Limitações ao uso da deconvolução na interpretação de testes de formação em poços de petróleo

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

E INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

DOUGLAS BRANDÃO MARTINI

LIMITAÇÕES AO USO DA DECONVOLUÇÃO

NA INTERPRETAÇÃO DE TESTES DE

FORMAÇÃO EM POÇOS DE PETRÓLEO

CAMPINAS

2017

LIMITAÇÕES AO USO DA DECONVOLUÇÃO

NA INTERPRETAÇÃO DE TESTES DE

FORMAÇÃO EM POÇOS DE PETRÓLEO

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo, na área de Reservatórios e Gestão.

Orientadora: Profª. Drª. Rosangela Barros Zanoni Lopes Moreno

Este exemplar corresponde à versão final da Dissertação defendida pelo aluno Douglas Brandão Martini e orientada pela Profª. Drª. Rosangela Barros Zanoni Lopes Moreno.

________________________________ Assinatura do Orientador

CAMPINAS

FICHA CATALOGRÁFICA

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Limitations to the use of deconvolution in interpretation of oil formation well tests

Palavras-chave em inglês: Oil wells - Reservoirs

Oil Wells - Tests Oil Wells

Área de concentração: Reservatórios e Gestão

Titulação: Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo Banca examinadora:

Rosângela Barros Zanoni Lopes Moreno [Orientador] Denis José Schiozer

Abelardo Borges Barreto Junior Data de defesa: 18-08-2017

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

E INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

LIMITAÇÕES AO USO DA DECONVOLUÇÃO

NA INTERPRETAÇÃO DE TESTES DE

FORMAÇÃO EM POÇOS DE PETRÓLEO

Autor: Douglas Brandão Martini

Orientador: Prof. Dra. Rosângela Barros Zanoni Lopes Moreno

A banca examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta dissertação:

_________________________________________________ Prof. Dra. Rosângela Barros Zanoni Lopes Moreno, Presidente DEP / FEM / UNICAMP

_________________________________________________ Prof. Dr. Denis José Schiozer

DEP / FEM / UNICAMP

_________________________________________________ Prof. Dr. Abelardo Borges Barreto Junior

PUC

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

Este trabalho é dedicado à minha esposa Débora, pelo incentivo antes do início e pela paciência durante a elaboração e aos meus filhos Gabriela e Eduardo por serem a motivação de eu buscar o melhor a cada dia.

À minha orientadora, Professora Doutora Rosângela Barros Zanoni Lopes Moreno, pela dedicação, confiança e paciência ao longo dos anos de mestrado.

Ao engenheiro Conrado Keidel pelas aulas, apresentações e planilhas sobre deconvolução que tanto ajudaram a me enriquecer e a enriquecer este trabalho.

Aos professores Denis José Schiozer, Antônio Carlos Bannwart e Alessandro Batezelli, pelas aulas ministradas e por proporcionarem um ambiente acadêmico favorável ao aprendizado.

Agradeço aos colegas de Petrobras, Paulo Marcos Fernandes Vieira, Eduardo Puntel e André Morosov pelas dicas e pelas viagens ao universo de Laplace.

Ao colega Pedro Adrian pelas inúmeras conversas e discussões.

Ao grande colega Professor Doutor Abelardo Barreto pela participação nesta banca.

Às amizades firmadas nestes dois anos de convívio no Departamento de Engenharia de Petróleo: Felipe Branco, Felipe Chagas, Victor, Aldo e Kelly.

À Petrobras, pelo suporte e patrocínio durante o período de Mestrado, em especial ao Sr. Antonio Carlos Decnop Coelho, Gerente da Área Corporativa de Reservatórios.

E fundamentalmente aos meus pais, Valter e Sylvia, por terem me apoiado em todos os momentos da minha vida.

“Por vezes sentimos que aquilo que fazemos não é senão uma gota de água no mar. Mas o mar seria menor se lhe faltasse uma gota”.

O principal objetivo da realização de testes de formação em poços de petróleo é determinar propriedades da rocha-reservatório a partir da interpretação das medições de pressão e de vazão de fluidos ao longo do tempo.

Dentre os diversos tipos de testes, uma alternativa cada vez mais utilizada na indústria do petróleo para obter mais informações sobre um campo, antes do início do seu desenvolvimento, tem sido os chamados testes de longa duração (TLD). Estes testes são planejados para durarem vários meses, com o poço em produção na maior parte deste tempo.

Na interpretação destes testes, a utilização de novas técnicas, disponíveis graças aos avanços computacionais, possibilitam a otimização do diagnóstico de reservatórios. Dentre elas destaca-se a deconvolução. Esta técnica, utilizada há muitos anos em diversas áreas da Engenharia, tem sido utilizada há alguns anos como manipulação matemática dos dados de pressão de modo a aumentar o raio de investigação do teste, passando a investigar todo o período do teste e não apenas o período da estática.

É uma técnica relativamente simples de ser aplicada e já implementada na maioria dos programas comerciais. Entretanto, ela possui as mesmas limitações que temos na interpretação convencional: pode apresentar instabilidade na presença de dados muito ruidosos ou mal condicionados e problemas em períodos de estáticas muito curtos. Além destes, existe a incerteza da eficiência do método com relação a situações particulares da vida produtiva de um campo de petróleo.

O objetivo deste trabalho é apresentar a técnica da deconvolução e estudar os efeitos da variação do dano (skin) no poço durante a produção, da interferência de poços adjacentes e da heterogeneidade do reservatório na aplicação da técnica na interpretação de testes de formação de curta e longa duração em poços de petróleo por meio da avaliação de resultados obtidos através de algoritmos de minimização de erros.

The main objective of performing well formation tests is to determine the geological properties of the reservoir from the interpretation of pressure and fluid flow measurements over time.

Among various types of tests, an increasingly used alternative in petroleum industry to obtain more information about a field, before the beginning of its development, has been called extended well tests (EWT). These tests are planned to last several months, with the well flowing most of this time.

In the interpretation of these tests, the use of new techniques, available thanks to the computational advances, allows the optimization of reservoirs diagnosis. Among them is there deconvolution. This technique, applied for many years in several areas of Engineering, has been used for some years as a mathematical manipulation of pressure data in order to increase the radius of investigation of the test, investigating both drawdown and buildup periods and not just the second one.

It is a relatively simple technique to be applied and already implemented in most commercial software. However, it has the same limitations as conventional interpretation. It may presents instability in the presence of very noisy or poorly conditioned data and problems in very short static periods. Besides this, there is an uncertainty about the efficiency of the method with respect to particular situations during the productive life of an oil field.

The objective of this work is to present the deconvolution technique and to study the effects of damage variation (skin) in the well during the production, the interference of adjacent wells and the reservoir heterogeneity in the application of the technique in the interpretation of conventional or extended well tests by evaluation of results obtained through algorithms of error minimization.

Figura 1 – Esquema de vazão – superposição de efeitos no tempo ... 29

Figura 2 – Gráfico típico de Pressão de Fluxo X Tempo em um Teste de Formação ... 32

Figura 3 – Gráfico Semilog Pressão x Tempo Equivalente ... 33

Figura 4 – Gráfico Loglog da Estática - Pressão e Derivada x Tempo Equivalente ... 35

Figura 5 – Gráfico Loglog da Estática– Reservatório com Falha Selante... 36

Figura 6 – Gráfico Loglog da Estática- Reservatório com Falhas Paralelas ... 37

Figura 7 – Gráfico Loglog da Estática – Reservatório Realimentado ... 38

Figura 8 – Gráfico Loglog do Fluxo – Reservatório Sem Realimentação de Pressão ... 38

Figura 9 - Gráfico Loglog da Estática – Modelo Radial Composto de 1 Região ... 39

Figura 10 – Representação esquemática da deconvolução ... 42

Figura 11 – Visão ampliada do início do build-up para skins diferentes em um mesmo poço 45 Figura 12 – Algoritmo da Deconvolução nos Programas Comerciais ... 46

Figura 13 – Fluxograma de trabalho... 51

Figura 14 - Histórico de pressão ao longo do tempo – MODELO BASE SKIN / CASO 1 ... 57

Figura 15 – Gráfico loglog das estáticas – CASO 1 ... 58

Figura 16 - Gráfico semilog do build-up 1 – CASO 1 ... 59

Figura 17 - Gráfico loglog da deconvolução – MODELO BASE SKIN / CASO 1 ... 59

Figura 18 – Dados de Pressão Ajustados - MODELO BASE SKIN / CASO 1 ... 60

Figura 19 - Histórico de pressão ao longo do tempo – MODELO BASE SKIN / CASO 2 ... 61

Figura 20 – Gráfico loglog das estáticas - MODELO BASE SKIN / CASO 2 ... 62

Figura 21 - Gráfico semilog dos build-ups 1 a 6 – MODELO BASE SKIN / CASO 2 ... 63

Figura 22 - Gráfico loglog da deconvolução – MODELO BASE SKIN / CASO 2 ... 63

Figura 23 – Dados de Pressão Ajustados – MODELO BASE SKIN / CASO 2 ... 64

Figura 24 – Histórico de pressão ao longo do tempo – MODELO 1 ... 65

Figura 25 - Gráfico diagnóstico loglog dos build-ups do Modelo 1 – CASO 1 (sem skin) ... 66

Figura 26 – Gráfico semilog do Build-up 1 do Modelo 1 – CASO 1 (sem skin) ... 67

Figura 27 - Gráfico loglog da deconvolução do modelo 1 – CASO 1 (sem skin) ... 68

Figura 28 – Dados de Pressão Ajustados – MODELO 1 – CASO 1 (sem skin) ... 69

Figura 29 – Histórico de pressão ao longo do tempo – MODELO 1 – CASO 2 ... 70

Figura 30 - Gráfico diagnóstico loglog dos buildups do Modelo 1 – skin variável ... 71

Figura 31 – Gráfico semilog do Build-up 1 do Modelo 1 – skin variável ... 72

Figura 34 – Modelo analítico para estudo da interferência entre poços ... 74

Figura 35 – Esquema de vazões de produção – CASO BASE (ANALÍTICO) ... 75

Figura 36 – Pressão com e sem interferência – CASO BASE (ANALÍTICO) ... 76

Figura 37 – Loglog dos buildups com interferência – CASO BASE (ANALÍTICO) ... 77

Figura 38 – Deconvolução – CASO BASE (ANALÍTICO) ... 78

Figura 39 – Pressão no Poço SMP-PROD1 e vazões ... 81

Figura 40 – Loglog da 3ª Estática – CASOS 1, 2, 3 e 4 ... 82

Figura 41 – Deconvolução - CASOS 1, 2, 3 e 4 ... 83

Figura 42 – Modelos dos reservatórios radial compostos ... 86

Figura 43 – Histórico de pressão - MODELO BASE HETEROGENEIDADES ... 87

Figura 44 - Loglog da última estática – MODELO BASE HETEROGENEIDADES ... 88

Figura 45 - Loglog da deconvolução – CASO BASE / MODELO BASE HETEROGENEIDADES ... 89

Figura 46 - Loglog da deconvolução – CASO 1 / MODELO BASE HETEROGENEIDADES ... 90

Figura 47 - Loglog da deconvolução – CASO 2 / MODELO BASE HETEROGENEIDADES ... 91

Figura 48 – Representação esquemática - MODELOS HOMOGÊNEO, 1 REGIÃO E 2 REGIÕES ... 93

Figura 49 – Histórico de pressão de fundo simulados ... 94

Figura 50 - Loglog da última estática – MODELO 3 – UNISIM MODIFICADO ... 95

Figura 51 - Loglog da deconvolução – MODELO 3 – UNISIM MODIFICADO ... 96

Figura 52 – Histórico de pressão de fundo – CASO REAL 1 ... 98

Figura 53 – Loglog buildups – CASO REAL 1 (sugiro mudar símbolos do BU5) ... 99

Figura 54 - Loglog deconvolução – CASO REAL 1... 100

Figura 55 – Histórico de pressão de fundo – CASO REAL 2 ... 102

Figura 56 – Loglog buildups – CASO REAL 2 ... 103

Figura 57 - Loglog deconvolução – CASO REAL 2... 104

Figura 58 – Histórico de pressão de fundo – CASO REAL 3 ... 106

Figura 59 – Loglog buildups – CASO REAL 3 ... 107

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Regimes de escoamento esperados ao longo do tempo no reservatório 40 Tabela 2 – Resumo dos modelos utilizados no estudo 55 Tabela 3 – Dados de rocha e de fluido do Modelo Base - Skin 56 Tabela 4 – Variação do skin ao longo do tempo 61 Tabela 5 - Comparação dados do modelo 1 e interpretação 69 Tabela 6 - Variação do skin ao longo do tempo do caso 2 70 Tabela 7 - Dados de rocha e de fluido do Modelo 2 (Simples) 79 Tabela 8 – Características dos poços – Modelo 2 (Simples) 80 Tabela 9 – Comparação entre VOIPs do CASO 1 e CASO 2 83 Tabela 10 – Histórico de Vazão de Óleo – Estudo das Heterogeneidades 84 Tabela 11 – Dados de rocha e de fluido do Modelo Base – Heterogeneidades 85 Tabela 12 – Valores dos parâmetros em cada região – Modelos Analíticos 86 Tabela 13 – Parâmetros de fluido e reservatório – CASO REAL 1 97 Tabela 14 – Parâmetros de fluido e reservatório – CASO REAL 2 101 Tabela 15 – Parâmetros de fluido e reservatório – CASO REAL 3 105

PDG – Sigla em inglês da expressão registradores permanentes de pressão de fundo (Permanent Downhole Gauges)

TFR – Sigla da expressão teste de formação a poço revestido; TLD – Sigla da expressão teste de longa duração

µ - Viscosidade de fluido (força x tempo/comprimento2₎ φ − porosidade (fração decimal)

ct – compressibilidade total (comprimento2/força)

rw – raio do poço (comprimento)

k – permeabilidade da formação (comprimento2₎

t - tempo

qo – vazão de óleo (comprimento3/tempo)

Bo – fator volume de formação do óleo (comprimento3/ comprimento3)

Pi – pressão inicial do reservatório (força/comprimento2)

Pw(t) – pressão no fundo do poço no tempo t (força/comprimento2)

h – espessura porosa do reservatório (comprimento) re – raio externo do reservatório (comprimento)

Ei – Função Exponencial Integral

1. INTRODUÇÃO 16 1.1 Objetivos ... 18 1.2 Organização do trabalho ... 18 2. REVISÃO DA LITERATURA 20 2.1 Testes de Formação ... 20 2.2 Deconvolução ... 21 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 25 3.1 Formulação Matemática ... 26

3.2 Equação da Difusividade Hidráulica e Condições de Contorno ... 26

3.3 Equações dos Regimes de Fluxo ... 27

3.4 Efeito de Película ou skin ... 27

3.5 Superposição de Efeitos ... 29

3.5.1 Superposição de efeitos no tempo 29 3.5.2 Superposição de efeitos no espaço 30 3.6 Testes de Formação ... 31

3.7 Modelos de reservatório e respectivos regimes de escoamento ... 35

3.8 Convolução e Deconvolução ... 41

3.8.1 Método 1 – von Schroeter et al. (2003) 43 3.8.2 Método 2 – Houzé (2006 - 2010) 45 3.8.3 Implementação Computacional 46 4. METODOLOGIA 49 5. APLICAÇÕES E RESULTADOS 55 5.1 Variação do skin ao longo da produção ... 56

5.1.1 MODELO BASE - SKIN 56 5.1.2 MODELO 1 – UNISIM MODIFICADO 65 5.2 Interferência de poços adjacentes ... 74

5.2.1 MODELO BASE – INTERFERENCIA 74 5.2.2 MODELO 2 – SIMPLES 79 5.3 Heterogeneidades ... 84

5.3.1 MODELO BASE - HETEROGENEIDADES 85 5.3.2 MODELO 3 - UNISIM MODIFICADO 92 6. CASOS REAIS 97 6.1 CASO REAL 1 – VARIAÇÃO DO SKIN ... 97

6.3 CASO REAL 3 – HETEROGENEIDADES ... 105

7. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 109

REFERÊNCIAS 111

APÊNDICE A. – CONDIÇÕES DE CONTORNO 115 APÊNDICE B. - MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 118

1.

INTRODUÇÃO

O principal objetivo da realização de testes de formação em poços de petróleo é a determinação das propriedades da rocha-reservatório a partir da interpretação das medições de pressão e de vazão de fluidos ao longo do tempo. Estes testes são realizados utilizando a própria coluna de produção do poço ou através de completação provisória, com uma coluna montada com diversos componentes, especialmente para esta atividade, conforme a finalidade do teste. A metodologia adotada para a execução de um teste de formação em poços de petróleo não sofreu grandes mudanças ao longo dos anos. O que mudou com alguma frequência foi o modo como os dados são medidos, processados e analisados, devido principalmente à grande evolução tecnológica dos sensores de pressão e temperatura, da melhoria das medições de superfície, e da evolução computacional que permitem que hoje possamos utilizar diversas técnicas até então inviáveis, no apoio ao intérprete.

As técnicas convencionais de interpretação de testes de formação são baseadas na teoria já consagrada na indústria do petróleo, a qual consiste em observar a resposta que o sistema apresenta (em geral a variação da pressão medida no fundo do poço, próximo ao reservatório) dado um estímulo provocado no poço (abertura ou fechamento deste para produção de fluidos). A abertura do poço para a produção a uma dada vazão representa um processo de depleção (produção), enquanto o fechamento está associado a um crescimento de pressão (parada de produção).

Devido à grande sensibilidade dos sensores instalados, durante o período de fluxo pode aparecer um grande ruído na resposta de pressão, uma vez que, frequentemente, tratamos de altas vazões de produção. Deste modo, é mais confiável acompanhar e interpretar os períodos em que a vazão é zero, ou seja, o poço está fechado, período conhecido por estática ou crescimento de pressão (build-up).

O poço é aberto com o objetivo de provocar um estímulo ao reservatório. Após um período planejado, tem-se seu fluxo interrompido abruptamente por meio de válvulas instaladas em algum ponto da coluna, podendo ser posicionadas próximas ao reservatório, nos equipamentos de fundo do mar ou na superfície, e observa-se a resposta do crescimento da pressão do reservatório.

Da análise dos dados obtidos durante este crescimento de pressão, realiza-se a interpretação, visando identificar um sistema que, ao ser estimulado por uma vazão como esta, apresente o comportamento de pressão correspondente ao observado.

Devido aos custos envolvidos na realização de uma operação de teste de formação, principalmente em poços marítimos (em geral longe da costa), os períodos de tempo envolvidos são por diversas vezes curtos em comparação ao período necessário para investigar a totalidade do reservatório. Assim, a extensão do reservatório investigada por este teste tende a ser de alguns metros (com raras exceções, quilômetros). Estes testes são denominados testes transientes ou testes de curta duração.

Geralmente um teste de curta duração não permite investigar nenhum limite do reservatório, motivo pelo qual se diz que, por meio desse teste, obtém-se o resultado para o período transiente. Neste caso, investiga-se uma pequena parte do reservatório e obtêm-se apenas algumas informações relevantes para a modelagem próxima ao poço, como permeabilidade no entorno do poço, produtividade do poço (IP – índice de produtividade ou AOF – Absolute Open Flow) e efeito de película (skin).

Uma alternativa cada vez mais utilizada na indústria do petróleo para buscar obter mais informações sobre um campo, antes do início do seu desenvolvimento, tem sido os chamados testes de longa duração (TLD). Estes testes são planejados para durar vários meses, com o poço em produção na maior parte deste tempo. Em geral, este teste é realizado também com poucos e curtos períodos de estática o que o faz apresentar o mesmo problema de um teste de curta duração, em relação ao raio de investigação.

Por conta disso, a utilização de novas técnicas, disponíveis graças aos avanços computacionais, possibilitam a otimização do diagnóstico de reservatórios. Dentre elas destaca-se a deconvolução.

A deconvolução é utilizada há muitos anos em diversas áreas da Engenharia. Em Avaliação de Formações tem sido atualmente aplicada para transformar todo o período do teste, mesmo aqueles com a vazão variável, em um período único, de vazão unitária. Deste modo, o raio de investigação do teste passa a ser equivalente a todo o período do teste e não apenas a um período da estática.

Esta manipulação matemática dos dados torna-se ainda mais interessante quando utilizamos dados de TLDs, visto que passamos a obter informações do teste ao longo de meses e não mais apenas dias, como no caso da interpretação convencional.

A deconvolução é uma técnica relativamente simples de ser aplicada e já implementada na maioria dos programas comerciais. Entretanto, possui as mesmas limitações que temos na interpretação convencional. Pode apresentar instabilidade na presença de dados muito ruidosos ou mal condicionados e problemas em períodos de estática muito curtos, entre outros.

Além destes, existe incerteza da eficiência do método com relação a situações particulares da vida produtiva de um campo de petróleo, como alterações no comportamento do skin ao longo do tempo, a interferência de poços adjacentes, produtores e injetores, e grande heterogeneidade do campo.

1.1 Objetivos

O objetivo desta dissertação é estudar a utilização da técnica da deconvolução para interpretação de testes de formação de curta e longa duração em poços de petróleo. Como objetivos específicos, serão analisados três casos com a aplicação desta técnica: testes que apresentem variação do efeito de película (skin) no poço durante a produção, testes de interferência entre poços adjacentes (produtores e injetores) e testes realizados em reservatórios heterogêneos (modelo radial composto). Com a aplicação da técnica e consequentemente, com o aumento do raio de investigação, espera-se observar um volume maior de reservatório, o que permite avaliar melhor barreiras, limites ou mudança da transmissibilidade.

1.2 Organização do trabalho

Este trabalho está dividido em 7 capítulos. No capítulo 1 foram apresentadas a motivação e os objetivos do trabalho. No capítulo 2 é feita a revisão bibliográfica referente a testes de formação em poços de petróleo e sua interpretação. São apresentadas também as principais técnicas utilizadas, dentre elas, mais recentemente, a deconvolução. É discutida ainda a aplicação da deconvolução para os problemas específicos estudados neste trabalho.

No capítulo 3 são fundamentados os principais métodos de interpretação de um teste de formação. Para isso são desenvolvidas as equações de escoamento transiente e pseudo-permanente necessárias para a interpretação de sistemas infinitos e com barreiras. Em seguida, são definidos os conceitos de estocagem, skin e superposição de efeitos no tempo e espaço. Ainda, é apresentada a teoria da deconvolução e sua aplicação nos problemas propostos neste trabalho.

No capítulo 4 é destacada a metodologia de trabalho desta dissertação e o método como foram gerados os dados utilizados para o trabalho.

No capítulo 5 são apresentados os modelos estudados e os casos que foram considerados em cada um deles. São mostrados também os resultados obtidos para cada situação estudada.

No capítulo 6 são mostrados alguns exemplos de aplicação dos casos estudados em poços reais, da indústria do petróleo.

2. REVISÃO DA LITERATURA

2.1 Testes de Formação

No início da interpretação de testes em poços de petróleo, a maioria das técnicas utilizadas era advinda dos estudos de hidrologia dos solos de Charles Theis (1935). Theis foi o primeiro hidrologista a desenvolver um modelo matemático de fluxo transiente de água, ao fazer a analogia entre o fluxo de calor em meios sólidos e o fluxo de água nos meios porosos. A modelagem criada por Theis considerava a análise das retas plotadas em gráficos semilog e o método de curvas típicas, usadas para determinar propriedades hidráulicas de aquíferos. Baseados nos trabalhos de Theis, Cooper e Jacob criaram em 1946 soluções matemáticas para aquífero selados. Esta análise envolvia associar uma linha reta à solução e ao resultado obtido ao plotar os dados de um período de fluxo como função do logaritmo do tempo. Entre o final da década de 40 e o início da década de 60, utilizando como base matemática os estudos em Transformadas de Laplace publicados por van Everdigen e Hurst (1949), as técnicas de interpretação evoluíram para estudos de tempo longo, aplicando-se as retas dos gráficos semilog para os efeitos de barreiras nos tempos mais longos, principalmente nos estudos de Miller, Dyes e Hutchinson - MDH (1950), Horner (1951) e Matthews, Brons e Hazebroek (1954).

A interpretação baseada na obtenção e no estabelecimento de linhas retas é amplamente utilizada até hoje. Entretanto, a depender da metodologia aplicada, pode-se ter dúvidas sobre a reta a ser traçada. Devido a sua simplicidade, esses métodos focavam seus resultados em reservatórios com comportamento homogêneo.

A partir de meados dos anos 60, grande parte do desenvolvimento em análise de testes passou a ser realizada pelo meio acadêmico, nas universidades. Apoiado pelos recentes desenvolvimentos computacionais, Ramey (1970) sugeriu a adoção de curvas-tipo, de modo a definir melhor o comportamento de tempo curto, em especial próximo ao poço. A necessidade existia pois, as técnicas até então consagradas eram ineficientes para diferenciar se um skin negativo era resultado de uma acidificação ou de faturamento. Se um skin positivo era resultado de um dano mecânico, penetração parcial ou escoamento multifásico ao redor do poço. Nesse contexto, essas novas ferramentas facilitavam a caracterização no tempo longo, além de melhor definir os conceitos de estocagem e skin.

Outros estudos importantes foram realizados para reservatórios naturalmente fraturados por Cinco-Ley (1978) e Gringarten (1974). Novas abordagens baseadas em gráficos log-log foram introduzidas por Agarwal (1970) e McKinley (1971), as quais facilitavam a identificação das retas dos gráficos semilog e permitiam a determinação de parâmetros através de ajustes por curvas-tipo.

A evolução continuou durante a década de 80, principalmente com a implementação da derivada de pressão adimensional nas curvas-tipo de Gringarten. Essas novas curvas, propostas por Bourdet (1983) permitiram uma análise mais específica do reservatório, aumentando consideravelmente a possibilidade de se obter um ajuste único. Esse avanço, além de permitir maior confiabilidade na interpretação, autorizou a adoção de novos modelos, mais específicos, como os de dupla-porosidade, penetração parcial, modelos para poços horizontais além de diversos tipos de efeitos de barreiras.

No entanto, as técnicas mencionadas baseiam-se ou em períodos de fluxo longos, nos quais existe muito ruído na medição do sinal, ou em períodos de estática, nos quais obtemos alguma informação, porém, limitados à duração desse período. Para minimizar esse problema, a deconvolução - técnica consagrada em outras áreas da Engenharia - tem sido adotada na interpretação de testes de formação em poços de petróleo. Na verdade, não consiste em uma técnica de interpretação nova, mas em uma manipulação matemática dos dados de modo a obter mais informação ao interpretá-los do modo convencional.

2.2 Deconvolução

As operações de convolução e deconvolução são utilizadas em diversas áreas da Engenharia há muitos anos, desde a Óptica de Fourier, útil em técnicas de processamento de imagens, como também na teoria das vibrações ou em Estatística, entre outros.

Na indústria do petróleo, e especificamente na área de avaliação das formações, a técnica da deconvolução é baseada no princípio da superposição de Duhamel. Como principal exemplo, temos o trabalho realizado por van Everdigen and Hurst (1949), que relacionava a resposta de pressão no poço para vazões variáveis a uma correspondente vazão constante por meio da integral de convolução. A solução deste problema, ou seja, a determinação da resposta de vazão constante partindo da resposta medida de vazão variável é então denominada deconvolução.

A aplicação da deconvolução inicialmente apresentava a vantagem de diminuir ou eliminar o efeito provocado pela estocagem. Este efeito ocorre quando há diferença entre a

vazão medida em superfície e a vazão que efetivamente está fluindo no poço, em frente aos canhoneados, em geral devido à compressibilidade do fluido, sendo mais susceptível aos poços de gás. Como este efeito aparece no tempo curto, em alguns casos pode ser grande o suficiente para se sobrepor a algum regime inicial de fluxo, prejudicando a sua identificação e, consequentemente, a análise adequada.

O trabalho de Stewart et al (1983) apresentou uma técnica na qual esta integral de convolução era avaliada analiticamente, entretanto, apenas para reservatórios homogêneos com fluxo radial, sendo esta a principal limitação deste método. Ainda em 1983, Kuchuk e Ayestaran desenvolveram métodos de deconvolução baseados na linearização da integral de convolução, por meio de Transformadas de Laplace.

Em 1987, Kuchuk apresentou dois estudos de casos, sendo o primeiro em poço de gás, onde normalmente aparece mais o efeito da estocagem e um segundo caso de penetração parcial, fenômeno de tempo curto que pode ter sua avaliação prejudicada na presença da estocagem.

Roumboutsos e Stewart publicaram em seu trabalho (1988) um algoritmo baseado em aproximações lineares das Transformadas de Laplace. Como o processo de deconvolução a partir do espaço de Laplace tende a ser mais sensível a erros de medição e ruídos, o algoritmo também propõe uma manipulação dos dados, por meio da chamada aproximação linear por partes (piecewise linear approximation – PLA). Esta aproximação permite o tratamento destes ruídos, minimizando seus efeitos. A resposta de pressão para vazão constante pode ser obtida pela inversão da Transformada de Laplace.

Em 1989, Mendes, Tygel e Correa desenvolveram algoritmos de deconvolução que, ao contrário dos anteriores, não consideram a natureza do reservatório, podendo ser aplicados tanto em reservatórios homogêneos quanto heterogêneos, assim como em diferentes geometrias de fluxo.

Blasingame (1989) propôs uma solução alternativa para testes de poços de gás, criando uma nova deconvolução, baseada nos trabalhos de Kuchuk e Stewart, mas que não necessita da inversão da Transformada de Laplace, tornando-a mais simples.

Cheng (2005) propôs realizar a conversão das vazões por meio da deconvolução baseada na Transformada Rápida de Fourier (FFT). Seu trabalho apresentou resultados para reservatórios homogêneos e com dupla-porosidade.

Outro algoritmo foi apresentado por Ilk et al em 2006 e era baseado no conceito das B-splines. Como funções spline são pedaços de funções polinomiais definidas em intervalos com continuidade entre eles, a deconvolução pode ser aplicada. E também podem ser usadas

para gerar splines a partir da combinação linear de funções splines básicas, as chamadas B-splines. Estas funções permitem que a inversão da Transformada de Laplace seja mais simples e precisa.

Diferentemente dos trabalhos anteriores, onde a principal vantagem foi minimizar a perda de informação do tempo curto do reservatório, trabalhos mais recentes envolvendo o tema da deconvolução passaram a considerar a ideia de converter uma longa sequência de dados de pressão de fundo de poço obtidos, mesmo que com grandes variações de vazão (e consequentemente, variações de pressão), em um período único, de vazão constante, com duração do tempo total de obtenção desses dados de pressão.

A conversão dos dados de pressão para o equivalente a um período longo, de vazão unitária, baseia-se em processos iterativos de comparação da sequência obtida com os dados reais do histórico, através de algoritmos de minimização do erro em torno de uma função objetivo, no caso, o histórico de pressão. Estes algoritmos passaram então a ser a chave de diversos métodos implementados atualmente nos softwares comerciais, tais como o método de von Schroeter, método de Levitan e método de Houzé.

Dentre os algoritmos desenvolvidos, há destaque para o publicado nos trabalhos de von Schroeter et al. (2001), utilizando o conceito de quadrados mínimos totais (total least squares – TLS). Este conceito atribui pesos a três variáveis no momento de minimizar a função objetivo em torno dos dados de pressão do histórico: a pressão medida, a curvatura (ou o comportamento) da derivada da pressão e por fim o histórico de vazão.

Em 2003, com base no conceito de quadrados mínimos totais proposto por von Schroeter, Levitan propôs alterações no algoritmo utilizado na minimização de erros de modo a permitir a aplicação na presença de variações de condições de poço, como estocagem e skin, considerados como restrições no algoritmo de von Schroeter. A diferença básica entre os algoritmos é que o algoritmo de Levitan, em vez de deconvolver todos os buildups simultaneamente (como proposto por von Schroeter), analisa cada buildup separadamente e os compara por meio de um processo iterativo. Como há aqui a definição de um buildup de referência, deste buildup são obtidos os parâmetros de estocagem e skin, que serão considerados durante o processo de deconvolução. A principal desvantagem é tornar o processo iterativo, que pode não convergir ou necessitar de muito tempo de processamento.

Em 2010, Houzé et al apresentaram um novo algoritmo. Basearam-se principalmente na observação de longas sequencias de dados de PDG (permanent downhole gauges), onde diversos buildups realizados no decorrer da produção do poço, quando comparados, apresentavam o mesmo comportamento de tempo longo. No tempo curto, no

entanto, poderia haver grandes diferenças, especialmente devido às variações das condições do poço citadas acima (skin, estocagem).

Além da apresentação de algoritmos, vários trabalhos foram publicados de modo a evidenciar as diversas vantagens do uso da deconvolução. Dentre eles, destacam-se o trabalho de Whittle e Gringarten (2008) sobre o aumento do raio de investigação de um teste, e, consequentemente, do volume de fluidos do reservatório observado devido ao uso da deconvolução, e de Gringarten (2010) que evidencia a identificação de barreiras ou limites do reservatório que normalmente não são visíveis na análise convencional e ainda a possibilidade da correção de vazões de produção incorretas ou perdidas.

Em 2009, Pimonov et al criaram um novo algoritmo de modo a permitir uma melhor interpretação dos dados de testes de formação a cabo, normalmente com curtíssima duração.

Em 2011, Onur et al investigaram o uso da deconvolução para interpretação de testes de interferência entre poços, testes de formação a cabo (WFT) e testes de interferência vertical (TIV).

Finalmente, em 2013, Gringarten et al apresentaram resultados de deconvolução em testes com poços produtores adjacentes ao observador, com base no método de von Schroeter. Para esta adaptação foi introduzido o conceito de vetorização, de modo a considerar não só a superposição de efeitos no tempo (base da deconvolução até então) como também a superposição no espaço. Eles adicionaram mais um parâmetro aos três implementados anteriormente no algoritmo de von Schroeter (histórico de pressão, a curvatura - ou comportamento - da derivada da pressão e o histórico de vazão), a pressão inicial, que é a principal incerteza na presença de outros poços.

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O objetivo da realização de testes de formação em poços de petróleo é que, por meio dele, seja possível determinar propriedades geológicas da rocha-reservatório, a partir da interpretação dos dados obtidos das medições de pressão e de vazão de fluidos produzidos ao longo de sua execução.

Um teste de formação pode ser realizado tanto a poço aberto quanto a poço revestido e constitui o método mais direto de avaliação da formação, uma vez que, ao produzir um poço, o colocamos em contato com a pressão atmosférica.

Os testes de formação podem ser realizados tanto logo após a perfuração dos poços quanto durante todo o seu período de produção/injeção.

Em geral, são efetuados com a própria coluna de produção ou através da chamada completação provisória, na qual o poço é equipado provisoriamente com uma coluna específica para este teste, montada com diversos componentes, conforme a finalidade do mesmo. Esta será retirada após o término desta operação.

As informações obtidas na interpretação de um teste de formação são utilizadas em conjunto com informações geológicas, petrofísicas e geofísicas para a modelagem de reservatórios, de modo a permitir uma predição do comportamento de um campo e da recuperação de fluidos em diferentes cenários de operação.

Em caso de poços exploratórios estas informações servem para verificar a potencialidade da nova descoberta através da determinação da produtividade, da caracterização dos fluidos dos reservatórios, da determinação de permeabilidades, heterogeneidades do reservatório, fronteiras e pressões.

Trata-se de um processo dinâmico, sujeito a correções constantes a cada nova informação obtida, seja a respeito dos fluidos, da rocha ou da geometria do reservatório. O processo de avaliação das formações tem início desde as prospecções geológicas iniciais, passando pela perfuração dos poços e continuando na vida produtiva dos poços, até serem abandonados.

3.1 Formulação Matemática

Sob o ponto de vista físico-matemático, um teste de formação baseia-se na teoria do fluxo de fluidos em meios porosos.

3.2 Equação da Difusividade Hidráulica e Condições de Contorno

A partir das equações de estado (equação da compressibilidade), da lei da conservação de massa (equação da continuidade) e da lei de Darcy, pode-se obter a equação da difusividade hidráulica:

( )

η = , é definido como constante de difusividade hidráulica

No estudo dos reservatórios de petróleo, normalmente consideram-se os fluidos movimentando-se radialmente ao poço. Este modelo representa um poço vertical totalmente completado e posicionado no centro de um reservatório cilíndrico homogêneo e isotrópico. Neste caso, a equação da difusividade em coordenadas cilíndricas apresenta a seguinte forma:

t p k c r p r r r t ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ φµ 1 (3-2)

O comportamento da pressão em um ponto do reservatório é então dependente do tempo e da distância que este ponto estiver do poço. Para obtermos as respostas de pressão, torna-se necessário definir condições de contorno para cada modelo de reservatório e aplicá-las na equação da difusividade.

3.3 Equações dos Regimes de Fluxo

O desenvolvimento da Equação (3-2) com a aplicação das condições de contorno definidas no APÊNDICE A, fornece as seguintes equações para os possíveis regimes de fluxo:

Transiente             − =     − = kt r c E kh B q p X E kh B q p t p t w i o o i i o o i w 4 2 1 2 ) ( 2 1 2 ) ( 2 φµ π µ π µ (3-3)

onde a função Ei(X) é a função integral exponencial. Para pequenos valores de X,

pode-se aproximar esta função por (ABRAMOWITZ & STEGUN):

      − =       kt r c kt r c E t w t w i 4 . ln 4 2 2 _φµ γ φµ Sendo ₌ 0,57722 ₌1,78108 e

γ

            − =             + = 2 ln 4 ₂ 2 1 2 4 ln 2 1 2 ) ( w t o o i w t o o i w r c kt kh B q p kt r c kh B q p t p γφµ π µ γφµ π µ (3-4) Pseudo-permanente       −       − − = 4 3 ln 2 2 ) ( ₂ w e e t o o i w r r r c kt kh B q p t p φµ π µ (3-5)

3.4 Efeito de Película ou skin

O efeito de película ou skin é uma idealização matemática proposta por van Everdingen & Hurst em 1953 com a finalidade de simular um fenômeno real, que é a deformação do comportamento da pressão de fluxo na região próxima ao poço.

Em geral, é provocada pela redução da permeabilidade relativa ao óleo, aumento da saturação de gás ou água, emulsões, precipitação de parafinas, invasão de sólidos durante a

perfuração, penetração parcial da zona produtora, problemas no canhoneio, ou qualquer outro efeito de poço que provoque deformações na curva de pressão.

Os exemplos anteriores provocam queda da pressão em uma região próxima ao poço. Por este motivo, chamamos estes efeitos de dano à formação. Também é possível que ocorra uma deformação no sentido de aumento da pressão de fluxo esperada. Neste caso, dizemos que houve estímulo à produção. Este efeito é mais frequentemente observado após operações de acidificação ou faturamento do reservatório, por exemplo.

Esquematicamente, define-se o skin, s, através da comparação da permeabilidade da zona alterada próxima ao poço, com raio ra e permeabilidade ka com a permeabilidade

original da formação. Matematicamente:             − = w a a r r k k s 1 ln (3-6)

Outra maneira de nos reportarmos ao skin é definindo-o em relação à diferença de pressão que o mesmo provoca na pressão de fluxo. Esta diferença aparece como decréscimo de pressão no caso danificado ou como acréscimo para o caso estimulado.

s kh B q p s p B q kh _{o o} s s o o . 2 ou 2 π µ µ π _{∆ = ∆ =} (3-7)

Em termos práticos, para considerarmos o efeito do skin no poço, adicionamos o termo s em cada uma das equações de poço definidas para os regimes de fluxo anteriores. Assim, tem-se para o regime transiente:

        +       − = s r c kt kh B q p t p w t o o i w 2 4 ln 2 1 2 ) ( γφµ π µ (3-8) E para o pseudo-permanente:         + −       − − = s r r r c kt kh B q p t p w e e t o o i w 4 3 ln 2 2 ) ( ₂ φµ π µ (3-9)

3.5 Superposição de Efeitos

As equações de fluxo anteriores pressupõem que a vazão seja constante. Em diversos casos, principalmente em testes de longa duração, isto não é o que ocorre. Durante o período de fluxo de um teste, é comum ocorrerem variações de vazão ou fechamentos inesperados.

Estas variações de vazão provocam efeitos na resposta de pressão que devem ser considerados na análise, sob pena de haver propagação de erros em nossas estimativas. Ainda, poços adjacentes, produtores ou injetores, também são capazes de interferir no poço em teste.

A maneira utilizada para considerar estes efeitos é chamada de princípio da superposição de efeitos.

3.5.1 Superposição de efeitos no tempo

Quando a variação de pressão provocada tem origem no próprio poço, apenas por variações de vazão, como o da Figura 1, dizemos que ocorre superposição de efeitos no tempo.

Este modelo considera que cada variação de vazão provoca um estímulo diferente no reservatório, que causará reflexo na pressão do momento em que houver a variação em diante, e que o resultado final é a soma de todos eles.

Deste modo, teremos:

    +         − − + +         − − +     +         − − +         = ∆ − − q s t t k r c E q q t t k r c E q q t t k r c E q q kt r c E q kh t p N N N t i N N N t i N t i N t i N w ) ( 4 2 1 ) ( .... ) ( 4 2 1 ) ( ) ( 4 2 1 ) ( 4 2 1 2 ) ( 1 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 2 1 φµ φµ φµ φµ π µ (3-10)

Ou na forma logarítmica aproximada, quando 0,025 4 2 ≤ kt r c_{t w} φµ _:     +       ₋ − + +       ₋ − +     +       ₋ − +       = ∆ − − q s r c t t k q q r c t t k q q r c t t k q q r c kt q kh t p N w t N N N N w t N w t N w t N N w 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 ) ( 4 ln 2 1 ) ( .... ) ( 4 ln 2 1 ) ( ) ( 4 ln 2 1 ) ( 4 ln 2 1 2 ) (

γφµ

γφµ

γφµ

γφµ

π

µ

3.5.2 Superposição de efeitos no espaço

Outra situação bastante comum na indústria do petróleo é a produção simultânea de diversos poços em um mesmo campo. Estes poços, em geral, drenam o mesmo reservatório e, por isto, provocam interferências uns nos outros, principalmente na forma de variação de pressão nos poços. Um poço produtor adjacente tende a diminuir a pressão de fluxo do poço dito observador, enquanto um poço injetor deve provocar aumento desta pressão. Neste caso, diz-se que ocorre superposição de efeitos no espaço.

Assim como na superposição no tempo, a pressão em um dado instante em um poço A, por exemplo, é o resultado da pressão no próprio poço, provocado por suas próprias vazões, somado aos resultados provocados por cada um dos outros poços, individualmente. Deste modo:

...

)

(

)

(

)

(

)

(

t

=

p

−

∆

p

t

+

∆

p

t

+

∆

p

t

+

p

3.6 Testes de Formação

Conforme afirmado anteriormente, um dos principais objetivos do teste de formação é obter informações do reservatório como permeabilidade, distância até eventuais barreiras ou falhas próximas, regiões de diferentes transmissibilidades e, se possível, limites do reservatório, permitindo deste modo, viabilizar a modelagem matemática do reservatório.

O teste de formação pode ser então definido como o resultado da observação da resposta do reservatório (pressão medida, em geral próxima à formação) a um estímulo provocado (vazão de produção, medida em superfície).

Podem ocorrer muitos ruídos na medição dos dados durante um teste de formação, devido a vibrações da coluna de teste, turbulência da passagem do fluido em altas vazões ou presença de gás, entre outros. Deste modo, mesmo havendo diversos tipos de testes de formação, o mais comumente realizado é o teste de crescimento de pressão ou pressure buildup testing.

Neste teste o poço é colocado em produção durante determinado período, tp,

denominado período de fluxo. Este período em produção provoca o estímulo necessário à resposta do reservatório. O poço em seguida é fechado abruptamente e passa-se a observar a recuperação ou ao crescimento da pressão. Este período é denominado buildup ou estática. Normalmente considera-se para interpretação apenas o período de estática, ∆T, no qual o poço está fechado e a atuação do ruído praticamente não existe.

Devido principalmente aos custos envolvidos em sua realização e pelas dificuldades logísticas envolvidas (limitações dos equipamentos, distância dos poços marítimos, produção associada de gás e água, entre outros), os testes de formação, em geral, são realizados em curtos períodos de tempo. Isto faz com que a onda de pressão provocada pelo estímulo ao reservatório não atinja todos os limites deste, garantindo que o único regime de fluxo esperado em toda a duração do teste seja o regime transiente.

Portanto, a equação que melhor define o comportamento de pressão no poço, durante a execução de um teste de formação é a equação (3-3). Deste modo, o gráfico esperado desta pressão em função do tempo em um período de fluxo Tp com vazão Qo e fechamento ou

Figura 2 – Gráfico típico de Pressão de Fluxo X Tempo em um Teste de Formação

Da manipulação matemática da solução aproximada do regime transiente, equação (3-4) tem-se que:         −       ∆ −         −         ∆ + − = − s t k r c kh B q s t t k r c kh B q t p p o o t w p w t o o w i 2 ) ( ln 2 1 2 2 ) ( ln 2 1 2 ) ( 2 2 _γφµ π µ γφµ π µ             ∆ ∆ + − = t t t kh B q p t p o o p i w log 2 ) ( π µ (3-13)

Podemos observar na Figura 3 que, ao plotarmos os dados de pressão da estática em um gráfico semilog com _

     ∆ ∆ + t t t_p

eixo vertical na pressão inicial e terá inclinação kh B q m o o

π

µ

= . Sendo a viscosidade do fluido e a espessura do reservatório parâmetros conhecidos ou já previamente estimados, podemos a partir da equação anterior obter o valor de k, no caso, a permeabilidade efetiva ao fluido que está sendo produzido.

Figura 3 – Gráfico Semilog Pressão x Tempo Equivalente

P

i

π

µ

P

1h

A partir do gráfico semilog podemos também estimar o skin usando a mesma equação, pois:         −         + =         −         + = s kt r c kh B q p s kt r c kh B q p t p p w t o o i p w t o o i w 0,869 4 log 151 , 1 2 2 4 ln 2 1 2 ) ( 2 2 _γφµ π µ γφµ π µ No instante do fechamento,               ∆ ∆ + − = t t t kh B q p t p o o p i w log 2 ) ( π µ _.

Combinando as duas equações anteriores, temos que:

      ∆ ∆ + +       ∆ +       − = t t t og t k r c og m t p p s shutin w t w _1,151 p 4 151 , 1 ) ( 151 , 1 2

γφµ

Na prática, é comum adotar como pressão de referência a pressão em ∆T = 1 hora, de modo que:         +       −       − =1,151 1 ( ) log ₂ 3,23 w t w hora r c k m t p p s φµ (3-14)

O estudo do gráfico semilog nos permite obter informações relevantes do reservatório como permeabilidade e skin. No gráfico semilog anterior, no entanto, foi apresentado um exemplo em reservatório homogêneo e infinito. Caso a mesma metodologia seja empregada em reservatórios mais complexos, a obtenção destes parâmetros pode ser dificultada ou até mesmo nos induzir a erros nas estimativas destes mesmos parâmetros.

3.7 Modelos de reservatório e respectivos regimes de escoamento

A maneira encontrada para obter mais confiança na interpretação foi proposta em 1983 por Dominique Bourdet. Em seu trabalho, Bourdet sugeriu que o intérprete realize a interpretação convencional do teste de crescimento de pressão estudando não somente a pressão estática como também a derivada desta em relação ao logaritmo neperiano do tempo, a denominada derivada de Bourdet.

Ao serem plotadas a pressão estática e a derivada de Bourdet versus o tempo em gráficos de escalas logarítmicas, podem aparecer curvas características e seus diversos regimes de escoamento conforme os parâmetros e modelos do reservatório.

A mesma estática plotada no gráfico semilog anterior se apresenta da seguinte maneira em um gráfico loglog da pressão e da derivada de Bourdet versus o tempo de estática (∆T).

Da Figura 4 pode-se observar a tendência da derivada (em vermelho) seguir em direção a um patamar horizontal, de inclinação 0º. Este patamar é considerado como o período em que o raio de investigação do teste atingiu um regime radial infinito e a posição deste patamar no eixo vertical do gráfico loglog indica também a transmissibilidade do reservatório, uma vez que

      = kh B q t p o o w π µ 2 2 1 ) ( ' _.

A principal vantagem obtida da implementação da derivada de Bourdet na análise é evidenciada quando o raio de investigação do teste encontra regiões não homogêneas como barreiras ou regiões de dupla porosidade, por exemplo. Neste caso, com a adoção da derivada, podem-se identificar no comportamento desta curva elementos característicos que permitem sua identificação.

Uma falha selante, por exemplo, provoca elevação da curva derivada a partir do patamar dp’ = m para uma nova estabilização em novo patamar dp’ = 2m, conforme podemos observar na Figura 5.

Um poço situado entre falhas paralelas ou canal, caso sejam percebidas durante o tempo do teste, apresentam comportamento semelhante ao de falha simples. Entretanto, a elevação continua durante todo o percurso das falhas em inclinação igual a ½, como podemos observar na Figura 6.

Figura 6 – Gráfico Loglog da Estática- Reservatório com Falhas Paralelas

Quando todos os limites do reservatório são atingidos e não há realimentação de pressão, o regime de fluxo passa a ser o pseudo-permanente. Devido esta ausência de realimentação da pressão, a derivada tende a zero e o comportamento da derivada do período de estática é o apresentado na Figura 7.

Figura 7 – Gráfico Loglog da Estática – Reservatório Realimentado

O gráfico loglog de um período de fluxo do mesmo reservatório apresentaria o comportamento da Figura 8.

Há casos de reservatórios onde as características permoporosas se alteram à medida em que vamos nos afastando do poço. Isto pode ocorrer devido à variação da permeabilidade, da espessura ou mesmo da porosidade. Como consequência, a curva derivada é afetada, uma vez que ocorre variação da transmissibilidade com o afastamento do poço. Quando esta variação ocorre (ou pode ser aproximada) de modo radial, denominamos este modelo de reservatório radial composto.

O comportamento das curvas de pressão e derivada deste modelo, durante o período de estática pode ser visualizado na Figura 9. Nesta figura, pode-se observar um primeiro patamar no curto tempo e uma subida da curva derivada, estabilizando em outro patamar, no longo tempo. Isto se deve a mudança de transmissibilidade da região próxima ao poço (curto tempo), para uma região de transmissibilidade menor, mais afastada do poço.

Um resumo do comportamento esperado das curvas de pressão e derivada é apresentado na Tabela 1 a seguir.

Tabela 1 – Regimes de escoamento esperados ao longo do tempo no reservatório Reservatório Tempo inicial Intermediário Longo tempo

Infinito Estocagem Radial Infinito Radial Infinito

Selado Estocagem Fluxo Radial

Limite Fechado Falha Selante Pressão Constante

Composto Estocagem Dupla Porosidade Fluxo Radial

Limite Fechado Falha Selante Pressão Constante

Fraturado Estocagem

Fluxo Bilinear Fluxo Radial

Limite Fechado Falha Selante Pressão Constante

A adoção da derivada de Bourdet permitiu definir características relevantes do reservatório, como heterogeneidades próximas ao poço (barreiras, limites, canais, etc). Entretanto, em um teste convencional o tempo de estática tende a ser bem menor que o de fluxo. Sendo o raio de investigação função deste tempo de observação, pode-se concluir que o raio de investigação referente a um período de estática tende a ser bem menor em relação ao que seria o raio de investigação do fluxo.

De modo geral, devido aos custos envolvidos em testes de formação, os tempos de duração de fluxo e de estática não ultrapassam 48h de duração. Dependendo dos parâmetros do fluido e da rocha-reservatório, o raio de investigação de um teste não atinge mais que algumas centenas de metros. A investigação de uma distância tão curta inviabiliza identificação de algumas barreiras e dos limites do reservatório, por exemplo. Havia a necessidade de alguma ferramenta que pudesse ampliar o raio de investigação sem elevar os custos obtenção desta informação.

Uma das opções utilizadas para ampliar o estudo dos reservatórios e o comportamento deste durante a produção efetiva do campo foi a adoção dos testes de longa duração (TLD). Estes, não são realizados apenas em alguns dias, como os testes convencionais

de curta duração. São realizados ao longo de meses, utilizando plataformas de produção e coluna de produção em vez de coluna de teste. Servem não apenas para o estudo mais aprofundado do comportamento do reservatório, devido ao acompanhamento da pressão ao longo da produção, mas também para o estudo do escoamento de fluidos até as facilidades de produção.

Para efeito de interpretação convencional, no entanto, este tipo de teste não resolve o problema do raio de investigação. Em geral, seus períodos de fluxo, apesar de longos, possuem o mesmo problema de ruídos nos dados de pressão que os testes de curta duração. Seus períodos de estáticas são da mesma ordem de grandeza, alguns dias, o que torna o raio de investigação de um TLD apenas um pouco maior que o de um teste convencional.

A grande diferença entre os testes reside então no modo como podemos manipular matematicamente os dados obtidos de modo a obter mais informações, ampliando nosso raio de investigação.

A técnica mais recentemente implementada no intuito de aumentar este raio de investigação foi a deconvolução.

3.8 Convolução e Deconvolução

A convolução de duas funções reais é a operação linear que resulta numa terceira função que mede a área abaixo da curva de superposição das mesmas ao longo do deslocamento entre elas em um mesmo eixo. Na Engenharia, este eixo comum é, em geral, o tempo.

A notação científica para a convolução de duas funções f e g é, então f*g, definida por:

∫

−

=

=

∗

g

t

h

t

f

τ

g

t

τ

d

τ

f

)(

)

(

)

(

).

(

)

(

Esta equação reflete a operação que é realizada quando se aplica o princípio da superposição de efeitos no tempo, para vazão variável. Podemos encontrar a resposta de pressão

∆p(t) para um histórico de vazão complexo q(t) conhecendo o comportamento da pressão ∆pu(t),

Matematicamente, tem-se:

∫

∫

=

∆

′

−

−

∂

−

∆

∂

=

∆

d

q

p

t

d

t

t

p

q

t

p

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

q

p

p

q

p

=

∗

∆

′

=

′

∗

∆

∆

Quando o histórico de vazão varia em degraus, a integral se transforma no somatório definido na Equação (3-10).

O principal objetivo da aplicação em testes de formação é, a partir de dados conhecidos, no caso, a resposta de pressão ∆p(t) e do histórico de vazão q(t), obter ∆pu(t) –

queda de pressão equivalente a vazão unitária. Esta operação é a inversa da operação anterior, sendo, por este motivo, chamada de deconvolução.

Graficamente, temos que:

Figura 10 – Representação esquemática da deconvolução

Há basicamente dois modos de resolver esta operação. O primeiro, por método espectral, baseia-se em enviar dados discretos para o campo de Laplace, realizar os cálculos neste espaço e trazer a solução de volta para o campo real. Entretanto, esta solução nem sempre é facilmente obtida.

O segundo método é tratar o problema iterativamente, através de um processo de minimização de erros realizado com a implementação de algoritmos que realizem esta operação. Os principais algoritmos disponíveis para aplicação da técnica na interpretação dos dados de pressão de testes de formação são o de von Schroeter et al., o de Levitan e o de Houzé.

3.8.1 Método 1 – von Schroeter et al. (2003)

A base para a definição do algoritmo sugerido por este método é a equação (3-15). Porém, para que seja mantido o sentido físico, uma vez que a vazão e a pressão são grandezas físicas, há necessidade de garantir que h(t) exista apenas a partir de um tempo maior que zero.

As análises realizadas na interpretação de testes são, por convenção, feitas em curvas exibidas em gráficos de log10∆pu(t) e log10

[

]

10

log , o que faz com que g(t) saia de zero para menos infinito.

A solução encontrada para este problema é realizar uma mudança de variáveis para cálculo da derivada, ou seja:

      =       ∆ ∆ = ∆ =

σ

σ

σ

σ

A convolução após estas mudanças passa a ser então:

∫

−

=

−

=

∆

t

p

p

t

q

t

e

e

d

p

(

)

(

)

(

)

σ

O método de von Schroeter utiliza o conceito de quadrados mínimos totais (total least squares – TLS) também já utilizado em outras áreas da Engenharia. Neste método, atribuem-se pesos às variáveis de modo a minimizar uma função erro.

O principal objetivo é obter o melhor ajuste da curva z usando a expressão da convolução. A curva z pode ser definida como uma polyline ou spline. Opcionalmente, pode-se variar a pressão inicial e o histórico de vazão de modo a facilitar este ajuste.

O processo de ajuste baseia-se em uma regressão não-linear, pela qual, por meio de três incertezas realiza-se um processo de minimização de erros buscando a função objetivo. A

primeira incerteza a ser avaliada é, naturalmente, a função z. Opcionalmente podem-se considerar mais duas incertezas: a pressão inicial e o histórico de vazões.

A função objetivo possui três componentes. A primeira componente a ser avaliada é a curva de pressão. Os dados de pressão do histórico escolhidos para serem comparados com os dados da convolução podem ser quaisquer dados considerados confiáveis. Tipicamente são escolhidos os dados de build-up, devido ao ruído comum aos períodos de fluxo.

O segundo valor considerado é a curvatura ou o comportamento da derivada da pressão. Para tal, normalmente são utilizadas regiões com transições mais suaves e sem grandes variações que apresentam o melhor resultado. Por fim, o terceiro componente é o histórico de vazão. Neste caso, podem-se permitir pequenas mudanças para melhorar um eventual ajuste.

Após o término satisfatório destas operações os resultados são analisados da forma convencional, ou seja, plotando os dados de pressão e derivada deconvolvidos em um gráfico log-log. O comportamento esperado deve ser semelhante ao de modelos obtidos a partir de período de fluxo, uma vez que a deconvolução transforma o dado de superposição em um período único, de vazão unitária.

Entretanto, quando ocorre diferença entre os dados de estáticas (estocagem variável, por exemplo) os valores utilizados na minimização apresentam divergências nos tempos iniciais. Esta divergência afeta o modo como as splines buscam a função objetivo, levando à propagação deste erro por todo o período do teste. O resultado é um ajuste bem diferente do esperado.

Em 2005, com base nos conceitos propostos por von Schroeter, Levitan propôs alterações no algoritmo utilizado na minimização de erros de modo a permitir a aplicação mesmo na presença destas variações

Levitan propôs em seu algoritmo utilizar para minimização em vez de uma deconvolução para todos os build-ups simultaneamente, utilizar uma deconvolução para cada build-up individualmente, para em seguida compará-las. Como cada deconvolução de cada build-up pode ajustar com uma estimativa diferente de pressão inicial, o processo reiniciaria até que fosse encontrado um ajuste comum a todos os build-ups e com a mesma pressão inicial.

Isto resolveu a questão do algoritmo de von Schroeter, porém dois novos problemas apareceram: o processo se tornou iterativo e, por consequência, mais lento, havendo ainda possibilidade de perda de informação ao longo do processo.