Capítulo Gradiente e hessiana

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Cap´ıtulo 2.11 - Gradiente e hessiana

2.11.1 - Nova nota¸c˜ao 2.11.4 - O gradiente e as curvas de n´ıvel

2.11.2 - Gradiente e hessiana 2.11.5 - Interpreta¸c˜ao econˆomica do gradiente 2.11.3 - Significado do gradiente

Vimos nos últimos dois cap´ıtulos como calcular derivadas de primeira e de segunda ordens (de ordens superiores, também) de fun¸cões de duas ou mais variáveis reais. Veremos agora como organizar essas derivadas, em termos do vetor gradiente e da matriz hessiana, de um modo que será útil na maximiza¸cão ou minimiza¸cão dessas fun¸cões. Veremos também o significado do vetor gradiente.

2.11.1 - Nova nota¸c˜

ao

Quando tratamos da derivada de fun¸cões de uma variável real, existem dois tipos de nota¸cão, usadas de acordo com a comodidade e da preferência da pessoa que as usa: a nota¸cão de Leibniz, df

dx, e a nota¸c˜ao de Newton, f′_{(x). A primeira enfatiza o fato da derivada ser um limite de uma taxa de varia¸c˜}_{ao e a segunda}

ressalta o fato da derivada ser uma fun¸cão. Até o momento, temos usado uma nota¸cão mais ao estilo de Leibniz para derivadas parciais: ∂f

∂xi. Veremos agora uma nota¸c˜ao mais ao estilo de Newton.

Primeiro, não podemos utilizar a nota¸cão f (x), pois temos que especificar com rela¸cão a qual variável estamos derivando. A solu¸cão é escrever

fx =

∂f

∂x e fy = ∂f ∂y .

Note que a nota¸cão utiliza um x como subscrito (letra menor, colocada um pouco abaixo da base da letra f ) para designar a derivada parcial com rela¸cão a x e um y subscrito para designar a derivada com rela¸cão a y.

Exemplo 1: calcule as derivadas parciais da fun¸c˜ao f (x, y) =px3_{− y}2_.

Solu¸c˜ao: escrevendo f (x, y) = (x3

− y2 )1/2_{, calculamos} fx= 1 2(x 3 − y2 )−1/2_{· 3x}2 = 3x 2 2px3 − y2 e fy= 1 2(x 3 − y2 )−1/2_{· (−2y) =} −y px3 − y2 .

Essa nota¸cão também é facilmente generalizada para o caso de fun¸cões com mais de duas variáveis, como no exemplo a seguir.

Exemplo 2: calcule as derivadas parciais da fun¸c˜ao f (x, y, z) = 2x_{ln(y − z).}

Solu¸c˜ao: as derivadas parciais ficam

fx= 2xln 2 ln(y − z) , fy=

2x

y − z e fz= −2x

y − z . A nota¸c˜ao para derivadas parciais de segunda ordem ´e dada a seguir:

fxx= (fx)x = ∂2f ∂x2 , fxy = (fx)y = ∂2f ∂y∂x , fyx= (fy)x= ∂2f ∂x∂y , fyy = (fy)y = ∂2f ∂y2 .

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Exemplo 3: calcule as derivadas parciais de segunda ordem da fun¸c˜ao f (x, y) =px3_{− y}2_.

Solu¸c˜ao: utilizando as derivadas parciais calculadas no exemplo 1 escritas sob a forma de potˆencias: fx=3 2x 2 (x3 − y2 )−1/2 _e _f y= −y(x3− y2)−1/2 , temos fxx=3 2 · 2x · (x 3 − y2 )−1/2₊3 2x 2 · −1₂ (x3 − y2 )−3/2_{· 3x}2 = 3x(x3 − y2 )−1/2₋9 4x 2 (x3 − y2 )−3/2 _, fxy= fyx= 3 2x 2 · −1₂ (x3 − y2 )−3/2_{· (−2y) =} 3 2x 2 y(x3 − y2 )−3/2 _, fyy= −1 · (x 3 − y2 )−1/2_{− y ·} −1 2 (x3 − y2 )−3/2_{· (−2y) = −(x}3 − y2 )−1/2_{− y}2 (x3 − y2 )−3/2 _.

A nota¸cão para as derivadas parciais de fun¸cões de mais de duas variáveis, ou a nota¸cão de derivadas parciais de ordens superiores a dois, pode ser facilmente deduzida a partir da´ı.

2.11.2 - Gradiente e hessiana

Agora introduziremos dois conceitos que nos serão úteis quando formos trabalhar em otimiza¸cão: os de gradiente e hessiana. O gradiente de uma fun¸cão de duas vari´_{aveis reais é um vetor (matriz 2 × 1) definido} como ~ ∇f(x, y) = fx fy , e a hessiana é a matriz

H(f ) = fxx fxy fyx fyy .

Exemplo 1: calcule o gradiente e a hessiana da fun¸c˜ao f (x, y) = xy2+ 2x. Solu¸c˜ao: o gradiente e a hessiana ficam

~ ∇f(x, y) = fx fy = y2 + 2 2xy , H(f ) = fxx fxy fyx fyy = 0 2y 2y 2x .

Esses dois conceitos podem ser generalizados para fun¸c˜oes de n vari´aveis reais, como veremos a seguir para n = 3. ~ ∇f(x, y, z) =   fx fy fz   , H(f ) =   fxx fxy fxz fyx fyy fyz fzx fzy fzz   .

Exemplo 2: calcule o gradiente e a hessiana da fun¸c˜ao f (x, y) = x ln(yz). Solu¸c˜ao: temos

~ ∇f(x, y, z) =   fx fy fz  =   ln(yz) x/y x/z   , H(f ) =   fxx fxy fxz fyx fyy fyz fzx fzy fzz  =   0 1/y 1/z 1/y −x/y2 0 1/z 0 −x/z2   .

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Exemplo 3: calcule o gradiente e a hessiana da fun¸c˜ao f (x, y) = xy2_{+ 2x em (x, y) = (1, −1).} Solu¸c˜ao: dados o gradiente e a hessiana calculados no exemplo 1, temos

~ ∇f(1, −1) = (−1)2 + 2 2 · 1 · (−1) = 3 −2 , H(f ) = 0 2(−1) 2(−1) 2 · 1 = 0 −2 −2 2 .

Podemos nos perguntar, com toda a razão, quais são os significados do gradiente e da hessiana. A resposta para o gradiente é dada a seguir. Para a hessiana, teremos que esperar mais um pouco.

2.11.3 - Significado do gradiente

O gradiente tem uma caracter´ıstica muito importante, que ser´a mostrada nos exemplos a seguir.

Exemplo 1: calcule o gradiente de f (x, y) = x2+ y2 em (x, y) = (1, 0), (x, y) = (0, 1), (x, y) = (1, 1) e (x, y) = (0, 0) e desenhe esses vetores sobre as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao.

Solu¸c˜ao: o gradiente de f (x, y) = x2

+ y2 fica ~ ∇f(x, y) = fx fy = 2x 2y . Calculado nos pontos desejados, temos

~ ∇f(1, 0) = 2 0 , ~∇f(0, 1) = 0 2 , ~∇f(1, 1) = 2 2 , ~∇f(0, 0) = 0 0 .

Note que cada gradiente é um vetor, onde a primeira linha é a sua primeira componente e a segunda linha é a sua segunda componente. Por exemplo, ~∇f(1, 0) é um vetor que, a partir do ponto (1, 0), se desloca duas unidades à direita; o vetor ~∇f(0, 1) se desloca duas unidades para cima a partir do ponto (0, 1). A seguir, representamos cada um desses vetores sobre as curvas de n´ıvel da fun¸cão. A fun¸cão em três dimensões (um parabolóide), com os vetores gradientes, é mostrada na última figura a seguir.

x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 b b _x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 b b x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 b b x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 bb x y z 1.0 2.0 3.0 -1 .0 -2 .0 -3 .0 -4 .0 1.0 2.0 3.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 1.0 2.0 3.0 4.0 b b b

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Note que os vetores gradiente sempre idicam a dire¸cão onde a fun¸cão aumenta mais rapidamente e que, no ponto onde a fun¸cão é m´ınima, o vetor gradiente se anula. Vamos verificar esse comportamento em uma outra fun¸cão.

Exemplo 2: _{calcule o gradiente de f (x, y) = 4 − x}2_{− y}2+ 2x + y + xy em (x, y) = (1, 0), (x, y) = (0, 1), (x, y) = (1, 1) e (x, y) = (0, 0) e desenhe esses vetores sobre as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao.

Solu¸c˜ao: o gradiente de f (x, y) = 4 − x2

− y2 + 2x + y + xy fica ~ ∇f(x, y) = fx fy = −2x + 2 + y −2y + 1 + x . Calculado nos pontos desejados, temos

~ ∇f(1, 0) = 0 2 , ~∇f(0, 1) = 3 −1 , ~∇f(1, 1) = 1 0 , ~∇f(0, 0) = 2 1 .

A seguir, representamos cada um desses vetores sobre as curvas de n´ıvel da fun¸cão. A fun¸cão em três dimensões (um parabolóide el´ıptico), com os vetores gradientes é mostrada na última figura a seguir.

x y −2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 b b x y −2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 b b x y −2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 b b x y −2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 b b x y z 1.0 2.0 3.0 -1 .0 -2 .0 -3 .0 -4 .0 1.0 2.0 3.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 b b

Como no exemplo 1, os vetores gradiente seguem sempre a dire¸cão para onde a fun¸cão cresce mais rapida-mente a partir do ponto dado. Outra caracter´ıstica é que o vetor gradiente em um determinado ponto sempre segue uma reta perpendicular à curva de n´ıvel naquele ponto.

Um exemplo pode facilitar a compreensão da utilidade do gradiente: consideremos um aplpinista m´ıope que quer subri uma montanha. Ele só enxerga claramente até dois metros de distância e não tem como enxergar mais longe que isso. Como ele fará para subir a montanha?

Uma resposta é que ele pode, dentro de seu campo de visão, identificar para onde o terreno tem um maior aclive (sobe mais rapidamente) e subir um pouco naquela dire¸cão e sentido. Depois, ele pára e verifica novamente o terreno em torno de onde ele está. Segue novamente a dire¸cão para onde o terreno for mai ´ıngreme e repete o processo até que o terreno não tenha mais para onde subir.

Essa tática pode ou não funcionar, pois o alpinista, caso não se defronte com algum abismo pelo caminho, pode acabar chegando a um pico (máximo) local, achando que já chegou ao poco da montanha, quando ainda

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est´a bem longe dela. A figura a seguir ilustra dois caminhos obtidos usando o gradiente como guia: no primeiro caminho (em vermelho), chega-se ao topo do maior dos dois picos; no segundo (azul), chega-se apenas a um m´aximo local.

Concluindo esta se¸cão, o gradiente é um vetor que dá a dire¸cão de maior crescimento da fun¸cão a partir de um determinado ponto. Isto será muito útil na maximiza¸cão ou minimiza¸cão de uma fun¸cão (a Leitura Complementar 1.5.1 traz um método numérico utilizando o gradiente para determinar máximos e m´ınimos de fun¸cões de diversas variáveis). A hessiana servirá mais tarde para verificar se um determinado ponto cr´ıtico é um máximo, um m´ınimo ou um ponto de inflexão (ponto se sela). A demonstra¸cão disto necessita do conceito de derivada direcional e será feita em uma leitura complementar do Módulo 2 deste curso.

2.11.4 - O gradiente e as curvas de n´ıvel

Algo que pode ser notado nas figuras dos exemplos da se¸cão anterior é que o vetor gradiente é sempre perpendicular à curva de n´ıvel da qual ele parte. Isto será provado agora, utilizando a regra da cadeia, aprendida no Cap´ıtulo 2.8.

A regra da cadeia para uma fun¸c˜ao f (x, y), ou seja, uma fun¸c˜_{ao f : D(f ) ⊂ R}2 _{→ R, onde x = x(t) e} y = y(t), ´e dada por

df dt(t) = ∂f ∂x(x, y) dx dt(t) + ∂f ∂y(x, y) dy dt(t) .

Se considerarmos uma curva que seja a imagem de uma fun¸c˜ao vetorial γ (x(t), y(t)), podemos escrever f (γ(t)) e γ′_{(t) =} dx

dt(t), dy

dt(t)

, de modo que a mesma express˜ao para a regra da cadeia possa ser escrita df

dt (γ(t)) =∇f (γ(t)) , γ

′_(t) ,

isto porque h∇f (γ(t)) , γ′_{(t)i, o produto interno do gradiente pela derivada da fun¸c˜ao vetorial γ(t), ´e dado por}

∇f (γ(t)) , γ′_{(t) =} ∂f ∂x(x, y), ∂f ∂y(x, y) , dx dt(t), dy dt(t) = ∂f ∂x(x, y) dx dt(t) + ∂f ∂y(x, y) dy dt(t) . Consideremos agora uma curva de n´ıvel da fun¸cão f (x, y), que pode ser dada pela equa¸cão f (x, y) = f (γ(t)) = c, onde c é uma constante. Se derivarmos ambos os lados dessa expressão com rela¸cão a t, obtemos

f (γ(t)) = c ⇔ df_dt(γ(t)) = 0 .

Substituindo agora a derivada da esquerda pela express˜ao compacta da regra da cadeia, ficamos com ∇f (γ(t)) , γ′_{(t) = 0 ,}

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de modo que ∇f (γ(t)) ´e perpendicular ao vetor γ′_(t).

Na figura ao lado, fazemos o gr´afico de uma curva de n´ıvel e de um vetor γ′_(t

0), que ´e

sem-pre tangente a essa curva de n´ıvel (de acordo com o Cap´ıtulo 1.6). Se o gradiente ´e perpendicular a γ′_(t

0), então ele será perpendicular à curva de n´ıvel

no ponto t0, que ´e o que quer´ıamos demonstrar.

Esse resultado é, na verdade, bem geral, e pode ser aplicado às superf´ıcies de n´ıvel de fun¸cões de três variáveis reais ou às hipersuperf´ıcies de n´ıvel de fun¸cões de mias de três variáveis. O vetor gradi-ente será sempre perpendicular a essas superf´ıcies ou hipersuperf´ıcies de n´ıvel. x y γ(t0) γ′_(t₀₎ ∇f (x(t0), y(t0))

A demonstra¸cão de que o gradiente é o vetor que indica a dire¸cão e o sentido de maior crescimento de uma fun¸cão necessita do conceito de derivada direcional e não serrá feita no texto principal deste cap´ıtulo. Essa demonstra¸cão é feita na Leitura Complementar 2.11.1. Um método numérico de busca pelo máximo ou m´ınimo local de uma fun¸cão utilizando o gradiente é explicado na Leitura Complementar 2.11.2. A se¸cão a seguir mostra um significado econômico para o gradiente.

2.11.5 - Interpreta¸c˜

ao econˆ

omica do gradiente

O vetor gradiente pode ser aplicado em áreas econômicas e administrativas indicando que atitudes tomar quando se quer aumentar o valor de uma fun¸cão (como a produ¸cão, a utilidade ou o lucro) em diminu´ı-la (como na diminui¸cão de custos). Mais especificamente, no caso de uma fun¸cão de produ¸cão P (K, L) em termos do capital K investido e do trabalho L, o gradiente pode nos dar a propro¸cão em que novos investimentos devem ser feitos em cada uma dessas áreas, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 1: um industrial tem que decidir onde investir R$ 100.000 e estima que a produ¸cão de sua empresa possa ser modelada pela fun¸cão P (K, L) = 1, 1K0,25L0,75, onde o capital investido K e o trabalho L são medidos em milhões de reais. No momento, o capital investido é de 7 milhões de reais e o gasto em trabalho é de 6 milhões de reais. Determine o quanto do dinheiro tem que ser usado em cada uma dessas áreas de modo a maximizar a produ¸cão da empresa.

Solu¸cão: o vetor gradiente, calculado a partir do ponto (7, 6), correspondente ao n´ıvel atual de investimento (7 milhões em capital e 6 milhões em trabalho) determina a “dire¸cão” de maior crescimento da produ¸cão. Portanto, podemos come¸car calculando o gradiente da fun¸cão nesse ponto:

~ ∇P (K, L) = 0, 275K−0,75_L0,75 0, 825K0_,25 L−0,25 ⇒ ~∇P (7, 6) = 0, 275 · 7−0,75_{· 6}0,75 0, 825 · 70_,25 · 6−0,25 ≈ 0, 245 0, 857 .

Portanto, de modo a aumentar a produ¸cão ao máximo, deve-se usar uma propor¸cão de 0, 245

0, 857 entre o capital e o trabalho. Escrevendo o dinheiro dispon´ıvel em termos de milh˜oes de reais, isto significa que deve-se investir

IK =

0, 245

0, 245 + 0, 857· 0, 1 ≈ 0, 022 , IL =

0, 857

0, 245 + 0, 857· 0, 1 ≈ 0, 078 , isto ´e, deve-se investir R$ 22.000 em capital e deve-se gastar R$ 78.000 em trabalho.

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Exemplo 2: considere que o industrial do exemplo anterior tenha investido R$ 22.000 em capital e tenha gasto R$ 78.000 em trabalho. Agora ele tem mais R$ 100.000 para investir. Onde esse dinheiro deve ser investido?

Solu¸cão: no momento, temos K = 7 + 0, 22 = 7, 22 e L = 6 + 0, 78 = 6, 78, medidos em milhões de reais. O vetor gradiente já foi calculado no exemplo anterior, de modo que só temos que calculá-lo para K = 7, 22 e L = 6, 78:

~ ∇P (K, L) = 0, 275K−0,75_L0_,75 0, 825K0_,25 L−0,25 ⇒ ~∇P (7, 22 , 6, 78) = 0, 275 · 7, 22−0,75_{· 6, 78}0_,75 0, 825 · 7, 220_,25 · 6, 78−0,25 ≈ 0, 262 0, 838 .

Para aumentar a produ¸cão ao máximo, deve-se usar uma propor¸cão de 0, 262

0, 838 entre o capital e o trabalho. Isto significa que deve-se investir

IK =

0, 262

0, 262 + 0, 838· 0, 1 ≈ 0, 024 , IL =

0, 838

0, 262 + 0, 838· 0, 1 ≈ 0, 076 , isto ´e, deve-se investir R$ 24.000 em capital e deve-se gastar R$ 76.000 em trabalho.

Note que as propro¸cões de quanto deve ser investido em capital ou trabalho mudam de acordo com o n´ıvel prévio de investimento. No segundo exemplo, o investimento em trabalho não foi tão grande quanto no primeiro. Isto porque, de acordo com a fun¸cão de produ¸cão escolhida, investimentos em capital e trabalho trazem resultados cada vez menores em termos de produ¸cão conforme estes aumentam a patamares cada vez maiores.

Terminamos esta exposi¸cão por aqui. Mais algumas aplica¸cões do gradiente podem ser vistas na leitura complementar deste cap´ıtulo e nos exerc´ıcios. Aplica¸cões para a matriz hessian serão vistas mais tarde.

Resumo

• Gradiente: o gradiente de uma fun¸c˜ao f(x, y) ´e o vetor ~ ∇f(x, y) = fx fy

O vetor gradiente, quando calculado em um ponto, dá a dire¸cão de maior varia¸cão da fun¸cão naquele ponto e é perpendicular à curva de n´ıvel no mesmo ponto.

• Hessiana: a hessiana de uma fun¸c˜ao f(x, y) ´e a matriz H(f ) = fxx fxy fyx fyy .

• Significado do gradiente: o gradiente dá, a cada ponto do dom´ınio de uma fun¸cão, a dire¸cão de maior crescimento da fun¸cão a partir daquele ponto. Além disso, ele é sempre perpendicular à curva de n´ıvel no ponto onde é calculado.

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Leitura Complementar 2.11.1 - Derivada direcional

e o vetor gradiente

Como já vimos antes, o gradiente dá as derivadas de uma fun¸cão f com rela¸cão a suas variáveis. Mais especificamente para uma f (x, y), ele fornece as derivadas parciais dessa fun¸cão com rela¸cão às variáveis x e y. Como as derivadas parciais representam uma aproxima¸cão das taxas de varia¸cão da fun¸cão com rela¸cão a suas variáveis, podemos escrever

~ ∇f(x, y) = fx fy ≈ ∆f /∆x ∆f /∆y = [f (x + ∆x, y) − f(x, y)] /∆x [f (x, y + ∆y) − f(x, y)] /∆y

.

Isto significa que o gradiente dá, aproximadamente, a varia¸cão da fun¸cão f (x, y) em duas dire¸cões diferentes: uma com rela¸cão ao eixo x e a outra com rela¸cão ao eixo y.

Mas e se quisermos saber como a fun¸cão varia com rela¸cão a alguma outra dire¸cão? Como podemos medir tal varia¸cão?

Voltemos, agora, ao exemplo prático de uma fun¸cão de produ¸cão de Cobb-Douglas: P (K, L) = AKαL1−α. Podemos calcular, usando derivadas parciais, boas aproxima¸cões para a produtividade marginal do capital, dada pela taxa de varia¸cão de P com rela¸cão a K, e para a produtividade marginal do trabalho, dada pela taxa de varia¸cão de P com rela¸cão a L, respectivamente dadas por

∆P ∆K = P (K + ∆K, L) − P (K, L) ∆K ≈ ∂P ∂K e ∆P ∆L = P (K, L + ∆L) − P (K, L) ∆L ≈ ∂P ∂L .

E se quisermos agora calcular a varia¸cão da produ¸cão quando fazemos uma varia¸cão ∆K no capital investido e uma varia¸cão ∆L no gasto com o trabalho? Podemos escrever essa varia¸cão como

∆P = P (K + ∆K, L + ∆L) − P (K, L) .

O problema de como aproximar essa varia¸cão por meio de derivadas parciais é semelhante ao problema de determinar a varia¸cão de uma fun¸cão em uma determinada dire¸cão. A solu¸cão para isso é definir uma derivada direcional.

a) A derivada direcional

A defini¸c˜ao de uma derivada direcional ´e dada a seguir.

Defini¸cão 1 - Dada uma fun¸cão f (x1, · · · , xn), a sua derivada direcional com rela¸cão a uma dire¸cão

dada pelo vetor u =

u1

u2

´e definida como

Duf (x, y) = lim h→0

f (x + hu1, y + hu2) − f(x, y)

h ,

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Exemplo 1: calcule a derivada direcional de f (x, y) = x2_{− xy + 4x + 8 na dire¸cão u =} 2 1 . Solu¸cão: pela defini¸cão 1, temos

Df(x, y) = lim h→0 f (x + hu1, y + hu2) − f(x, y) h = = lim h→0 (x + 2h)2 − (x + 2h)(y + h) + 4(x + 2h) + 8 − x2 + xy − 4x − 8 h = = lim h→0 x2 + 4hx + 4h2 − xy − hx − 2hy − 2h2 + 4x + 8h − x2 + xy − 4x h = = lim h→0 3hx + 2h2 − 2hy + 8h h = limh→0(3x + 2h − 2y + 8) = 3x − 2y + 8 .

Uma forma mais simples de se calcular uma derivada direcional ´e dada pelo teorema a seguir.

Teorema 5 - Dada uma fun¸cão f (x, y) diferenciável em x e em y e um vetor u = u1 u2 , então Duf (x, y) = fx(x, y)u1+ fy(x, y)u2 .

Demonstra¸c˜ao: considere a derivada direcional Duf (x, y) = lim h→0

f (x + hu1, x + hu2) − f(x, y)

h . Se definirmos a fun¸c˜ao g(x) = f (x + hu1, y + hu2), ent˜ao teremos

g′_{(0) = lim} h→0 g(h) − g(0) h = limh→0 f (x + hu1, y + hu2) − f(x, y) h = Du(x, y) . Escrevendo agora ¯x = x + hu1 e ¯y = y + hu2, temos g(h) = f (¯x, ¯y) e, pela regra da cadeia,

g′_{(h) =} dg dh = fx¯(¯x, ¯y) d¯x dh + fy¯(¯x, ¯y) d¯y dh = fx¯u1+ fy¯u2 . Para h = 0, teremos ¯x = x, ¯y = y e g′_{(0) = f} x(x, y)u1+ fy(x, y)u2.

Comparando agora as duas express˜oes para g′_{(0), conclu´ımos que}

Du(x, y) = fx(x, y)u1+ fy(x, y)u2.

Exemplo 2: calcule a derivada direcional de f (x, y) = x2_{− xy + 4x + 8 na dire¸c˜ao u =}

2 1

. Solu¸c˜ao: pelo teorema 1, temos

Df(x, y) = fxu1+ fyu2= (2x − y + 4) · 2 + (−x) · 1 = 4x − 2y + 8 − x = 3x − 2y + 8 .

Exemplo 3: calcule a derivada direcional de f (x, y) = ln(x3_{− y) na dire¸c˜ao u =}

−1 2

. Solu¸c˜ao: pelo teorema 1, temos

Df(x, y) = fxu1+ fyu2= 1 x3 − y · 3x 2 · (−1) + 1 x3 − y · (−1) · 2 = −3x2 x3 − y − 2 x3 − y = −3x2 − 2 x3 − y .

O exemplo a seguir mostra os cálculos das derivadas direcionais de uma fun¸cão a partir de um ponto ao longo de três vetores distintos.

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Exemplo 4: calcule a derivada direcional de f (x, y) = x2+ y2_{− 4x + 2y + 2xy no ponto (3, 1) ao longo dos} vetores u = 1 2 , v = 1 1 e w = 1 0 .

Solu¸c˜ao: primeiro, calculamos fx e fy: fx= 2x − 4 + 2y e fy= 2y + 2 + 2x.

Calculadas no ponto (3, 1), temos fx(3, 1) = 2·3−4+2·1 = 6−4+2 = 4 e fy(3, 1) = 2·1+2+2·3 = 2+2+6 = 10.

Agora, fica f´acil calcular as derivadas direcionais pedidas:

Duf (3, 1) = 4 · 1 + 10 · 2 = 24 , Dv(3, 1) = 4 · 1 + 10 · 1 = 14 , Dw(3, 1) = 4 · 1 + 10 · 0 = 4 .

b) Derivada direcional e o vetor gradiente

O conceito de derivada direcional serve, ainda, para provar que o vetor gradiente indica a dire¸cão de maior crescimento de uma fun¸cão. A demonstra¸cão parte do fato de que, usando o vetor gradiente, podemos definir a derivada direcional de forma matricial:

Duf = u1 u2 fx fy .

No entanto, a demonstra¸c˜ao envolve o conceito de produto escalar entre vetores, que ´e aprendido em cursos de ´

algebra vetorial e ser´a visto aqui de modo pragm´atico.

Podemos definir o produto escalar entre dois vetores u e v, escrito u · v, de duas formas distintas: u · v = tr (vtu) ,

onde vt_{´e a transposta do vetor v e v ´e o tra¸co (soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz), ou}

u · v = |u||v| cos θ ,

onde |u| e |v| são os módulos dos vetores u e v, respectivamente, e θ é o ângulo entre esses dois vetores. Cada uma dessas defini¸cões é útil, dependendo da forma como os dados do problema são fornecidos, como mostram os dois exemplos a seguir.

Exemplo 1: _{calcule u · v, onde u =}

−1 4 e v = 2 1 . Solu¸c˜ao: u · v = tr (vtu) = tr 2 1 −1 4 = tr (2) = 2 .

Exemplo 2: _{calcule u · v, onde |u| = 2, |v| = 3 e o ângulo entre eles é θ = 60}o. Solu¸cão: _{u · v = |u||v| cos θ = 2 · 3 · cos 60}o_{= 6 ·}1

2 = 3 .

De acordo com a primeira defini¸c˜ao de produto escalar, podemos escrever a defini¸c˜ao da derivada direcional como Duf = u1 u2 fx fy = tr ~_{∇f · u} , onde ~_{∇f =} fx fy e u = u1 u2

. Alternativamente, poder´ıamos escrever essa mesma defini¸c˜ao do seguinte modo:

Duf = |~∇f||u| cos θ ,

onde θ ´e o ˆangulo entre o vetor gradiente e o vetor u.

Da segunda defini¸cão, podemos ver que a derivada direcional é maior quando cos θ é maior. O valor máximo que cos θ pode ter é 1, o que ocorre quando θ = 0o. Portanto, o vetor gradiente e o vetor u devem ter a mesma dire¸cão e sentido se quisermos maximizar a derivada direcional Duf . Da´ı, conclui-se que a dire¸cão e o sentido

(11)

de maior valor da derivada direcional Duf , que é a dire¸cão e o sentido de maior crescimento da fun¸cão f , é ao

longo do gradiente.

Teorema 6 - Dada uma fun¸c˜ao f (x, y) diferenci´avel em x e em y e um vetor u =

u1

u2

, então Duf (x, y) é máxima se u = ~∇f(x, y).

Exemplo 3: determine a dire¸cão de maior crescimento da fun¸cão f (x, y) = 3x ln y no ponto (2, 1). Solu¸cão: a dire¸cão de maior cresciment é dada pelo vetor gradiente nesse ponto, isto é,

~ ∇f(x, y) = fx fy = 3 ln y 3x/y , de modo que ∇f(2, 1) =~ 3 · ln 1 3 · 2/1 = 0 6 .

(12)

Leitura Complementar 2.11.2 - M´

etodo de busca por

gradiente

Veremos agora um método bastante eficiente para encontrar máximos e m´ınimos de fun¸cões envolvendo mais de uma variável real. Esse método é baseado no fato do gradiente sempre apontar a dire¸cão e o sentido de maior crescimento de uma fun¸cão a cada ponto do dom´ınio desta. Faremos esse estudo por meio de alguns exemplos. A teoria será exposta conforme a necessidade de cada exemplo.

Problema 1: M´ınimo de uma parabol´oide

Comecemos com um problema bem simples, que é determinar o ponto m´ınimo do parabolóide dado pela fun¸cão f (x, y) = x2+ y2 partindo do ponto (1, 1).

O m´etodo de busca por gradiente segue o seguinte algoritmo: • Calcula-se o gradiente ~∇f(x, y).

• Escolhe-se um ponto inicial ~x0 pertencente ao dom´ınio da fun¸c˜ao.

• A partir desse ponto, calculamos o pr´oximo ponto ~x1, dado por

~x1= ~x0+ λ~∇f(~x0) ,

onde o vetor gradiente dá a dire¸cão de maior varia¸cão da fun¸cão e λ é um parâmetro que indica o sentido a ser seguido e o módulo da varia¸cão a ser feita.

• Determina-se o valor de λ que maximiza ou minimiza a fun¸cão objetivo, dependendo do problema ser um de maximiza¸cão ou de minimiza¸cão.

• Calcula-se ~x1 usando o valor de λ determinado anteriormente. Se |~x1− ~x0| < ǫ, onde ǫ ´e um parˆametro dado

pelo problema que indica qual o grau de precisão desejado, então o problema termina por a´ı. Senão, repete-se todo o processo.

Apliquemos esse procedimento ao problema em quest˜ao. Primeiro, calculamos o gradiente da fun¸c˜ao f (x, y):

~ ∇f(x, y) =    ∂f ∂x ∂f ∂y   = 2x 2y .

O ponto inicial j´a foi escolhido pelo problema: ~x0=

1 1

. Calculando o gradiente, temos

~ ∇f(~x0) = 2 · 1 2 · 1 = 2 2 . Determinamos ent˜ao um novo ponto ~x1:

~x1= ~x0+ λ~∇f(~x0) = 1 1 + λ 2 2 = 1 + 2λ 1 + 2λ . Substituindo esse ponto na fun¸c˜ao objetivo, temos

f (~x1) = (1 + 2λ)2+ (1 + 2λ)2 = 1 + 4λ + λ2+ 1 + 4λ + λ2 = 2 + 8λ + 8λ2 .

Note que a fun¸cão só depende agora do parâmetro λ, de modo que podemos escrevê-la como f (λ) = 2 + 8λ + 8λ2 .

(13)

Essa fun¸c˜ao tem um ponto cr´ıtico quando

f′_{(λ) = 0 ⇔ 8 + 16λ = 0 ⇔ 16λ = −8 ⇔ λ = −}1

2 .

Para determinamos se esse ponto cr´ıtico ´e um m´ınimo da fun¸c˜ao, calculamos a segunda derivada desta: f′′_{(x) = 16 .}

Como esse valor é positivo, a concavidade da fun¸c˜_{ao é sempre para cima e λ = −}1₂ é um ponto de m´ınimo. Substituindo o valor de λ encontrado, temos

~x1 =   1 + 2 · −12 1 + 2 · −12  = 0 0 .

O gradiente de ~x1 fica, ent˜ao,

~ ∇f(~x1) = 2 · 0 2 · 0 = 0 0 .

O fato do vetor gradiente ser nulo indica que atingimos a solu¸cão ótima. Se quiséssemos calcular um novo ponto ~x2, ter´ıamos ~x1= ~x1+ λ~∇f(~x1) = 0 0 + λ 0 0 = 0 0 = ~x1 .

Portanto, não há mais como melhorar a solu¸cão e o ponto que minimiza a fun¸cão é ~x1 =

0 0

.

Problema 2: Fun¸c˜ao exponencial

Vamos usar o m´etodo de busca por gradiente para maximizar a fun¸c˜ao f (x, y) = 12e−(x+4)2−y2_{. Come¸camos}

calculando o gradiente da fun¸c˜ao f (x, y):

~ ∇f(x, y) =    ∂f ∂x ∂f ∂y   . As derivadas parciais s˜ao dadas por

∂f

∂x = 12 e

−(x+4)2−y2 _{· [−2(x + 4)] = −24(x + 4) e}−(x+4)2−y2 _,

∂f

∂y = 12 e

−(x+4)2−y2 _{· (−2y) = −24y e}−(x+4)2−y2 _,

de modo que o gradiente fica ~ ∇f(x, y) =   −24(x + 4) e−(x+4)2−y2 −24y e−(x+4)2−y2  .

Escolhamos o ponto inicial como sendo: ~x0 =

0 0

~ ∇f(~x0) =   −24(0 + 4) e−(0+4)2−02 −24 · 0 · e−(0+4)2−02  = −96 e−16 0 .

Determinamos ent˜ao um novo ponto ~x1:

~x1 = ~x0+ λ~∇f(~x0) = 0 0 + λ −96 e−16 0 = −96 e−16_λ 0 .

(14)

Substituindo esse ponto na fun¸c˜ao objetivo, temos f (~x1) = 12 e−(−96 e

−16_λ+4)2₋₀2

= 12 e−(−96 e−16_λ+4)2

. A fun¸cão agora só dependedo parâmetro λ, de modo que podemos escrevê-la como

f (λ) = 12 e−(−96 e−16_λ+4)2

. Derivando a fun¸c˜ao com rela¸c˜ao a λ, temos

f′_{(λ) = 12 e}−(−96 e−16λ+4)2

·−2(−96 e−16_{λ + 4)(−96 e}−16_{= 2304 e}−16_{(−96 e}−16_{λ + 4) e}−(−96 e−16λ+4)2

. Essa fun¸c˜ao tem um ponto cr´ıtico quando

f′_{(λ) = 0 ⇔ 2304 e}−16_{(−96 e}−16_{λ + 4) e}−(−96 e−16_λ+4)2

= 0 ⇔ −96 e−16_{λ + 4 = 0 ⇔ 96 e}−16_{λ = 4 ⇔}

⇔ λ = ₂₄1 e16 .

Para determinamos se esse ponto cr´ıtico ´e um m´ınimo da fun¸c˜ao, calculamos a segunda derivada desta: f′′_{(x) = 2304 e}−16_{(−96 e}−16_{) e}−(−96 e−16_λ+4)2 + 2304 e−16_{(−96 e}−16_{λ + 4) e}−(−96 e−16_λ+4)2 · ·−2(−96 e−16_{λ + 4)(−96 e}−16₌ = −221184 e−32_e−(−96 e−16_λ+4)2 + 442368 e−32_{(−96 e}−16_{λ + 4)}2_e−(−96 e−16_λ+4)2 . Substituindo o valor de λ encontrado, temos

f′′ e 16 24 = −221184 e−32_e− −96 e−16 e 16 24 +4 2 + 442368 e−32 −96 e−16e 16 24 + 4 2 e− −96 e−16 e 16 24 +4 2 = = −221184 e−32_e−(−4+4)2 _{+ 442368 e}−32_{(−4 + 4)}2_e−(−4+4)2 ₌ = −221184 e−32_e0_{+ 442368 e}−32_{· 0 · e}0 _{= −221184 e}−32 _.

Como esse valor é negativo, a concavidade da fun¸cão nesse ponto é para baixo e λ = e₄16 é um ponto de máximo. Substituindo o valor de λ encontrado, temos

~x1= −96 e−16 e16 24 0 = −4 0 . Calculando o gradiente para esse ponto, temos

~ ∇f(~x1) =   −24(−4 + 4) e−(−4+4)2−02 −24 · 0 · e−(−4+4)2−02  = 0 0 .

Como o gradiente é nulo, ~x1 corresponde ao máximo da fun¸cão f (x, y).

Problema 4: Localiza¸c˜ao de um armaz´em

Vamos, agora, resolver um problema mais prático envolvendo a minimiza¸cão de uma fun¸cão. Um novo armazém de uma indústria de pesticidas deve ser instalado na região que compreende as cidades de Besourinhos, Formigas e Cupinzal. A cidade de Besourinhos tem 400.000 habitantes; a cidade de Formigas, localizada 20 km a leste de Besourinhos, tem uma popula¸cão de 250.000; a cidade de Cupinzal tem 140.000 habitantes e fica a 10 km a leste de Besourinhos e a 100 km ao norte dessa cidade.

a) Formule um problema de pesquisa operacional que minimize as distâncias do novo armazém às três cidades que serão servidas por ele.

b) Resolva esse problema usando busca por gradiente.

(15)

d) Resolva o problema modificado usando busca por gradiente. Solu¸c˜ao:

a) O problema consiste em determinar onde deve ser constru´ıdo um armazém que sirva às três cidades indicadas de modo a minimizar a distância deste às cidades. Podemos localizar as cidades em um eixo cartesiano de coordenadas estabelecendo Besourinhos na origem (0, 0), a cidade formigas no ponto (20, 0) e a cidade de Cupinzal em (10, 10). No gráfico indicamos coordenadas arbitrárias para a localiza¸cão do armazém que deverão ser determinadas pelo problema.

x y 0 10 20 10 b b b B F C b (x, y)

As variáveis de decisão do problema são (x, y) =coordenadas do armazém. A fun¸cão-objetivo é minimizar a soma das distâncias do armazém aos três centros urbanos. As distâncias do armazém até Besourinhos, Formigas e Cupinzal são dadas, respectivamente, por

dB =p(x − 0)2+ (y − 0)2 =

p

x2_{+ y}2 _,

dF =p(x − 20)2+ (y − 0)2 =p(x − 20)2+ y2 ,

dC =p(x − 10)2+ (y − 10)2 .

Portanto, o problema fica

min d(x, y) =px2_{+ y}2₊_{p(x − 20)}2_{+ y}2₊_{p(x − 10)}2_{+ (y − 10)}2 _.

O problema não tem restri¸cões, pois as variáveis x e y podem assumir quaisquer valores reais.

b) Para resolver o problema por meio de busca por gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais dx e dy

da fun¸cão-objetivo: dx = ∂d ∂x = 1 2(x 2_{+ y}2₎−1/2_{· 2x +}1 2(x − 20) 2_{+ y}2−1/2 · 2(x − 20) + +1 2(x − 10) 2 + (y − 10)2−1/2 · 2(x − 10) = = x(x2+ y2)−1/2_{+ (x − 20)}_{(x − 20)}2_{+ y}2−1/2 + (x − 10)(x − 10)2_{+ (y − 10)}2−1/2 , dy = ∂d ∂y = 1 2(x 2_{+ y}2₎−1/2_{· 2y +} 1 2(x − 20) 2_{+ y}2−1/2 · 2y +1₂(x − 10)2 + (y − 10)2−1/2 · 2(y − 10) = = y(x2+ y2)−1/2_{+ y}_{(x − 20)}2_{+ y}2−1/2 + (y − 10)(x − 10)2 + (y − 10)2−1/2 . O gradiente fica ~ ∇d(x, y) = dx dy , onde dx e dy são dados pelas equa¸cões anteriores.

Para iniciarmos a busca, escolheremos um ponto inicial apropriado. Quanto mais próximo do ponto ótimo estiver esse ponto inicial, melhores serão as chances da busca terminar logo. Observando o gráfico que mostra as posi¸cões das cidades, vemos que elas são simétricas com rela¸cão a x = 10. Portanto, podemos partir, por exemplo, do ponto ~x0 =

10

0

. Calculando o gradiente, temos ~ ∇d(~x0) = 0 −1 .

(16)

Determinamos ent˜ao um novo ponto ~x1: ~x1= ~x0+ λ~∇d(~x0) = 10 0 + λ 0 −1 = 10 −λ . Substituindo esse ponto na fun¸c˜ao objetivo, temos

d(~x1) = p102+ (−λ)2+p(10 − 20)2+ (−λ)2+p(10 − 10)2+ (−λ − 10)2 =

= p100 + λ2₊p_{100 + λ}2₊_{p(λ + 10)}2_{= 2}p_{100 + λ}2_{+ |λ + 10| = d(λ) .}

A presen¸ca do módulo mostra que, à direita ou `_{a esquerda do ponto λ + 10 = 0 ⇔ λ = −10, podemos escrever} essa fun¸cão como

d(λ) = 2 √

100 + λ2_{− λ − 10 , λ < −10 ;}

2√100 + λ2_{+ λ + 10 , λ ≥ −10 .}

Para λ < −10 a derivada dessa fun¸c˜ao fica d′_{(λ) = 2 ·} 1 2(100 + λ 2₎−1/2_{· 2λ − 1 = 2λ(100 + λ}2₎−1/2_{− 1 .} Para λ > −10, temos d′_{(λ) = 2 ·} 1 2(100 + λ 2₎−1/2_{· 2λ + 1 = 2λ(100 + λ}2₎−1/2_{+ 1 .}

Note que a derivada n˜_{ao ´e definida em λ = −10.}

Essa fun¸c˜ao tem pontos cr´ıticos quando d′_{(λ) = 0 ou quando d}′_{(λ) n˜}_{ao existe. Portanto, ela tem um ponto}

cr´ıtico em λ = −10, que é onde ela não é definida. Para λ < −10, temos

d′_{(λ) = 0 ⇔ 2λ(100 + λ}2₎−1/2_{− 1 = 0 ⇔ 2λ(100 + λ}2₎−1/2 _{= 1 ⇔ 2λ = (100 + λ}2₎1/2_⇔ ⇔ 4λ2 = 100 + λ2 ⇔ 4λ2 = 100 + λ2 ⇔ 3λ2 = 100 ⇔ λ2 = 100 3 ⇔ λ = ± 10 √ 3 . S´_{o que tanto λ = −}√10 3 quanto λ = 10 √

3 são maiores que −10, o que indica que para λ < −10 não há pontos

cr´ıticos. Para λ > −10, d′_{(λ) = 0 ⇔ 2λ(100 + λ}2₎−1/2_{+ 1 = 0 ⇔ 2λ(100 + λ}2₎−1/2_{= −1 ⇔ 2λ = −(100 + λ}2₎1/2_⇔ ⇔ 4λ2 = 100 + λ2 ⇔ 4λ2 = 100 + λ2 ⇔ 3λ2= 100 ⇔ λ2 = 100 3 ⇔ λ = ± 10 √ 3 . No entanto, d′ −√10 3 = 0 , d′ 10_√ 3 = 2 , o que mostra que λ = √10

3 não é um ponto cr´ıtico. Portanto, os pontos cr´ıticos da fun¸cão d(x, y) são dados por

λ = −10 e λ = −√10 3 .

Para determinamos se algum desses pontos cr´ıticos são um m´ınimo da fun¸cão, calculamos a segunda derivada desta. Para λ > −10, que é o único caso (fora λ = −10) onde ocorrem pontos cr´ıticos, temos

d′′_{(λ) = 2(100 + λ}2₎−1/2_{+ 2} −1₂ (100 + λ2)−3/2_{· 2λ = 2(100 + λ}2₎−1/2_{− 2λ(100 + λ}2₎−3/2 _. Substituindo λ = −√10 3, temos d′′ −√10 3 ≈ 0, 104 . Portanto, λ = −√10

3 ´e um ponto de m´ınimo.

Resta ainda analisar o ponto λ = −10, que não pode ser analisado usando derivadas. Tomando valores pr´_{oximos a ele, vemos que d(−10, 1) ≈ 28, 526 e d(−9, 9) ≈ 28, 243. Já que d(−10) = 28, 284, este não é um}

(17)

ponto de m´ınimo nem de máximo da fun¸cão, mas apenas uma cúspide. Conclu´ımos, ent˜_{ao, que λ = −}√10 3 é o

´

unico ponto de m´ınimo da fun¸cão d(λ). Para que visualizemos melhor a situa¸cão, segue um gráfico da fun¸cão d(λ). λ d(λ) −15 −10 −5 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Substituindo o valor de λ encontrado, temos ~x1 = 10 10 √ 3 ! . O gradiente de ~x1 fica, ent˜ao,

~ ∇d(~x0) = 0 0 = 0 0 .

O fato do vetor gradiente ser nulo indica que atingimos a solu¸cão ótima. Portanto, não há mais como melhorar a solu¸cão e o ponto que minimiza a fun¸cão é

~x1= 0 10 √ 3 ! ≈ 0 5, 774 .

O valor m´ınimo da fun¸c˜_{ao-objetivo é d ≈ 27, 320. A seguir, fazemos uma descri¸cão gráfica dos passos feitos} pelo problema: x y 0 10 20 10 b b b B F C b b

c) O problema agora consiste em determinar onde deve ser constru´ıdo um armazém que sirva às três cidades indicadas de forma proporcional às suas popula¸cões. Podemos fazer isto dando um peso a cada distância

(18)

da fun¸cão-objetivo que seja proprocional à popula¸cão de cada cidade. Usando como variáveis de decisão do problema (x, y) =coordenadas do armazém, temos, então,

min d(x, y) = 400px2_{+ y}2_{+ 250}_{p(x − 20)}2_{+ y}2_{+ 140}_{p(x − 10)}2_{+ (y − 10)}2 _.

d) O gradiente ´e dado por

~ ∇d(x, y) = dx dy , onde dx = ∂d ∂x = 400 · 1 2(x 2_{+ y}2₎−1/2_{· 2x + 250 ·} 1 2(x − 20) 2_{+ y}2−1/2 · 2(x − 20) + +140 · 1 2(x − 10) 2_{+ (y − 10)}2−1/2 · 2(x − 10) = = 400x(x2+ y2)−1/2_{+ 250(x − 20)}_{(x − 20)}2_{+ y}2−1/2 + 140(x − 10)(x − 10)2_{+ (y − 10)}2−1/2 , dy = ∂d ∂y = 400 · 1 2(x 2_{+ y}2₎−1/2_{· 2y + 250 ·} 1 2(x − 20) 2_{+ y}2−1/2 · 2y + +140 · 1 2(x − 10) 2_{+ (y − 10)}2−1/2 · 2(y − 10) = = 400y(x2+ y2)−1/2_{+ 250y}_{(x − 20)}2_{+ y}2−1/2 + 140(y − 10)(x − 10)2_{+ (y − 10)}2−1/2 .

Para iniciarmos a busca, escolheremos um ponto inicial apropriado. Partiremos novamente do ponto inicial ~x0=

10

0

~ ∇d(~x0) = 150 −140 . Determinamos ent˜ao um novo ponto ~x1:

~x1 = ~x0+ λ~∇d(~x0) = 10 0 + λ 150 −140 = 10 + 150λ −140λ . Substituindo esse ponto na fun¸c˜ao objetivo, temos

d(~x1) = 400p(10 + 150λ)2+ (−140λ)2 + 250p(−10 + 150λ)2 + (−140λ)2+ +140p(150λ)2_{+ (−140λ − 10)}2 ₌ = 400p100 + 3000λ + 22500λ2_{+ 19600λ}2 _{+ 250}p_{100 − 3000λ + 22500λ}2_{+ 19600λ}2₊ +140p22500λ2_{+ 100 + 2800λ + 19600λ}2 _{= d(λ) =} = 400p100 + 3000λ + 42100λ2_{+ 250}p_{100 − 3000λ + 42100λ}2₊ +140p100 + 2800λ + 42100λ2 _{= d(λ) .}

Calculando a derivada da fun¸c˜ao, ficamos com

d′_{(λ) = 200(3000 + 84200λ)(100 + 3000λ + 42100λ}2₎−1/2₊

+125(−3000 + 84200λ)(100 − 3000λ + 42100λ2)−1/2₊

+70(2800 + 84200λ)(100 + 2800λ + 42100λ2)−1/2

Teremos que usar um método numérico (método de Newton) para encontrar as ra´ızes dessa derivada. Para isso, precisamos calcular sua derivada segunda:

d′′_{(λ) = 16840000(100 + 3000λ + 42100λ}2₎−1/2_{− 62, 5(−3000 + 84200λ)}2_{(100 − 3000λ + 42100λ}2₎−3/2₊

+10525000(100 − 3000λ + 42100λ2)−1/2_{− 62, 5(−3000 + 84200λ)}2_{(100 − 3000λ + 42100λ}2₎−3/2₊

(19)

Usando o algoritmo de Newton, temos, ent˜ao, partindo de λ0 = 0, λ1 = λ0− d′_(λ 0) d′′_(λ₀₎ = 0 − d′₍₀₎ d′′₍₀₎ ≈ 0 − 42100 1926500 ≈ −0, 022 , λ2 = −0, 022 − d′_{(−0, 022)} d′′_{(−0, 022)} ≈ −0, 022 − −4651, 944 2596943 ≈ −0, 020 , λ3 = −0, 020 − d′_{(−0, 020)} d′′_{(−0, 020)} ≈ −0, 020 − 897, 329 2522698, 865 ≈ −0, 020 .

Como d′′_{(−0, 020) = 2522698, 865, que é positivo, este é um m´ınimo da fun¸cão. Para visualizarmos melhor essa}

fun¸cão, ela está representada no gráfico a seguir.

λ d(λ) −0, 03 −0, 02 −0, 01 0, 01 0 7000 7500 8000

Substituindo o valor de λ encontrado, temos ~x1 = 7 2, 8 . O gradiente de ~x1 fica, ent˜ao,

~ ∇d(~x0) = 73, 149 71, 964 . Precisamos fazer uma nova itera¸c˜ao para encontrar um resultado melhor.

Determinamos ent˜ao um novo ponto ~x2:

~x2= ~x1+ λ~∇d(~x1) = 7 2, 8 + λ 73, 149 71, 964 = 7 + 73, 149λ 2, 8 + 71, 964λ . Substituindo esse ponto na fun¸c˜ao objetivo, temos

d(~x2) = 400p(7 + 73, 149λ)2+ (2, 8 + 71, 964λ)2+ 250p(−13 + 73, 149λ)2 + (2, 8 + 71, 964λ)2+

+140p(−3 + 73, 149λ)2_{+ (−7, 2 + 71, 964λ)}2 _.

Usando novamente um método numérico, descobrimos que esta fun¸c˜_{ao tem um m´ınimo em λ = −0, 033.} Substituindo novamente na expressão para ~x2, temos

~x2 = 4, 586 0, 425 . O gradiente fica ~ ∇d(~x0) = 79, 480 −78, 066 . Constru´ımos, ent˜ao, o ponto ~x3:

~x3 = 4, 586 + 79, 480λ 0, 425 − 78, 066λ . A fun¸c˜ao-objetivo fica

d(~x2) = 400p(4, 586 + 79, 480λ)2+ (0, 425 − 78, 066λ)2+

+250p(−15, 414 + 79, 480λ)2 _{+ (0, 425 − 78, 066λ)}2₊

(20)

Usando um m´etodo num´erico, descobrimos que esta fun¸c˜_{ao tem um m´ınimo em λ = −0, 012. Portanto,} ~x3 = 3, 632 1, 362 . Repetindo o mesmo processo, chegamos ao ponto

~x4 = 2, 760 0, 362 .

A tabela a seguir mostra todos passos do método, que vão até que a precisão de três casas decimais seja alcan¸cada. i xi yi 0 10 0 1 7 2, 8 2 4, 586 0, 425 3 3, 632 1, 362 4 2, 760 0, 362 5 2, 242 0, 814 6 1, 739 0, 234 7 1, 432 0, 509 8 1, 112 0, 154 9 0, 922 0, 325 10 0, 722 0, 101 11 0, 601 0, 210 12 0, 469 0, 066 13 0, 391 0, 136 14 0, 305 0, 043 15 0, 255 0, 088 i xi yi 16 0, 197 0, 027 17 0, 165 0, 057 18 0, 128 0, 018 19 0, 107 0, 037 20 0, 084 0, 012 21 0, 070 0, 024 22 0, 054 0, 007 23 0, 045 0, 015 24 0, 032 0, 004 25 0, 027 0, 009 26 0, 019 0, 002 27 0, 016 0, 005 28 0, 008 0, 000 29 0, 007 0, 002 30 0, 000314 −0, 000044 31 0, 000301 0, 0000861

Nas últimas duas linhas foram usadas mais casas decimais para evitar singularidades nas derivadas primeira e segunda da fun¸cão d(x, y). Pode-se ver que a solu¸cão ótima, com precisão de duas casas decimais, é

~x = 0 0 , isto ´e, o armaz´em deve ser constru´ıdo na cidade de Besourinhos.

Uma descri¸cão gráfica dos passos feitos pelo problema é feita a seguir:

x y 0 10 20 10 b b b B F C

Note o comportamento em zigue-zague da busca, t´ıpica do m´etodo de busca por gradiente, que torna a busca dif´ıcil e lenta quando nos aproximamos da solu¸c˜ao do problema.

(21)

Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.11

N´ıvel 1

Gradiente

Exemplo 1: calcule o gradiente da fun¸c˜ao f (x, y, z) = x cos(yz). Solu¸c˜ao: temos

fx=

∂f

∂x = cos(yz) , fy= ∂f

∂y = −xz sen (yz) , fz= ∂f

∂z = −xy sen (yz) . Portanto, ~ ∇f =   fx fy fz  =   cos(yz) −xz sen (yz) −xy sen (yz)

  .

E1) Calcule os gradientes das seguintes fun¸c˜oes:

a) f (x, y) = xy3_{, b) f (x, y) = 2x + cos y, c) f (x, y, z) = 4xz − 8y}2_{, d) f (x, y, z) = 8x√y}_{− 2 e}z_.

Exemplo 2: calcule o vetor que dá a dire¸cão e sentido de maior crescimento da fun¸cão f (x, y, z) = x cos(yz) no ponto (1, 0, 2).

Solu¸cão: o gradiente da fun¸cão, calculado no exemplo 3, é dado por

~ ∇f =   cos(yz) −xz sen (yz) −xy sen (yz)

  .

O vetor gradiente calculado no ponto desejado dá a dire¸cão e o sentido de maior varia¸cão da fun¸cão. Portanto, em (1, 0, 2), temos ~ ∇f(1, 0, 2) =   cos(0 · 2) −1 · 2 sen (0 · 2) −1 · 0 sen (0 · 2)  =   cos 0 −2 sen 0 −0  =   1 0 0   .

E2) Calcule os vetores que dão as dire¸cões e sentidos de maior crescimento das fun¸cões abaixo nos pontos indicados:

a) f (x, y) = xy3 _{, (1, 1); b) f (x, y) = 2x + cos y , (0, π); c) f (x, y, z) = 4xz − 8y}2 _{, (1, 4, 2);}

d) f (x, y, z) = 8x√y_{− 2 e}z , (2, 1, 0).

Hessiana

Exemplo 3: calcule a hessiana da fun¸c˜ao f (x, y, z) = x cos(yz).

Solu¸c˜ao: as derivadas parciais de segunda ordem j´a foram calculadas no exemplo 3. A partir delas, temos

H(f ) =   fxx fxy fyz fyx fyy fyz fzx fzy fzz  =  

0 −z sen (yz) −y sen (yz) −z sen (yz) −xz2

cos(yz) −x sen (yz) − xyz cos(yz) −y sen (yz) −x sen (yz) − xyz cos(yz) −xy2

cos(yz)

 

(22)

a) f (x, y) = xy3_{, b) f (x, y) = 2x + cos y, c) f (x, y, z) = 4xz − 8y}2_{, d) f (x, y, z) = 8x√y − 2 e}z.

N´ıvel 2

E1) As figuras a seguir ilustram algumas curvas de n´ıvel das fun¸c˜oes f (x, y) = 2x2_{+ 3y}2_{, g(x) = 3x}2_{− 2y}2 _e

h(x, y) = 3x − x3_{− 3xy}2_{. Desenhe sobre essas curvas de n´ıvel os vetores gradiente normalizados dessas fun¸c˜}_oes

nos pontos (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (1, 1) com origem nos pontos dados.

x y −1 0 1 −1 1 b f (x, y) = 2x2_{+ 3y}2 x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 g(x, y) = 3x2_{− 2y}2 x y −2 −1 0 1 2 −2 −1 1 2 b b h(x, y) = 3x − x3− 3xy2

E2) Considerando os dados a seguir, calcule, aproximadamente, um vetor que dê a dire¸cão e o sentido do gradiente no ponto (0, 0). x/y ₋₂ ₋₁ 0 1 2 −2 −3, 2 −3, 1 −2, 9 −2, 8 −3, 0 −1 −2, 9 −2, 7 −2, 7 −2, 6 −2, 8 0 _{−1, 6 −1, 4 −1, 2 −1, 4 −1, 6} 1 _{−0, 4 −0, 6 −0, 4 −0, 7 −0, 6} 2 0, 6 0, 8 0, 7 0, 8 0, 3 E3) O laplaciano de uma fun¸c˜_{ao f (x, y) é definido como ∇}2_{f = f}

xx+ fyy. Dada f (x, y) = px2+ y2, prove

que ∇2f = 1_f.

E4) Determine em qual dire¸c˜ao e sentido uma fun¸c˜ao f decresce mais rapidamente.

E5) Determine todos os pontos para os quais a dire¸c˜ao de maior mudan¸ca da fun¸c˜ao f (x, y) = x2_{+ y}2_{− x − 3y}

´e dada por

1 1

.

E6) Um industrial tem que decidir onde investir R$ 50.000 e estima que a produ¸c˜ao de sua empresa possa ser modelada pela fun¸c˜ao P (K, L) = 1, 3K0,45_L0,55_{, onde o capital investido K e o trabalho L s˜}_{ao medidos em}

milhões de reais. No momento, o capital investido é de 5 milhões de reais e o gasto em trabalho é de 4 milhões de reais. Determine o quanto do dinheiro tem que ser usado em cada uma dessas áreas de modo a maximizar a produ¸cão da empresa (use uma precisão de um milhar de reais na resposta).

N´ıvel 3

E1) Calcule a reta normal e a reta tangente `a elipse x

2

4 + y

2

= 2 no ponto (−2, 1) seguindo as seguintes instru¸c˜oes:

(23)

a) Considere que a elipse ´e uma curva de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = x

2

4 + y

2 _{e calcule o gradiente dessa fun¸c˜}_ao

no ponto (−2, 1).

b) Usando o fato do gradiente ser perpendicular `a curva de n´ıvel para calcular um ponto da reta normal `a elipse no ponto dado.

c) Utilize o ponto (−2, 1) e o novo ponto dado para calcular a equa¸cão da reta normal à elipse naquele ponto. d) Use o fato da reta tangente ser perpendicular à reta normal calculada para repetir o processo (considerando agora a reta normal como uma isoquanta de uma fun¸cão adequada) e calcular a equa¸cão da reta tangente. e) Desenhe em um mesmo gr´_{afico a elipse dada, o ponto (−2, 1) e as retas normal e tangente a essa curva nesse} ponto.

E2) Calcule a reta normal e a reta tangente `a curva x3_{− 3y = 5 no ponto (2, 1).}

E3) Um industrial estima que a produ¸cão de sua empresa possa ser modelada pela fun¸cão de produ¸cão de Cobb-Douglas P (K, L) = 1, 2K0,6_L0,4_{, onde o capital investido K e o trabalho L s˜}_{ao medidos em milh˜}_{oes de}

reais. No momento, o capital investido é de 5 milhões de reais e o gasto em trabalho é de 4 milhões de reais. Ele pretende, nos próximos 6 meses, investir R$ 1.000.000 todo mês. Determine uma estratégia de investimentos para o industrial para os próximos 6 meses de modo a maximizar a sua produ¸cão. Assuma nos seus cálculos que ele sempre invista em unidades de milhares de reais.

E4) Use busca por gradiente com precis˜ao de duas casas decimais para maximizar a fun¸c˜ao f (x, y) = 4 − x2− y2+ 2x − 3y partindo do ponto x0= (0, 0).

E5) Use busca por gradiente com precis˜ao de duas casas decimais para maximizar a fun¸c˜ao f (x, y) = 4 − x2− y2+ 2x − xy partindo do ponto x0 = (0, 0).

Respostas

N´ıvel 1 E1) a) ~∇f = y3 3xy2 , b) ~∇f = y2 − sen y , c) ~∇f =   4z −16y 4x  , d) ~∇f =   8√y 4x/√y −2 ez  . E2) a) ~∇f(1, 1) = 1 3 , b) ~∇f(0, π) = 2 0 , c) ~∇f(1, 4, 2) =   8 −64 4  , d) ~∇f(2, 1, 0) =   8 8 −2  . E3) a) H(f ) = 0 3y2 3y2 6xy , b) H(f ) = 0 0 0 − cos y , c) H(f ) =   0 0 4 0 −16 0 4 0 0  , d) H(f ) =   0 4 √_x 0 4 √ x − 2x y3/2 0 0 0 −2 ez  . N´ıvel 2 E1) x y −1 0 1 −1 1 b f (x, y) = 2x2_{+ 3y}2 b _x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 g(x, y) = 3x2_{− 2y}2 b _x y −2 −1 0 1 2 −2 −1 1 2 b b h(x, y) = 3x − x3− 3xy2 b b

(24)

E2) 0 −1 . E3) ∇2 f = fxx+ fyy= y 2 (x2_{+ y}2₎3/2 + x2 (x2_{+ y}2₎3/2 = x2 + y2 (x2_{+ y}2₎3/2 = 1 (x2_{+ y}2₎1/2 = 1 f . E4) Na dire¸c˜ao dada por −~∇f.

E5) Para os pontos (1, 2) e (0, 1).

E6) Ele deve investir R$ 19.780 em captial e usar R$ 30.220 em trabalho.

N´ıvel 3 E1) a) ~∇f(−2, 1) = −1 2 . b) (−3, 3). c) y = −2x − 3. d) y =1 2x + 2. e) x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 b

E2) A reta normal ´e dada por y = −0, 3x + 1, 6. A reta tangente ´e dada por y =1

3(x + 1).

E3) A estratégia de investimentos é dada pela tabela a seguir. Os investimentos são dados em milhares de reais. Mês K L 1 623 377 2 623 377 3 622 378 4 622 378 5 623 377 6 623 377 E4) a) x = 1 e y = −1, 5, f = 7, 25 (uma itera¸cão).