PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
Produção Desenvolvimento PedagógicoProjeto e
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
T_026
O curso de geometria plana começa com três conceitos primitivos (conceitos sem definição): ponto, reta e plano, que nos leva a uma melhor compreen-são no estudo dos ângulos e têm grande utilidade no dia-a-dia.
Ponto, reta e plano
A
S
(α)
PONTO RETA PLANO
Numa reta há infinitos pontos. Num plano, há infinitas retas e, consequentemente, infinitos pontos.
Semirreta
Se tomarmos um ponto O de uma reta r, forma-remos duas semirretas, com origem no ponto O.
O r
Segmento de reta
Se tomarmos dois pontos distintos A e B de uma reta r, o pedaço da reta que vai de um ponto ao outro é chamado de segmento de reta AB.
A B
Ângulos
Se traçarmos duas semirretas de mesma origem, as regiões formadas no plano que as contém serão chamadas de ângulos.
0
Tipos de ângulos
Agudo
É todo ângulo α, tal que 0° < α < 90°.
0 α
Reto
É todo ângulo α, tal que α = 90°. Símbolo
Ângulos e
polígonos
2
EM_V_MAT_026
Muitas vezes o desenho induz ao erro, pois o ângulo só será considerado reto se tiver o símbolo ou vier escrito.
Obtuso
É todo ângulo α, tal que 90°< α < 180°. α
0
Raso
É todo ângulo α, tal que α = 180°. α
0
Reentrantes
É todo ângulo α, tal que 180° < α < 360°. α
0
Comparação de dois ou mais
ângulos
Consecutivos
Possuem o mesmo vértice e um lado em comum. A B C AÔB e AÔC O
Adjacentes
Possuem o mesmo vértice e um lado comum entre eles. A B C AÔB e BÔC O
Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem todo ângulo consecutivo é adjacente.
Complementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 90°. α + β = 90° A B C α 0 β α é o complemento de β ou β é o complemento de α
Suplementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 180°.
α 0 β α + β = 180° α é o suplemento de β ou β é o suplemento de α
T_026
Replementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 360°.
α 0 β α + β = 360° B A α é o replemento de β ou β é o replemento de α
Opostos pelo vértice
São dois ângulos de mesma medida, tais que os lados de um são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.
α β α = β
Bissetriz de um ângulo
É a semirreta de origem no vértice que divide o ângulo em duas partes com a mesma medida.
OR é bissetriz de AÔB α α A R B O
Retas paralelas cortadas
por uma transversal
a b d c e f g h (r//s) t r s
Alternos
Internos: c – e; d – f Externos: a – g; b – hTodos os ângulos alternos são congruentes.
Colaterais
Internos: c – f; d – e Externos: a – h; b – g
Todos os ângulos colaterais são suplementares.
Correspondentes
São os ângulos que se superpõem quando deslocamos a reta s para cima da reta r, logo, são congruentes. a – e; b – f; d – h; c – g u s β θ α α t r θ
α + β + θ = 180º. A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo vale 180º.
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Polígonos
As figuras poligonais geralmente são usadas para delimitar uma região em destaque, assim poden-do calcular a área de seu interior de acorpoden-do com seus ângulos internos. Muito utilizado na idade média quando as igrejas eram construídas com mosaicos e vitrais em suas decorações interiores, atualmente vemos duas dessas formas poligonais (pentágono e hexágono) nos gomos da bola de futebol.
O polígono é a união de n segmentos de retas consecutivas (n > 3). V1 V3 V2 V4 V5 Vn V1∪V2∪V2V3∪V3V4∪...∪Vn∪V1
Classificação
Convexo
É o polígono no qual quaisquer pontos interiores unidos formam um segmento de reta completamente contido no polígono. D C B A E
Côncavo
É o polígono no qual existem pontos interiores que, unidos, formam um segmento de reta que não está completamente contido no polígono.
C D B A E F
Equilátero
É todo polígono que tem lados congruentes. D C B A C D B A Losango Quadrado
Equiângulo
É todo polígono que tem ângulos congruentes.
D C B A D C B A Quadrado Retângulo
Regular
É todo polígono equilátero e equiângulo.
C D B A D C B A E D C B A F E Quadrado Pentágono regular Hexágono regular
Gênero
É todo número de lados (ou vértices) de um polígono. 3 lados – triângulo • 4 lados – quadrado • 5 lados – pentágono • 6 lados – hexágono • 7 lados – heptágono • 8 lados – octógono • 9 lados – eneágono • 10 lados – decágono • 11 lados – undecágono • 12 lados – dodecágono • 20 lados – icoságono •
Para os demais dizemos polígonos de n lados.
•
Número de diagonais
Diagonal
É o segmento de reta que une dois vértices não adjacentes.
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Diagonais de cada vértice
Como podemos observar, de cada vértice sai (n – 3) diagonais, pois não pode sair diagonal para os vértices adjacentes e nem para o próprio vértice.
Logo, se o polígono tem n lados ele terá n vér-tices, o que nos leva a pensar errado que o número de diagonais é igual a n (n – 3).
Total de diagonais
Como podemos observar, cada diagonal é con-tada duas vezes, então a relação correta do número de diagonais é: n(n 3) 2 − Pentágono n(n 3) nd 2 − = 5(5 3) nd 5 2 − = =
Somente em polígonos regulares de gênero par podemos afirmar que o número de diagonais que passam pelo centro é igual à metade do número de lados n
2.
Ângulos internos (a
i) e
ângulos externos (a
e)
Em cada vértice temos um ângulo interno e um ângulo externo adjacente.
An A1 ae1 ai1 ai2 ae2 A3 A4 A2
Soma dos ângulos internos
(S
ai)
ai ≠ ae = 180º V1 V2 V3 V4 V5 Vn n ladosComo podemos observar, temos n lados nos dando n triângulos, assim concluímos que a soma dos ângulos internos será:
Sai = 180° (n – 2)
Soma dos ângulos externos
(S
ae)
Consideremos, como exemplo, o polígono da figura a seguir:
Tracemos, pelo ponto p, paralelas aos lados do polígono. Os ângulos formados em torno do ponto p são congruentes, respectivamente, aos ângulos externos do polígono.
Logo, é fácil concluir que: ae1 + ae2 + ae3 +ae4 +ae5 = 360° ae1 ae2 ae3 ae5 ae4 ae3 ae2 ae1 ae4 ae5
6
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A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é dada por:
Sae = 360°
Para todo polígono regular podemos afirmar que:
Ângulo interno = o número de ângulos internossoma dos ângulos internos
a n
n
i= ° −
180( 2)
Ângulo externo = o número de ângulos externossoma dos ângulos externos a
n
e= °
360
Quadriláteros
É a figura plana determinada por quatro seg-mentos de reta consecutivos (polígono de quatro lados). A B C D x A B D C z ^ ^ ^ ^ w y
^A , ^B , ^C e ^D são ângulos internos. x, y, z, w são ângulos externos. ^A + ^B + ^C + ^D = 360° x + y + z + w = 360° AC e BD são diagonais.
Classificação
Paralelogramo
É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. A B C D AB // CD e AD // BC Propriedades `
Os lados e os ângulos opostos são congruentes, as diagonais cortam-se mutuamente ao meio e os ângulos consecutivos são suplementares.
O paralelogramo, de acordo com sua forma, cria algumas propriedades, formando, assim, retângulos, losangos e quadrados.
Retângulo
É todo paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes. A B C D O• Propriedades `
As diagonais são congruentes e cortam-se ao meio.
Losango
É todo paralelogramo que possui os quatro lados congruentes. B A C D O• Propriedades `
As diagonais são perpendiculares entre si bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio.
Quadrado
É todo paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes.
A B
C D
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Propriedades
`
As diagonais são congruentes, perpendiculares entre si, bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio.
É interessante observarmos que, ao destacar-mos uma das partes do retângulo dividido por sua diagonal, teremos um triângulo retângulo e deste tiramos algumas propriedades:
A B C D x O x x x x O x x A C D
A mediana relativa à hipotenusa de um triân-gulo mede a metade da hipotenusa.
Por consequência, teremos dois triângulos isósceles, AOC e COD.
Trapézio
É todo quadrilátero que possui somente um par de lados paralelos, chamados bases.
A B
C D
AB // CD
O trapézio, de acordo com sua forma, é subdivi-dido em três: escaleno, isósceles e retângulo.
Escaleno
Os lados não-paralelos não são congruentes.
A B
C D
AD ≠ BC
Isósceles
Os lados não-paralelos são congruentes.
A B
C D
AD // BC AC // BD
Os ângulos pertencentes à mesma base são congruentes.
Retângulo
Um dos lados não-paralelos é perpendicular às bases (possui dois ângulos retos).
A B
C D
AD // AB AD // CD
O trapézio retângulo é também escaleno.
Base média e mediana de
Euler
Agora vamos estudar como se calcula a base média e a mediana de Euler do trapézio, para isso temos:
Base média do triângulo
A B C N M MN // BC MN = BC2
M e N são pontos médios de AB e AC respec-tivamente.
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Base média do trapézio
N M D A B C MN // AB MN // CD MN = AB + CD 2
M e N são pontos médios de AD e BC respec-tivamente.
MN é a base média do trapézio.
Mediana de Euler
D A B C P Q M N PQ // AB PQ // CD PQ = CD – AB 2M e N são pontos médios de AD e BC respec-tivamente.
MN é a base média do trapézio. PQ é a mediana de Euler.
Trapezoide
É todo quadrilátero que não possui lados pa-ralelos.
D C
A B
Polígonos inscritos
Como já foi estudado anteriormente, um po-lígono convexo é regular se seus lados e ângulos são congruentes.
A grande importância dos polígonos regulares na geometria plana é tirada pela inscrição e circuns-crição das figuras.
Vamos estudar os três principais polígonos re-gulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular, calculando os lados e os apótemas em função dos raios das circunferências inscritas e circunscritas (os apótemas são as distâncias do centro da circun-ferência aos pontos médios dos lados).
Triângulo equilátero
a = R 2 =R 3 Demonstração: ` 2a = R a= R 2 hTE= 32 3a= 32 2 3R = 32 = 3R 3 = R 3T_026
Quadrado
a= 2 2 R =R 2 Demonstração: ` d= 2 2a= 2R= 2 2a=R 2 2 2R = a= 2 R 2 =R 2Hexágono regular
a=R23 = R Demonstração: ` = = TE 3 h 2 R 3 a 2Polígonos circunscritos
Triângulo equilátero
a = R =2 3 R Demonstração: ` a=R a = R =2R = = TE 3 h 2 3 3a 2 = = 3 3R 2 6R 3 = 2 3R10
EM_V_MA T_026Quadrado
a = R = 2a = 2R Demonstração: `Hexágono regular
= = a R 2R 3 3 Demonstração: ` a=R = = TE 3 h 2 3 a 2 = = 3 R 2 2R 3 = 2R 3 3 Um ângulo é igual a 1. 54 do seu suplemento. Calcule o replemento do dobro desse ângulo.
Solução: ` = ° − ° − = = ° − 5 x (180 x ) 4 900 5 x x 4 4x 900 5 x = ° = ° 9 x 900 x 100 ° − = ° − = ° Log o : ( 360 2 x ) ? 360 2.100 160
Determine o menor ângulo formado pelas bissetrizes de 2.
dois ângulos adjacentes e suplementares.
β/2 α/2 α/2 β/2 β α r B s C A O Solução ` α + β = ° α β = + α + β ° = = = ° 180 RÔS 2 2 180 RÔS 90 2 2 Na figura, calcule α se r//s. 3. 160º 2α r 30° 40° s
T_026 20° 10° 160° 160° 10° 30° 30° 30° 2α = 20°+ 10° 2α = 30° α = 15°
Um raio de luz é refletido por três espelhos planos, 4.
dois dos quais são paralelos, como mostra a figura. Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho segundo o seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, o valor do ângulo α é, em graus: 45° 110° α 90º a) 85º b) 80º c) 75º d) 65º e) Solução: ` B 110° 70° 25° 25° 45° 45° 45° 45° α αα + 70° + 25 = 180° α = 85°
Determine o polígono convexo, cujo número de diago-5.
nais é o triplo do número de lados.
Solução: ` = − = − = nd 3n n( n 3 ) nd 2 n( n 3 ) 3n 2 2 2 6n n 3n n 9n 0 n 9 eneágono = − − = = →
Em um polígono regular, o ângulo interno é o quádruplo 6.
do ângulo externo. Calcule a soma dos ângulos internos desse polígono. Solução: ` = + = ° + = ° = ° = ° i e i e e e e e a 4a a a 180 4a a 180 5a 180 a 36 °= ° ° = ° = 360 36 n 360 n 36 n 10 ai ai ai ai S 180 ( n 2 ) S 180 (10 2 ) S 180 .8 S 1 440 = ° − = ° − = ° = °
Determine o número de diagonais que não passam 7.
pelo centro de um polígono regular cujo ângulo externo vale 45°. Solução: ` e 360 a n 360 45 n 360 n 45 n 8 ° = ° ° = ° = ° = − = = = = = = = − = − = pc npc pc npc 8( 8 3 ) 8.5 nd 20 2 2 n 8 nd 4 2 2 nd nd nd nd 20 4 16
Na construção civil, é muito comum a utilização de 8.
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.
12
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Num trapézio isósceles, a base menor é igual a um dos 9.
lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bisse-trizes dos ângulos agudos.
Solução: ` D A B C α α α α α α
Se B^DC = α, então A^BD = α, como AB = AD, A^BD = A^DB = α, assim, a diagonal também é bissetriz do vértice D analogamente com AC.
Na figura, ABCD é um quadrado e CDE um triângulo 10. equilátero, calcule α. α A B D C E Solução: ` α α 30º 60º E A B D C
Como CD é lado do triângulo e do quadrado, temos CE = BC = α, logo BCE é um triângulo isósceles, assim
ααα + αα + 30º = 180º 2α αα = 150º α = 75º. No trapézio ABCD da figura, E e F são pontos médios. De 11.
AD e BC , respectivamente. Sabendo-se que DC = 4cm e MN= 3cm, calcule a diferença entre os perímetros dos trapézios ABFE e EFCD.
A B
E F
D C
M N
Figura1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição).
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono Figura
Ângulo
interno 60° 90° 108º 120º 135º 140º
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um:
triângulo. a) quadrado. b) pentágono. c) hexágono. d) eneágono. e) Solução: ` B 135º 135º α α + 135° + 135° = 360°
T_026 Solução: ` A B E F D C M N b = 4 y y x x B = ? 3 B – b 2 = 3 → B – 4 = 6 → B = 10 EF = 10+42 = 7 2PABFE = 10 + x + y + 7 = 17 + x + y 2PCDEF = 4 + x + y + 7 = 11 + x + y 2PABFE - 2PCDEF = 6 E A C B F D D A B C
Figura 1 Figura 2 Figura 3
A B
D C
Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe 12.
as figuras anteriores, onde estão descritos os passos iniciais para fazer um passarinho: comece marcando uma das dia-gonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo que o vértice A e C se encontrem. Considerando-se o quadrilátero BEDF da figura 3, pode-se concluir que o ângulo BED mede:
100º a) 112º 30’ b) 115º c) 125º 30’ d) 135º e) Solução: ` B 67,5º45º45º 22,5º B F E C D BED = 45º + 67,5º = 112,5º = 112º30’
Calcule o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa 13.
circunferência com 12cm de diâmetro.
Solução: ` A B C 2R = 12 R = 6cm = R 3 = 6 3cm 2PABC= 3 = 18 3cm
Ache a razão entre o lado do quadrado inscrito e o 14.
lado do quadrado circunscrito a uma mesma circun-ferência. Solução: ` 2R R = R 2 Razão = L=R2R2 = 22
Uma moeda tem em seu interior um hexágono regular 15.
inscrito. Se o raio mede 1cm, calcule o perímetro do hexágono inscrito na moeda.
Solução:
`
14
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Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então 1.
esse ângulo vale: 30° a) 60º b) 45° c) 80º d) 90° e) O ângulo igual a 2. 5
4 do seu suplemento mede: 100° a) 144° b) 36° c) 72° d) 80° e)
Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e 3. x + 50°. Um deles mede: 20° a) 70º b) 30° c) 45º d) 80° e)
Calcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes 4. da figura: 3x α 30º xα +α 10º – 120º e 60º a) 105º e 75º b) 100º e 80º c) 90º e 90º d) 110º e 70º e)
A semirreta OC é exterior ao ângulo AÔB de bissetriz 5.
OX. Se AÔC = 32° e BÔC = 108º, determine CÔX: 70° a) 64° b) 54° c) 66° d) 82° e)
Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo 6.
vértice são colineares.
A medida da soma de dois ângulos é 125º e a metade de 7.
um deles é igual à terça parte da medida do suplemento do outro. Calcule a diferença entre esses ângulos. Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas. Encontre 8.
a medida de cada caso. a)
b)
c)
d)
Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes 9.
e suplementares formam ângulo reto.
(UFF) Sabendo que o replemento do dobro de um ângu-10.
lo é igual ao suplemento do complemento desse mesmo ângulo. Determine a quarta parte desse ângulo.
15º a) 22,5º b) 45º c)
T_026
60º d)
67,5º e)
(Unirio) A diferença entre o suplemento e o comple-11.
mento de um ângulo qualquer é: um ângulo raso. a) um ângulo agudo. b) um ângulo reto. c) um ângulo obtuso. d)
não pode ser determinada. e)
Calcular os valores dos ângulos internos e externos do 12.
polígono regular convexo que possui 27 diagonais. No polígono regular ABCD... da figura, as diagonais AC 13.
e BD formam, entre si, um ângulo que mede 20º.
Determine o número de lados do polígono.
O número de diagonais do polígono convexo cuja soma 14.
dos ângulos internos é 1 440° é: 20 a) 27 b) 35 c) 44 d) 48 e)
Qual o gênero do polígono convexo em que a diagonal 15.
AC faz com o lado BC um ângulo de 20º?
Qual o polígono convexo em que o número de diagonais 16.
é o triplo do número de lados?
As mediatrizes de dois lados consecutivos de um po-17.
lígono regular formam um ângulo igual a 20°. Determine o número de diagonais desse polígono.
De cada vértice de um polígono regular só podemos 18.
traçar três diagonais, sendo que a maior mede T. O perímetro desse polígono vale:
T a) 2T b) 3T c) 6T d) 8T e)
Três polígonos convexos têm lados expressos por nú-19.
meros consecutivos. Sendo 2 700° a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o número de diagonais de cada um deles.
Determine o número de lados de um polígono regular 20.
ABCDE, sabendo que as bissetrizes de AP e CP, dos ângulos A e C, formam um ângulo que vale 2/9 do seu ângulo interno.
(UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos internos 21.
formam uma progressão aritmética de razão r. O valor de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128° é: 10° a) 15º b) 20° c) 27º d) 36° e)
Na figura, ABCDE é um pentágono regular. 22.
Determine a soma:
Assinale a alternativa que contém a propriedade diferencia-23.
da do quadrado em relação aos demais quadriláteros. Todos os ângulos são retos.
a)
Os lados são todos iguais. b)
As diagonais são iguais e perpendiculares entre si. c)
As diagonais se cortam ao meio. d)
Os lados opostos são paralelos e iguais. e)
Q, T, P, L, R e D denotam, respectivamente, o conjunto 24.
dos quadriláteros, dos trapézios, dos paralelogramos, dos losangos, dos retângulos e dos quadrados. De acordo com a relação de inclusão entre esses conjuntos, a alternativa verdadeira é: D a) R L P D b) L P Q Q c) P L D T d) P Q R D Q e) T P R C
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Prove que a figura formada pelas bissetrizes internas de 25.
um paralelogramo propriamente dito é um retângulo. Na figura, os triângulos A 26. ^BM e B^CP são equiláteros e ABCD é um quadrado. Calcule o ângulo . 24° a) 22° b) 15° c) 45° d) 30° e)
(Fuvest) No retângulo a seguir, o valor em graus de 27. + é: 50° a) 90° b) 120° c) 130° d) 220° e)
A afirmativa “um quadrado foi subdividido em n quadra-28.
dos congruentes” acarreta que: n pode ser 12.
a)
n não pode ser par. b)
n não pode ser ímpar. c)
n pode ser 36. d)
n pode ser 29. e)
(UFMG) Sobre figuras planas, é correto afirmar que: 29.
um quadrilátero convexo é um retângulo se os la-a)
dos opostos têm comprimentos iguais.
um quadrilátero que tem suas diagonais perpendicu-b)
lares é um quadrado.
um trapézio que tem dois ângulos consecutivos c)
congruentes é isósceles.
um triângulo equilátero é também isósceles. d)
um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos são e) retos. (PUC-SP) Sendo: 30. A = {x | x é quadrilátero} B = {x | x é quadrado} C = {x | x é retângulo} D = {x | x é losango} E = {x | x é trapézio} F = {x | x é paralelogramo} então vale a relação:
A a) D E A b) F D B F c) D A A d) F B C B e) D A E
Na figura, ABCD é um quadrado e AMB um triângulo 31.
equilátero.
Determine a medida do ângulo A ^MD. 75° a) 68° b) 60° c) 48° d) 50° e)
T_026
(Cesgranrio) As bases
32. MQ e NP de um trapézio medem
42cm e 112cm, respectivamente.
Se o ângulo M^QP é o dobro do ângulo P^NM, então o lado PQ mede: 154cm a) 133cm b) 91cm c) 77cm d) 70cm e) Na figura 33. AD = DC = CB e BD = BA
A medida do ângulo  do trapézio ABCD mede: 30° a) 36° b) 72° c) 48° d) 80° e)
Ligando-se os pontos médios dos lados de um quadri-34.
látero convexo de diagonais 6 e 8, obtém-se um outro quadrilátero convexo de perímetro:
7 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e)
(UFRJ) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo 35.
estão em progressão aritmética de razão igual a 20°. Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero. Calcule o lado e o apótema do triângulo equilátero 36.
inscrito num círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do quadrado inscrito num 37.
círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do hexágono regular inscrito 38.
num círculo de raio R.
Calcule o lado do triângulo equilátero circunscrito a um 39.
círculo de raio R.
Calcule o lado do hexágono regular circunscrito a um 40.
círculo de raio R.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um 41.
hexágono regular de 2cm de lado.
Calcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos 42.
regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a um mesmo círculo.
ABCDE é um polígono regular convexo de 2cm de 43.
lado. As diagonais AC e BDformam um ângulo de 18º. Calcule o perímetro do polígono.
(UFF) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o 44.
lado do quadrado circunscrito em uma circunferência de raio R é: 1 3 a) 1 2 b) 3 3 c) 2 2 d) 2 e) (PUC) A
45. 1 A2 ... An é um polígono regular convexo, de n lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A15 é diame-tralmente oposto ao vértice A46, o valor de n é:
62 a) 60 b) 58 c) 56 d) 54 e)
(Unirio) Às 13 horas e 15 minutos, os ponteiros de um 1.
relógio formam um ângulo de: 7°30’ a) 17°30’ b) 22°30’ c) 37° d) 52°30’ e)
18
EM_V_MAT_026
Nesta figura, as retas r e s são paralelas e t e u são 2.
transversais.
O valor em graus de (2x + 3y) é: 64° a) 500° b) 520° c) 660° d) 580° e)
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça 3.
parte do seu suplemento aumentada da metade do replemento do quádruplo desse ângulo. Determine o valor do complemento desse ângulo.
4. e são, respectivamente, as bissetrizes dos ângu-los adjacentes MÔN e NÔP. é a bissetriz do ângulo QÔR. Calcule as medidas, em graus, dos ângulos MÔN e NÔP, sabendo que MÔP = 100° e MÔT = 55°. Sendo r//s na figura abaixo, o valor de
5. α é: 6º a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e)
(ITA) Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um 6.
relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro dos minutos. Os momentos dessas ocorrências serão:
4h 5 a) min e 4h 38 min. 4h5 b) min e 4h 38 min. 4h c) min e 4h 38 min. 4h 5 d) min e 4h 38 min. (UFRRJ) As semirretas consecutivas
7. e
são tais que são colineares e BÔC = 72°. Calcule a medida do ângulo PÔQ, sabendo-se que e
são as bissetrizes dos ângulos AÔB e DÔC. 36° a) 54° b) 90° c) 92° d) 126° e)
Pelo ponto C de uma reta AB traçam-se, num mesmo 8.
semiplano dos determinados por AB, as semirretas . O ângulo é o dobro do ângulo e o ângulo é o dobro do ângulo . Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos e . Na figura abaixo, calcule
9. .
(OBM) Quantos ângulos retos são formados pelos 10.
ponteiros (horas e minutos) de um relógio em um dia completo que se inicia às 0:00 h?
48 a) 40 b) 44 c) 96 d) (CMC) Na figura a seguir: 11. AÔC = 108° I. ZÔB = 4° II.
T_026
Sabendo-se que OX, OY e OZ são as bissetrizes de AÔB, BÔC e XÔY, respectivamente, determine a medida de AÔB.
Duas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos 12.
de um polígono regular formam um ângulo dado por: a)
b) c) d) e)
(Cesgranrio) Na figura ABCDE é um polígono
13. regular.
Determine a medida do ângulo CÂD.
(Consart) Se cada ângulo interno de um polígono não 14.
excede , então o polígono tem, no máximo: 4 lados. a) 5 lados. b) 6 lados. c) 8 lados. d) 12 lados. e)
Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são 15.
prolongados para formar uma estrela. O número de graus em cada vértice da estrela é:
a) b) c)
d) e)
O número de diagonais de um polígono
16. regular de 2n
lados que não passam pelo centro da circunferência circunscrita nesse polígono, é dado por:
2n (n – 2) a) 2n (n – 1) b) 2n (n – 3) c) d) 2n e)
(UFF) A figura representa um triângulo equilátero FHN 17.
de lado e um hexágono regular.
Sabendo que I é ponto médio do lado e pertence ao segmento , assinale a alternativa que representa o perímetro do quadrilátero FGLM. 7 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e)
Se a razão entre o número de diagonais e o número 18.
de lados de um polígono é um número inteiro positivo, então o número de lados do polígono é:
par. a) ímpar. b) múltiplo de 3. c) não existe. d)
nenhuma das anteriores. e)
A soma dos (n –1) ângulos internos de um polígono 19.
regular de n lados é 945º. Determine o número de lados do polígono.
(FEI) O menor ângulo de um polígono convexo mede 20.
139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. Determine o número de lados do polígono.
20
EM_V_MAT_026
(Mackenzie) A medida em graus de um ângulo interno 21.
de um polígono regular é um número inteiro. O número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade é: 24 a) 22 b) 20 c) 18 d) 15 e) Um polígono P
22. 1 tem 3 lados a mais e 30 diagonais a mais que um polígono P2. Quantas diagonais possui P1? (CN) O número de polígonos regulares, tais que quais-23.
quer duas de suas diagonais, que passam pelo seu centro, formam entre si ângulo expresso em graus por número inteiro, é: 17 a) 18 b) 21 c) 23 d) 24 e)
O hexágono da figura abaixo é equiângulo e não equi-25.
látero. Determine o valor de X e Y.
ABCD é um quadrado cujas diagonais cortam-se no 26.
ponto I. Constrói-se, exteriormente, um triângulo equi-látero ABM.
Calcule o ângulo AÎJ, sabendo-se que J é o ponto médio do lado AM.
Observe a figura abaixo: 27.
O trapézio ABCD é isósceles e o lado oblíquo BC tem para o dobro da medida da base menor AB. O ponto M é médio de BC e DM = DC
Se o ângulo A^DM mede 30°, calcule o valor da medida do ângulo B^CD.
Na figura a seguir, A não pertence ao plano determi-28.
nado pelos pontos B, C, e D. Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD E DA respectivamente.
Prove que EFGH é um paralelogramo. (CEFET) Para ladrilhar o chão de uma varanda foram
24.
usadas lajotas na forma de pentágonos regulares e losangos, como mostra a figura.
Os ângulos agudos de cada losango medem: 36° a) 42° b) 48° c) 56° d) 72° e)
T_026
Dado o triângulo acutângulo ABC da figura AH, tal 29.
que AB = 8, BC = 12 e BH = 3, calcule o perímetro do quadrilátero convexo MNPH, onde M, N e P são pontos médios dos lados AB, AC e BC.
(Unificado) No quadrilátero ABCD da figura a seguir 30.
são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo .
A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: 3 a) 2 b) c) 2 d) e) 4
Na figura, ABCD é um paralelogramo. 31.
B Considere:
AP
1. bissetriz de Â, BP bissetriz de ^B e CQ bissetriz de ^C .
M e N pontos médios, respectivamente, de
2. AB e
BC PM
3. = 5cm e QN = 3cm.
O perímetro do paralelogramo ABCD é igual a: 48cm a) 46cm b) 40cm c) 36cm d) 32cm e)
Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado OX 32.
do ângulo XÔY da figura.
Traçamos, então: AB 1. OY AQ 2. // OY OPQ
3. tal que PQ = 2OA Se PÔB = 26°, XÔY mede: 61° a) 66° b) 72º c) 78º d) 80º e)
No paralelogramo ABCD, as distâncias de A, B e C a 33.
uma reta exterior que contém D são, respectivamente, a, b e c.
22
EM_V_MAT_026
Na figura, M é o ponto médio do lado
34. BC, AN bissetriz
do ângulo BÂC e BN perpendicular a AN.
Se AB = 14 e AC = 20, calcule o comprimento do segmento MN.
(Fuvest) Em um trapézio isósceles, a altura é igual à 35.
base média. Determinar o ângulo que a diagonal forma com a base.
No quadrilátero ABCD, temos AD =
36. BC = 2 e o
prolon-gamento desses lados forma um ângulo de 60°.
Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as me-a)
didas dos ângulos internos do quadrilátero de vér-tice A, B, C e D, calcule A + B e C + D.
Sejam J o ponto médio de
b) DC, M o ponto médio de
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN. Calcule a medida do ângulo M
c) ^JN.
Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde
37. AD =
BC e DÂB + A^BC = 120º.
Calcule o perímetro do triângulo PQR. Sabendo que P, Q e R são respectivamente os pontos médios dos segmentos AC, BD E DC e que AD = 6m
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio e M e N os pontos 38.
médios dos lados não-paralelos.
Mostre que:
Os pontos P, M, N e Q são colineares. a)
O perímetro do trapézio ABCD vale o dobro do b)
segmento PQ.
Ao montar um quebra-cabeça, Joãozinho montou o 39.
retângulo abaixo de dimensões a e b, decomposto em quatro quadrados.
a b
Qual o valor da razão a/b? 5 3 a) 2 3 b) 2 c) 3 2 d) 1 2 e)
T_026
Na figura a seguir, calcule o ângulo
40. , sabendo que
ABCDE é um pentágono onde B = D^ = 90º, AB = BC, CD = DE e que M é o ponto médio do lado AE.
Em uma circunferência de centro O e raio 2, têm-se 41.
duas cordas paralelas, AB e CD, que são os lados do quadrado e do hexágono regular convexo inscritos, respectivamente.
A distância EF entre essas cordas é, aproximadamente, igual a: 5 a) b) 6 c) 2 d) π 2 e)
Na figura a seguir, AB e AC são, respectivamente, lados 42.
do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na cir-cunferência de raio r. Com centro em A, traçam-se os arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a reta t em B’ e C’.
A medida que está mais próxima do comprimento do segmento B’C’ é:
o perímetro do quadrado de lado AC. a)
o comprimento da semicircunferência de raio r. b)
o dobro do diâmetro da circunferência de raio r. c)
o semiperímetro do triângulo equilátero de lado d)
AB.
Calcule o perímetro do triângulo equilátero circunscrito 43.
ao círculo que circunscreve um quadrado de 8 6cm de perímetro.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexá-44.
gono regular inscrito num círculo inscrito num triângulo equilátero de 6m de lado.
Calcule a razão entre os perímetros do triângulo 45.
equilátero inscrito num círculo e do hexágono regular circunscrito ao mesmo círculo.
Calcule o lado do octógono regular convexo inscrito num 46.
círculo de raio igual a 2cm.
Calcule o lado do dodecágono regular convexo inscrito 47.
num círculo de raio 3cm.
Calcule o comprimento da diagonal do pentágono re-48.
gular convexo, de lado = 2cm.
A razão entre os comprimentos das circunferências 49.
circunscrita e inscrita a um quadrado é: 1 2 a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 2 e)
(Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empre-50.
sa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito numa circunferência e que circunscreve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3cm, então a soma das medidas, em cm, do lado do hexágono com a do diâmetro da circunfe-rência deve ser:
7 a) 2 3 1+ b) 2 3 c)
24
EM_V_MAT_026
Ache o lado do decágono regular inscrito em um círculo 51. de raio R. 3 1+ d) 77 22 e)
T_026 A 1. A 2. B 3. A 4. A 5. Demonstração 6. 95° 7. 8. 120° a) 18º b) 40° c) 55º d) Demonstração 9. B 10. C 11. 140° e 40° 12. 18 13. C 14. Eneágono. 15. Eneágono. 16. 135 diagonais. 17. C 18. 9, 14 e 20 19. 20 lados 20. A 21. 216° 22. C 23. B 24. 2 25. + 2 = 180° + = 90° C 26. D 27. D 28.
26
EM_V_MA T_026 D 29. B 30. A 31. E 32. C 33. D 34. 120° 35. R 3 R 2 e 36. R 2 R 2 2 e 37. R e R 3 2 38. 2R 3 39. 2 3 3 R 40. 2 3 cm 41. 3 2 42. 40cm 43. D 44. A 45. E 1. B 2. 45° 3. 60° e 40° 4. B 5. B 6. E 7. 30° 8. 135° 9. C 10. 62° 11. B 12. 36º 13. D 14. B 15. A 16. D 17. B 18. D 19. 12 lados. 20. B 21. 35 diagonais. 22. A 23. A 24. x = 1 25. y = 4 26. = 30° 27. = 70° H e FG é um paralelogramo. 28. 17cm. 29. B 30. E 31. D 32. Demonstração 33. Como34. AN é bissetriz, temos dois triângulos congruentes ABN e ANQ, logo AQ = 14 e QC = 6.
No triângulo BCQ, N e M são pontos médios, assim MN = 3. 45°, com as bases. 35. 36. 120° e 240° a) 1 b) 60° c) 9cm 37. 38. 2 a) + 2 = 180° + = 90° 2 + 2 = 180° + = 90 PQ b) = PM + MN + NQ MN = B + b 2 PQ = x + B + b 2 + y PQ = 2x B + b + 2y 2 2PABCD = 2x + B + b + 2y 2PABCD = 2.PQ
T_026 A 39. 90° 40. B 41. B 42. 36cm 43. 3m 44. 3 4 45. 2 2− 2cm 46. 3 2− 3cm 47. 1+ 5
