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Apostila de Física Experimental
INFORMAÇOES GERAIS
Engenharia Mecânica
AUTORES:
ALUNO MONITOR : Pedro Araújo da Costa Ward
PROFESSOR ORIENTADOR: Prof. Asso. Dra. Mirian Enriqueta Bracco Resende – RJ
Conteúdo
1. INTRODUÇÃO ... 2
1.1. Importância e conexão com a engenharia ... 2
1.2. Segurança e comportamentos no laboratório ... 6
2. INSTRUMENTOS E EQUIPAMENTOS ... 6 2.1. Paquímetro ... 8 2.2. Micrômetro ... 9 2.3. Relógio comparador ... 10 2.4. Dinamômetro ... 11 2.5. Dilatômetro linear ... 11 2.6. Calorímetro ... 12
3. MEDIDAS, INCERTEZAS E DESVIOS ... 13
3.1. Erros de medida ... 13
3.2. Algarismos significativos... 13
3.3. Arredondamento e truncamento ... 16
3.4. Operações com algarismos significativos ... 17
3.4.1. Adição e subtração... 17
3.4.2. Multiplicação e divisão ... 18
3.5. Método dos Mínimos quadrados ... 18
3.6. Incerteza nas medidas diretas ... 19
3.7. Incerteza nas medidas indiretas ... 20
3.8. Desvio ... 22
3.9. Desvio percentual ... 22
4. ROTEIROS DAS PRÁTICAS ...Erro! Indicador não definido. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 23
1. INTRODUÇÃO
1.1. Importância e conexão com a engenharia
A engenharia está diretamente ligada com a disciplina de Física experimental. O engenheiro é aquele que deve buscar sempre melhoria, evolução e soluções para situações do cotidiano e problemas maiores. Para que
Página 3 de 41 as ideias surjam é necessário utilizar a metodologia semelhante a aquela utilizada nas aulas de laboratório, descritas a seguir.
O aluno, ao seguir o roteiro, aprende a observar uma situação e interpreta-la (nestes casos um experimento reinterpreta-lacionado à física). Ele deve ser capaz de se fazer as seguintes perguntas, por exemplo:
O que ocorreu?
Quais fenômenos estão envolvidos? Quais grandezas e dados posso coletar? Quais são os erros?
Quais fatores que causam esses erros? O que é possível realizar para melhorar?
Durante os processos, nas aulas experimentais o aluno consegue verificar o conteúdo visto em sala de aula e entender melhor os fenômenos físicos. Além de ganhar mais experiência e familiaridade com os instrumentos e equipamentos de estudo, análise, leitura e medição. Tudo isso aplicando conhecimentos básicos de estatística com os cálculos de incertezas e desvios.
Nesta apostila o conteúdo dos roteiros tem foco principalmente nos temas de momento de inércia, fluidos, movimentos oscilatórios e troca de calor.
Podemos interligar os assuntos físicos citados acima com alguns projetos da engenharia, como é o caso da confecção de um submarino. Neste caso é necessário estudar a pressão suportada pela estrutura do submarino e o princípio de Arquimedes explicando quando o mesmo afunda ou aflora.
O submarino pode controlar a sua flutuação, podendo assim afundar e emergir conforme necessário. Para ajudá-lo em sua movimentação, este conta com tanques de lastro ou balanceamento, que podem, alternadamente, receber água ou ar. Adicionalmente, o submarino possui um conjunto móvel de curtas "asas" chamadas hidroplanos, posicionados de forma a permitir que a água se mova sob a popa, fazendo-a mover-se para cima, deslocando-o, dessa maneira, para baixo. O submarino pode ainda se mover na água usando o leme da cauda para virar a estibordo (direita) ou a bombordo (esquerda); e os hidroplanos para controlar o ângulo de proa à popa.
Figura 1.1 – Esquema de movimentação de um submarino
Outro exemplo que podemos citar é o ensaio mecânico destrutivo de Impacto. Este teste é um método de avaliação da resistência e sensibilidade de materiais. Consiste em submeter um corpo de prova a uma carga praticamente instantânea, provocando a fratura. A energia absorvida no impacto é o parâmetro de avaliação da propriedade.
No ensaio de impacto um corpo de prova com entalhe é quebrado pelo impacto de um pêndulo, que cai de uma distância fixa numa velocidade pré-determinada. O teste mede a energia absorvida pelo corpo de prova fraturado.
Figura 1.2 – Exemplo de teste que necessita o conceito de pêndulos
Por fim, o exemplo mais próximo do dia-a-dia, temos o Ciclo de Otto. É o ciclo termodinâmico que representa o funcionamento de motores de combustão interna, popularmente conhecidos como motores a explosão. O ciclo foi definido e patenteado pelo engenheiro francês Beaus de Rochas, porém, o engenheiro alemão Nikolaus August Otto o implementou, sendo o primeiro a construir um motor com base nesse ciclo.
Página 5 de 41 O ciclo ideal se constitui dos seguintes processos:
a) Admissão isobárica 0-1. b) Compressão adiabática 1-2.
c) Combustão isocórica 2-3, expansão adiabática 3-4. d) Abertura de válvula 4-5, exaustão isobárica 5-0.
Figura 1.4 – Passo a passo de um motor de combustão interna
Podemos observar com essa breve introdução a importância de se realizar experimentos. Adquirimos com eles a prática científica e abrimos a porta para futuras grandes descobertas.
Figura 1.3
Diagrama Pressão x Volume do Ciclo de Otto
1.2. Segurança e comportamentos no laboratório
O aluno deve ter uma postura profissional respeitando todas as normas de segurança estabelecidas ao laboratório e também aprenderá como manusear corretamente instrumentos e equipamentos utilizados, que serão descritos com um pouco mais de detalhes adiante.
Abaixo estão listadas as normas de segurança que deverão seguidas por todos aqueles que forem utilizar o laboratório.
Estar com o traje adequado (sapato fechado e calça comprida);
Não manusear equipamentos sem a devida autorização, sem saber como funciona ou sem conhecer sua periculosidade;
Caso ocorra alguma anormalidade durante o experimento comunicar o professor;
Não brincar, correr, comer, beber ou fumar no laboratório; Não se expor às radiações ultravioleta, infravermelha, etc.
Manter as bancadas sempre limpas e livres de materiais estranhos ao trabalho;
A organização é imprescindível, manter sempre a organização no laboratório.
Em caso de incêndio é importante saber que existem diferentes tipos de extintores, cada um para um tipo de material, citados abaixo:
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2. INSTRUMENTOS E EQUIPAMENTOS
Nesta seção da apostila serão listados alguns instrumentos e equipamentos (com uma breve introdução) que serão utilizados no laboratório e que em muitas situações diferentes estão presentes no dia-a-dia de um engenheiro ou estudante de engenharia. Para começar, abaixo temos uma tabela com alguns instrumentos de medição e suas usuais especificações.
FIGURA NOME TIPO DE
MEDIÇÃO
EXEMPLO DE UNIDADE DE
MEDIDA
Régua Comprimento Milímetros (mm)
Trena Comprimento Milímetros (mm)
Par de esquadros Comprimento, porém seu formato mede os ângulos de 30o, 45o, 60o e 90o. Milímetros (mm) Transferidor ou
goniômetro Ângulos Graus (
o)
Cronômetro Tempo Segundos (s)
Termômetro Temperatura Graus Celsius (oC)
2.1. Paquímetro
O paquímetro é um instrumento utilizado para medições de partes internas, externas e de ressaltos com alguns exemplos do seu uso a seguir:
Figura 2.1 - Exemplos do uso do paquímetro
Página 9 de 41 Temos a seguir um exemplo de como se faz a medição de um paquímetro de menor medida 0,05mm e escala móvel de 20 divisões:
Figura 2.3 - Como fazer a leitura de um paquímetro
1) Observamos que o zero da escala móvel se encontra junto à medida 85
mm da escala fixa.
2) E temos também, que o traço da escala móvel que coincide com algum traço qualquer da escala fixa é o de número 7, ou seja, medida de 0,70
mm na escala móvel.
3) Juntando a medida da escala fixa mais a da escala móvel temos que a figura acima está medindo um objeto de:
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑥𝑎 + 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑚ó𝑣𝑒𝑙 = (85𝑚𝑚) + (0,70𝑚𝑚) = 85,70𝑚𝑚
2.2. Micrômetro
O micrômetro é um instrumento que permite medir diretamente dimensões lineares com uma precisão maior que a do paquímetro.
← Escala fixa ← Escala móvel Figura 2.4: Partes de um micrômetro. Figura 2.5:
Como fazer a leitura em um micrômetro.
2.3. Relógio comparador
O relógio comparador é um instrumento de precisão de grande sensibilidade. Utilizado tanto na verificação de medidas, superfícies planas, concentricidade e paralelismo, como para leituras diretas.
Figura 2.6: Partes de um relógio comparador. Figura 2.7:
Exemplo de medição de um relógio comparador:
Precisão: 0,01 mm
Incerteza = metade da precisão = 0,005mm Medida: 8,53 ± 0,005
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2.4. Dinamômetro
Um dispositivo que pode ser utilizado para medir a força chama-se dinamômetro. Este dispositivo é dotado de: Estrutura; Mola; Gancho em uma das extremidades da mola; Graduação na estrutura.
Em uma das extremidades da mola encontra-se presa a estrutura graduada e em outra extremidade, o gancho, que se localiza fora da estrutura.
O princípio de funcionamento consiste na deformação que a mola sofre em razão da ação de uma força que é proporcional a esta força aplicada, sua intensidade é indicada na graduação existente na estrutura (dinamômetro ideal).
2.5. Dilatômetro linear
O dilatômetro linear é um aparelho que permite medir o coeficiente de dilatação dos metais de modo muito preciso, através de um relógio comparador de precisão de 0,01 mm. Nos quais estão feitos os tubos por onde se faz passar o vapor “d água” produzida pelo gerador de vapor na elevação da temperatura.
Figura 2.8: Esquema básico de um dinamômetro. Figura 2.9: Foto de um dilatômetro linear.
2.6. Calorímetro
A fim de estudar as trocas de calor entre dois ou mais corpos, principalmente quando um deles está no estado líquido, é conveniente ter um recipiente adequado, que permita obter, de forma direta ou indireta, o valor das quantidades de calor trocadas entre os corpos. A esse tipo de recipiente, que facilita o contato térmico entre os corpos e dificulta as trocas de energia térmica com o meio externo, damos o nome de calorímetro.
Sendo assim, geralmente podemos dizer que todo recipiente isolado termicamente do ambiente externo é um calorímetro. O calorímetro pode ser usado para a determinação do calor específico das substâncias. Geralmente despeja-se água no seu interior e, após um curto intervalo de tempo, estando o sistema em equilíbrio térmico, coloca-se um corpo que se quer estudar dentro da água, com temperatura inicial diferente do sistema água-calorímetro. A figura abaixo mostra um exemplo básico de um calorímetro.
Figura 2.10:
Exemplo de um calorímetro.
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3. MEDIDAS, INCERTEZAS E DESVIOS
Em qualquer medida de uma grandeza física há sempre presença de fatores aleatórios que introduzem erros nas medições. Cabe ao pesquisador determinar as principais fontes de erros durante a medição e reduzir ao máximo a sua importância. Por exemplo, ao realizar medição de massa com uma balança, as correntes de ar ou vibrações podem alterar o valor real da massa de um objeto. Contudo, esses dois valores específicos podem ser reduzidos ou praticamente eliminados colocando-se a balança numa mesa aprova de vibrações e protegendo-se a balança em uma caixa de vidro ou mesmo em vácuo quando se desejar alta precisão.
3.1. Erros de medida
Como todo processo de medida possui uma incerteza intrínseca, chamada comumente de erro, nunca saberemos dizer se o valor que foi medido é exatamente o verdadeiro. Para saber avaliar de que ordem é o erro, devemos notar que existem três fontes fundamentais de erro:
- Erros Grosseiros: são cometidos por imperícia do operador, como por exemplo, em erros de leitura ou pelo próprio desconhecimento do método experimental ou do uso dos instrumentos.
- Erros Sistemáticos: são cometidos de forma idêntica durante o experimento, tipicamente causados por uma limitação do método de medida, do uso de fórmulas teóricas aproximadas, má calibração ou até mesmo mal funcionamento dos instrumentos utilizados. Esse tipo de erro torna o valor da medida menos exato, embora em alguns casos possa ser bastante preciso.
- Erros Estatísticos: estes são os erros mais importantes de analisar. São causados por mudanças aleatórias, não controladas, nas condições do processo de medida incluindo o operador, os instrumentos, o ambiente do experimento e o próprio sistema físico. Estes erros são inevitáveis, mas pela sua natureza aleatória é possível definir estratégias experimentais para minimizá-los e para estimar o quanto influenciam na confiabilidade do resultado numérico.
3.2. Algarismos significativos
Suponha que estamos realizando uma medida qualquer de comprimento utilizando uma régua cuja menor divisão é 1 mm. Verificamos, porém que a grandeza que estamos medindo encontra-se entre dois valores da escala da régua milimetrada, entre 14,3cm e 14,4cm. Perguntamos então: que valor devemos considerar para nossa medida, visto que se desprezarmos a fração
contida no intervalo entre os dois valores, aproximando a medida, poderemos estar perdendo importantes informações. A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 14,3cm, terá de ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1 mm. Esta avaliação pode ser feita imaginando o intervalo entre as duas medidas, (14,3cm e 14,4cm) subdivido em partes iguais, de modo que a fração de milímetro acrescentada a 14,3cm poderá ser obtida com razoável aproximação. Na figura podemos avaliar a fração mencionada como sendo 5 décimos de milímetro. Assim, nossa medida poderia ser expressa como 14,35cm.
Observe agora que os algarismos 1, 4 e 3 foram obtidos diretamente da leitura da escala da régua, são os algarismos corretos. Por outro lado, o algarismo 5 foi avaliado, isto é, não temos certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 4 ou 6, por exemplo. Por isto, este algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso ou algarismo incerto.
Devemos notar que não teria sentido tentar avaliar um segundo algarismo, pois ele não seria significante.
Assim, nos resultados de uma medida devem figurar somente algarismos significativos corretos e o primeiro algarismo avaliado. Podemos definir: algarismos significativos de uma medida são seus algarismos corretos (a contar do primeiro diferente de zero) e o seu primeiro algarismo duvidoso.
Figura 1.1:
Medida com uma régua com precisão de milímetro.
Página 15 de 41 O algarismo zero só é significativo se estiver situado à direito de um algarismo significativo. Os exemplos mostrados a seguir, mostram como definir os algarismos significativos em medidas que contenham o número zero.
1) 27,40cm tem quatro algarismos significativos: 2,7,4 e 0;
2) 0,0027cm tem 2 algarismos significativos: 2 e 7, pois o zero encontra-se à esquerda do primeiro algarismo significativo, 2;
3) 27cm tem dois algarismos significativos; 4) 27,0cm tem 3 algarismos significativos.
Note a diferença entre o terceiro e o quarto exemplos: no terceiro, o algarismo 7 é duvidoso, enquanto que no quarto ele é correto, sendo duvidoso o zero.
A este ponto, perguntamos o que ocorre quando realizamos uma mudança de unidades, isto é, como explicitar a medida corretamente, sem mudar o número de algarismos significativos. Para verificar o procedimento correto, tomemos como exemplo uma medida de distância entre dois pontos de 27,5m, que tem três algarismos significativos. Podemos expressar a mesma medida em centímetros como 2750 cm. Poderia então parecer que o número de significativos aumentou de três para quatro. A forma correta de expressar a mesma medida em unidade diferente, mantendo o mesmo número de algarismos significativos é usando potência de 10. Podemos assim escrever a medida como:
27,5 × 102𝑐𝑚 𝑜𝑢 2,75 × 103𝑐𝑚 que continuam contendo três algarismos significativos.
Com respeito ao algarismo avaliado ou duvidoso, sua determinação depende da menor divisão da escala da régua. Esse limiar depende do material com que a régua é feita, das condições de uso, como por exemplo, temperatura, e do processo de fabricação.
Assim, supor a régua exata e avaliar décimos de milímetros (ou frações menores) pode ser irreal. Por outro lado o arredondamento até o milímetro inteiro mais próximo, dentro da exatidão do instrumento, pode resultar em grande perda de informação. Para contornar este problema, podemos avaliar até um terço ou metade da menor divisão. Até mais subdivisões podem ser usadas, dependendo da experiência e sensibilidade do experimentador. Deve-se lembrar que em
qualquer processo de medida experimental, o mais difícil não é medir, mas avaliar a incerteza na medida obtida.
Devemos explicitar o procedimento de avaliação do algarismo duvidoso, quando apresentamos o resultado.
Esta discussão, válida para medidas de distância com uma régua, pode ser estendida para outros instrumentos.
3.3. Arredondamento e truncamento
Quando estamos tratando com um pequeno número de valores que contém mais algarismos significativos que aqueles necessários, devemos estar atentos para efetuar o procedimento correto a fim de expressarmos o resultado final com o número conveniente de algarismos significativos. Tomemos como exemplo, a medida de comprimento de 27,327 m a qual possui cinco algarismos significativos. Vejamos como expressar este resultado com diferentes aproximações.
27,33 m – expresso com quatro algarismos significativos; 27,3 m – expresso com três algarismos significativos.
No primeiro caso, o algarismo da segunda casa decimal, passou de 2 para 3; enquanto que no segundo caso, o valor do algarismo da primeira casa foi mantido.
Se no primeiro caso tivéssemos apenas cortado o algarismo 7, obteríamos 27,32 m e, teríamos realizado um truncamento. Examinando o desvio entre os valores arredondado (27,33 m) e truncado (27,32 m) e o valor original 27,327 m,
27,327 − 27,32 = 0,007𝑚 27,33 − 27,327 = 0,003𝑚
Verificamos que no segundo caso, obtemos um desvio menor. Por este motivo, ao arredondar um número, usa-se a seguinte regra:
O último algarismo de um número, obtido por arredondamento, deve ser acrescido de uma unidade, caso o primeiro algarismo descartado seja igual ou superior a 5; quando o primeiro algarismo descartado for exatamente 5 é indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido.
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3.4. Operações com algarismos significativos 3.4.1. Adição e subtração
No caso em que tratamos com um pequeno número de parcelas, podemos realizar estas operações de duas maneiras: 1o) Verificamos o termo que contém
o menor número de algarismos após a vírgula, então, arredondamos todos os outros termos para que contenham o mesmo número de casas decimais. Este procedimento facilita o trabalho quando, por exemplo, realizamos as operações usando uma máquina de calcular com recursos limitados ou mesmo sem o auxílio da mesma. 2o) Consideramos todos os algarismos presentes em cada
uma das parcelas e realizamos as operações.
Em ambos os casos o resultado final deve ser arredondado de forma a conter tantas casas decimais quanto aquelas da parcela de menor número de casas decimais.
Exemplo: Vamos adicionar 2327,51 ; 0,0568 e 27,689.
1o caso: Realizando os arredondamentos pertinentes e procedendo a
adição.
Resultado final: 2355,27
2ocaso: Realizando as operações levando em conta todos os algarismos
em cada uma das parcelas.
Resultado final: 2355,26
Como podemos verificar, o resultado difere apenas no algarismo duvidoso. Portanto quando o resultado final envolve um pequeno número de operações (adição e/ou subtração) e parcelas, os dois métodos usado no exemplo, não alteram o significado físico obtido. No caso em que os cálculos envolvem um grande número de operações e parcelas e decidimos arredondar cada uma das parcelas antes das operações, devemos usar no mínimo, um
algarismo a mais que aquele contido na parcela com menor número de casas decimais, assegurando assim uma melhor precisão do resultado final.
3.4.2. Multiplicação e divisão
Nestes casos primeiramente, realiza-se a operação de divisão ou multiplicação levando-se em conta todos os algarismos significativos de todas as parcelas. O resultado da operação deve finalmente ser arredondado, de forma a ser expresso com tantos algarismos significativos quantos aqueles da parcela que contém o menor número de algarismos significativos. Veja o exemplo a seguir:
0,045 é a parcela com menor número de algarismos significativos (dois), portanto o resultado final será: 1,2.
3.5. Método dos Mínimos quadrados
Suponha que, em uma experiência, sejam medidos N valores xi e yi. Em
física experimental, é geralmente conveniente determinar uma função teórica que represente, o mais fielmente possível, o conjunto de dados experimentais. Não podemos simplesmente unir os pontos obtidos ou traçar uma curva que “julgamos” ser a que melhor se ajusta aos dados experimentais em questão. Devemos usar uma técnica que independa de critérios pessoais na determinação da função representativa dos dados experimentais.
Uma técnica de ajuste de dados, de uso frequente em física, é o chamado
método dos mínimos quadrados. Esta técnica é aplicável a diversos tipos de
distribuição, seja ela linear, polinomial, exponencial, etc. Em nossa análise, nos restringiremos ao caso mais simples, isto é, suporemos que nossa distribuição seja caracterizada por um comportamento linear.
O método dos mínimos quadrados estabelece que a função linear y’ = mx
Página 19 de 41 minimiza a soma dos quadrados dos desvios ∑𝑁𝑖=1(𝑦1− 𝑦1′)2 entre o valor experimental y e o valor dado pela mesma, y’.
Fórmula para coeficientes angular e linear para o ajuste de uma reta y=mx+b:
𝑚 =𝑀𝑥𝑦 𝑀𝑥𝑥 [1] 𝑏 = 1 𝑁(∑ 𝑦𝑖 − 𝑚 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 ) [2]
Onde os termos da eq. [1] são:
𝑀𝑥𝑦= ∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 . 𝑦𝑖 − 1 𝑁(∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 ) (∑ 𝑦𝑖 𝑁 𝑖=1 ) [3] 𝑀𝑥𝑥 = ∑ 𝑥𝑖2− 1 𝑁(∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 ) 2 𝑁 𝑖=1 [4]
E, além disso, fórmulas para o desvio padrão e erros associados aos coeficientes angular e linear respectivamente:
𝜎2 = 1 𝑁 − 1∑(𝑦𝑖− (𝑚𝑥𝑖 + 𝑏)) 2 [5] 𝑁 𝑖=1 𝜀𝑚 = √ 𝜎 2 𝑀𝑥𝑥 [6] 𝜀𝑏 = √ 𝜎2 𝑁𝑀𝑥𝑥∑ 𝑥𝑖 2 𝑁 𝑖=1 [7]
3.6. Incerteza nas medidas diretas
Não existem resultados experimentais sem incerteza: nunca deixe valores medidos sem a sua respectiva incerteza. Ao se fazer uma série de N medidas, os valores observados xi são utilizados para estimar o valor verdadeiro da grandeza física através do cálculo do valor médio
𝑥̅ = 1 𝑁∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 [8] Figura 1.2:
Exemplo de reta elaborada ao minimizar quadrados.
Enquanto que a melhor estimativa para o erro estatístico é obtida do cálculo do desvio padrão da média
𝜎𝑠𝑡𝑎𝑡 = √ 1 𝑁(𝑁 − 1)∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅) 2 𝑁 𝑖=1 [9]
Os experimentos de maior precisão são aqueles onde o erro estatístico é o menor possível. Contudo, um experimento bastante preciso não necessariamente corresponde a um experimento com muita exatidão: a presença de erros sistemáticos pode afastar todos os valores de xi do valor verdadeiro. Observe que na expressão [9], o erro estatístico depende inversamente do número de medidas N e, portanto, tende a ser reduzido quando N aumenta. Este comportamento pareceria indicar que podemos aumentar a precisão do experimento sem limites, simplesmente repetindo as medidas, o que é falso. Temos sempre que lembrar que a precisão da medida está limitada pela precisão dos próprios instrumentos. Portanto, precisamos também considerar o erro sistemático dos instrumentos
𝜎𝑠𝑦𝑠𝑡 = ∆𝑖𝑛𝑠𝑡 [10]
Finalmente, a incerteza em uma medida direta deve ser sempre calculada pela seguinte fórmula
𝜎 = √𝜎𝑠𝑡𝑎𝑡2 + 𝜎
𝑠𝑦𝑠𝑡2 [11]
3.7. Incerteza nas medidas indiretas
Geralmente, se a medida indireta de uma grandeza física w é calculada em função de medidas diretas de outras grandezas físicas, ou seja,
𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) [12]
Então a incerteza σw também será determinada pelas incertezas das demais grandezas σx, σy, σz,…
Se os erros nas variáveis x, y, z,… são completamente independentes entre si, a incerteza na medida indireta é obtida pela equação
𝜎𝑤 = √(𝜕𝑤 𝜕𝑥) 2 𝜎𝑥2+ (𝜕𝑤 𝜕𝑦) 2 𝜎𝑦2+ (𝜕𝑤 𝜕𝑧) 2 𝜎𝑧2+ ⋯ [13]
Página 21 de 41 𝑉 = 𝜋𝑅2ℎ = 1
4𝜋𝐷
2ℎ [14]
Neste caso, iremos medir diretamente no laboratório a altura h e o diâmetro D da peça cilíndrica. Logo, expressão geral para o cálculo da incerteza na medida do volume é dada por
𝜎𝑉 = √(𝜕𝑉 𝜕ℎ) 2 𝜎ℎ2+ (𝜕𝑉 𝜕𝐷) 2 𝜎𝐷2 [15]
É facilmente verificado que as derivadas parciais são: 𝜕𝑉 𝜕ℎ = 1 4𝜋𝐷 2 𝑒 𝜕𝑉 𝜕𝐷= 1 2𝜋𝐷ℎ [16]
e, portanto, a incerteza final na determinação do volume é dada por
𝜎𝑉 = √( 1 4𝜋𝐷 2) 2 𝜎ℎ2+ (1 2𝜋𝐷ℎ) 2 𝜎𝐷2 [17]
Observe que se estivéssemos interessados no cálculo da densidade volumétrica dessa peça cilíndrica, teríamos que considerar uma outra medida direta, a massa. Para isso, considere a equação da densidade
𝜌 =𝑚
𝑉 [18]
A partir da Eq.[13], verificamos que a incerteza será obtida através da relação
𝜎𝜌 = √(𝜕𝜌 𝜕𝑚) 2 𝜎𝑚2 + (𝜕𝜌 𝜕𝑉) 2 𝜎𝑉2 [19]
Onde σm é o erro sistemático da balança e σV é a incerteza no volume calculada pela Eq. [16]. Resta então determinar as derivadas parciais da densidade em função da massa e do volume,
𝜕𝜌 𝜕𝑚 = 1 𝑉 𝑒 𝜕𝜌 𝜕𝑉 = − 𝑚 𝑉2 [20]
E obter a expressão final para a incerteza no valor da densidade da peça cilíndrica medida 𝜎𝜌 = √𝜎𝑚 2 𝑉2 + 𝑚2𝜎 𝑉2 𝑉4 [21]
3.8. Desvio
O desvio de uma medida é a diferença entre a medida e o valor médio encontrado para a série de medidas.
∆𝑥 = 𝑥𝑛− 𝑥̅ [22]
3.9. Desvio percentual
É o erro relativo expresso em percentual. Este desvio permite comparar a precisão das medidas:
∆𝑥% = 𝑥𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝑥̅
𝑥𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 × 100 [23]
Onde 𝑥𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 é o valor tabelado ou valor mais provável da grandeza medida.
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. http://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6571#.Vumx2ObW7Ks
2. http://www.infoescola.com/fisica
3. http://www.mundovestibular.com.br/articles
4. ‘’A Técnica de Ajustagem’’, Editora Hemus - 2004 - Tecnologia Mecânica.
5. http://www.industriahoje.com.br/o-que-e-um-paquimetro/
6. http://brasilescola.uol.com.br/fisica
7. J.H. Vuolo, “Fundamentos da Teoria de Erros”, São Paulo: Edgard Blucher (1996).
8. Texto adaptado da Apostila “Laboratório de Física Experimental” da Universidade Federal do ABC (UFABC).
9. Texto adaptado da Apostila “Laboratório de Física I” do Instituto de Física de São Carlos da Universidade de São Paulo (IFSC-USP).
10. Texto adaptado da Apostila “Medidas diretas e propagação de erros". Roteiro para as práticas de Física Teórica e Experimental I da Universidade Estadual do Rio de Janeiro (FAT-UERJ).
