Universidade de São Paulo

(1)

Universidade de S˜

ao Paulo

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Aplica¸c˜oes de Derivada

T´opicos em Microeconomia

Everton Batista da Rocha Roseli Aparecida Leandro

LCE0103 - C´alculo Diferencial e Integral

Departamento de Ciˆencias Exatas/ESALQ/USP

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao

Fun¸c˜oes Marginais

Considera¸c˜oes Finais

(3)

Fun¸c˜

oes Marginais

• Matem´atica

• C´alculo Diferencial e Integral

• Algebra Linear´

• Economia

• Microeconomia

• S´eries Temporais

• Econometria

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Fun¸c˜

oes Marginais

• Em Economia, Administra¸c˜ao, dada uma fun¸c˜ao f (x ),

costuma-se utilizar o conceito de fun¸cão marginal para avaliar o efeito causado em f (x ) por uma pequena varia¸cão de x . • Chama-se fun¸cão marginal de f (x ) à fun¸cão derivada de f (x ).

Assim, a fun¸cão custo marginal, é a derivada da fun¸cão custo, a fun¸cão receita marginal é a derivada da fun¸cão receita, e assim por diante.

• Objetivo: estudar algumas fun¸c˜oes marginais e suas

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Custo Marginal

• Seja C (x ) a fun¸c˜ao de custo de produ¸c˜ao de x unidades de

um produto. Chama-se decusto marginal `a derivada de C (x )

em rela¸cão à x . O custo marginal será indicado por Cmg(x ).

• Exemplo: Considere a fun¸c˜ao de custo

C (x ) = 0, 01x3− 0, 5x2_{+ 300x + 100.}

• O custo marginal ´e dado por Cmg(x ) = C

0

(x ) = 0, 03x2_{− x + 300.}

• Assim, caso se deseje o custo marginal para x = 10, tem-se, Cmg(10) = 0, 03.(10)2− 10 + 300 = 293.

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Custo Marginal

Sendo Cmg(x ) = lim ∆x →0 ∆C ∆x , tem-se que Cmg(x ) ∼= ∆C ∆x (para ∆x pequeno)

Frequentemente, esse ∆x pequeno ´e suposto como igual a 1.

Assim,

Cmg(x ) ∼= ∆C = C (x + 1) − C (x ).

• Portanto, o custo marginal ´e aproximadamenteigual a

varia¸c˜ao do custo, decorrente da produ¸c˜ao de uma unidade adicional a partir de x unidades.

• No exemplo dado, Cmg(10) = 293 representa,

aproximadamente, C (11) − C (10), ou seja, o custo da produ¸c˜ao da 11a unidade.

(7)

Receita Marginal

• Seja R(x ) a fun¸c˜ao receita de vendas de x unidades de um

produto. Chama-se de receita marginal`a derivada de R(x ) em

rela¸cão à x . A receita marginal será indicado por Rmg(x ).

• Exemplo: Considere a fun¸c˜ao receita R(x ) = −2x2+ 1000x .

• A receita marginal ´e dada por Rmg(x ) = R

0

(x ) = −4x + 1000.

• Assim, caso se deseje a receita marginal no ponto x = 50, tem-se, Rmg(50) = −4.(50)2+ 1000 = 800.

(8)

Receita Marginal

Sendo Rmg(x ) = lim ∆x →0 ∆R ∆x, tem-se que Rmg(x ) ∼= ∆R ∆x (para ∆x pequeno) Supondo ∆x = 1, Rmg(x ) ∼= ∆R = R(x + 1) − R(x ).

• Portanto, a receita marginal ´eaproximadamenteigual a

varia¸c˜ao da receita decorrente da venda de uma unidade

adicional, a partir de x unidades.

• No exemplo dado, Rmg(50) = 800 representa,

aproximadamente, R(51) − R(50), ou seja, o aumento da

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Exerc´ıcios

1. Dada a fun¸c˜ao custo C (x ) = 0, 3x3− 2, 5x2_{+ 20x + 200,}

obtenha:

a) o custo marginal Cmg;

b) Cmg(5) e a interpreta¸c˜ao do resultado; c) Cmg(10) e a interpreta¸c˜ao do resultado;

2. Dada a fun¸c˜ao receita R(x ) = −4x2+ 500x , obtenha

a) a receita marginal Rmg;

b) Rmg(10) e a interpreta¸c˜ao do resultado; c) Rmg(20) e a interpreta¸c˜ao do resultado;

(10)

Propens˜

ao Marginal a Consumir e a Poupar

• Chamando de y a renda dispon´ıvel e , C o consumo, tem-se

que C é fun¸cão de y , e a fun¸cão C(y ) é chamada defun¸cão de consumo.

• Denomina-se propens˜ao marginal a consumir, e indica-se por

pC_mg a derivada de C em rela¸c˜ao a y . Isto ´e:

p_mgC (y ) = C0(y ).

• Analogamente, a poupan¸ca S é também fun¸cão de y , e assim, a fun¸cão S (y ) é chamada defun¸cão poupan¸ca.

• Denomina-se propens˜ao marginal a poupar, e indica-se por

pS_mg, a derivada de S em rela¸c˜ao a y , ou seja, pS_mg(y ) = S0(y ).

(11)

Propens˜

ao Marginal a Consumir e a Poupar

• Exemplo: Suponha que a fun¸c˜ao consumo de uma fam´ılia seja

C(y ) = 20 + 0, 4y0,75_.

• Para a propens˜ao marginal a consumir, tem-se p_mgC (y ) = 0, 3y−0,25

• Caso seja de interesse o valor desta propen¸c˜ao para y = 16, tem-se

pC_mg(16) = 0, 3.(16)−0,25= 0, 15.

• A interpreta¸cão é análoga à feita para o custo e a receita marginal, ou seja, aumentando-se em uma unidade a renda dispon´ıvel (de 16 para 17), o aumento do consumo será

(12)

Propens˜

ao Marginal a Consumir e a Poupar

• Exemplo: Suponha que a fun¸c˜ao consumo de uma fam´ılia seja

C(y ) = 20 + 0, 4y0,75_.

• Para o obten¸cão da fun¸cão poupan¸ca, é importante lembrar que,S = y − C, ou seja,

S (y ) = y − 20 − 0, 4y0,75

• A propens˜ao marginal a poupar ´e: pS_mg(y ) = 1 − 0, 3y−0,25

• Caso seja de interesse o valor desta propens˜ao para y = 16, tem-se:

pS_mg(16) = 1 − 0, 3.(16)−0,25= 0, 85.

• Portanto, se a renda passar de 16 para 17, o aumento da poupan¸ca ser´aaproximadamente 0,85.

(13)

Exerc´ıcios

1. Dada a fun¸c˜ao de consumo C = 30 + 0, 4y0,5, obtenha:

a) pC_mg(64) e interprete o resultado;

(14)

Produtividade Marginal

• Seja P uma fun¸c˜ao de produ¸c˜ao que dependa da quantidade x

de um fator vari´avel, chama-se produtividade marginal do

fator `a derivada de P em rela¸c˜ao a x .

• Exemplo: Considere a fun¸c˜ao de produ¸c˜ao P(x ) = 50x0,5 em

que P ´e a quantidade (em toneladas) produzidas por mˆes de

um produto, e x , o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora).

• A produtividade marginal do trabalho ´e P0(x ) = 25x−0,5

• Se x = 10000, ent˜ao

P0(10000) = 25.(10000)−0,5= 0, 25

• Assim, se o n´umero de homens-hora passar de 10000 para 10001, o aumento na produtividade mensal ser´a,

(15)

Exerc´ıcios

1. A produtividade anual de algod˜ao (em toneladas) de um

agricultor ´e fun¸c˜ao da quantidade x de fertilizante empregada

(em toneladas), segundo a rela¸c˜ao P = 100 + 200x − x2.

a) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x = 50 e interprete o resultado.

b) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x = 75 e interprete o resultado.

(16)

Elasticidades

• A fun¸c˜ao de demanda relaciona o pre¸co unit´ario p com a

quantidade demandada x .

• Um indicador da sensibilidade da varia¸c˜ao da demanda em

rela¸c˜ao ao pre¸co poderia ser a derivada de x em rela¸c˜ao a p. Todavia, esta derivada depende das unidades de medidas

utilizadas. Assim, se a queda de $1, 00 por kg de ab´obora

fizesse o consumidor aumentar em 1kg por mˆes o consumo

desse produto, a rela¸c˜ao cosumo/pre¸co seria 1 se o consumo

fosse medido em quilogramas, mas seria 1000 se o consumo fosse medido em gramas.

• Costuma-se definir um indicador de sensibilidade que

independa das unidades de medida utilizadas. Tal indicador ´e

(17)

Elasticidades

• Suponha que a um pre¸co p0 a quantidade demandada seja x0.

Suponha, ainda, que o pre¸co sofra uma varia¸c˜ao ∆p e partir

de p0 e, como consequˆencia, a quantidade demandada sofra

uma varia¸c˜ao ∆x , a partir de x0.

• Considere:

• A varia¸c˜ao porcentual no pre¸co: ∆p p0

.

• A varia¸c˜ao porcentual na quantidade: ∆x x0

• Chama-se deelasticidade da demanda no ponto (x0, p0) o

n´umero: e = lim ∆p→0 ∆x x0 ∆p p0 = p0 x0 ∆x ∆p

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Elasticidades

• (continua¸c˜ao)

• O limite dentro do m´odulo ´e dx

dp (derivada da quantidade em rela¸cão ao pre¸co). O módulo é introduzido na defini¸cão para que a elasticidade resulte num número positivo, uma vez que, em geral, dx

dp < 0, entretanto alguns autores preferem fazer a defini¸c˜ao sem uso do m´odulo.

• Assim, e = p0 x0 dx dp , em que a derivada dx dp ´e calculada no ponto (x0, p0).

• E importante salientar que a elasticidade ´´ e uma caracter´ıstica do ponto da curva de demanda e n˜ao da curva em si.

(19)

Elasticidades

• Exemplo: Seja a equa¸c˜ao de demanda for dada por

x = 500 − 10p: • Tem-se, dx dp = −10 • Portanto, e = p0 x0 10 • Assim, se p0= 40, ent˜ao x0= 500 − 400 = 100 e e = 40 10010 = 4

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Elasticidades

• (continua¸c˜ao)

• Isso significa que, para ∆p pequeno,

4 ∼= ∆x 100 ∆p 40 . • Admitindo ∆p

40 = 1% (como ´e usual), tem-se ∆x

100 ∼

= −4%(pois ∆x e ∆p tem sinais contr´arios)

• Em outras palavras, se o pre¸co for 40 e sofrer um aumento percentual de 1%, a queda percentual na demanda ser´a de

aproximadamente4%.

• De modo an´alogo, ao se admitir um aumento percentual de 2%, a queda percentual na demanda ser´a deaproximadamente

(21)

Elasticidades

• Se e > 1, a demanda é ditaelástica no ponto considerado. • Se 0 < e < 1, a demanda é ditainelástica.

• E se e = 1, a demanda tem elasticidade unit´aria no ponto

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Elasticidades

• Para a fun¸cão de oferta, define-seelasticidade da oferta em rela¸cão ao pre¸co de modo análogo:

f = lim ∆p→0 ∆x x0 ∆p p0 = p0 x0 dx dp em que dx

dp ´e calculada no ponto x = x0 e p = p0 da equa¸c˜ao da oferta.

• Nesse caso, o m´odulo foi omitido, pois dx

(23)

Elasticidades

• Exemplo: Seja a equa¸c˜ao de oferta x = 64 + p2.

• Ent˜ao,

dx dp = 2p

• Caso seja de interesse a elasticidade para p0= 6, ent˜ao

x0= 64 + 62= 100 e dx dp = 12, no ponto em que p0= 6. • Assim, f = 6 10012 = 0, 72

• Desse modo, para um acréscimo percentual de 1% no pre¸co (a partir de 6), o acréscimo porcentual na quantidade ofertada (a partir de 100)será deaproximadamente0,72%.

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Exerc´ıcios

1. Se a equa¸c˜ao de demanda for dada por x = 10 − p

5 , obtenha

a elasticidade da demanda para p = 5 e interprete o resultado.

2. Obtenha a elasticidade da oferta para p = 9, sabendo que a

equa¸c˜ao da oferta ´e dada por x = 20 − 0, 05p + p1/2. Interprete o resultado.

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Considera¸c˜

oes Finais

• Aula MAPLE - Derivadas =⇒02/05/2011,10hs-12hs, em

sala de aula.

• Prova MAPLE - Derivadas =⇒ 10/05/2011,14hs-15:30hs

(Grupo 1)

• Prova MAPLE - Derivadas =⇒ 10/05/2011,

16:15hs-17:45hs (Grupo 2)

• Entrega dos exerc´ıcios propostos: no dia da prova do

MAPLE.

• Todos os exerc´ıcios deverão ser entregues feitos à mão e no MAPLE (IMPRESSO).

• O material da aula do dia 02/05/2011 estar´a dispon´ıvel at´e a

data da mesma, assim como uma lista de exerc´ıcios, adicionais `

a deste texto, que também deverá ser entregue feita à mão e no MAPLE (IMPRESSO), no dia da prova do MAPLE.

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Referˆ

encias

Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab; Cálculo -Fun¸cões de uma e várias variáveis. Editora Saraiva, São Paulo, 2003.