Parte 2 Aplica¸c ˜oes Lineares

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Parte 2

Aplica¸c ˜oes Lineares

2.1 Aplica¸c˜ao Lineares Cont´ınuas

Estaremos agora tratando das aplicaç ões lineares entre espaços normados. Os as- pectos algébricos destas aplicaç ões são estudados no curso de Álgebra Linear. Como um espaço normado também possui uma estrutura topol ógica, é natural estudá-las também no que diz respeito à continuidade.

SeX é um espaço normado denotaremos porB_Xa bola fechada de raio 1 centrada na origem. Ou seja B_X = {x ∈ X : �x� ≤ 1}. A esfera unitária deX é o conjunto S_X ={x ∈X:�x�=1}. Começamos com o seguinte resultado.

Proposi¸cão 2.1. Sejam x e Y espa¸cos normados e T:X →Y linear. Então são equivalentes:

�a) T ´e cont´ınua;

�b) T ´e cont´ınua na origem;

�c) existe uma constante M>₀_{tal que}�T�x)� ≤ M para qualquer x∈B_X.

�d) existe uma constante M>₀_{tal que}�T�x)� ≤ M�x�para qualquer x∈X.

Demonstra¸c˜ao. �a)⇒�b): ´E evidente.

�b) ⇒ �c): ComoT ´e cont´ınua na origem, paraε = 1, existe δ > 0 tal que, para qualquerx ∈X, com�x� �δ, temos que�T�x)��_{1. Se}_x ∈B_X, temos que�^δ₂^x� �δ e portanto�T�

δx 2

��1. Ent˜ao, pela linearidade deT,�T�x)�� ²_δ_. 17

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�c)⇒ �d): Sex ∈ X\ {0}, temos que _�^x_x_� tem norma 1 e portanto T�

�xx�

� ≤ M.

Então, �T�x)� ≤ M�x�. Sex = 0, temos que T�x) = 0 e a desigualdade também é satisfeita.

�d) ⇒ �a): Se existe M > _{0 tal que}�T�x)� ≤ M�x�para qualquer x ∈ X, ent˜ao dadosu,v∈ Xtemos que�T�u)−T�v)�=�T�u−v)� ≤M�u−v�. Isso mostra que T ´e lipschitziana e portanto (uniformemente) cont´ınua.

O item�c)nos mostra que aplicaç ões lineares cont´ınuas são limitadas sobreB_X. É por esse motivo que aplicação lineares cont´ınuas são também chamadas delimitadas.

Antes do pr óximo exemplo, salientamos que se � · � e � · �₀ são normas equivalentes em X então uma função f definida em X será cont´ınua segundo� · � se, e somente se, o for segundo� · �₀, pois por definição tais normas geram a mesma topologia emX.

Exemplo 2.2. Qualquer aplica¸cão linear definida emK^p é cont´ınua.Vamos demonstar este fato usando a norma da soma deK^p. Como sabemos, ela é equivalente à norma eu- clidiana e mais simples de se trabalhar. Seja {e₁,e₂, . . . ,ep} a base can ônica de K^p e considere uma aplicação linearT:K^p →Ylinear. Então

�T�x₁, . . . ,xp)� = �x₁T�e₁) +· · ·+xpT�ep)�

≤ |x₁|�T�e₁)�+· · ·+|x_p|�T�e_p)�

≤ max

i=1,...,p�T�e_i)� ·^�|x₁|+· · ·+|xp|^�

= M��x₁, . . . ,x_p)�₁,

ondeM=max_i₌_1,...,p�T�e_i)�. LogoT é cont´ınua pela proposição anterior.

Exemplo 2.3. Considere o espaço vetorialP�^R)de todos os polin ômios reais munido da norma �p� = sup_t_∈[_0,1_]|p�x)|. Então o operador derivação D : P�^R) → P�^R) não é cont´ınuo, pois para cadan ∈^No polin ômiotⁿestá emB_P�R)mas sua derivada ntⁿ⁻¹tem norman. Comonpode ser suficientemente grande, segue que é imposs´ıvel encontrarMcomo na proposição anterior.

Umisomorfismo entre espa¸cos normados, ou simplesmente isomorfismo, é uma aplica- ção linear cont´ınua invers´ıvel e com inversa cont´ınua. Ou seja, é um isomorfismo no

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2.1. Aplicac¸˜ao Lineares Cont´ınuas 19

sentido da Álgebra Linear e um homeomorfismo. Se há um isomorfismo entreXeY, então diremos queXeYsãoisomorfose escreveremosX ∼=Y.

Salientamos que inversa de aplicação linear é sempre linear, mas nem sempre é cont´ınua, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 2.4. Considere X = c00 e o operador linear T : c00 → c00 dado por T�x₁,x₂,x₃, . . .) = �x₁,^x₂²,^x₃³, . . .). Temos que, sex= �x₁,x₂,x₃, . . .)∈c₀₀,

�T�x)�=��x₁,x₂ 2 ,x₃

3 , . . .)�=sup

n∈^N

{|x₁|,|^x² 2 |,|^x³

3 |, . . .} ≤ sup

n∈^N

{|x₁|,|x₂|,|x₃|, . . .}=�x�. Logo, T é cont´ınua pelo item �c) da proposição. Porém, a inversa de T é dada por T⁻¹�x₁,x₂,x₃, . . .) = �x₁, 2x₂, 3x₃, . . .). Para cada n ∈ ^N, os vetores en = �0, . . . , 0,

n−esima

��1 , 0, . . . ,)têm norma 1 mas�T�en)�= n. Logo,T⁻¹não satisfaz o item�c)da proposição.

Observe que no exemplo anterior o espaço normado em questão não era completo, como vimos em 1.16. Isso não foi por acaso. Veremos mais para frente que se os espaços forem completos, então a inversa de uma aplicação linear cont´ınua é sempre cont´ınua.

Será uma consequência do Teorema da Aplicação Aberta.

O seguinte critério é tão simples quanto útil.

Proposi¸cão 2.5. Uma aplica¸cão linear T : X → Y é um isomorfismo sobre sua imagem, se, e somente se, existem constantes positivas a e b tais que a�x� ≤ �T�x)� ≤b�x�,∀x∈X.

Demonstra¸cão. SeT�x) = 0 então a primeira desigualdade implica quex =0. Vemos então que T é injetora e portanto invers´ıvel sobre sua imagem. A segunda desigualdade nos diz que T é cont´ınua. Resta mostrar que T⁻¹ é cont´ınua. De fato, dado y ∈T�X), existex ∈Xtal queT�x) = ye portando�T⁻¹�y)�= �x� ≤ a⁻¹�T�x)� = a⁻¹�y�.

Corolário 2.6. Para que duas normas� · �e� · �₀sejam equivalentes é necessário e suficiente que existam constantes positivas a e b tais que a�x�₀ ≤ �x� ≤b�x�₀,∀x ∈X.

Demonstra¸cão. Que a condição acima é suficiente foi visto na proposição 1.6. Para mostrar que é necessária, basta observar que as normas serem equivalente significa que a identidade de�

X,� · �^�em�

X,� · �₀^� é um isomorfismo. Logo, pela proposição anterior, existem constantes positivasaebtais quea�x�₀ ≤ �x� ≤b�x�₀,∀x∈X.

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Teorema 2.7. Seja T : X → Y um isomorfismo entre espa¸cos normados. Então, se X for de Banach, então Y também será.

Demonstra¸c˜ao. Seja �yn)_n uma sequˆencia de Cauchy em Y. Temos que mostrar que

�y_n)_nconverge. Seja ent˜aoε>0. Para cadan,y_n =T�x_n), comx_n ∈X. Ent˜ao,

�x_n−x_m�=�T⁻¹�y_n)−T⁻¹�y_m)�=�T⁻¹�y_n−y_m)� ≤ M�y_n−y_m�,

poisT⁻¹ ´e cont´ınua. Logo, como�y_n)_n ´e de Cauchy existen₀ ∈^Ntal que�y_n−y_m��

ε

M, sen,m>_n₀. Assim, sen,m>_n₀, temos que�x_n−x_m� ≤ M�y_n−y_m�� _M^ε

M =^ε. Vemos que�xn)_n é uma sequência de Cauchy em X e portanto converge para algum x ∈X, já queX é completo. Pela continuidade deT,yn =T�xn)→ T�x), o que mostra que�y_n)_nconverge.

Corolário 2.8. Se� · �e � · �₀ são duas normas equivalentes em um espa¸co vetorial X então

�X,� · �^�´e completo se, e somente se,�

X,� · �₀^�o for.

Demonstra¸c˜ao. Novamente,� · �e� · �₀serem equivalentes signiﬁca que a identidade de�

X,� · �^�em�

X,� · �₀^� ´e um isomorﬁsmo. Basta aplicar o teorema anterior.

Observa¸cão 2.9. O teorema anterior nos diz que ‘ser Banach’ é preservado por isomorfismos. Talvez seja interessante observar que em espaços métrico em geral nem sempre ser completo é preservado por homeomorfismos. Por exemplo, Ne {1/n : n ∈ ^N} são homeomorfos pois ambos são enumeráveis e discretos. Porém, N é completo e {1/n : n ∈ ^N}não (convença-se disso). O que acontece é que os isomorfismos são sempre homeomorfismos uniformes, pela proposição 2.1. Estes sempre preservam a completude.

Como uma aplicação do teorema anterior, vamos mostrar que todo espaço de di- mensão finita é de Banach.

Proposi¸cão 2.10. Seja V um espa¸co normado sobreKde dimensão finita p. Então V é isomorfo aK^p. Consequentemente, todo espa¸co normado de dimensão finita é de Banach.

Demonstra¸cão. Tomamos uma base {v₁,v₂, . . . ,v_p} de V. Definimos a aplicação T : K^p → V pondoT�x₁, . . . ,x_p) =x₁v₁+· · ·+x_pv_p. Pela definição de base,T é um isomorfismo algébrico. Pelo exemplo 2.2,Té cont´ınua. Resta mostrar queT⁻¹ é cont´ınua.

S^K^p é um subconjunto limitado e fechado deK^pe portanto compacto. Então a função

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2.2. O espac¸oL�X;Y) 21

cont´ınua x �→ �T�u)�admite m´ınimo Mem S^K^p. Mas comoT ´e injetora, segue que T�u) �= 0, para todo u ∈ SK^p e portanto�T�u)� ≥ M > 0. Assim, se x ∈ ^K^p\ {0},

�T�_�^x_x_�)� ≥ M>0 e portanto�T�x)� ≥ M�x�. Isso mostra queT é um isomorfismo, pela proposição 2.5.

QueV ´e um espac¸o de Banach segue imediatamente do teorema anterior.

Corolário 2.11. Se X é um espa¸co normado, então todo subespa¸co V ⊂X de dimensão finita é fechado.

Demonstra¸cão. SeVtem dimesão finita,V é Banach e portanto fechado pela proposição 1.17.

Corolário 2.12. Toda aplica¸cão linear definida em um espa¸co normado de dimensão finita é cont´ınua.

Demonstra¸cão. Seja T : V → Y, V de dimensão finita. Tomamos S : K^p → V isomorfismo. Então T◦S é cont´ınua pois está definida em K^p (exemplo 2.2). MasT =

�T◦S)◦S⁻¹e portanto ´e cont´ınua.

Corolário 2.13. Quaisquer duas normas definida em um espa¸co vetorial de dimensão finita são equivalentes.

Demonstra¸cão. SeVtem dimensão finita então a aplicação identidade de�

V,� · �^�em

�V,� · �₀^�´e sempre isomorﬁsmo. Logo�

V,� · �^�e�

V,� · �₀^�tˆem a mesma topologia.

2.2 O espa¸co L� X; Y )

SejamX eY espaços normados. Denotaremos porL�X;Y) o espaço vetorial das aplicaç ões linearescont´ınuas(ou limitadas) deXemY. As operaç ões de espaço vetorial emL�X;Y)são as usuais.

Em particular, seY =^KdenotaremosL�X;K)porX^∗. Ou seja,X^∗ é o espaço de todos os funcionais lineares cont´ınuos definidos emX. Note queX^∗ é sempre Banach, poisKé completo. Para evitar confusão, o espaço vetorial dos funcionais lineares emX será chamado de dual algébrico deXe o denotaremos porX^#. Como vimos, seVtem

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dimensão finita, então todo funcional linear é cont´ınuo e portantoV^∗=V^#. Porém, se Xtem dimensão infinitaX^#sempre possui funcionais descont´ınuos. Veja os exerc´ıcios.

Considere a função T ∈ L�X;Y) �→ �T� = sup_x_∈_B_X�T�x)�. Pela proposição 2.1 temos que sup_x_∈_B

X�T�x)� é finito e portanto �T� está bem definida. Se �T� = 0, �T�x)� = 0 para todo x em B_X e portanto T é identicamente nula em B_X. Pela linearidade,T é a aplicação nula. De maneira indêntica ao exemplo 1.3 mostramos que

�^λT� = |^λ|�T�e �T+S� ≤ �T�+�S�. Vemos ent˜ao que�T� = sup_x_∈_B_X�T�x)� ´e uma norma emL�X;Y).

Note que se T ∈ L�X;Y)então pela definição de supremo �T�x)� ≤ �T�, para todo x ∈ BX. Então para todox ∈ X não nulo, �T�x)� = �T�_�^x_x_�)��x� ≤ �T��x�. Portanto�T�x)� ≤ �T��x�, para todo x ∈ X (pois a desigualdade é trivial sex = 0).

Além disso, se M é tal que �T�x)� ≤ M�x�, para todo x ∈ X, então em particular

�T�x)� ≤ M, para todox ∈B_X. Pela definição de supremo�T� ≤ M. Ou seja,�T�é o menorMque satisfaz a Proposição 2.1.

O pr ´oximo teorema ´e sobre a completude deL�X;Y).

Teorema 2.14. O espa¸co normadoL�X;Y)´e um espa¸co de Banach, se Y o for.

Demonstra¸cão. Seja�T_n)_numa sequência de Cauchy emL�X;Y). Então para todoε>_0, existe algumn₀ ∈^Ntal que

n,m>_n₀ ⇒ �Tn−Tm�= sup

x∈BX

��Tn−Tm)�x)��ε. �∗)

Assim, para cadax ∈ X,�Tn�x)−Tm�x)� =��Tn−Tm)�x)� ≤ �Tn−Tm��x�. Então, para cadaxfixado temos por�∗)que a sequência�Tn�x))_numa sequência de Cauchy em Y e portanto converge (pois Y é Banach). Defina T : X → Y pondo T�x) =

nlim→^∞T_n�x). Observe que, sex∈B_X en,m>_n₀

�Tn�x)−T�x)� ≤ �Tn�x)−Tm�x)�+�Tm�x)−T�x)� ≤ �Tn−Tm�+�Tm�x)−T�x)�

� ε+�T_m�x)−T�x)�. Fazendom→∞, obtemos que�T_n�x)−T�x)� ≤ ^εpara qualquerx ∈B_X. Ent˜ao,

sup

x∈BX

�Tn�x)−T�x)� ≤^ε, sen>_n₀ �∗∗)

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2.2. O espac¸oL�X;Y) 23

Devemos mostrar queT∈ L�X;Y). T ´e claramente linear, pois T�x+^λy) = lim

n→^∞T_n�x+^λy) = lim

n→^∞�T_n�x) +^λT_n�y)) = lim

n→^∞T_n�x) +^λ lim

n→^∞T_n�y)

= T�x) +^λT�y), pela continuidade das operac¸ ˜oes.

Mostremos agora queT ´e cont´ınua. Fazendoε =1 em�∗∗), encontramosntal que

�T_n�x)−T�x)��1 para qualquerx ∈B_Xe portanto

�T�x)� ≤ �T�x)−T_n�x)|+�T_n�x)� ≤1+�T_n�, ∀x ∈B_X. Logo,T ´e limitada emB_X.

Finalmente, ´e imediato por�∗∗)que�T_n)_nconverge paraT.

SeYnão é Banach não há motivo deL�X;Y)ser. Daremos exemplo nos exerc´ıcios.

O proximo resultado é sobre extensão de aplicaç ões lineares.

Teorema 2.15. Sejam X um espa¸co normado e Y um espa¸co de Banach. Se M um subespa¸co de X e T ∈ L�M;Y), então T admite uma única extensão cont´ınua T : M→ Y. Tal extensão

´e tamb´em linear e�T�=�T�.

Demonstra¸cão. Seja x ∈ M. Então existe uma sequência �x_n)_n convergindo parax. A sequência�x_n)_n, por ser convergente, é de Cauchy em M. EntãoT�x_n)_ntambém é de Cauchy emYe portanto converge, porYser completo. DefinimosT�x) =limn→^∞T�xn). Note que se �yn)_n é outra sequência que converge para x, então, limn→^∞T�xn)− lim_n→^∞T�y_n) = lim_n→^∞T�x_n−y_n) = T�lim_n→^∞�x_n−y_n)) = 0. Logo, T está bem definida.

É fácil ver que T é linear. Sem ∈M, então tomando a sequência constante igual a m, vemos queT�m) =lim_n→^∞T�m) =T�m). Logo,TestendeT.

Pela densidade deB_MemB_Me pelo modo queTfoi deﬁnida, vemos que sup_x_∈_M�T�x)�= sup_x_∈_M�T�x)�=�T�, o que mostra queT ´e cont´ınua e�T�=�T�.

A unicidade segue do fato de que se duas funç ões cont´ınuas coincidem em um conjunto denso do dom´ınio, então coincidem em todo dom´ınio.

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2.3 Isometrias

Uma aplicação linearT : X→Y é umaimersão isométicase�T�x)�=�x�,∀x ∈X.

As seguintes propriedades s˜ao imediatas.

Proposi¸cão 2.16. Seja T:X →Y uma imersão isomética. Então

�a) T ´e cont´ınua;

�b) T ´e injetora;

�c) T é invers´ıvel sobre sua imagem e T⁻¹ : ImT → X também é uma imersão isométrica e portanto é cont´ınua.

Demonstra¸cão. (a) Basta tomarM=1 na proposição 2.1.

(b) ´E injetora poisT�x) =0⇒ �T�x)�=0 ⇒ �x�=0⇒KerT ={0}. (c) Dadoy ∈ImT, sejax∈Xtal queT�x) = y. Ent˜ao

�T⁻¹�y)�=�T⁻¹�

T�x)^��=�x�=�T�x)�=�y�.

LogoT⁻¹ : ImT→ X é uma imersão isométrica e portanto cont´ınua pelo item (a).

Tendo em vista a proposição anterior, para uma imersão isométrica ser um isomorfismo basta que seja sobrejetora. Chameremos então uma imersão isométrica sobrejetora de isomorfismo isométrico ou simplesmente isometria. Se existir um isomorfismo isométrico entreXeYescreveremosX ≡Y. Quando dois espaços são isométricos, existe uma correspondência entre seus elementos que preserva tanto a estrutura algébrica quanto a norma. Ou seja, podem ser diferentes como conjunto, mas são idênticos como espaços normados.

Veremos um exemplo importante de imersão isométrica quando estudarmos os espaços duais.

2.4 Espa¸co Quociente e Aplica¸c˜ao Quociente

Seja X um espaço vetorial e M um subespaço vetorial de X. Lembramos que o espaço quociente de X por M é o espaço vetorial X/M formado pelas classes de

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2.4. Espaço Quociente e Aplicação Quociente 25

equivalênciasx+M={x+m:m∈ M}, munido das operaç ões�x+M) + �y+M) =

�x+y) +Meλ�x+M) = �^λx) +M.

Note que a classex^�+M é igual a classex+Mse, e somente se, x^�−x ∈ M. De fato, suponha que x^�+M = x+M. Note que x^� = x^�+0 ∈ x^�+M. Então existe m ∈ M tal quex^� = x+m. Logo x^�−x = m ∈ M. Reciprocamente, se x^�−x ∈ M, então dado um elementox+m∈x+Mpodemos escreverx+m=x+x^�−x^�+m= x^�+ �x−x^�+m) ∈ x^�+Me portanto x+M ⊂ x^�+M. A outra inclusão se vê de maneira idêntica.

A partir dai é fácil ver que as operaç ões estão bem definidas. Por exemplo,

x^�+M = x+M ⇒ x^�−x ∈ M ⇒ ^λ�x^�−x) ∈ M ⇒ ^λx^�−^λx ∈ M ⇒ ^λx^�+M = λx+M. A soma se faz de maneira an´aloga.

As propriedades de espaço vetorial são fáceis de serem verificadas usando as de X. Salientamos apenas que o elemento neutro deX/M é 0+M= M.

Agora suponha queXseja normado. Estamos interessados em definir uma norma em X/M. Considere a função �x+M� = inf

m∈M�x+m�. Como M é um subespaço, então inf

m∈M�x+m� = inf

m∈M�x−m� = d�x,M)s˜ao outras formas de se calcular �x+ M�. Temos o seguinte resultado.

Proposi¸cão 2.17. Seja X um espa¸co normado e M um subespa¸co de X. Então a fun¸cão definida em X/M por�x+M�= inf

m∈M�x+m�é uma semi-norma. Se M for um subespa¸co fechado, então� · �será uma norma.

Demonstra¸c˜ao. Sejamx+Mey+Melementos deX/M. Para quaisquerm₁,m₂ ∈ M temos que

��x+M) + �y+M)�=��x+y) +M�= inf

m∈M�x+y+m� ≤ �x+y+ �m₁+m2)�

≤ �x+m₁�+�y+m₂�. Tomando o ´ınﬁmo obtemos��x+M) + �y+M)� ≤ �x+M�+�y+M�.

Considere agoraλ ∈^K\ {0}. Ent˜ao

�^λ�x+M)�=�^λx+M�= inf

m∈M�^λx+m�= inf

m∈M�^λx+^λm�=|^λ| inf

m∈M�x+m�=|^λ|�x+M�. O casoλ=0 é trivial (note que 0∈ M�). Vemos então que� · �é uma semi-norma.

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Suponha agora que Mseja fechado. Então�x+M�=0 significa qued�x,M) =0 e portantox ∈M=M. Entãox+M= M=0.

O proposição anterior nos diz queX/Mé mais interessante quandoMfor fechado, pois neste casoX/Mé normado. Além disso, seXé completo, tal propriedade é repas- sada paraX/M:

Teorema 2.18. Seja X um espa¸co de Banach e M um subespa¸co fechado de X. Ent˜ao X/M ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Pela proposição anterior X/M é um espaço normado. Temos apenas que mostrar que é completo. Usaremos a caracterização vista em 1.21. Seja

∑

n∈^N

x_n+M uma série absolutamente convergente em X/M. Pela definição de ´ınfimo, para cada n ∈ ^N existe yn ∈ xn+M com �yn� � �xn +M�+2⁻ⁿ. Então a série

∑

n∈^N

yn ´e absolulamente convergente no espac¸o de Banach X e portanto converge. Seja y seu limite e considere a classey+M. Como

��y+M)−

k

∑

n=1

�x_n+M)� ≤ �y−

k

∑

n=1

y_n�^k−→^→^∞0, vemos que

∑

n∈^N

x_n+Mconverge paray+M. Mostramos então que toda série absolutamente convergente emX/Mconverge, o que equivale dizer queX/Mé Banach.

Seja Msubespaço fechado do normado X. Aaplica¸cão quocientede X emX/M é definida porπ�x) =x+M. Veremos agora algumas propriedades dessa aplicação.

Teorema 2.19. Se M ´e um subespa¸co fechado de um espa¸co normado X, aplica¸c˜ao quociente π :X →X/M tem as seguinte propriedades:

�a) π´e aplica¸c˜ao linear cont´ınua.

�b) πleva a bola unit´aria aberta de X na de X/M.

�c) π´e uma aplica¸c˜ao aberta.

�d) Kerπ= M

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2.4. Espaço Quociente e Aplicação Quociente 27

Demonstra¸cão. (a) Pela definição das operaç ões emX/M,π é claramente linear. Dado x ∈X, pela definição da norma emX/Mtemos que�^π�x)� =�x+M� ≤ �x�, o que mostra queπ é cont´ınua.

(b) SejamU₁eU₂as bolas unitárias abertas deXeX/Mrespectivamente. Sex ∈ U₁,�^π�x)�=�x+M� ≤ �x��_{1. Logo}π�x) = x+M∈U₂. Seja agorax+M∈U₂. Então �x+M� � 1. Novamente pela definição de ´ınfimo, existe y ∈ x+M tal que

�x+M� ≤ �y��_{1. Ent˜ao}_y ∈U₁eπ�y) = y+M=x+M, e portantoπ�U₁)⊃U₂. (c) Considere um conjunto U �= ^� aberto em X. Seja x+M ∈ ^π�U)arbitr´ario.

Como U é um conjunto aberto, deve existir r > _{0 tal que} _x+rU₁ ⊆ U. Logo, pela linearidade deπe pelo item anterior,π�y) +rπ�U₁) = �x+M) +rU2⊂T�U). Segue então queT�U)é um conjunto aberto.

(d) Claro que Mestá contido no n úcleo deπ. Por outro lado, seπ�x) �=0, então x+M�=0 =Me assim�x+M�=d�x,M)�=0. Logox�∈ M.

Para definirmos uma aplicação emX/Mtemos que tomar certo cuidado para não depender da escolha dos representantes das classes. Veja como fizemos quando definimos as operaç ões emX/M. Neste sentido, o teorema seguinte é útil.

Teorema 2.20. Sejam X e Y espa¸cos normados e T : X → Y linear. Suponha que M seja um subespa¸co fechado de X contido no n úcleo de T. Então existe uma única fun¸cão S: X/M→Y tal que T = S◦^π. Tal fun¸cão S é linear e tem a mesma imagem de T. Se M = Ker T, S será injetora. A aplica¸cão S será cont´ınua se, e somente se, T o for. Neste caso, �S� = �T�. Analogamente, S será aberta se, e somente se, T também for aberta.

Demonstra¸cão. Defina S�x+M) = T�x)para cadax ∈ X. Se x+M = y+M, então x−y∈ M⊂KerTe portantoT�x) =T�y). EntãoSestá bem definida. É imediato que T = S◦^π e portanto está provada a existência. Suponha queS^� : X/M → Yseja tal queT =S^�◦^π. EntãoS^��x+M) =S^��^π�x)) = T�x) = S�x). Isso mostra a unicidade.

Também é imediato que S é linear e que T e S têm a mesma imagem. Suponha então que M=KerT. Então

S�x+M) =0⇒ S�^π�x)) = 0⇒T�x) =0⇒ x∈KerT⇒ x ∈M⇒ x+M=M=0.

LogoS ´e injetora.

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SeU₁eU₂denotam as bolas abertas unit´arias deXeX/Mrespectivamente, ent˜ao pelo Teorema 2.19π�U₁) =U₂e portanto

sup

x+M∈U2

�S�x+M)�= sup

x∈U₁

�S�^π�x))�= sup

x∈U₁

�T�x)�.

Assim,S ser´a cont´ınua se, e somente se, T for cont´ınua e em caso aﬁrmativo,�S� =

�T�.

Finalmente, seSfor aberta,Ttambém será, como composta de aplicaç ões abertas.

Reciprocamente, seT ´e aberta, ent˜ao dado um abertoUemX/Mtemos que S�U) = S�

π�^π⁻¹�U))^�=T�^π⁻¹�U)).

Pelo Teorema 2.19,π é cont´ınua e portantoπ⁻¹�U)é aberto emX/M. comoTé aberta, segue queS�U) é aberto emX. Logo,Stambém é aberta.

Nos exerc´ıcios há algumas aplicaç ões do teorema anterior. Dele também resul- tará oTeorema do Isomorfismopara espaços de Banach, que é uma versão do conhecido teorema hom ônimo para grupos. Mas antes precisaremos do Teorema da Aplicação Aberta, que veremos na parte seguinte.