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FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES
NOTAS DE AULAS
A R I T M É T I C A
2 Estamos apresentando um roteiro de estudos com teoria e exercícios para os
alunos da Graduação em Matemática e para os Professores que fazem a Pós – Graduação “Matemática para os Professores dos Ensinos Fundamental e
Médio”, das Faculdades Integradas Campo-Grandenses.
Não temos a pretensão em desenvolver todos os conteúdos e exercícios de aritmética. Isto não é possível.
Esperamos que as notas de aula tenham os objetivos de alinhar os programas e indicar as atividades dos nossos cursos de Teoria dos Números e Aritmética.
3 BASE NUMÉRICA
O nosso sistema de numeração é de base dez. Cada dez unidades temos uma dezena. Cada dez dezenas temos uma centena. Cada dez centenas temos uma milhar.
Uma quantidade pode ser representada por um numeral na base dez, mas pode ser, também, representada em outra base numérica.
COMO ESCREVER, UM NUMERAL NA BASE DECIMAL, NUMA BASE DIFERENTE DA DECIMAL?
Escrever 7 na base 2 (Explicação do Professor através da representação no ábaco e com algoritmo).
No ábaco:
7 ( Na base 10)
Na base dois temos, para cada duas representações, uma representação na ordem seguinte, no ábaco.
Tiramos duas representações e marcamos uma na ordem seguinte; tiramos duas representações e marcamos uma na ordem seguinte; tiramos duas representações e marcamos uma na ordem seguinte.
Queremos deixar claro que estamos falando de ordem para fazermos o entendimento, mas, na realidade, a ordem só existe no sistema decimal. Ordem (de ordenação): u, d, c simples; u, d, c de milhar, etc.
Ficou uma representação na primeira ordem e ficaram três na segunda ordem. Temos:
Agora tiramos duas representações da segunda ordem e marcamos uma na ordem seguinte.
4 No algoritmo:
7 2 1 3 2 1 1
O algoritmo é o que fizemos no ábaco.
Ao dividirmos 7 por 2 estamos encontrando 3 como quociente (representação na segunda ordem do ábaco) e resto 1 ( representação na primeira ordem do ábaco).
Ao dividirmos 3 por 2 estamos encontrando 1 como quociente (representação na terceira ordem do ábaco) e resto 1 (representação na segunda ordem do ábaco).
O numeral na base 2 é ( 1 1 1)2 Leitura : um, um, um, na base 2.
EXERCÍCIOS REALIZADOS COM O PROFESSOR:
a) Escrever 12 na base 3 (Representação no ábaco e com algoritmo).
b) Escrever 145 na base 11 (Através do algoritmo).
5 COMO PASSAR UM NUMERAL PARA BASE DECIMAL, SENDO DADO
NUMA OUTRA BASE NUMÉRICA?
Passar para nosso sistema de numeração decimal.
(1001) 2 (Explicação do Professor através do ábaco e do algoritmo) No ábaco:
1 0 0 1 ( Na base 2)
Uma representação na quarta ordem representa duas representações na terceira ordem.
Cada representação na terceira ordem representa duas representações na segunda ordem.
Cada representação na segunda ordem representa duas representações da primeira ordem.
6 No algoritmo:
1 0 0 1 23 22 21 20
Veja que uma representação na quarta ordem corresponde oito representações na primeira ordem; uma representação na primeira ordem é ela mesma.
Daí:
1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 1 = 9 ( Na base 10). EXERCÍCIOS REALIZADOS COM O PROFESSOR.
Passar para o nosso sistema de numeração. a) ( 102)3 (Através do ábaco e do algoritmo).
b) (1234)5 (Através do algoritmo).
c) Como podemos justificar a adição 768 + 854 no ábaco e no algoritmo.
d) Como podemos justificar a subtração 5040 – 878 no ábaco e no algoritmo.
e) Como podemos justificar a multiplicação 123 x 12 no ábaco e no algoritmo. No ábaco:
7 Ao multiplicarmos três representações por 12 teremos 36 representações. Devemos
deixar 6 e tirar 30, passando três representações para a segunda ordem.
Ao multiplicarmos duas representações por 12 teremos 24 representações. Adicionando as três representações que passamos da ordem anterior, ficamos com 27. Devemos deixar 7 e tirar 20, passando duas representações para a terceira ordem.
Ao multiplicarmos uma representação por 12 teremos 12 representações. Adicionando as duas representações que passamos da ordem anterior, ficamos com 14.
Daí o produto ser 1476. No algoritmo: 123 x12 246 1230 1476 Façamos 123 x ( 10 + 2) = 123 x 10 + 123 x 2 = 1230 + 246 = 1476
f) Como podemos justificar a divisão 2418 por 3 no ábaco e no algoritmo. No ábaco:
Não podemos dividir duas representações por 3. Então vamos passar para a ordem seguinte inferior. Duas representações indicam 20 e teremos 24. Agora podemos dividir 24 por 3 dando 8. Veja que não podemos dividir uma representação por 3. Passamos esta representação para a ordem inferior seguinte. Logo teremos 10 + 8 = 18, que dividido por 3 dá 6. Veja o resultado da divisão: 0 8 0 6 No algoritmo: 24’18 3 0 1’ 18 806 0
Não podemos dividir 2 por 3. Fazemos 24 e dividimos por 3.
8 Não podemos dividir 1 por 3.
Fazemos 18 e dividimos por 3.
EXERCÍCIOS
1) Escreva o número 182 respectivamente nas bases 2, 8 e 12. R: ( 10110110)2; (266)8; (132)12
2) Escrever 2154 na base 12. R: ( 12b6) 12
3) Passe para o nosso sistema de numeração: a) (10121) 3 R: 97
9 4) Escrever (2312)4 para base 6. R: (502)6
5) Efetue:
a) (1034)5 + (243) 5 R: ( 1332) 5
b) ( 54302) 6 – ( 2134) 6 R: ( 52124)6
c) (122)3 x (21)3 R: (11102)3
d) (1211)3 : (21)3 R: (21)3
6) Determine b em cada um dos casos: a) ( 104) b = 8285 R: b = 91
10 7) O cubo de (12) bé ( 1750) b. Qual a base b? R: 8
8) Determinar o valor de x sabendo-se que ( xxxx )3 = 80 R: x = 2
9) Determine a representação de M = ( 14654) b na base b+1. R: 10012
10) Se (A) 10 = (888. . .8) 9 ( k algarismos 8) e (B)10 = (222. . .2)3 ( k algarismos 2), então quanto é
B B A
11 11) Suponha vários números consecutivos escritos em ordem crescente, na base 5, a
partir de (304) 5. Determinar o 360 número dessa sucessão. R: (424)5
12) Determinar o número de algarismos, na base 7, necessários para enumerarmos um livro de 200 páginas. R: 546 algarismos
13) O cubo de ( 12 ) b é ( 1750 ) b. Qual a base de numeração? R: 8
12 15) Determine a base x, sabendo que : (122)x – (63)x = (151)x – (122)x R: x = 7.
16) Provar que (111) bdivide (10101) b.
17) Prove que:
a) em todo sistema de numeração de base b>2 o número ( 121 ) b é , na base 10, um quadrado perfeito.
b) em todo sistema de numeração de base b>3 o número ( 1331) b é , na base 10, um cubo perfeito.
13 NÚMEROS NATURAIS
COMO DETERMINAR A QUANTIDADE DE NÚMEROS NATURAIS DE A ATÉ B.
Os números Naturais : { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
A quantidade de números de a até b (isto inclui a e b) é (b – a) + 1. Fazer um modelo:
Qual a quantidade de números naturais de 7 a 16? (16 – 7) + 1= 10
Veja: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
Quando tiramos 7 números de 16 números (16 - 7) estamos tirando também o número 7. Daí devemos somar o 7, isto é mais um número. Por isso (16 -7) + 1.
Qual a quantidade de números naturais de 35 a 148? (Explicação do Professor)
Qual a quantidade de números naturais entre 35 e 148 (excluindo 35 e 48)? (Explicação do Professor)
QUANTOS NÚMEROS, COM X ALGARISMOS, PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS?
Neste caso devemos usar o princípio fundamental da contagem.
Se um evento é composto por duas possibilidades sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na primeira etapa é m e o número de possibilidades na segunda etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m.n.
1) Quantos números de quatro algarismos podem ser formados no Sistema Decimal? (Explicação do Professor)
14 2) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados no Sistema
Decimal? (Explicação do Professor)
3) Quantos números ímpares de cinco algarismos podemos formar com os algarismos decimais? ( Explicação do professor )
a) podendo repetir algarismos.
b) não podendo repetir algarismos.
4) Quantos números pares de quatro algarismos podemos formar com os algarismos decimais ? ( Explicação do professor )
a) podendo repetir algarismos.
b) não podendo repetir algarismos.
QUANTIDADE DE ALGARISMOS, NA SUCESSÃO DOS NÚMEROS NATURAIS, DE 1 ATÉ N.
Devemos verificar a quantidade de números existentes e observarmos que de 1 a 9 são números escritos com 1 algarismo; de 10 a 99 são números escritos com 2 algarismos; de 100 a 999 são números escritos com 3 algarismos.
Calcular o número de algarismos necessários para escrever os números naturais de 540, inclusive, até 1987, inclusive? (Explicação do Professor)
15 QUANTIDADE DE NÚMEROS ESCRITOS QUANDO SE DÁ O NÚMERO DE
ALGARISMOS EMPREGADOS.
Ao escrevermos de 1 até o número N e igualando ao número de algarismos empregados podemos determinar esse N. Esse N é a quantidade de números escritos.
Quantos números naturais foram escritos a partir de um, se empregarmos 23473 algarismos na sua escrita? (Explicação do Professor)
COMO DETERMINAR O NÚMERO DE VEZES QUE UM ALGARISMO (1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9) APARECE NUMA SUCESSÃO DE NÚMEROS NATURAIS DE 1 ATÉ 10n.
Justificativa da regra: Vamos ver o algarismo 3. Nas unidades:
03; 13; 23; 33; 43; 53; ... Em cada dezena aparece 1 vez. 10 n/10 dá o número de dezenas.
Como em cada dezena aparece uma vez temos 1 x 10 n/10 que resulta 10 n-1. Nas unidades aparece 10 n – 1 vezes.
Nas dezenas:
030; 031;032;033;034;035;036;037;038;039; 130;131,132;133;134;135;136;137;138;139; 230;231;232;233;234;235;236;237;238;239; Em cada centena aparece 10 vezes.
10 n / 100 dá o número de centenas.
Como em cada centena aparece 10 vezes temos 10 x 10 n / 100 que resulta 10 n – 1. Nas dezenas aparece 10 n – 1 vezes.
Nas centenas:
0300;0301;0302;0303;0304;0305;0306;0307;0308;0309...0399; 1300;1301;1302;1303;1304;1305;1306;1307;1308;1309...1399; 2300;2301;2302;2303;2304;2305;2306;2307;2308;2309...2399; Em cada milhar aparece 100 vezes.
10 n/ 1000 dá o número de milhares.
16 Nas centenas aparece 10 n – 1 vezes.
Assim podemos generalizar para as outras unidades.
Podemos concluir que em cada ordem aparece 10 n – 1 vezes.
Então em 10n temos n ordens. Logo o algarismo 3 aparece n . 10 n-1vezes. Se for 1, devemos contar o algarismo 1 da potência 10 n.
Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 10 000? (Explicação do Professor)
COMO DETERMINAR A QUANTIDADE DE UM FATOR PRIMO ESCRITO NUM PRODUTO 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x n.
Justificativa da regra:
Por exemplo, fator 5 no produto 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x . . . x 100.
1 x 2 x 3 x 4 x (5 x 1) ... x (5 x 2) x ... x (5 x 3) ... x (5 x 4) x ... x x (5 x 20).
(5 x 1) x (5 x 2) x (5 x 3) x (5 x 4) x . . . x (5 x 20) = 5 20 x ( 1 x 2 x 3 x 4 x (5 x 1) x 6 x 7 x 8 x 9 x (5 x 2) x 11 x 12 x 13 x 14 x (5 x 3) x 16 x 17 x 18 x 19 x (5 x 4)) = 5 20 (5 x 1 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 4) = 5 20 x 5 4 x ( 1 x 2 x 3 x 4)= 5 24 x 1 x 2 x 3 x 4. Logo temos 24 fatores 5.
Veja que ao dividirmos 100 por 5 encontramos 20. ( 20 fatores).
Ao dividirmos 20 por 5 encontramos 4 ( 4 fatores) ; Como 4 é menor que 5 paramos. Daí 24 fatores.
AO ESCREVER A SÉRIE NATURAL DOS NÚMEROS INTEIROS, SEM SEPARAR OS ALGARISMOS, 123456789101112131415161718192021222324...., COMO DETERMINAR O ALGARISMO QUE OCUPA UMA DETERMINADA POSIÇÃO.
Determinar o algarismo que ocupa o 1275º lugar. De 1 a 9 empregamos 9 x 1 algarismos.
De 10 a 99 empregamos 90 x 2 algarismos. De 1 a 99 empregamos 189 algarismos.
Sobram 1275 – 189 = 1086 algarismos que empregamos para escrever os números de 3 algarismos que serão 1086 : 3 = 362 números.
Assim chegaremos ao número 99 + 362 = 461.
17 EXERCÍCIOS
1) Quantos são os números de 5 algarismos, na sucessão dos números naturais? R: 90 000
2) Quantos números de dois algarismos podem ser formados no Sistema Decimal? R: 90
3) Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados no Sistema Decimal? R: 81
4) Com os algarismos indo – arábicos (0, 1, 2, 3, 4 ,5, 6, 7, 8, 9):
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? R: 900
b) Quantos números de 3 algarismos (distintos) podemos formar? R: 648
5) Quantos números ímpares de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos indo- arábicos. E números ímpares de 4 algarismos distintos? R: 4500 ; 2240
18 6) Quantos números pares de 5 algarismos podemos escrever com os algarismos indo-
arábicos. E números pares de 5 algarismos distintos? R: 45000 ; 13776
7) Qual o total de algarismos usados para numerar as páginas de um livro que tem 2748 páginas? R: 9885
8) Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de cinco algarismos? R: 450 000
9) Calcular o número de algarismos necessários para escrever os números naturais de 328, inclusive, até 1959, inclusive? R: 5856
19 10) Determinar o número de algarismos necessários para escrever os números ímpares
de 5 a 175, inclusive. R: 207
11) Calcular quantos números naturais foram escritos a partir de um, se empregarmos 21729 algarismos na sua escrita? R: 5709
12) Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 100 000? R: 50 000
13) Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 10 000? R : 4 000
20 14) Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números
naturais de 1 a 400? R: 81
15) Quantas vezes o algarismo 5 aparece na sucessão dos naturais de 1 até 2006? R: 601
16) Quantas vezes o algarismo 2 aparece nas dezenas, na sucessão dos naturais de 1 até 2222, inclusive? R: 223
17) Quantas vezes o algarismo 8 ocupa a posição das dezenas na sucessão dos números naturais de 1 a 10 000? R: 1000
18) Determinar o número de vezes que o algarismo 7 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 5966 ? R:1786 vezes
21 19) Escreveram-se os números de 1 a 537. Quantas vezes aparece o algarismo 8? R: 103
20) Ao escrevermos o produto 1x2x3x4x . . .x 100 com fatores primos, qual o número de vezes que o fator primo 7 aparece? R: 16
21) Ao escrevermos o produto 1x2x3x4x . . .x 100 com fatores primos, qual o número de vezes que o fator primo 2 aparece? R: 97
22) Com quantos zeros termina o número 100x99x98x . . . x 3x2x1? R: 24
22 24) Qual o número de algarismos necessários para registrar o resultado da operação 2 101 x 5 97. R: 99
25) Se 10 100 = G, determine quantos algarismos tem o resultado da potência G G. R: 10 102 + 1 algarismos.
26) Qual a soma dos algarismos na base 10 de ( 10n3 3)2, onde n é Natural maior que zero? R: 16
27) Determinar o algarismo que ocupa o 1277º lugar na seqüência 123456789101112.... R : 6
23 28) Escrevendo-se seguidamente os números inteiros sem separar os algarismos, qual o
algarismo que ocupa o 9850 lugar? R: 3.
29) Empregaram-se 1507 algarismos para escrever os números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. Qual o maior deles? R: 550
REGRAS DE DIVISIBILIDADE
O estudo dos critérios de divisibilidade é ensinado, inicialmente, na quinta série do Ensino Fundamental.
Os critérios são realizados de forma mecânica e os alunos podem ser capazes de saber se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.
Conhecendo os critérios de divisibilidade podemos facilitar vários procedimentos matemáticos. Ao escrever uma fração na forma irredutível, podemos saber, de forma imediata, se o numerador e o denominador são divisíveis por um mesmo número.
Ocorre que na quinta série deixamos de apresentar as justificativas dos critérios de divisibilidade, talvez, por acharmos que os alunos não tenham a maturidade para entender. Mas, para nós, Professores, é preciso conhecermos estas justificativas e estarmos preparados para informar aos nossos alunos, quando solicitado.
24 1- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 2
Um número ao ser dividido por 2 deixa resto zero ou 1.
No desenvolvimento do algoritmo da divisão de um número dado por 2, quando estivermos no último algarismo deste número teremos um número que será formado por zero ou um (resto da divisão anterior) e o último algarismo do número dado (que pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Este número, de dois algarismos, vai ser dividido por 2, fazendo-se a última operação do algoritmo. Se for par, o resto desta última operação é zero, indicando que o número dado dividido por dois deixa resto zero, isto é, é divisível por dois. Se for impar, o resto desta última operação é um, indicando que o número dado dividido por dois deixa resto um, isto é, não é divisível por dois.
CRITÉRIO: Um número é divisível por dois quando é par.
RESTO: O número par deixa resto zero e o número ímpar deixa resto 1. 2- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 3
CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 9
Seja o número na milhar abcd, onde a, b, c, d podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( “a” diferente de zero).
Podemos escrever abcd como ax1000 + bx100 + cx10 + d = a(999+1) + b(99 + 1) + c(9+1) + d = 999a + a + 99b + b +9c + c + d = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d.
Para que abcd seja divisível por 3 devemos ter 999a + 99b + 9c + a + b + c + d divisível por 3. Daí: 3 3 9 99 999 3 d c b a 9c 99b 999a a b c a b c d Veja que 3 9 99 999a b c é divisível por 3. Então a + b + c + d deve ser divisível por 3. Para se divisível por 9 devemos ter
9 9 9 99 999 9 d c b a 9c 99b 999a a b c a b c d Veja que 9 9 99 999a b c é divisível por 9. Então a + b + c + d deve ser divisível por 9.
CRITÉRIO: Um número é divisível por três se a soma de seus algarismos for divisível por três.
RESTO: É o resto da divisão, da soma dos algarismos, por 3.
CRITÉRIO: Um número é divisível por nove se a soma de seus algarismos for divisível por nove.
25 3- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 4.
Seja o número na milhar abcd, onde a, b, c, d podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( “a” diferente de zero).
Veja que 100 é divisível por 4. Então:
100 x 10 é divisível por 4, pois 100 é divisível por 4. 100 x 100 é divisível por 4, pois 100 é divisível por 4. 100 x 1000 é divisível por 4, pois 100 é divisível por 4.
100 x 10n é divisível por 4 (n número natural), pois 100 é divisível por 4. Podemos escrever abcd como ax1000 + bx100 + cx10 + d.
Para ser divisível por 4 devemos ter
4 10 4 100 1000 4 d 10c 100b 1000a a b c d
Como 1000a + 100b é divisível por quatro devemos ter 10c + d também divisível por quatro.
Veja que 10c + d representa o número cd.
Este número cd representa o número formado pelos dois últimos algarismos do número abcd. O número cd tem que ser divisível por quatro.
Este procedimento é o mesmo para verificação da divisibilidade por 25. ( Veja que 100 é divisível por 25, levando ao mesmo procedimento de justificação).
Veja que ao termos um número ab00, c=0 e d=0, teremos cx10+d=0x10+0=0. Daí resta ax1000+bx100 que é divisível por 4. Logo, números que terminam com dois zeros são divisíveis por quatro.
CRITÉRIO: Um número é divisível por quatro ou vinte e cinco se o número formado pelos algarismos da dezena e unidade for divisível por quatro ou vinte e cinco (isso inclui os números que terminam em 00).
RESTO: É o resto da divisão, do número formado pelos dois últimos algarismos, por 4.
4- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 5
Um número ao ser dividido por 5 deixa resto 0, 1, 2, 3 ou 4.
Veja que 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 . . ., números múltiplos de 5, são divisíveis por 5. Estes números terminam em 0 ou 5.
No desenvolvimento do algoritmo da divisão de um número dado por 5, quando estivermos no último algarismo deste número dado teremos um número que será formado por 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 (resto da divisão anterior) e o último algarismo do número dado (que pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Este número, de dois algarismos, vai ser dividido por 5, fazendo-se a última operação do algoritmo. Se este número terminar em 0 ou 5, o resto desta última operação é zero, indicando que o número dado dividido por cinco deixa resto zero, isto é, é divisível por cinco. Se for um número que não termina em 0 ou 5, o resto desta última operação não é zero, indicando que o número dado dividido por cinco deixa resto, isto é, não é divisível por cinco.
CRITÉRIO: Um número é divisível por cinco quando termina em zero ou cinco.
26 5- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 6
Veja a seqüência de números múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Veja que os múltiplos de 6 são sempre pares. 6 = (2x3)xk=2x(3k).
Veja que os múltiplos de 6 são divisíveis por 3. 6 = (2x3)xk=3x(2k).
CRITÉRIO: Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3. OUTRO CRITÉRIO: 10 = 6 + 4 = m6 + 4. 100 = 96 + 4 = m6 + 4. 1000 = 996 + 4 = m6 + 4. 10000 = 9996 + 4 = m6 + 4. 10 n = m6 + 4
Seja o número abcde.
a x 104 + b x 103 + c x 102 + d x 10 + e = a ( m6 + 4) + b( m6 + 4 ) + c( m6 + 4 ) + d ( m6 + 4) + e = a m6 + 4a + b m6 + 4b + c m6 + 4c + d m6 + 4d + e = a m6 + b m6 + c m6 + d m6 + 4a + 4b + 4c + 4d + e.
Veja que a m6 + b m6 + c m6 + d m6 é divisível por 6 Então 4a + 4b + 4c + 4d + e tem que ser divisível por 6.
RESTO: É o resto da divisão, do número formado pela soma dos algarismos das unidades com o quádruplo da soma dos demais algarismos por 6.
6- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 7 Veja que: 10 0 = 1 = 0 x 7 = m7 +1 (múltiplo de 7 mais 1). 101 = 10 = 7 + 3 = m7 + 3 ( múltiplo de 7 mais 3). 102 = 100 = 98 + 2 = m7 + 2. 103 = 1000 = 1001 – 1 = m7 – 1. 104 = 10000 = 1 0003 – 3 = m7 - 3. 105 = 1 00000 = 100002 – 2 = m7 – 2. 106 = 1000000 = 999999 + 1= m7 + 1. 107= 106 x 10 = ( m7 + 1) x ( (m7 + 3) = (m7) ( m7) + 3 ( m7) + m7 + 3 = m7 + 3. 108 = 106 x 102 = (m7 + 1 ) x ( m7 + 2)= m7 + 2. 109 = 106 x 10 3 = ( m7 + 1 ) ( m7 – 1 ) = m7 – 1. 10 10 = 106x 104 = (m7 +1)x( m7 – 3 ) = m7 – 3. 1011 = 106x 105 = ( m7 + 1) x ( m7 – 2) = m7 – 2. Vamos escrever abcdefghi como
(abc) x 106 + (def) x 103 + (ghi) x 100 = (abc) x (m7 + 1) + (def) x (m7 – 1) + (ghi) x (m7 +1)=(abc) x m7 + (abc) + (def) x m7 – (def) + (ghi) x m7 + ghi.
Veja que (abc) x m7, (def) x m7 e (ghi) x m7 são divisíveis por 7. Logo devemos verificar se + (abc) – (def) + (ghi) é divisível por sete.
27 CRITÉRIO: Um número é divisível por sete se a soma das classes ímpares
subtraída da soma das classes pares for divisível por sete.
RESTO: É o resto da divisão da soma das classes ímpares subtraída da soma das classes pares por sete.
7- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 8
Seja o número na milhar abcde, onde a, b, c, d, e podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( “a” diferente de zero).
Veja que 1000 é divisível por 8. Então:
1000 x 10 é divisível por 8. 1000 x 100 é divisível por 8. 1000 x 1000 é divisível por 8.
1000 x 10n é divisível por 8 (n número natural).
Podemos escrever abcde como ax10000 + bx1000 + cx100 + dx10 + e. Para ser divisível por 8 devemos ter
8 10 100 8 1000b 10000a c d e
Como 10000a + 1000b é divisível por oito devemos ter 100c + 10d + e também divisível por oito.
Veja que 100c + 10d + e representa o número cde.
Este número cde representa o número formado pelos três últimos algarismos do número abcde. O número cde tem que ser divisível por oito.
Veja que ao termos um número ab000, c = 0, d = 0, e = 0 teremos c 100 + d 10 + e = 0 x 100 + 0 x 10 + 0 = 0. Daí resta a10000 + b1000, que é divisível
por 8. Logo, números que terminam com três zeros são divisíveis por 8.
CRITÉRIO: Um número é divisível por oito se o número formado pelos algarismos da centena, dezena e unidade for divisível por oito (isso inclui os números que terminam em 000).
RESTO: É o resto da divisão, do número formado pelos três últimos algarismos, por oito.
8- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 10
CRITÉRIO: Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é zero.
RESTO: É o algarismos das unidades.
9- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 11 Veja que o número 10 é igual a 11 – 1.
Veja que 100 = (11 – 1) x (11 – 1)= 11x11-11-11+1=11(11-1-1)+1, que é um número múltiplo de 11 mais 1. Escreveremos m11+1.
1000 = (11-1) x (11-1) x (11-1) = (m11+1)x(11-1) = (m11x11-m11+11)-1 = m11-1 10000 = (m11-1)(11-1) = (m11x11-m11-11) +1 = m11+1
10n, n = 1, 3, 5, 7... é um número múltiplo de 11, menos 1. 10n, n = 2, 4, 6, 8... é um número múltiplo de 11, mais 1.
28 Seja o número abcd.
a1000 + b100 + c10 + d = a(m11-1) + b(m11+1) + c(m11-1) + d = = a m11 - a + bm11 + b + cm11 – c + d = am11 + bm11 + cm11 – a + b – c + d.
Veja que am11 + bm11 + cm11 é divisível por 11.
Para que abcd seja divisível por 11 devemos ter, então, - a + b – c + d divisível por 11.
CRITÉRIO: Um número é divisível por 11 se a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem impar menos a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par for divisível por 11.
RESTO: É o resto da divisão da soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem impar menos a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par por 11.
ATENÇÃO: Se o número encontrado for negativo devemos verificar um outro positivo desta classe de restos. Ir somando 11 até encontrarmos um positivo. ( Isso é feito apenas para facilitar, pois podemos dividir -12 por 11 e encontraremos 10 de resto. ( Explicação do Professor).
A PROVA DOS NOVES FORA.
Até a década de 70 as operações aritméticas eram feitas usando os algoritmos aritméticos. A partir dos anos 80 houve mais facilidade para aquisição da máquina de calcular. As contas passaram a ser feitas na máquina de calcular.
Quando fazíamos contas de somar, subtrair, multiplicar ou dividir, sem a máquina de calcular, tínhamos uma maneira de verificar se estavam corretas. Era a prova dos noves fora.
Por exemplo: 4867 + 8895 = 13762. Na parcela 4867 fazemos: 4 + 8 = 12 12 noves fora é 3. 3 + 6 = 9. 9 noves fora é 0. 0 + 7 = 7. Na parcela 8895 fazemos: 8 + 8 = 16. 16 noves fora é 7. 7 + 9 = 16. 16 noves fora é 7. 7 + 5 = 12. 12 noves fora é 3.
Somando 7 ( encontrado na primeira parcela) e 3 ( encontrado na segunda parcela) teremos 10.
10 noves fora é 1. Guardamos 1.
29 Se dividirmos 4867 por 9 vamos achar resto 7.
Se dividirmos 8895 por 9 vamos achar resto 3.
Somando 7 + 3 e dividindo por 9 encontramos resto 1. Encontramos o resto de (4867 + 8895) dividido por 9 sendo 1.
Então em 13762, que é igual a 4867 + 8895, teremos: 1 + 3 + 7 = 11.
11 noves fora é 2. 2 + 6 + 2 = 10. 10 noves fora é 1.
Encontramos o resto da divisão de 13762 por 9 sendo 1. Logo a conta pode está correta.
Porque pode está correta?
Veja que poderíamos ter 13726 no lugar de 13762 e a divisão por 9 dando o mesmo resto 1. Desta forma teríamos uma falsa comprovação.
Poderíamos ter a regra dos três, quatro, cinco, etc. Por exemplo:
Regra do quatro.
4867 dividido por 4 deixa resto 3. 8895 dividido por 4 deixa resto 3. 3+3 dividido por 4 deixa resto 2.
Encontramos o resto da adição ( 4867 + 8895) por 4 igual a 2.
13762 dividido por 4 deixa o mesmo resto 2. Isto nos garante que a conta está correta. Porque a regra dos nove?
Pela praticidade da regra.
Podemos somar algarismo por algarismo de todas as parcelas, sequencialmente, sem precisar truncar o processo ou guardar um valor encontrado numa parcela para depois usá-lo com outro valor encontrado noutra parcela.
Veja:
1425 + 3763 + 8867 = 14055.
Fazemos sequencialmente a regra para todas as parcelas no primeiro membro e depois para o resultado da soma no segundo membro. A seguir comparamos os resultados encontrados.
1 + 4 + 2 + 5 = 12 noves fora igual 3. 3 + 3 + 7 = 13 noves fora igual a 4. 4 + 6 = 10 noves fora igual a 1. 1 + 3 + 8 = 12 noves fora igual a 3. 3 + 8 = 11 noves fora igual a 2. 2 + 6 + 7 = 15 noves fora igual a 6. Vejamos 14055:
1 + 4 + 0 + 5 = 10 noves fora 1. 1 + 5 = 6.
6 no primeiro membro e 6 no segundo membro. Logo a conta pode está correta.
30 EXERCÍCIOS
1- Substituir a letra “a” pelo algarismo de menor valor absoluto de modo que 57a4 seja divisível por 3? R: a = 2
2- Qual o maior número de 5 algarismos diferentes que é múltiplo de 4? R: 98764
3- Qual o menor número de 5 algarismos diferentes que é múltiplo de 4? R: 10236
4- Qual o valor de a para que 314a8 seja divisível por 11. R: a = 3
5- Determinar os valores de “a” e “b” em 43a7b para que ele seja divisível por 4 e 11. R: 43472 e 43076
6- Determinar o menor algarismo k para que 4200k144132 seja divisível por 6? R: 3
31 7- Qual o menor valor de n para que o número 22222222n, composto de 9
algarismos, seja divisível por 3? R: 2
8- Qual o resto da divisão de 929181947682 por 11. R: 10
9- Determinar o menor número natural que devemos somar e também, o menor número que devemos subtrair, para que 1234 seja divisível por 5 e 9, simultaneamente. R: 26 e 19
10- Determine os restos das divisões por 2, 6 e 11 da soma : 32107 + 40353 + 51249 sem efetuar a adição.
R: 1; 1; 1
11- Achar o resto da divisão por 9 da expressão 275 x 3834 + 170 x 31509 x 1746 . R: 2
32
13- Determinar o resto da divisão por 4 do número 157331959 . R: um
14- Determinar o resto da divisão por 11 do número 4735231. R: 5
NÚMEROS PRIMOS
A PROVA QUE EXISTEM INFINITOS NÚMEROS PRIMOS.
Suponha por absurdo, que existem n (uma quantidade finita) números primos, denotados por p1, p2, ... , pn. Considere o número x = p1p2 ... pn + 1. O número x não é divisível por nenhum dos números p1, p2, ... , pn (o resto da divisão é sempre 1). Logo, x é primo. Isto contradiz a nossa hipótese inicial de que existem apenas n números primos. Então nossa hipótese inicial está errada e portanto existem infinitos números primos.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Todo número que não é primo é um produto de fatores primos.(A fatoração é única)
Seja n um número não primo.
Ele admite um divisor primo. (Todo número não primo admite um divisor primo diferente da unidade.)
Seja a este divisor e seja q o quociente exato da divisão de n por a. Podemos então escrever n = a.q.
Se q é primo está demonstrado o teorema; em caso contrário, q admite um divisor primo a’. Representando por q’ o quociente da divisão de q por a’, podemos escrever q = a’.q’ e, portanto, n = a.q = a.a.q’. Se q’ é primo, está demonstrado o teorema.
Verificamos, então, que enquanto não for achado um quociente primo poderemos prosseguir analogamente, obtendo o quocientes qii, q iii, q iv, ... cada vez menores, e, portanto em número limitado. O último desses quocientes será , então, necessariamente primo, o que demonstra o teorema.
VERIFICAÇÃO SE UM NÚMERO É PRIMO Supor que n>1 seja um número composto.
Então n = a.b, 1<a<n e 1<b<n. Supor a b.
33 a2 ab = n
a2 n a n
a tem pelo menos um divisor primo p.
Como p divide a e n = ab, então p divide n. Se p divide a então p a. Se p a n. Então p n.
Se n é composto então n possui um divisor primo p n ou p2 n . Caso contrário n é primo.
Verificar se 523 e 377 são primos. ( Explicação do Professor)
Números primos entre si - admitem como divisores comuns somente a unidade. Exemplos: 3 e 8; 7 e 15; 5 e 13; 6 e 7
Dois números inteiros e consecutivos são primos entre si.
Primos gêmeos- dois inteiros positivos ímpares consecutivos que são ambos primos. 3 e 5 ; 5 e 7; 17 e 19; 29 e 31.
Existe apenas um terno de inteiros positivos ímpares e consecutivos que são todos primos: 3, 5, 7.
EXERCÍCIOS
1- Determinar a mais elevada potência de 3 que divide o produto dos 50 primeiros números naturais 1,2,3,4,.... R:322
2- Verifique se são primos ou não os números 269, 287 e 409. R: Sim; Não; Sim
34 3- Decomponha em fatores primos.
a) 3600 b) 7560
R: a) 24 x 32 x 52 b) 23 x33 x 5 x 7
4- Decompor em fatores primos o produto 1x2x3x. . . x 29x30.
DIVISORES:
ALGORITMO PARA ACHAR OS DIVISORES DE UM INTEIRO. Determinar os divisores de 200. ( Explicação do Professor)
Um número é divisor de outro número quando contém, desse outro número, fatores primos com expoentes iguais ou menores.
35 COMO DETERMINAR QUANTOS DIVISORES TEM UM NÚMERO
INTEIRO?
Justificativa da regra:
Vamos ver, como exemplo, 200. 200 = 2 3 x 5 2
2 0, 21, 2 2, 2 3 5 0, 51, 5 2
Os produtos abaixo geram os divisores: 2 0 x 5 0; 2 0 x 5 1; 2 0 x 5 2 2 1 x 5 0; 2 1 x 5 1; 2 1 x 5 2 2 2 x 5 0; 2 2 x 5 1; 2 2 x 5 2 2 3 x 5 0; 2 3 x 5 1; 2 3 x 5 2
Pelo princípio fundamental de contagem temos 4 x 3 = 12.
O expoente de 2 é 3. Para formar os divisores foi acrescido 2 0, daí 3 +1. O expoente de 5 é 2. para formar os divisores foi acrescido 5 0, daí 2 + 1.
Então ao fatorar 200 teremos 2 3 x 5 2 e o número de divisores será (3+1) x ( 2+1) = 12. SOMA DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
Seja o número n decomposto em fatores primos N = am . b n . c p. A soma dos divisores será
1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 1 c c b b a a s p n m
PRODUTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO É igual ao numero dado elevado à metade de seus divisores.
PROPRIEDADES DOS QUADRADOS E DOS CUBOS PERFEITOS.
A condição necessária e suficiente para que um número natural seja um quadrado perfeito e´que os expoentes obtidos na decomposição em fatores primos do mesmo sejam múltiplos de 2.
A condição necessária e suficiente para que um número natural seja um cubo perfeito e´que os expoentes obtidos na decomposição em fatores primos do mesmo sejam múltiplos de 3.
Determinar o menor número pelo qual devemos multiplicar 9000, a fim de obtermos um quadrado perfeito. ( Explicação do professor).
36 Determinar o menor número que devemos multiplicar 81000 a fim de obtermos um
cubo perfeito? E o menor número pelo qual devemos dividi-lo a fim de obtermos um cubo perfeito. ( Explicação do professor).
Achar o menor número pelo qual devemos multiplicar 8x27x625, a fim de obtermos um produto que seja, simultaneamente, quadrado e cubo perfeitos. Dica: Os expoentes devem ser múltiplos de 6.
EXERCÍCIOS 1 - Dê os divisores de 36.
2- Dê os divisores de 120.
37 4- Dê o número de divisores de 19 800. R: 72
5- Calcular o número de divisores de N sendo N = 242 x 152 x 92. R: 189
6- Quantos divisores têm o número 103x 122 x 18 5? R: 676
7- Quantos divisores ímpares têm o número 420? R: 8
8- Quantos divisores pares têm o número 140? R: 8
9 - Sendo A = 83 x 9 x 15 2 e B = 65 x 12 x 7, qual o que tem mais divisores? R: A
38
11- Determinar x e y (positivos) para que o número 3x x 7y admita 10 divisores. R: x = 1 e y = 4; x = 4 e y = 1; x = 0 e y = 9; x = 9 e y = 0.
12 - Calcular os valores de a e b afim de que o número 2a x 3b admita 8 divisores. R: a = 1 e b = 3 ; a = 3 e b = 1; a = 0 e b = 7 ; a = 7 e b = 0
13- Dados os números A = 27 x 315 x 5 e B = 23 x 34x 52, dizer porque o número A é ou não múltiplo do número B. R: A não é múltiplo de B
14- Calcular o menor número que admite 20 divisores. R: 24 x 33
15- Calcule a diferença y – x, de forma que o número 2x . 34 . 26y possa ser expresso como uma potência de base 39. R: 8
39 16- Qual o número máximo de divisores do número x2 2x
2 .
48 , x Real. R: 12
17- Prove que os números da forma 4k2 50 4k2 51 4k2 52 4k2 53são sempre múltiplos de 17.
18- Qual o produto de todos os divisores inteiros de 144? R: - 260 x 330
MÁXIMO DIVISOR COMUM; MENOR MÚLTIPLO COMUM COMO DETERMINAR O MDC PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS.
A demonstração do método. Euclides- 300 aC. Teorema
Seja a = bq + r. mdc (a,b) = mdc (b,r) Demonstração: Supor mdc (a,b) = d
Então d divide a e d divide b.
Se a = bq + r, então, como d divide a temos que d divide bq + r. Daí: d divide b e d divide r.
40 Temos que verificar se é o maior.
Supor que exista um divisor comum c de b e r. Então c divide b e r.
Então c divide bq + r. Então c divide a. Então c divide a e b.
Então c<d pois d é o maior divisor comum de a e b. Demonstração do Algoritmo de Euclides:
Q1 Q2 Q3 . . . . Qn Qn+1 a B R1 R2 . . . . R n – 1 R n R1 R2 R3 . . . . . . . 0
mdc (a,b) = mdc (b, R1) = mdc (R1, R2) = mdc (R2, R3)= ...= mdc (Rn – 1, Rn) = mdc( Rn, 0) = Rn
Calcular o mdc entre 468 e 396 pelo processo das divisões sucessivas. (Explicação do Professor)
COMO DETERMINAR O MDC PELO PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS.
Calcular o mdc entre 468 e 396 pelo processo da decomposição em fatores primos. (Explicação do Professor)
A justificativa do método. Explicação do Professor.
COMO DETERMINAR O MMC PELO PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA.
Calcular o mmc entre 3600 e 7560 pelo processo da decomposição simultânea. (Explicação do Professor)
41 COMO DETERMINAR O MMC PELO PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM
FATORES PRIMOS SEPARADA.
Calcular o mmc entre 3600 e 7560 pelo processo da decomposição em fatores primos separada. (Explicação do Professor)
EXERCÍCIOS
1- Determinar o mdc dos números 80, 50, 70 e 60 pelo processo da decomposição em fatores primos. R: 10
2- Determinar o mmc dos números 15, 30 e 80 pelo processo da decomposição separada.
R: 240
3- Calcule os valores de x, y, z sabendo que : A = 2 x . 3 4 . 5 3 , B = 2 4 . 3 y . 5 2 e o mdc ( A, B) = 2 3 . 3 . 5 z . R: x = 3; y = 1; z = 2
4- Calcule os valores de x, y, z sabendo que : A = 2 x . 3 . 5 2 , B = 2 3 . 3 y . 5 e o mmc ( A, B) = 2 4 . 3 3 . 5 z . R: x = 4; y = 3; z = 2
42
5- Calcular o maior número que divide 396 e 341 e encontra-se respectivamente restos 4 e 5. R: 56.
6- Determinar o menor número que dividido por 12, 15, 18 e 24, deixa sempre resto 7.
R: 367.
7- Determinar o menor número que, dividido por 8; 18 e 20, deixa os restos 1, 11 e 13, respectivamente. R: 353.
8- Calcular os dois menores números pelos quais devemos multiplicar 56 e 80 para obtermos produtos iguais. R: 10 e 7
43
9- Calcular o menor número que dividido por 18, 32 e 54 deixe sempre resto 11. R: 875.
10- Calcular o menor número que dividido por 10, 16 e 24 deixa, respectivamente, os restos 3, 9 e 17. R 233
11- O produto de dois números é igual a 3584 e o mdc 16. Ache o mmc. R: 224
12- Calcule B, sabendo que o mdc (A,B) = 18, mmc (A,B) = 1260 e A=180. R: 126
13- Do Rio de Janeiro, partem ônibus para a cidade A de 10 em 10 minutos; para a cidade B de 6 em 6 minutos e para a cidade C de 5 em 5 minutos. Sabendo-se que às 10 horas e 20 minutos partiram juntos os ônibus dessas três linhas, a que horas partirão juntos novamente?
44
14- Para cercar um terreno retangular de 1680 m de comprimento e 480 m de largura, com árvores que tenham a mesma distância entre elas e que seja a maior possível. Quantas árvores serão necessárias? R: 18 árvores
15- Calcular m, no número A = 2 m-1. 32. 5m, de modo que o MDC entre o número A e o número 9000 seja 45. R: m = 1
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Q = { /p Z,q Z }
q
p *
Se o denominador da fração, em forma irredutível, só tiver os fatores 2 e / ou 5, a decimal resultante será sempre finita. Assim podemos introduzir fatores para fazer esse denominador uma potência de dez. Os fatores introduzidos no denominador devem ser introduzidos no numerador formando uma fração equivalente.
Exemplos: a)
5 3
gera uma decimal finita.
A fração é irredutível e o denominador é 5.
6 , 0 10 6 2 x 5 2 x 3 5 3 b) 20 41
gera uma decimal finita.
A fração é irredutível e o denominador 20 = 2 2 x 5 é formado pelos fatores 2 e 5. 05 , 2 100 205 5 x 20 5 x 41 20 41
45 Se o denominador da fração, na forma irredutível, tiver algum fator primo diferente de 2
ou 5 a decimal resultante será uma dízima periódica. Exemplos:
a)
7 5
gera uma dízima periódica. Divida 5 por 7 e encontre a dízima. b)
6 7
gera uma dízima periódica. Divida 7 por 6 e encontre a dízima.
EXERCÍCIOS
1) Prove que a dízima periódica 0,555. . . é igual a . 9 5
2) Prove que a dízima periódica 0,232323 . . . é igual a . 99 23
3) Prove que a dízima periódica 0,135135135 . . . . é igual a . 999 135
4) Prove que a dízima periódica 1, 252525 . . é igual a . 99
1 125
46 5) Prove que a dízima periódica 32,425425. . . é igual a .
999 32 32425
6) Prove que a dízima periódica 1,23333. . . é igual a . 90
12 123
7) Prove que a dízima periódica 2,21507507 . . .é igual a
99900 221 221507
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Números irracionais são números cujas representações decimais não são finitas e não são periódicas, isto é, não podem ser escritos na forma de fração irredutível.
1) 2 é número irracional. Demonstração:
Supor, por hipótese, 2 racional. Então pode ser escrito na forma de fração irredutível . q p 2 = . q p
Quadrando os dois membros. ( 2 )2 = .
q p
2 2
47 2 = . q p 2 2 p 2 = 2 q 2.
p 2 é múltiplo de 2, então p 2 é par. Logo p é par. ( O professor deve explicar a razão). Daí p = 2 k. Vamos substituir p = 2 k em p 2 = 2 q 2. (2k) 2 = 2 q 2. q 2 = 2 k 4 2 . q 2 = 2 k 2.
q 2 é múltiplo de 2, então q 2 é par. Logo q é par. Se p e q são pares,
q p
não está na forma irredutível, o que é absurdo, pois por hipótese
q p
está na forma irredutível.
Logo 2 não é racional, logo é irracional. 2) p , p primo. p é irracional.
Demonstração:
Supor, por hipótese, p racional. Então pode ser escrito na forma de fração irredutível
. n m p = . n m
Quadrando os dois membros. ( p )2 = . n m 2 2 p = . n m 2 2 m 2 = p n 2.
m 2 é múltiplo de p, então m é múltiplo de p. ( O professor deve explicar a razão). Daí m = p k, k Z . .
Vamos substituir m = p k em m 2 = p n 2. (pk) 2 = p n 2.
n 2 = p k 2.
48 Se m e n são múltiplos de p, então
n m
não está na forma irredutível, o que é absurdo, pois por hipótese,
n m
está na forma irredutível. Logo p não é racional, logo é irracional.
EXERCÍCIOS 1) Prove que 3 é irracional.
2) Prove que o produto de um número racional diferente de zero por um número irracional é um número irracional.
3) Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional.
49 4) Prove que se k é irracional então 1/k é irracional.
5) Mostre que é falso:
a) A adição de dois números irracionais positivos é sempre um número irracional. b) O produto de dois números irracionais é um número irracional.
RETÃNGULO ÁUREO. NÚMERO ÁUREO
Vamos ver um retângulo que tem uma propriedade interessante. Ele é chamado de retângulo áureo ou retângulo de ouro e é o preferido dos artistas e arquitetos.
O retângulo áureo tem uma propriedade interessante.
Considere um retângulo áureo ABCD de onde foi retirado um quadrado ABEF, como mostra a figura:
50 BF = CD = AB = AE = a FC = ED= b Então b a a b a A razão b a
é chamada razão áurea.
b a b a b b a 1 b a b a b b b a 0 1 b a b a 2 Fazer b a = ( )2 - - 1 = 0 = 2 5 1
( é positivo, razão de segmentos).
b a 2 5 1 1,618. A razão a b
é chamada número áureo.
618 , 0 2 1 5 ) 5 1 ( ) 5 1 ( ) 5 1 ( 2 a b
A razão áurea é o número áureo somado 1. A construção do retângulo áureo é simples. Basta seguir o esquema:
51 O retângulo AHCG é áureo.
Exercício resolvido:
Dê a condição para que a razão
x a
no segmento abaixo seja razão áurea. a x a – x Condição: x a x x a x2 = a2 – ax x2 + ax – a2 = 0 x = 2 a 4 a a 2 2 x = 2 a 5 a 2 x = 2 5 a a , x é positivo. x = 2 ) 5 1 ( a
52 Logo 2 5 1 2 5 1 5 1 ) 5 1 ( 2 ) 5 1 )( 5 1 ( a ) 5 1 ( a 2 2 ) 5 1 ( a a x a Daí é x a
a razão áurea e vale
2 5 1
.
EXERCÍCIOS
1) Dado um segmento AB de comprimento a, construa geometricamente um retângulo Áureo com lado menor igual ao segmento AB.
2) Dado um segmento AB, construir geometricamente o ponto C que faz a divisão áurea do segmento.
NÚMEROS PARES E ÍMPARES Os números pares têm a forma 2k, k Z.
Os números ímpares têm a forma 2k + 1, k Z.
EXERCÍCIOS
53 2) Mostre que o produto de dois números pares é sempre par e que o produto de
dois números ímpares é sempre ímpar.
NÚMEROS POLIGONAIS
Lei de formação dos números triangulares. ( Explicação do Professor) Números triangulares: tn =
2 2 n n
Lei de formação dos números quadrangulares. ( Explicação do Professor) Números quadrado: Qn = n2
54 Números pentagonais: Pn = 2 ) 1 3 ( n n
Lei de formação dos números pentagonais. ( Explicação do Professor)
EXERCÍCIOS 1) Ache o 200 número triangular.
2) O número 105 é triangular?
3) Prove que se somarmos a unidade a oito vezes um número triangular, obtemos o quadrado de um número ímpar ( Diofanto -250 dC)
55 5) Verifique se 145 é número pentagonal.
NÚMEROS PERFEITOS
Um inteiro positivo n diz-se um número perfeito se e somente se é igual à soma de todos os seus divisores positivos, exceto o número n.
Os números perfeitos são raros: 6, 28, 496, 8128, 33550336, ...
Mostrar que 496 é número perfeito.
NÚMEROS AMIGOS
Dois inteiros m e n são amigos se e somente se a soma dos divisores positivos de m, exceto o divisor m, é igual a n, e a soma dos divisores positivos de n, exceto n, é igual a m.
EXERCÍCIOS Mostrar que 220 e 284 são números amigos.
56 TERNOS PITAGÓRICOS
Chama-se terno pitagórico todo terno de inteiros positivos ( a, b, c) tais que a2+b2 = c2 2k + 1, 2k2 + 2k e 2k2 + 2k + 1 onde k é um inteiro positivo qualquer dão uma
infinidade de ternos pitagóricos.
EXERCÍCIO
Prove que 2k + 1, 2k2 + 2k e 2k2 + 2k + 1 formam ternos pitagóricos.
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS FUNDAMENTAIS
ESTA UNIDADE SERÁ APRESENTADA EM FORMA DE EXERCÍCIOS. EXERCÍCIOS
1) A soma dos elementos de uma subtração é 780 e o resto excede o subtraendo de 30. Calcular o minuendo, subtraendo e o resto.
2) Que alteração sofre um produto de dois fatores quando se soma um número a um dos fatores?
57 3) Que alteração sofre um produto de dois fatores quando se soma o mesmo número a
cada um dos fatores?
4) Que alteração sofre um produto de dois fatores quando se soma um número m ao multiplicando e um número n ao multiplicador?
5) O produto de dois números é 1200. Somando-se 5 ao multiplicador, o produto aumenta de 240. Achar o multiplicando e multiplicador.
6) Achar um número composto de 2 algarismos cuja soma é 13, sabendo-se que, trocando-se a ordem desses algarismos, o número aumenta de 45.
7) Numa divisão, a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 333. Sendo o quociente 5 e o resto 20, pede-se determinar o dividendo e o divisor.
58 8) A soma de dois números é 215. O quociente da divisão do maior pelo menor é 10 e
o resto o maior possível. Ache esses números.
9) Numa divisão exata o quociente é 15. Somando-se 6 ao divisor, e efetuando-se novamente a divisão, obtém-se quociente 12 e resto zero. Achar o dividendo e o divisor.
10) Dois trens partem no mesmo instante de duas estações distantes a 500 Km uma da outra e se dirigem em sentido contrário. O primeiro tem velocidade de 60 Km/h e o segundo 80 Km/h. Qual a distância entre os dois no fim de 4 h?
59 11) As 12 h sai um trem de A para B com a velocidade de 50Km/h. às 16 h sai outro de
B para A, com velocidade de 80 Km/h. A que horas se encontram e a que distância de B, sabendo-se que entre as duas cidades são 980 Km.
12) Uma caixa d’água comporta 1000 litros e tem uma torneira que a enche em 20 h e outra que a esvazia em 25 h. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo em quantas horas a caixa ficará cheia?
13) Um pai tem 40 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o dobro da idade do filho?
60 14) Três caixas contêm o mesmo número de maçãs. Passou-se para a terceira caixa 13
maçãs da primeira e 15 da segunda. Com quantas maçãs mais que cada uma das ouras ficará a terceira caixa?
15) Colocando-se o algarismo 3 à direita de um número, este aumenta de 237 unidades. Calcule esse número
EQUAÇÕES DIOFANTINAS
A equação ax + by = c, tal que a, b, c, x, y pertencem ao conjunto dos números inteiros é chamada Equação Diofantina.
Exemplos de Equações Diofantinas: 2x + 3y = 7
- 4x + 7y = - 6 - 3x – 5 y = 4
61 Diofanto foi um matemático grego que viveu entre 200 e 290 dC.
Escreveu “ A aritmética ” com a resolução de problemas de álgebra que foram resolvidos utilizando equações do primeiro e segundo graus e sistemas de equações. Por esse motivo é chamado o pai da álgebra e as equações do primeiro grau e segundo grau em duas variáveis, envolvendo os números inteiros, são chamadas Equações Diofantinas.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIOFANTINA.
Seja a equação diofantina ax + by = c, com solução. a, b, c, x, y pertencem ao conjunto dos números inteiros.
Existe (x0, y0) que satisfaz a equação ax + by = c, x0 e y0 números inteiros. (x0, y0) é uma solução da equação.
ax0 + b y0 = c Seja mdc ( a, b) = d s d b r d a
; ( r e s são números inteiros) Logo a = dr; b = ds ax0 + by0 = drx0 + dsy0 = d ( rx0 + sy0) = c rx0 + sy0 é número inteiro rx0 + sy0 = d c
Logo d divide c. ( se d não dividir c, rx0 + sy0 não será número inteiro, mas rx0 + sy0 tem que ser número inteiro)
62 Para existir solução na equação diofantina ax + by = c, o mdc entre a e b tem que
dividir c.
SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIOFANTINA. Seja a equação ax + by = c, no conjunto dos inteiros. Seja (x0, y0) uma solução particular.
Seja mdc(a, b) = d.
Seja a solução, qualquer, (x’, y’). ax0 + by0 = ax’+by’=c. mdc(a, b) = d, então: 1 .) , ( ; ; ; 2 1 2 1 2
1 k k ek números primosentresi mdc k k
d b k d a ax0 + by0 = ax’+by’ ax’-ax0=by0-by’
a(x’-x0)=b(y0-y’) ; dividindo por d.
d y y b d x x a( 0) ( 0 ') ' Como 1; k2 d b k d a k1(x’-x0)=k2(y0-y’) ' ) ' ( 2 0 1 y y k x x k o
Veja que y0 – y’ é número inteiro. ( y0 e y’ são números inteiros).
Veja que k1 e k2 são números primos entre si, logo k2 não divide k1, consequentemente, k2 divide (x’-x0). inteiro. , ' 2 0 t t k x x x’- x0=k2t como k2 d b
63 x’-x0= t d b x’ = x0 + t d b Substituindo x’ = x0 + t d b
em a(x’-x0)=b(y0-y’).
a(x0 + t d b - x0) = b(y0-y’) ) ' (y y b d abt o ;Dividindo por b. ' y y d at o y’= y0 - t d a
Logo as soluções de uma equação diofantina é dada por: x’ = x0 + t d b e y’= y0 - t d a
, onde x0 e y0 é uma solução particular, d é o mdc entre a e b, t são números inteiros que, ao serem colocados, vão gerar as soluções. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DIOFANTINA.
Veja que ax + by = c, com a, b, c, x, y pertencente ao conjunto dos números reais representa uma reta. Os infinitos pontos que vão gerar a reta são as soluções desta equação. Neste caso seria simples achar as soluções. Bastaria atribuir valores arbitrários para x e achar, na equação, os valores correspondentes para y.
Nas equações diofantinas as coordenadas dos pontos são números inteiros. Ao atribuir para x um número inteiro, pode ocorrer que y não seja inteiro. Neste caso o par (x, y) não é solução. Pode ocorrer que uma reta não tenha nenhum ponto com coordenadas inteiras. Neste caso a equação diofantina não tem solução.
64 Veja a equação 18 x + 5 y = 48 representada pela reta abaixo
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 x y
Somente os pontos de coordenadas inteiras da reta serão soluções da equação diofantina 18x + 5y = 48.
Veja que o ponto (6, -12) não representado na figura pertence à reta, pois 18 x 6 + 5 x ( -12 ) = 48. O par x = 6 e y = -12 é uma das soluções da equação diofantina.
RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIOFANTINAS.
1- Mostre que a equação diofantina 4x + 6y = 9 não tem solução. Resolução:
Verificar a condição de existência das soluções. mdc ( 6, 4 ) = 2
2 não divide 9, logo, não há solução.
2- a) Resolver a equação diofantina 2x + 3y = 9. b) Determine quatro soluções particulares.
c) Determine os valores de t para que as soluções sejam positivas. d) Determine os valores de t para que as soluções sejam negativas. Resolução a)
Verificar a condição de existência das soluções. mdc ( 3, 2 ) = 1
1 divide 9, logo tem solução.
65 Tirar o valor de x : 2 3 9 y x .
Atribuir valores inteiro para y, até encontrarmos o x correspondente também inteiro.
Veja que y = 1 teremos x = 3.
Uma solução particular será x0 = 3 e y0 = 1. A solução geral é dada por x = x0 + t
d b e y = y0 - t d a , t números inteiros. Solução geral da equação diofantina.
x = 3 + t 1 3 e y = 1 - t 1 2 , t números inteiros. Resolução b) Atribuir t = 0; t = 1; t = - 1; t = 2 Para t = 0 temos x = 3 e y = 1; Para t = 1 temos x = 6 e y = - 1 Para t = - 1 temos x = 0 e y = 3 Para t = 2 temos x = 9 e y = -3
( faça a verificação, de cada solução encontrada, na equação 2x + 3 y = 9)
Resolução c) x = 3 + t 1 3 e y = 1 - t 1 2 3 + 3t > 0 3t > -3 t > - 1 1 – 2 t > 0 - 2 t > - 1 2t < 1 t < 2 1 -1 < t < 2 1 ( t número inteiro)
66 t = 0 ( a única solução inteira positiva é x = 3 e y = 1)
(Verifique para outros valores de t, fazendo uma análise na solução geral da equação) Resolução d) x = 3 + t 1 3 e y = 1 - t 1 2 3 + 3t < 0 3t < -3 t < - 1 1 – 2 t < 0 - 2 t < - 1 2t > 1 t > 2 1
Não existe t inteiro que satisfaça t >
2 1
e t < -1. Não há soluções inteiras, com x e y ambos negativos.
(Verifique fazendo uma análise na solução geral da equação)
3 - Escrever o mdc entre 143 e 17 como combinação linear entre esses dois números, isto é, mdc ( 143, 17) = 143 a + 17 b. Abaixo, o algoritmo do mdc: 8 2 2 3 143 17 7 3 1 7 3 1 0 mdc ( 143, 17) = 1 143 = 17 x 8 + 7 7 = 143 – 17 x 8 17 = 7 x 2 + 3 3 = 17 – 7 x 2 7 = 3 x 2 + 1 1 = 7 – 3 x 2
67 1 = 7 – 3 x 2 ; substituir 3 = 17 – 7 x 2. 1 = 7 – ( 17 – 7 x 2) x 2 = 7 x 1 – 17 x 2 + 7 x 4 = 7 x 5 – 17 x 2 substituir 7 = 143 – 17 x 8. 1 = ( 143 – 17 x 8) x 5 – 17 x 2. 1 = 143 x 5 – 17 x 40 – 17 x 2 1 = 143 x 5 – 17 x 42
Logo 1 = 143 x 5 + 17 x ( - 42) . Veja que é verdade. Logo a = 5 e b = - 42.
4 - Escrever o mdc entre -345 e 215 como combinação linear entre esses números, isto é, mdc ( - 345, 215) = - 345 a + 215 b. Abaixo, o algoritmo do mdc: 1 1 1 1 1 8 345 215 130 85 45 40 5 130 85 45 40 5 0 mdc ( - 345, 215) = mdc ( 345 , 215 ) = 5 345 = 215 x 1 + 130 130 = 345 – 215 x 1 215 = 130 x 1 + 85 85 = 215 – 130 x 1 130 = 85 x 1 + 45 45 = 130 – 85 x 1 85 = 45 x 1 + 40 40 = 85 – 45 x 1 45 = 40 x 1 + 5 5 = 45 – 40 x 1 5 = 45 – 40 x 1; substituir 40 = 85 – 45 x 1. 5 = 45 – (85 - 45 x 1) x 1= 45 – 85 x 1 + 45 x 1 = 45 x 2 – 85 x 1 Substituir 45 = 130 – 85 x 1 5 = (130 – 85 x 1) x 2 – 85 x 1= 130 x 2 – 85 x 2 – 85 x 1 = 130 x 2 – 85 x 3. Substituir 85 = 215 – 130 x 1. 5 = 130 x 2 – ( 215 – 130 x 1 ) x 3.
68 5 = 130 x 2 – 215 x 3 + 130 x 3 = 130 x 5 – 215 x 3. Substituir 130 = 345 – 215 x 1. 5 = (345 – 215 x 1) x 5 – 215 x 3 = 345 x 5 – 215 x 5 – 215 x 3 = 345 x 5 – 215 x 8. 5 = 345 x 5 – 215 x 8.
Vamos escrever a combinação linear entre – 345 e 215. 5 = - 345 x ( -5) + 215 x ( -8 ). Veja que é verdade. Logo a = -5 e b = -8
5) Resolver a equação diofantina 143 x + 17 y = 132. Dê três soluções particulares.
Vamos verificar se tem solução.
mdc (143, 17) = 1. 1 divide 132, logo tem solução.
Se fizermos a combinação linear entre o mdc (143 e 17) e os números 143 e 17 encontraremos 1 = 143 x 5 + 17 x ( - 42). Veja o exercício 3 acima.
Como a equação é 143 x + 17 y = 132, teremos:
143 x 5 + 17 x ( - 42 ) = 1. Multiplicando os dois membros por 132.
143 x 5 x 132 + 17 x ( - 42 ) x 132 = 1 x 132 143 x 660 + 17 x ( - 5544) = 132. Solução particular : x0 = 660 e y0 = - 5544 Solução geral: x = 660 + t 1 17 e y = - 5554 - t 1 143 x = 660 + 17 t e y = - 5554 – 143 t. Soluções particulares:
Substituir t inteiro, arbitrário, na solução geral: t = 0 : x = 660 e y = -5554.
69 t = 1 : x = 677 e y = - 5697
t = 2 : x = 694 e y = - 5840
6) Determinar todos os múltiplos de 11 e de 9 cuja soma seja 270. Resolução: 11 x + 9 y = 270 , x e y são inteiros. Abaixo, o algoritmo do mdc( 11, 9) 1 4 2 11 9 2 1 2 1 0
mdc ( 11, 9 ) = 1. A equação admite solução. 11 = 9x1+2 2 = 11 – 9x1 9 = 2x4 +1 1 = 9 – 2x4
1 = 9 – 2x4 = 9 – (11 – 9x1)x4 = 9 – 11 x 4 + 9x4 = -11x4 + 9x5. 11x(-4) + 9x5 = 1 . Multiplicando os dois membros por 270 temos: 11x(-4)x270 + 9x5x270 = 1x270.
11x ( -1080) + 9x1350 = 270
Logo x0= -1080 e y0=1350 é uma solução particular. A solução geral é: x = -1080 + 9 t e y = 1350 – 11 t. - 1080 + 9t >0 9t > 1080 t > 9 1080 t > 120 1350 – 11 t > 0 - 11 t > - 1350 11 t < 1350
70 t < 11 1350 t < 122,7 Logo t = 121 e t =122 Para t = 121. Daí x = - 1080 + 9 x 121 = 9 Daí y = 1350 – 11 x 121 = 19
Os múltiplos de 11 e 9 serão 11x9 = 99 e 9 x 19 = 171. Veja que a soma de 99 e 171 dá 270.
Para t = 122.
Daí x = - 1080 + 9 x 122 = 18 Daí y = 1350 – 11 x 122 = 8
Os múltiplos de 11 e 9 serão 11x18 = 198 e 9 x 8 = 72. Veja que a soma de 198 e 72 dá 270.
Resposta: 99 e 171; 198 e 72
CONGRUÊNCIA ARITMÉTICA
Congruência é a relação entre dois números inteiros que, divididos por um terceiro chamado módulo de congruência, deixam o mesmo resto. Por exemplo, 20 é côngruo ou congruente de 14 com relação a 6 (20/6=3 restando 2 e 14/6=2 restando 2). Podemos escrever 20 14 (mod 6).
Por exemplo:
Em 17 5 ( mod 2) temos 17/2 restando 1 e 5 /2 restando 1.
Em -10 23 (mod 3) temos – 10/3= - 4, restando 2. Ao multiplicarmos - 4 por 3 devemos encontrar um número que seja menor que o divisor -10. Se – 10 / 3 desse – 3 teríamos (– 3) x 3 = - 9 que é maior que -10, não servindo. Ao dividirmos 23 por 3 teremos resto 2.
Veja que -10 dividido por 3 deixa o mesmo resto que 23 dividido por 3 ( resto 2). Daí -10 23 (mod 3).
Se a dividido por m deixa o mesmo resto que b dividido por m podemos escrever a b (mod m).
71
Suponha que a, b sejam números inteiro e m seja número inteiro maior que zero. Dizemos que a é congruente de b módulo m se m dividir a - b. Escrevemos isto como: a b (mod m).
Prova:
a/m=q1 e resta r; b/m=q2 e resta r. ( No conjunto dos Inteiros)
a = mq1 + r
b = mq2 + r
Subtraindo termo a termo:
a – b = mq1 + r – (mq2 + r) = mq1 + r – mq2 - r = mq1 – mq2 =
m ( q 1 – q 2 ). Daí (a - b)/ m = q 1 – q 2. Como q1 e q 2 são inteiros, q 1 – q 2 é
inteiro. Isto significa que (a - b)/ m dá um inteiro, indicando que o resto é zero. Então m divide a – b. ( Provado)
Por exemplo:
20 14 (mod 6) //// 20 – 14 é divisível por 6. -1 9 (mod 5)/// -1 – 9 é divisível por 5. 1100 2 (mod 9) /// 1100 – 2 é divisível por 9.
Propriedades das congruências
A propriedade reflexiva: Se a é qualquer inteiro, a a (mod m).
Prova:
a – a = 0 é divisível por m, para qualquer m (zero é sempre divisível por qualquer número).
Exemplo: 5 5 (mod 71) -43 -43 (mod 37)
A propriedade simétrica: Se a b (mod m), então b a (mod m). Prova:
Se a b (mod m) então a – b é divisível por m.
Se b a (mod m) então b – a = - ( a – b ) é divisível por m ( difere apenas pelo sinal de menos).
Logo a b (mod m) e b a (mod m) ( provado).
A propriedade transitiva: Se a b (mod m) e b c (mod m), então a c (mod m) Prova:
Devemos provar que m divide c – a, partindo das hipóteses a b (mod m) e b c (mod m).
Se a b (mod m) então ( b-a ) / m = k1.
Se b c (mod m) então ( c – b) / m = k2.
Daí: b-a = m k1
c-b = m k2
Somando termo a termo temos: b – a + c – b = m k1 + m k 2.
c – a = m k1 + m k 2.
c – a = m ( k1 + k 2).
( c – a ) / m = k1 + k 2.
