Estimação de estados e análise de erros grosseiros aplicadas a sistemas de monitoramento de ampacidade em tempo real

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ESTIMAÇ ÃO DE ESTADOS E AN ÁLISE DE ERROS GROSSEIROS APLICADAS A SISTEMAS DE MONITORAMENTO DE AMPACIDADE EM TEMPO

REAL

Disserta¸cão submetida ao Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia El´ e-trica para a obten¸cão do Grau de Mes-tre em Sistemas de Energia.

Orientador: Prof. Mauro Augusto da Rosa, PhD.

Florian´opolis 2018

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Fernandes, Samir Walker

Estimação de estados e análise de erros

grosseiros aplicadas a sistemas de monitoramento de ampacidade em tempo real / Samir Walker Fernandes ; orientador, Mauro Augusto da Rosa, 2018.

136 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2018. Inclui referências.

1. Engenharia Elétrica. 2. Engenharia Elétrica. 3. Ampacidade em tempo real. 4. Estimação de estados. 5. Sistemas de transmissão. I. da Rosa, Mauro Augusto. II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. III. Título.

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Inicialmente gostaria de agradecer aos meus pais Ademir e Ângela por terem compartilhado mais esse sonho comigo, também pelo apoio e amor incondicionais durante toda a vida. Estendo tais agradecimentos a minha irmã, Samira, por mesmo longe se fazer presente durante essa caminhada.

Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos aos meus orientadores Mauro Augusto da Rosa e Diego Issicaba pela oportuni-dade oferecida, confian¸ca depositada e pelos valiosos conselhos e con-tribui¸c˜oes na execu¸c˜ao deste trabalho.

Aos professores do Departamento de Engenharia Elétrica pela contribui¸cão em minha forma¸cão. Em especial aos professores Mauro Augusto da Rosa, Erlon Cristian Finardi, Antônio José Alves Simões da Costa, Roberto de Souza Salgado e Ildemar Cassana Decker.

Aos amigos que fazem do LabPlan um ótimo ambiente de traba-lho e estudos. Ao Gilseu, Guilherme Fredo e José Octávio, os amigos com os quais compartilhei momentos memoráveis durante este tempo em Florianópolis.

A todos integrantes do projeto TECCON II pelo trabalho desen-volvido e conhecimento compartilhado.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ ogi-co (CNPq) e ao INESC P&D Brasil pelo apoio financeiro fornecido durante a execu¸c˜ao deste trabalho. E a todos que, direta ou indireta-mente, contribu´ıram para a execu¸c˜ao deste trabalho.

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happiness which come only to the man who has found the work that he likes best. (Napoleon Hill)

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Sistemas de monitoramento de ampacidade em tempo real vêm sendo aplicados para a obten¸cão de informa¸cões acerca da real condi¸cão de opera¸cão de linhas de transmissão. Tais sistemas baseiam-se na medi¸cão das condi¸cões ambientais, tra¸cão mecânica, temperatura do condutor, flecha, campo eletromagnético, dentre outras grandezas. Sabe-se que informa¸cões provenientes de sensores são suscet´ıveis a erros devido a própria sensibilidade e precisão destes e a erros grosseiros causados por sensores defeituosos, problemas de calibra¸cão e até mesmo adultera¸cões maliciosas. Desse modo, torna-se necessário o desenvolvimento de uma metodologia capaz de identificar tais inconsistências no conjunto de me-didas considerado. Neste contexto, este trabalho apresenta um modelo proposto para aumentar a confiabilidade e seguran¸ca de sistemas de mo-nitoramento da ampacidade em tempo real através da implementa¸cão de um estimador de estados com capacidade de análise de erros grossei-ros. O processo de estima¸cão de estados é realizado por meio do método da matriz aumentada de Hachtel, enquanto que multiplicadores de La-grange normalizados e testes de colinearidade são utilizados na etapa de análise de erros grosseiros. O modelo pode ser aplicado a sistemas base-ados em medi¸cão de tra¸cão mecânica, corrente elétrica, temperatura do condutor, temperatura ambiente, velocidade e dire¸cão de vento, como o sistema do projeto TECCON II. Nesse projeto foi desenvolvido, a n´ıvel de cabe¸ca de série, um isolador polimérico com classe de isolamento de 230 kV instrumentalizado com sensores de fibra óptica para a medi¸cão de tra¸cão mecânica, corrente elétrica e temperatura do condutor, a ser utilizado juntamente com uma esta¸cão meteorológica. Simula¸cões de dados a serem adquiridos via sistema TECCON II ressaltam a efetivi-dade do modelo proposto bem como o impacto de erros grosseiros na avalia¸cão da ampacidade de uma linha de transmissão real, tanto para as condi¸cões de regime permanente térmico quanto dinâmico.

Palavras-chave: Ampacidade em tempo real. Estima¸c˜ao de estados. Sistemas de transmiss˜ao.

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Dynamic line rating monitoring systems have been applied to gather in-formation about the real condition of transmission lines. These systems perform real-time rating assessments based on information related to weather, mechanical tensile force, conductor temperature, sag, electro-magnetic field and other quantities. It is well-known that measurements are susceptible to errors due to sensor accuracy and sensitivity as well as gross errors caused by defective sensors, calibration problems or even malicious tampering. Therefore, the development of a methodology capable of detecting and identifying such bad data in the mentioned measurement set is of interest. In this context, this work introduces a model to increase reliability and safety of dynamic line rating monito-ring systems through the use of state estimator and bad data analysis algorithms. The state estimation process is carried out by Hachtel’s method, while bad data analysis is performed by normalized Lagrange multipliers and collinearity tests. The proposed model can be applied on weather and tension-based systems, such as the system from TEC-CON II project. In this project, a polymeric insulator with 230 kV insulation class has been developed as a prototype to be utilized with a meteorological station. The insulator is instrumented with optical sen-sors to measure mechanical tensile force, conductor temperature and electrical current. The proposed model has been tested with TECCON II simulated data, such that result analysis highlights the effectiveness of the approach as well as the impact of bad data on a real transmission line ampacity evaluation, both for steady and dynamic thermal state conditions.

Keywords: Real-time ampacity. State estimation. Transmission sys-tems.

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Figura 1 Sistema TECCON II. . . 32

Figura 2 Sensor Sonar XPS-40. . . 42

Figura 3 Lindsey TLM. . . 42

Figura 4 Sagometer. . . 43

Figura 5 Instala¸c˜ao do Ampacimon em linha-viva. . . 44

Figura 6 Sistema Power Donut. . . 45

Figura 7 Sistema CAT-1. . . 46

Figura 8 V˜ao Isolado . . . 51

Figura 9 Press˜ao do vento sobre os condutores . . . 56

Figura 10 Balan¸co t´ermico no condutor . . . 59

Figura 11 DLR . . . 76

Figura 12 Modelo de tra¸c˜ao mecˆanica . . . 79

Figura 13 Fluxograma para o c´alculo da corrente em regime per-manente . . . 80

Figura 14 Fluxograma para o c´alculo da temperatura do condutor em regime permanente . . . 81

Figura 15 Modelo t´ermico . . . 81

Figura 16 Evolu¸c˜ao da temperatura do condutor no tempo . . . 103

Figura 17 Temperatura ambiente e corrente el´etrica no per´ıodo de an´alise. . . 103

Figura 18 Dados de vento no per´ıodo de an´alise. . . 104

Figura 19 Temperatura do condutor no per´ıodo de an´alise. . . 105

Figura 20 DLRs obtidos atrav´es dos modelos na ausˆencia de EG. . 107

Figura 21 DLRs na presen¸ca de EG em T02. . . 110

Figura 22 DLRs na presen¸ca de EG em Ta. . . 113

Figura 23 DLRs na presen¸ca de EG em V . . . 114

Figura 24 DLRs na presen¸ca de EG em wdir. . . 115

Figura 25 DLRs na presen¸ca de EG em I. . . 117

Figura 26 DLRs na presen¸ca de EGs em T02 e V . . . 118

Figura 27 DLRs na presen¸ca de EG em Ta e I. . . 119

Figura 28 DLRs na presen¸ca de EGs em T02, V e I. . . 121

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Tabela 1 Temperatura de opera¸c˜ao de linhas . . . 36

Tabela 2 Cargas máximas recomendadas para cabos na condi¸cão de trabalho de maior dura¸cão sem dispositivos contra vibra¸cão . . . 49

Tabela 3 Valores para Albedo . . . 62

Tabela 4 Coeficientes para cálculo da conveçcão for¸cada em con-dutores encordoados . . . 65

Tabela 5 Coeficientes para cálculo da conveçcão natural . . . 66

Tabela 6 Parˆametros de projeto - TECCON II . . . 98

Tabela 7 Tra¸c˜ao no condutor . . . 99

Tabela 8 Parˆametros de linha - Modelo CIGR ´E . . . 100

Tabela 9 Dados e condi¸c˜oes ambientais utilizados nos modelos em regime permanente . . . 100

Tabela 10 Resultados do c´alculo da ampacidade e balan¸co t´ermico em regime permanente . . . 101

Tabela 11 Resultados do c´alculo da temperatura do condutor e ba-lan¸co t´ermico em regime permanente . . . 101

Tabela 12 Medidas processadas . . . 101

Tabela 13 Resultados do monitoramento da temperatura do con-dutor e balan¸co t´ermico em regime transit´orio . . . 102

Tabela 14 Precis˜oes dos sensores . . . 104

Tabela 15 Resultados para a condi¸c˜ao em regime permanente . . . . 106

Tabela 16 Resultados para a condi¸c˜ao em regime permanente . . . . 109

Tabela 17 Resultados da an´alise de um EG em Tc. . . 111

Tabela 18 Resultados da an´alise de um EG em Ta. . . 112

Tabela 19 Resultados da an´alise de um EG em V . . . 113

Tabela 20 Resultados da an´alise de um EG em wdir. . . 115

Tabela 21 Resultados da an´alise de um EG em I . . . 116

Tabela 22 Resultados da an´alise de EGs em V e T02. . . 117

Tabela 23 Resultados da an´alise de EGs em Ta e I . . . 119

Tabela 24 Resultados da an´alise de EGs em T02, V e I . . . 120

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SEE Sistemas de Energia El´etrica LT Linha de Transmiss˜ao

TBE Transmissora Brasileira de Energia OPGW Optical Ground Wire

SCADA Supervisory Control and Data Acquisition SLR Static line rating

AAR Ambient-adjusted rating DLR Dynamic line rating EG Erros grosseiros

MVAP M´ınimos Valores Absolutos Ponderados MQP M´ınimos Quadrados Ponderados

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α0 Angulo entre as tra¸ˆ cões tangente e horizontal α1 Coeficiente de dilata¸cão térmica linear do condutor

αS Ganho de calor por efeito Corona

¯

x Vetor de informa¸cões a priori sobre os estados β20 Coeficiente térmico do condutor à 20◦C

cos δ Cosseno do ˆangulo entre R1/2_{λ e R}1/2_W S

∆Tc Incremento de temperatura do condutor

δS Declina¸c˜ao do ˆangulo do sol

S Emissividade da superf´ıcie do condutor

S Erros nas medidas e restri¸c˜oes

η Angulo do feixe solar em rela¸ˆ c˜ao ao eixo do condutor ηe Vetor de erros de medi¸c˜ao

γ Densidade do ar

γ0 Angulo do plano da caten´ˆ aria γC Azimute do condutor

γS Azimute do sol

ˆ

u Vari´avel u estimada ˆ

x Vetor de estados estimados ˆ

xd _{Vetor de estados para a condi¸}_c˜_{ao em regime dinˆ}_amico

ˆ

xs Vetor de estados para a condi¸c˜ao em regime permanente λ Vetor de multiplicadores de Lagrange

λt Limiar para detec¸c˜ao de medidas suspeitas

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µf Viscosidade dinˆamica do ar

ρ Massa espec´ıfica do ar σ Desvio padr˜ao

σB Constate de Stefan-Boltzmann

θ Temperatura coincidente

θ1 Temperatura do condutor no estado inicial

θ2 Temperatura do condutor no estado final

ϕ Latitude

A Comprimento do v˜ao ai Comprimento do v˜ao i

aj Comprimento do v˜ao j

Ar Comprimento do v˜ao regulador

Anat Constate de Nusselt para convec¸c˜ao natural

B Constate de Nusselt para conveçcão for¸cada à 90◦ C Constante da equa¸cão da catenária

c Capacidade térmica espec´ıfica do condutor C1 Constante da equa¸cão da catenária

ca Capacidade t´ermica do espec´ıfica do alum´ınio

cs Capacidade t´ermica espec´ıfica do a¸co

c20 Capacidade t´ermica espec´ıfica do condutor `a 20◦C

CXC Fator de corre¸cão para o cálculo da pressão nos cabos

d Diˆametro do condutor

d Diˆametro do fio da camada externa do condutor ds Trecho infinitesimal do condutor

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F Radia¸c˜ao solar refletida pelo solo ou albedo f Flecha do condutor

f0 Flecha do condutor sob a a¸c˜ao de ventos fi Flecha do condutor no v˜ao i

fj Flecha do condutor no v˜ao j

fv Press˜ao do vento uniformemente distribu´ıda ao longo do

con-dutor

Fc−g Fra¸c˜ao da energia irradiada pelo condutor que atinge o solo e

arredores

Fsky Fra¸c˜ao da energia do condutor que vai para a atmosfera

GC Fator de corre¸cão para o cálculo da pressão nos cabos

GL Fator de corre¸cão para o cálculo da pressão nos cabos

Gr N´umero de Grashof

h Vetor de fun¸c˜oes relacionando medi¸c˜oes e estados

h(ˆx)d Vetor com as fun¸cões relacionando as medidas aos estados para a condi¸cão em regime dinâmico

h(ˆx)s _{Vetor com as fun¸}_c˜_{oes relacionando as medidas aos estados para}

a condi¸c˜ao em regime permanente HT _{Matriz Jacobiana de ˆ}_x

HS Altitude solar

hs Distˆancia de seguran¸ca

H(ˆxi)d Matriz Jacobiana para a condi¸c˜ao em regime dinˆamico H(ˆxi₎s _{Matriz Jacobiana para a condi¸}_c˜_{ao em regime dinˆ}_amico

I Corrente el´etrica

IB Intensidade de radia¸c˜ao solar direta

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J Soma ponderada dos res´ıduos de medi¸c˜ao ksk Fator de corre¸c˜ao devido ao efeito pelicular

L Comprimento desenvolvido da curva do condutor L1 Comprimento do condutor no estado inicial

L2 Comprimento do condutor no estado final

m Constate de Nusselt para convec¸c˜ao natural m Massa do condutor por unidade de comprimento ma Massa do alum´ınio por unidade de comprimento

ms Massa do a¸co por unidade de comprimento

n Constate de Nusselt para conveçcão for¸cada à 90◦ N∗ Número do dia do ano

NS N´ıvel de clareza da atmosfera

Nu N´umero de Nusselt

N e N´umeros de estados a serem estimados N m N´umero de medidas processadas

N u0 Constate de Nusselt na ausˆencia de inclina¸c˜ao do condutor

N u90 Número de Nusselt para conveçcão for¸cada à 90◦

N uβ N´umero de Nusselt para condutores inclinados

N unat Número de Nusselt para conveçcão natural

N uwdir Número de Nusselt para conveçcão for¸cada com mudan¸ca na dire¸cão de vento

P Matriz de covariˆancia das informa¸c˜oes a priori p Peso do condutor

Pc Perda de calor por convec¸c˜ao

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Pi Ganho de calor por efeito Corona

PJ Ganho de calor por efeito Joule

PM Ganho de calor por efeito Mang´etico

Pr Perda de calor por radia¸c˜ao

pr Peso resultante do condutor sob a a¸c˜ao de ventos

PS Ganho de calor por radia¸c˜ao solar

Pw Perda de calor por precipita¸c˜ao

Pcabos Press˜ao nos cabos

Pcore Aquecimento no n´ucleo do condutor

Predis Aquecimento nas camadas do condutor devido a redistribui¸c˜ao

da densidade de corrente P r N´umero de Prandtl

q0 Press˜ao dinˆamica no condutor

R Matriz de covariância dos erros de medi¸cão r Vetor de res´ıduos de medi¸cão

Rs Rugosidade da superf´ıcie do condutor

RAC Resistˆencia em corrente alternada

Rdc Resistˆencia em corrente cont´ınua

Re N´umero de Reynolds S Conjunto suspeito

S Area de se¸´ c˜ao transversal do condutor s Comprimento do condutor

T Conjunto confi´avel

T Tra¸c˜ao tangente `a curva do condutor Ta Temperatura ambiente

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T_c Temperatura m´axima do condutor

Tf Temperatura da pel´ıcula de ar em contato com a superf´ıcie do

condutor

Tg Temperatura do solo abaixo do condutor

T01 Tra¸c˜ao horizontal `a curva do condutor no estado inicial

T02 Tra¸c˜ao horizontal `a curva do condutor no estado final

T0 Tra¸c˜ao horizontal `a curva do condutor

Tavg Temperatura m´edia do condutor

Tsky Temperatura da superf´ıcie acima do condutor

V Velocidade de vento

vf Viscosidade cinem´atica do ar

Vp Vento de projeto

W Matriz de covariˆancia dos multiplicadores de Lagrange norma-lizados

WS Informa¸c˜oes suspeitas em W

WT Informa¸c˜oes confi´aveis em W

wdir Dire¸c˜ao de vento

x Comprimento entre o v´ertice e um ponto de abscissa na curva do condutor

x Vetor de estados y Altitude

Z Angulo da hora do solˆ z Vetor de medi¸c˜ao

zd _{Vetor de medidas para a condi¸}_c˜_{ao em regime dinˆ}_amico

zs Vetor de medidas para a condi¸c˜ao em regime permanente Zm Tangente das tra¸c˜oes no condutor

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1 INTRODUÇ ÃO . . . 29 1.1 OBJETIVOS . . . 32 1.1.1 Objetivo geral . . . 32 1.1.2 Objetivos espec´ıficos . . . 33 1.2 ESTRUTURA DA DISSERTAÇ ÃO . . . 33 2 REVIS ÃO DO ESTADO DA ARTE . . . 35 2.1 MONITORAMENTO DA AMPACIDADE EM TEMPO

REAL . . . 35 2.1.1 Ampacidade em tempo real . . . 37 2.1.2 Sistemas DLR . . . 40 2.2 COMPORTAMENTO MEC ÂNICO DO CONDUTOR . . . 47 2.2.1 Equacionamento da flecha do condutor . . . 50 2.2.2 Equacionamento da mudan¸ca de estado . . . 53 2.3 COMPORTAMENTO T ÉRMICO DO CONDUTOR . . . . 57 2.3.1 Equacionamento dos ganhos de calor no condutor . 61 2.3.2 Equacionamento das perdas de calor no condutor . 64 2.4 ESTIMAÇ ÃO DE ESTADOS . . . 67 2.4.1 Método da matriz aumentada de Hachtel . . . 70 2.4.2 Análise de erros grosseiros . . . 72 2.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO . . . 74 3 ABORDAGEM PROPOSTA . . . 75 3.1 AMPACIDADE EM TEMPO REAL . . . 75 3.1.1 Modelo de Tra¸cão Mecânica . . . 77 3.1.2 Modelo Térmico . . . 79 3.2 ESTIMADOR DE ESTADOS DEDICADO . . . 81 3.2.1 Formula¸cão dos Estimadores de Estados . . . 82 3.2.2 Análise de Erros Grosseiros . . . 93 3.3 SÍNTESE DO CAPÍTULO . . . 94 4 SIMULAÇ ÕES E RESULTADOS . . . 97 4.1 VALIDAÇ ÃO DA MODELAGEM . . . 97 4.1.1 Modelo de Tra¸cão Mecânica . . . 97 4.1.2 Modelo Térmico . . . 99 4.2 DESCRIÇ ÃO DO ESTUDO DE CASO . . . 102 4.3 SIMULAÇ ÃO DA OPERAÇ ÃO DA LT NA AUS ÊNCIA

DE EG . . . 105 4.4 SIMULAÇ ÃO DETALHADA DA OPERAÇ ÃO DA LT

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4.6 AN ÁLISE DA OPERAÇ ÃO DA LT NA PRESENÇ A DE EGS EM REGIME DIN ÂMICO . . . 121 4.7 SÍNTESE DO CAPÍTULO . . . 124 5 CONSIDERAÇ ÕES FINAIS . . . 127 5.1 CONCLUS ÕES . . . 127 5.2 SUGEST ÕES DE TRABALHOS FUTUROS . . . 130 REFER ÊNCIAS . . . 131

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1 INTRODUC¸ ˜AO

A necessidade de reduzir as emissões de gases de efeito estufa aliada à crescente demanda de energia elétrica da sociedade atual co-locam uma pressão cada vez maior nos responsáveis pelo planejamento e opera¸cão dos Sistemas de Energia Elétrica (SEE), os quais devem oferecer seguran¸ca e confiabilidade no atendimento da demanda e per-mitir, sempre que poss´ıvel, a integra¸cão das fontes renováveis de energia em larga escala. A expansão na utiliza¸cão das fontes renováveis e sua inser¸cão em larga escala devem desempenhar um papel fundamental na moderniza¸cão dos SEE e na composi¸cão das matrizes energéticas futuras.

Sistemas de transmissão seguros, confiáveis, facilmente reconfi-guráveis e adaptáveis a novas situa¸cões serão necessários a fim de possi-bilitar a alta penetra¸cão de fontes alternativas nos SEE. A transmissão de energia é um dos pilares das economias industrializadas, sendo o fomento de investimento em sua infraestrutura uma das prioridades de uma na¸cão, pois possibilita a utiliza¸cão de novos recursos de gera¸cão alternativa, redu¸cão de custos de energia, melhorias nos ´ındices de confi-abilidade, seguran¸ca e disponibilidade, além de gerar empregos e outros benef´ıcios.

As redes de transmissão são projetadas para operar sob condi¸cões normais e de emergência, sendo limitadas, geralmente, pela ampacidade de suas linhas de transmissão (LT). O termo ampacidade corresponde à máxima corrente que pode fluir pela LT, sob determinada temperatura máxima de opera¸cão do condutor, sem que ocorram danos a este ou vi-ola¸cões de critérios de seguran¸ca estabelecidos em normas técnicas. Os cabos condutores de uma LT aérea estão sujeitos a influência de fato-res ambientais, tais como varia¸cões de temperatura ambiente, radia¸cão solar e a¸cão de ventos atmosféricos (velocidade e dire¸cão), que junta-mente com os fatores elétricos e mecânicos influenciam a ampacidade de uma LT (CHECA, 1988;FUCHS; ALMEIDA, 1992;ANJOS, 2013).

Como apresentado por Wang e Pinter (2014), a ampacidade pode ser especificada segundo três metodologias: static, ambient-adjusted ou dynamic, sendo sua diferen¸ca relacionada a hipóteses de condi¸cões am-bientais de temperatura ambiente, radia¸cão solar, bem como velocidade e dire¸cão de vento. Quando determinada utilizando-se condi¸cões am-bientais fixas, static, a ampacidade é estabelecida sob uma perspectiva conservadora na qual considera-se uma velocidade de vento reduzida e elevados valores de temperatura e radia¸cão solar, o que nem sempre

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condiz com a real condi¸c˜ao de opera¸c˜ao de uma LT.

A utiliza¸cão das metodologias ambient-adjusted e dynamic para o cálculo da ampacidade possibilita uma explora¸cão mais realista da ca-pacidade operativa da LT. A primeira permite o ajuste dos limites ope-racionais de acordo com intervalos de tempo determinados (esta¸cões, por exemplo), enquanto a segunda propicia a utiliza¸cão de dados em tempo real, habilitando o operador a utilizar capacidade adicional, quando poss´ıvel. Sistemas de monitoramento em tempo real de LTs em-pregam a metodologia dynamic com o objetivo de estabelecer a máxima corrente admiss´ıvel para um determinado tempo à frente (20 minutos, por exemplo).

Desenvolvimentos de sistemas de monitoramento e controle da rede vêm sendo utilizados para antecipar, detectar e solucionar proble-mas rapidamente, de modo a minimizar as interrup¸cões de energia e tornar a rede mais segura e confiável. De acordo com Sakagami (2010), desde o in´ıcio da década de 1980 avan¸cos tecnológicos em instrumen-tos de medi¸cão e telecomunica¸cão têm contribu´ıdo para o monitora-mento em tempo real das LTs. Instrumonitora-mentos e metodologias utilizadas para medi¸cão da ampacidade vêm sendo introduzidos no mercado nas ´

ultimas décadas. Esses sistemas, na maioria das vezes, estabelecem a ampacidade em tempo real baseados no monitoramento das condi¸cões ambientais, da distância condutor-solo (clearance, em inglês) e da tem-peratura do condutor, que pode ser obtida de forma direta ou indireta. A utiliza¸cão de sistemas de monitoramento da ampacidade apre-senta vantagens para a opera¸cão em tempo real, pois além de ratificar a condi¸cão de opera¸cão da LT, também possibilita aumentos em seu n´ıvel de carregamento, quando poss´ıvel, sem decréscimo da confiabilidade operacional, como apresentado em (WANG; PINTER, 2014; DOUGLASS et al., 2016).

Todavia, sabe-se que medidas obtidas por meio de sensores são suscet´ıveis a erros devido a própria sensibilidade e precisão destes e a erros grosseiros causados por sensores defeituosos, problemas de ca-libra¸cão e até mesmo adultera¸cões maliciosas, o que pode acarretar em informa¸cões errôneas por parte dos sistemas de monitoramento e até mesmo blackouts devido a desconexão desnecessária de uma LT estratégica para um SEE.

Dessa forma, nesta disserta¸cão vislumbrou-se a possibilidade de monitoramento de variáveis correspondentes a condi¸cões operativas de LTs através do processamento de medidas in loco. Neste contexto, foi proposto o desenvolvimento de uma metodologia composta de um estimador de estados, com análise de erros grosseiros, capaz de

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relaci-onar as condi¸cões mecânicas, elétricas e términas às quais as LTs são submetidas. A metodologia proposta torna o processo de estima¸cão da ampacidade em tempo real mais robusto, seguro e confiável, visto que a presen¸ca de erros grosseiros no conjunto de medidas é detectada e a me-dida espúria é identificada. Finalmente, ressalta-se que tal metodologia será empregada em um módulo de monitoramento em tempo real de LTs no âmbito de um projeto de pesquisa e desenvolvimento chamado TECCON II, Tecnologia de sensores em fibra ótica para supervisão, controle e prote¸cão de sistemas de energia elétrica.

De modo a desenvolver solu¸cões para a área de engenharia de controle e monitoramento de LTs, criou-se o projeto TECCON II, um projeto de pesquisa executado pelo INESC P&D Brasil em colabora¸cão com oito universidades brasileiras, e enquadrado no programa de Pes-quisa e Desenvolvimento da Transmissora Brasileira de Energia (TBE), no qual visa-se aumentar a eficiência, confiabilidade e seguran¸ca de LTs utilizando sistemas sensores baseados em fibra óptica. No projeto TEC-CON II foi realizado o desenvolvimento, a n´ıvel de cabe¸ca de série, de um isolador polimérico com classe de isolamento de 230 kV instrumen-talizado com sensores em fibra óptica para medi¸cão de tra¸cão, corrente e temperatura de condutor, juntamente com um sistema supervisório com interface web.

A Figura 1 ilustra a estrutura da solu¸cão desenvolvida no pro-jeto TECCON II, sendo esta composta por: sensor óptico de tra¸cão mecânica instalado no isolador de ancoragem, transformador óptico de corrente e sensor óptico de temperatura montados no isolador de sus-pensão, painéis solares, esta¸cão meteorológica e terminal de aquisi¸cão de dados instalados em torre, e servidor instalado em uma subesta¸cão próxima. Os dados obtidos in loco são enviados via cabo OPGW (Optical Ground Wire) ao servidor responsável por realizar as devidas análises e disponibilizar informa¸cões relevantes a um sistema SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition).

A aplica¸cão da metodologia proposta neste trabalho ao projeto TECCON II é de grande valia para o monitoramento em tempo real de LTs aéreas, visto que, a partir das informa¸cões obtidas pelo sistema torna-se poss´ıvel a verifica¸cão das condi¸cões reais de opera¸cão da LT. Além disso, através dos processos de estima¸cão de estados e análise de erros grosseiros pode-se determinar se há ou não inconsistências nas medidas adquiridas, sendo que, em caso afirmativo as medidas errôneas são expurgadas e substitu´ıdas por valores estimados. Finalmente, a partir do conjunto de medidas estimadas pode-se, com maior seguran¸ca e confiabilidade, aplicar métodos para a determina¸cão da ampacidade

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Figura 1: Sistema TECCON II.

Ferramenta Computacional Dedicada Estimação de Estados & Análise de Erros Grosseiros Estimação de Estados & Análise de Erros Grosseiros Ampacidade em tempo real IEC 61850 Aquisição de dados Painel Solar Temp Amb Vel. Vento Dir. Vento Tração Corrente Temp. cond Sensor de corrente e temperatura IEC 61850 Aquisição de dados Painel Solar Temp Amb Vel. Vento Dir. Vento Tração Corrente Temp. cond Sensor de corrente e temperatura Torre Subestação S C A D A Sensor de tração OPGW em tempo real. ´

E válido ressaltar que a proposta de concep¸cão de um estima-dor de estados com análise de erros grosseiros capaz de relacionar as condi¸cões elétricas, térmicas e mecânicas às quais uma LT está sub-metida é nova na literatura, o que representa uma oportunidade de contribui¸cão para o meio acadêmico, sem mencionar a possibilidade de sua efetiva utiliza¸cão no setor elétrico como uma interface entre siste-mas de monitoramento de LT e softwares em centros de opera¸cão. Por fim, o desenvolvimento de uma metodologia para monitoramento da ampacidade em tempo real que utiliza dados mais confiáveis torna tal monitoramento mais robusto e seguro.

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 Objetivo geral

O principal objetivo deste trabalho é desenvolver uma metodo-logia a ser aplicada em sistemas de monitoramento da ampacidade em tempo real que coletam informa¸cões sobre as condi¸cões térmicas, elétrica e mecânica de LTs. A proposta inclui o desenvolvimento de um estimador de estados, com capacidade de análise de erros grossei-ros, capaz de processar medidas em tempo real de tra¸cão, corrente, temperatura do condutor e dados ambientais obtidos in loco.

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1.1.2 Objetivos espec´ıficos

Dentre os objetivos espec´ıficos, destacam-se:

• Levantamento dos diversos tipos de sistemas de monitoramento da ampacidade em tempo real atualmente dispon´ıveis e seus fun-damentos de aplica¸c˜ao;

• Desenvolvimento de uma metodologia para estimar os estados de LTs a ser aplicada em sistemas de monitoramento da ampacidade em tempo real baseados na medi¸cão das condi¸cões ambientais, elétrica e mecânica;

• Implementa¸cão de uma rotina para deteçcão e identifica¸cão de erros grosseiros em conjunto de medidas processadas por um sis-tema de monitoramento;

• An´alise de casos de simula¸c˜ao da metodologia proposta para uma LT real.

1.2 ESTRUTURA DA DISSERTAC¸ ˜AO

Além deste cap´ıtulo de introdu¸cão, a presente disserta¸cão está organizada da seguinte maneira:

No Cap´ıtulo 2 apresenta-se a revisão do estado da arte do pro-blema abordado, que inclui o monitoramento da ampacidade em tempo real, os estudos dos comportamentos mecânico e térmico dos conduto-res e fundamentos de estima¸cão de estados. Tal cap´ıtulo tem como foco principal apresentar a fundamenta¸cão teórica utilizada neste trabalho. No Cap´ıtulo 3 descreve-se a metodologia para cálculo da ampa-cidade em tempo real utilizada. Além disso, expõe-se os modelos de tra¸cão mecânica e térmico. Por fim, apresenta-se o modelo proposto que combina os modelos anteriores na concep¸cão do estimador de esta-dos com capacidade de análise de erros grosseiros. Tal cap´ıtulo tem por objetivo a jun¸cão dos tópicos descritos no Cap´ıtulo 2 para a realiza¸cão da formula¸cão e modelagem do problema.

No Cap´ıtulo 4 exibe-se os resultados obtidos com a aplica¸cão das modelagens descritas no Cap´ıtulo 3. Inicialmente, apresenta-se a valida¸cão dos modelos de tra¸cão e térmico. Em seguida, descreve-se um estudo de caso relacionado às condi¸cões do projeto TECCON II. Ademais, demonstra-se o processo de solu¸cão no qual considera-se

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as medidas perfeitas, ou seja, na ausência de erros grosseiros, seguido de um caso detalhado na formula¸cão em regime permanente térmico, para um erro grosseiro simples. Por fim, apresentam-se os resultados obtidos para as formula¸cões em regime permanente térmico e dinâmico para diferentes erros grosseiros no conjunto de medidas. Este cap´ıtulo tem o intuito de exibir as solu¸cões obtidas através da implementa¸cão dos modelos descritos anteriormente.

Finalmente, no Cap´ıtulo 5 apresentam-se as considera¸cões finais do presente trabalho, incluindo conclusões sobre os resultados obtidos e sugestões para trabalhos futuros.

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2 REVIS ˜AO DO ESTADO DA ARTE

O presente cap´ıtulo tem como objetivo a apresenta¸cão da fun-damenta¸cão teórica deste trabalho. Haja vista que a proposta desta disserta¸cão envolve o desenvolvimento de uma metodologia composta por um estimador de estados, com capacidade de análise de erros gros-seiros, que relaciona as caracter´ısticas mecânicas, térmicas e elétricas de LTs para aplica¸cão em sistemas de monitoramento da ampacidade, torna-se necessária a abordagem dos seguintes tópicos: monitoramento da ampacidade em tempo real, comportamento mecânico e térmico do condutor e estima¸cão de estados.

Inicialmente são apresentadas considera¸cões acerca do monitora-mento da ampacidade em tempo real bem como aplica¸cões e exemplos de tais sistemas. Em seguida, é apresentado o estudo do comporta-mento mecânico do condutor e os equacionamentos necessários para a obten¸cão da equa¸cão de mudan¸ca de estado. Além disso, o estudo do comportamento térmico do condutor e considera¸cões sobre os modelos são abordados. Por fim, são apresentados os temas de estima¸cão de estados e análise de erros grosseiros, seguidos da s´ıntese do cap´ıtulo.

2.1 MONITORAMENTO DA AMPACIDADE EM TEMPO REAL

As LTs são caracterizadas pelos seguintes parâmetros: resistência série, que representa as perdas por efeito Joule provocadas pela cor-rente que percorre o condutor; indutância série, que representa o campo magnético criado pela corrente que flui pela linha; condutância em de-riva¸cão, a qual representa as perdas por efeito Joule devido a diferen¸ca de potencial no meio que circunda os condutores; e capacitância em deriva¸cão, que representa o campo elétrico resultante da diferen¸ca de potencial entre os condutores. Ademais, as linhas podem ser classifica-das segundo seus comprimentos, sendo essas curtas (até 80 km), médias (80 - 240 km) e longas (acima de 240 km) (SAADAT, 1999).

A capacidade de uma linha longa em extra-alta-tensão, por exem-plo, é determinada por sua potência natural (SIL, Surge Impedance Loa-ding), limites de queda de tensão ou por limite de estabilidade. Por sua vez, linhas curtas em alta tensão têm suas capacidades estabelecidas, normalmente, por limites térmicos (SAADAT, 1999).

Como mencionado anteriormente, altera¸cões nas condi¸cões am-bientais e corrente influenciam a temperatura de opera¸cão do condutor

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e consequentemente a ampacidade da linha. Eleva¸cões na temperatura de opera¸cão do condutor provocam aumento na magnitude da flecha do condutor, o que diminui a distância de seguran¸ca, que por sua vez também é fator limitante no cálculo da ampacidade (WANG; PINTER, 2014).

A Tabela 1 apresenta as temperaturas de opera¸cão, para as condi¸cões em regime permanente e em emergência, de LTs utilizadas por algumas empresas do setor elétrico brasileiro. Tais temperaturas são normalmente definidas segundo estudos econômicos e baseadas na experiência das empresas (MORAES, 2013).

Tabela 1: Temperatura de opera¸c˜ao de linhas

Empresas Temperatura de projeto (◦C) Temperatura de emergˆencia (◦C) CEMIG 60 75 LIGHT 55 100 ELETRONORTE 70a 90 COPEL 55 75 ELETROSUL 70b ₉₀ CESP 60c ₉₀ FURNAS 60 90 CEEE 50 60 Fonte: Camargo (2009) a_{Usa tamb´}_{em 60}◦

C e 80◦C para temperatura de projeto e 100◦C para emergˆencia;

b_{Usa tamb´}_{em 65}◦ C; c

Usa tamb´em 70◦C.

A ampacidade de uma LT é definida por meio de modelos que consideram o balan¸co térmico do condutor e depende da forma que as condi¸cões ambientais (temperatura ambiente, radia¸cão solar, veloci-dade e dire¸cão de vento) são levadas em considera¸cão. Há três tipos de limites distintos utilizados na determina¸cão da ampacidade: static line rating (SLR), para condi¸cões ambientais especificadas, ambient-adjus-ted rating (AAR), para varia¸cões de condi¸cões por per´ıodos espec´ıficos e dynamic line rating (DLR), para varia¸cões em tempo real (WANG; PINTER, 2014).

A ampacidade de uma LT dada por SLR é definida considerando-se as condi¸cões ambientais como constantes. De acordo com Douglass (1988), Wang e Pinter (2014), as hipóteses utilizadas em sua deter-mina¸cão são conservadoras e baseadas no pior caso de opera¸cão (baixa

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velocidade dos ventos, alta radia¸cão solar e alta temperatura ambi-ente). Além disso, supõe-se que tais condi¸cões ocorrem simultanea-mente. Tendo em vista que o SLR não é atualizado com frequência, a ampacidade real da LT pode ser maior, salvas as exce¸cões, que a estabelecida via metodologia SLR.

Como descrito por Wang e Pinter (2014) em um estudo condu-zido nos Estados Unidos, têm-se condi¸cões em per´ıodos de carga pesada, no final da tarde, por exemplo, em que o sistema pode aparentar estar operando no limite ou próximo a este. No entanto, como nesse horário há ventos em velocidades superiores ao resto do dia, é poss´ıvel que a real ampacidade da LT esteja acima do limite estabelecido pelo SLR. Todavia, também há condi¸cões de opera¸cão nas quais os ventos podem estar com velocidades inferiores às adotadas para os cálculos do SLR (geralmente entre 0,6 - 1,0 m/s), portanto a ampacidade pode estar abaixo do valor estabelecido por SLR.

Em casos onde há diferen¸cas significativas na temperatura am-biente os limites operacionais podem ser ajustados através do uso da metodologia AAR a cada dia, hora ou até com maior frequência. Em Nova Iorque, por exemplo, durante o verão a temperatura ambiente máxima utilizada para cálculos da ampacidade é de 35◦C, porém caso a previsão para o dia seguinte seja de 25◦C os AARs podem ser ajus-tados e a ampacidade aumentada em até 10%. Contudo, esse ajuste pode não ser condizente com a real condi¸cão de opera¸cão, pois admite varia¸cões apenas na temperatura ambiente, desconsiderando altera¸cões de velocidade do vento e de radia¸cão solar (WANG; PINTER, 2014).

2.1.1 Ampacidade em tempo real

A inser¸cão de novas fontes de gera¸cão juntamente com o aumento de cargas faz com que o sistema de transmissão opere com maior incer-teza na demanda, o que pode levar ao sobrecarregamento de suas LTs. Essas sobrecargas podem ser gerenciadas pelos operadores do sistema por meio do pre¸co marginal, implicando assim ao pagamento de taxa devido a sua ocorrência. Por conseguinte, tal fato levanta preocupa¸cões em rela¸cão a confiabilidade e a seguran¸ca, pois altera as margens ope-racionais da LT (WANG; PINTER, 2014).

Tendo em vista questões técnicas e ambientais envolvendo a cons-tru¸cão de novos corredores para LTs aéreas e a necessidade de atender a demanda crescente de energia elétrica, empresas de transmissão de energia têm buscado novas tecnologias e métodos para melhorar a

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uti-liza¸c˜ao de seus ativos, como por exemplo, a an´alise da ampacidade em tempo real.

Segundo Wang e Pinter (2014) e Douglass et al. (2016), sistemas para monitoramento da ampacidade em tempo real podem ser aplicados para mitigar ou até evitar problemas de sobrecarregamento de LTs. Tais sistemas são normalmente descrito na literatura como Dynamic Line Rating System, Dynamic Thermal Rating System ou Real Time Thermal Rating System. Para fins de defini¸cão, nesta disserta¸cão os termos “sistemas DLR” serão utilizados para se referir a sistemas de monitoramento da ampacidade em tempo real. Por meio da aplica¸cão de sistemas DLR torna-se poss´ıvel a utiliza¸cão de dados reais, o que permite ao operador otimizar a utiliza¸cão da rede de transmissão sob condi¸cões reais de opera¸cão (MICHIORRI et al., 2015)

Sistemas DLR utilizam dados climáticos ou esta¸cões meteorol´ ogi-cas para medi¸cão das condi¸cões ambientais (velocidade e dire¸cão de vento, radia¸cão solar e temperatura ambiente). Além disso, podem englobar as seguintes medi¸cões ou combina¸cões destas: da flecha do condutor, de temperatura do condutor, dos esfor¸cos de tra¸cão, vibra¸cão, dentre outras. Como na maioria das vezes esses dados são obtidos in loco, sistemas de comunica¸cão tornam-se necessários para enviá-los até o operador de modo a serem utilizados nos sistemas SCADA/EMS, Energy Managment System.

A utiliza¸cão de dados meteorológicos, bem como sua medi¸cão, deve ser realizada com cautela devido à grande varia¸cão que sofrem ao longo do tra¸cado da LT (especialmente de velocidade e dire¸cão de vento). Abordagens probabil´ısticas podem ser utilizadas para ajustar os dados coletados em determinado local visando aplicá-los à LT como um todo.

Tecnologias para monitoramento da ampacidade em tempo real vêm sendo utilizadas desde os anos 80 e têm mostrado grande poten-cial, principalmente à medida que a rede se moderniza. Segundo Jones (2017), tais tecnologias são uma maneira segura, rápida e econômica para a transi¸cão dos SEE em dire¸cão à integra¸cão das energias re-nováveis devido a sua dependência com as condi¸cões ambientais. Estu-dos realizaEstu-dos em diversas partes do mundo têm mostrado vantagens e desafios na aplica¸cão desses sistemas.

Em Cheung e Wu (2016) é realizado um estudo de caso da uti-liza¸cão de sistema DLR no despacho em tempo real na opera¸cão de mer-cados. Tal estudo é aplicado em um dos maiores sistemas da América do Norte, com mais de 48 mil LTs. No trabalho, a abordagem proposta possibilitou uma maior economia no despacho com menores problemas

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de congestionamento de LTs e de escassez da reserva, e como um todo, apresentou aumento na eficiˆencia do sistema e do mercado sem com-prometer a confiabilidade.

Gubeljak et al. (2016) apresentam um sistema DLR, que além da análise da ampacidade em tempo real também aborda o monitora-mento de gelo nos condutores e dispõe de algoritmos para cálculo da corrente necessária para a elimina¸cão da camada de gelo, e de alarmes em seu sistema de supervisão para indicar essa situa¸cão ao operador, prevenindo assim o rompimento do condutor por excesso de gelo, como já ocorrido anteriormente.

Cong et al. (2016) relatam a utiliza¸cão de DLR em esquemas de prote¸cão da integridade do sistema no monitoramento de grandes áreas, especialmente em esquemas de desconexão de geradores. A utiliza¸cão de DLR em tais sistemas mostrou-se vantajosa em termos econômicos, pois o aumento na capacidade possibilita uma redu¸cão nas desconexões desnecessárias da gera¸cão. Além disso também melhora a seguran¸ca do sistema devido a limita¸cão da propaga¸cão dos distúrbios decorrentes à desconexão, que podem levar a ocorrência de eventos em cascata e até blackouts.

Em Mahmoudian e Yousefi (2012) é apresentada uma proposta para estima¸cão das perdas e cálculo da capacidade de transferência de potência dispon´ıvel, que é basicamente o excedente no sistema de transmissão para atividade comercial futura, considerando-se a análise da ampacidade em tempo real nos sistemas testes IEEE 6 e 30 bar-ras. Nesse estudo os autores mostram que a ampacidade em tempo real, quando levada em considera¸cão, torna os cálculos mais próximos `

a condi¸c˜ao real de opera¸c˜ao.

Khaki et al. (2010) desenvolveram um método de otimiza¸cão ba-seado no uso de DLR e em programa¸cão linear para minimiza¸cão dos custos de gera¸cão e perdas de transmissão. Tal método é aplicado em um sistema teste simplificado contendo dois geradores (termelétrico e hidrelétrico) e uma carga, sendo o sistema termelétrico localizado próximo à carga. De acordo com os resultados apresentados foi poss´ıvel uma maior utiliza¸cão do sistema hidrelétrico, apesar da distância deste `

a carga, pois fora considerada a real capacidade da LT, implicando as-sim a uma menor utiliza¸cão do sistema termelétrico e consequentemente redu¸cões de custos e polui¸cão.

Nota-se que a aplica¸cão de sistemas de monitoramento da am-pacidade em tempo real possibilita uma melhor utiliza¸cão dos ativos de transmissão, pois na maioria dos casos eleva-se a capacidade do sistema, tendo impacto em condi¸cões de sobrecarregamento de LTs,

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contingências, despacho, perdas, prote¸cão, confiabilidade e seguran¸ca. Segundo Douglass et al. (2016), o emprego de sistemas DLR para aumento da ampacidade depende das premissas utilizadas na deter-mina¸cão dessa por SLR. Com a utiliza¸cão de sistemas DLR observa-se ganhos de 5 - 20% na capacidade da LT. Aumentos mais expressivos po-dem ser obtidos por meio da repotencializa¸cão dessas, todavia tal pro-cedimento requer maior investimento e tempo de execu¸cão, enquanto sistemas DLR podem ser portáteis e flex´ıveis. Dessa forma, tornam-se alternativas viáveis a curto prazo para aumento da ampacidade das LTs.

A aplica¸cão de tecnologias de monitoramento da ampacidade em tempo real também apresenta desafios relevantes como na previsão dos limites em tempo real e na intera¸cão do operador com os sistemas. Há uma dependência entre a ampacidade em tempo real e as condi¸cões de vento que, por sua vez, podem sofrer altera¸cões rápidas, o que di-ficulta a previsão para per´ıodos maiores que uma a quatro horas em avan¸co. Também há dificuldade em incorporar, de maneira efetiva, as informa¸cões referentes aos sistemas DLR às já difundidas ferramentas computacionais utilizadas pelos operadores (DOUGLASS et al., 2016).

Além dos desafios supracitados, Michiorri et al. (2015) também aponta limita¸cões nas aplica¸cões envolvendo DLR, tais como: dificul-dade em explorar a capacidificul-dade da rede como um todo, pois diferentes circuitos experimentam diferentes aumentos em suas capacidades ao mesmo tempo; demais limita¸cões da rede, como condi¸cões de falta, va-ria¸cões nos limites de tensão e até estabilidade do sistema em alguns casos; impacto nos esquemas de prote¸cão por sobrecorrente, devido às varia¸cões nas correntes, podendo ser necessário o ajuste e/ou inclusão de novos dispositivos. Também há desafios em rela¸cão aos critérios e procedimentos utilizados para defini¸cão da linha e do vão cr´ıtico para instala¸cão do sistema DLR, além da necessidade em especializar as equipes envolvidas na utiliza¸cão de tais sistemas devido à falta de ex-periência em operar redes com limites variáveis (MICHIORRI et al., 2015).

2.1.2 Sistemas DLR

Estudos acerca da aplica¸cão de sistemas DLR no monitoramento de LTs vêm sendo desenvolvidos por diversos grupos de pesquisadores, principalmente dos Estados Unidos. Há dispon´ıveis no mercado di-versos sistemas DLR, cada qual com suas caracter´ısticas, vantagens, aplica¸cões e limita¸cões. Tais sistemas devem atender aos requisitos

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técnicos contidos em (CIGR É, 2006) no que diz respeito à exatidão, sensibilidade e calibra¸cão para medi¸cões de temperatura ambiente, ra-dia¸cão solar, velocidade e dire¸cão do vento.

Na implementa¸cão de sistemas DLR, além da preocupa¸cão em rela¸cão à fidelidade das medi¸cões das condi¸cões ambientais, deve-se dar importância às especifica¸cões dos parâmetros do condutor e demais particularidades do local em que o sistema será instalado, pois tais dados são essenciais ao modelo que, por sua vez, deve ser confiável e retratar a real condi¸cão de opera¸cão.

Segundo Black e Chisholm (2015), uma importante distin¸cão en-tre os sistemas DLR está na forma que suas medidas representam os estados mecânico e elétrico de uma LT, seja para vários vãos ou para um vão espec´ıfico. Além dos dados climáticos, esses sistemas podem utilizar medidas de temperatura do condutor diretas ou indiretas, sendo estas obtidas a partir de modelos que consideram medi¸cões de tra¸cão mecânica em isoladores de ancoragem, flecha do condutor, distância condutor-solo, campo magnético e frequência de vibra¸cão do condutor, por exemplo.

Alguns exemplos de sistemas DLR empregados são: o Sonar e o TLM (Transmission Line Monitoring ), que avaliam a distância condutor-solo; o Medidor de Catenária (Sagometer) e o Ampacimon, que monitoram a flecha do condutor; o Power Donut, que monitora o ˆ

angulo de inclina¸c˜ao do condutor; e o CAT-1, que monitora a tra¸c˜ao no isolador de ancoragem.

O sistema Sonar mede diretamente a distância condutor-solo através de ondas sonoras. Esse sistema é largamente utilizado para o monitoramento de n´ıvel, mas também pode ser aplicado para deter-mina¸cão da distância condutor-solo. Além disso, possui um sensor de temperatura para eventuais ajustes nas medi¸cões devido às mudan¸cas na velocidade do som (BLACK; CHISHOLM, 2015). A Figura 2 apresenta o sensor SONAR XPS-40 instalado em uma LT da CEMIG.

Nascimento et al. (2001) relatam boa precisão na utiliza¸cão do sistema Sonar no monitoramento da distância condutor-solo de uma LT da CEMIG. Esse sistema, instalado no solo e alimentado por ba-terias recarregáveis por placas solares, realiza as medi¸cões, armazena os dados e utiliza um sistema de comunica¸cão via telefonia móvel para acesso ao banco de dados em tempo real, que é gerenciado pelo sistema computacional desenvolvido para o projeto em questão. Em Chisholm e Barrett (1989) o Sonar também é utilizado na avalia¸cão da distância condutor-solo.

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Figura 2: Sensor Sonar XPS-40.

Fonte: (NASCIMENTO et al., 2001)

O sistema TLM determina diretamente a distância condutor-solo com alta precisão (+ 0, 3% em 36 m) através do uso de sensores LiDAR (Light Detection And Ranging) de deteçcão e localiza¸cão por laser. Além disso, também monitora as vibra¸cões, corrente e tempera-tura do condutor. Esse sistema é instalado diretamente no condutor e alimentado por este (para corrente superior a 100 A) (LINDSEY, 2017b). A Figura 3 apresenta o TLM instalado em uma LT.

Figura 3: Lindsey TLM.

Fonte: (LINDSEY, 2017b)

O TLM apresenta grande vantagem quando instalado em vãos cr´ıticos devido a sua precisão ao determinar a distância condutor-solo, todavia, pode ser instalado em qualquer vão. Esse sistema utiliza co-munica¸cão via satélite e seus dados podem ser enviados diretamente ao servidor Lindsey SMARTLINE na nuvem ou ao servidor f´ısico. Segundo

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o fabricante, o programa computacional SMARTLINE-TCF (Transmis-sion Capacity Forecast ), utilizado em conjunto com o TLM, possibilita previsões da ampacidade para per´ıodos de até 48 horas em avan¸co. Tal feito se dá devido ao uso dos dados obtidos pelo TLM, modelos de aprendizagem do comportamento térmico do condutor e técnicas de previsão (LINDSEY, 2017a).

O Sagometer realiza medi¸cões de varia¸cões horizontais e verticais da catenária do condutor por meio de uma câmera instalada na torre e apontada em dire¸cão a um pequeno alvo reflexivo montado no vão da linha (EPRI, 2001). A Figura 4 apresenta a câmera e o alvo instalado em uma LT.

A última evolu¸cão do Sagometer é o Span Sentry, que além da câmera e do alvo também possui um sensor de corrente instalado no condutor, uma esta¸cão meteorológica para medi¸cões de temperatura ambiente, radia¸cão solar, velocidade e dire¸cão do vento, e sistema de comunica¸cão, que realiza o envio da ampacidade obtida pelo sistema DLR ao SCADA ou celular em tempo real (EDM INTERNATIONAL INC., 2014).

Figura 4: Sagometer.

(a) Cˆamera. (b) Alvo montado na linha.

Fonte: (EDM INTERNATIONAL INC., 2014)

O Ampacimon é instalado no condutor e mede diretamente sua flecha baseando-se no espectro de frequências das vibra¸cões desse. Os dados adquiridos pelos sensores do sistema são enviados via GSM/G-PRS ao seu servidor, onde são realizados os cálculos da flecha e da ampacidade em tempo real segundo os modelos IEEE e CIGR É. Os resultados obtidos pelo sistema podem ser disponibilizados ao

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SCA-DA/EMS e/ou `a interface dedicada na internet.

A Figura 5 apresenta o Ampacimon sendo instalado em uma LT. Nota-se que sua instala¸cão não demanda a desenergiza¸cão da LT e, segundo o fabricante, pode ser realizada em menos de uma hora (AMPACIMON, 2015b). A análise da frequência de vibra¸cão permite o monitoramento da flecha de qualquer vão cr´ıtico sem a necessidade de calibra¸cão e entrada de demais parâmetros. Além disso, o Am-pacimon é alimentado pelo condutor (para corrente superior a 80 A). Em Schell et al. (2012), Cloet e Lilien (2011), AMPACIMON (2015a) são apresentados estudos envolvendo a aplica¸cão desse sistema DLR no monitoramento de LTs.

Figura 5: Instala¸c˜ao do Ampacimon em linha-viva.

Fonte: (AMPACIMON, 2015a)

O Power Donut é instalado diretamente no condutor, onde mede valores RMS de corrente e tensão, potências ativa e reativa, tempera-tura, vibra¸cão e ângulo da flecha do condutor. Além disso, o sistema realiza a aquisi¸cão das formas de onda de corrente e tensão, possui um receptor GPS para sincroniza¸cão dos sinais, capacidade de

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armazena-mento e transmite dados a sua plataforma computacional via rádio ou telefonia móvel em 2G/3G/4G. Pode ser alimentado por uma bateria recarregável de ´ıon l´ıtio, por até quatro horas, ou pelo campo magnético do condutor (para corrente superior a 80 A) (USI, 2017).

Além das medidas supracitadas o sistema também possui uma esta¸cão meteorológica, alimentada por energia solar e bateria, que rea-liza medi¸cões de temperatura ambiente, radia¸cão solar, umidade, pre-cipita¸cão, velocidade e dire¸cão do vento. Tais medidas são direta-mente enviadas à ferramenta computacional, sendo esta responsável pelos cálculos da ampacidade em tempo real baseados no modelo IEEE e em modelos próprios. Estudos relatando a utiliza¸cão do Power Do-nut em sistemas de monitoramento de LTs podem ser encontrados em (NASCIMENTO et al., 2004;ENGELHARDT; BASU, 1996;YIP et al., 2010). A Figura 6 apresenta o Power Donut instalado em uma LT.

Figura 6: Sistema Power Donut.

Fonte: (USI, 2017)

O sistema CAT-1 monitora a tra¸cão mecânica no isolador de ancoragem da LT e relaciona esta à temperatura do condutor que, por sua vez, é utilizada nos cálculos de ampacidade em tempo real realizados na ferramenta computacional do sistema. O CAT-1 precisa ser calibrado para estabelecer a rela¸cão entre tra¸cão e temperatura do condutor. Esse sistema vêm sendo utilizado desde os anos 90, encontra-se em sua quarta gera¸cão e conta com mais de 500 instala¸cões em todo o mundo totalizando em um tempo de uso superior a 2000 anos (BLACK;

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CHISHOLM, 2015;USI, 2016).

Além do monitoramento da tra¸cão, o sistema realiza medi¸cões indiretas dos dados climáticos através de NRS (Net Radiation Sensors), que determinam a temperatura do condutor na ausência de corrente. Os NRS são instalados na torre próximos ao condutor, e como possuem aproximadamente a mesma emissividade, absor¸cão, massa térmica e constante de tempo do condutor são expostos às mesmas condi¸cões ambientais (USI, 2016). A Figura 7 apresenta as células de carga e os NRS do sistema CAT-1 .

Em aplica¸cões de tempo real, os dados obtidos pelo CAT-1 são enviados ao servidor local, CATMaster, localizado em uma subesta¸cão próxima, que disponibiliza esses dados ao sistema SCADA. Ademais, a ampacidade em tempo real é calculada pela plataforma computacional do sistema a partir dos dados deste e de informa¸cões do carregamento advindas da opera¸cão (USI, 2016). Raniga e Rayudu (2000), Nasci-mento et al. (2001), Oncor Electric Delivery Company LLC (2013) re-latam a utiliza¸cão do sistema CAT-1 no monitoramento da ampacidade em tempo real.

Figura 7: Sistema CAT-1.

(a) C´elulas de carga. (b) Net Radiation Sensors.

Fonte: (USI, 2016)

Também são exemplos de sistemas DLR: sistema OTLM (Over-head Transmission Line Monitoring), que é similar e monitora as mes-mas grandezas que o Power Donut (OTLM., 2014); Ritherm que mo-nitora a temperatura do condutor baseando-se em medi¸cões de ondas acústicas na superf´ıcie deste (RIBE GROUP, 2007); LineVision (antigo Promethean), que monitora o campo magnético do condutor e

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dispo-nibiliza informa¸cões acerca da distância condutor-solo, temperatura do condutor, corrente elétrica e ampacidade em tempo real (GENSCAPE, 2017).

Por fim, é válido ressaltar que no sistema proposto no projeto TECCON II monitora-se a tra¸cão mecânica, temperatura do condu-tor e condi¸cões ambientais, como em sistemas supracitados. Todavia, apresenta como diferencial a aplica¸cão do estimador de estados para a análise de inconsistências no conjunto de medidas adquiridas.

2.2 COMPORTAMENTO MEC ˆANICO DO CONDUTOR

As LTs devem ser constru´ıdas para prover um servi¸co de padr˜ao ´

otimo e ao mesmo tempo a um custo m´ınimo do kWh. O projeto mecânico de uma LT consiste, basicamente, na determina¸cão de todos os esfor¸cos atuantes sobre os elementos que a compõem. Altera¸cões nas condi¸cões ambientais exercem influência sob as for¸cas axiais às quais os condutores das LTs são submetidos. Redu¸cões de tempera-tura, por exemplo, provocam aumentos nas tra¸cões, que também são influenciadas pela a¸cão dos ventos sobre os condutores. A incidência de vento provoca uma pressão observada pelo aumento nas tra¸cões. Caso a tra¸cão resultante exceda valores superiores à resistência dos condutores `

a ruptura, esta poder´a acontecer (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Além de ocasionar varia¸cões nas tra¸cões, o vento também induz nos condutores vibra¸cões de frequências elevadas que podem causar sua ruptura por fadiga junto aos seus pontos de fixa¸cão aos isoladores. Enfatiza-se que, quanto maior a taxa de trabalho à tra¸cão dos condu-tores, maiores serão os problemas devido às vibra¸cões. Quanto menor a tra¸cão, maior será a flecha resultante, exigindo então estruturas mais altas ou em maior número (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

As cargas de ruptura podem ser definidas como grandezas es-tat´ısticas por seu valor médio e desvio padrão ou variância. Dessa forma, pode-se associar um risco de falha a cada valor de esfor¸co atuante sobre um elemento estrutural. Esse risco será tanto menor quanto maior for a rela¸cão carga de ruptura/carga máxima atuante. Tal rela¸cão de-termina o fator de seguran¸ca que, por sua vez, está associado ao custo, pois quanto maior o fator de seguran¸ca maiores serão as dimensões dos elementos estruturais (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Como mencionado anteriormente, as solicita¸cões mecânicas dos condutores das LTs, de suas estruturas e funda¸cões dependem das condi¸cões atmosféricas nas regiões do percurso da LT. Dessa forma,

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informa¸cões acerca da rugosidade do terreno atravessado e dados me-teorológicos da região são essenciais para o desenvolvimento do projeto (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Haja vista que a natureza dos dados meteorológicos é aleatória, necessita-se de uma grande quantidade de registros realizados durante vários anos, pois sabe-se que o processamento destes dados deve ser realizado por processos estat´ısticos e probabil´ısticos. As seguintes in-forma¸cões meteorológicas são necessárias para o estabelecimento das hipóteses de cálculo: valores das máximas e m´ınimas temperaturas anuais, temperaturas médias anuais obtidas por taxa horária de amos-tragem e velocidades máximas anuais de ventos (ABNT, 1985; FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Caso não seja poss´ıvel a obten¸cão dos dados meteorológicos ne-cessários ao projeto na região em que este será executado, a NBR 5422 recomenda a utiliza¸cão, com prudência, das cartas meteorológicas con-tidas em seu Anexo A (ABNT, 1985).

Como disposto em Fuchs e Almeida (1992), o projeto mecânico de LTs deve partir das hipóteses de cálculo, nas quais se estabelecem as hipóteses de carga que, por sua vez, determinam os valores das soli-cita¸cões mecânicas normais e anormais nas estruturas ao longo de sua vida útil. Por fim, a partir do conhecimento do comportamento dos ma-teriais empregados e dos tipos de solicita¸cão a que serão submetidos, determina-se as taxas de trabalho adequadas.

No Brasil, pelo menos três hipóteses de carga são comumente utilizadas nos projetos de linha: hipótese de carga de vento máximo, que considera a a¸cão dos ventos de máxima intensidade com a tempera-tura coincidente1_{; hip´}_{otese de carga de maior dura¸}_c˜_{ao, condi¸}_c˜_{ao a uma}

temperatura do ar a seu valor m´edio e sem o efeito de ventos; hip´otese de carga de flecha m´ınima, na qual considera-se a menor temperatura que pode ocorrer, sem o efeito de ventos, normalmente com um per´ıodo de retorno2 de 50 anos (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Para os cabos condutores e para raios a NBR 5422 estabelece que:

Na hipótese de velocidade máxima de vento, o esfor¸co de tra¸cão axial nos cabos não pode ser superior a 50% da carga nominal de ruptura dos mesmos.

1_{Temperatura coincidente ´}_{e dada pela m´}_{edia das temperaturas m´ınimas di´}_arias

coincidentes com a ocorrˆencia da velocidade do vento de projeto.

2_{Per´ıodo de retorno ´}_{e definido como o intervalo m´}_{edio entre ocorrˆ}_encias

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Na condi¸cão de temperatura m´ınima, recomenda-se que o es-for¸co de tra¸cão axial nos cabos não ultrapasse 33% da carga de ruptura dos mesmos.

Na condi¸cão de trabalho de maior dura¸cão, caso não tenham sido adotadas medidas contra os efeitos de vibra¸cão, recomenda-se limitar o esfor¸co nos cabos aos valores máximos indicados na Tabela 2 (ABNT, 1985, p. 10).

Tabela 2: Cargas máximas recomendadas para cabos na condi¸cão de trabalho de maior dura¸cão sem dispositivos contra vibra¸cão

Cabos % da carga de ruptura

A¸co AR 16 A¸co EAR 14 A¸co-cobre 14 A¸co-alum´ınio 14 CA 21 CAA 20 CAL 18 CALA 16 CAA-EF 16 Fonte: ABNT (1985)

Nos projetos de LTs, a distribui¸cão das estruturas ao longo do tra¸cado da linha é realizada de acordo com dados da topografia do ter-reno, das alturas de seguran¸ca estabelecidas pela NBR 5422, das alturas das próprias estruturas e da curva dos cabos sob sua flecha máxima. O valor desta depende do comprimento desenvolvido do cabo suspenso, o qual sofre influência da temperatura e também altera-se devido ao alongamento permanente que irá sofrer com o passar do tempo.

Os alongamentos permanentes dos condutores dependem de suas caracter´ısticas elásticas, sendo essencial para seus cálculos o conheci-mento das dimensões f´ısicas de se¸cão, diâmetro, peso unitário e também de sua carga de ruptura, coeficiente de expansão térmica e módulo de elasticidade. Tais grandezas são geralmente disponibilizadas nos catálogos dos fabricantes.

Quando um cabo é tracionado pela primeira vez há uma mu-dan¸ca em seu módulo de elasticidade devido ao fenômeno de “encrua-mento”, ou seja, de têmpera por trabalho a frio, acompanhado de um aumento em seu comprimento que depende da natureza do material e

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do valor máximo da tra¸cão a qual foi submetido. Além disso, alon-gamentos adicionais não são linearmente dependentes do tempo. Tal fenômeno é chamado de metalurgia por fluência ou creep, que consti-tui a deforma¸cão plástica do material após deforma¸cão inicial (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Após a cria¸cão e utiliza¸cão de sistemas de transmissão em extra-alta-tensão o fenômeno da fluência passou a preocupar mais os proje-tistas devido ao uso de condutores múltiplos por fase. Diversos estudos e trabalhos experimentais foram conduzidos ao longo dos anos de modo a formular leis emp´ıricas que relacionem todos os fatores que afetam a fluência, com destaque para Wood (1972). Por meio das experiências notou-se que a fluência total nas linhas a longo prazo tende a ser igual aos valores calculados para a condi¸cão de temperatura média anual sem vento (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Serão apresentados nas próximas subse¸cões os equacionamentos da flecha e da mudan¸ca de estado do condutor. Tais equacionamentos, nomenclatura e figuras foram baseados em Fuchs e Almeida (1992).

2.2.1 Equacionamento da flecha do condutor

A Figura 8 ilustra um condutor apoiado sobre dois pontos r´ıgidos nivelados PA e PB. Considerando-se que estes est˜ao razoavelmente

afastados entre si e que o condutor é suficientemente flex´ıvel a curva descrita por este, quando suspenso, assemelha-se à catenária (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

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Figura 8: V˜ao Isolado ps T X Y α’ PA _P_B hS f H F O M A

Fonte: Adaptado de (FUCHS; ALMEIDA, 1992).

Os apoios PA e PB, ilustrados na Figura 8, s˜ao separados pela

distância A que é comumente descrita como vão. Tendo em vista que PA e PB estão a uma mesma altura, a curva descrita pelo condutor é

simétrica. Dessa forma, o vértice O está situado na origem do sistema de coordenadas OX - OY equidistante dos apoios. Ademais, a distância OF = f , denominada de flecha do condutor, é de suma importância no projeto mecânico de LTs pois relaciona-se à distância de seguran¸ca condutor-solo ou condutor-objeto, hs, que por sua vez é estabelecida em fun¸cão da classe de tensão da linha, do tipo de terreno atravessado, dentre outros fatores dispostos na norma NBR 5422 (ABNT, 1985).

Para o caso apresentado na Figura 8 pode-se relacionar a equa¸cão de equil´ıbrio para um ponto M da curva, sendo este limitado pelo comprimento do condutor OM = s. Tal seguimento encontra-se em equil´ıbrio sob a a¸cão do peso do condutor ps (kgf) e de for¸cas de tra¸cão T e T0 (kgf), tangente à curva em M e horizontal, respectivamente,

fazendo com a horizontal um ˆangulo α0.

Para um trecho infinitesimal de condutor, ds, a tangente de α0 ´

e dada pela Equa¸cão (2.1), cuja derivada resulta nas Equa¸cões (2.2). Integrando-a surge a Equa¸cão (2.3), cuja constante de integra¸cão é nula pois para x = 0, tem-se que Zm= 0, sendo suas solu¸cões apresentadas

nas Equa¸c˜oes (2.4) e (2.5).

Zm= tan α0= dy dx = ps T0 (2.1)

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dZm= p T0 ds = p T0 p dx2_{+ dy}2 dZm p1 + Z2 m = p T0 dx (2.2) ln(±Zm+ p 1 + Z2 m) = ± p T0 x (2.3) +Zm+ p 1 + Z2 m= e (p/T0)x _(2.4) −Zm+ p 1 + Z2 m= e−(p/T0)x (2.5)

Subtraindo a Equa¸cão (2.5) de (2.4), obtém-se a Equa¸cão (2.6). Zm= e(p/T0)x_{− e}−(p/T0)x 2 = sinh _x T0/p (2.6) Como Zm= dy/dx, por integra¸cão surge a Equa¸cão (2.7), onde

C = −TO/p, pois para x = 0, tem-se y = 0. Realizando a devida

substitui¸cão obtém-se a Equa¸cão (2.8) que é a equa¸cão da catenária. y = T0 p cosh _x T0/p + C (2.7) y =T0 p cosh _x T0/p − 1 (2.8) Designando C1= T0/p a equa¸cão da catenária torna-se

equiva-lente `a Equa¸c˜ao (2.9), cujo termo cosh (x/C1) pode ser desenvolvido

em série como apresentado na Equa¸cão (2.10). y = C1 cosh x C1 − 1 (2.9) cosh x C1 = 1 + x 2 2C2 1 + x 4 4!C4 1 + x 6 6!C6 1 + ... + x n n!Cn 1 (2.10) Em condi¸cões reais o valor de C1é muito grande, de ordem

supe-rior a 1000, o que faz com que essa série seja rapidamente convergente sendo geralmente truncada em seu segundo termo de forma a se obter a Equa¸cão (2.11) que é a equa¸cão de uma parábola.

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y = x 2 2C1 = px 2 2T0 (2.11) A partir das Equa¸cões (2.9) e (2.11), sendo x = A/2 e y = f , pode-se calcular as flechas para a catenária e para a parábola, repre-sentadas nas Equa¸cões (2.12) e (2.13), respectivamente.

f = C1 cosh _A 2C1 − 1 (2.12) f = pA 2 8T0 (2.13) Como apresentado por Fuchs e Almeida (1992), a equa¸cão da pa-rabóla apresenta boa precisão em rela¸cão ao cálculo exato pela equa¸cão da catenária para cálculo da flecha. Para efeito de compara¸cão, em um vão de 1000 m há uma diferen¸ca de 0, 53%, ou seja, um erro perfeita-mente aceitável em problemas práticos.

2.2.2 Equacionamento da mudan¸ca de estado

Para fins de c´alculo mecˆanico, entende-se por “estado”uma condi-¸

c˜ao conhecida de tra¸c˜ao T01 dos condutores a determinada

tempera-tura ambiente. A partir desse estado conhecido pode-se determinar uma tra¸c˜ao T02 a essa mesma temperatura, ou temperaturas

diferen-tes, na presen¸ca de vento com velocidade especificada. De modo geral, determina-se o novo estado a partir das informa¸c˜oes de um estado co-nhecido sendo este de tra¸c˜ao dos condutores da LT com ou sem vento e em diferentes temperaturas.

O comprimento desenvolvido de uma curva pode ser calculado através da Equa¸cão (2.14), sendo o termo dy/dx proveniente da Equa¸cão (2.6). Após realizadas as devidas substitui¸cões e simplifica¸cões, obt´ em-se a Equa¸cão (2.15). L = Z x2 x1 " 1 + dy dx 2#1/2 dx (2.14) L = Z x2 x1 cosh x C1 (2.15) O comprimento entre o vértice e um ponto de abscissa x, sendo

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x = A/2, pode ser obtido por meio da integra¸cão da Equa¸cão (2.15), cujo resultado é apresentado na Equa¸cão (2.16). Já o comprimento inteiro da catenária no vão A pode ser obtido pela Equa¸cão (2.17). Esta, por sua vez, pode ser desenvolvida em série como disposto na Equa¸cão (2.18). Tal série converge rapidamente e pode ser truncada em seu segundo termo, dessa forma obtém-se a Equa¸cão (2.19) que é a equa¸cão do comprimento de uma parábola.

L = C1sinh x C1 (2.16) L = 2C1sinh _A 2C1 (2.17) L = 2C1 " A 2C1 + 1 3! _A 2C1 3 + 1 5! _A 2C1 5 + ... + 1 n! _A 2C1 n# (2.18) L = A + A 3 24C2 1 = A +A 3_p2 24T2 0 (2.19) De modo a expressar o comprimento da parábola em fun¸cão de sua flecha, pode-se realizar a substitui¸cão da Equa¸cão (2.13) na Equa¸cão (2.19) resultando assim em:

L ≈ A + 8f

2

3A (2.20)

A flecha de um LT aérea é resultado de sua expansão termal. Dessa forma, sua magnitude está diretamente relacionada à tempera-tura do condutor. Visto que não há uma rela¸cão puramente baseada em matemática e nas leis da f´ısica para expressar o relacionamento entre a temperatura do condutor e sua flecha será apresentada aqui a equa¸cão de mudan¸ca de estado.

Considerando ainda o sistema da Figura 8, no qual L1representa

o comprimento do condutor a uma temperatura θ1 (◦C), tem-se que,

caso a temperatura assuma um valor θ2 (◦C) o comprimento ir´a variar

conforme disposto na Equa¸c˜ao (2.21), onde α1 (1/◦C) ´e o coeficiente

de dilata¸c˜ao t´ermica linear do condutor.

L2= L1+ L1α1(θ2− θ1) (2.21)