MAT 1351 : C´alculo para Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel Real I

MAT 1351 : C´ alculo para Fun¸c˜ oes de Uma Vari´ avel Real I

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2016

1

Limites of differences: como tratar ∞ − _∞

Exemplos:

2

Como trabalhar com limites infinitos: somas e produtos

Somas:

1. (+_∞) + (+_∞) = +_∞ 2. (−_∞) + (−_∞) =−_∞ 3. L+ (+_∞) = +_{∞, se}L∈_R 4. L+ (−_∞) =−_{∞, se}L∈_R Produtos:

1. (+_∞).(+_∞) = +_∞ 2. (−_∞).(−_∞) = +_∞ 3. (−_∞).(+_∞) =−_∞ 4. L.(+_∞) = +_{∞, se}L>0 5. L.(+_∞) =−_{∞, se}L<0 6. L.(−_∞) =−_{∞, se}L>₀ 7. L.(−_∞) = +_{∞, se}L<0 Indetermina¸c ˜oes:

+_∞−(+_∞),−_∞−(−_∞)_{, 0.∞,}^∞

∞,0

0, 1^∞, 0⁰,∞⁰.

3

Teorema

Suponha quelim_x→p⁺f(_x) =₀e que existe r>_{0tal que f}(_x)>₀ para p<x<p+r. Ent˜ao:

xlim→p⁺

1

f(x) = +_∞.

Exemplo (importante):Para qualquer numero racional r= ^p_q >_{0 temos:}

xlim→_∞

1 x^r =₀ Exerc´ıcio

lim_x→2⁻ −4 x+2

Exerc´ıcio

lim_x→4⁻ ₍₄₋³_x)3 elim_x→3⁻ _(x^2x₋₃₎

4

Lista

1. Polin ˆomios e fra¸c ˜oes racionais:

2. Fun¸c ˜oes constantescomλ∈_R

f : R → _R

x 7→ λ

x→−lim_∞f(x) = lim

x→+_∞f(x) =λ 3. Monomiais: do tipoxⁿ

f : R → _R

x 7→ xⁿ comn∈_Nen6=0

I em+_∞:

x→+lim∞xⁿ= +_∞

I em−_∞

Para n par lim

x→−∞xⁿ= +_∞ Para n impar : lim

x→−∞xⁿ=−∞

5

1. E os inversos

f : R^∗ → _R

x 7→ ¹

xⁿ

(1) comn∈_Nen6=0

I em±_∞:limx→−∞ 1

xⁿ =lim_x→+∞x¹n =0

I em 0 as func¸ ˜oes n˜ao s˜ao definidas:

I paranpar: limx→0,x6=0 1 xⁿ = +_∞

I paranimpar:

x→0,x<0lim 1

xⁿ =−_∞

x→0,x>0lim 1

xⁿ = +_∞ 2. Polin ˆomiosOs limites limx→±_∞ de

P(x) =a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₂x²+a₁x+a₀coma_n6=0 s˜ao os mesmos que os limites do termo dominantea_nxⁿ. Ent˜ao: estudaranxⁿ(e ver o sinal deane sen ´e par ou

impar). ⁶

Lista 3

1. Potencias positivas

f : R+ → _R

x 7→ x^α comα>0

x→+lim_∞x^α = +_∞ Caso particular: √

x=x¹² ent˜ao lim_x→+_∞

√x= +_∞ 2. Potencias negativas

f : R+ → _R

x 7→ x^α , comα<0

xlim→0⁺x^α = +_∞

x→+lim_∞x^α =0

7

1. Logaritmo

f : R^∗₊ → R x 7→ ln(x)

x→0,x>0lim ln(x) =−_∞

x→+lim∞ln(x) = +_∞ 2. Logaritmo de baseacoma>0

f : R^∗₊ → _R

x 7→ log_a(x)

I basea>1 :

x→0,x>0lim log_a(x) =−∞

x→+∞lim log_a(x) = +_∞

I basea<1 :

x→0lim⁺log_a(x) = +∞

x→+lim∞log_a(x) =−_∞

8

Lista 5

1. Fun¸c˜ao exponencial

f : R → _R

x 7→ e^x

I limx→−∞e^x=0

I lim_x→+∞e^x= +∞

2. Fun¸c˜ao exponencial de baseacoma>0

f : R → _R

x 7→ a^x =e^xlna

I a>1

x→−lim∞a^x=0

x→+∞lim a^x= +∞

I a<1:

x→−lim∞a^x= +_∞

x→+∞lim a^x=0

9

1. Fun¸c ˜oes trigonometricas:

Tangente:

f : R\ (

π

2 +kπ,k∈_Z )

→ _R

x 7→ tan(x) = ^sen(x) cos(x) Observa¸c˜ao:R\

( π

2 +kπ,k∈_Z )

= ^S

k∈Z

# kπ−^π

2;kπ+^π 2

"

Para todos inteirosk∈Z:

x→−^π₂+kπ,x>−lim ^π₂+kπtan(x) =−_∞

x→+^π₂+kπ,x<+lim ^π₂+kπtan(x) = +_∞

10

Lista 8

Cotangente

f : R\ {kπ,k∈_Z} → _R

x 7→ cot(x) = ^cos(x) sen(x) Observa¸c˜ao:R\ {kπ,k∈_Z}= ^S

k∈_Z

]kπ;(k+1)π[ Para todos inteirosk∈_Z:

xlim→kπ x>kπ

cot(x) =−_∞

x→(limk+1)π x<(k+1)π

cot(x) = +_∞

11

Ideia:”tangente”, do latimtangere= tocar.

Posi¸c˜ao limite de uma reta passando pelo ponto P:

12

Reta tangente a uma curva

Defini¸c˜ao

A reta tangente a uma curva y=f(x)em um ponto P(a,f(a))´e a reta passando pelo ponto P e com inclina¸c˜ao

m=lim

x→a

f(x)−f(a) x−a , desde que esse limite exista.

Exemplo:

Exerc´ıcio

tangente na curva y=x³no ponto(1, 1). Exemplo onde a tangente n˜ao existe:

Exerc´ıcio

Estudar as tangentes para a curva y=|x|, em qualquer ponto P da curva.

13

Defini¸c˜ao

A derivada de uma fun¸c˜ao f em um n ´umero a, denotada por f⁰(a)(”f linha de a”) ´e

f⁰(a) =lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h ,

se o limite existe.

Defini¸c˜ao equivalente:podemos fazerx=a+h, ent˜ao h=x−aeh→0 implicax→a:

f⁰(a) =_lim

x→a

f(x)−f(a) x−a Exerc´ıcio

a)Encontre uma equa¸c˜ao da reta tangente `a curva

y= (x−1)/(x−2)no ponto(3, 2).b)Se G(x) =x/(1+2x), encontre G⁰(a)

14

Interpreta¸c˜ oes da derivada

Velocidade:A variavelt ´e o tempo, et7→f(t)´e a func¸˜ao posic¸˜ao de um objeto. Entret=aet =a+h, a variac¸˜ao na posic¸˜ao ´e def(a+h)−f(a), e

velocidade m´edia = deslocamento

tempo = ^f(a+h)−f(a)

h .

Conseq ¨uˆencia:a derivadaf⁰(a)pode ser interpretada como uma velocidade instantˆanea (isto ´e , como um limite de velocidades m´edias).

Exemplo: queda livre, sem velocidade initial:Posic¸˜ao vertical:

y= −¹₂gt²+y₀, e velocidadev=−gt, ondeg´e acelerac¸˜ao causada pela gravidade (g'9, 81m/s²).

Nota¸c˜ao:f⁰(a)(notac¸˜ao de Lagrange), ^df_dx(a)(de Leibniz), ˙f(a) (de Newton)

Newton apo´s a morte de Leibniz declarou: ”me sinto muito feliz por ter desfeito o corac¸˜ao de Leibniz”.

15

Taxa de varia¸c˜ao instantˆanea:Para uma func¸˜aoy=f(x), no intervalo[x₁,x₂], a variac¸˜ao emx´e∆x=x₂−x₁, a variac¸˜ao correspondante emy´e∆y=f(x₂)−f(x₁). Finalmente:

taxa de variac¸˜ao instantˆanea = lim

∆x→0

∆y

∆x = lim

x₂→x₁

f(x2)−f(x1) x2−x1

=f⁰(a)

Economia:sejaCo custo total de um produto, eQa quantidade produzida. Ent˜ao ocusto marginal Cmg´e:

Cmg= ^dC dQ.

A ideia ´e que quando∆x=1, masQmuito grande (i.e muito maior que 1) temos queC⁰(n)'C(n+1)−C(n), isto ´e, o custo marginal de produc¸˜ao ´e mais o menos igual ao custo de produc¸˜ao de mais uma unidade.

16

Mais uma interpreta¸c˜ ao da reta tangente

Ideia:”a reta tangente ´e o que vocˆe vai obter depois de fazer um zoom infinito perto do ponto(a,f(a)). (= olhar com um microsc ´opio o gr´afico)Exemplo:vamos considerar

f(x) =x(x−1(x+₁)

Demonstra¸c˜ao: vamos fazer um ”zoom”(isto ´e, um

esticamento horizontal e vertical, com o mesmo fatorc→_∞) y=c.f(^x

c)⇒y=c.x c.(^x

c−1).(^x

c+1)→ −x

17

Concentra¸c˜ao: ´e a raz˜ao da quantidade de mat´eria do soluto (mol) pelo volume de soluc¸˜ao (em litros)

M= ⁿ V,

onde o mol ´e a unidade do Sistema SI de unidades. Isto ´e um mol ´e ”a quantidade de mat´eria de um sistema que cont´em tantas elementos quanto s˜ao os ´atomos contidos em 0, 012 quilograma de carbono-12”.

Por exemplo, 1 mol de mol´eculas de um g´as tem mais o menos 6, 022×10²3 mol´eculas deste g´as (”constante de Avogadro”).

Outro exemplo: Uma colher de ch´a tem mais o menos 0, 3 mol de ´agua.

Nota¸c˜ao:concentrac¸˜ao do reagenteA´e denotada com colchete, por[A].

18

Derivadas na Qu´ımica II

Equa¸c˜ao qu´ımica:uma representac¸˜ao de uma reac¸˜ao qu´ımica (Reagentes)→(Produtos)

Por causa da Lei de conservac¸˜ao da massa, tem que equilibrar (i.e colocar coeficientes)

Metano + oxig´enio→di ´oxido de carbono + agua + muito calor

19

Concentra¸c ˜oes:dadoA+B→C,[A],[B],[C]s˜ao func¸ ˜oes do tempot. A taxa m´edia da reac¸˜ao do produtoCno intervalo [t₁,t2]´e ^∆_∆^[C_t^].

Taxa de rea¸c˜ao instantˆanea:

taxa de reac¸˜ao = ^d[C] dt Caso mais geral:(condic¸ ˜oes: V constante) dada:

aA+bB→pP+qQ ataxa de rea¸c˜ao ´e:

v=−¹ a

d[A] dt =−¹

b d[B]

dt = ¹ p

d[P] dt = ¹

q d[Q]

dt Cin´etica qu´ımica: a determinac¸˜ao experimental da taxa de reac¸˜aorvai dar

r=k[A]^m[B]ⁿ

(kconstante de taxa de reac¸˜ao, mas pode depender por

exemplo de T). ²⁰

Quimica e equa¸c˜ oes diferenciais

Exemplo:aA→Produtosno caso de uma reac¸˜ao de ordem 1 (i.e:

−¹_a^d[_dt^A] =k[A]_).

Exerc´ıcio

Resolver (podemos supor: ^de_dt^t =e^te f⁰(t) =0para todos t implica f constante). (Resposta:[A] = [A]₀.e^−akt)

21

Defini¸c˜ao

Uma fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em a se f⁰(a)existir. ´E diferenci´avel em um intervalo aberto(a,b)se for diferenci´avel em cada n ´umero do intervalo.

Exerc´ıcio

Mostrar que x7→x²´e diferenci´avel emR.

Exerc´ıcio

Mostrar que x7→x³´e diferenci´avel emR.

Exerc´ıcio

Mostrar que f(x) =xⁿ(onde n∈N) ´e diferenci´avel emRe tal que f⁰(x) =n.xⁿ⁻¹.

Exerc´ıcio

Mostrar que g(x) =√

x ´e diferenci´avel em(0,∞)e tal que g⁰(x) = ¹

2√ x.

22

Exercicios com derivadas

Exerc´ıcio

Encontre a derivada da fun¸c˜ao usando a defini¸c˜ao. Estabele¸ca os dom´ınios da fun¸c˜ao e da derivada.

23