Manuela da Silva Souza

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Finitude das ´

Algebras de Rees

associadas a filtrac

¸ ˜

oes monomiais

Manuela da Silva Souza

Salvador-Bahia

(2)

Manuela da Silva Souza

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador:Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano.

Salvador-Bahia

(3)

Souza, Manuela da Silva.

Finitude das ´Algebras de Rees associadas a filtra¸c˜oes monomiais /

Manuela da Silva Souza. – Salvador, 2009.

45 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2009.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Álgebra. 2. Anéis ( Álgebra). 3. Anéis comutativos. I. Bahiano,

Carlos Eduardo Nogueira. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Manuela da Silva Souza

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática, em 06 de fevereiro de 2009.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Jos´e Fernandes Silva Andrade UFBA

(5)

`

(6)

fizer a realidade.

(7)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus, por iluminar a minha vida e por me dar for¸ca e empenho na conduta dos meus estudos.

Aos meus pais, meus irm˜aos e minha madrinha, pelo afeto, carinho e compreens˜ao em todos os momentos.

Ao meu amado Teles (Meu Bem), meu companheiro e c´umplice, por tornar a minha vida mais feliz e colorida.

A meu orientador, meu “teacher”Bahiano, pela disponibilidade, pela paciˆencia e por puxar as minhas orelhas, sempre que necess´ario.

Aos professores Zé Fernandes e Paulo Brumatti, pelas sugestões feitas a dis-serta¸cão, em especial, a Zé Fernandes, um conselheiro sábio, pelo exemplo de vida.

Ao professor Enaldo, pelo incentivo, pelo carinho e principalmente pela generosi-dade.

A toda equipe do Laborátorio de ensino de matemática da UFBA (LEMA-UFBA), em especial, à professora Lina e à Fabiana, pelo aprendizado e por todos os nossos momentos juntos.

`

A professora Cec´ılia, por ter me ensinado a olhar a matem´atica com outros olhos, ainda no tempo da escola, e pela torcida.

`

As “super-poderosas”, Fa, Liu e Vanessinha, sinˆonimos de amizade e companhe-rismo, pela parceria acadˆemica durante esses 6 anos e por tornar essa caminhada mais suave e alegre.

`

As minhas amigas da época do Serravalle, Mag e Edilene e a Ísis, pelo carinho e por entender os momentos que não pude estar presente.

A Jo˜ao Paulo (JP), pelo apoio com o latex.

Aos meus colegas de turma, Tiago e Luide, e a todos os familiares, amigos, professores e funcion´arios do IM-UFBA que contribuiram de forma direta ou indireta nesta conquista ou que torceram por mim.

(8)

Neste trabalho mostra-se que as Álgebras de Rees associadas a certas filtra¸cões, em particular, a filtra¸cão simbólica associada a ideais monomiais, são finitamente geradas. Além disso, apresenta-se um estudo introdutório sobre as álgebras de cober-tura de vértices associadas a grafos simples e mostra-se que essas álgebras configuram um caso particular das Álgebras de Rees simbólicas associadas a ideais monomiais.

(9)

Abstract

In this work we deal with Rees algebras associated to some filtrations, in particular, we show that those associated with symbolics filtrations related to monomials ideals are finitely generated. The vertex cover algebras associated to simple graph are introduced and also presented as a particular case of symbolic Rees algebras of monomial ideals.

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Ideais monomiais . . . 3

1.1.1 Defini¸c˜ao e propriedades . . . 3

1.1.2 Decomposi¸c˜ao prim´aria . . . 5

1.2 An´eis de semigrupos . . . 9

1.3 Potˆencias simb´olicas . . . 11

1.4 Algebras de Rees . . . 14´

1.5 Cone racional . . . 16

2 Gera¸cão Finita de Semigrupos Afins 20 3 Algebras de Rees simb´´ olicas de ideais monomiais 29 3.1 Gera¸cão finita das Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais . . . . 29

3.2 Algebras de cobertura de v´ertices . . . 38´

Conclus˜ao 43

(11)

Introdu¸c˜

ao

Nas últimas quatro décadas, o estudo detalhado de certas álgebras (anéis) especi-ais ganharam muito impulso em álgebra comutativa devido a rela¸cão mespeci-ais profunda dessa área com a geometria algébrica, a combinatória e a computa¸cão. É o caso das Álgebras de Rees associadas a uma filtra¸cão. Formalmente, se B é um anel comutativo com unidade eℑ={In}n∈Numa filtra¸cão multiplicativa de ideais em B, aAlgebra de Rees associada a´

ℑ´e a B₋´algebra Rℑ(B) =

M

n≥0

Intn. Essas ´algebras foram introduzidas pelo matem´atico

inglês David Rees para provar o lema de Artin-Rees (1956) sobre filtra¸cões de módulos. Se considerarmos Rℑ(B) como uma subálgebra de B[t] surge naturalmente a

per-gunta: Uma vez que B[t] é uma B₋álgebra finitamente gerada, Rℑ(B) possui gera¸cão

finita? Em geral, a resposta é não. Um contra exemplo foi encontrado, por exemplo, por Nagata em [10]. Diante da resposta negativa, buscam-se hipóteses razoáveis com o intuito de encontrar uma resposta positiva que possa ser generalizada em fun¸cão de caracter´ısticas e invariantes dos ideais da filtra¸cão, já que para um mesmo anel B, a depender da escolha da ℑ, Rℑ(B) pode ter ou não gera¸cão finita.

A no¸cão de potência simbólica foi introduzida por W. Krull na decáda de 30 (do século passado). Trata-se de um objeto extremamente natural em álgebra comutativa, cujo primeiro significado geométrico foi dado por Oscar Zariski. Cerca de 20 anos depois, Hochester chamou a aten¸cão para o comportamento peculiar desses objetos quando se considerava o caso de certos ideais primos. Paralelamente, vários pesquisadores deram in´ıcio ao estudo abstrato das filtra¸cões simbólicas, isto é, filtra¸cões dadas pelas potências silmbólicas de um mesmo ideal, introduzindo formalmente a Álgebra de Rees simbólica. No caso particular em que o ideal é primo em um anel noetheriano, em 1985 Cowsik questionou se a Álgebra de Rees simbólica associada seria sempre finitamente gerada. P. Roberts foi o primeiro a encontrar um contra-exemplo para essa conjectura baseado no contra-exemplo de Nagata citado no parágrafo acima. Em 1988, gra¸cas ao trabalho de Lyubeznik –On arithmetical rank of monomial ideals – sabe-se que a Álgebra de Rees simbólica de ideais monomiais gerados por monômios livres de quadrado tem tipo de gera¸cão finita (veja [8]). Tal resultado foi estendido para qualquer ideal monomial com o trabalho de Herzog, Takayuki e Trung, publicado em 2007, intituladoSymbolic Powers

(12)

of monomial ideals and vertex cover algebras (ver ref. [6]), e esse mesmo artigo motivou o presente trabalho.

Os objetos de estudo desta disserta¸cão são as álgebras de Rees associadas a certas filtra¸cões monomiais, em particular, a filtra¸cão simbólica. Nosso principal objetivo é mostrar que as Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais de K[x1, x2, . . . , xr],

Kum corpo, s˜ao finitamente geradas.

A leitura deste texto pressupõe, naturalmente, conhecimentos sobre a teoria de anéis, módulos e álgebras. Defini¸cões e resultados dessa natureza podem ser encontrados por exemplo em [1] ou [13].E poss´ıvel que um leitor principiante considere a leitura dessas´ referências um tanto dif´ıceis. Se tal acontecer, o leitor pode trocá-las por [7].

A disserta¸cão esta dividida em três cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo aborda-se as ferramentas, conceitos e resultados necessários para a compreensão dos cap´ıtulos seguintes. O cap´ıtulo 2 trata dos semigrupos afins finitamente gerados e da rela¸cão que existe en-tre o fato da interse¸cão de uma cole¸cão finita deles ainda ser finitamente gerada e as

´

Algebras de Rees associadas a _ℑ= _{J1n∩J2n∩. . .∩Jsn}n∈N, no qual {J₁, J₂, . . . , J_s} ´e

uma cole¸cão de ideais monomiais, ser também finitamente geradas. No último cap´ıtulo, mostra-se o resultado principal desta disserta¸cão, apresenta-se um estudo introdutório sobre as álgebras de cobertura de vértices associadas a grafos simples e mostra-se que o número de coberturas de vértices indecompon´ıveis associadas a esses grafos é finito. A disserta¸cão contém ainda um exemplo em que os geradores das estruturas estudadas são explicitamente calculados.

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo faremos uma breve discussão de alguns conceitos e resultados que serão muito úteis nesta disserta¸cão. O cap´ıtulo está organizado em 5 se¸cões cujos t´ıtulos são palavras chaves deste trabalho. As se¸cões 1.1, 1.3 e 1.4 consistem, respectivamente, dos seguintes tópicos de álgebra comutativa: ideais monomiais, potências simbólicas e

´

Algebras de Rees. A leitura desta parte pode ser dispensada ou apenas usada para eventuais consultas, caso o leitor tenha feito um curso de álgebra comutativa. A se¸cão 1.2 aborda um pouco sobre os anéis de semigrupos e a última se¸cão, cones racionais, trata de um tópico de análise convexa de muita utilidade neste contexto e grande apelo intuitivo. Lembrando mais uma vez, sempre que usarmos o termo anel estaremos nos referindo a anel comutativo com unidade.

1.1 Ideais monomiais

Seja p _∈ K[x1, x2, . . . , xr], K corpo. Da teoria elementar de an´eis, sabemos que

se cada termo de p pertence a um ideal I então p_∈ I. No entanto, a rec´ıproca pode não ser verdadeira, mesmo quandop encontra-se em sua forma normal (sem parcelas redun-dantes). Nesta se¸cão, estudaremos uma classe especial de ideais, os ideais monomiais, em que a rec´ıproca é sempre válida, desde que p esteja em sua forma normal. Além disso, por se tratar de uma important´ıssima ferramenta neste trabalho, caracterizaremos a decomposi¸cão primária desses ideais.

Denote Xα_:=_x

1α1. . . xrαr com α= (α1,· · · , αr)∈Nr.

1.1.1 Defini¸c˜

ao e propriedades

Defini¸c˜ao 1.1.1. SejaI _⊂K[x1, x2, . . . , xr]um ideal. Dizemos queI ´e um ideal monomial

se I =h{Xα_; _α_∈_Λ _⊂_Nr_}i_{, para algum} _Λ _⊂_Nr _{n˜ao vazio,} _{ou seja,} _I _{´e gerado por uma}

cole¸cão não vazia de monômios.

(14)

Lema 1.1.2. Seja I um ideal monomial gerado por _{Xα_; _α _∈_Λ _⊂_Nr_}_. _Dado _f

perten-cente a K[x1, x2, . . . , xr] em sua forma normal ent˜ao f ∈I se, e somente se, cada termo

de f ´e divis´ıvel por algum Xα_.

Demonstra¸c˜ao. Se f _∈ I ent˜ao f =

s

X

i=1

giXα(i) com gi ∈ K[x1, x2, . . . , xr] eα(i) ∈ Λ.

Escrevendo cada gi como soma de termos e distribuindo os produtos, encontramos que

cada termoaβXβ de f com aβ 6= 0 temβ =α(i) +γ para algum α(i)∈Λ e γ ∈Nr.

A rec´ıproca ´e imediata.

✷

Note que pelo teorema da base de Hilbert (ver [1]),K[x1, x2, . . . , xr],Kum corpo,

é um anel noetheriano, ou seja, se I é um ideal de K[x1, x2, . . . , xr] então existe um

conjunto finito de polinômios que geram I. Em particular, se I é um ideal monomial, pelo lema 1.1.2 é poss´ıvel verificar facilmente que I é gerado por uma cole¸cão finita de monômios, mais precisamente, pela cole¸cão de monômios associados aos termos dos polinômios geradores.

O teorema a seguir apresenta uma demonstra¸c˜ao alternativa para este resultado.

Teorema 1.1.3. Se I = _h{Xα_; _α _∈ _Λ _⊂ _Nr_}i _ent˜ao _∃ _{α(1), . . . , α(k)} _∈ _Λ _{tais que}

I =_hXα(1)_{, . . . , X}α(k)_i_{. Em outras palavras, todo ideal monomial ´e gerado por uma cole¸c˜ao}

finita de monˆomios.

Demonstra¸cão. Vamos mostrar essa afirma¸cão por indu¸cão no número de variáveis. Se r= 1 então I é gerado por xa1

1 , x

a2

1 , . . . com ai ∈Λ⊂N.

Sejaα= min_{ai; ai ∈Λ}. Ent˜aoxα1 divide todos os outros geradores deI. Logo,

I =_hxα

1i.

Suponha a afirma¸cão válida para r _≥ 1 e denote a variável xr+1 por y.

Observe que todo monˆomio de K[x1, x2, . . . , xr, y] pode ser escrito da forma Xβym com

β_∈Nr e m_∈N.

Seja I = _h{Xβ; Xβym _∈ I para algum m _∈ N_}i. Por constru¸cão, I é um ideal monomial de K[x1, x2, . . . , xr]. Assim, por hipótese de indu¸cão, I é gerado por uma lista

finita de monˆomios, isto ´e:

I =_hXβ(1), . . . , Xβ(s)_i. (1.1)

Consequentemente, ∃m(1), m(2), . . . , m(s)∈N tais que Xβ(i)_ym(i) _∈_{I, i} _{∈ {}_1,_{2, . . . , s}_}_.

Tomandom0 = max{m(1), m(2), . . . , m(s)} temos que

Xβ(i)ymo

∈I, _∀i_{∈ {}1,2, . . . , s_}. (1.2)

Por outro lado, para cada k _∈ N, 0 _≤k _≤ m0, considere Ik = h{Xβ; Xβyk ∈ I}i. Mais

uma vez, usando a hip´otese de indu¸c˜ao, para cadak temos:

(15)

Preliminares 5

Pela defini¸c˜ao de Ik,

Xβk(j)_yk _∈_{I, j} _{∈ {}_1,_{2, . . . , t}

k}. (1.4)

Defina

G1 =h{Xβ(i)ymo, 1≤i≤s}i e G2 =h{Xβk(j)yk,0≤k ≤m0, 1≤j ≤tk}i.

Afirmamos que I =_h{G1∪G2}i.

Com efeito, de 1.2 e 1.4 ´e imediato que I _{⊃ h{}G1∪G2}i.

Seja Xβ_ym _∈_I_.

Se m _≥ m0, como Xβ ∈ I, por 1.1 e pelo lema 1.1.2, Xβ ´e divis´ıvel por Xβ(i)

para algum i. Assim,Xβ_ym _{´e divis´ıvel por} _Xβ(i)_ym

0 , o que conclui esse caso.

Se m < m0 ent˜ao Xβ ∈ Im. Usando 1.4 e o lema 1.1.2 temos que Xβ ´e divis´ıvel

porXβm(j) para algum_j. Portanto,_Xβ_ym ´e divis´ıvel por_Xβm(j)_ym e isso conclui a prova.

✷

Fazendo uso do teorema anterior é poss´ıvel verificar, sem muita dificuldade, que o produto, a interse¸cão e o radical de ideais monomiais são também ideais monomiais.

1.1.2 Decomposi¸c˜

ao prim´

aria

Uma decomposi¸cão primária de um ideal I em um anel A é uma expressão de I como interse¸cão de um número finito de ideais primários. A decomposi¸cão primária nos permite reduzir, em certo sentido, o estudo de um ideal arbitrário ao estudo de ideais primários. Vale ressaltar que uma decomposi¸cão primária de um ideal I em um anel qualquer pode não existir. No entanto, se I é um ideal em um anel de polinômios com coeficientes em um corpo, ou mais geralmente, se I é um ideal em um anel noetheriano, pelo teorema de Lasker-Noether (ref. [13]),I tem uma decomposi¸cão primária.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Seja I um ideal e I =

s

\

i=1

Qi uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I em que

Qi ´e Pi−prim´ario. s

\

i=1

Qi é dita uma decomposi¸cão primária minimal ou reduzida de I,

se satisfizer as seguintes condi¸c˜oes:

(i) Para todo i_{∈ {}1,2, . . . , s_}, Qi 6⊃ s

\

j=1, j6=i

Qj;

(ii) Se i ₆= j ent˜ao Pi 6= Pj, ou seja, os primos associados aos ideais prim´arios da

decomposi¸c˜ao s˜ao dois a dois disjuntos.

(16)

interse¸cão dos outros presentes na decomposi¸cão e observando-se que interse¸cão de dois ideais P₋primários é também P₋primário.

Exemplo 1.1.6. Seja I = (x2_{, xy)} _{um ideal de} _K_{[x, y].}

I = (x)∩(y−cx, x2) é uma decomposi¸cão primária minimal,∀c_∈K

cujos primos associados s˜ao p(x) = (x) e p(y₋cx, x2_{) = (x, y).}

Isso mostra que a decomposi¸cão minimal pode não ser única.

O próximo teorema mostrará que os primos associados às componentes primárias da decomposi¸cão de I, são unicamente determinados. O ponto importante é que de-terminar tais primos não depende da decomposi¸cão minimal; depende apenas de uma propriedade intr´ınseca ao ideal.

Teorema 1.1.7. Seja I =

s

\

i=1

Qi uma decomposi¸cão primária minimal de I em que Pi é

o radical de Qi. Um ideal P ∈ Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) ´e igual a algum Pi se, e somente

se,_∃c_6∈I tal que P =p(I :c).

Demonstra¸c˜ao. Seja P _∈Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) tal que P =Pj para algum j. Como a

decomposi¸c˜ao ´e minimal,_∃c_∈

s

\

i=1, i6=j

Qi tal que c6∈Qj.Assim,

(I :c) = (

s

\

i=1

Qi :c) = s

\

i=1

(Qi :c) =

" _s \

i=1, i6=j

(Qi :c)

#

∩(Qj :c) = (Qj :c).

Portanto, p(I :c) =p(Qj :c) =Pj =P.

Reciprocamente, suponha que para algum c_6∈I, p(I :c) = P. Como (I :c) =

s

\

i=1

(Qi :c) ent˜ao

P =p(I :c) =

s

\

i=1

p

(Qi :c) =

\

c6∈Qi

Pi.

Logo, P =Pi para algum i.

✷

O conjunto dos primos associados às componentes primárias da decomposi¸cão minimal deI é chamado de conjunto dos primos associados deI ou simplesmente, primos deI e é denotado por Ass(I).

(17)

Preliminares 7

Note que no exemplo 1.1.6 a não unicidade da decomposi¸cão minimal ocorre devido a componente primária associada ao primo imerso de I. De maneira geral, as componentes primárias associadas aos primos m´ınimos de uma decomposi¸cão primária são unicamente determinadas (veja ref. [1]).

Observa¸c˜ao 1.1.8. Se Pe _∈ Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) e Pe ⊃ I ent˜ao Pe ⊃ P para algum

P _∈Ass(I) (veja ref. [1]).

Observa¸c˜ao 1.1.9. Min(I)_⊂Ass(In_),

∀n _∈N.

De agora diante, para simplificar a nota¸cão, uma decomposi¸cão primária minimal de um idealI será escrita da seguinte forma:

I = \

P∈Ass(I)

Q(P) em que Q(P) ´eP-prim´ario.

O lema a seguir auxiliará a demostra¸cão do teorema que caracterizará uma de-composi¸cão primária de um ideal monomial.

Lema 1.1.10. Seja J _⊂K[x1, x2, . . . , xr] um ideal gerado por monˆomios. SeXα, Xβ s˜ao

monˆomios tais que MDC(Xα_{, X}β_{) = 1} _ent˜ao

(Xα_Xβ_{, J) = (X}α_{, J)}

∩(Xβ_{, J).}

Demonstra¸c˜ao. Note que (Xα_Xβ_{, J)}_⊂_(Xα_{, J)}_∩_(Xβ_{, J).}

Reciprocamente, seja f _∈(Xα_{, J)}_∩_(Xβ_{, J}_). _Ent˜ao,

f =g1Xα+h1 =g2Xβ+h2 com h1, h2 ∈J e g1, g2 ∈K[x1, x2, . . . , xr].

Sem perda da generalidade, podemos supor que g1 e g2 est˜ao em suas formas

normais e que todos os seus termos n˜ao pertencem aJ.

Se g1Xα ∈ J temos que f ∈ J ⊂ (XαXβ, J). Caso contr´ario, existe um termo

aiXγ(i)Xα deg1Xα que n˜ao pertence a J. Como

g1Xα =g2Xβ+h2−h1 ∈(Xβ, J),

temos necessariamente queXγ(i)_Xα _∈_(Xβ_)._{Uma vez que MDC(X}α_{, X}β_{) = 1 temos que}

Xβ _| _Xγ(i)_. _{Repetindo o argumento em todos os termos de}_g

1Xα que n˜ao pertencem a J

obtemos

g1Xα ∈(XαXβ, J).

Portanto, f _∈(Xα_Xβ_{, J}_).

(18)

Teorema 1.1.11. Se I é um ideal monomial então existe uma decomposi¸cão primária

I =

s

\

i=1

Qi em que cada Qi é um ideal monomial gerado por potências de variáveis. Em

particular, os primos associados de I s˜ao gerados por subconjuntos de vari´aveis.

Demonstra¸c˜ao. Seja I = (Xα(1)_{, . . . , X}α(k)_{) em que} _{_Xα(1)_{, . . . , X}α(k)_} _{´e um conjunto}

m´ınimo de geradores deI.

Provaremos por indu¸cão no número de geradores que existe tal decomposicão primária.

Re-enumerando os ´ındices das vari´aveis, se necess´ario, podemos supor

Xα(1) =x1α1(1). . . xtαt(1) com t ≤r.

Se k= 1 ent˜ao I = (Xα(1)_)._{Usando recursivamente o lema 1.1.10 temos:}

I = (x1α1(1))∩. . .∩(xtαt(1)).

Defina J = (Xα(2)_{, . . . , X}α(k)_). _{Por conseguinte,} _I _{= (X}α(1)_{, J).} _Usando

nova-mente o lema 1.1.10 de forma recursiva temos:

I = (x1α1(1), J)∩. . .∩(xtαt(1), J).

Como um número de geradores deJ ék₋1,por hipótese de indu¸cão,J tem uma

decomposi¸c˜ao prim´aria J =

u

\

i=1

f

Qi em que cada fQi é gerado por potências de variáveis.

Portanto, para cada j _{∈ {}1, . . . , t_},

(xjαj(1), J) = (xjαj(1), u

\

i=1

f

Qi) = u

\

i=1

(xjαj(1),fQi)

o que conclui a indu¸c˜ao.

Além disso, sabe-se que os primos associados são os radicais dos ideais primários de uma decomposi¸cão primária. Assim, é imediato que o radical de um ideal primário descrito como acima, é gerado por um subconjunto de variáveis.

✷

Observa¸cão 1.1.12. A decomposi¸cão primária dada acima pode não ser minimal. Por exemplo, I = (x2_{, xy, y}2₎ _⊂ _{K[x, y]} _{é um ideal} _{(x, y)}₋_{primário. Consequentemente, sua}

(19)

Preliminares 9

1.2 An´

eis de semigrupos

Nesta se¸cão, definiremos os anéis de semigrupos afins. Comecemos relembrando o conceito de monóide para a partir da´ı, definirmos semigrupo afim.

Defini¸cão 1.2.1. Seja E um conjunto não vazio onde está definida uma opera¸cão

∗:E_×E_7−→E.

Dizemos que o par (E,∗)é um monóide se as seguintes propriedades são satisfeitas:

• a_∗(b_∗c) = (a_∗b)_∗c,_∀a, b, c_∈E (associatividade)

• ∃e _∈E tal que a_∗e=e_∗a=a,_∀a_∈E (existˆencia do elemento neutro)

A fim de simplificar a nota¸c˜ao, usaremosEem lugar de (E,_∗) quando n˜ao houver possibilidade de ambiguidade para *.

Exemplo 1.2.2. Né um monóide com a opera¸cão usual de soma.

Exemplo 1.2.3. Todo grupo ´e um mon´oide.

Exemplo 1.2.4. (Zr_,₊₎ _{´e um mon´oide.}

Defini¸cão 1.2.5. Seja E um monóide e H um subconjunto de E. Dizemos que H é um submonóide deE se H é ele próprio um monóide com a mesma opera¸cão de E.

Defini¸cão 1.2.6. Dizemos queHé um semigrupo afim, seHé um submonóide de(Zr_,_+).

Exemplo 1.2.7. Nr ´e um semigrupo afim.

O próximo exemplo mostra que nem todo semigrupo afim é finitamente gerado. A posteriori (Cap.2) mostraremos uma condi¸cão suficiente e necessária para que isso ocorra.

Exemplo 1.2.8. Seja H ={(i, j)∈N;ij ₆= 0 ou (i, j) = (0,0)}. H é um semigrupo afim de Z2 que não é finitamente gerado.

De fato, sejam h1 = (i1, j1), h2 = (i2, j2)∈H.Note que se

i1j1+i1j2+i2j1+i2j2 = 0

ent˜ao i1j1 = 0 e i2j2 = 0 o que equivale a dizer que h1 = h2 = (0,0) ∈ H ou seja

h1+h2 ∈H.

Suponhamos por absurdo que H fosse finitamente gerado:

(20)

Considere o elemento (i, j) = (1,max_{j1, j2, . . . , jm} + 1) ∈ H. Consequentemente,

∃n1, n2, . . . , nm ∈N tais que

(1,max_{j1, j2, . . . , jm}+ 1) =n1(i1, j1) +n2(i2, j2) +· · ·+nm(im, jm).

Assim, determinar n1, n2, . . . , nm ∈N se resume a resolver o sistema,

  

n1i1+n2i2+· · ·+nmim = 1

n1j1+n2j2+· · ·+nmjm = max{j1, j2, . . . , jm}+ 1.

Da primeira equa¸c˜ao, ∃!r _{∈ {}1,2, . . . , m}tal que

nrir= 1 ⇒nr = 1 e nk= 0 para k 6=r.

Portanto, aplicando esse resultado na segunda equa¸c˜ao temos max_{j1, j2, . . . , jm}+ 1 =jr

o que ´e um absurdo.

Logo, H n˜ao ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

Defini¸c˜ao 1.2.9. Sejam A um anel e H um semigrupo afim. Definimos

A[H] := _{f :Hr _−→A; f tem suporte finito_}.

em que o suporte de uma fun¸c˜ao f ´e o conjunto de elementos h_∈Hr _{tais que} _f(h)₆_{= 0.}

Dados f e g _∈A[H], definindo-se a soma em A[H] por:

[f +g] :Hr _−→ A

h _7−→ [f+g](h) =f(h) +g(h)

e o produto por:

[f. g] :Hr _−→ A

h _7−→ [f. g](h) = X

v+w=h

f(v)g(w)

é poss´ıvel verificar que, com as opera¸cões acima, A[H] é um anel.

Tamb´em podemos definir um produto de elementos de A por elementos de A[H] da seguinte forma:

[a.f] :Hr _−→ A

h _7−→ [a.f](h) =af(h)

Novamente é fácil verificar que A[H]é um A₋módulo. Mais ainda, A[H] é uma álgebra sobre A.

(21)

Preliminares 11

Toda fun¸cão f _∈A[H] pode ser escrita de forma única, a menos de ordem entre as parcelas, como uma soma finita de termos, isto é, fun¸cões cujo suporte é unitário. Se m _∈ A[H] é um termo, com m(h) = m(h1, . . . , hr) = a podemos utilizar a nota¸cão

axh1

1 xh22. . . xhrr para representar m.

Note que K[H] é uma subálgebra do anel de polinômios de Laurent K[x1, x1−1, x2, x2−1, . . . , xr, xr−1] gerada por {xh11x

h2

2 . . . xhrr}h∈H. Se H = Nr ent˜ao K[H]

é o anel polinômios em r variáveis sobre K.

Note ainda que se Λ_⊂Nr_{é não vazio e}_I_{é um ideal monomial em}_K[x

1, x2, . . . , xr]

gerado por _{Xα_; _α_∈_Λ_}_, _{pelo lema 1.1.2, ´e poss´ıvel verificar facilmente que}

I ∼=K[H] em que H =_{(α1, α2, . . . , αr)∈Nr; xα11x

α2

2 · · ·xαrr ∈I} ∪ {0}.

1.3 Potˆ

encias simb´

olicas

A forma¸cão do anel de fra¸cões e o processo de localiza¸cão associado são uma das mais importantes ferramentas usadas em álgebra comutativa. Apesar da riqueza deste tema, para sermos objetivos, nesta se¸cão daremos apenas a defini¸cão e propriedades do anel de fra¸cões necessárias para definir potência simbólica.

SejaA um anel,S um sistema multiplicativo deA, isto é,S _⊂Aé tal que 1_∈S, 0_6∈S e S é fechado com respeito ao produto de seus elementos.

Considere a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ no conjunto A_×S dada por

(a, s)_∼(b, t)_⇔(at₋bs)u= 0 para algum u_∈S.

Note que se A´e um dom´ınio de integridade (a, s)∼(b, t) ⇔ at=bs. Defina S−1A:= A×S

∼ e denote cada classe de equivalˆencia (a, s) :=

a s. Dados a

s, b t ∈S

−1_A _{se considerarmos a soma e o produto dados por:}

a s +

b t =

at+bs st e

a s b t =

ab st;

temos queS−1Aé um anel o qual denominamos de anel de fra¸cões de Aem S. Quando S=A₋P eP é um ideal primo, denotaremos S−1Apor AP.

´

E poss´ıvel verificar facilmente que

ϕ:A _−→ S−1A x _7−→ = x

1

(22)

Se A é um dom´ınio de integridade e S = A_{− {}0_} então o anel de fra¸cões é um corpo, o qual denominamos de corpo de fra¸cões de A. Em particular, se A = Z e S=Z_{− {}0_}então S−1Z=Q.

Sejam I um ideal deA e J um ideal de S−1_A_,

Jc :=ϕ−1(J) ={x_∈A; ϕ(x)∈J_}

Ie :=_hϕ(I)_i=_{

c

X

i=0

yiϕ(xi); xi ∈I, yi ∈S−1A e c∈N}.

Os conjuntos Jc e Ie s˜ao, respectivamente, ideais deA e S−1Ae

I _⊂(Ic₎e_{, J}

⊃(Jc₎e_.

Al´em disso, ´e poss´ıvel ver sem muita dificuldade que

Ie=_{x s ∈S

−1_A; _x

∈I, s_∈S_}.

Na próxima proposi¸cão encontram-se listadas algumas propriedades que serão necessárias mais tarde.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Sejam I1, I2, . . . , In ideais quaisquer deA e Q um idealP−prim´ario.

Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

(a) (

n

\

k=1

Ik)ec = n

\

k=1

Ikec

(b) P ∩S =∅ ⇒Qec =Q

(c) P _∩S ₆=_{∅ ⇒}Qec ₌_A

Demonstra¸c˜ao. (a) Basta mostrar para k = 2 e observar que o caso geral segue por indu¸c˜ao.

Claramente (I1∩I2)ec ⊂I1ec∩I2ec.

Reciprocamente, se z _∈I1ec∩I2ec = (I1e∩I2e)c ent˜ao

z 1 ∈I1

e

∩I2e. Desta forma,

z 1 =

x s =

y

t em que x∈I1, y ∈I2 es, t ∈S.

Da segunda igualdade, v(tx ₋sy) = 0 para algum v _∈ S. Consequentemente, vtx=vsy_∈I1∩I2.

Assim, z 1 =

x s =

vtx

vts ∈(I1 ∩I2)

e_, _{ou seja,}_z _∈_(I

1∩I2)ec.

(23)

Preliminares 13

Sef _∈Qec_ent˜ao_∃_x_∈_Q _e_s _∈_S _{tais que}f

1 = x

s.Por sua vez, a última igualdade implica que t(x−sf) = 0 para algum t ∈ S,ou seja, tsf = tx ∈ Q. Como ts ∈ S então ts_6∈P, portanto, f _∈Q pois,Q éP- primário.

(c) Ses _∈P _∩S ent˜ao sn_∈_Q_∩_S _{para algum}_{n >} _{0 e portanto} s n

1 ∈Q

e_. _Logo,

Qe ₌_S−1_A_{o que implica em} _Qec ₌_A.

✷

A defini¸cão dada a seguir de potência simbólica para anéis de polinômios é a usual em anéis noetherianos, embora existam outros ideais que também são chamados de potência simbólica.

Defini¸cão 1.3.2. Dado um ideal I _⊂ K[x1, x2, . . . , xr] e n ∈ N. A n-ésima potência

simbólica ordinária de I é definida como sendo o ideal

I(n) := (In)ec em que S=K[x1, x2, . . . , xr]−

[

P∈Min(I)

P.

Para simplificar, chamaremos I(n) _{apenas de n-ésima potência simbólica de} _I.

O próximo teorema dará uma condi¸cão equivalente para potência simbólica muito usada e que será muito útil neste contexto.

Teorema 1.3.3. Seja I um ideal de K[x1, x2, . . . , xr] e In =

\

P∈Ass(In₎

Q(P) uma

decom-posi¸cão primária de In_. _Então:

I(n) = \

P∈Min(I)

Q(P).

Demonstra¸c˜ao. Note que, em virtude da proposi¸c˜ao 1.3.1, segue que

(In₎ec _{= (} \ P∈Ass(In₎

Q(P))ec ₌ \ P∈Ass(In₎

Q(P)ec_.

Por outro lado, como

P _∩S =∅ ⇔ P _⊂ [

P∈Min(I)

P

P _⊂ [

P∈Min(I)

P _⇔ P _∈Min(I)

temosP _∩S =_∅equivale a P _∈Min(I). Consequentemente, temos:

Q(P)ec = Q(P), seP _∈Min(I) Q(P)ec ₌ _K[x

1, x2, . . . , xr], caso contr´ario.

Logo, pela observa¸c˜ao 1.1.9, I(n) ₌ \

P∈Min(I)

Q(P).

(24)

1.4 Algebras de Rees

´

Nesta se¸cão, introduziremos o principal conceito deste trabalho: as Álgebras de Rees. Para entendermos melhor essas álgebras, falaremos um pouco sobre uma classe de anéis que, assim como o anel de polinômios, admite uma decomposi¸cão de seus elementos em componentes homogêneas. Essa classe de anéis é tratada formalmente na próxima defini¸cão.

Um anel A´e dito N₋graduado se podemos escrever

A=M

λ∈N

Aλ

em que cadaAλ ´e um subgrupo de Ae AiAj ⊂Ai+j, ∀i, j ∈N.

Observe que como cada Aλ é umA0−módulo entãoA é uma A0−álgebra.

Os elementos f _∈Aλ são ditos homogêneos de grau λ. Um ideal homogêneo em

A´e um ideal que admite um conjunto de geradores composto por elementos homogˆeneos.

Note que a soma de elementos homogêneos de graus diferentes não é um elemento homogêneo. Assim, ideais homogêneos contém elementos não homogêneos.

Se A é um anel N₋graduado então todo elemento f _∈ A, não nulo, é escrito de forma única como

f =f0 +f1+f2+· · ·

com fj ∈ Aj e fj 6= 0 somente para um n´umero finito de ´ındices. Em outras palavras,

f é escrito de forma única como soma de um número finito de elementos homogêneos. Cadafj é chamada de componente homogênea de f em grau j.

Observa¸cão 1.4.1. E poss´ıvel verificar que´ I é um ideal homogêneo se, e somente se,

f _∈I _⇒ fj ∈I, ∀j.

Exemplo 1.4.2. De imediato temos que o anel de polinˆomios S=K[x1, x2, . . . , xr] ´e um

anel N₋graduado atrav´es do grau total, isto ´e,

S=M

λ∈N

Sλ

em que Sλ é o espa¸co vetorial dos polinômios homogêneos de grau λ.

Deste ponto até o final da se¸cão, iremos nos restringir a definir e a apresentar alguns resultados sobre um tipo especial de anéis graduados: as Álgebras de Rees.

Defini¸c˜ao 1.4.3. Seja B um anel. Dizemos que uma fam´ılia de ideais _ℑ=_{In}_n∈N de B

(25)

Preliminares 15

Defini¸c˜ao 1.4.4. Seja _ℑ = _{In}n∈N uma filtra¸c˜ao multiplicativa de ideais em B. A

B₋´algebra

Rℑ(B) = ∞

M

n=0

Intn=B⊕I1t⊕I2t2⊕ · · ·

´e chamada ´Algebra de Rees associada a _ℑ.

O ideal

∞

M

n=1

Intn ´e denominado de ideal irrelevante.

Observe que Rℑ(B) ´e uma B−´algebra finitamente gerada se, e somente se, o

ideal irrelevante é finitamente gerado. Ironicamente, é o ideal irrelevante que determina a noetherianidade da Álgebra de Rees, desde que B seja noetheriano. Em virtude desta observa¸cão, apresentar um conjunto finito de geradoresG para o ideal irrelevante é equi-valente a dizer que G_{∪ {}1B} é um conjunto de geradores da B−álgebraR_ℑ(B). Por esse

motivo, sempre que apresentarmos um conjunto de geradores paraRℑ(B) omitiremos o 1.

A filtra¸c˜ao multiplicativa _ℑ = _{In_}

n∈N é chamada de filtra¸cão I-ádica. Neste

caso, Rℑ(B) é denominada Algebra de Rees de´ I ou Álgebra de Rees ordinária associada

a I e ´e denotada por RI(B).

Proposi¸c˜ao 1.4.5.SejamS=K[x1, x2, . . . , xr], ℑ={In}n∈N uma filtra¸c˜ao de S e R_ℑ(S)

a ´Algebra de Rees associada a ℑ. Ent˜ao, existe um conjunto de geradores da forma gntn

com gn ∈ In. Em particular, se para todo n, In ´e um ideal homogˆeneo (resp. monomial)

é poss´ıvel tomar gn∈In homogêneo (resp. monômio).

Demonstra¸c˜ao. SejaGn um conjunto de geradores de In. Defina

e

Gn={gtn ; g ∈Gn}.

´

E imediato que [

n∈N

e

Gn ´e um conjunto de geradores de Rℑ(S). Em particular, se

cada In é homogêneo (resp. monomial) então Gn pode ser escolhido de tal forma a ser

composto por elementos homogˆeneos (resp. monomiais).

✷

A Álgebra de Rees Rℑ(S) é uma álgebra monomial se ela pode ser gerada por

um conjunto de monômios de S[t] = K[x1, x2, . . . , xr, t]. Pela proposi¸cão anterior, se ℑ é

uma filtra¸cão monomial, ou seja, In é um ideal monomial ∀n ∈N, Rℑ(S) é uma álgebra

monomial.

Usando os mesmos argumentos da demonstra¸cão do lema 1.1.2, é poss´ıvel verificar facilmente que se Rℑ(S) é uma álgebra monomial, f tn ∈ Rℑ(S) se, e somente se, para

cada termo n˜ao nulofsdef tem-se quefstn pertence aRℑ(S).Consequentemente, temos

Rℑ(S)∼=K[H] em que

H = {(α1, α2, . . . , αr, αr+1)∈Nr+1;xα11x

α2

2 · · ·x

αr

r t αr+1

∈Rℑ(S)} ∪ {0}

(26)

De forma geral, toda álgebra monomial pode ser vista como um anel de semigrupo. O seguinte teorema dá uma classe de exemplos de Álgebras de Rees finitamente geradas.

Teorema 1.4.6. SeB é um anel noetheriano eI _⊂Bé um ideal então a Álgebra de Rees ordinária associada aI é uma B₋álgebra finitamente gerada.

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que seI =hg1, g2, . . . , gsi ent˜ao

RI(B) =

M

n≥0

Intn =hg1t, g2t, . . . , gsti

ou equivalentemente que

Ψ :B[x1, x2, . . . , xs] −→ RI(B)

xi 7−→ git, ∀i∈ {1,2, . . . , s}

´e um epimorfismo deB₋´algebras.

Claramente, Ψ ´e um homomorfismo. Resta mostrar que Ψ ´e sobrejetiva. Seja gtn _∈_In_tn_{, g} _∈_In_. _{Neste caso,}

g = X

α1+···+αs=n

aα1···αsg1

α1

· · ·gsαs com aα1...αs ∈B.

Considere h= X

α1+···+αs=n

aα1···αsx1

α1

· · ·xsαs ∈B[x1, x2, . . . , xs]. Temos:

Ψ(h) = h(g1t, . . . , gst) =

X

α1+···+αs=n

aα1···αrg1t

α1

· · ·gstαs =gtn.

Como todo elemento de RI(B) ´e escrito como soma de um n´umero finito de

componentes homogˆeneas temos que Ψ ´e sobrejetiva.

✷

1.5 Cone racional

(27)

Preliminares 17

Um subconjunto não vazio D do Rn _{é chamado} _cone _{se é fechado para}

com-bina¸cões lineares com coeficientes reais não negativos, isto é,

ax+by_∈D sempre que x, y _∈D ea, b_≥0.

Uma face de um coneD´e um subconjunto convexoD′deDtal que todo segmento em D com um ponto interior em D′ _{esta completamente contido em} _D′_.

Se V _⊂Rn ´e n˜ao vazio, o conjunto

R+V ={

c

X

i=0

aivi;ai ∈R+, vi ∈V e c∈N}

é obviamente o menor cone contendo V, ou equivalentemente, é o cone gerado por V. O cone R₊V é dito um poliedral convexo do subespa¸co RV do Rn_, _{se pode}

ser expresso como uma interse¸c˜ao finita de semi-espa¸cos fechados de RV passando pela origem, ou seja,_∃ω1, . . . , ωt ∈Rn, ωi 6= 0 tais que

R+V =V1+∩V2+∩. . .∩Vt+ em que Vi+={v ∈RV;hhωi, vii ≥0}

em que _hhω, v_ii denota o produto interno canˆonico deω por v.

Enunciaremos agora um resultado que afirma que R₊V ´e um poliedral convexo se, e somente se,R₊V ´e um cone finitamente gerado.

Teorema 1.5.1. Seja V _⊂Rn_, _{n˜ao vazio. S˜ao equivalentes:}

(a) R+V ´e a interse¸c˜ao finita de semi-espa¸cos fechados de RV passando pela origem;

(b) R+V tem um n´umero finito de faces;

(c) _∃v1, . . . , vs∈V tais que R+V =R+{v1, . . . , vs}, isto ´e, R+V ´e um cone finitamente

gerado.

Demonstra¸c˜ao. Veja [11].

Defini¸c˜ao 1.5.2. Seja V _⊂Rn_, _{n˜ao vazio. O conjunto}

Q+V ={

d

X

i=0

civi ; ci ∈Q+, vi ∈V e d∈N}

´e um cone racional, se existem ω1, ω2, . . . , ωm ∈Rn, ωi 6= 0 tais que

Q+V =V1+∩V2+∩. . .∩Vm+ em que Vi+ ={v ∈QV ; hhωi, vii ≥0}

(28)

O teorema a seguir é uma versão doteorema de Carathéodorypara cones racionais. Essencialmente, esse resultado diz que um cone racional qualquer é a união de cones racionais cujos geradores são linearmente independentes.

Teorema 1.5.3 (Teorema de Carath´eodory). Sejam v1, . . . , vm ∈ Rn. O cone

Q₊_{v1, . . . , vm}´e a uni˜ao dos conesQ+{vi1, vi2, . . . , vis}comvi1, vi2, . . . , vis ∈ {v1, . . . , vm}

linearmente independentes sobreR.Em particular, sev1, . . . , vm ∈Qnent˜aoQ+{v1, . . . , vm}

é a união de cones racionais cujos geradores são linearmente independentes sobre Q.

Demonstra¸c˜ao. Veja [11].

Proposi¸cão 1.5.4. Q+V é um cone racional se, e somente se, é um cone finitamente

gerado.

Demonstra¸c˜ao. Note que Q₊_{v1, . . . , vs} =QV ∩R+{v1, . . . , vs} com {v1, . . . , vs} ⊂V

linearmente independente.

De fato, obviamente Q+{v1, . . . , vs} ⊂QV ∩R+{v1, . . . , vs}.

Reciprocamente, se v _∈QV _∩R+{v1, . . . , vs} uma vez que o sistema de equa¸c˜ao

com coeficientes em Q

v1y1+· · ·+vsys=v

tem única solu¸cão (y1, . . . , yr)∈Qs∩(R+)s então (y1, . . . , yr)∈(Q+)s, isto é,

v _∈Q₊_{v1, . . . , vr}.

Pelo teorema de Carath´eodory, Q₊_{v1, . . . , vm} = QV ∩R+{v1, . . . , vm} para

quaisquer v1, . . . , vm ∈V.

O resultado segue do teorema 1.5.1.

✷

Exemplo 1.5.5. Seja H =_{(c+d, b+d, a+b+c+d) ; a, b, c, d_∈N_{} ⊂}R3. Note que H ´e um semigrupo afim gerado pelo conjunto

{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)_}.

Como H ´e um semigrupo afim, o cone racional Q₊H corresponde ao conjunto de pontos de R₊H com coordenadas racionais.

Observe que Q+H tem quatro faces de dimens˜ao 2:

(29)

Preliminares 19

Al´em disso, Q+H =H1+∩H2+∩H3+∩H4+ em que

H1+ = {v ∈QH; hh(1,0,0), vii ≥0}

H2+ = {v ∈QH; hh(0,1,0), vii ≥0}

H3+ = {v ∈QH; hh(0,−1,1), vii ≥0}

H4+ = {v ∈QH; hh(−1,0,1), vii ≥0}.

Note ainda que

Q+H = Q+{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}

= Q+{(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)} ∪Q+{(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1)}

= Q₊_{(1,0,1),(0,0,1),(0,1,1)} ∪Q₊_{(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)}

em que cada um dos conjuntos {(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}, {(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1)},

{(1,0,1),(0,0,1),(0,1,1)}, {(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)} ´e linearmente independente sobre Q.

A figura abaixo traz um esbo¸co de R+H =R+{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}.

(30)

Gera¸c˜

ao Finita de Semigrupos Afins

Neste cap´ıtulo, mostraremos uma condi¸cão necessária e suficiente para que um semigrupo afim seja finitamente gerado. Este resultado é um alicerce não apenas deste cap´ıtulo mas de todo este texto, pois, dele descendem quase todos os resultados a partir deste cap´ıtulo. Nosso objetivo central aqui é mostrar que a Álgebra de Rees associada a uma filtra¸cão é finitamente gerada sempre que o n-ésimo termo desta filtra¸cão é a interse¸cão de todas as potências n-ésimas de uma cole¸cão finita de ideais monomiais, isto é,

ℑ=_{J1n∩. . .∩Jsn}n∈N em que cada J_i ´e um ideal monomial.

Recomendamos ao leitor voltar ao cap´ıtulo anterior caso n˜ao esteja familiarizado com as defini¸c˜oes de semigrupo afim e cone racional. Iniciaremos o nosso estudo com o “teorema alicerce”.

Teorema 2.0.6. Seja H um semigrupo afim. H ´e finitamente gerado se, e somente se, Q+H ´e um cone racional.

Demonstra¸c˜ao. Se H =_h{h1, . . . , hk}i ent˜ao Q+H =Q+{h1, . . . , hk}. Segue da

propo-si¸c˜ao 1.5.4 queQ₊H ´e um cone racional.

Reciprocamente, como Q+H ´e um cone racional, Q+H = Q+{q1, . . . , qm} com

q1, . . . , qm ∈ H. Seja ZH = { c

X

j=0

ajhj;aj ∈ Z, hj ∈ H e c ∈ N} o menor subgrupo

de Zr _contendo _H. _{Observe que como} _Zr _{´e um grupo abeliano de posto r, definindo}

s:= posto ZH, temos s_≤r.

Considere os cones Q₊_{qi1, . . . , qis} em que qi1, . . . , qis ∈ {q1, . . . , qm} ⊂ H s˜ao

linearmente independentes em Qr_, _{ou equivalentemente, linearmente independentes em}

ZH. Pelo teorema 1.5.3, Q₊_{q1, . . . , qm}´e a uni˜ao desses cones. Como existe apenas um

n´umero finito de cones da forma Q+{qi1, . . . , qis} e H =H∩Q+{q1, . . . , qm} ´e suficiente

mostrar que cada semigrupo afimH_∩Q+{qi1, . . . , qis}´e finitamente gerado.

Para simplicar a nota¸c˜ao, assumiremos sem perda da generalidade que Q₊H =Q₊_{q1, . . . , qs} em que q1, . . . , qs s˜ao linearmente independentes.

(31)

Gera¸c˜ao Finita de Semigrupos Afins 21

Seja B =_{

s

X

i=1

ciqi; 0≤ci <1} ∩ZH.Afirmamos que:

1) ZH = [

p∈B

Lp em que Lp =p+Z{q1, . . . , qs}

2) Lp∩Lp′ =∅, se p6=p′.

1) Obviamente ZH _⊃ [

p∈B

Lp.

Observe que QH = Q_{q1, . . . , qs}. Com efeito, se x∈ QH, ∃x1, x2 ∈ Q+H tais

quex=x1−x2. Consequentemente,x∈Q{q1, . . . , qs}.

Seja y_∈ZH. ComoZH _⊂QH ent˜ao y_∈QH. Assim,

y= s X i=1 ai bi

qi com ai ∈Z ebi ∈N− {0}

Pelo algoritmo da divis˜ao, para cada i,_∃di, ri ∈Ztais que ai =bidi+ri com 0≤ri < bi.

Desta forma temos:

y=

s

X

i=1

diqi+ s

X

i=1

ciqi com ci =

ri

bi

, 0≤ci <1

Portanto, y_∈Lp para p= s

X

i=1

ciqi.Logo, ZH ⊂

[

p∈B

Lp.

2) Se x_∈Lp∩Lp′,

x=p+

s

X

i=1

αiqi =p′+ s

X

i=1

βiqi com αi, βi ∈Z,

ou seja,

p₋p′ =

s

X

i=1

(αi−βi)qi ∈Z{q1, . . . , qs} o que implica em p=p′.

Como H =H_∩ZH ent˜ao H = [

p∈B

(Lp∩H) comLp∩H 6=Lp′ ∩H para p6=p′.

Definindo Hp :=H∩Lp temos que H ´e a uni˜ao disjunta dos Hp′_s.

Vamos mostrar que cada Hp ´e finitamente gerado.

Defina

Ip =h{xc11· · ·xscs; (c1, . . . , cs)∈Ωp}i

em que Ωp ={(c1, . . . , cs)∈Ns; p+ s

X

i=1

ciqi ∈HP}.

Pelo teorema 1.1.3, ´e poss´ıvel extrair dentre os geradores deIp um conjunto finito

e m´ınimo que ainda geraIp. Denote por G(Ip) tal conjunto.

Afirmamos que todo elemento de Hp ´e a soma de um elemento de

Λ ={p+

s

X

i=1

(32)

De fato, seja x_∈Hp ⊂H ⊂Q+{q1, . . . , qr}.

Como x _∈ Hp temos que x = p+ s

X

i=1

αiqi com αi ∈ Z. Por outro lado, como

x_∈Q₊_{q1, . . . , qs},

x =

s

X

j=1

βjqj, βj ∈Q+

= p′+

s

X

j=1

λjqj, λj ∈Z+, p′ ∈B

Assim, repetindo argumentos j´a usados anteriormente temos que p = p′. Desta forma, sex_∈Hp

x=p+

s

X

j=1

λjqj com p∈B, λj ∈Z+.

Consequentemente,xλ1

1 · · ·xλss ∈Ip. Com isso, ∃xc11· · ·xcss ∈G(Ip) tal que

xλ1

1 · · ·xλss = (x a1

1 · · ·xass)x c1

1 · · ·xcss em que ak+ck =λk, ak, ck ∈N, ∀k∈ {1, . . . , s}.

Portanto, x=p+

s

X

i=1

ciqi+ s

X

i=1

aiqi. Isso mostra que sex∈Hp ent˜ao x ´e a soma

de um elemento de Λ com um elemento deZ+{q1, . . . , qs}.Além disto,B é finito poisB é

um conjunto limitado em ZH _⊂Zr _{(note que se} r

X

i=1

ciqi ∈B ent˜ao | s

X

i=1

ciqi| ≤ s

X

i=1

|qi|).

Logo, G = [

p∈B

{p+

s

X

i=1

ciqi; xc11· · ·xscs ∈ G(Ip)} ∪ {q1, . . . , qs} ´e um conjunto de

geradores deH.

✷

O corolário a seguir mostra que a interse¸cão finita de semigrupos afins finitamente gerados é também um semigrupo afim que satisfaz a mesma propriedade.

Corolário 2.0.7. SeH1, H2, . . . , Hssão semigrupos afins finitamente gerados então s

\

i=1

Hi

´e um semigrupo afim finitamente gerado.

Demonstra¸c˜ao. SejaH =

s

\

i=1

Hi.E poss´ıvel verificar facilmente que´ H ´e um semigrupo

afim.

Resta mostrar que H ´e finitamente gerado. Para isso, provaremos que Q₊H ´e um cone racional.

Afirmamos que Q+H =

s

\

i=1

Q+Hi.

De fato, como Q+H ⊂Q+Hi para todo i∈ {1,2, . . . , s}segue que

Q+H ⊂

s

\

i=1

(33)

Por outro lado, seja p_∈

s

\

i=1

Q₊Hi. Ent˜ao, para cada i fixo,

p=

mi

X

j=1

cijhij com cij ∈Q+, ∀i, j ehij ∈Hi, ∀j.

Como cij ∈ Q+ ent˜ao ∃ aij ∈ N, bij ∈ N − {0} tais que cij =

aij

bij

. Defina ni = M M C{bi1, . . . , bimi}. Note que nip ∈ Hi. Tomando n = n1n2. . . ns temos np ∈ Hi

para todoi_{∈ {}1, . . . , s_} o que equivale a dizer que np=h_∈H.Logo, p= 1

nh∈Q+H, o que finaliza a prova da afirma¸c˜ao.

Como a interse¸cão finita de cones racionais é um cone racional, pelo teorema 2.0.6,H é um semigrupo afim finitamente gerado.

✷

Agora estamos aptos a mostrar

Teorema 2.0.8. Sejam S = K[x1, x2, . . . , xr], J1, J2, . . . , Js ⊂ S ideais monomiais e

ℑ = _{

s

\

i=1

Jin}n∈N. Ent˜ao a ´Algebra de Rees

M n≥0 ( s \ i=1

Jin)tn ´e uma S-´algebra finitamente

gerada.

Demonstra¸c˜ao. SejaA =M

n≥0

(

s

\

i=1

J_in)tn_. _{Uma vez que}

ℑ´e uma filtra¸c˜ao multiplicativa,

A´e uma S-´algebra.

Afirmamos que A =

s

\

i=1

Ai em que Ai = ∞

M

n=0

J_intn.

De fato, se f _∈A ent˜ao

f =

m

X

n=0

cntn com cn∈ s

\

i=1

Jin

o que equivale a dizer quecn∈Jin para todoi∈ {1,2, . . . , s}, ou seja, f ∈ s

\

i=1

Ai.

Por outro lado, se g _∈

s

\

i=1

Ai, para cada i fixo,

g =

ui

X

n=1

cnitn com cni∈Jin.

Considerando os coeficientes nulos, quando necess´ario, podemos escrever:

g =

u

X

n=1

(34)

Comog _∈S[t] entãog é escrito de forma única como soma de partes homogêneas em t. Consequentemente cni não depende de i. Assim, definindo cn := cni para todo i

temoscn∈ s

\

i=1

J_in.Portanto, g =

u

X

n=1

cntn∈A.

Logo, A =

s

\

i=1

Ai.

Como J1, J2, . . . , Js s˜ao ideais monomiais, as ´Algebras de Rees A, A1, A2, . . . , As

são álgebras monomiais. Portanto, A _≃ K[H] e Ai ≃ K[Hi] em que H, H1, . . . , Hs são

semigrupos afins dados por:

H ={(α1, α2, . . . , αr, αr+1)∈Nr+1;xα11x

α2

2 · · ·xαrrtαr+1 ∈A} ∪ {0}

Hi ={(α1, α2, . . . , αr, αr+1)∈Nr+1;xα11xα22· · ·xαrrt αr+1

∈Ai} ∪ {0}.

Em outras palavras, vamos tratar A e cadaAi como an´eis de semigrupos afins.

Observe que para cada i, Ai é a Álgebra de Rees associada a filtra¸cão Ji−ádica.

Logo, Ai = hfi1t, fi2t, . . . , fiu(i)ti com Ji = hfi1, fi2, . . . , fiu(i)i em que cada fij ´e um

monˆomio.

Queremos mostrar que Hi ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

A fim de simplificar a nota¸c˜ao, considereAi =hf1t, f2t, . . . , futipara i fixo, por´em

arbitr´ario, e escrevafj =x hj1

1 x

hj2

2 · · ·x

hjr

r , ∀j ∈ {1,2, . . . , u}.

Como fjt ∈Ai ent˜ao (hj1, hj2, . . . , hjr,1)∈Hi para todo j.

Ademais, os vetores da base canˆonica do Rr+1_{, e}

1, e2, . . . , er ∈Hi tendo em vista

quex1, x2, . . . , xr∈S=Ji0 ⊂Ai.

Afirmamos que Hi =he1, . . . , en,(h11, h12, . . . , h1r,1), . . . ,(hu1, hu2, . . . , hur,1)i.

De fato, se (α1, . . . , αr, αr+1) ∈ Hi ent˜ao x1α1· · ·xαrrtαr+1 ∈ Ai. Por conseguinte,

comoAi =hf1t, f2t, . . . , futi temos que∃c1, . . . , cr, d1, . . . , du ∈N tais que

xα1

1 · · ·xαrrt αr+1

= xc1

1 · · ·xcnn(f1t)d1. . .(fut)du ∈Aj

= xβ1

1 · · ·xβrrt αr+1

com βk=ck+ u

X

j=1

djhjk para k∈ {1,2, . . . , r}e αr+1 =

u

X

j=1

dj.

Assim,

(α1, . . . , αr, αr+1) = (c1+

u

X

j=1

djh1j, . . . , cr+ u

X

j=1

djhjr, u

X

j=1

dj)

= c1e1+· · ·+cnen+d1(h11, h12, . . . , h1r,1) +

+_{· · ·}+du(hu1, hu2, . . . , hun,1).

Logo,

(35)

Por outro lado, como A=

s

\

i=1

Ai ent˜ao H= s

\

i=1

Hi pois,

(α1, . . . , αr, αr+1)∈H ⇔ xα11· · ·xαrrt αr+1

∈A xα1

∈A _⇔ xα1

∈Ai, ∀i

xα1

1 · · ·x

αr

r t αr+1

∈Ai, ∀i ⇔ (α1, . . . , αr, αr+1)∈Hi, ∀i.

Portanto, pelo corol´ario 2.0.7, H =

r

\

j=1

Hj ´e um semigrupo afim finitamente

gerado. Desta forma, considerando

H =he1, . . . , er,(c11, . . . , c1r, c1r+1), . . . ,(cm1, . . . , cmr, cmr+1)i

em que _{e1, . . . , er,(c11, . . . , c1r, c1r+1), . . . ,(cm1, . . . , cmr, cmr+1)} ´e um conjunto m´ınimo

de geradores de H,temos:

A=_hxc11

1 · · ·xcr1rt

c1r+1_{, . . . , x}cm1

1 · · ·xcrmrt cmr+1

i.

Com efeito, seja xβ1

1 · · ·xβrrtβr+1 ∈ A. Ent˜ao (β1, . . . , βn, βn+1) ∈ H. Se βr+1 = 0,

nada temos a mostrar. Caso contr´ario, _∃a1, . . . , ar+m∈N tais que

(β1, . . . , βr, βr+1) = a1e1+· · ·+arer+ar+1(c11, . . . , c1r, c1r+1)+· · ·+ar+m(cm1, . . . , cmr, cmr+1).

Logo,

xβ1

1 · · ·x

βr

r t βr+1

=xa1

1 · · ·x

ar

r (x c11

1 · · ·x

c1r

r t c1r+1

)ar+1_{. . .} (xcm1

1 · · ·x

cmr

r t

cmr+1 )ar+m_.

✷

O próximo exemplo ilustrará num caso concreto os passos da demostra¸cão do teo-rema 2.0.8 e exibirá um conjunto de geradores para Álgebra de Rees neste caso particular.

Exemplo 2.0.9. SejamS=K[x, y, z]eA=M

n≥0

[(x, y)n

∩(y, z)n

∩(x, z)n_]tn

⊂K[x, y, z][t].

Note que A= [M

n≥0

(x, y)n_tn_]

∩[M

n≥0

(y, z)n_tn_]

∩[M

n≥0

(x, z)n_tn_].

Sejam

A1 =

M

n≥0

(x, y)n_tn_{, A}

2 =

M

n≥0

(y, z)n_tn _e _A

3 =

M

n≥0

(x, z)n_tn_.

Temos A1 =hxt, yti, A2 =hyt, zti e A3 =hxt, zti.

Sabemos que ´e poss´ıvel tratar, a menos de isomorfismo, A, A1, A2 e A3 como os

an´eis de semigrupos K[H], K[H1], K[H2] e K[H3] em que

H = _{(α1, α2, α3, α4)∈N4 ; xα1yα2zα3 ∈(x, y)α4 ∩(y, z)α4 ∩(x, z)α4} ∪ {0}

H1 = {(α1, α2, α3, α4)∈N4 ; xα1yα2zα3 ∈(x, y)α4} ∪ {0}=he1, e2, e3, e1+e4, e2+e4i

H2 = {(α1, α2, α3, α4)∈N4 ; xα1yα2zα3 ∈(y, z)α4} ∪ {0}=he1, e2, e3, e2+e4, e3+e4i

(36)

com e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1).

Como H =H1∩H2∩H3 ent˜ao H ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

Afirmamos queH =_he1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+2e4i.

Chamemos Hb =he1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+ 2e4i.

Observe que comoe1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+2e4 ∈H

ent˜ao Hb ⊂H. Resta mostrar que H ⊂H.b

Seja α = (α1, α2, α3, α4) ∈ H. Consequentemente, ∃ ai, bi, ci ∈ N, i= 1,2,3,4,5

tais que

α = a1e1+a2e2+a3e3+a4(e1+e4) +a5(e2+e4)

= (a1+a4, a2+a5, a3, a4+a5) (2.1)

α = b1e1+b2e2+b3e3+b4(e2+e4) +b5(e3+e4)

= (b1, b2+b4, b3+b5, b4 +b5) (2.2)

α = c1e1+c2e2+c3e3+c4(e1+e4) +c5(e3+e4)

= (c1+c4, c2, c3+c5, c4+c5) (2.3)

De 2.1, 2.2 e 2.3 temos (respectivamente):

        

α1+α2 ≥α4

α2+α3 ≥α4

α1+α3 ≥α4

(2.4)

Se α4 = 0 ent˜ao α =α1e1+α2e2+α3e3 ∈H.b

Se α4 ≥1 temos que existem pelo menos dois elementos do conjunto {α1, α2, α3}

n˜ao nulos. De fato, suponha que αi = αj = 0 com i 6= j. Ent˜ao, por 2.4, α4 = 0, o que

contradiz a nossa hip´otese.

Assim, temos duas possibilidades:

1) α1 = 0 ou α2 = 0 ou a3 = 0

2) α1, α2, α3 ≥1

Para a primeira possibilidade, observe que se α1 = 0,por 2.4,α2 ≥α4 e α3 ≥α4,

ou seja,_∃α′2, α′3 ∈N tais que α2 =α4+α′2 e α3 =α4+α′3. Portanto,

α = (0, α2, α3, α4) = (0, α4+α′2, α4+α′3, α4) = α′2e2+α′3e3+α4(e2+e3+e4)∈H.b

Os outros casos s˜ao an´alogos.

Para a segunda possibilidade, sejamn1, n2, n3os maiores naturais que satisfazem

(37)

Como cada ni ´e maior poss´ıvel, αe−ei 6∈ H, ∀i ∈ {1,2,3} pois, caso contr´ario, se por

exemplo α_e₋e1 ∈H− {0} ent˜ao α = (n1+ 1)e1+n2e2+n3e3+αe−e1 e por sua vez n1

n˜ao seria m´aximo.

Desta forma, assumiremos sem perda que α₋ei 6∈H, ∀i∈ {1,2,3}, ou seja,

        

(α1−1, α2, α3, α4)6∈H

(α1, α2−1, α3, α4)6∈H

(α1, α2, α3−1, α4)6∈H

(2.5)

Analisemos o caso (α1 −1, α2, α3, α4)6∈H (os outros s˜ao sim´etricos).

Note que como α2+α3 ≥ α4 (por 2.4) temos que xα1−1yα2zα3 ∈ (y, z)α4, isto ´e,

(α1−1, α2, α3, α4) ∈H2. Portanto, (α1−1, α2, α3, α4) 6∈H1 ou (α1−1, α2, α3, α4) 6∈H3

o que implica em

α1−1 +α2 < α4 ou α1−1 +α3 < α4 (2.6)

Para os demais casos temos:

(α1, α2−1, α3, α4)6∈H ⇒α2−1 +α1 < α4 ou α2−1 +α3 < α4 (2.7)

(α1, α2−1, α3, α4)6∈H ⇒α3−1 +α1 < α4 ou α3−1 +α2 < α4 (2.8)

Assim, de 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8 temos as seguintes possibilidades:

1) α1+α2−1< α4, α2 +α3−1< α4 e α1 +α3−1< α4

2) α1+α2−1< α4, α2 +α3−1< α4 e α1 +α3−1≥α4

3) α1+α2−1< α4, α1 +α3−1< α4 e α2 +α3−1≥α4

4) α2+α3−1< α4, α1 +α3−1< α4 e α1 +α2−1≥α4

Se a primeira possibilidade ocorrer, ou seja, se

α1+α2−1< α4, α2 +α3−1< α4 e α1+α3−1< α4

ent˜ao usando 2.4 temos

α4 ≤α1+α2 < α4+ 1 ⇒ α1+α2 =α4

α4 ≤α2+α3 < α4+ 1 ⇒ α2+α2 =α4

α4 ≤α1+α3 < α4+ 1 ⇒ α1+α3 =α4

e conclu´ımos que α1 =α2 =α3 e α4 = 2α1.

Logo,

(38)

Se a segunda possibilidade ocorrer, usando os mesmos argumentos do item an-terior temos que α1 +α2 = α4 e α2 +α3 = α4 e portanto α1 = α3. Substituindo essas

informa¸c˜oes na desigualdade α1 +α3 − 1 ≥ α4 encontramos α1 +α1 −1 ≥ α1 + α2

o que nos leva aconcluir que α1 > α2 e ∃α1′ >0 tal que α1 =α2+α′1.

Portanto,

α = (α1, α2, α3, α4)

= (α2+α′1, α2, α2+α′1,2α2+α′1)

= (α2, α2, α2,2α2) + (α′1,0, α′1, α′1)

= α2(e1 +e2+e3+ 2e4) +α′1(e1+e3 +e4)∈H.b

As possibilidades 3) e 4) s˜ao an´alogos a 2).

Assim, H =Hb =_he1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+ 2e4i.

(39)

Cap´ıtulo 3

´

Algebras de Rees simb´

olicas de

ideais monomiais

Este cap´ıtulo trata das Álgebras de Rees associadas a uma filtra¸cão dada por potências simbólicas de um mesmo ideal monomial, denominadas Álgebras de Rees simbó-licas de ideais monomiais. Na se¸cão 3.1, mostraremos que tais álgebras possuem gera¸cão finita. Na se¸cão seguinte, introduziremos o conceito de álgebra de cobertura de vértices e provaremos que essas álgebras são um caso particular das Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais.

3.1 Gera¸c˜

ao finita das ´

Algebras de Rees simb´

olicas

de ideais monomiais

SejaS=K[x1, x2, . . . , xr] eI ⊂Sum ideal monomial livre de quadrado. Sabemos

que

M

n≥0

I(n)tn=M

n≥0

( \

P∈Min(I)

Pn)tn

(posteriormente falaremos mais sobre a igualdade acima) que por sua vez ´e umaS₋´algebra finitamente gerada, usando o teorema 2.0.8.

O objetivo desta se¸cão é mostrar que as Álgebras de Rees simbólicas de ideais monomiais são, de forma geral, um caso particular do teorema 2.0.8 e portanto são também finitamente geradas. O próximo lema auxiliará na demostra¸cão da proposi¸cão 3.1.3. Antes de enunciá-lo, necessitamos lembrar a seguinte defini¸cão:

Sejam A um anel e B um subanel de A. Um elemento x _∈ A ´e dito ser inteiro sobre Bse satisfaz uma equa¸c˜ao da forma

xn+a1xn−1+· · ·+an= 0

(40)

em queai ∈B, ∀i∈ {1, . . . , n}. Claramente, todo elemento deB´e inteiro em B.Se todo

elemento de A´e inteiro emB dizemos que A ´e inteiro emB.

Lema 3.1.1. Sejam A um anel e B um subanel de A. Se A é inteiro em B e A é uma B₋álgebra finitamente gerada então A é um B₋módulo finitamente gerado.

Demonstra¸cão. Como A é uma B₋álgebra finitamente gerada, ∃ ω1, . . . , ωk ∈ A tais

queA=B[ω1, . . . , ωk]. Ademais, como A´e inteiro em B, ωi ´e inteiro emB para todo i.

Afirmamos que se A=B[ω1] então A é umB−módulo finitamente gerado.

De fato, _∃n_∈N tal que ω1n+a1ω1n−1+· · ·+an= 0. Consequentemente,

ω1n+s =−(a1ω1n+s−1+· · ·+anω1s), ∀s≥0.

Procedendo por indu¸c˜ao em s, podemos ver que todas as potˆencias de ω1

per-tencem aoB₋módulo gerado por_{1, ω1, . . . , ω1n−1}.Portanto, A=B[ω1] é umB−módulo

finitamente gerado, o que conclui a afirma¸c˜ao.

Agora, supondo B[ω1, . . . , ωu] umB−m´odulo finitamente gerado para todo utal

que 1_≤u < k, vamos mostrar que B[ω1, . . . , ωu] umB− m´odulo finitamente gerado para

u=k.

Seja Bu =B[ω1, . . . , ωu]. Então, por hipótese de indu¸cão, Bk−1 é um B−módulo

finitamente gerado. Por outro lado, como ωk ´e inteiro sobre Bk−1 (pois B ⊂ Bk−1),

Bk=Bk−1[ωk] ´e um Bk−1−m´odulo finitamente gerado.

Portanto, é poss´ıvel verificar facilmente que Bk =B[ω1, . . . , ωk] é um B−módulo

finitamente gerado.

✷

Seja S = K[x1, x2, . . . , xr] e considere ℑ = {In}n∈N uma filtra¸c˜ao de ideais

ho-mogˆeneos deS.

Denote por A=M

n≥0

Intn a ´Algebra de Rees associada a ℑ. Define-se

A(d) =M

n≥0

And =

M

n≥0

Indtnd

como sendo ad-´esima veronessiana de A. ´

E fácil ver que A(d) _{é uma subálgebra de} _A.

Defini¸cão 3.1.2. Seja B uma B₀₋álgebra. Dizemos que B é uma B₀₋álgebra graduada padrão se é isomorfa ao anel quociente de B₀[x1, x2, . . . , xr] por um ideal homogêneo.

(41)

´

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 31

Proposi¸c˜ao 3.1.3. S˜ao equivalentes:

(a) A ´e uma S-´algebra finitamente gerada.

(b) Existe um número natural d tal que A(d) _{é uma} _S₋_{álgebra graduada padrão.}

(c) Existe um número natural d tal que A(d) _{é uma} _S₋_{álgebra finitamente gerada.}

Demonstra¸cão. (a) _⇒ (b) Como A é uma S₋álgebra finitamente gerada e _ℑ é uma filtra¸cão de ideais homogêneos, pela proposi¸cão 1.4.5, A = S[f1tc1, . . . , fmtcm] em que

fi ∈Ici ´e um elemento homogˆeneo, ∀i∈ {1, . . . , m}. Sejac= MMC{c1, . . . , cm}.

Defina B=S[g1, . . . , gm] com gi =fi

c

ci_tc_._{Note que} _B _{´e um subanel de} _A.

Al´em disso,

B=M

j≥0

Bj

com Bj =h{uα1···αmg1

α1· · ·_g

mαm; |α|:= m

X

i=1

αi =j , uα1···αm ∈S}i, ∀j >0 e B0 =S.

Observe que como fi

c ci ⊂(I_c

i) c

ci ⊂_I_c ent˜ao _g_i ∈_A_c_, ∀_i.

Consequentemente, uα1···αmg1

α1· · ·_g

mαm ∈ (Ac)j ⊂ Ajc, ou seja, Bj ⊂ Ajc para

todoj _∈N.

Por outro lado, como fitci é um elemento inteiro emB (pois é raiz do polinômio

p(x) = xcic −_g_i_{) para todo i, e} _A _{´e em particular uma} _B−_{´algebra finitamente gerada,}

pelo lema 3.1.1 temos queAé um B₋módulo finitamente gerado. Por sua vez, comoB é noetheriano (pois é imagem homomórfica do anel de polinômios em m variáveis sobreS) então A(c) _{é também um} _B₋_{módulo finitamente gerado.}

Seja_{ak ∈Askc;k = 1, . . . , θ}um conjunto de geradores deA

(c)_como_B₋_m´odulo

e considered =sc em que s= max{s1, . . . , sθ}.

Afirmamos que Ajd =Adj, ∀j ≥0.

Com efeito, para j = 0 ou j = 1 é trivial. Suponha a afirma¸cão válida para todo j _≥1 e mostremos que a mesma é válida para j+ 1.

Para isso, note que BjAkc =A(j+k)c, ∀j ≥0 e k ≥s.

De fato, como Bj ⊂ Ajc tem-se BjAkc ⊂ AjcAkc ⊂ A(j+k)c. Reciprocamente,

considere f _∈A(j+k)c ⊂A(c). Ent˜ao

f =ht(j+k)c =X

λ

bλaλ com h∈I(j+k)c, bλ ∈B eaλ ∈Asλc.

Observe que, k _≥ s _≥ sλ. Al´em disso, o grau em t de bλ ´e (j +k)c−sλc, para