ÙÛÎ ÊÌÐÛÖÔÐÈ  ÛÖÜ È×ÌРØÖÜ ÊÐÈ ÔÈ ËÖÜ ÓÌ ×à Ú ÙÜÓ×ÌØÐÝÌ ØÌÛÈÐ Î ÒÜ ÙÎ ÌÑÌР ÑÈÐ ÔÈ Ì×ÐÒÌ ÕÖÜÓÌ ÌÑÌРÔÎ ÛÎÔ ÛÖ×ÐÑΠ ÒÜ ÙÎ ÿÙРÊÖÜØÈ ÑÈ ×ÖÐÖ ÝÏРÔÖÔ ÌÑÏÌÛÐÑÖ ÿ ×ÖÜ ÏÈ ÓÈÚ ÌÕÈÙÝÈÒРÙÌÐ ÛÖÔ Ì×Ð-ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÖ ÓÎËÌÔÐÙÓÖ . ¿ØÈ ÊÓÈÛÐ ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x ÿÖ ×ÖÜ ÛÖ 2E ÌРÔÈÐ ÈÓÌÒÎÛÌ Ö Ó×ØÖÙÛÈ  ÙÛÖ x2_{ÿ Î (7.5) ×ÈРØÔÌÐ ÛÎÔ ÈÙÜÓ×ÛàÛÐÑΠ ÓÖØÝÎ}  00 1ÿ x2 1ˆ 0 …7:6† Ö ×ÖÜ Ö ËÌРÑÛÎÚ 1 ÙÛÖ ÌРÔÈÐ ÊÐÈ ÔÈ ÓÈÚ ÏÜÓРÍÌÐ Ö ÛÐ ×ØÖ ÑÌÐÛÈÐ Ö ÞÐ ÊÐÈ ÛÎÔ ×ÒΠØÎ ÒÜ ÙÎ ÈÒÒÈ  ÊÐÈ ÛÎÔ ÖØÐÈÑΠ ÓÖØÝΠ ÛÎÚ ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x. ·ÌàØà ÔÛÈÚ ÌÜ ÒÖÊÖ Ö ÛÐ Î ÒÜ ÙÎ ÛÎÚ (7.6) ÿÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x ×È ÔÛÈÿ ÏÈ ÌРÔÈÐ Ì ÔÈ ÌÑÏÌÛÐÑÖ , ÛÖ È×ÒÖÜ ÙÛÌØÖ ×ÖÜ Ó×ÖØÖÜ ÓÌ ÔÈ ÙÑÌÝÛÖÜ ÓÌ ÌРÔÈÐ ÛÖ 1ˆ eÿx2 …7:7† ÛÖ Ö×ÖРÖ, ÒÖ Êà ÛÖÜ x2 _{ÙÛÖÔ ÌÑÏÌ ÛÎ, ÓÈÚ ÌÕÈÙÝÈÒРÍÌÐ Ö ÛÐ Î ÒÜ ÙÎ ÏÈ} ÓÎËÌ-ÔРÍÌÛÈÐ ÛÖ ÙÖ ÙÛÖ ‡ 1 Ö ÙÖ ÑÈÐ ÙÛÖ ÿ 1. »Ì ÈÜÛÖ  ÛÖ ÙÑÌ×ÛÐÑÖ  ÏÈ

Ó×ÖØÖÜ -1. ºÃÁ¶ ¶Á ´½¸ÁÇÁ¶Á 287 ÙÈÓÌ, ÉÌÉÈРàÚ, ÔÈ Ì×ÐÒÌ ÕÖÜÓÌ ÓÐÈ ÛÜÞÖÜ ÙÈ È ØÛÐÈ ËÜ ÔÈÓÎ ÛÖÜ x ÙÛÖ ÌÑÏÌÛÐÑÖ , ÈÒÒÈ  Î x2 _{ÌРÔÈÐ Ö ÞÐ ÓÖ ÔÖ Î È×ÒÖÜ ÙÛÌØÎ ÈÒÒÈ  ÑÈÐ Î ÙàÙÛΠ, Ö ×àÚ ÏÈ ËÖÜ ÓÌ} ÈÓÌ ÙàÚ. ²Ð' ÈÜÛÖ Ô ÛÖÔ ÙÑÖ×Ö  ÌÐÙÈ ÊÖÜÓÌ ÛÎÔ (7.7) ÙÛÎÔ (7.6) ÑÈÐ ×ÈРØÔÖÜÓÌ ÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ …42_x2_{ÿ 2†e}ÿx2 ÿ x2_eÿx2 ˆ 0; Î Ö×ÖÐ È Ö ÓàÚ ËÌÔ ÖÝÌРÒÌÐ ÔÈ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÊÐÈ Ö ÒÈ ÛÈ x ÈÒÒÈ  ÓÖ ÔÖ ÊÐÈ ÛÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x ÌÝÖ ÙÖÔ ÓÖ ÔÖ ÌÑÌР È×ÈÐÛÖÜ ÓÌ ÔÈ ÌРÔÈÐ ÒÜ ÙÎ Î (7.7).  ¾ÓàÚ ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x ÌРÔÈÐ 42_x2_{2 ÑÈÐ Ì ÛÙÐ Î ÌÕРÙàÙÎ ÑÈÛÈÒΠÊÌÐ ÙÛÎÔ} …42_x2_{ÿ x}2_†eÿx2 ˆ 0 ×ÖÜ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÈÔ  ˆ 61=2 ÓÌ ×ØÖÝÈÔΠ ÝÜÙÐÑΠ ÌÑÒÖÊΠ ÛÎÔ  ˆ 1=2 ÈÝÖÜ  Î ÈØÔÎÛÐÑΠ ÛÐÓΠ ÛÖÜ  ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÌР ÙÌ ÒÜ ÙÎ ÿ 1ˆ ex2=2ÿ ×ÖÜ Ö ÞÐ ÓÖ ÔÖ ËÌÔ ÓÎËÌÔРÍÌÛÈÐ ÙÛÖ È ×ÌÐØÖ ÈÒÒÈ  ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ È×ÌØÐÖ ØÐÙÛÈ ÌÑÌР. »Ì ËÌËÖÓÌ ÔÖ Ûà ØÈ Ö ÛÐ ÖÐ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ ÏÈ ×ÈРØÔÖÜÔ ÙÛÎ ÊÌÐÛÖÔÐÈ  ÛÖÜ È×ÌРØÖÜ ÛÎÔ ÌÑÏÌÛÐÑÈ  ÝÏРÔÖÜÙÈ ÓÖØÝΠ 1…x† ˆ eÿx2=2 Î ÒÖÊÐÑÈ  Ì×Ö ÓÌÔÎ ûÑРÔÎÙÎý ÌРÔÈÐ ÔÈ ÊØÈ ßÖÜÓÌ ÛÎ ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÎ ×ÒΠØÎ ÒÜ ÙÎ …x† àÚ Ì ÔÈ ÊÐÔÖ ÓÌÔÖ ÛÎÚ ÓÖØÝÎ Ú …x† ˆ 1…x†H…x† ˆ eÿx2=2H…x† …7:8† ÙÛÖ Ö×ÖÐ Ö Ö ×Øà ÛÖÚ ×ÈØÈ ÊÖÔÛÈÚ ÿÛÖ ÈÙÜÓ×ÛàÛÐÑÖ  ÌÑÏÌÛÐÑÖ ÿ ÏÈ ÌÕÈÙÝÈÒРÍÌÐ ÛÖÔ Ì×ÐÍÎÛÖÜ ÓÌÔÖ ÓÎËÌÔÐÙÓÖ  ÛÎÚ ÒÜ ÙÎÚ ÙÛÖ 6 1 ÌÔà  Ö ËÌÜ ÛÌØÖÚ Ö ØÖÚ ÿÎ ÙÜÓ×ÒÎØàÓÈÛÐÑΠ ÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ H…x†ÿ ÏÈ ÛÎÚ ËРÔÌÐ ÛÎÔ ÈÔÈÓÌÔÖ ÓÌÔÎ ÑÜÓÈÛÖÌÐËΠ ÓÖØÝΠ. ³ÎÒÈËΠ ÈÜÛΠ ×ÖÜ ÈØÓÖ ÍÌÐ ÙÌ ËÌ ÙÓÐÌÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌÐÚ, ÌÑ ÛàÔ Ö×ÖРàÔ Î ÏÌÓÌÒÐà ËÎÚ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ Ì ÞÌÐ ÓÎËÌ Ô ÑÖ ÓÉÖÜÚ, Î ×Øà ÛÎ ËÐÌÊÌØÓÌ ÔÎ Ì ÔÈÔ, Î ËÌÜ ÛÌØÎ ËÜ Ö ÑÈÐ ÖÜ Ûà ÑÈÏÌÕÎ Ú ÓÌ ÞØÐ ÛÎÔ ÛÜÞÖÜ ÙÈ ÔÐÖÙÛΠ ËÐÌÊÌØÓÌ ÔÎ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ×ÖÜ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ Ì ÞÌÐ n ÑÖ ÓÉÖÜÚ. ´×Ð×ÒÌ ÖÔ, Î ÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ H…x† ÏÈ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÓÎÔ ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ ÙÛÖ È ×ÌÐØÖ ×ÐÖ ÊØΠÊÖØÈ È×Ö  Ö ,ÛÐ ÝÏРÔÌÐ ÛÖ ÈÙÜÓ×ÛàÛÐÑÖ  ÌÑÏÌÛÐÑÖ  eÿx2₌₂ à ÙÛÌ ÔÈ ÓÎÔ ÈÑÜØàÏÌР ÌÑ ÛàÔ ÜÙÛÌ ØàÔ Ö Ì×ÐÍÎÛÖÜ ÓÌÔÖÚ ÓÎËÌÔÐÙÓÖ Ú ÛÎÚ ÒÜ ÙÎÚ ÙÛÖ È ×ÌÐØÖ. ¶ ×ÐÖ ×ØÖÝÈÔÎ Ú ×ÌØР×ÛàÙÎ ÙÜÔÈØÛΠÙÌàÚ H…x† ×ÖÜ ÈÔÛÈ-×ÖÑØРÔÌÛÈÐ ÙÌ ÈÜÛÌ Ú ÛÐÚ ×ØÖËÐÈÊØÈÝÌ Ú ÿÔÈ ÓÎÔ ûÌÕÖÜËÌÛÌØà ÔÌÐý ÛÖ ÈÙÜÓ×Ûà-ÛÐÑÖ  ÌÑÏÌÈÙÜÓ×Ûà-ÛÐÑÖ  ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x ÑÈÐ ÔÈ Ì ÞÌÐ Ì ÔÈÔ ËÌËÖÓÌ ÔÖ ÈØÐÏÓÖ  ØÐÍà Ô РÙÖ ÓÌ nÿ ÌРÔÈÐ, ÉÌÉÈРàÚ, Ì ÔÈ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ ÉÈÏÓÖÜ  n. ¹È ÔÖÜÓÌ ÒÖÐ×Ö Ô ÛÎÔ Ü×Ö ÏÌÙÎ (È×Ö-ÒÜ ÛàÚ ÌÜ ÒÖÊÎ È×Ö  ÝÜÙÐÑÎ Ú ×ÒÌÜØÈ Ú) Ö ÛÐ Î ÙÜÓ×ÒÎØàÓÈÛÐÑΠ ÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ H…x† ÙÛÎÔ (7.8) ÏÈ ÌРÔÈÐ ÛÌÒÐÑÈ  Ì ÔÈ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ Hn…x† ÛÖÜ Ö×ÖРÖÜ Ö ÉÈÏÓÖ Ú n ÏÈ ×ÈРØÔÌÐ Ö ÒÌÚ ÛÐÚ ÛÐÓÌ Ú È×Ö  n ˆ 0 (ÏÌÓÌÒÐà ËÎÚ ÙÛÈ ÏÓÎ) Ì àÚ n ˆ 1, ÌÝÖ ÙÖÔ ÈÔÈÓÌ ÔÖÜÓÌ ÿÒÖ Êà ÛÎÚ ÓÖØÝÎ Ú ÛÖÜ ËÜÔÈÓÐÑÖÜ ÿ Ö ÛÐ ÛÖ ×ØÖ ÉÒÎÓÈ ÏÈ Ì ÞÌÐ Ì ÔÈ È ×ÌÐØÖ ×ÒΠÏÖÚ ËÌ ÙÓÐàÔ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌàÔ. SCHR ODINGER

°×Ö  ÓÈÏÎÓÈÛÐÑÎ Ú ×ÒÌÜØÈ Ú, ÉÌÉÈРàÚ, Î (7.8) ËÌÔ ÌРÔÈÐ ×ÈØÈ  ÓÐÈ ÈÒÒÈÊΠ ÌÕÈØÛÎÓÌ ÔÎÚ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎ Ú ÿÓÌ ×ÈÒÐÈ  ÓÌÛÈÉÒÎÛΠ ÛÎÔ …x† ÑÈÐ ÔÌ È ÛÎÔ H…x†ÿ Î Ö×ÖÐ È ÏÈ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÌÐÙÈÞÏÌР ÙÛÎÔ ÈØÞÐÑΠ ÌÕРÙàÙÎ (7.5) ÊÐÈ ÔÈ ÓÈÚ Ëà ÙÌÐ ÓÐÈ ÔÌ È ÌÕРÙàÙÎ ÊÐÈ ÛÎ ÔÌ È È ÊÔàÙÛÎ ÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ H…x†. ¿ØÈ ÊÓÈÛÐ, ÑÈ ÔÖÔÛÈÚ ÈÜÛΠ ÛÎÔ ÈÔÛÐÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ, ×ÈРØÔÖÜÓÌ H00_{ÿ 2x H}0_{‡ …2E ÿ 1†H ˆ 0 …7:9†} ÑÈÐ È×ÖÓÌ ÔÌÐ ÔÈ ËÐÌØÌÜÔΠÙÖÜÓÌ ÈÔ ÈÜÛΠ Î ÌÕРÙàÙÎ ËÐÈÏÌ ÛÌÐ Ö ÔÛàÚ ×ÖÒÜ-àÔÜÓÐÑÌ Ú ÒÜ ÙÌÐÚ ÿÖ ×àÚ Ü×ÖÏÌ ÙÈÓÌÿ Π Ö ÞÐ. ±¶»° 3: °ÔÈÍΠÛÎÙÎ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑà Ô ÒÜ ÙÌàÔ ²ÐÈ ÛÖÔ ÈÔÈÊÔà ÙÛÎ ×ÖÜ Ì ÞÌÐ ×ÈØÈÑÖÒÖÜÏΠÙÌÐ Ì ÔÈ ÌÐÙÈÊàÊÐÑÖ  ÓÈ ÏÎÓÈ ËÐÈ-ÝÖØÐÑà Ô ÌÕÐÙà ÙÌàÔ, Î ûÏÌ Èý ÓÐÈÚ ÌÕÐÙà ÙÌàÚ Ö ×àÚ Î (7.9) ÏÈ ÛÖÜ ×ØÖÑÈÒÌ ÙÌÐ ÓÈ ÒÒÖÔ ÈÔÈ ÓÐÑÛÈ ÈÐÙÏΠÓÈÛÈ. ·È ËÐÈ×ÐÙÛà ÙÌÐ ÑÈÛ' ÈØÞÈ Ú Ö ÛÐ ×ØÖ ÑÌÐÛÈÐ ÊÐÈ ÓÐÈ ÊØÈÓÓÐÑΠ (ÑÈÐ ÖÓÖÊÌÔΠ) ÌÕРÙàÙÎ, ÛÖ Ö×ÖÐ Ö ÌРÔÈÐ ÙРÊÖÜØÈ ÑÈÏÎÙÜÞÈÙÛÐÑÖ  ËÌËÖÓÌ ÔÖÜ Ö ÛÐ ÖÐ ÓÎ ÊØÈÓÓÐÑÌ Ú ÌÕÐÙà ÙÌÐÚ ÓÖ ÔÖ ÙÌ ÌÒÈ ÞÐÙÛÌÚ ×ÌØÐ×Ûà ÙÌÐÚ Ó×ÖØÖÜ Ô ÔÈ Ì×ÐÒÜÏÖÜ Ô ÈÑØÐÉà Ú ÑÈÐ ÓÌ Ì ÔÈÔ ÙÜÙÛÎÓÈÛÐÑÖ  ÛØÖ ×Ö. °ÓÌ ÙàÚ ÓÌÛÈ , Ö ÓàÚ, ÏÈ ×ÈØÈÛÎØΠÙÌÐ Ö ÛÐ ÛÖ ÑÈÒÜ ÛÌØÖ ËÌÔ Ì ÞÌÐ ÙÜÓÉÌР! ¿ÈØ' Ö ÛÐ ÊØÈÓÓÐÑΠ, Î (7.9) ËÌÔ ÌРÔÈÐ ÓÐÈ ÌÕРÙàÙÎ ÓÌ ÙÛÈÏÌØÖÜ Ú ÙÜÔÛÌÒÌÙÛÌ Ú ×ÖÜ ÏÈ Ó×ÖØÖÜ ÙÌ ÔÈ ÒÜÏÌР ÈÓÌ ÙàÚ ÓÌ ÛÎ ÊÔàÙÛΠ ÓÌ ÏÖËÖ ÛÎÚ ÌÑÏÌÛÐÑÎ Ú ÈÔÛÐÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎÚ. ´Ð ÔÈÐ ÓÐÈ ÌÕРÙàÙÎ ÓÌ ÓÌÛÈÉÒÎÛÖÜ Ú ÙÜÔÛÌÒÌÙÛÌ Ú ÑÈÐ ÿËÜÙÛÜÞà Ú (!)ÿ Î ÓÖ ÔÎ ÊÌÔÐÑΠ ÓÌ ÏÖËÖÚ ÒÜ ÙÎÚ ÛÌ ÛÖÐàÔ ÌÕÐÙà ÙÌàÔ ÌРÔÈÐ Î ÓÌ ÏÖËÖÚ ÛàÔ ËÜÔÈÓÖÙÌÐØà Ô.  ¾×ÖÜ ÛÖ ûËÜÙÛÜ ÞÎÓÈý Ì ÊÑÌÐÛÈÐ ÙÛÎÔ ÌÓ×ÌÐØÐÑΠ ËÐÈ×РÙÛàÙÎ Ö ÛÐ ÌÒÈ ÞÐÙÛÖÐ ÝÖÐÛÎÛÌ Ú (ÑÈÐ Ö ÞÐ ÓÖ ÔÖ) ÈÐÙÏÈ ÔÖÔÛÈÐ Ö ÛÐ Ó×ÖØÖÜ Ô ×ØÈ ÊÓÈÛÐ ÔÈ ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐΠÙÖÜÔ ÈÜÛΠ ÛÎ ÓÌ ÏÖËÖ ÊÐÈ ÛÎ ÒÜ ÙÎ ÌÔÖ Ú ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚ Ì ÙÛà ÑÈÐ ÒРÊÌÚ ÉËÖÓÈ ËÌÚ ÓÌÛÈ  ÛÎ ËÐËÈÙÑÈÒÐ È ÛÖÜ ÙÞÌÛÐÑÖÜ  ÓÈÏΠÓÈÛÖÚ! ´ÔÖ ßÌÐ ÛàÔ ×ÈØÈ×È Ôà, ÓÐÈ ÈÒÒÈÊΠ ÛÈÑÛÐÑÎ Ú ÌРÔÈÐ ÓÈ ÒÒÖÔ ÈÔÈÊÑÈРÈ. ·È ÑÈÒÌ ÙÖÜÓÌ ÛÖÔ ÈÔÈÊÔà ÙÛÎ ÔÈ Ì×ÐÞÌÐØΠÙÌÐ ÛÎ ÒÜ ÙÎ ÛÎÚ (7.9) ÓÌ ÛÎÔ ÈØÞÈÐÖ ÛÌØÎ Ö ÒàÔ ÛàÔ ÓÌÏÖ ËàÔ. ÂÎ ÓÌ ÏÖËÖ ÛÎÚ ÓÌ ÊÐÙÛÎÚ ÈÏàÖ ÛÎÛÈÚ! ´ÑÌРÔÎ ×ÖÜ ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐÖÜ Ô ÈÔÌ ÑÈÏÌÔ ÖÐ È ÔÏØà×ÖÐ Ö ÛÈÔ ËÌÔ ÕÌ ØÖÜÔ ÛР×ÖÛÈ ÊÐÈ Ì ÔÈ ×ØÖ ÉÒÎÓÈ ÈÒÒÈ  ×ØÌ ×ÌÐ, ×ÈØ' Ö ÒÈ ÈÜÛÈ , ÔÈ ÛÖ ÒÜ ÙÖÜÔ! »ÈÚ ËРÔÌÛÈÐ ÒÖÐ×Ö Ô Î ÌÕРÙàÙÎ (7.9) ÑÈÐ ÛÖ ÓÖ ÔÖ ×ÖÜ ÊÔàØРÍÖÜÓÌ ÊÐ' ÈÜÛÎ Ô ÌРÔÈÐ Ö ÛÐ ÌÔËÌ ÞÌÛÈÐ ÔÈ Ì ÞÌÐ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑÌ Ú ÒÜ ÙÌÐÚ, Ö ×àÚ ÝÈРÔÌÛÈÐ ÌÜ ÒÖÊÖ È×Ö  ÝÜÙÐÑÎ Ú ×ÒÌÜØÈ Ú. ÂÐ ÏÈ ÑÈ ÔÈÓÌ ÊÐÈ ÔÈ ËÐÌØÌÜÔΠÙÖÜÓÌ ÈÜÛÖ  ÛÖ ÌÔËÌÞÖ ÓÌÔÖ ÓÌ ÛÖÔ ×ÐÖ È×ÒÖТÑÖ  ÛØÖ ×Ö; °×ÒÖÜ ÙÛÈÛÈ ÏÈ ËÖÑÐÓÈ ÍÈÓÌ ÈÔ Ö ÔÛàÚ Î (7.9) Ì ÞÌÐ ÒÜ ÙÌÐÚ ÛÌ ÛÖÐÖÜ ÛÜ ×ÖÜ ÈØÞРÍÖÔÛÈÚ ÓÌ ÛÎÔ È×ÒÖÜ ÙÛÌØÎ È×Ö  Ö ÒÌÚ ×ÖÜ ÌРÔÈÐ ÛÖ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ ÓÎËÌÔÐÑÖÜ  ÉÈÏÓÖÜ , ËÎÒÈËΠ ÓÐÈ ÙÛÈÏÌØÈ . °Ú ÏÌ ÙÖÜÓÌ ÒÖÐ×Ö Ô H0 ˆ c ˆ ÙÛÈÏÌØÈ  ÙÛÎÔ (7.9) ÑÈÐ ÈÚ ËÖÜ ÓÌ ÛÐ ÊРÔÌÛÈÐ. ·È ÌРÔÈÐ 0 ÿ 2x 1 0 ‡ …2E ÿ 1† 1 c ˆ 0 ÑÈÐ ËÌËÖÓÌ ÔÖÜ Ö ÛÐ c 6ˆ 0 Î ÌÕРÙàÙÎ ÈÜÛΠ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÓÖ ÔÖ ÈÔ

1. ºÃÁ¶ ¶Á ´½¸ÁÇÁ¶Á 289 E ˆ E0ˆ 1=2 ÌÔà  Î ÈÔÛРÙÛÖÐÞÎ ÒÜ ÙÎ, ÉÈ ÙÌÐ ÛÎÚ (7.8), ÏÈ ÊØÈ ÝÌÛÈÐ àÚ 0…x† ˆ ceÿx2=2 Ö ×ÖÜ Î ÙÛÈÏÌØÈ  c Ì ÓÌÐÔÌ, ÉÌÉÈРàÚ, È×ØÖÙËÐÖ ØÐÙÛÎ ËÐÖ ÛÐ ÛÖ ÙÖ Î ÌÕРÙàÙÎ (7.9) Ö ÙÖ ÑÈÐ Î ÈØÞÐÑΠ ÌÕРÙàÙÎ (7.5) ÌРÔÈÐ ÖÓÖÊÌÔÌÐ Ú ÑÈÐ Ì×ÖÓÌ ÔàÚ ÖÐ ÒÜ ÙÌÐÚ ÛÖÜÚ ÈÔÈÓÌ ÔÌÛÈÐ ÔÈ ×ÌØÐÌ ÞÖÜÔ ÓÐÈ ÈÜÏÈРØÌÛÎ ×ÖÒÒÈ×ÒÈÙÐÈÙÛÐÑΠ ÙÛÈÏÌØÈ . ¶ Ö×ÖÐ È Ö ÓàÚ Ü×ÖÒÖÊРÍÌÛÈÐ ÈÓÌ ÙàÚ È×Ö  ÛÎ ÙÜÔÏΠÑÎ ÑÈÔÖÔÐÑÖ×ÖРÎÙÎÚ Rj …x†j2dx ˆ 1 ÑÈÐ ÛÖ È×ÖÛÌ ÒÌÙÓÈ (ÊÐÈ  ˆ 1) ÿÊÔàÙÛÖ  ΠËÎ È×Ö  ÛÖ ¹ÌÝ. 3, ÙÌÒ. 130ÿ ÌРÔÈÐ c ˆ ÿ1=4_{, Ö×Ö ÛÌ Î ÑÈÔÖÔÐÑÖ×ÖÐÎÓÌ ÔÎ ÒÜ ÙÎ ÏÈ ÊØÈ ÝÌÛÈÐ àÚ} 0…x† ˆp e41_ ÿx2₌₂ : ¾ ÈÔÈÊÔà ÙÛÎÚ Ð ÙàÚ ÔÈ ÓÎÔ Ì ÞÌÐ ÙÜÔÌÐËÎÛÖ×ÖÐΠÙÌÐ ÈÑÖ ÓÈ Ö ÛÐ ÓÌ ×ØÈÑÛÐÑÈ  ÓÎËÌÔÐÑΠ ×ØÖÙ×È ÏÌÐÈ Ì ÞÌÐ ÙÛÈ ÞÌ ØÐÈ ÛÖÜ Ì ÔÈ Ù×ÖÜËÈÐ Ö ÝÜÙÐÑÖ  È×ÖÛÌ ÒÌÙÓÈ.  ´ÞÌРΠËÎ ÉØÌÐ ÛÖ ÙÖ ÛÎÔ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ …E0 ˆ 1=2† Ö ÙÖ ÑÈÐ ÛÎÔ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ … 0 ˆ ÿ1=4eÿx2=2† ÛÎÚ ×ÐÖ ÙÎÓÈÔÛÐÑÎ Ú È×Ö  Ö ÒÌÚ ÛÐÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌÐÚ ÛÖÜ  ÈØÓÖ-ÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ: ÛÎÚ ÏÌÓÌÒÐà ËÖÜÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌà Ú ÛÖÜ! ´ÔÏÈØØÜÓÌ ÔÖÐ È×Ö  ÈÜÛΠ ÛÎÔ Ì×ÐÛÜÞÐ È ÈÚ ×È ÓÌ ÒÖÐ×Ö Ô ÙÛÖ Ì×Ö ÓÌÔÖ ÉΠÓÈ. ¼È ËÖÑÐÓÈ ÙÖÜÓÌ ÓΠ×àÚ Î (7.9) ËÐÈÏÌ ÛÌÐ àÚ ÒÜ ÙÎ ÑÈÐ Ì ÔÈ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ ×Øà ÛÖÜ ÉÈÏÓÖÜ , ËÎÒÈËΠ ÛÎÚ ÓÖØÝÎ Ú H1…x† ˆ ax ‡ b, Ö ×ÖÜ a; b ÈÜÏÈРØÌÛÌÚ ÙÛÈÏÌØÌ Ú. ¶ (7.9) ÏÈ ËРÔÌÐ Ûà ØÈ 0 ÿ 2x 1 a ‡ …2E ÿ 1†…ax ‡ b† ˆ 0 …7:10†

) …2E ÿ 1†b ‡ …2E ÿ 3†ax ˆ 0 …7:11†

×ÖÜ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÓÖ ÔÖ Èԅ3†

…2E ÿ 1†b ˆ 0; …2E ÿ 3†a ˆ 0;

È×Ö  Ö ×ÖÜ ×ØÖÑÜ ×ÛÌÐ ÈÓÌ ÙàÚ Ö ÛÐ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÌРÔÈÐ E ˆ 3=2, b ˆ 0 ÑÈÐ a ÛÜÞÖ Ô. (ÂÖ ÌÔËÌÞÖ ÓÌÔÖ ÔÈ ÌРÔÈÐ b 6ˆ 0 ) E ˆ 1=2 È×ÖØØР×ÛÌÛÈÐ ÊØΠÊÖØÈ ËÐÖ ÛÐ ÛÖ ÛÌ Î ËÌÜ ÛÌØÎ ÌÕРÙàÙÎ ÏÈ Ì ËÐÔÌ a ˆ 0 ÑÈÐ ÛÖ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ ËÌÔ ÏÈ Î ÛÈÔ ×Øà ÛÖÜ ÉÈÏÓÖÜ , Ö ×àÚ Ü×ÖÏÌ ÛÖÜÓÌ, ÈÒÒÈ  ÓÎËÌÔÐÑÖÜ . ·È ×ÈРØÔÈÓÌ ËÎÒÈËΠ ÕÈÔÈ  ÛÎÔ ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔÎ ÒÜ ÙÎ.) ±ØΠÑÈÓÌ ÒÖÐ×Ö Ô Ö ÛÐ ÈÔ Î ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ×ÈРØÔÌÐ ÛÎÔ ÛÐÓΠ E1ˆ3₂; SCHR ODINGER …3† _{Ã×ÌÔÏÜÓРÍÖÜÓÌ Ö ÛÐ Ì ÔÈ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ ÓÎËÌÔРÍÌÛÈÐ ÌÑ ÛÈÜÛÖ ÛÎÛÖÚ ÓÖ ÔÖ Ö ÛÈÔ ÖÐ ÙÜÔÛÌÒÌÙÛÌ Ú} Ö ÒàÔ ÛÖÜ ÛàÔ ËÜÔÈ ÓÌàÔ ÓÎËÌÔРÍÖÔÛÈÐ. ¶ ÐÑÈÔÖ×ÖРÎÙÎ ÌÕÐÙà ÙÌàÔ Ö ×àÚ Î (7.10) Ì×ÐÉÈ ÒÒÌÐ ÒÖÐ×Ö Ô ÔÈ ÝÌ ØÖÜÓÌ ÓÈÍР ÿÖ ×àÚ ÙÛÎÔ (7.11)ÿ Ö ÒÖÜÚ ÛÖÜÚ ÙÛÈÏÌØÖÜ Ú Ö ØÖÜÚ, Ö ÒÈ ÛÈ x, Ö ÒÈ ÛÈ x2 _{Ñ.Ö.Ñ., ÑÈÐ ÔÈ ÌÕÐÙà ÙÖÜÓÌ ÓÌ ÓÎËÌ Ô ÛÖÜÚ ÙÜÔÛÌÒÌÙÛÌ Ú ÛÖÜÚ.}

ÛÖ ÛÌ Î ÌÕРÙàÙÎ (7.9) ËÐÈÏÌ ÛÌÐ ÓÐÈ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑΠ ÒÜ ÙÎ ×Øà ÛÖÜ ÉÈÏÓÖÜ  ÿÛÎÔ H1…x† ˆ axÿ ÓÌ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÎ ÐËÐÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÛÎÔ 1…x† ˆ  2_  p s xeÿx2=2 ÙÛÎÔ Ö×ÖÐ È Î ÈÜÏÈРØÌÛÎ ÙÛÈÏÌØÈ  a Ü×ÖÒÖÊРÙÛÎÑÌ È×Ö  ÛÎ ÙÜÔÏΠÑÎ ÑÈÔÖÔÐ-ÑÖ×ÖРÎÙÎÚ ÑÈÐ ÉÊΠÑÌ Ð ÙÎ ÓÌ a ˆp2=p. ÂÖ ÊÌÊÖÔÖ Ú Ö ÛÐ ËÖÑÐÓÈ ÙÈÓÌ àÚ ÒÜ ÙÎ ÛÖ ÛÜÞÖ Ô ×ØàÛÖÉÈ ÏÓÐÖ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ H1 ˆ ax ‡ b ÑÈÐ ×ØÖÌ ÑÜßÌ Ü×ÖÞØÌàÛÐÑÈ  È×Ö  ÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ Ö ÛÐ ÏÈ ÌРÔÈÐ b ˆ 0 …) H1…x† ˆ ax†, ËÌÔ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ×ÌØÈ ÙÌÐ È×ÈØÈÛΠØÎÛÖ. ³ÐÖ ÛÐ ×ØÖ ÑÌÐÛÈÐ ÊÐÈ Ì ÔÈ È×ÖÛÌ ÒÌÙÓÈ ×ÖÜ ÏÈ Ì ×ØÌ×Ì ÔÈ ÈÔÈÓÌ ÔÌÛÈÐ, ÈÝÖÜ  ÛÖ ËÜÔÈÓÐÑÖ  ÛÖÜ ÈØÓÖ-ÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ Ì ÞÌÐ ÑÈÛÖ×ÛØÐÑΠ ÙÜÓÓÌÛØÐ È ÑÈÐ Ì×ÖÓÌ ÔàÚ ÖÐ ÒÜ ÙÌÐÚ ÛÖÜ ÏÈ ÌРÔÈÐ ÌÔÈÒÒÈ Õ È ØÛÐÌÚ ÑÈÐ ×ÌØÐÛÛÌ Ú, Ö ×àÚ Î ËÎ ÙÎÓÌÐà ÙÈÓÌ ÙÛÖ ×Ì Ó×ÛÖ ÑÌÝÈ ÒÈÐÖ, ÙÌÒ. 229. ¹ÈÐ ËÌËÖÓÌ ÔÖÜ Ö ÛÐ Ö ÌÑÏÌÛÐÑÖ Ú ×ÈØÈ ÊÖÔÛÈÚ ÙÛÐÚ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÌРÔÈÐ È ØÛÐÖÚ, Î ÌÔÈÒÒÈÊΠ ÛÖÜ ÛÜ ×ÖÜ ÙÜÓÓÌÛØРÈÚ ÏÈ ×ØÈÊÓÈÛÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÓÌ Ùà ÛàÔ ×ÖÒÜàÔÜ ÓàÔ Hn…x† ÛÈ Ö×ÖРÈ, Ì×ÖÓÌ ÔàÚ, ÏÈ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÌРÔÈÐ È ØÛÐÈ Î  ×Ì-ØÐÛÛÈ  ÈÔÈ ÒÖÊÈ ÓÌ ÛÖÔ ÉÈÏÓÖ  ÛÖÜÚ: ÂÈ È ØÛÐÖÜ ÉÈÏÓÖÜ  ÏÈ ÌРÔÈÐ È ØÛÐÈ ÑÈÐ ÛÈ ×ÌØÐÛÛÖÜ  ×ÌØÐÛÛÈ . ÂÖ Ö×ÖÐ Ö ÙÎÓÈРÔÌÐ ×ØÈÑÛÐÑÈ  Ö ÛÐ ÛÈ È ØÛÐÖÜ ÉÈÏÓÖÜ  ×ÖÒÜ-à ÔÜÓÈ …n ˆ 0; 2; 4; . . .† ÏÈ ×ÌØÐÌ ÞÖÜÔ ÓÖ ÔÖ ÛÐÚ È ØÛÐÌÚ ËÜÔÈ ÓÌÐÚ ÛÖÜ x ÑÈÐ ÛÈ ×Ì-ØÐÛÛÖÜ  ÉÈÏÓÖÜ  …n ˆ 1; 3; . . .† ÓÖ ÔÖ ÛÐÚ ×ÌØÐÛÛÌ Ú.  ´ÛÙÐ, ÒÖÐ×Ö Ô, ÙÛÎÔ ×ÌØР×ÛàÙÎ ×ÖÜ ÌÕÌÛÈ ÙÈÓÌ ×ØÐÔ …n ˆ 1†, ÏÈ Ó×ÖØÖÜ ÙÈÓÌ ÔÈ ÌРÞÈÓÌ ×ÌÐ ÌÕÈØÞÎ Ú Ö ÛÐ ÏÈ ÌРÔÈÐ H1…x† ˆ ax ÿÈÝÖÜ  ÛÖ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ×ÌØÐÌ ÞÌÐ ÓÖ ÔÖ ×ÌØÐÛÛÌ Ú ËÜÔÈ ÓÌÐÚÿ ÑÈÐ Ì×РÙÎÚ ÔÈ ÏÌ ÙÖÜÓÌ a ˆ 1, ÊÐÈ ÒÖ ÊÖÜÚ È×ÒÖ ÛÎÛÈÚ, ÈÝÖÜ  Î ÌÕР-ÙàÙΠ ÓÈÚ ÌРÔÈÐ ÖÓÖÊÌÔÎ Ú ÑÈÐ Ì×ÖÓÌ ÔàÚ ËÌÔ ÈÔÈÓÌ ÔÌÛÈÐ ÔÈ ×ØÖÙËÐÖØРÙÌÐ ÛÎ ÙÛÈÏÌØÈ  a. ·Ì ÛÖÔÛÈÚ H1ˆ x ÙÛÎÔ (7.9) ×ÈРØÔÖÜÓÌ 0 ÿ 2x 1 1 ‡ …2E ÿ 1†x ˆ 0 ) …2E ÿ 3†x ˆ 0 ) E ˆ E1 ˆ 3=2; È×Ö  Ö ×ÖÜ ÉÒÌ ×ÌÛÌ ÈÓÌ ÙàÚ Ö ÛÐ Î ÌÑ ÛàÔ ×ØÖÛÌ ØàÔ ÞØΠÙÎ ÛÎÚ ÙÜÓÓÌÛØРÈÚ ÛÖÜ ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚ ËРÔÌÐ ÛÎ ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÎ ËÌÜ ÛÌØÎ ÐËÐÖÛÐÓΠ ÙÌ ÒÐÊÖ ÛÌØÖ È×Ö  ÓÐ È ÊØÈÓÓΠ. ¶ ÌÕÌ ÛÈÙÎ ÓÐÈÚ ÈÑÖ ÓÈ ×ÌØÐ×Ûà ÙÌàÚ ÿÛÎÚ n ˆ 2ÿ ÏÈ È×ÖÓÈÑØÜ ÔÌÐ ÑÈ ÏÌ ÈÓÝÐÉÖÒÐ È Ö ÛÐ ÖÐ ÒÜ ÙÌÐÚ ×ÖÜ ßÈ ÞÔÖÜÓÌ ÏÈ ÌРÔÈÐ ×È ÔÛÈ ÛÖÜ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑÖÜ  ÛÜ ×ÖÜ. ²ÐÈ n ˆ 2 ÒÖÐ×Ö Ô ÏÈ ÌРÔÈÐ Ü×ÖÞØÌàÛÐÑÈ  H2…x† ˆ x2‡ a …7:12† Ö ×ÖÜ ÿ×Ì ØÈ È×Ö  ÛÎ ÙÜÓÓÌÛØÐ È ÛÖÜ ×ÖÒÜàÔÜ ÓÖÜ, ×ÖÜ Ì×ÐÛØÌ ×ÌÐ ÓÖ ÔÖ ÛÐÚ È ØÛÐÌÚ ËÜÔÈ ÓÌÐÚ ÛÖÜ xÿ ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐΠÙÈÓÌ ÑÈÐ ÛÖ ÊÌÊÖÔÖ Ú Ö ÛÐ Î ÌÕРÙàÙΠ ÓÈÚ ÌРÔÈÐ ÖÓÖÊÌÔÎ Ú ÊÐÈ ÔÈ ÏÌ ÙÖÜÓÌ ÛÖÔ ÙÜÔÛÌÒÌÙÛΠ ÛÖÜ  x2 _{РÙÖ ÓÌ ÛÎ ÓÖÔÈ ËÈ ËÐÈÐØà ÔÛÈÚ} ÓÌ ÛÖÔ ÙÜÔÛÌÒÌÙÛΠ ×ÖÜ ÛÜÞÖ Ô Ü×ΠØÞÌ. ´ÐÙÈ ÊÖÔÛÈÚ ÛÎÔ (7.12) ÙÛÎÔ (7.9) ×ÈРØÔÖÜÓÌ

1. ºÃÁ¶ ¶Á ´½¸ÁÇÁ¶Á 291

2 ÿ 2x…2x† ‡ …2E ÿ 1†…x2_{‡ a† ˆ 0} ) …2E ÿ 5†x2_‡ÿ_{2E ÿ 1†a ‡ 2}1_{ˆ 0} ) 2E ÿ 5 ˆ 0; …2E ÿ 1†a ‡ 2 ˆ 0 ) E ˆ5 2; a ˆ ÿ 2 2E ÿ 1ˆ ÿ 1 2 ) H2…x† ˆ x2ÿ1₂ 2x2ÿ 1 ) 2…x† ˆ N…2x2ÿ 1†eÿx2=2 Ö ×ÖÜ ÙÛÈ ËÜ Ö ÛÌÒÌÜÛÈÐ È ÉΠÓÈÛÈ ÑÈ ÔÈÓÌ ÕÈÔÈ  ÞØΠÙÎ ÛÖÜ ÊÌÊÖÔÖ ÛÖÚ Ö ÛÐ ÖÐ ÌÕÐÙà ÙÌÐÚ ÓÈÚ ÌРÔÈÐ ÖÓÖÊÌÔÌРÚ, à ÙÛÌ ÔÈ ÊØÈ ßÖÜÓÌ ÛÖ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ H2 ÙÛÎÔ È×ÒÖÜ ÙÛÌØÎ ÓÖØÝΠ 2x2_{ÿ 1, ÈÔÛР ÛÎÚ x}2_{ÿ …1=2†, ÈÒÒÈ  ÑÈÐ ÔÈ ÌÐÙÈÊÈ ÊÖÜÓÌ} ÙÛÎÔ ÛÌÒÐÑΠ ÓÖØÝΠ ÛÎÚ ÒÜ ÙÎÚ 2 Ì ÔÈÔ ×ÈØÈ ÊÖÔÛÈ ÑÈÔÖÔÐÑÖ×ÖРÎÙÎÚ N Ö Ö×ÖРÖÚ ÏÈ ×ØÖÙËÐÖØÐÙÛÌР ÉÌÉÈРàÚ È×Ö  ÛÎÔ ÖÓà ÔÜÓÎ ÙÜÔÏΠÑÎ. ³ÌÔ ÞØÌÐÈ ÍÌÛÈÐ ×ÌØÐÙÙÖ ÛÌØÖ È×Ö  ÓÐ È ÓÈÛÐÈ  ÙÛÐÚ ÐËÐÖÛÐÓÌ Ú ×ÖÜ ÉØΠÑÈÓÌ E0 ˆ1₂; E1 ˆ3₂; E2 ˆ5₂ ÊÐÈ ÔÈ Ó×ÌÐ ÑÈÔÌÐ Ú ÙÛÖÔ ×ÌÐØÈÙÓÖ  ÔÈ Ü×ÖÏÌ ÙÌÐ Ö ÛÐ ÊÐÈ ÛÜÞÖ Ô n ÿÌ×È-ÔÈÒÈÓÉÈ ÔÖÜÓÌ Ö ÛÐ ÛÖ n ÌРÔÈÐ Ö ÉÈÏÓÖ Ú ÛÖÜ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÖÜ ×ÖÒÜàÔÜ ÓÖÜÿ ÏÈ ÌРÔÈÐ Enˆ ₂ ˆ2n ‡ 1₂ ˆ n ‡1₂; n ˆ 0; 1; 2; . . . : …7:13† °Ô ËÌÞÛÖÜ ÓÌ àÚ ÊÌÊÖÔÖ Ú Ö ÛÐ Î (7.9) Ì ÞÌÐ ×ØÈ ÊÓÈÛÐ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑÌ Ú ÒÜ ÙÌÐÚ Ö-×ÖÐÖÜËΠ×ÖÛÌ ÉÈÏÓÖÜ  n, ÛÖ ÛÌ ÌРÔÈÐ È×ÒÖÜ ÙÛÈÛÖ ÔÈ È×ÖËÌРÕÖÜÓÌ Ö ÛÐ ÈÜÛÖ  Ó×ÖØÌР ÔÈ ÙÜÓÉÌР ÓÖ ÔÖ ÈÔ Î ×ÈØÈ ÓÌÛØÖÚ E ×ÖÜ ÌÓÝÈÔРÍÌÛÈÐ ÙÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ ×ÈРØÔÌÐ ÛÎ ËÐÈ ÑØÐÛÎ ÈÑÖÒÖÜÏÐ È ÛÐÓà Ô (7.13). ¶ ÐËÌ È ÌРÔÈÐ ×ÖÒÜ  È×ÒΠ.  ´ÙÛà Ö ÛÐ Î ÌÕРÙàÙÎ (7.9), ËÎÒÈËΠ Î H00_{ÿ 2xH}0_{‡ …2E ÿ 1†H ˆ 0 …7:14†} ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ È×Ö  Ì ÔÈ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ ÉÈÏÓÖÜ  n ÛÎÚ ÊÌÔÐÑÎ Ú ÓÖØÝÎ Ú H…x† ˆ a0‡ 1 1 1 ‡ anxn: °ÝÖÜ  Ö ÓàÚ Î ÌÕРÙàÙÎ ÈÜÛΠ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ È×Ö  ÛÖ ×ÖÒÜà ÔÜÓÖ H…x† ÊÐÈ ÑÈ ÏÌ x, ÏÈ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÙРÊÖÜØÈ ÑÈÐ ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x Ö ×ÖÜ ÏÈ ÌРÔÈÐ H…x†  xn _{meg–la x†} SCHR ODINGER ×ÌØÐÛÛÖ Ú

ÈÝÖÜ  ÙÛÎÔ ×ÌØÐÖÞΠ ÈÜÛΠ ÖÐ ÞÈÓÎÒÖ ÛÌØÌÚ ËÜÔÈ ÓÌÐÚ ÛÖÜ  x ÌРÔÈÐ ÈÓÌÒÎÛÌ ÌÚ Ó×ØÖÙÛÈ  ÙÛÎ xn_{. ºÌ ÓÌ ËÎÒÈËΠ Ö ÛÐ ÓÐÈ ×ØÖÝÈÔÎ Ú ÈÔÈÊÑÈÐ È ÙÜÔÏΠÑÎ ÊÐÈ ÔÈ Ì ÞÌÐ} Î ÌÕРÙàÙΠ ÓÈÚ ÓÐÈ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑΠ ÒÜ ÙÎ ÉÈÏÓÖÜ  n ÌРÔÈÐ ÔÈ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ Î ÌÕРÙàÙÎ, ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x, È×Ö  ÛÎ ÓÌ ÊÐÙÛÎ ËÜ ÔÈÓÎ xn _{ÈÜÛÎ Ú ÛÎÚ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑΠÚ} ÒÜ ÙÎÚ. ³ÌÔ Ì ÞÖÜÓÌ ÒÖÐ×Ö Ô ×ÈØÈ  ÔÈ ÌÐÙÈÊÈ ÊÖÜÓÌ ÙÛÎÔ (7.14) ÛÎ ËÜ ÔÈÓÎ xn_ÑÈÐ ÔÈ È×ÈÐÛΠÙÖÜÓÌ ÔÈ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ Î ÌÕРÙàÙÎ ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x.  ¾×ÖÜ Î ÙÜÔÏΠÑÎ ûÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ xý ÙÎÓÈРÔÌÐ, ÉÌÉÈРàÚ, Ö ÛÐ Ö ÛÈÔ ÌÐÙÈÊÈ ÊÖÜÓÌ ÛÖ xn_{ÙÛÎÔ (7.14) ÏÈ} ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÑØÈÛΠÙÖÜÓÌ ÓÖ ÔÖ ÛÎ ÓÌÊÈÒÜ ÛÌØÎ È×Ö  ÛÐÚ ÌÓÝÈÔÐÍÖ ÓÌÔÌÚ ËÜÔÈ ÓÌÐÚ ÛÖÜ  x ËÐÖ ÛÐ ÈÜÛΠ ÌРÔÈÐ ×ÖÜ ÏÈ ÑÜØÐÈØÞΠÙÌÐ ÙÌ ÈÜÛÖ  ÛÖ Ö ØÐÖ. ¿ØÈ ÊÓÈÛÐ, ÏÌ ÛÖÔÛÈÚ H  xn _{ÙÛÎÔ (7.14) ÏÈ Ì ÞÖÜÓÌ} n…n ÿ 1†xnÿ2_{ÿ 2nx}n_{‡ …2E ÿ 1†x}n_{ˆ 0} ÑÈÐ ÈÊÔÖà ÔÛÈÚ ÛÎ ËÜ ÔÈÓÎ xnÿ2_{ÿàÚ ÈÓÌÒÎÛÌ È ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ x Ó×ØÖÙÛÈ  ÙÛÎ x}n_ÿ ×ÈРØÔÖÜÓÌ ÿ ÿ 2n ‡ …2E ÿ 1†1xn_{ˆ 0 ) E ˆ n ‡}1 2 Ö ×àÚ ÈÑØÐÉà Ú ÏÌ ÒÈÓÌ ÔÈ ËÌРÕÖÜÓÌ. ÁÛÎÔ ×ØÈÊÓÈÛÐÑÖ ÛÎÛÈ, Î ÌÝÈØÓÖÊΠ ÈÜÛÎ Ú ÛÎÚ ÈÔÈÊÑÈРÈÚ ÙÜÔÏΠÑÎÚ ÿÔÈ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌРÛÈÐ Î ÌÕРÙàÙÎ È×Ö  ÛÎ ÓÌ ÊÐÙÛÎ ËÜ ÔÈÓÎ ÛÖÜ ×ÖÒÜàÔÜ ÓÖÜ, ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ xÿ ÌРÔÈÐ ÛÖ ÙÖ È×ÒΠ, à ÙÛÌ ÓÌÛÈ  È×Ö  ÒРÊÎ ÌÕÖÐÑÌРàÙÎ Ó×ÖØÌР ÔÈ Ü×ÖÒÖÊРÍÌÐ ÑÈÔÌÐ Ú ÛÐÚ ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÌÚ ÐËÐÖÛÐÓÌ Ú ÓÌ È×ÒΠ Ì×Ö×ÛÌÐ È ÛÎÚ ÌÕРÙàÙÎÚ. ¶ ÌÕÖÐÑÌРàÙÎ ÙÜÔРÙÛÈÛÈÐ È×Òà Ú ÙÛÎÔ ûÑÈÒΠ ÙÜÔΠÏÌÐÈý ÔÈ ÌÔÛÖ×РÍÌÐ ÑÈÔÌÐ Ú È×Ö  ÛÎÔ ÈØÞΠ ÛÖÜÚ Ö ØÖÜÚ ÛÎÚ ÌÕРÙàÙÎÚ ×ÖÜ ÏÈ Ëà ÙÖÜÔ ÛÎ ÓÌ ÊÐÙÛÎ ËÜ ÔÈÓÎ ÛÖÜ x ÑÈÐ ÔÈ ÈÔÛÐÑÈÏÐÙÛÈ  ÛÖ xn_{ÓÖ ÔÖ ÙÌ ÈÜÛÖÜ Ú. ÁÛÎÔ ×ÈØÖÜ ÙÈ ×ÌØР×ÛàÙÎ, ×ÈØÈËÌРÊÓÈÛÖÚ} ÞÈ ØÐÔ, ÌРÔÈÐ ÝÈÔÌØÖ  Ö ÛÐ Î ÓÌ ÊÐÙÛÎ ËÜ ÔÈÓÎ ÏÈ ×ØÖÌ ÒÏÌÐ ÓÖ ÔÖ È×Ö  ÛÖÜÚ Ö ØÖÜÚ ÿ2xH0_{ÑÈÐ …2E ÿ 1†H, Ö×Ö ÛÌ Î ÈÔÛÐÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ H  x}n_{ÏÈ Ëà ÙÌÐ ÛÖ ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÖ} È×ÖÛÌ ÒÌÙÓÈ ûËÐÈ  ÊÜÓÔÖÜ  ÖÝÏÈÒÓÖÜ ý. ÂÈ È×ÖÛÌÒÌ ÙÓÈÛÈ ÙÛÈ Ö×ÖÐ È ÑÈÛÈÒΠÕÈÓÌ Ó×ÖØÖÜ Ô ÔÈ ÙÜÔÖßÐÙÛÖÜ Ô àÚ ÌÕΠÚ: ÁÛÖ ÙÜ ÙÛÎÓÈ ÓÖÔÈ ËàÔ Ö ×ÖÜ h ˆ m ˆ ! ˆ 1 ÿÛÖ ÒÌÊÖ ÓÌÔÖ ÝÜÙÐÑÖ  ÙÜ ÙÛÎÓÈ ÓÖÔÈ ËàÔ ÛÖÜ ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚÿ ÖÐ ÌÔÌØÊÌÐÈÑÌ Ú ÐËÐÖÛÐÓÌ Ú ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ ÏÈ ËРÔÖÔÛÈÐ È×Ö  ÛÖÔ ÛÜ ×Ö Enˆ n ‡1₂; n ˆ 0; 1; 2; . . . ÑÈÐ ÖÐ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÌÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ È×Ö  ÛÖÔ ÛÜ ×Ö n…x† ˆ eÿx2=2Hn…x† Ö ×ÖÜ Hn…x† ×ÖÒÜà ÔÜÓÈ ÉÈÏÓÖÜ  n, È ØÛÐÈ Î  ×ÌØÐÛÛÈ  ÈÔÈ ÒÖÊÈ ÓÌ ÛÖÔ ÉÈÏÓÖ  ÛÖÜÚ. ÁÜ ÓÝàÔÈ ÓÌ ÛÈ ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔÈ, ÛÈ ×ÖÒÜà ÔÜÓÈ Hn…x† ÐÑÈÔÖ×ÖÐÖÜ Ô ÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ H00 nÿ 2xHn0 ‡ 2nHnˆ 0 " " "

1. ºÃÁ¶ ¶Á ´½¸ÁÇÁ¶Á 293 ×ÖÜ ÌРÔÈÐ ÊÔàÙÛΠ ÙÛÎ ÉÐÉÒÐÖÊØÈÝÐ È àÚ ÌÕРÙàÙÎ Hermite ÓÌ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÎ ÖÔÖ-ÓÈÙÐ È ÊÐÈ ÛÐÚ ×ÖÒÜàÔÜÓÐÑÌ Ú ÒÜ ÙÌÐÚ ÛÎÚ (×ÖÒÜà ÔÜÓÈ Hermite). ÂÖ Ö ÛÐ ×ØÖ ÑÌÐÛÈÐ ÊÐÈ ÓÐÈ Ì×à ÔÜÓÎ ÌÕРÙàÙÎ ÿÓÌ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÌÚ Ì×à ÔÜÓÌÚ ÒÜ ÙÌÐÚÿ ËÌÔ Ì ÞÌÐ, ÉÌÉÈРàÚ, ÊÐÈ ÓÈÚ ÑÈÓÐÈ  ÙÎÓÈÙÐ È ÈÝÖÜ  ÓÖ ÒÐÚ È×ÖËÌРÕÈÓÌ Ö ÛÐ Ó×ÖØÖÜ ÓÌ ÔÈ ÛÎÔ ÈÔÛÐÓÌÛà×РÙÖÜÓÌ ÌÑ ÛàÔ ÌÔÖ ÔÛàÔ ÞàØÐ Ú ÑÈÓÐÈ  ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔÎ ÙÞÌÛÐÑΠ ÊÔà ÙÎ. ÂÌ ÒÖÚ, ÊÐÈ ËÐÌÜÑÖ ÒÜÔÙÎ ÛÖÜ ÈÔÈÊÔà ÙÛÎ, ÈÚ ÙÜÊÑÌÔÛØà ÙÖÜÓÌ ÙÌ Ì ÔÈÔ ×Р-ÔÈÑÈ ÛÐÚ ×Ì ÔÛÌ ×Øà ÛÌÚ ÑÈÔÖÔÐÑÖ×ÖÐÎÓÌ ÔÌÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈ-ÔÛàÛΠ ÈÝΠÔÖÔÛÈÚ ÙÛÖÔ Ð ËÐÖ ÛÎÔ Ì×ÈÒΠÏÌÜÙÎ ÛÎÚ ÖØÏÖ ÛÎÛÈ Ú ÛÖÜÚ. ±¶»° 4: °×ÖÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛàÔ ËÐÈÙÛÈ ÙÌàÔ °Ú ÈØÞРÙÖÜÓÌ ÓÌ ÛÎÔ Ì ÑÝØÈÙÎ ÛàÔ ÌÔÌØÊÌÐÈÑà Ô ÐËÐÖÛÐÓà Ô Enˆ n ‡1₂ Î Ö×ÖÐ È ÙÛÐÚ ÙÜÔΠÏÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ËÌÔ Ó×ÖØÌР ×ÈØÈ  ÔÈ ×ÈРØÔÌÐ ÛÎ ÓÖØÝΠ Enˆ n ‡1₂    Ö ×ÖÜ  Î ÝÜÙÐÑΠ ÓÖÔÈ ËÈ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ÛÖÜ ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚ, ËÎÒÈËΠ Ö ÓÖÔÈËÐÑÖ Ú Ì-ÑÌРÔÖÚ ÙÜÔËÜÈÙÓÖ Ú ÛàÔ h; m ÑÈÐ ! ×ÖÜ Ì ÞÌÐ ËÐÈÙÛÈ ÙÌÐÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ. ÂÖ Ö ÛÐ Ü×È ØÞÌÐ Ö ÔÛàÚ Ì ÔÈÚ ÛÌ ÛÖÐÖÚ ÙÜÔËÜÈÙÓÖ Ú ÑÈÐ ÌРÔÈÐ ÓÖÔÈËÐÑÖ Ú È×ÖØØÌ ÌÐ, ÉÌ-¿¸¼°¹°Á7.1. ¾Ð ×Ì ÔÛÌ ×Øà ÛÌÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ 0…x† ˆp e₄1_ ÿx2=2 1…x† ˆ  4  4 r xeÿx2₌₂ 2…x† ˆ 1 2 p   4 p …2x2ÿ 1†eÿx2₌₂ 3…x† ˆ 1 3 p   4 p …2x3ÿ 3x†eÿx2₌₂ 4…x† ˆ 1 2p6p …4x4 4_{ÿ 12x}2_{‡ 3†e}ÿx2₌₂ SCHR ODINGER

ÉÈРàÚ, È×Ö  ÛÖ ÊÔàÙÛÖ  ûÏÌÓÌÒÐà ËÌÚ ÏÌà ØÎÓÈý ÛÎÚ ËÐÈÙÛÈÛÐÑÎ Ú ÈÔÈ ÒÜÙÎÚ ×ÖÜ ÒÌ ÌÐ Ö ÛÐ: °×Ö  ÛØРÈ, ËÐÈÙÛÈÛÐÑà Ú ÈÔÌÕÈ ØÛÎÛÈ, ÝÜÙÐÑÈ  ÓÌÊÌ ÏÎ Ó×ÖØÌР ×È ÔÛÈ ÔÈ ÑÈÛÈ-ÙÑÌÜÈÙÛÌР ÓÖÔÖÙΠÓÈÔÛÈ Ì ÔÈ Ö×ÖÐÖËΠ×ÖÛÌ È ÒÒÖ ÓÌ ÈÜÏÈÐØÌÙÐ È ÓÐÈÚ ÈËÐÈ ÙÛÈÛÎÚ ×ÖÒÒÈ×ÒÈÙÐÈÙÛÐÑÎ Ú ÙÛÈÏÌØÈ Ú. ÁÛÎÔ ×ÌØР×ÛàÙΠ ÓÈÚ Ö ÙÜÔËÜÈÙÓÖ Ú ÛàÔ h; m ÑÈÐ ! ÓÌ ËÐÈÙÛÈ ÙÌÐÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ÿÑÈÐ ×ÖÒÒÈ×ÒÈÙÐÈÙÛÐÑΠ ÙÛÈÏÌØÈ  РÙÎ ÓÌ ÛÎ ÓÖÔÈ ËÈÿ ÌРÔÈÐ, ÉÌÉÈРàÚ, Ö  ˆ h!; Ö×Ö ÛÌ, ÙÜ ÓÝàÔÈ ÓÌ ÛÈ ×ÈØÈ×È Ôà, Î Ì ÑÝØÈÙÎ ÛàÔ ÌÔÌØÊÌÐÈÑà Ô ÐËÐÖÛÐÓà Ô ÙÛÐÚ ÙÜÔΠÏÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ÏÈ ÌРÔÈÐ Î Enˆ n ‡1₂   h!; n ˆ 0; 1; 2; . . . ·È Ì×ÈÔÌ ÒÏÖÜÓÌ ÙÛÈ ÌØàÛΠÓÈÛÈ ×ÖÜ Ð ÙàÚ Ì ÞÖÜÔ ÊÌÔÔÎÏÌР ÙÛÖÔ ÈÔÈÊÔà ÙÛÎ, ÈÝÖÜ  È×ÖÑÈÛÈÙÛΠÙÖÜÓÌ ÛÐÚ ÙÜÔΠÏÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ÑÈÐ ÙÛÎÔ Ì ÑÝØÈÙÎ ÛàÔ ÑÜÓÈ-ÛÖÙÜÔÈØÛΠÙÌàÔ.  ¾×àÚ ÏÈ ÌÕÎÊΠÙÖÜÓÌ ÈÓÌ ÙàÚ, Î È×ÖÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÈÜÛΠ ÏÈ ÊР-ÔÌÐ ÓÌ ÛÎÔ ÈÔÛÐÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ …x† ! 1 a p x a   …7:15† Ö ×ÖÜ …x† Î ÈËÐÈ ÙÛÈÛÎ ÓÖØÝΠ ×ÖÜ Ì ÞÖÜÓÌ ÉØÌÐ ÑÈÐ a ÛÖ ÞÈØÈÑÛÎØÐÙÛÐÑÖ  (Π ÝÜÙÐÑÖ ) ÓΠÑÖÚ ÛÖÜ ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚ, ËÎÒÈËΠ Ö ÓÖÔÈËÐÑÖ Ú ÌÑÌРÔÖÚ ÙÜÔËÜÈÙÓÖ Ú ÛàÔ h; m ÑÈÐ ! ÓÌ ËÐÈÙÛÈ ÙÌÐÚ ÓΠÑÖÜÚ. ¿ØÈ ÊÓÈÛÐ, Î ÈÔÛÐÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ (7.15) ÌÑÝØÈ ÍÌÐ ÈÝ' ÌÔÖ Ú ÛÖ ÊÌÊÖÔÖ Ú Ö ÛÐ ÓÐÈ ÓÖÔÖËÐÈ ÙÛÈÛÎ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ Ì ÞÌÐ ÝÜÙÐÑΠ ËÐÈ ÙÛÈÙÎ Lÿ1=2 _{ÿÌÕ ÖÜ ÑÈÐ Ö ×ÈØÈ ÊÖÔÛÈÚ 1=}p_{aÿ ÑÈÐ ÈÝ' ÌÛÌ ØÖÜ ÛÎ ÊÌÔÐÑÎ}  È×ÈРÛÎÙÎ ÔÈ ÌРÔÈÐ ÈËÐÈ ÙÛÈÛÌÚ ÖÐ ÓÌÛÈÉÒÎÛÌ Ú Ö ÒàÔ ÛàÔ ÓÈÏÎÓÈÛÐÑà Ô ÙÜ-ÔÈØÛΠÙÌàÔ ÿ×.Þ. sin; cos; exp Ñ.Ò×.ÿ ×ÖÜ ÌÓÝÈÔРÍÖÔÛÈÐ ÙÛÖÜÚ ÝÜÙÐÑÖÜ Ú ÛÜ -×ÖÜÚ. ÂÖ Ö×ÖÐ Ö Ì×ÐÉÈ ÒÒÌÐ, ÉÌÉÈРàÚ, ÛÎÔ ÈÔÛÐÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ x ÓÌ ÛÖ x=a.  ¾×àÚ ×È ÔÛÈ, Ö ÙÜÔËÜÈÙÓÖ Ú ÓÌ ÛÐÚ ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÌÚ ËÐÈÙÛÈ ÙÌÐÚ Ó×ÖØÌР ÔÈ ÑÈÛÈ-ÙÑÌÜÈÙÛÌР ÌРÛÌ ÓÌ ÛÎ ÊÔàÙÛΠ ÙÜÙÛÎÓÈÛÐÑΠ ÓÌ ÏÖËօ3† _{ÌРÛÌ ÓÌ ÙÜÔËÜÈÙÓÖ}  ÊÔàÙÛà Ô ÛÜ ×àÔ ×ÖÜ ×ÌØÐÌ ÞÖÜÔ ÛÈ ËÌËÖÓÌ ÔÈ ÓÌÊÌ ÏÎ h; m; ! ÑÈÐ ÛÖ ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÖ, ËÎÒÈËΠ ÌËà  ÛÖ ÓΠÑÖÚ a. °ÑÖÒÖÜÏà ÔÛÈÚ ÛÎ ËÌÜ ÛÌØÎ ÓÌ ÏÖËÖ ÌÕÐÙà ÔÖÜÓÌ ÛÐÚ ÖÓÖËÐÈ ÙÛÈÛÌÚ ×ÖÙÖ ÛÎÛÌÚ h! ˆ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ, ÑÈÐ p2 2mˆ …h=†2 2m  h2 ma2 ˆ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ …3† _{³ÎÒÈËΠ ÊØÈ ÝÖÔÛÈÚ a ˆ h}_m_!_{ÑÈÐ Ü×ÖÒÖÊРÍÖÔÛÈÚ ÛÖÜÚ ÌÑÏÌ ÛÌÚ ; ;  È×Ö  ÛÖ ÙÜ ÙÛÎÓÈ ÛàÔ} ÛØÐà Ô ÌÕÐÙà ÙÌàÔ ×ÖÜ ×ØÖÑÜ ×ÛÖÜÔ È×Ö  ÛÎÔ È×ÈРÛÎÙÎ ÔÈ Ì ÞÌÐ ÛÖ ËÌÜ ÛÌØÖ ÓÌ ÒÖÚ ÛÎÔ Ì×ÐÏÜÓÎÛΠ ËÐÈ ÙÛÈÙÎ, ×.Þ. ÛÎÔ L1_M0_T0_{ˆ ÓΠÑÖÚ.}

1. ºÃÁ¶ ¶Á ´½¸ÁÇÁ¶Á 295 ÑÈÐ ×ÈРØÔÖÜÓÌ h! ˆ h2_=ma2_{, Ö×Ö ÛÌ, ÒÜ ÔÖÔÛÈÚ àÚ ×ØÖÚ a, ÏÈ Ì ÞÖÜÓÌ ÊÐÈ ÛÖ} ÍÎÛÖÜ ÓÌÔÖ ÞÈØÈÑÛÎØÐÙÛÐÑÖ  ÓΠÑÖÚ ÛÖÜ ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚ ÛÎÔ Ì ÑÝØÈÙÎ a ˆ  h m! r : ÇÚ ÓÐÈ È×ÒΠ ÌÝÈØÓÖÊΠ, ÈÚ È×ÖÑÈÛÈÙÛΠÙÖÜÓÌ ÛÐÚ ÙÜÔΠÏÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ÙÛÎÔ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÛÎÚ ÏÌÓÌÒÐà ËÖÜÚ ÙÛÈ ÏÓÎÚ ÊÐÈ ÛÎÔ Ö×ÖÐ È ÉØΠÑÈÓÌ Ö ÛÐ ÌРÔÈÐ 0…x† ˆp e41_ ÿx2₌₂ …7:16† ÑÈÐ Ì×ÖÓÌ ÔàÚ ÿÙÜ ÓÝàÔÈ ÓÌ ÛÈ ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔÈÿ 0…x† ˆ 1 ap p eÿx2_=2a2 Π, ÐÙÖËÜ ÔÈÓÈ, 0…x† ˆ  m! h 4 r eÿm!x2_=2h : …7:17† ÁÛÎÔ ×ØÈÊÓÈÛÐÑÖ ÛÎÛÈ, Î È×ÖÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛàÔ ËÐÈÙÛÈ ÙÌàÔ ÙÛÐÚ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈØ-ÛΠÙÌÐÚ Ö ÞÐ ÓÖ ÔÖ ËÌÔ ÌРÔÈÐ ÈÔÈÊÑÈÐ È ÈÒÒÈ  ÓÈ ÒÒÖÔ ËÜÙÞÌØÈРÔÌÐ ÛÖÜÚ Ü×ÖÒÖ-ÊÐÙÓÖÜ Ú ×ÖÜ ÌРÔÈÐ ×ÖÒÜ  È×ÒÖÜ ÙÛÌØÖ ÔÈ ÊРÔÖÔÛÈÐ ÙÛÎÔ ÈËÐÈ ÙÛÈÛÎ ÓÖØÝΠ ÑÈÐ ÔÈ È×ÖÑÈÏРÙÛÈÔÛÈÐ ÖÐ ÙÜÔΠÏÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ÙÛÈ ÛÌÒÐÑÈ  È×ÖÛÌÒÌ ÙÓÈÛÈ.  ´ÔÈ ÙÞÌÛÐÑÖ  ×ØÖ ÉÒÎÓÈ ÌРÔÈÐ ÛÖ ÌÕΠÚ: ¿À¾±º¶»° 1: Ã×ÖÒÖÊРÙÛÌ ÛÐÚ ÈÉÌÉÈÐÖ ÛÎÛÌÚ ÏÌ ÙÎÚ ÑÈÐ ÖØÓÎ Ú ÙÛÎ ÏÌÓÌÒÐà ËÎ ÑÈ-ÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ. ºÜ ÙÎ:ÅØÎÙÐÓÖ×ÖÐà ÔÛÈÚ ÛÎÔ ÈËÐÈ ÙÛÈÛÎ ÓÖØÝΠ (7.16) ÿ×ÖÜ ÌРÔÈÐ, ÉÌÉÈРàÚ, ÈÐÙÏÎÛÈ  È×ÒÖÜ ÙÛÌØÎ ÛÎÚ (7.17)ÿ Ö Ü×ÖÒÖÊÐÙÓÖ Ú ÛàÔ 1x ÑÈÐ 1p ÌРÔÈÐ È×ÒÖÜ ÙÛÈÛÖÚ ÑÈÐ ÖËÎÊÌР ÙÛÖ È×ÖÛÌ ÒÌÙÓÈ 1x ˆ 1 2 p ; 1p ˆ 1 2 p ÛÖÜ Ö×ÖРÖÜ Î ÓÖØÝΠ ÙÛÐÚ ÙÜÔΠÏÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ËÌÔ Ó×ÖØÌР ×ÈØÈ  ÔÈ ÌРÔÈÐ Î 1x ˆ 1 2 p a; 1p ˆ 1 2 p p0 Ö ×ÖÜ a…ˆph=m!† Î ÓÖÔÈ ËÈ ÓΠÑÖÜÚ ÛÖÜ ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚ ÑÈÐ p0 Î ÈÔÛРÙÛÖÐÞÎ ÓÖÔÈ ËÈ ÖØÓΠÚ, Î Ö×ÖÐ È ÑÈÛÈÙÑÌÜÈ ÍÌÛÈÐ ×ÖÒÜ  ÌÜ ÑÖÒÈ àÚ ÌÕΠÚ: SCHR ODINGER

p ˆh  ) p0ˆ h a: ·È ÌРÔÈÐ, ÒÖÐ×Ö Ô, ÛÌÒÐÑÈ  1x ˆ a 2 p ˆ  h 2m! r ; 1p ˆ p0 2 p ˆ h 2 p aˆ  hm! 2 r ÌÔà  ÌÜ ÑÖÒÈ Ó×ÖØÌР ÔÈ ËÐÈ×ÐÙÛà ÙÌÐ Ö ÈÔÈÊÔà ÙÛÎÚ Ö ÛÐ ÛÈ Ü×ÖÒÖÊÐÙÛÐÑÈ  ×ÒÌÖÔÌÑÛΠÓÈÛÈ ÛÎÚ ÈËÐÈ ÙÛÈÛÎÚ ÊØÈÝÎ Ú ÛàÔ ÒÜ ÙÌàÔ ÊРÔÖÔÛÈÐ ×ÖÒÜ  ÓÌÊÈÒÜ ÛÌØÈ Ö ÙÖ ×ØÖÞàØÖÜ ÓÌ ×ØÖÚ ÛÐÚ ÈÔà ÛÌØÌÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ, ÛàÔ Ö×ÖРàÔ Î ÓÖØÝΠ ÙÛÐÚ ÙÜÔΠÏÌÐÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ÌРÔÈÐ ÑÜØÐÖÒÌÑÛÐÑÈ  ûÈÝÖ ØÎÛÎý. °×ÖÓÌ ÔÌÐ ÔÈ ÙÜÍÎÛΠÙÖÜÓÌ ÓÐÈ È×ÖØÐ È ×ÖÜ Ð ÙàÚ Ì ÞÌÐ ÓÌРÔÌÐ ÈÔÈ×È ÔÛÎÛÎ È×Ö  ÛÈ ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔÈ. ÂÎÔ ÌÕΠÚ: ÑÈÛÈ  ÛÎÔ È×ÖÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛàÔ ËÐÈÙÛÈ ÙÌàÔ ÙÛÐÚ ÐËÐÖÛÐÓÌ Ú ÑÈÐ ÛÐÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÓÌ Ùà ÛàÔ ÈÔÛÐÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌàÔ En! En; n…x† ! 1 a p n x_a   ÌРÞÈÓÌ ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐΠÙÌÐ àÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ÑÈÐ ÓΠÑÖÜÚ ÛÐÚ  ˆ h! ÑÈÐ a ˆ  h m! r …7:18† ×ÖÜ ÌРÔÈÐ ÖÐ ÓÖÔÈËÐÑÖР ÙÜÔËÜÈÙÓÖР ÛàÔ h; m ÑÈÐ ! ÓÌ ÛÐÚ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÌÚ ËÐÈ-ÙÛÈ ÙÌÐÚ ÈÒÒÈ  ÑÈÐ ÓÌ ÛÎÔ ×ØÖ ÙÏÌÛÎ Ì×ÐÒÖÊΠ ÔÈ ÌРÔÈÐ ÓÖÔÈ ËÈ Ö ÈØÐÏÓÎÛÐÑÖ Ú ÙÜÔÛÌÒÌÙÛÎ Ú ×ÖÜ ÏÈ Ó×ÖØÖÜ ÙÌ ÔÈ ÙÜÔÖËÌÜ ÌÐ ÛÎ ÙÞÌÛÐÑΠ Ì ÑÝØÈÙÎ. ¹ÈÐ ÛÖ Ì-Øà ÛÎÓÈ ÌРÔÈÐ ÛÖ ÌÕΠÚ: ÊÐÈÛР ÔÈ Ëà ÙÖÜÓÌ ÙÌ ÈÜÛÖ Ô ÛÖÔ ÈØÐÏÓÎÛÐÑÖ  ÙÜÔÛÌÒÌÙÛΠ ÛÎÔ ÛÐÓΠ ÓÖÔÈ ËÈ ÑÈÐ Ö ÞÐ ÓÐÈ Ö×ÖÐÈËΠ×ÖÛÌ È ÒÒÎ; ²ÐÈÛР, ×ÈØÈËÌРÊÓÈÛÖÚ ÞÈ ØÐÔ, ÔÈ ÓÎÔ Ì×ÐÒÌ ÕÖÜÓÌ àÚ ÓÖÔÈ ËÌÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ÑÈÐ ÓΠÑÖÜÚ ÛÐÚ ~ ˆ 2h! ÑÈÐ ~a ˆ  2h m! r ˆ  h m! r …7:19† ÈÔÛР ÛàÔ (7.18); ¶ È×È ÔÛÎÙÎ ÌРÔÈÐ ×ÖÒÜ  È×ÒΠ. °Ô ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐÖÜ ÙÈÓÌ ÛÐÚ ÌÑÝØÈ ÙÌÐÚ (7.19) ÈÔÛР ÛàÔ (7.18), ÛÖ ÛÌ ÊÐÈ ÛÐÚ ÌÔÌØÊÌÐÈÑÌ Ú ÐËÐÖÛÐÓÌ Ú ×.Þ. ÏÈ ÌРÞÈÓÌ e Enˆ n ‡1₂   ~ ˆ n ‡1₂   2h! ÑÈÐ ÛÖ È×ÖÛÌ ÒÌÙÓÈ ÈÜÛÖ  ÌРÔÈÐ ×ØÖÝÈÔà Ú ÒÈ ÏÖÚ ËÐÖ ÛÐ ÊÐÈ h ˆ m ˆ ! ˆ 1 ËРÔÌÐ e Enˆ 2 n ‡ÿ 1₂†, ÛÖ Ö×ÖÐ Ö ËÌÔ ÙÜÓ×Р×ÛÌÐ ÓÌ ÌÑÌРÔÖ ×ÖÜ ÉØΠÑÈÓÌ ÒÜ ÔÖÔÛÈÚ ÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ Schrodinger ÊÐ' ÈÜÛÌ Ú ÛÐÚ ûÌÐËÐÑÌ Úý ÛÐÓÌ Ú ÛàÔ ×ÈØÈÓÌ ÛØàÔ ÛÎÚ. ÂÖ ÙÜ-Ó×Ì ØÈÙÓÈ ÌРÔÈÐ ÛÌÒÌРàÚ ÊÌÔÐÑÖ : ÑÈÛÈ  ÛÎÔ È×ÖÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛàÔ ËÐÈÙÛÈ ÙÌàÔ ÖÐ

2. Áõ¶Â¶Á¶ ÂǼ°¿¾Â´º´Á»°ÂǼ 297 ÌÑÝØÈ ÙÌÐÚ ÛàÔ ÞÈØÈÑÛÎØÐÙÛÐÑà Ô ÓÖÔÈ ËàÔ ×ÖÜ Ì×ÐÒÌ ÊÖÜÓÌ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ Ì ÞÖÜÔ ÈØÐÏÓÎÛÐÑÖ  ÙÜÔÛÌÒÌÙÛΠ РÙÖ ÓÌ ÛÎ ÓÖÔÈ ËÈ à ÙÛÌ ÛÈ È×ÖÛÌÒÌ ÙÓÈÛÈ  ÓÈÚ ÔÈ ÙÜ-Ó×Р×ÛÖÜÔ ÓÌ ÌÑÌРÔÈ ×ÖÜ ÌРÞÈÓÌ ÉØÌÐ ÒÜ ÔÖÔÛÈÚ ÛÎÔ ÌÕРÙàÙÎ Schrodinger ÊÐÈ ÓÖÔÈËÐÈРÌÚ ÛÐÓÌ Ú ÛØÐà Ô ÉÈÙÐÑà Ô ×ÈØÈÓÌ ÛØàÔ ÛÎÚ.

2. ÁÜÍΠÛÎÙÎ ÛàÔ È×ÖÛÌÒÌÙÓÈ ÛàÔ

¹ÈÛÈ  ÛÎÔ ÑÈÏÐÌØàÓÌ ÔÎ ×ÒÌ ÖÔ ûÙÜÔΠÏÌÐÈ ý ÓÈÚ ÏÈ Ì×ÐÞÌÐØΠÙÖÜÓÌ Ûà ØÈ ÓÐÈ ÙÜÙÛÎÓÈÛÐÑΠ ÈÔÈ ÒÜÙÎ ÛàÔ ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔàÔ È×ÖÛÌÒÌÙÓÈ ÛàÔ à ÙÛÌ ÔÈ ÈÔÈ-ËÌÐÞÏÌР Î ÝÜÙÐÑΠ ÛÖÜÚ ÙÎÓÈÙÐ È ÑÈÐ ÛÈ ÊÌÔÐÑÈ  Π ÌÐËÐÑÈ  ÞÈØÈÑÛÎØÐÙÛÐÑÈ  ÛÖÜÚ. ¹ÈÐ ÈØÞРÍÖÜÓÌ ÓÌ ÛÎ ÓÖØÝΠ ÛàÔ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌàÔ.  ¶ ÓÖØÝΠ ÛàÔ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌàÔ: ÁÜÓÓÌÛØÐ È ÑÈÛÖ×ÛØÐÙÓÖÜ  ÑÈÐ ÛÖ ÏÌà ØÎÓÈ ÛàÔ ÑÖ ÓÉàÔ ³ÌÔ ÞØÌÐÈÍÖ ÛÈÔ, ÝÜÙÐÑÈ , ÔÈ Ì ÞÖÜÓÌ ÒÜ ÙÌÐ ÛÖ ×ØÖ ÉÒÎÓÈ ÊÐÈ ÔÈ ×ØÖÉÒÌ ßÖÜÓÌ Ö ÛÐ ÖÐ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÏÈ Ì ÞÖÜÔ ÛÎ ÊÌÔÐÑΠ ÓÖØÝΠ ÛÖÜ ÁÞΠÓÈÛÖÚ 7.3. ³ÎÒÈËΠ, Ö ÛÐ ÏÈ ÌРÔÈÐ ÌÔÈÒÒÈ Õ È ØÛÐÌÚ ÑÈÐ ×ÌØÐÛÛÌ Ú ÑÈÐ Ö ÈØÐÏÓÖ Ú ÛàÔ ÑÖ ÓÉàÔ ÛÖÜÚ ÏÈ ÁŶ»° 7.3: ¾Ð ÛÌ ÙÙÌØÐÚ ×Øà ÛÌÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ. ¶ ×Øà ÛÎ ÐËÐÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÌРÔÈÐ È ØÛÐÈ ÓÌ ÓÎËÌ Ô ÑÖ ÓÉÖÜÚ, Î ËÌÜ ÛÌØÎ ×ÌØÐÛÛΠ ÓÌ Ì ÔÈÔ ÑÖ ÓÉÖ, Î ÛØРÛÎ ×È ÒÐ È ØÛÐÈ ÓÌ ËÜ Ö ÑÖ ÓÉÖÜÚ Ñ.Ö.Ñ.

ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ ÑÈÛÈ  ÓÖÔÈ ËÈ ÑÈÏà Ú ×ØÖÞàØÖÜ ÓÌ È×Ö  ÛÎÔ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÛÎÚ ÏÌÓÌÒÐà ËÖÜÚ ÙÛÈ ÏÓÎÚ (ÓÎËÌ Ô ÑÖ ÓÉÖÐ) ×ØÖÚ ÛÐÚ ÈÔà ÛÌØÌÚ. °×Ö  ÑÈÏÈØÈ  ÝÜÙÐÑÎ Ú ×ÒÌÜØÈ Ú, Î ÙÜÓÓÌÛØÐ È ÑÈÛÖ×ÛØÐÙÓÖÜ  ÛàÔ ÐËÐÖÙÜ-ÔÈØÛΠÙÌàÔ ÿÛÖ ÊÌÊÖÔÖ Ú ËÎÒÈËΠ Ö ÛÐ ÌРÔÈÐ È ØÛÐÌÚ Î  ×ÌØÐÛÛÌ Úÿ ÌРÔÈÐ ÛÌÒÌРàÚ ÌÜ ÒÖÊÎ.  ¾×àÚ Ì ÞÖÜÓÌ ÛÖÔРÙÌÐ ÑÈÐ ÈÒÒÖÜ , ÌÝÖ ÙÖÔ ÛÖ ËÜÔÈÓÐÑÖ  ÌРÔÈÐ ÛÖ Ð ËÐÖ ÊÐÈ ÏÌÛÐÑÈ  ÑÈÐ ÈØÔÎÛÐÑÈ  x, ÛÖ Ð ËÐÖ ÏÈ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÙÜÓÉÈРÔÌÐ ÑÈÐ ÊÐÈ ÝÜÙÐÑÈ  ÓÌ-ÛØΠÙÐÓÌÚ ×ÖÙÖ ÛÎÛÌÚ Ö ×àÚ Î ×ÜÑÔÖ ÛÎÛÈ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈÚ ÏÌ ÙÎÚ P…x†. ¿ØÖÑÌÐÓÌ -ÔÖÜ ÊÐÈ ÛÐÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÌÔÖ Ú ÛÌ ÛÖÐÖÜ ×ØÖÉÒΠÓÈÛÖÚ, ËÌÔ Ü×È ØÞÌÐ ÑÈÔÌ ÔÈÚ ÒÖ ÊÖÚ ÔÈ ÌРÔÈÐ ËÐÈÝÖØÌÛÐÑΠ Î ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÌÜ ØÌÙÎÚ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÙÛÈ ÏÌÛÐÑÈ  Π ÛÈ ÈØÔÎÛÐÑÈ  x. ·È ×ØÌ ×ÌÐ Ì×ÖÓÌ ÔàÚ ÔÈ ÌРÔÈÐ P…ÿx† ˆ P…x† )  …ÿx†2ˆ …x†2 ) …ÿx† ˆ 6 …x†; ËÎÒÈËΠ ÖÐ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÌРÔÈÐ È ØÛÐÌÚ Î  ×ÌØÐÛÛÌ Ú.  ¾ÓàÚ ÌÑÛÖ Ú È×Ö  ÛÎ ÙÜÓÓÌÛØÐ È ÛÖÜÚ, ÑÈÐ Ö ÈØÐÏÓÖ Ú ÛàÔ ÑÖ ÓÉàÔ ÛàÔ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈØÛΠÙÌàÔ Ì ÞÌÐ È×ÒΠ ÝÜÙÐÑΠ ÌÕΠÊÎÙÎ.  ¾×àÚ ÌРÞÈÓÌ ÛÖÔРÙÌÐ ÑÈÐ ÙÛÎÔ ×ÌØР×ÛàÙÎ ÛÖÜ ÓÖÔÖËÐÈ ÙÛÈÛÖÜ ÑÖÜÛÐÖÜ  (¹ÌÝ. 5, ÙÌÒ. 229-30), ÖÐ ËÐÈËÖÞÐÑÌ Ú ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ Ì ÞÖÜÔ ÛÎ ÞÈØÈÑÛÎØÐÙÛÐÑΠ ÓÖØÝΠ ÛàÔ ÙÛÈ ÙÐÓàÔ ÑÜÓÈ ÛàÔ ÓÐÈÚ ÛÈÒÈÔÛÌÜÖ ÓÌÔÎÚ ÞÖØËΠÚ. ¶ ×Øà ÛÎ ÐËÐÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÌР ÙÛÎÔ ÛÖ×ÖÏÌ -ÛÎÙÎ ÌÔÖ Ú ÎÓÐÑÜ ÓÈÛÖÚ ÓÌ ÙÈ ÙÛÖ ÑÖÜÛР, Î ËÌÜ ÛÌØÎ ÙÛÎÔ ÛÖ×ÖÏÌ ÛÖ×ÖÏÌ -ÛÎÙÎ ËÜ Ö ÎÓÐÑÜÓÈ ÛàÔ Ñ.Ö.Ñ. ÊÐÈ ÛÐÚ ÈÑÖ ÓÈ ÜßÎÒÖ ÛÌØÌÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌÐÚ.  ¾×àÚ ÝÈРÔÌÛÈÐ È×Ö  ÛÖ ÁÞΠÓÈ 7.3, ÈÜÛΠ Î ÊÌÔÐÑΠ ÌÐÑÖ ÔÈ ÐÙÞÜ ÌÐ ÑÈÐ ÊÐÈ ÛÐÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ ÓÌ ÛÐÚ ÌÕÎ Ú ÌÜ ÒÖÊÌÚ ÛØÖ×Ö×ÖÐΠÙÌÐÚ: È) ¾Ð ÐËÐÖ-ÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ËÌÔ ÛÌØÓÈÛРÍÖÔÛÈÐ ÙÛÈ Ö ØÐÈ ÛÎÚ ÑÒÈÙÐÑÈ  Ì×ÐÛØÌ×Ö ÓÌÔÎÚ ×ÌØÐÖ-ÞÎ Ú (ËÎÒÈËΠ ÌÑÌР ×ÖÜ Î ÙÞÌÛÐÑΠ ÙÛÈ ÏÓÎ ûÑÖ ÉÌÐý ÛÎÔ ÑÈÓ×Ü ÒÎ ÛÖÜ ËÜÔÈÓÐÑÖÜ ) ÈÒÒÈ  Ì ÞÖÜÔ ÑÈÐ ÌÑÏÌÛÐÑÈ  ÝÏРÔÖÜÙÌÚ ûÖÜØÌ Úý ×ÖÜ ÌÑÛÌРÔÖÔÛÈÐ, ÏÌàØÎÛÐÑÈ , à Ú ÛÖ È ×ÌÐØÖ. É) ÂÈ ËÐÈ ÝÖØÈ ûÎÓÐÑÜ ÓÈÛÈý ×ÖÜ ûÙÞÎÓÈÛРÍÖÜÔý ÛÎÔ ÑÜÓÈÛÖÙÜ-ÔÈ ØÛÎÙÎ ÓÌ ÙÈ ÙÛÖ ÑÒÈÙÐÑÈ  Ì×ÐÛØÌ×Ö ÓÌÔÖ ËÐÈ ÙÛÎÓÈ ËÌÔ Ì ÞÖÜÔ ×ÐÈ ÛÎÔ È×ÒΠ ÎÓÐÛÖÔÖÌÐËΠ ÓÖØÝΠ ÛÖÜ ÓÖÔÖËÐÈ ÙÛÈÛÖÜ ÑÖÜÛÐÖÜ  ËÐÖ ÛÐ ÛÖ ËÜÔÈÓÐÑÖ  ÌÕÈØÛÈ ÛÈÐ Ûà ØÈ È×Ö  ÛÖ x, Ö×Ö ÛÌ ÛÖ Ð ËÐÖ ÏÈ ÐÙÞÜ ÌÐ ÑÈÐ ÊÐÈ ÛÖ ÓΠÑÖÚ ÑÜ ÓÈÛÖÚ ÛÖÜ ÙàÓÈ-ÛÐËРÖÜ. ¿ØÈ ÊÓÈÛÐ ÿÒÖ Êà ËÐÈÛΠØÎÙÎÚ ÛÎÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚÿ ÏÈ ÌРÔÈÐ p2 2m‡ V …x† ˆ E ) p ˆ p…x† ˆ  2m…E ÿ V …x†† p ÑÈÐ Ì×ÖÓÌ ÔàÚ  ˆ …x† ˆ h p…x†ˆ h  2m…E ÿ V …x†† p ; Ö×Ö ÛÌ ÖÐ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÙÌ Ì ÔÈ ÓÌÛÈÉÈÒÒÖ ÓÌÔÖ ËÜÔÈÓÐÑÖ  V …x† ÏÈ Ì ÞÖÜÔ ÛÎÔ ÈÔÈÓÌÔÖ ÓÌÔÎ ÑÜÓÈÛÖÌÐËΠ ÓÖØÝΠ ÈÒÒÈ  ÓÌ ÓΠÑÖÚ ÑÜ ÓÈÛÖÚ ×ÖÜ ÈÒÒÈ ÍÌÐ ÓÌ ÛÖ x.

2. Áõ¶Â¶Á¶ ÂǼ°¿¾Â´º´Á»°ÂǼ 299  ¶ ÓÖØÝΠ ÛàÔ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌàÔ ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ n: ÂÖ ÑÒÈÙÐÑÖ  Ö ØÐÖ »ÐÈ È ÓÌÙÎ ÙÜÔÌ ×ÌÐÈ ÛàÔ ×ÈØÈ×È Ôà ÌРÔÈÐ Ö ÛÐ, ÑÈÏà Ú È×ÖÓÈÑØÜÔÖ ÓÈÙÛÌ È×Ö  ÛÎÔ ÈØÞΠ, ÛÈ ËÐÈËÖÞÐÑÈ  ÎÓÐÑÜ ÓÈÛÈ ÓÐÈÚ ÌÔÌØÊÌÐÈÑÎ Ú ÐËÐÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎÚ ÏÈ ÛÌРÔÖÜÔ ÔÈ ÊРÔÖÔÛÈÐ ×ÐÖ ûÈÔÖÐÑÛÈ ý ÈÝÖÜ  Î ÛÖ×ÐÑΠ ÖØÓΠ ÏÈ ÓÌÐà ÔÌÛÈÐ ÑÈÐ È ØÈ ÛÖ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÖ ÛÖ×ÐÑÖ  ÓΠÑÖÚ ÑÜ ÓÈÛÖÚ ÏÈ ÓÌÊÈÒà ÔÌÐ. °ÜÛÖ  ÌРÔÈРΠËÎ ÝÈÔÌØÖ  È×Ö  ÛÐÚ ËÜ Ö ÛÌÒÌÜÛÈРÌÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ÁÞΠÓÈÛÖÚ 7.3 ÈÒÒÈ  ÊРÔÌÛÈÐ ÛÌ-ÒÌРàÚ Ì ÑËÎÒÖ ÙÛÖÜÚ ÓÌÊÈ ÒÖÜÚ ÑÉÈÔÛÐÑÖÜ Ú ÈØÐÏÓÖÜ Ú Ö ×àÚ, ×ÈØÈËÌРÊÓÈÛÖÚ ÞÈ ØÐÔ, ÊÐÈ n ˆ 20, Ö×Ö ÛÌ Î ÊØÈÝÐÑΠ ×ÈØÈ ÙÛÈÙÎ ÏÈ ÌРÔÈÐ Ö ×àÚ ÙÛÖ ÙÞΠÓÈ 7.4. °×Ö  ÛÖ ×ÈØÈ×È Ôà ÙÞΠÓÈ ÌРÔÈÐ Ì×РÙÎÚ ÝÈÔÌØÖ  Ö ÛÐ ÖÐ ËÐÈËÖÞÐÑÌ Ú ÑÜÓÈ-ÛÖÑÖØÝÌ Ú ÛÎÚ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎÚ 20 ÊРÔÖÔÛÈÐ ÖÒÖÌ ÔÈ ÑÈÐ ßÎÒÖ ÛÌØÌÚ ÑÈÏà Ú ×ÒÎÙÐÈ ÍÖÜÓÌ ÛÈ ÙÎÓÌÐ È ÈÔÛÐÙÛØÖÝÎ Ú ÛÎÚ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ÑРÔÎÙÎÚ, ÙÛÈ Ö×ÖÐ È Î ÛÖ×ÐÑΠ ÛÈÞÜ ÛÎÛÈ ÓÎËÌÔРÍÌÛÈÐ. ¹ÈÐ Ö ÒÖ ÊÖÚ ÊÐ' ÈÜÛÖ  ÌРÔÈÐ Ì×РÙÎÚ È×ÒÖ Ú. ÁÛÖ Ö ØÐÖ ÛàÔ ÓÌÊÈ ÒàÔ ÑÉÈÔÛÐÑà Ô ÈØÐÏÓà Ô ÿÑÈÐ ÛÖ n ˆ 20 ÈÙÝÈÒà Ú ËÌÔ ÌРÔÈÐ ÓÐÑØÖ ÿ Î ÑÉÈÔÛÐÑΠ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÈÔÈ×ÈØÈ ÊÌÐ ÞÖÔËØÐÑÈ  ÛÎÔ ÑÒÈÙÐÑΠ ÙÜÓ×ÌØÐÝÖØÈ  ÙÜ ÓÝàÔÈ ÓÌ ÛÎÔ Ö×ÖÐ È ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÕÖËÌÜ ÌÐ ×ÖÒÜ  ×ÌØÐÙÙÖ ÛÌØÖ ÞØÖ ÔÖ ÌÑÌР ×ÖÜ Î ÛÈÞÜ ÛÎÛÈ  ÛÖÜ ÌРÔÈÐ ÓÐÑØΠ ÑÈÐ Ì×ÖÓÌ ÔàÚ ÌÑÌР ÏÈ Ü×È ØÞÌÐ ÓÌÊÈÒÜ ÛÌØÎ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÈÔÌÜ ØÌÙÎ Ú ÛÖÜ. ´Ð ÔÈÐ ÈÔÈÓÌÔÖ ÓÌÔÖ, ÒÖÐ×Ö Ô, Ö ÛÐ ÑÈÏà Ú ×ÒÎÙÐÈ ÍÖÜÓÌ ÛÈ ÈÑØÈÐ È ÙÎÓÌÐ È ÛÎÚ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ÛÈÒÈ ÔÛàÙÎÚ ÖÐ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÓÌÊÈ ÒÖÜ n ÏÈ Ì ÞÖÜÔ Ö ÞÐ ÓÖ ÔÖ ûÌÜØÜ ÛÌØÌÚý ÈÒÒÈ  ÑÈÐ ËÐÈØÑà Ú ßÎÒÖ ÛÌØÌÚ ÑÜÓÈÛÖÑÖØÝÌ Ú. ÁŶ»°7.4:¶ ÊØÈÝÐÑΠ ×ÈØÈ ÙÛÈÙÎ ÛÎÚ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌàÚ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ ÓÌ ÑÉÈÔÛÐÑÖ  ÈØÐÏÓÖ  n ˆ 20. ÂÖ ÛÖ×ÐÑÖ  ÓΠÑÖÚ ÑÜ ÓÈÛÖÚ ÛàÔ ËÐÈËÖÞÐÑà Ô ÎÓÐÑÜÓÈ ÛàÔ ×ØÖÝÈÔà Ú ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ ÑÈÏà Ú È×ÖÓÈÑØÜÔÖ ÓÈÙÛÌ È×Ö  ÛÎÔ ÈØÞΠ ÌÔà  ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ ÛÈÜÛÖ ÞØÖÔÈ ÑÈÐ ÛÖ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÖ ûÜ ßÖÚý ÛÖÜÚ à ÙÛÌ ÔÈ ÈÔÈ×ÈØÈ ÊÌÛÈÐ, ÙÛÖ Ö ØÐÖ ÛàÔ ÓÌÊÈ ÒàÔ n, Î ÑÒÈÙÐÑΠ ÙÜÓ×ÌØÐÝÖØÈ  ×ÖÜ ×ØÖÉÒÌ ×ÌÐ ÈÜÕÎÓÌ ÔÎ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÌÜ ØÌÙÎÚ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÌÑÌР ×ÖÜ Î ÛÖ×ÐÑΠ ÛÈÞÜ ÛÎÛÈ ÌРÔÈÐ ÓÐÑØΠ. ³ÎÒÈËΠ ÑÖÔÛÈ  ÙÛÈ ÈÑØÈÐ È ÙÎÓÌÐ È ÛÎÚ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ÛÈÒÈ ÔÛàÙÎÚ.

¶ ÙÞÌ ÙÎ ÓÌÛÈÕÜ  ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ÑРÔÎÙÎÚ ÑÈÐ ÛàÔ ÐËÐÖÙÜÔÈØÛΠÙÌàÔ ÓÌÊÈ ÒÖÜ n ÊРÔÌÛÈÐ ÈÑÖ ÓÈ ×ÐÖ ÌÓÝÈÔÎ Ú ÈÔ ÙÞÌËÐÈ ÙÖÜÓÌ ÓÈÍР ÛÎÔ ÑÉÈÔÛÐÑΠ ×ÜÑÔÖ ÛÎÛÈ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈÚ Pn…x† ˆ j n…x†j2 ÑÈÐ ÛÎÔ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÎ ÑÒÈÙÐÑΠ ×ÖÙÖ ÛÎÛÈ Pcl…x† dx ˆ2dt_T ˆ2…dx=v…x††_T …7:20† ) Pcl…x† ˆ_Tv…x†2 …7:21† Î Ö×ÖÐ È ÿ×ÈØ' Ö ÛÐ, ÉÌÉÈРàÚ, Î ÑÒÈÙÐÑΠ ÑРÔÎÙÎ ÌРÔÈÐ ×ÒΠØàÚ ÔÛÌÛÌØÓÐÔÐÙÛÐ-ÑΠÿ ×ÌØÐÊØÈ ÝÌÐ, Ü×Ö  ÓÖØÝÎ Ô ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈÚ, ÛÖÔ ÉÈÏÓÖ  ×ÈØÈÓÖÔÎ Ú ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐ-ËРÖÜ ÙÌ ÑÈ ÏÌ ÙÛÖÐÞÌÐà ËÎ ×ÌØÐÖÞΠ ÛÖÜ ËÐÈÙÛΠÓÈÛÖÚ ÛÈÒÈ ÔÛàÙÎÚ. ¾ ÉÈÏÓÖ Ú ×ÈØÈÓÖÔÎ Ú ÐÙÖÜ ÛÈÐ ÓÌ ÛÖ ×ÖÙÖÙÛÖ  ÛÖÜ ÞØÖ ÔÖÜ, ÙÌ ÙÞÌ ÙÎ ÓÌ ÛÎÔ ×ÒΠØÎ ×ÌØР-ÖËÖ, ×ÖÜ ûÕÖËÌÜ ÌÐý ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÙÛÎÔ ÌÔ ÒÖ Êà ×ÌØÐÖÞΠ. (¾ ×ÈØÈ ÊÖÔÛÈÚ 2 ÙÛÎÔ (7.20) ÌÑÝØÈ ÍÌÐ, ×ØÖÝÈÔà Ú, ÛÖ ÊÌÊÖÔÖ Ú Ö ÛÐ ÙÛÎ ËÐÈ ØÑÌÐÈ ÓÐÈÚ ×ÌØÐÖ ËÖÜ, ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ×ÌØÔÈ ÌÐ ËÜ Ö ÝÖØÌ Ú È×Ö  ÛÎÔ Ð ËÐÈ ×ÌØÐÖÞΠ.) ÁÛÖ ÈËÐÈ ÙÛÈÛÖ ÙÜ ÙÛÎÓÈ ÓÖÔÈ ËàÔ ÙÛÖ Ö×ÖÐ Ö ËÖÜÒÌÜ ÖÜÓÌ, ÌРÔÈÐ T ˆ 2=! ˆ 2 ÑÈÐ v…x† ˆ  2…E ÿ V …x†† m r    mˆ1; V ˆx2₌₂ ˆp2E ÿ x2_; Ö×Ö ÛÌ, ÙÜ ÓÝàÔÈ ÓÌ ÛÖÔ (7.21), ÏÈ ÌРÔÈÐ Pcl…x† ˆ 1 p2E ÿ x2 ÿ ÿp2E< x <p2E1 ÑÈÐ Î ÙÜ ÊÑØÐÙÎ ÓÌ ÛÎÔ ÑÉÈÔÛÐÑΠ ÑÈÛÈÔÖÓΠ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈÚ ÊÐÈ n ˆ 20 …) 2E ˆ 41† È×ÌÐÑÖÔРÍÌÛÈÐ ÑÈÏÈØÈ  ÙÛÖ ÁÞΠÓÈ 7.5.  . . . ÑÈÐ ÛÖ ÈÑØÈÐ Ö ÈÔÛÐÑÒÈÙÐÑÖ  Ö ØÐÖ ÛÎÚ ÏÌÓÌÒÐà ËÖÜÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌàÚ  ¾ÓàÚ ÙÛÖÔ Ð ËÐÖ ÉÈÏÓÖ  ×ÖÜ ÌРÔÈÐ ÌÜ ÒÖÊÖ ÔÈ ×ØÖÙÌÊÊРÍÖÜÔ ÖÐ ÑÉÈÔÛÐÑÌ Ú ÑÜ-ÓÈÛÖÙÜÔÈØÛΠÙÌÐÚ ÓÌÊÈ ÒÖÜ n ÛÎÔ ÑÒÈÙÐÑΠ ÙÜÓ×ÌØÐÝÖØÈ , È ÒÒÖ ÛÖ ÙÖ ÏÈ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÈÔÈÓÌ ÔÌÛÈÐ Ö ÛÐ ÖÐ È×ÖÑÒРÙÌÐÚ È×Ö  ÈÜÛΠ ÛÎ ÙÜÓ×ÌØÐÝÖØÈ  ÏÈ ÌРÔÈÐ ÛÖ ÙÖ ×ÐÖ Ì ÔÛÖÔÌÚ Ö ÙÖ ÑÈÛÌÉÈРÔÖÜÓÌ ×ØÖÚ ÛÈ ÓÐÑØÖ ÛÌØÈ n, ËÎÒÈËΠ ÙÛÐÚ ÞÈÓÎÒÖ ÛÌØÌÚ ÐËÐÖÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌÐÚ. ³ÌÔ È×ÖÛÌÒÌР ÒÖÐ×Ö Ô ÑÈÏÖ ÒÖÜ Ì Ñ×ÒÎÕÎ Ö ÛÐ Î ×ÐÖ ÈÔÛÐ-ÑÒÈÙÐÑΠ ÙÜÓ×ÌØÐÝÖØÈ  ÌÓÝÈÔРÍÌÛÈÐ ÙÛÎ ÏÌÓÌÒÐà ËÎ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÛÈÒÈÔÛà-ÛΠ, Ö ×àÚ ÝÈРÔÌÛÈÐ ÑÈÏÈØÈ  ÙÛÖ ÁÞΠÓÈ 7.6.

2. Áõ¶Â¶Á¶ ÂǼ°¿¾Â´º´Á»°ÂǼ 301 ÁŶ»° 7.6: ÁÜ ÊÑØÐÙÎ ÑÉÈÔÛÐÑÎ Ú ÑÈÐ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ×ÜÑÔÖ ÛÎÛÈÚ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈÚ ÊÐÈ ÛÎ ÏÌÓÌÒÐà ËÎ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ. ÂÌÒÌРàÚ ÈÔÛРÏÌÛÈ ÓÌ Ö ,ÛÐ ÙÜÓÉÈРÔÌÐ ÙÛÎÔ ÑÒÈÙÐÑΠ ×ÌØР×ÛàÙÎ, ÛÖ ÑÉÈÔÛÐÑÖ  ÙàÓÈÛРËÐÖ ÌРÔÈÐ ×ÖÒÜ  ×ÐÏÈÔÖ ÛÌØÖ ÔÈ ÉØÌÏÌР ÙÛÎ ÊÌÐÛÖÔÐÈ  ÛÎÚ ÈØÞÎ Ú ×ÈØÈ  ÙÛÈ Ö ØÐÈ ÛÎÚ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ÛÈÒÈ ÔÛàÙÎÚ. ÁÛÎ ÏÌÓÌÒÐà ËÎ ÛÖÜ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÙÜÓ×ÌØÐÝÌ ØÌÛÈÐ ÓÌ ÛÖÔ ×ÐÖ ÈÑØÈÐ Ö ÈÔÛÐ-ÑÒÈÙÐÑÖ  ÛØÖ ×Ö. ÁŶ»° 7.5: ÁÜ ÊÑØÐÙÎ ÑÉÈÔÛÐÑÎ Ú ÑÈÐ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ×ÜÑÔÖ ÛÎÛÈÚ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈÚ ÊÐÈ ÛÎÔ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ n ˆ 20 ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ. ¶ ÑÉÈÔÛÐÑΠ ÑÈÛÈÔÖÓΠ ÛÈÒÈÔÛÌÜ ÌÛÈÐ ÙÜÓÓÌÛØÐÑÈ  ÊÜ Øà È×Ö  ÛÎÔ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÎ ÑÒÈÙÐÑΠ ÑÈÓ×Ü ÒÎ Î Ö×ÖÐ È Ó×ÖØÌР ÔÈ ÏÌàØÎÏÌР Ì ÛÙÐ àÚ Ì ÔÈ ÌРËÖÚ ÓÌ ÙÖÜ Ö ØÖÜ ÛÎÚ ×Øà ÛÎÚ, ÙÛÖ Ö ØÐÖ ÛàÔ ÓÌÊÈ ÒàÔ n Ö ×ÖÜ ÖÐ ÑÉÈÔÛÐÑÌ Ú ÛÈÒÈÔÛà ÙÌÐÚ ×ÈÜ ÖÜÔ ÔÈ ÌРÔÈÐ ×ÈØÈÛÎØΠÙÐÓÌÚ.

 ¶ ËÐÌРÙËÜÙÎ ÙÛÐÚ ÑÒÈÙÐÑÈ  È×ÈÊÖØÌÜÓÌ ÔÌÚ ×ÌØÐÖÞÌ Ú: ÂÐ ×ÖÙÖÙÛÖ  ÛÎÚ ûÍàΠÚý ÛÖÜ ×ÌØÔÈ ÌÐ ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÙÛÎÔ û×ÈØÈÔÖÓРÈý; »ÌÛÈ  ÑÈÐ ÛÐÚ ÙÞÌÛÐÑÌ Ú ÙÜÍÎÛΠÙÌÐÚ ÛÖÜ ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔÖÜ ÑÌÝÈÒÈРÖÜ Î ËÐÌРÙËÜÙÎ ÙÛÐÚ ÑÒÈÙÐÑÈ  È×ÈÊÖØÌÜÓÌ ÔÌÚ ×ÌØÐÖÞÌ Ú ÏÈ ×ØÌ ×ÌÐ ×ÒÌ ÖÔ ÔÈ ÏÌàØÌРÛÈÐ àÚ Ì ÔÈ ÌРËÖÚ ûÑÉÈÔÛÐÑÖÜ  ÑÌÑÛÎÓÌ ÔÖÜý Ö ×àÚ Î ÑÉÈ ÔÛàÙÎ ÛÖÜ ÌÔÌØÊÌÐÈÑÖÜ  ÝÈ ÙÓÈÛÖÚ (ÙÛÎÔ ×ÌØÐÖÞΠ ÛàÔ ËÌ ÙÓÐàÔ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌàÔ) Π Î ÑÉÈÔÛÐÑΠ ÈÔÛРÙÛÈÙÎ ÙÛÖÔ ÌÔÛÖ×ÐÙÓÖ  Î Ö×ÖÐ È ×ØÖÑÈÒÌР ÛÎÔ ÈÔÜ ßàÙÎ ÛÎÚ ÏÌÓÌÒÐà ËÖÜÚ ÙÛÈ ÏÓÎÚ ×È Ôà È×Ö  ÛÖÔ ×ÜÏ-ÓÌ ÔÈ ÛÖÜ ÈÔÛРÙÛÖÐÞÖÜ ËÜÔÈÓÐÑÖÜ . ÁÛÎÔ ÛàØÐÔΠ ×ÌØР×ÛàÙÎ Î ËÐÌРÙËÜÙÎ ÌРÔÈÐ, ÉÌÉÈРàÚ, ×ØÖÝÈÔÎ Ú ÌÝÖ ÙÖÔ Î ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÌÑÛÌРÔÌÛÈÐ ÙÌ Ö ÒÖ ÛÖÔ ×ØÈÊÓÈÛÐÑÖ  È ÕÖÔÈ ÌÔà  ÛÖ ÑÒÈÙÐÑÈ  Ì×ÐÛØÌ×Ö ÓÌÔÖ ËÐÈ ÙÛÎÓÈ ÌРÔÈÐ ÓÖ ÔÖ ÛÖ ‰ÿa; aŠ Ö ×ÖÜ a ÛÖ ÈÑØÈÐ Ö ËÌÕÐÖ  ÙÎÓÌÐ Ö ÛÎÚ ÑÒÈÙÐÑÎ Ú ÛÈÒÈ ÔÛàÙÎÚ, ×ÖÜ ×ØÖÙËÐÖØРÍÌÛÈÐ È×Ö  ÛÎ ÊÔàÙÛΠ ÙÜÔÏΠÑÎ V …a† ˆ E ) 1 2a2 ˆ E ) a ˆ  2E p ˆp2n ‡ 1: ²ÐÈ ÛÎ ÏÌÓÌÒÐà ËÎ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ …n ˆ 0† ÛÖ ÑÒÈÙÐÑÈ  Ì×ÐÛØÌ×Ö ÓÌÔÖ ËÐÈ ÙÛÎÓÈ ÏÈ ÌРÔÈÐ ÒÖÐ×Ö Ô ÛÖ ‰ÿ1; 1Š, Ö×Ö ÛÌ Î ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÔÈ ÉØÌÏÌР ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÙÛÎÔ ÑÒÈÙÐÑÈ  È×ÈÊÖØÌÜÓÌ ÔÎ ×ÌØÐÖÞΠ jxj > 1 ÏÈ ËРÔÌÛÈÐ È×Ö  ÛÎÔ Ì ÑÝØÈÙ΅3† P2jxj > 13ˆ 1 ÿ P2jxj < 13 ˆ 1 ÿ Z ₁ ÿ1 0…x† 2_{dx: …7:22†} ·È ÌРÔÈÐ ËÎÒÈËΠ ÙÜÓ×ÒÎØàÓÈÛÐÑΠ ÛÎÚ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈÚ ÔÈ ÛÖ ÉØÖÜ ÓÌ ÙÛÖ ÑÒÈ-ÙÐÑÈ  Ì×ÐÛØÌ×Ö ÓÌÔÖ ËÐÈ ÙÛÎÓÈ jxj < 1. ÁÌ Ì ÔÈ ×ØÖ ÉÒÎÓÈ ÙÛÖ ÛÌ ÒÖÚ ÛÖÜ ÑÌÝÈÒÈРÖÜ (¿ØÖ ÉÒÎÓÈ ±.7) ÏÈ ÙÈÚ Ü×ÖËÌРÕÖÜÓÌ Ì ÔÈÔ È×ÒÖ  ÛØÖ ×Ö ÔÈ Ü×ÖÒÖÊРÙÌÛÌ ×ØÖÙÌÊÊÐÙÛÐÑÈ  ÛÖ ÖÒÖÑÒΠØàÓÈ ÛÖÜ ËÌÜ ÛÌØÖÜ ÓÌ ÒÖÜÚ ÛÎÚ (7.22) ÑÈÐ ÔÈ ÑÈÛÈÒΠÕÌÛÌ ÙÛÖ ÈØÐÏÓÎÛÐÑÖ  È×ÖÛÌ -ÒÌÙÓÈ P2jxj > 13' 1 ÿp1 ÿ eÿ1_{' 0;205  20;5%} ÛÖ Ö×ÖÐ Ö ÌРÔÈÐ ÈØÑÌÛÈ  ÑÖÔÛÐÔÖ  ÙÛÎÔ ×ÖÒÜ  ÈÑØÐÉÌ ÙÛÌØÎ ÛÐÓΠ P2jxj > 13ˆ 0;157  15;7% ×ÖÜ ×ÈРØÔÌÐ ÑÈÔÌÐ Ú È×Ö  Ì ÔÈ ×ØÖ ÊØÈÓÓÈ ÙÜÓÉÖÒÐÑà Ô Ü×ÖÒÖÊÐÙÓà Ô. »×ÖØÖÜ ÓÌ ÒÖÐ×Ö Ô ÔÈ ×ÖÜ ÓÌ Ö ÛÐ ÙÛÎ ÏÌÓÌÒÐà ËÎ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÌÔÖ Ú ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ×ÌØÔÈ  ÛÖ 15,7% ÛÎÚ ÍàÎ Ú ÛÖÜ ÙÛÎÔ. . . ×ÈØÈÔÖÓРÈ! »Ì Ì ÔÈ ×ØÖ ÊØÈÓÓÈ …3† _{Ã×ÌÔÏÜÓРÍÖÜÓÌ Ö ÛÐ Ö ÙÜÓÉÖÒÐÙÓÖ Ú P [ËÐÈ ÙÛÎÓÈ ÛÐÓà Ô ÛÖÜ  x] ËÎÒà ÔÌÐ ÛÎÔ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÔÈ} ÉØÖÜ ÓÌ ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÓÌ ÙÈ ÙÛÖ Ü×ÖËÌÐÑÔÜÖ ÓÌÔÖ ËÐÈ ÙÛÎÓÈ.

2. Áõ¶Â¶Á¶ ÂǼ°¿¾Â´º´Á»°ÂǼ 303 ÙÜÓÉÖÒÐÑà Ô Ü×ÖÒÖÊÐÙÓà Ô ÌРÔÈÐ Ì×РÙÎÚ ÛÌÛØÐÓÓÌ ÔÖ ÔÈ Ü×ÖÒÖÊРÙÖÜÓÌ ÛÖ È-ÔÛРÙÛÖÐÞÖ û×ÖÙÖÙÛÖ  ×ÈØÈÔÖÓРÈÚý ÑÈÐ ÊÐÈ Ö ÙÌÚ È ÒÒÌÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌÐÚ ÛÖÜ ÛÈ-ÒÈÔÛàÛΠ Ì×ÐÏÜÓÖÜ ÓÌ. ÂÈ È×ÖÛÌÒÌ ÙÓÈÛÈ ÊÐÈ ÛÐÚ ËÌ ÑÈ ×Øà ÛÌÚ È×Ö  ÈÜÛÌ Ú ËРÔÖÔÛÈÐ ÙÛÖÔ ¿Ð ÔÈÑÈ 7.2.  ¾×àÚ ÈÔÈÓÌÔÖ ÛÈÔ, Î ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÈÔÌÜ ØÌÙÎÚ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÙÛÎÔ ÑÒÈÙÐÑÈ  È×ÈÊÖØÌÜÓÌ ÔÎ ×ÌØÐÖÞΠ ÓÌÐà ÔÌÛÈÐ ÈÜÕÈÔÖÓÌ ÔÖÜ ÛÖÜ n ÌÝÖ ÙÖÔ Î ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÈÜÛΠ ÏÈ ×ØÌ ×ÌÐ ÔÈ ÛÌРÔÌÐ ÙÛÖ ÓÎËÌ Ô ÊÐÈ ÓÌÊÈ ÒÈ n Ö ×ÖÜ ÐÙÞÜ ÌÐ ×ÒÌ ÖÔ Î ÑÒÈÙÐÑΠ ÝÜÙÐÑΠ. ´ÔÛÖÜ ÛÖÐÚ ÌРÔÈÐ ÈÕÐÖÓÔÎÓÖ ÔÌÜÛÖ Ö ÛÐ Î ÓÌРàÙÎ ÈÜÛΠ ÌРÔÈÐ ×ÖÒÜ  ÉØÈËÌРÈ, Ö ×àÚ Ì×ÐÉÌÉÈÐà ÔÌÛÈÐ ÑÈÐ È×Ö  ×ÌØÈÐÛÌ Øà ËÌËÖÓÌ ÔÈ ×ÖÜ Ó×ÖØÌР ÔÈ ×È ØÌÐ ÑÈÔÌÐ Ú È×Ö  ÛÖÔ Ü×ÖÒÖÊÐÙÛΠ ÛÖÜ. ¿ÈØÈ-ËÌРÊÓÈÛÖÚ ÞÈ ØÐÔ, ÊÐÈ n ˆ 30 Î ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ËÐÌРÙËÜÙÎÚ Ì ÞÌÐ ÓÌÐàÏÌР ÓÖ ÒÐÚ ÙÛÖ 4,2% ÌÔà  ÊÐÈ n ˆ 50 ÌРÔÈÐ ÈÑÖ ÓÈ 3,2%! ÁÎÓÌÐà ÙÛÌ, ÛÌ ÒÖÚ, Ö ÛÐ Ö ÒÌÚ ÖÐ ×ØÖÎÊÖÜ ÓÌÔÌÚ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÌÚ ÿÖ ÔÛÈÚ ÈËÐÈ -ÙÛÈÛÌÚ ×ÖÙÖ ÛÎÛÌÚÿ ËÌÔ ÌÕÈØÛà ÔÛÈÐ ÑÈÏÖ ÒÖÜ È×Ö  ÛÐÚ ×ÈØÈÓÌ ÛØÖÜÚ h; m ÑÈÐ ! ÛÖÜ ÛÈÒÈÔÛàÛΠ. ¾Ð ÛÐÓÌ Ú ÛÖÜÚ ÌРÔÈÐ ÖРРËÐÌÚ Ö ×ÖÐÈ ÑÈÐ ÈÔ ÌРÔÈÐ Î ÓÈ ÍÈ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ, Î ÑÒÈÙÐÑΠ ÙÜÞÔÖ ÛÎÛÈ ! ÛÖÜ ÛÈÒÈÔÛàÛΠ Π Î ÙÛÈÏÌØÈ  ÛÖÜ Planck! »×ÖØÌРÛÌ ÔÈ ÌÕÎÊΠÙÌÛÌ ÊÐÈÛР ÈÜÛÖ  ÌРÔÈÐ ÈÕÐÖ×ÌØРÌØÊÖ ÑÈÐ ÔÈ Ì×ÐÞÌÐØΠÙÌÛÌ ÑÈ ×ÖÐÈ ÌØÓÎÔÌÐ È ÛÖÜ;   ´ÔÈÚ ÑÉÈÔÛÐÑÖ Ú ÛÈÒÈÔÛàÛÎ Ú ËÌÔ ÎØÌÓÌР ×ÖÛÌ : ¶ ûÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÓÎËÌÔÐÑÖÜ  ÙÎÓÌРÖÜý ¾ ÑÉÈÔÛÐÑÖ Ú ÛÈÒÈÔÛàÛÎ Ú È×ÖÛÌÒÌР Ì×РÙÎÚ ÛÖ ×ØÖ ÛÜ×Ö ×ØÖ ÉÒÎÓÈ Ì×РËÌÐÕÎÚ ÛÎÚ ÑÉÈÔÛÐÑÎ Ú ÈÔÛРÙÛÈÙÎÚ ÙÛÖÔ ÌÔÛÖ×ÐÙÓÖ , Î Ö×ÖÐ È Ì×ÐÉÈ ÒÒÌÐ ÙÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÔÈ ÑÐÔÌРÛÈÐ ÈÑÖ ÓÈ ÑÈÐ ÙÛÎÔ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÓÌ ÊÐÙÛÎÚ. . . ÎØÌÓРÈÚ, ËÎÒÈËΠ ÛÎÔ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÌÒÈ ÞÐÙÛÎÚ ÖÒÐÑÎ Ú ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ. ÁÜ ÓÝàÔÈ ÓÌ ÛÈ È×ÖÛÌÒÌ ÙÓÈÛÈ ×ÖÜ ÉØΠÑÈÓÌ, Î ÌÒÈ ÞÐÙÛÎ ÈÜÛΠ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÿÊÔàÙÛΠ ÑÈÐ àÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÓÎËÌÔÐÑÖÜ  ÙÎÓÌРÖÜ (zero point energy)ÿ ÏÈ ËРÔÌÛÈÐ È×Ö  ÛÖÔ ÛÜ ×Ö

E0 ˆ1₂h! ˆ1₂h  k m r ¿¸¼°¹°Á7.2. ¿ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÔÈ ÉØÌÏÌР ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ÙÛÎÔ ÑÒÈÙÐÑÈ  È×ÈÊÖØÌÜÓÌ ÔÎ ×ÌØÐÖÞΠ ÊÐÈ ËÐÈ ÝÖØÌÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌÐÚ ÛÖÜ ÈØÓÖÔÐÑÖÜ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ ¹ÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ¿ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ n ˆ 0 15;7% n ˆ 1 11;2% n ˆ 2 9;5% n ˆ 3 8;5% n ˆ 4 7;9% ¹ÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ¿ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ n ˆ 5 7;4% n ˆ 6 7;0% n ˆ 7 6;7% n ˆ 8 6;4% n ˆ 9 6;2%

Ö Ö×ÖРÖÚ ÐÑÈÔÖ×ÖÐÌР, ÉÌÉÈРàÚ, ÛÐÚ È×ÈÐÛΠÙÌÐÚ ÛÖ ÙÖ ÛÖÜ ÑÒÈÙÐÑÖÜ  ÖØРÖÜ (E0! 0 ÊÐÈ h ! 0 Π m ! 1) Ö ÙÖ ÑÈÐ ÛÖÜ ÐÙÞÜØÖÜ  ÑÉÈÔÛÐÑÖÜ  ÖØРÖÜ ×ÖÜ Ì×Ð-ÉÈ ÒÒÌÐ ÔÈ ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ Î ÌÒÈ ÞÐÙÛÎ Ì×ÐÛØÌ×Ö ÓÌÔÎ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÑÈÏà Ú ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ Î ÙÛÈÏÌØÈ  ÛÖÜ Planck Π ÓÐÑØÈРÔÌÐ Î ÓÈ ÍÈ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ. ¶ ×ØÖÌ ÒÌÜÙÎ ÛÎÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ÓÎËÌÔÐÑÖÜ  ÙÎÓÌРÖÜ ÓÈ Ú ÌРÔÈÐ ÉÌÉÈРàÚ ÊÔàÙÛΠ. ¾ÝÌРÒÌÛÈÐ ÙÛÎÔ ÈØÞΠ ÛÎÚ ÈÉÌÉÈÐÖ ÛÎÛÈÚ, Î Ö×ÖÐ È ÑÈÏÐÙÛÈ  ÈËÜ ÔÈÛÎ ÛÎÔ ÈÑÐÔÎÛÖ×ÖРÎÙÎ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÙÛÖ ÙÎÓÌÐ Ö ÌÒÈ ÞÐÙÛÎÚ ËÜÔÈÓÐÑÎ Ú ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ÿÌÔ ×ØÖÑÌÐÓÌ Ôà ÙÛÖ x ˆ 0ÿ ËÐÖ ÛÐ ÛÖ ÛÌ ÌÒÈÞÐÙÛÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÓÌÔ Î ËÜÔÈÓÐÑΠ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÈÒÒÈ  ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ ÓÌ ÞØÐ È×ÌÐØÐÙÓÖÜ  Î ÑÐÔÎÛÐÑΠ.  ´ÛÙÐ, Î ÖÒÐÑΠ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ Ö ÞÐ ÓÖ ÔÖ ËÌÔ ÌÒÈÞÐÙÛÖ×ÖÐÌРÛÈÐ ÓÌ ÈÜÛÖ Ô ÛÖÔ ÛØÖ ×Ö ÈÒÒÈ , ÛÖÜÔÈÔÛРÖÔ, ÊРÔÌÛÈÐ È ×ÌÐØÎ. ÂÈ ÛØÐ È ûÙÌÔÈ ØÐÈý ÛÖÜ ÁÞΠÓÈÛÖÚ 7.7 ÓÈÚ ËÌРÞÔÖÜÔ ÑÈÏÈØÈ  ÛÖÔ ÛØÖ ×Ö ÓÌ ÛÖÔ Ö×ÖÐ Ö ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ûÈÔÈÍÎÛÌРý ÿÑÈÐ, ÛÌÒÐÑÈ , ûÉØРÙÑÌÐýÿ ÛÎÔ ÑÈ-ÛÈ ÙÛÈÙÎ ÛÎÚ ÓÌ ÊÐÙÛÎÚ ËÜÔÈÛÎ Ú ÎØÌÓРÈÚ ÛÖÜ! ÁŶ»°7.7: ¾ ÛØÖ ×ÖÚ Ì×РÛÌÜÕÎÚ ÌÒÈ ÞÐÙÛÎÚ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ÙÛÖÔ ÈØÓÖÔÐÑÖ  ÛÈÒÈÔÛàÛΠ. ÁÌÔÈ ØÐÖ (È): ¿ØÖÑÌÐÓÌ ÔÖÜ ÔÈ ÉØРÙÑÌÛÈÐ ÑÖÔÛÈ  ÙÛÖÔ ×ÜÏÓÌ ÔÈ ÛÖÜ ËÜÔÈÓÐÑÖÜ  ÑÈÐ ÔÈ ÓÌÐà ÙÌÐ Ì ÛÙÐ ÛÎ ËÜÔÈÓÐÑΠ ÛÖÜ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ, ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ûÝÛÐÈ ÞÔÌÐý ÓÐÈ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ Ü×ÌØÉÖÒÐÑÈ  ÌÔÛÖ×ÐÙÓÌ ÔÎ, Ö×Ö ÛÌ ÈÜÕÈ ÔÌÛÈÐ Ü×Ì ØÓÌÛØÈ Î ÑÐÔÎÛÐÑΠ ÛÖÜ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÑÈÐ ÌÕÖÜ-ËÌÛÌØà ÔÌÐ ÛÖ Ö ÝÌÒÖÚ È×Ö  ÛÎ ÓÌРàÙÎ ÛÎÚ ËÜÔÈÓÐÑΠÚ. ÁÌÔÈ ØÐÖ (É): ¿ØÖÑÌÐÓÌ ÔÖÜ ÔÈ È×ÖÝÜ ÊÌÐ ÛÖÔ Ü×ÌØÉÖÒÐÑÖ  ÌÔÛÖ×ÐÙÓÖ  ÿÑÈÐ ÛÎ ÙÜÔÌ×ÈÊÖ -ÓÌÔÎ ÈÜ ÕÎÙÎ ÛÎÚ ÑÐÔÎÛÐÑÎ Ú ÛÖÜ ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚÿ ÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ûÝÛÐÈ ÞÔÌÐý ÓÐÈ ×ÖÒÜ  ×ÒÈÛÐÈ  ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ Î Ö×ÖÐ È Ö ÓàÚ ÈÜÕÈ ÔÌÐ Ü×Ì ØÓÌÛØÈ ÛÎ ËÜÔÈÓÐÑΠ ÛÖÜ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÌÝÖ ÙÖÔ ÛÖÜ ËРÔÌÐ ÓÌÊÈ ÒÎ ×ÐÏÈÔÖ ÛÎÛÈ ÔÈ ÉØРÙÑÌÛÈÐ ÓÈÑØÐÈ  È×Ö  ÛÖÔ ×ÜÏÓÌ ÔÈ ÛÖÜ ËÜÔÈÓÐÑÖÜ . ¶ Ì×РÛÌÜÕÎ ÌÒÈ ÞÐÙÛÎÚ ÖÒÐÑÎ Ú ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ ×È ÒÐ ËÌÔ Ì×ÐÛÜÊÞÈ ÔÌÛÈÐ. ÁÌÔÈ ØÐÖ (Ê): ¶ ÑÈÛÈ ÙÛÈÙÎ ÌÒÈ ÞÐÙÛÎÚ ÖÒÐÑÎ Ú ÌÔÌ ØÊÌÐÈÚ Ì×ÐÛÜÊÞÈ ÔÌÛÈÐ ÛÌÒÐÑÈ  ÓÌ ÛÎÔ ÌÕÐÙÖØØÖ ×ÎÙÎ ÛàÔ ÈÔÛÈÊàÔÐÙÛÐÑà Ô È×ÈÐÛΠÙÌàÔ ËÜÔÈÓÐÑÖÜ  ÑÈÐ ÑÐÔÎÛÐÑÖÜ  Ö ØÖÜ. ¶ ×ØÈÊÓÈÛÐÑΠ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ËÌÔ ÌРÔÈÐ ÖÜ ÛÌ ×ÖÒÜ  ÙÛÌÔΠ ÖÜ ÛÌ ×ÖÒÜ  ×ÒÈÛÐÈ .  ´ÞÌÐ ÛÎ ÉÌ ÒÛÐÙÛÎ Ì ÑÛÈÙÎ.

2. Áõ¶Â¶Á¶ ÂǼ°¿¾Â´º´Á»°ÂǼ 305 ¶ ÞØΠÙÎ ÈÔÏØà×ÖÑÌÔÛØÐÑà Ô ÌÑÝØÈ ÙÌàÔ ÙÛÐÚ ×ÈØÈ×È Ôà ×ÌØÐÊØÈÝÌ Ú ÿÛÖ ÙàÓÈÛРËÐÖ ×ÖÜ ûßÈ ÞÔÌÐý ÛÎÔ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙΠ ÛÖÜ!ÿ ÌРÔÈÐ È×Ö ÒÜÛÈ ÙÑÖ ×Ð-ÓÎ. °×ÖËРËÌÐ ÓÌ Ì ÔÈÔ ÍàÔÛÈÔÖ  ÛØÖ ×Ö ÛÎ ËÐÈËÐÑÈÙÐ È ÌÒÈÞÐÙÛÖ×ÖРÎÙÎÚ ÉÈ ÙÌÐ ÛÎÚ Ö×ÖРÈÚ ÙÞÎÓÈÛРÍÌÛÈÐ Î ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÛÎÚ ÏÌÓÌÒÐà ËÖÜÚ ÑÈÛÈÙÛÈ ÙÌàÚ ÑÈ ÏÌ ÑÉÈÔÛÐÑÖÜ  ÙÜÙÛΠÓÈÛÖÚ. ÁÛÎ ÙÜÊÑÌÑØÐÓÌ ÔÎ ×ÌØР×ÛàÙÎ ÈÜÛΠ Î ËÐÈËÐÑÈ-ÙÐ È Ó×ÖØÌР ÔÈ ÌÑÝØÈÙÛÌР ÑÈÐ ×ÖÙÖÛÐÑÈ  àÚ ÌÕΠÚ: Ì ÙÛà 1x ˆ a Î ÈÉÌÉÈÐÖ ÛÎÛÈ ÏÌ ÙÎÚ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÑÈÐ 1p ' h=a Î ÈÔÛРÙÛÖÐÞÎ ÈÉÌÉÈÐÖ ÛÎÛÈ ÛÎÚ ÖØÓÎ Ú ÛÖÜ ÙÜ ÓÝàÔÈ ÓÌ ÛÎÔ ÈØÞΠ ÛÖÜ Heisenberg, ÏÌàØÖÜ ÓÌÔÎ àÚ ×ØÖÙÌÊÊÐÙÛÐÑΠ ÐÙÖ ÛÎÛÈ ÛÎÚ ÓÖØÝÎ Ú 1x 1 1p ' h. ¶ ÓÌ ÙÎ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÏÈ ËРÔÌÛÈÐ ÛÖ ÛÌ È×Ö  ÛÎÔ Ì ÑÝØÈÙÎ E ˆ hHi ˆ _2mp2 ‡1₂m!2x2   ˆ 1 2mhp2i ‡ 1 2m!2hx2i …A† ˆ 1 2m…1p†2‡ 1 2m!2…1x†2 …B† ˆ h2 2ma2‡ 1 2m!2a2 …G† Ö ×ÖÜ È×Ö  ÛÎÔ (°) ÙÛÎ (±) ÞØÎÙÐÓÖ×ÖÐΠÙÈÓÌ ÛÖ ÊÌÊÖÔÖ Ú Ö ÛÐ hpi ˆ 0 ÑÈÐ hxi ˆ 0 ÊÐÈ ÔÈ ÊØÈ ßÖÜÓÌ hp2_{i ˆ …1p†}2 _{ÑÈÐ hx}2_{i ˆ …1x†}2_{. ÁÜÔÈØÛΠÙÌÐ ÛÖÜ a} ÿËÎÒÈËΠ ÛÎÚ ÞàØÐÑÎ Ú Ì ÑÛÈÙÎÚ ÛÎÚ ÑÜÓÈÛÖÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ Ú ÛÖÜÿ Î ÓÌ ÙÎ ÖÒÐÑΠ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÛÖÜ ÙàÓÈÛÐËРÖÜ ÏÈ ÊØÈ ÝÌÛÈÐ ÒÖÐ×Ö Ô àÚ E ˆ E…a† ˆ h2 2ma2‡ 1 2m!2a2; ËÎÒÈËΠ àÚ È ÏØÖÐÙÓÈ ÌÔÖ Ú ÑÐÔÎÛÐÑÖÜ  …h2_=2ma2_{† ÑÈÐ ÌÔÖ Ú ËÜÔÈÓÐÑÖÜ  Ö ØÖÜ} …m!2_a2_{=2† ÓÌ ÈÔÛÈÊàÔÐÙÛÐÑΠ ÌÕÈ ØÛÎÙÎ È×Ö  ÛÖ ÓΠÑÖÚ ÌÔÛÖ×ÐÙÓÖÜ  a. °Ô ÑÈ ÔÖÜÓÌ} ÛÖ a ÓÐÑØÖ ÛÌØÖ ÏÈ ÌÒÈÛÛàÏÌР ÓÌÔ Î ËÜÔÈÓÐÑΠ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÈÒÒÈ  ÏÈ ÈÜÕÎÏÌР Ü-×Ì ØÓÌÛØÈ Î ÑÐÔÎÛÐÑΠ, ÌÔà  ÈÔ ÓÌÊÈÒà ÙÌÐ ÛÖ a ÏÈ ÓÐÑØÜ ÔÌÐ ÓÌÔ Î ÑÐÔÎÛÐÑΠ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÈÒÒÈ  ÏÈ ÈÜÕÎÏÌР Ü×ÌØÉÖÒÐÑÈ  Î ËÜÔÈÓÐÑΠ. ¶ ÌÒÈ ÞÐÙÛÎ ÌÔÌ ØÊÌÐÈ ÏÈ Ì×ÐÛÌÜÞÏÌР Ö ÛÈÔ dE da ˆ 0 ) a ˆ a0 ˆ  h m! r ÑÈÐ Î ÌÒÈ ÞÐÙÛÎ ÛÐÓΠ ÛÎÚ ÏÈ ÌРÔÈÐ ÛÖ ÛÌ Î Eminˆ E…a0† ˆ h!