Algumas observações elementares sobre o número de coloração: Um grafo G de ordem n é k-colorável para todo o k n, pelo que

(1)

1 Colora¸c˜oes de grafos

Defini¸cão 1.1 Uma k-colora¸cão de um grafo G é uma fun¸cão f : V → S definida no conjunto dos vértices de G e com imagem num conjunto S com k elementos (o conjunto das cores), com a propriedade de que se u e v são adjacentes então f (u) 6= f (v). Um grafo para o qual existem k-colora¸cões diz-se k-colorável.

Por defini¸cão, um grafo com lacetes não admite colora¸cões. Por outro lado, um grafo sem lacetes é k-colorável se e só se o grafo simples que se obtém identificando todos os conjuntos de arestas paralelas também o for. Assim, no que segue, consideraremos apenas grafos simples.

Defini¸cão 1.2 O número de colora¸cão de G, χ(G), é o menor k para o qual G é k-colorável.

Algumas observa¸cões elementares sobre o número de colora¸cão:

Um grafo G de ordem n ´e k-color´avel para todo o k ≥ n, pelo que χ(G) ≤ n.

χ(G) = max{χ(H) : Hcomponente conexa de G}.

O único (a menos de isomorfismo) grafo de ordem n com número de colora¸cão n é o grafo completo Kn.

χ(G) = 1 se e só se G não tem arestas; χ(G) = 2 se e só se G é bipartido, ou seja, se existe uma parti¸cão dos vértices de G,

V = X ∪ Y ; X ∩ Y = ∅

tal que toda a aresta de G incide num vértice x ∈ X e noutro vértice y ∈ Y . Em particular, as árvores bem como os ciclos de comprimento par têm número de colora¸cão 2.

(2)

Verificar que χ(G) ≤ k é equivalente a determinar uma parti¸cão dos vértices

V = X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xk; Xi∩ Xj = ∅ ∀i 6= j

em conjuntos estáveis, ou seja, tal que para qualquer i ≤ k e para quaisquer vértices u, v ∈ Xi, u e v não são adjacentes.

Um caso particularmente simples é o dos grafos com χ(G) = 2, ou seja os grafos cujos vértices são a união disjunta de dois conjuntos estáveis, que como referimos são designados grafos bipartidos.

Esses grafos podem ser identificados por uma outra propriedade:

Proposi¸cão 1.3 Um grafo simples é bipartido se e só se não contém ciclos (caminhos fechados) de comprimento ´ımpar.

Demonstra¸cão 1.4 Suponhamos que G um grafo bipartido com decomposi¸cão VG = X ∪ Y ; X ∩ Y = ∅ do conjunto de vértices em conjuntos estáveis. Um

ciclo é então for¸cosamente determinado por uma sequência de vértices x1, y1, x2, · · · , xj, yj

onde xi ∈ X e yi ∈ Y , e tem portanto comprimento par 2j.

Reciprocamente, suponhamos que G não contém ciclos de comprimento ´ımpar. Notamos que basta provar que cada componente conexa de G é um grafo bi-partido, ou seja, basta provar a implica¸cão para grafos conexos. Escolhemos um vértice qualquer x e definimos dois subconjuntos de vértices

X = {v ∈ VG : existe um caminho de x a v de comprimento par}, Y = {v ∈ VG : existe um caminho de x a v de comprimento ´ımpar};

´e claro que VG = X ∪ Y , uma vez que G ´e conexo, que X 6= ∅ (x ∈ X) e

Y 6= ∅ (qualquer vértice adjacente a x está em Y ). Além disso, X ∩ Y = ∅: suponhamos que v ∈ X ∩ Y ; nesse caso existiria um caminho C1 de x até

v de comprimento par 2j e um outro caminho C2 com os mesmos v´ertices

inicial e final, de comprimento ´ımpar 2l + 1; estes dois caminhos poderiam ter arestas em comum mas em qualquer caso (C1 ∪ C2) \ (C1 ∩ C2) seria

sempre igual a uma uni˜ao disjunta de ciclos e pelo menos um deles teria que

(3)

ter comprimento ´ımpar: se C1 e C2 tivessem m arestas em comum, o n´umero

total de arestas de (C1∪ C2) \ (C1∩ C2) seria 2j + 2l + 1 − 2m que ´e ´ımpar.

O mesmo racioc´ınio permite comprovar que X e Y s˜ao conjuntos est´aveis. Sejam, por exemplo u, v ∈ X; existe um caminho C1 com in´ıcio em x e

t´ermino em u e um caminho C2 com in´ıcio em x e t´ermino em v, ambos de

comprimento par; se u e v fossem adjacentes por uma aresta e, (C1 ∪ C2 ∪

e) \ (C1 ∩ C2) seria mais uma vez a uni˜ao disjunta de ciclos, um dos quais

pelo menos de comprimento ´ımpar.

Um minorante óbvio para o número de colora¸cão de um grafo é dado por ω(G), que é a ordem do maior grafo completo que é subgrafo de G (também designado o maior clique de G).

Por outro lado temos também χ(G) ≥ |V |/α(G), onde α(G) = max{|S| : S ⊂ V é estável}.

Isso decorre de que nenhum dos conjuntos monocrom´aticos de v´ertices Xi

pode ter mais do que α(G) elementos; logo, |V | = X

i≤k

|Xi| ≤ α(G)k

1.1 Algoritmo ganancioso

Um algoritmo simples para colorir um grafo segue a estrat´egia ”gananciosa”: Dada uma lista de cores c1, c2, · · · e com os v´ertices ordenados v1, · · · , vn,

col-orimos cada vértice por ordem usando a primeira cor que ainda não foi usada em nenhum vértice adjacente a ele.

Naturalmente, o resultado depende da ordem dos vértices e embora exista sempre uma ordem que conduz a uma colora¸cão óptima (exerc´ıcio), é em geral dif´ıcil determinar essa ordem antecipadamente.

(4)

Exemplo 1.5 Dado m > 1, seja G o grafo bipartido com v´ertices VG = X ∪Y

onde

X = {x1, · · · , xm} Y = {y1, · · · , ym}

e arestas (xi, yj) para todos os 1 ≤ i, j ≤ m tais que i 6= j.

Se tomarmos os v´ertices na ordem x1, · · · , xm, y1, · · · , ym o algoritmo

ganan-cioso d´a uma colora¸c˜ao com duas cores e de facto χ(G).

Mas se a ordem for x1, y1, · · · , xm, ym o algoritmo ganacioso produz uma

col-ora¸c˜ao com m cores.

Entretanto, a an´alise deste algoritmo permite mostrar que

Proposi¸cão 1.6 : Se G é um grafo conexo, simples, χ(G) ≤ ∆(G) + 1 onde ∆(G) designa o máximo dos graus dos vértices de G.

Demonstra¸cão 1.7 De facto, se colorirmos G seguindo a estratégia do al-goritmo descrito atrás (para uma ordem qualquer dos vértices) com ∆ + 1 cores, quando chegamos a um vértice v, no pior dos casos ele terá ∆ vértices adjacentes, todos coloridos com cores diferentes, e mesmo nesse caso ainda temos uma cor dispon´ıvel.

Pode-se provar um pouco mais:

Teorema 1.8 (Brooks): Se G é um grafo conexo que não é um grafo completo nem um ciclo de ordem ´ımpar, então χ(G) ≤ ∆(G).

A aplica¸cão do algoritmo ganancioso mostra que o importante não é tanto o grau do vértice a colorir mas sim o número de vértices adjacentes já coloridos. Essa ideia está na base de uma proposi¸cão que permite majorar melhor o número de colora¸cão.

(5)

Proposi¸c˜ao 1.9 : Seja G um grafo simples e defina-se d = max{δ(H) : H subgrafo induzido de G} . Ent˜ao tem-se χ(G) ≤ d + 1.

Demonstra¸cão 1.10 Recorde-se que um subgrafo induzido de G é um sub-grafo obtido por elimina¸cão de vértices, ou seja, se H é um subgrafo induzido de G, dois vértices de H são adjacentes se e só se o forem em G (num sub-grafo em geral isso pode não acontecer porque podemos eliminar uma aresta mantendo os vértices incidentes).

Note-se também que δ(H) não tem que ser menor que δ(G); por exemplo, se G contém vértices de grau 1, o subgrafo obtido pela sua elimina¸cão pode ter grau m´ınimo maior que 1.

Seja n a ordem de G. Fazemos uma ordena¸cão dos vértices de G. Come¸camos por escolher um vértice v1 de grau ≤ d; no subgrafo G1 = G − {v1},

escolhe-mos de novo um v´ertice v2 de grau ≤ d, e assim por diante: em cada passo

temos um subgrafo induzido Gk e escolhemos nele um v´ertice vk+1 de grau

menor ou igual a d, at´e esgotarmos todos os v´ertices. Consideramos agora a ordem inversa

vn, vn−1, · · · , v2, v1;

notamos que, nesta ordem, cada vértice é adjacente a no máximo d vértices que o precedem na ordem; assim, se colorirmos G com d + 1 cores, aplicando o algoritmo ganancioso com esta ordem, quando vamos colorir o vértice vk,

no pior dos casos existirão d vértices adjacentes já coloridos, e portanto existe decerto uma cor dispon´ıvel.

Existem diversas variantes desta ideia que conduzem a outros tantos resul-tados sobre a majora¸cão de χ(G). Mas não existe qualquer fórmula simples nem um algoritmo que determine χ(G) em tempo polinomial.

(6)

1.2 Colora¸c˜ao de grafos planares.

Um caso especial que merece men¸cão é o dos grafos planares. Um dos prob-lemas mais famosos de colora¸cão de grafos foi o da demonstra¸cão de que qualquer mapa pode ser colorido com quatro ou menos cores. Isso é equiva-lente à afirma¸cão de que qualquer grafo planar simples é 4-colorável.

Embora as demonstra¸cões existentes até hoje deste resultado dependam fortemente de um grande número de verifica¸cões só poss´ıveis com a utiliza¸cão de computadores, é muito fácil mostrar que um grafo planar simples é 6-colorável:

Uma consequência imediata da fórmula de Euler para grafos planares conexos simples v − a + f = 2, é que o grau m´ınimo δ(G) de um grafo planar simples é menor ou igual a 5: de facto, como vimos, a ≤ 3v − 6, e portanto

δ(G)n ≤ X

v∈VG

d(v) = 2a ≤ 6v − 12.

Como isso continua a ser verdade para qualquer subgrafo, a proposi¸c˜ao an-terior garante que G pode ser colorido com 6 cores.

Com um pouco mais de trabalho prova-se o seguinte:

Proposi¸cão 1.11 Um grafo planar, sem lacetes, é 5-colorável.

Demonstra¸cão 1.12 Por indu¸cão no número de vértices do grafo. O caso n = 1 (e de facto os casos n ≤ 5) são evidentes. Suponhamos portanto como hipótese de indu¸cão que todos os grafos planares sem lacetes, com menos do que n vértices são 5-coloráveis, e seja G um grafo nas mesmas condi¸cões, com n vértices.

Sabemos que existe pelo menos um vértice x com grau menor ou igual a 5. Usando a hipótese de indu¸cão, colorimos com 5 cores o grafo G − {x}.

(7)

Se d(x) < 5 ou d(x) = 5 mas os vértices adjacentes a x não usam as cinco cores, podemos sempre completar a colora¸cão. Basta portanto considerar o caso em que os vértices adjacentes ao vértice x que queremos colorir, estão coloridos com 5 cores; sem perda de generalidade, podemos supôr, para sim-plificar a descri¸cão, que as cores 1, 2, 3, 4, 5 estão a colorir, nesta ordem, os vértices adjacentes a x que o rodeiam no sentido dos ponteiros do relógio, numa certa representa¸cão planar do grafo.

Consideramos agora o subgrafo de G induzido pelos v´ertices de cor 1 ou 3; se os v´ertices x1 e x3, adjacentes a x e coloridos, respectivamente, com as

cores 1 e 3, estão em componentes conexas diferentes deste subgrafo, pode-mos trocar as cores 1 e 3 numa dessas componentes, sem violar a regra de não termos vértices adjacentes com a mesma cor; nesse caso, por exemplo o vértice x3 passa a ter a cor 1 e a cor 3 fica dispon´ıvel para x.

Caso contr´ario, conclu´ımos que existe um caminho em G, com in´ıcio em x1

e fim em x3, com cores 1 e 3 alternadas. Na nossa representa¸c˜ao plana, esse

caminho limita uma união de faces, arestas e vértices de G, contendo por exemplo o vértice x2, colorido com a cor 2; mas então podemos trocar a cor 2

com por exemplo a cor 4 nos v´ertices que ficam no interior daquele caminho, deixando a cor 2 dispon´ıvel para x.

1.3 Polin´omio de colora¸c˜ao.

Uma abordagem algo diferente ao problema da colora¸cão de grafos consiste em, dado um grafo G e k cores, procurar determinar quantas colora¸cões difer-entes de G com essas cores existem, onde duas colora¸cões são consideradas diferentes se existe pelo menos um vértice que não tem a mesma cor nas duas colora¸cões. Não é obrigatório usar todas as k cores numa colora¸cão.

Designemos esse número por p(G, k). É claro que o menor k para o qual p(G, k) > 0 é precisamente χ(G).

(8)

qualquer uma das k cores, logo nesse caso p(G, k) = kn; por outro lado se G é um grafo completo, todos os vértices têm que ter uma cor diferente e p(Kn, k) = k(k − 1) · · · (k − n + 1) = n! k_n.

Existe uma fórmula de recorrência para os números p(G, k); recorde-se que dada uma aresta a de G, G \ a é o grafo que se obtém eliminando a em G, e G/a é o grafo que se obtém eliminando a e identificando os vértices incidentes um com o outro. Como se referiu atrás, para o efeito de contar colora¸cões podemos identificar igualmente as arestas paralelas que possam ser criadas. Tem-se então

p(G, k) = p(G \ a, k) − p(G/a, k)

De facto, uma k-colora¸cão de G é igualmente uma k-colora¸cão de G \ a; por outro lado, uma k-colora¸cão de G \ a não induz uma k-colora¸cão de G exactamente se os vértices incidentes a a tiverem a mesma cor, e isso acontece se e só se ela é também uma k-colora¸cão de G/a.

Verifica-se que, para um grafo G fixo, p(G, k) é um polinómio na variável k, o polinómio de colora¸cão de G, que se determina por aplica¸cão da fórmula de recorrência:

Teorema 1.13 : Dado um grafo sem lacetes G de ordem n, existe um polinómio p(G, x) tal que p(G, k) é o número de colora¸cões de G que se podem fazer us-ando (algumas das) cores 1, 2, · · · , k. Além disso, se G é simples e a é uma aresta de G, então

p(G, x) = p(G \ a, x) − p(G/a, x)

O polin´omio p(G, x) tem grau n, coeficientes inteiros com sinal alternado, termo principal xn e termo constante nulo.

Demonstra¸cão 1.14 A demonstra¸cão é por indu¸cão no número m de arestas de G: se m = 0 então p(G, x) = xn. Se m > 0 e G não for simples definimos

(9)

p(G, x) = p(H, x) onde H é o grafo simples associado (que tem menos arestas e portanto está definido por hipótese de indu¸cão). Suponhamos então que G é simples; escolhida uma aresta a, ambos os grafos G \ a e G/a têm m − 1 arestas e não têm lacetes. Pela hipótese de indu¸cão existem polinómios

p(G \ a, x) = xn + n−1 X i=1 (−1)n−iaixi, p(G/a, x) = n−1 X i=1 (−1)n−i−1bixi

satisfazendo as hip´oteses do teorema. Definimos

p(G, x) = p(G \ a, x) − p(G/a, x) que se verifica ter as propriedades do enunciado.

Note-se que a recurs˜ao pode ser usada quer na forma p(G, x) = p(G \ a, x) − p(G/a, x)

para chegar eventualmente a uma combina¸cão linear de polinómios cromáticos de grafos triviais (sem arestas), quer na forma

p(G \ a, x) = p(G, x) + p(G/a, x)

para chegar eventualmente a uma combina¸cão linear de polinómios cromáticos de grafos completos.

Também é útil para a aplica¸cão da recorrência notar que se G tem, por ex-emplo, componentes conexas G1 e G2,

p(G, x) = p(G1, x)p(G2, x).

(10)

(11)

Apresentam-se em seguida dois temas relacionados com o problema da colora¸c˜ao de grafos.

1.4 O Teorema de Tur´an

Como vimos, um grafo é p-colorável, se existe uma parti¸cão do conjunto dos vértices V = V1 ∪ · · · ∪ Vp satisfazendo as condi¸cões

∀i ≤ p Vi 6= ∅ ´e um conjunto est´avel ;

∀i 6= j, Vi ∩ Vj = ∅

Um grafo (simples) onde exista uma parti¸cão deste tipo chama-se p-partido. Obviamente os grafos p-partidos são o exemplo mais simples de grafos que não contêm Kp como subgrafo.

Vamos agora abordar o problema de outro modo, procurando determinar qual o número máximo de arestas de um grafo p-partido. À semelhan¸ca de defini¸cões anteriores, um grafo p-partido diz-se completo se para qualquer par de ´ındices 1 ≤ i, j ≤ p, se tem

i 6= j =⇒ u adjacente a v, ∀u ∈ Vi, v ∈ Vj

ou seja se tiver o maior n´umero poss´ıvel de arestas.

Seja G um grafo p-partido completo e V1, V2 dois dos conjuntos est´aveis;

suponhamos que |V1| = m e |V2| = m+j com j > 1; o n´umero de arestas entre

estes dois conjuntos de vértices é evidentemente m(m + j); mas se mudarmos um vértice v de V2 para V1, eliminando as arestas que uniam v a vértices de

V1 mas criando uma nova aresta entre v e u para cada v´ertice u que ficou em

V2, verificamos que perdemos m arestas por um lado mas ganhamos m + j − 1

arestas por outro, ou seja, aumentamos o n´umero total de arestas do grafo, mantendo a propriedade de este ser p-partido.

Conclu´ımos portanto que para obter um grafo de ordem n, p-partido e com o maior n´umero poss´ıvel de arestas, devemos repartir os v´ertices em conjuntos

(12)

tão equilibrados quanto poss´ıvel; dividindo n por p, se n = tp + r, com 0 ≤ r < p, temos n = t(p − r) + (t + 1)r e podemos repartir os vértices em p − r conjuntos com t vértices cada e r conjuntos com t + 1 vértices cada.

Se estes conjuntos forem estáveis e existirem todas as arestas entre vértices de conjuntos diferentes, obtemos um grafo Tp,n, chamado grafo de Turán, cujo

n´umero de arestas ´e

a(n, p) = (p − 1)n

2 _{− r(p − r)}

2p .

A dedu¸cão desta fórmula para o número de arestas é deixada como exerc´ıcio. Completamos a defini¸cão, pondo Tp,n = Kn se n < p, caso em que não

´e poss´ıvel termos um grafo p-partido de ordem n. Note-se ali´as que para n ≤ p, temos sempre a(n, p) = n

2

o que justifica a extensão da defini¸cão (que corresponde a partir o conjunto dos vértices em n conjuntos com um vértice e p − n conjuntos com zero vértices).

Nota 1.15 Note-se que o racioc´ınio anterior mostrou que Tp,n ´e, a menos

de isomorfismo, o único grafo p-partido com n vértices e número máximo de arestas.

O seguinte teorema, devido a Tur´an diz-nos que os grafos Tp,n n˜ao apenas

exemplos de grafos em n vértices que não contêm Kp como subgrafo. Eles

constituem os casos extremos de grafos nessas condi¸c˜oes:

Teorema 1.16 (Turán) : Se G é um grafo simples de ordem n que não contém Kp como subgrafo, então G tem no máximo a(n, p − 1) arestas e este

máximo é atingido se e só se G é isomorfo a Tp−1,n.

Demonstra¸cão 1.17 : Fazemos a prova por indu¸cão em p. O resultado é trivial para p = 2 uma vez que nesse caso G não tem arestas.

Pomos como hip´otese de indu¸c˜ao que para qualquer inteiro j < p e qualquer

(13)

n, um grafo com n vértices e não contendo Kj como subgrafo, tem no áximo

a(n, j − 1) arestas e este máximo é atingido se e só se G é isomorfo a Tj−1,n.

Seja então G um grafo com n vértices que não contém Kp como subgrafo.

Escolhemos um vértice x de grau máximo ∆ e designamos por Y o conjunto dos vértices adjacentes a x e por X o seu complementar (que inclui o próprio x).

Notamos que as arestas de G se podem decompor em arestas de G[X] (o sub-grafo induzido por esse conjunto de v´ertices), arestas de G[Y ], e arestas do subgrafo bipartido G[X, Y ].

Por um lado, G[Y ] n˜ao pode conter Kp−1 como subgrafo (caso contr´ario

ter´ıamos, juntando x e as suas arestas, uma c´opia de Kp). Portanto, pela

hipótese de indu¸cão, o número de arestas de G[Y ] é menor ou igual a a(∆, p− 2) com igualdade se e só G[Y ] é isomorfo a Tp−2,∆.

As restantes arestas não podem ser mais do que (n − ∆)∆, uma vez que cada um dos n − ∆ vértices de X tem grau menor ou igual a ∆. Além disso, se u, v ∈ X forem adjacentes, então têm que existir vértices u0, v0 ∈ Y (não necessariamente distintos) tais que nem u e u0 nem v e v0 são adjacentes. O grafo que se obtém de G eliminando a aresta u v e criando as arestas u u0 e v v0 tem mais uma aresta que G. Portanto o número de arestas incidentes em vértices de X atinge aquele valor máximo exactamente se X for um conjunto estável (ou seja, se G[X] não tiver arestas) e cada um dos seus n − ∆ vértices for adjacente a cada um dos ∆ vértices de Y .

Em conclusão, o número de arestas de G é menor ou igual ao do grafo H com os mesmos vértices X ∪ Y , onde o subgrafo induzido H[Y ] é uma cópia de Tp−2,∆, Y é um conjunto estável e x e y são adjacentes, para todos os

x ∈ X e y ∈ Y . Além disso, o número de arestas atinge esse valor máximo se e só se G e H forem isomorfos.

Mas este grafo H é um grafo (p − 1)-partido com n vértices e portanto, como vimos na discussão que levou à defini¸cão dos grafos de Turán, o seu número de arestas satisfaz |EH| ≤ a(n, p − 1) = |ETp−1,n| sendo que a igualdade se

verifica exactamente se H for isomorfo a Tp−1,n.

(14)

O teorema anterior e o método da sua demonstra¸cão implicam a seguinte proposi¸cão-algoritmo, cuja demonstra¸cão se deixa como exerc´ıcio.:

Proposi¸cão 1.18 Se G é um grafo simples com n vértices e mais do que a(n, p − 1) arestas, então G contém um subgrafo isomorfo a Kp que pode ser

encontrado do seguinte modo: escolhemos um v´ertice v1 de grau m´aximo; em

seguida escolhemos um v´ertice v2 de grau m´aximo no subgrafo de G induzido

pelo conjunto de v´ertices adjacentes a v1, e assim por diante at´e ficarmos com

um ´unico v´ertice vp.

O conjunto v1, v2, · · · , vp constitui um clique de ordem p em G.

O Teorema de Tur´an pode ser usado para demonstrar resultados noutras ´

areas. Um bom exemplo ´_{e o seguinte: se S ⊂ R}2 ´e um conjunto de n pontos com diˆametro 1, ou seja,

max{kx − yk : x, y ∈ S} = 1

ent˜ao existem no m´aximo bn₃2c pares de pontos x, y ∈ S para os quais kx − yk >

√ 2 2 .

Esse facto pode ser justificado mostrando, por um argumento geométrico, que não podem existir 4 pontos de S tais que a distância entre quaisquer dois deles seja maior que

√ 2

2 . Consideramos então o grafo G cujos vértices são os

pontos de S e em que x, y s˜ao adjacentes se kx−yk >

√ 2

2 ; a conclus˜ao anterior

implica que G não contém K4 como subgrafo. Pelo Teorema de Turán, G tem

no m´aximo a(n, 3) = bn₃2c arestas.

Aquele majorante é de facto óptimo: para todo o n > 1 existe um conjunto S ⊂ R2 de n pontos em que há exactamente bn₃2c pares de pontos x, y ∈ S para os quais kx − yk >

√ 2 2 .

Nota 1.19 Os exemplos mais simples e resultados como o Teorema de Turána podem levar à conviçcão de que os parâmetros χ(G) (número de colora¸cão e ω(G) (maior subgrafo completo) têm sempre valores próximos. Isso é falso:

(15)

de facto, dados quaisquer m, k existem grafos G com χ(G) ≥ k e em que o comprimento do menor ciclo (a chamada cintura do grafo ) ´e ≥ m (e portanto, em particular, ω(G) = 2!).

1.5 A Teoria de Ramsey

Recordemos que um clique de um grafo G é um subgrafo completo, ou seja um conjunto de vértices adjacentes dois a dois, e que ωG é definido como o maior inteiro m tal que G contém um clique com m vértices.

Como se viu, se um subconjunto de vértices S constitui um clique de um grafo G então S é um conjunto estável do grafo complementar G e vice-versa.

´

E natural supôr que se um grafo G não contém um conjunto estável “grande” então poderá ter um clique “grande”. Esta rela¸cão entre cliques e conjuntos independentes de um grafo (oou, de modo equivalente, entre cliques de G e de G) pode ser descrito em termos de colora¸cões com duas cores (vermelho e azul) das arestas de grafos completos: podemos identificar G com o grafo cujas arestas são vermelhas e portanto G com o grafo cujas arestas são azuis.

Um exemplo elementar daquela rela¸cão é o problema seguinte, inclu´ıdo numa Ficha de exerc´ıcios: dado um grupo de 6 pessoas, existem sempre ou 3 que se conhecem entre si ou 3 que são mutuamente desconhecidas. Asso-ciamos ao problema o grafo K6, cujos vértices identificamos com as pessoas;

dados vértices x, y colorimos a aresta entre eles de vermelho se as pessoas correspondentes se conhecem e de azul caso contrário. A conclusão do enun-ciado traduz-se na afirma¸cão de que de qualquer colora¸cão com duas cores das arestas de K6 resulta sempre um K3 com as arestas todas da mesma cor.

Verificamos que é de facto assim: dado um vértice x qualquer, o Princ´ıpio do Pombal garante que pelo menos 3 das arestas incidentes em x têm a mesma cor (por exemplo, vermelha); se y1, y2, y3 são os vértices adjacentes a x por

(16)

aresta vermelha, e ent˜ao o subgrafo induzido por x, y1, y2 tem as arestas

to-das vermelhas, ou então todas arestas entre os yi são azuis, e temos à mesma

um K3 monocrom´atico.

´

E f´acil de verificar que ´e poss´ıvel colorir as arestas de K5 sem criar qualquer

K3 monocrom´atico, pelo que 6 ´e o menor inteiro com aquela propriedade.

A generaliza¸cão deste exemplo conduz à seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 1.20 Dados p, q > 0, o número de Ramsey R(p, q) é definido como o menor inteiro m que satisfaz a propriedade seguinte: qualquer colora¸cão das arestas de Km com duas cores (vermelho e azul) produz necessariamente ou

um Kp vermelho ou um Kq azul. Ou seja:

R(p, q) = min{m : ∀G grafo simples com |VG| = m, ω(G) ≥ p ∨ α(G) ≥ q},

ou ainda, de modo equivalente,

R(p, q) = min{m : ∀G grafo simples com |VG| = m, ωG ≥ p ∨ ω(G) ≥ q}.

Nota 1.21 Os números R(p, q) e o estudo das suas propriedades e aplica¸cões fazem parte de uma disciplina matemática, designada Teoria de Ramsey, em homenagem ao matemático britânico Frank Ramsey (1903-1930).

Algumas observa¸c˜oes elementares:

• podemos trocar as cores e portanto R(p, q) = R(p, q);

• qualquer grafo com pelo menos um v´ertice cont´em K1 como subgrafo,

logo, para todos os p, 1, R(p, 1) = R(1, q) = 1;

• se colorirmos as arestas de Kq de vermelho e azul e se houver pelo menos

uma aresta vermelha, temos um K2 vermelho; caso contr´ario temos um

Kq azul; por outro lado, ´e poss´ıvel colorir as arestas de Kq−1 todas de azul

e n˜ao temos nem um Kq azul nem um K2 vermelho; portanto R(2, q) = q.

(17)

Esta última observa¸cão evidencia o tipo de racioc´ınio envolvido na deter-mina¸cão ou estimativa dos números R(p, q): para provar que m < R(p, q) basta arranjar uma colora¸cão das arestas de Km que não crie nem um Kp

vermelho nem um Kq azul.

J´a para provar que R(p, q) ≤ t, temos que mostrar que qualquer colora¸c˜ao das arestas de Kt produz obrigatoriamente ou um Kp vermelho um Kq azul.

Note-se que, à parte os casos simples R(1, q), R(2, q) e o caso R(3, 3), já calculado, podia nã ser óbvio que estes números existam! Mas tem-se o seguinte teorema:

Teorema 1.22 Os n´umeros R(p, q) existem para todos os p, q > 0 e satis-fazem a seguinte desigualdade

R(p, q) ≤ R(p − 1, q) + R(p, q − 1).

Al´em disso, se ambas as parcelas do lado direito forem pares, tem-se a de-sigualdade estrita.

Demonstra¸cão 1.23 : Fazemos a demonstra¸cão seguindo a formula¸cão em termos de colora¸cões das arestas de um grafo completo.

A demonstra¸cão da primeira parte do Teorema consiste na verifica¸cão de que qualquer colora¸cão das arestas do grafo completo com R(p − 1, q) + R(p, q − 1) vértices produz ou um Kp vermelho ou um Kq azul. Isso confirma a existência

de R(p, q) e a majora¸cão do enunciado. Os números de Ramsey são assim definidos por uma forma de recursão. Podemos formalizar esse racioc´ınio como uma prova por indu¸cão em p + q, sendo o caso p + q = 2 trivial: assum-imos, como hipótese de indu¸cão que os R(k, l) existem e têm a propriedade enunciada, para todos os k, l tais que k + l < p + q.

Seja ent˜ao m = R(p − 1, q) + R(p, q − 1) e v um v´ertice qualquer de Km; v

tem R(p − 1, q) + R(p, q − 1) − 1 arestas incidentes e portanto um dos dois casos tem que se verificar:

(18)

• v tem (pelo menos) R(p, q − 1) arestas incidentes azuis.

Suponhamos o primeiro caso; os vértices em que incidem essas arestas azuis induzem um subgrafo completo com R(p − 1, q) vértices, que tem que conter, por defini¸cão, ou um Kp−1 vermelho ou um Kq azul. Neste último caso

j´a temos ent˜ao o que quer´ıamos; no outro, esse Kp−1 vermelho, juntamente

com as arestas vermelhas que o ligam a v, forma um Kp vermelho, mais uma

vez como pretend´ıamos.

O segundo caso ´e inteiramente semelhante.

Para provar a última afirma¸cão do enunciado, suponhamos que R(p − 1, q) e R(p, q − 1) são ambos pares, e tomemos Km com m = R(p − 1, q) + R(p, q −

1) − 1. Se, para um vértice v qualquer, se verificar uma das condi¸cões • v tem (pelo menos) R(p − 1, q) arestas incidentes vermelhas; • v tem (pelo menos) R(p, q − 1) arestas incidentes azuis. a demonstra¸cão segue como anteriormente.

A única maneira de isso não acontecer, uma vez que d(v) = R(p − 1, q) + R(p, q−1)−2, é v ter exactamente R(p−1, q)−1 arestas incidentes vermelhas, e exactamnte R(p, q − 1) − 1 arestas incidentes azuis.

Ora isso não pode acontecer para todos os vértices: caso contrário, somando o número de arestas azuis incidentes em todos os R(p − 1, q) + R(p, q − 1) − 1 vértices, ter´ıamos que

(R(p, q − 1) + R(p − 1, q) − 1)(R(p, q − 1) − 1)

teria que ser o dobro do número de arestas azuis, uma vez que cada uma delas seria contada duas vezes, uma por cada vértice incidente; mas isso é imposs´ıvel porque aquele número é ´ımpar.

Exemplo 1.24 Como R(4, 2) = 4 e R(3, 3) = 6 s˜ao ambos pares, conclu´ımos que R(4, 3) < 4 + 6. Fazendo uma colora¸c˜ao adequada de K8 conclui-se que

de facto R(4, 3) = 9: podemos, por exemplo, identificar os v´ertices de K8 com 18

(19)

as classes de congruência módulo 8 e colorir a aresta i j de vermelho caso i − j ≡ 1 ou 4 mod 8 e de azul caso contrário.

Deixa-se como exerc´ıcio verificar que com esta colora¸c˜ao n˜ao existe nenhum K4 vermelho nem K3 azul.

Exemplo 1.25 Para determinar R(4, 4) come¸camos por notar que R(4, 4) ≤ R(4, 3) + R(3, 4) = 18. Pode-se, de modo semelhante ao exemplo anterior, verificar que de facto R(4, 4) = 18, descobrindo uma colora¸cão das arestas de K17 sem nenhum K4 monocromático: identificamos os vértices de K17 com as

classes de congruência módulo 17 e colorindo a aresta i j de vermelho caso a diferen¸ca i−j seja um res´ıduo quadrático módulo 17 e de azul caso contrário. Tal como no exemplo anterior, a verifica¸cão é deixada como exerc´ıcio.

A relativa simplicidade das dedu¸cões feitas nos exemplos anteriores é muito enganadora: a tabela seguinte contém todos os valores exactos de R(p, q) (com p ≤ q) conhecidos; noutras entradas indicam-se os intervalos nos quais se sabe estar contido o número de Ramsey respectivo. Existem estimativas do mesmo tipo para outros R(p, q) além dos indicados.

3 4 5 6 7 8 9 10 · · ·

3 6 9 14 18 23 28 36 [40, 43] · · ·

4 18 25 [35, 41] [49, 61] · · · 5 [43, 49] · · ·

...

Podemos obter uma estimativa simples e n˜a recursiva para R(p, q): Proposi¸c˜ao 1.26 : Para todos os p ≥ 2 e q ≥ 2, tem-se

R(p, q) ≤ p + q − 2 p − 1

(20)

Demonstra¸cão 1.27 : Por indu¸cão em p + q. Os casos p + q ≤ 5 são de verifica¸cão imediata: R(2, 2) = 2 = 2 + 2 − 2 2 − 1 ; R(2, 3) = 3 = 2 + 3 − 2 2 − 1 ; Suponhamos então que

R(s, t) ≤ s + t − 2 s − 1

para todos os s e t tais que s + t < p + q. Pela desigualdade do Teorema anterior e usando esta hip´otese

R(p, q) ≤ R(p−1, q)+R(p, q−1) ≤p − 1 + q − 2 p − 2 +p + q − 1 − 2 p − 1 = p + q − 2 p − 1

onde a última igualdade é apenas um caso particular da fórmula m n = m − 1 n +m − 1 n − 1 .

Note-se que, como consequência da majora¸cão obtida nesta Proposi¸cão, temos também que

R(p, q) ≤ 2p+q−2 e, em particular,

R(p, p) ≤ 22p−2.

Por outro lado, tem-se a seguinte estimativa para os n´umeros de Ramsey diagonais R(p, p):

Teorema 1.28 Para todo o p ≥ 2,

R(p, p) ≥ 2p/2.

Demonstra¸c˜ao 1.29 O caso p = 2 verifica-se directamente, por isso pode-mos tomar p ≥ 3. Notapode-mos em primeiro lugar que Km tem 2(

m

2) colora¸c˜oes

com duas cores (vermelho e azul, como sempre). Se fixarmos um conjunto

(21)

de p v´ertices, existem 2(m2)−( p

2) colora¸c˜oes em que o subgrafo K

p induzido por

esses v´ertices ´e vermelho.

Como há m_p escolhas para esse conjunto de vértices, o número de colora¸cões de Km com algum Kp vermelho é certamente menor que

m p 2(m2)−( p 2);

esta estimativa é aliás muito grosseira, pois as colora¸cões em que ocorrem, digamos, j Kp vermelhos estão a ser contadas j vezes.

Conclu’imos que a propor¸c˜ao de colora¸c˜oes em que ocorre algum Kp vermelho

´e menor que m p2( m 2)−( p 2) 2(m2) = m p 2−(p2) < m p p! 2 −₍p₂_);

se m < 2p/2, essa propor¸c˜ao fica menor que 2p2/2 p! 2 −p(p−1)₂ ₌ 2p/2 p! < 1 2, como se deduz facilmente (por exemplo, por indu¸c˜ao).

Como a mesma estimativa vale para colora¸c˜oes com algum Kp azul, temos

que concluir que, com a condi¸cão m < 2p/2, têm que existir colora¸cões de Km

que não têm nenhum Kp monocromático, e portanto R(p, p) ≥ 2p/2.

O racioc´ınio feito na demonstra¸cão é um exemplo do chamado método probabil´ıstico em teoria dos grafos.

A defini¸cão dos números de Ramsey para grafos generaliza-se: Dadas k cores c1, · · · , ck, R(t1, · · · , tk) é definido como o menor m tal que qualquer

colora¸c˜ao das arestas de Km com as cores ci cont´em ou um Kt1 com a cor c1,

ou um Kt2 com a cor c2, etc. Prova-se de modo semelhante ao apresentado

acima que estes números existem e satisfazem desigualdades do mesmo tipo. Mas o alcance da ideia fundamental da Teoria de Ramsey é muito mais vasto. Em vez de uma tentativa de explica¸cão, apresentamos, sem pormenores, um outro resultado, aliás anterior à contribui¸cão do próprio Frank Ramsey para

(22)

a teoria com o seu nome:

Dados inteiros positivos k e r, define-se o número de van der Waerden (em homenagem ao matemático holandês Bartel Leendert van der Waerden) w(k, r) como o menor m tal que qualquer colora¸cão dos inteiros 1, 2, · · · , m com r cores contém uma progressão aritmética de comprimento k monocromática. Prova-se que estes números existem de facto mas, se excluirmos os casos triv-iais k ≤ 2, os únicos valores exactos conhecidos são

w(3, 2) = 9, w(3, 3) = 27, w(3, 4) = 76, w(4, 2) = 35, w(4, 3) = 293, w(5, 2) = 178 Para dar uma ideia da dificuldade da determina¸c˜ao dos n´umeros de van der

Waerden, o matem´atico inglˆes Timothy Gowers provou, em 2011, a seguinte estimativa

w(k, r) ≤ 22r2

2k+9