VESTIBULAR: 2016 PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA II
CÔNICAS I: ELIPSE, HIPÉRBOLE e PARÁBOLA – GABARITO ELIPSE.
1. Determine a equação da elipse em que:
a) os focos são F
1(–2, 0) e F
2(2, 0) e o comprimento do eixo maior é 6;
Solução. Os focos estão no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
5 1 : 9 )
5 49 2
3 3 6 2
2 4) 2(
2 ) 2
2 2
2 2 2
y Equação x ii
b b a b
a
c i c
.
b) os vértices são A
1(0, –6), A
2(0, 6), B
1(3, 0) e B
2(–3, 0).
Solução. O eixo maior está localizado no eixo das ordenadas. Identificando os elementos, temos:
9 1 : 36 )
3.3,0 3.3 :cos ,0 3.3 27 936 6 36
12) 6(
62
3 6)3 (3 ) 2
2 2
2 2
Equação xy ii
Fo a c
a
b i b
.
2. A elipse representada na figura tem equação:
–3 3
2
–2
a)
13 y 4
x2 2
b)
1 1 y 2x2 2
c)
1 4 y 9x2 2
d)
1 9 y 36x2 2
e)
1 36y 9
x2 2
Solução. O eixo maior está localizado no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
49 1 2 :
4)2 (2 2
3 6)3 (3
2 2 2
yx
Equação b
b
a a
.
3. Determine os focos da elipse
1 3 y 4x2 2
.
Solução. O eixo maior está localizado no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
9 1 : 36 )
0,1 :cos 0,1 11 34 3 3 2
3
24 ) 4
2 2
2 2 2
2
Equação xy ii
Fo b c
b a i a
.
4. A excentricidade da elipse
1 16y 7
x2 2
é:
a)
37
b)
4
3 c)
77
3
d) 3
4 e)
167
Solução. O eixo maior está localizado no eixo das ordenadas. Identificando os elementos, temos:
4 : 3 )
3 9 7 16 7 7 4
7
4 16
) 16 2 2
2 2
a dade c Excentrici ii
b c b
a i a
.
5. O eixo maior da elipse 5x
2+ 2y
2= 20 mede:
a) 2 b) 2
10c) 4 d) 10 e)
10Solução. Escrevendo a equação reduzida, temos:
10 . 2 2 : 10
10 )
10 1 4 20 20 20 2 20 20 5 2
5 )
2
2 2 2
2 2 2
a maior Eixo a
a ii
y x y
y x x
i
.
6. A equação da circunferência com centro na origem e raio igual ao semieixo menor da elipse x
2+ 4y
2= 4 é:
a) x
2+ y
2=
2b) x
2+ y
2= 16 c) x
2+ y
2= 4 d) x
2+ y
2= 1 e) x
2+ y
2= 2
Solução. Escrevendo a equação reduzida da elipse, temos:
1 : 1
1 )
1 1 4 4 4 4 4 4 4
4 )
2
2 2 2
2 2
2
b menor Eixo b
b ii
y x y
y x x
i
.
Escrevendo a equação da circunferência, temos:
x2 y2 12x2 y2 1.
7. Uma elipse está centrada na origem, tem os seus eixos sobre os eixos coordenados e é tangente simultaneamente a x
2+ y
2= 4 e x
2+ y
2= 9. Na determinação desta elipse verifica-se que:
a) a solução é
116 y 36
x2 2
b) não há solução c) a solução é 4x
2+ 9y
2= 36 d) a solução é (x – 3)
2+ (y – 2)
2= 1 e) há mais de uma solução
Solução. O raio da circunferência menor mede 4 e o raio da maior mede 3. Tanto as circunferências, como a elipse estão centradas na origem. Para que a elipse seja
tangente simultaneamente às duas circunferências, temos:
i) Eixo maior igual a 6 (sobre o eixo OX) e eixo menor igual a 2 (sobre o eixo OY):
36 9 4 4 1
1 9 2 3
2 2 2
2 2
2 2
2
y x y x y
x .
ii) Eixo maior igual a 6 (sobre o eixo OY) e eixo menor igual a 2 (sobre o eixo OX):
36 4 9 9 1
1 4 3 2
2 2 2
2 2
2 2
2
y x y x y
x .
8. Determine a equação da elipse em que:
a) os focos são F
1(0, –3) e F
1(0, 3) e o comprimento do eixo maior é 8;
Solução. Os focos estão no eixo das ordenadas. Identificando os elementos, temos:
16 1 : 7 )
7 9 16 3
4 4 8 2
3 6) 3(
3 ) 2
2 2
2 2 2
y Equação x ii
b b
a b a
c i c
.
b) os focos são F
1(1, 0) e F
2(–1, 0) e dois vértices são A
1(2, 0), A
2(–2, 0).
Solução. Os focos estão no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
3 1 : 4 )
3 14 1
2 2 4) 2(
2 2
1 2) 1(
1 ) 2
2 2
2 2 2
y Equação x ii
b b a b
a
c i c
.
9. As coordenadas dos focos da elipse de equação 9x
2+ 25y
2= 225 são:
a)
, 0 2
1 e
, 0 2
– 1 b) (2, 0) e (–2, 0) c) (0, 4) e (0, –4) d)(4, 0) e (–4, 0) e) (0, 2) e (0, –2)
Solução. Escrevendo a equação reduzida da elipse, temos:
)0,4 (
)0,4 : ( cos 4
16 9 25 3
5 )
3 1 5
9 25 225 225 225 25 225 225 9 25
9)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Fo c
cii
b y a
x y
y x x i
.
HIPÉRBOLE.
1. Determine a equação da hipérbole tal que:
a) os focos são F
1(–2, 0) e F
2(2, 0) e dois vértices são A
1(–1, 0) e A
2(1, 0);
Solução. Os focos estão no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
3 1 : )
3 14 1
1 2 1) 1(
1 2
2 4) 2(
2 ) 2
2 2
2 2 2
x y Equação ii
b b a b
a
c i c
.
b) os vértices do eixo real são A
1(0, –6) e A
2(0, 6) e os vértices do eixo imaginário são B
1(4, 0) e B
2(–4, 0).
Solução. Os focos estão no eixo das ordenadas. Identificando os elementos, temos:
16 1 : 36 )
52 36 16 6 6 4
12 )6(
6 2
4 8) 4(
4 ) 2
2 2
2 2 2
x Equação y ii
c c
a c a
b i b
.
2. A distância focal da hipérbole de equação x
2– 3y
2= 3 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solução. Escrevendo a equação reduzida da hipérbole, temos:
3 21 42
1 1 3 13 3 3 3 3 3 3
3 2 1
2 2 2 2 2
2
c c
b a yx y
y x
x .
3. A excentricidade da hipérbole
1 12y 4
x2 2
é:
a) 4 b)
14c) 2 d) 2
1 e) 4 14 Solução. Os focos estão localizados no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
2 2 : 4 )
4 16 12 4 32 32 2
12 12
2 4
) 4 2 2
2 2
a dade c Excentrici ii
b c b
a i a
.
4. As assíntotas da hipérbole
1 25y 4
x2 2
têm equações:
a) y =
25xb) y =
52xc) y =
254 xd) y =
254 xe) y =
2 x 21
Solução. Os focos estão localizados no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
x y a x y b Assíntotas b
b b
a a
2 : 5
5 25 25
24 4
2 2
.
5. Determine os focos da hipérbole 4y
2– 9x
2= 36.
Solução. Escrevendo a equação reduzida da hipérbole, temos:
13, 0
13 :cos ,0 )
13 2 24 3
1 39 4 9 36 36 36 9 36 36 4 9
4) 2 1
2 2 2 2 2
2
Foii
b c x a y x x y
yi
.
6. Considere a hipérbole H de equação
1 16y 7
x2 2
. Determine a equação da hipérbole cujo eixo real coincide com o eixo imaginário de H e cujo eixo imaginário coincide com o eixo real de H.
Solução. Considerando 2a e 2b, respectivamente os eixos reais e imaginários de H e 2a' e 2b’, respectivamente os eixos reais e imaginários de H’, temos que a = b’ e b =a’:
16 4
1 7 16 :) 7
2 2
b y a
Hi x ; 1
7 :' 16 7
' ) 4'
2
2
y x
H Hipérbole b
ii a
7. Determine a equação da
hipérbole equilátera cujos vértices
do eixo real são A
1(0, 4) e A
2(0, –4) e cujo eixo imaginário fica sobre o eixo das abscissas.
Solução. Os focos estão localizados no eixo das ordenadas. Identificando os elementos, temos:
16 1 : 16 )
(4
4 8)4 (4
2 2 2
xy
Hipérbole equilátera
ab
a a
.
8. Determine a equação da hipérbole tal que os vértices do eixo real são A
1(–2, 0) e A
2(2, 0) e a hipérbole é equilátera.
Solução. Os focos estão localizados no eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
44 1 ) :
(2
2 4)2 (2
2 2 2
yx
Hipérbole equilátera
ab
a a
.
PARÁBOLA.
1. Determine a diretriz da parábola de equação y
2= –4x.
Solução. A parábola possui concavidade para a esquerda e a diretriz é uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
Identificando os elementos, temos:
2 4 2 2
) 4
2 2
p p
px y
x
i y ;
ii)Diretriz:x 2p x 22 1.
2. O foco da parábola de equação y
2= 12x é:
a) F (0, 3) b) F (–3, 0) c) F (6, 0) d) F (3, 0) e) F (–6, 0)
Solução. A parábola possui concavidade para a direita e o foco está sobre o eixo das abscissas. Identificando os elementos, temos:
6 12 2 2
) 2 12
2
p p
px y
x
i y ; ii ) Foco : 2 p , 0 3 , 0 .
3. Determine os pontos de interseção da parábola x
2= –2y com a reta y = x.
Solução. Realizando as substituições e resolvendo o sistema, temos:
)2, 2(
: 0,0 )
2 0) 0
2 (
0 2 2 2
)
2 1
2 2
2
Pontos ii
x xx x
x x x x x
y y i x
.
4. A equação da parábola com vértice na origem e foco no ponto F
, 0 4 1 é:
a) x
2= y b) y
2= x c) x
2= 4y d) y
2= 4x e) 4y
2= x Solução. O foco está no eixo das abscissas. Identificando os termos, temos:
2 1 4 2 4
1
) 2p p
i
; ii Equação y px y x y x
. ²
2 . 1 2
² 2
² :
) .
5. A equação da parábola de vértice V (0, 0) e diretriz x = 2 é:
a) y
2= –8x b) x
2= –8y c) x
2= 8y d) y
2= 8x e) y
2= –2x Solução. O foco está no eixo negativo das abscissas. A parábola possui concavidade à esquerda.
4 2 2 2 : 2
)
p p
x x p Diretriz
i ;
ii)Equação:y² 2px y² 2.
4.x y² 8x.
6. A parábola com vértice na origem e foco F
2 , 1
0 tem equação:
a) y
2= -2x b) x
2= -2y c) x
2= 2y d) y
2= 2x e) y
2= 4x Solução. O foco está no eixo positivo das ordenadas. A parábola possui concavidade para cima.
2 1 1 2 , 2
0 :
)
p p p
Foco
i ;
ii)Equação:x²2pyx²2.
1.yx² 2y.
7. Determine a equação da parábola com vértice na origem, simétrica em relação ao eixo X e que passa pelo
ponto P (–2, 1).
Solução. O eixo de simetria é o das abscissas. Logo, a parábola possui concavidade para a direita, pois o ponto P possui abscissa negativa e ordenada positiva. Identificando os termos, temos:
1,2 2 : )1( .2 )2.( 41 4 1
) 2
2
p p p
Parábola P
px
i y ;
² 2 4
2 1
² :
) x
y x y
Equação
ii
.
8. Determine as tangentes à parábola y
2= 2x que passam pelo ponto P
1(–1, 0).
Solução. O eixo de simetria é o das abscissas. Há duas soluções possíveis.
2 2 2
: 2 tan 2 ª1
2
2 2 2
: 2 tan 2 ª1
2 2
0 1 4 8
0 4 4 8 4 0 ) ).(
.(
4 2 2 0 : )
0 2
2 2
2 2 2
)
: )1
.(
: 0 0,
1 ) :
2 2 1
2
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 1
x y
gente m
x y gente m
m m
m m
m m
m m
Tangente iii
m x m x m x m x m x m x m m mx
mx y
x ii y
m mx y reta m n n reta m
P
n mx y i reta
.
9. Determine a tangente à parábola y
2= 4x no ponto (1, 2).
Solução. O eixo de simetria é o das abscissas. O ponto (1, 2) pertence à reta e à parábola.
reta x
y x
y
m m
m m m
m
m m
m m m m
m m
m m m m
m Tangente
iii
m m x m m x
m m
m x x m m x m
x m
m x m m x m x m m mx
mx y
x ii y
m mx
y reta m
n n reta m
P
n mx y i reta
1 1
2 ) .(
1
1 0
)1 ( 0 1 2 0
16 32 16
0 16 16
4 16 32 16
16 4
16
0 )4 4 ).(
.(
4 4 2 4 0 : )
0 4 4 4
2 4 0
4 4 4
2 4
4 4 4 2
4 4
2 2 ) 4
2 :
2 )1
.(
: 2 2
,1 ) :
2 2
2
2 3
4 2 3
4 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
.
10. Determine o ângulo formado com o eixo Ox pela reta que passa pelo centro da circunferência de equação 2x
2+ 2y
2+ 4x + 4y – 5 = 0 e pelo foco da parábola x
2= 8y.
Solução. Identificando os elementos, temos.
57 , 71 3 3
)
2 3 : 2
) 0 .(
3 ) 2
2 ,0 ( 3 3 0 1
2 : 1
)
2 ,0 : 4
8 2 2
: 8 )
1 ,1 2 :
)1 9 ( )1 ( 2 0
1 5 1 2 1
1 2
2 0 2 5 2
0 5 4 4 2 2 : )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
