Ementa. Descrição. Objetivos. Carga horária: 60 horas Créditos: 04. Limites, Continuidade e Derivadas.

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias

Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL fred@mat.ufpb.br

Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br

Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br

Site do curso www.mat.ufpb.br/ead

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

Limites, Continuidade e Derivadas.

Descrição

Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma

Moodle.

Objetivos

Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:

Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades; Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades;

Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais propriedades;

Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas derivadas;

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Unidades Temáticas Integradas

Unidade I Limites

• Noção Intuitiva • Definição

• Propriedades dos Limites • Limites Laterais

• Cálculo de Limites • Limites no Infinito • Limites Infinitos

• Propriedades dos Limites Infinitos • Limites Fundamentais

Unidade II Continuidade

• Continuidade em um ponto • Teste de Continuidade

• Propriedades de Funções Contínuas • Composta de Funções Contínuas • Teorema do Valor Intermediário:

Unidade III Derivada

• A Derivada de uma Função num Ponto • A Reta Tangente

• Continuidade de Funções Deriváveis • Derivadas Laterais

• Regras de Derivação

• Derivada das Funções Elementares do Cálculo • Regras de L’Hospital

• Derivação de Função Composta • Derivada da Função Inversa

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Unidade I Limites

1. Situando a Temática

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra-Domínio. Mais precisamente,

:

f A→B é função ⇔ ∀ ∈x A, ! ∃ y= f x( )∈B .

Os conjuntos A e B representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função f . O

elemento f x( )denomina-se a imagem do elemento x pela função f .

Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do conteúdo de limites. O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem demonstrações, através de alguns exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão das demonstrações é tornar o texto conciso.

Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e atividades relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de exercícios.

2. Problematizando a Temática

Limite na vida prática

Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite:

1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago por 100 dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor pago por 100 dólares) é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 . Podemos representar tal situação por: 1, 73 173 lim 100 x x = →

2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo aquecida. Se x

representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por A x( )=x2. Evidentemente, quando x se aproxima de 3, a área da placa A se aproxima de 9. Expressamos essa situação simbolicamente por

2 9 lim 3 x x = →

3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para baixo em torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos dizer que o limite

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(velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o acelerador tender a 2 cm para baixo. Matematicamente escrevemos tal situação por

( ) 60 lim 2 v x x = → ,

onde v x( ) é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em centímetros do deslocamento do pedal do acelerador.

4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de um corpo em queda livre sob a ação da gravidade.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: • Noção Intuitiva

• Definição

• Propriedades dos Limites • Limites Laterais

• Cálculo de Limites • Limites no Infinito • Limites Infinitos

• Propriedades dos Limites Infinitos • Limites Fundamentais

3. Conhecendo a Temática

3.1 Limites

3.1.1 Noção Intuitiva

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f :ℝ \ {1}→ℝ definida por:

2 1 ( 1)( 1) ( ) 1 1 1 x x x f x x x x − − + = = = + − −

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x

se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à esquerda e à direita de x=1.

TABELA

Pela esquerda de x=1 Pela direita de x=1

x 0 0, 5 0,9 0,99 0, 999 1 x 2 1, 5 1, 2 1,1 1, 01 1, 001 1

) (x

f 1 1, 5 1,8 1,9 1, 99 1, 999 2 f x( ) 3 2,5 2, 2 2,1 2, 01 2, 001 2

(5)

1 ( ) 2

lim

x f x → =

3.1.2 Definição Informal de Limite

Seja f x( ) definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se f x( ) fica arbitrariamente próximo de L, para todos os valores de xsuficientemente próximos de x0, dizemos que f tem

limite L quando x tende a x0 e escrevemos

0 ( )

lim

x x f x L → =

Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente próximos” são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções específicas.

Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em x₀ Com efeito, consideremos as seguintes funções:

a) 2 1 ( ) , 1 1 x f x x x − = ≠ − b) 2 1 , 1 g(x) 1 1, 1 x x x x ⎧ − _≠ ⎪ = ⎨ − ⎪ ₌ ⎩ c) h x( ) = +x 1 Note que ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1

lim

f x

lim

g x

lim

h x

x x x

= = =

→ → →

sem que exista f(1), com g(1) 1= ≠2 e h(1)=2(Veja Figura 1).

Figura 1: Funções do Exemplo 1.

Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir

De fato: discutamos o comportamento quando x→0 das seguintes funções: (a) A função de salto unitário definida por ( ) 0, 0

1, 0 x U x x < ⎧ = ⎨ _≥ ⎩ (b) A função 1 , 0 ( ) x g x x ⎧ _≠ ⎪ = ⎨ ⎪ ₌

(6)

(c) A função 0, 0 ( ) 1 , 0 x f x sen x x ≤ ⎧ ⎪ = ⎨ ⎛ ⎞ _> ⎜ ⎟ ⎪ _{⎝ ⎠} ⎩ Soluções:

(a) A função de salto unitário U x( )não tem limite quando x→0 porque seus valores “saltam” em

0

x= . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, U x( )=0. Para valores positivos de

x, arbitrariamente próximos de zero, U x( ) 1= . Não há um único valor de L do qual U x( ) se aproxime quando x→0 (Figura 2 (a)).

(b) A função cresce demais para ter um limite: g x( )não tem um valor limite quando x→0 porque

gcresce arbitrariamente em valor absoluto quando x→0 e não se mantém próximo de nenhum valor real (Figura 2 (b)).

(c) A função oscila demais para ter um limite: f x( )não tem limite quando x→0 porque os valores da função oscilam entre 1 e −1 em cada intervalo aberto que contém 0. Os valores não se mantêm próximos de nenhum número quando x→0

(Figura 2 (c)).

Figura 2: Funções do Exemplo 2. 3.1.3 Definição Formal de Limite

Definição: Seja f x( ) uma definida em um intervalo aberto em torno de x₀, exceto possivelmente em x₀. Dizemos que f x( ) tem limite L quando

0 x→x e escrevemos 0 ( ) lim f x L x x = → ,

se, para cada número

ε

>0, existir um número correspondente

δ

>0 tal que para todos os valores de x,

0

0< −x x < ⇒

δ

f x( )− <L

ε

.

Graficamente temos:

Exemplo: Testando a Definição

Mostre que lim ( 1) 2 1

de L=2, isto é, f x( ) 2− <

ε

.

(7)

1 2 1

x+ − = + <x

ε

.Daí, basta escolher

δ ε

= e verifica-se que ( 1) 2 1

lim

x x

+ =

→ .

3.1.4 Propriedades dos Limites

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas.

(

)

0 ( )

lim

f x r s Lr s x x = →

desde que Lr s seja um número real.

Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule

2 2 3 ₃ 5 2 1 3 1

lim

x _x x x ⎛ + + ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ →

(8)

Solução: 2 2 3 ₃ 5 2 1 3 1

lim

x _x x x + + + → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =

(

)

(

0 ( ) 0

lim

g x x x = → , então 0 ( ) ( ) 0

lim

f x g x x x ⋅ = →

, mesmo que não exista

0

( ) lim f x x→x

.

Exemplo: Mostre que 1 0

0

lim

xsen x x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ →

Solução: Como sen 1 1, x 0

x

⎛ ⎞ ≤ ∀ ≠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ e _x

lim

_→₀x=0, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que

1 0 0

lim

xsen x x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → 3.1.5 Limites Laterais

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto

(

x b₀,

)

, onde x₀ <b.

Dizemos que um número L é o limite à direita da funçãof quando x tende para x0, e escrevemos

Observação: A Regra da Soma que vale para duas funções, também vale para um número finito de funções. Além disso, se somente uma das parcelas não possui limite, então o limite da soma de todas as parcelas não existirá. Verifique esta afirmação.

Observação: O Teorema 3.2 só é válido se

ambas as funções f e g possuírem

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0 ( ) lim f x L x x+ = →

se, para todo

ε

>0, existe um

δ

>0 tal que f x( )− <L

ε

sempre que x₀ < <x x₀+

δ

.

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto

(

c x, ₀

)

, onde c<x₀. Dizemos que um número

L é o limite à esquerda da funçãof quando x tende para x₀, e escrevemos 0 ( ) lim f x L x x− = →

se, para todo

ε

>0, existe um

δ

>0 tal que f x( )− <L

ε

sempre que x₀− < <

δ

x x₀.

Exemplo: Seja ( ) , 0 3, 0 x x f x _x x ⎧ − ≠ ⎪ = _⎨ ⎪ ₌ ⎩ Como 1, 0 1, 0 x x x x − > ⎧ − _{= ⎨} + <

⎩ conclui-se que _xlim_→₀+f x( )= −1 e lim ( )

0 f x x→ −

= 1

Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente no ponto

x0, então 0 ( )

lim

f x L x x =

→ se, e somente se,

lim

f x x→

.

3.1.6 Cálculo de Limites

Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:

São indeterminadas. O que significa isto?

Notação: 0 0 x x x x→ − ⇒ → com 0 x x< ∞ ∞ ∞ ⋅ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 , , 0 , 0 , , , 0 0 0 0 Notação: x→x₀+ ⇒ x→x₀com x>x₀ Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando substituímos

0

x

(10)

Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários: são casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto.

Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 0 0

lim

x

lim

x x x _x _x x x + − ⋅ + + + − ₌ ⋅ + + → → =

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(

) ( )

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 _{2 2} ₁ ₁ 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0

lim

x

lim

x

lim

x x x x x x x x + − _{+ −} = = = ⋅ + + ⋅ + + + + → → → 3.1.7 Limites no Infinito

O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para descrever o comportamento de uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por exemplo, a função f x( ) 1

x

= é definida para qualquer valor de x≠0 (Figura 3).

Quando x vai se tornando cada vez maior, 1

x se torna “próximo de

zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo f x( ) 1 x = tem limite 0quando x→ ±∞. Figura 3: Gráfico de y 1 x =

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto

(

a,+∞

)

. Escrevemos,

( ) 0, 0; ( ) .

lim

f x L M x M f x L x

ε

= ⇔ ∀ > ∃ > > ⇒ − < →+∞ Analogamente,

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto

(

−∞,b

)

. Escrevemos,

( ) 0, 0; ( ) .

lim

f x L N x N f x L x

ε

= ⇔ ∀ > ∃ < < ⇒ − < →−∞

Definição. A reta y=b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y= f x( )

Se

_lim

f x( ) b x = →+∞ ou x

lim

f x( ) b = →−∞

Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então (a)

_lim

Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando

x→ ±∞ e quando x→ ±2, onde o denominador é zero. Observe que

f é uma função par de x, isto é, f(− =x) f x( ), para todo x≠ ±2. Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y.

O comportamento quando x→ ±∞. Como

_lim

f x( ) 0 x

= → ±∞

, tem-se

que a reta y=0 é uma assíntota horizontal.

O comportamento quando x→ ±2. Uma vez que ( )

2

lim

f x x + = −∞ → e ( ) 2

lim

f x x − = +∞ →

, a reta x=2 é uma assíntota vertical. Analogamente,

por simetria, x= −2, também é uma assíntota vertical.

Figura 4: Gráfico de ₂ 8 4 y x − = −

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lim ( )f x lim ( )g x h x( )= lim ( )h x simbolicamente

_{±∞ 0}_⋅ é indeterminação 10 k ±∞ f x g x( ) ( ) 0 k ±∞ =0 11 ±∞ ±∞ _{f x g x}_{( )} _{( )} ? ±∞ ±∞ é indeterminação 12 k>0 ₀+ f x g x( ) ( ) +∞ k 0+ = +∞ , k>0 13 +∞ ₀+ _{f x g x}_{( )} _{( )} +∞ _+∞ ₀+ _{= +∞} 14 k>0 ₀− f x g x( ) ( ) −∞ k 0− = −∞ , k>0 15 +∞ ₀− _{f x g x}_{( )} _{( )} −∞ ₊_∞ ₀− ₌_−∞ 16 0 0 f x g x( ) ( ) ? 0 0 é indeterminação

Exemplo: Determinar

_lim

(3x5 4x3 1) x

x x e x + = →

, onde e é o número irracional neperiano cujo valor é 2, 718281828459...,

Observação:

A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites infinitos, onde podemos ter x→x₀, x→x₀+,

−

→x0

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No Moodle...

5. Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E

INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.

2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE!

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Unidade II Continuidade

Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles.

Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua e seu gráfico se compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta unidade, a idéia de continuidade.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: • Continuidade em um ponto

• Teste de Continuidade

• Propriedades de Funções Contínuas • Composta de Funções Contínuas • Teorema do Valor Intermediário

As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se aproxima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem

de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 1920, que a luz vem em partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se tornou importante tanto prática quanto teoricamente.

3.1. Continuidade em um Ponto

Definição. Seja I⊆ ℝ um intervalo. Uma função f I: → ℝ é contínua em um ponto a∈I quando

( ) ( ) lim f x = f a

Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida.

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Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto A função Salto Unitário definida por ( ) 0, 0

1, 0 x U x x < ⎧ = ⎨ _≥

⎩ é contínua à direita em x=0, mas não é contínua à

esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto em x=0

3.2 Continuidade

Definição. Seja I ⊆ ℝ um intervalo. Uma função f I: → ℝ é contínua quando f é contínua em todo ponto

a∈I

Exemplo: Identificando Funções Contínuas

A função f x( ) 1 x

= ( Figura 3) é contínua em todo x≠0.

3.3 Propriedades de Funções Contínuas.

Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em x=a, então as seguintes combinações são contínuas em

x=a.

1. Soma: f +g

2. Diferença: f −g

3. Produto: f g⋅

4. Constantes Múltiplas: k f⋅ , para qualquer número k 5. Quociente: f g, desde que g a( )≠0

3.4. Composta de Funções Contínuas.

Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em b= f a( ), então a composta gD f é contínua em a, isto é,

( ( )) ( ( )) ( ( ))

lim g f x g lim f x g f a

x a x a

= =

→ →

Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função

2 1 ( ) 1 x h x x + = + é contínua em x=1

Considerações sobre a Definição

(a) Quando f não é contínua em um ponto a, dizemos que f é descontínua em a e que a é um

ponto de descontinuidade de f ;

(b) f contínua à esquerda no ponto x=a quando

_lim

f(x) f(a)

a x

=

→ −

;

(c) f contínua à direita no ponto x=a quando

_lim

f(x) f(a)

a x

=

→ +

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Solução: Sejam ( ) ₂ 1 1 x f x x + = + e g x( )= x . Daí, h x( )=(gD f)( )x =g f x( ( )). Sendo 2 1 1 (1) 1 1 1 f = + = + e ( (1)) (1) 1 1 g f =g = = , tem-se que

lim ( ( )) lim ( ) lim ₂ 1 1 1₂ 1 ( (1))

1 1 1 1 1 1 x g f x h x g f x x x x + + = = = = = + + → → →

3.5. Teorema do Valor Intermediário

Teorema 3.5. .Seja f :

[ ]

a b, → ℝ uma função contínua em um intervalo

fechado

[ ]

a b, tal que f a( )≤y₀≤ f b( ), então y₀ = f c( ) para algum c

em

[ ]

a b, .

Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5

Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu cubo?

Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor

Intermediário.

Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazer a equação x+ =1 x3

ou, equivalentemente, x3− − =x 1 0. Portanto, estamos procurando um zero da função contínua f x( )=x3− −x 1(Veja Figura 7 abaixo). Esta função muda de sinal no intervalo

[ ]

1, 2 , pois − =1 f(1)< <0 f(2)=5, logo deve existir um ponto c entre 1 e 2 tal que f c( )=0

Ampliando o seu Conhecimento

No Moodle...

Dialogando e Construindo Conhecimento

Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal y=d cruzando o eixo y entre os números f a( ) e f b( ) cruzará a curva y= f x( ) pelo menos uma vez no intervalo

[ ]

a b, , desde que f

seja contínua em

[ ]

a b, .

Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade.

Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma e procurar resolver os exercícios nela proposta.

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5. Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987

2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco.

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Unidade III Derivadas

No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento s=s t( ), onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqüências de erros cometidos durante as medições.

A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas. Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos:

• A Derivada de uma Função num Ponto • A Reta Tangente

• Continuidade de Funções Deriváveis • Derivadas Laterais

• Regras de Derivação

• Derivada das Funções Elementares do Cálculo • Regras de L’Hospital

• Derivação de Função Composta • Derivada da Função Inversa

• A Derivada de uma Função na Forma Implícita

Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e outros problemas que envolvem derivadas.

3.1 A Derivada de uma Função

Definição. A derivada de uma função y= f x( ) em relação à variável x é a função f ′ cujo valor em x é

( ) ( ) ( ) lim 0 f x h f x f x h h + − ′ = → ,

Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva y= f x( ) no ponto

0 0

( , )

(20)

Exemplo: Aplicando a Definição

Encontre a derivada de y= x para x>0. Solução: Passo 1: f x( )= x e f x( +h)= x+h Passo 2 : f x( h) f x( ) h + − = x h x h + − =

(

) (

)

(

)

x h x x h x h _x _h _x + − + + ⋅ + + =

(

)

x h x h x h x + − ⋅ + + =

(

)

1 x+ +h x Passo 3 : ( ) _lim 0 f x h ′ = →

(

)

1 x+ +h x = 1

2 x (Veja Figura 8 (a) e 8(b) )

Considerações sobre a Definição:

(a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe. Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor;

(b) Se f ′ existe para um determinado valor de x, dizemos que f é derivável em x;

Calculando f ′(x) a partir da Definição de Derivada Passo 1. Escreva expressões para

) (x

f e f(x+h)

Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente

h x f h x f( + )− ( )

Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre f ′(x) calculando o limite

h x f h x f h x f ( ) ( ) 0 ) (

_lim

+ − → = ′ Figura 8

(21)

3.2. A Reta Tangente

Definição. Dada uma curva de equação y= f x( ) , seja P x y( ,₀ ₀) um ponto sobre ela, ou seja ,

0 ( )0

y = f x . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular

T

m é dado pela expressão

0 0 0 ( ) ( ) lim T h f x h f x m h → + − = ,

quando este limite existe. Assim,

0

( )

T

m = f x′ .

Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva y= x em x=4

Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que

1 ( ) 2 f x x ′ =

Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em x=4 é dado por

1 1 (4) 4 2 4 T m = f ′ = = .

A reta tangente passa pelo ponto P(4, 2) e tem como equação

1 2 ( 4) 4 y− = ⋅ −x ⇔ 1 1 4 y= x+

3.3 Continuidade de Funções Deriváveis

Teorema 3.3. Se f é derivável em x=x₀, então f é contínua x=x₀.

Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função y= f(x). Além de

) (x

f ′ , as notações mais comuns são:

(i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton

(ii)

dx dy

( lê-se dydx). Esta notação foi dada por Leibniz

(22)

Corolário 3.3. Se f não é contínua em x₀, então f não é derivável em x₀

3.4 Derivadas Laterais

Definição: Se a função y= f x( ) está definida em x₀,então a derivada à direita de f em x₀, denotada por 0 ( ) f₊′ x , é definida por 0 0 0 ( ) ( ) ( ) _lim 0 f x h f x f x h h + + + − ′ = → 0 0 0 ( ) ( ) lim f x f x x x x x+ − = − → ,

caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em x₀, denotada por f x−′( ₀), é definida por

0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 f x h f x f x h h − − + − ′ = → 0 0 0 ( ) ( ) lim f x f x x x x x− − = − → ,

desde que este limite exista.

Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir

Exemplo: A função f(x)= x, x≥0 é contínua em x=0 mas não é derivável aí, pois

x x f 2 1 ) ( = ′ x > 0 e h h h h h h h f h h f h f x f 1 0 0 ) ( 0 ) 0 ( ) ( 0 ) 0

(

_lim

→ = → = → = − → = ′ que

não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto.

Prova: Como f ′(x₀) existe, devemos mostrar que ( ) ( ₀)

0

lim

f x f x x x = → ou , equivalentemente, que ) ( ) ( 0 0 0

lim

f x h f x h = + → . Com efeito, se h≠0, então

h h x f h x f x f h x f( + )= ( )+ ( 0 + )− ( 0)⋅ 0 0 Assim, h h h x f h x f h x f h h x f h

lim

0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 0 0 0 → ⋅ − + → + → = + → ) ( 0 ) ( ) (x0 f x0 f x0 f + ′ ⋅ = =

(23)

Exemplo: A função f x( )= x não é derivável em x=0, embora seja contínua aí Solução: À direita da origem (x>0)

( )

( ) 1 d d x x dx =dx = e (0) lim (0 ) (0) lim 1 0 0 f h f h f h h h h + + + + − ′ = = = → → À esquerda da origem (x<0),

( )

( ) 1 d d x x dx =dx − = − e (0) lim (0 ) (0) lim 1 0 0 f h f h f h h h h − − − + − − ′ = = = − → →

Como f+′(0)≠ f−′(0), tem-se que f não é derivável x=0.

3.5 Regras de Derivação

Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x, então as seguintes combinações são deriváveis em x

1. Soma: f +g e

(

f +g

)

′( )x = f x′( )+g x′( ); 2. Diferença: f −g e

(

f −g

)

′( )x = f x′( )−g x′( );

3. Produto: (f g⋅ ) e (f g⋅ ) ( )′ x = f x g x′( ) ( )+ f x g x( ) ( )′ ;

Considerações sobre a Definição:

(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais;

(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um ponto x₀, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função y= f(x). Neste caso, f não é derivável em x₀;

(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto x₀, então f não será derivável em x₀.

(24)

4. Quociente f g ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ e

[

]

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g x f x f x g x x g _{g x} ′ ′ ′ ⎛ ⎞ ₌ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , desde que g x( )≠0;

5. Constantes Múltiplas: k f⋅ e (k f⋅ ) ( )′ x = ⋅k f x′( ), para todo número real k.

No Moodle...

Exemplo: Aplicando as regras de derivação

Determine as derivadas das seguintes funções: (a) f x( )=(x2+2 )(x x3+1) (b) 5 3 2 ( ) 1 x g x x = + (c) h x( )=x4+x3+2x (d) y=x x Solução: (a) f x′( )=(x2+2 ) (x ′⋅ x3+ +1) (x2+2 )(x x3+1)′= 2 3 2 3 [(x )′ (2 ) ] (x ′ x 1) (x 2 ) [(x x )′ (1) ]′ = + ⋅ + + + ⋅ + = =(2x+ +2) (x3+ +1) (x2+2 ) (3x ⋅ x2+0)= 3 2 2 (2x 2) (x 1) (x 2 ) (3x x ) = + + + + + ⋅ (b) 5 3 5 3 3 2 (2 ) ( 1) (2 ) ( 1) ( ) ( 1) x x x x g x x ′⋅ + − ⋅ + ′ ′ = + = 4 3 5 2 3 2 10 ( 1) (2 ) (3 0) ( 1) x x x x x ⋅ + − ⋅ + = + = 4 3 5 2 3 2 10 ( 1) (2 ) (3 ) ( 1) x x x x x ⋅ + − ⋅ = + (c) h x′( )=(x4)′+(x3)′+(2 )x ′ =4x3+3x2+2

Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios:

(i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação)

(ii) Mostre que ( n)= n−1

nx x dx

d

, onde n é um número real (Derivada da Potência)

(iii) Mostre que

( )

C =0 dx

d

(25)

(d) y′=(x x)′ =( )x ′⋅ x+ ⋅x ( x)′ 1 2 1 x x [( ) ]x ′ = ⋅ + ⋅ 1 1 2 1 2 x x x ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + ⋅ ⋅ = 2 x x x = + 2 x x x x x = + ⋅

( )

2 2 x x x x = + 2 x x x x = + 2 x x = +

3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo

Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e trigonométricas.

Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções:

(a) y=x2+senx

(b) y=tgx+2ex

(c) y=xlnx

(d) y=secx+xcosx

Solução: (a) y′=(x2+senx)′=2x+cosx

(b) y′=(tgx+2 )ex ′=(tgx)′+(2 )ex ′=sec2 x+2ex

(c) y′=( ln )x x ′=( ) lnx ′ x+x(ln )x ′ lnx x 1 1 lnx x

= + ⋅ = +

(d) y′=(sec )x ′+( cos )x x ′ =secx tgx⋅ + ⋅1 cosx+ ⋅ −x ( senx) =secx tgx⋅ +cosx− ⋅x senx

3.7. Regras de L’Hospital

Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo 0 ou 0

∞

∞. Esse método é

dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir.

Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto, possivelmente, em um ponto a∈I. Suponhamos que g x′( )≠0, x∀ ≠a em I.

Função Derivada ( ) f x f x′( ) 01 x e ex 02 lnx 1/x 03 senx cosx 04 cos x −senx 05 tgx 2 sec x 06 cot gx 2 cos sec x − 07 sec x secx tgx⋅

(26)

(i) Se ( ) lim ( ) 0 e lim ( ) , então lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a x a

lim

f x g x f x L f x f x L g x g x g x x a x a ′ ′ = = = = = ′ ′ → → → → →

(ii) Se lim ( ) lim ( ) e lim ( ) , então lim ( ) lim ( )

( ) ( ) ( ) x a x a x a f x f x f x f x g x L L g x g x g x x a x a ′ ′ = = ∞ = = = ′ ′ → → → → →

Exemplo: Determine os seguintes limites:

(a) 2 2 6 lim 3 2 2 x x x x x + − − + → (b) lim 2 0 x x x senx e e x − − + + − → (c) _lim ₃ 1 4 x e x x x − + →∞

Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos

(a) 2 2 6 2 1 2 2 1 5 5 lim lim 3 2 2 3 2 2 3 1 2 2 x x x x x x x x + − ₌ + ₌ ⋅ + _{= =} − + − ⋅ − → →

(b) lim lim 1 cos lim 0 2 0 x x 0 x x 0 x x x senx x senx e e e e e e x − x − x − − + ₌ − + ₌ − ₌ + − − + → → →

(c) lim ₃ 1 lim ₂ lim lim

4 3 4 6 6 x x x x e e e e x x x x x x x x − ₌ ₌ ₌ _{= +∞} + + →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

3.8. Derivação de Função Composta

Consideremos duas funções f e g onde u=g x( ). Para todo x tal que g x( ) está no domínio de f , podemos escrever y= f u( )= f g x( ( )), isto é, podemos considerar a função composta (f Dg x)( )= f g x( ( )).

Observação: As Regras de L’hospital são válidas para limites laterais e limites no infinito.

Considerações sobre o Teorema 3.7:

(i) Se L (x) g (x) f a x x g a x x f a x = ′′ ′′ → = ′ → = ′ →

lim

( ) ( ) 0 e , então L x g x f ₌ ′ ′ → ( ) ) ( a x

lim

e assim sucessivamente... (ii) Se L (x) g (x) f a x x g a x x f a x = ′′ ′′ → ∞ = ′ → = ′ →

lim

( ) ( ) e , então L x g x f ₌ ′ ′ → ( ) ) ( a x

(27)

Por exemplo, uma função tal como y=(x2+5x+2)7

pode ser vista como a composta das funções 7

( )

y=u = f u e u=x2+5x+ =2 g x( ).

Teorema 3.8. A Regra da Cadeia

Se f u( ) é derivável no ponto u=g x( ) e g x( ) é derivável em x, então a função composta

(f Dg x)( )= f g x( ( )) è derivável em x e

(f Dg) ( )′ x = f g x′( ( ))⋅g x′( )= f u u′( )⋅ ′

Na notação de Leibniz, se y= f u( ) e u=g x( ), então

dy dy du dx =du dx⋅ ,

onde dy

du é calculado em u=g x( ).

Exemplo: Dada a função y=(x2+5x+2)7, determinar dy

dx.

Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever 7

( )

y=u = f u , onde u=x2+5x+ =2 g x( )

Assim, pela Regra da Cadeia,

dy dy du dx=du dx⋅ 6 7u (2x 5) = ⋅ + 2 6 7(x 5x 2) (2x 5) = + + ⋅ + .

Exemplo: Dada a função y=ex3 +sen(2 ) cosx + 2 x, determinar dy

dx

Solução: Sejam u=x v2, =2x e w=cosx. Assim, podemos escrever 2

u

y=e +senv+w

Assim, pela Regra da Cadeia,

3 ₂ ₂ ( x (2 ) cos ) ( u ) y′= e +sen x + x ′= e +senv+w ′ =(eu)′+(senv)′+(w2)′=e uu ′+(cos )v v⋅ +′ (2 )w w⋅ ′ 3 ₂ 3 (cos(2 )) 2 (2 cos ) ( ) x e x x x senx = ⋅ + ⋅ + ⋅ −

=3x2⋅ex3 +2 cos(2 ) 2x − senx⋅cosx

3.9. Derivada da Função Inversa

Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa

Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo aberto (a,b). Suponhamos que f (x) Admita uma função inversa x = g (y) contínua. Se f'’(x) existe e é diferente de zero para qualquer ponto x ∈ (a,b), então g = f -1 é derivável e vale '( ) 1 1

'( ) '( ( )) g y f x f g y = = ou '( ( )) 1 '( ) g f x f x = Figura 11

(28)

Exemplo 3.9: Seja y= f x( )=x2−1, x>0. Determine g′(3), onde g= f −1.

Solução 1: x=g y( )= y+ =1 (y+1)1/2 (Verifique!). Daí,

1 _1/2 1 ( ) ( 1) 2 2 1 g y y y − ′ = + = + . Em particular, 1 1 (3) 4 2 3 1 g′ = = +

Solução 2: Pelo Teorema 3.8 ,

1 1 ( ) ( ( )) ( ) 2 g y g f x f x x ′ = ′ = = ′ Em particular, 2 3 x= ⇔ y= Assim, 1 1 1 (3) (2) 2 2 4 g f ′ = = = ′ ⋅ .

3.10. Derivada da Função Implícita 3.10.1. Função na Forma Implícita

Dizemos que a função y= f x( ) é definida implicitamente pela equação F x y( , ) = 0 se ao substituirmos y

por f x( ) nesta equação obtemos uma identidade, isto é, F x f x( , ( )) = 0.

Exemplo: A equação 2 1 1 0

2

x + y− = define implicitamente a função y= ⋅ −2 (1 x2). De fato, substituindo 2 2 (1 ) y= ⋅ −x na equação 2 1 1 0 2 x + y− = , obtemos a identidade 2 1 2(1 2) 1 0 2 x + ⋅ −x − = .

3.10.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita

Suponhamos que a equação F x y( , ) = 0 define implicitamente uma função derivável y= f x( ). Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y.

Exemplo: Sabendo que y= f x( ) é definida implicitamente pela equação xy2+2y3= +x 2y, determinar y’.

Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que y= f x( ) é derivável, obtém-se: 2 3 (xy +2y )′=(x+2 )y ′ 8 2 3 (xy )′+(2y )′=( )x ′+(2 )y ′

Prova: Sendo g = f−1, tem-se que g(f(x))=x, para todo x∈( ba, ) e usando a Regra da Cadeia, conclui-se ) ( 1 )) ( ( 1 ) ( )) ( ( x f x f g x f x f g ′ = ′ ⇔ = ′ ⋅ ′

(29)

8

2 2

2 6 1 2

y + ⋅x y y⋅ +′ y ⋅ = +y′ y′

Isolando y′ na última igualdade, temos

2 2 1 2 6 2 y y xy y − ′ = + −

Em particular, o ponto P(1,1) está na curva y= f x( ) e aí,

(1,1) 0

y′ =

E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por

1 0 ( 1) 1

y− = ⋅ − ⇔ =x y Se

Cocime

Ampliando o seu Conhecimento Ampliando

Você sabia que só no século XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente”.

Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valores

extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos P x f x( , ( )) com valor assumido no outro ponto

( , ( ))

Q x+h f x+h próximo de P, a diferença entre f x( +h) e f x( ) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de h, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados.

Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a

considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não

dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos de

variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy, para designar os infinitésimos em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Infinitesimal”

(30)

No Moodle...

5.Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.

2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

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