09 a 12 de setembro de 2012 Búzios, RJ
MODELO DE FECHAMENTO PARA DENSIDADE DE FORÇA
INTERFACIAL DO MODELO DE DOIS FLUIDOS SEM
DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS SOBRE A INTERFACE
R. V. P. REZENDE1, R. A. ALMEIDA2, I. C. GEORG3 , A. A. ULSON DE SOUZA1, S. M. A. GUELLI U. DE SOUZA1
1
Universidade do Federal de Santa Catarina, Depto. Eng. Química.
2
Universidade Estadual de Maringá, Depto. Eng. Química.
3
Universidade Comunitária da Região de Chapecó, Depto. Eng. Química. E-mail para contato: rezendervp@gmail.com
RESUMO – A modelagem matemática de escoamentos multifásicos vem sendo desenvolvida e aprimorada nos últimos anos e, dentre as várias abordagens, assinala-se a formulação Euler-Euler que embasa o Modelo de Dois Fluidos. O problema de fechamento do modelo decorrente da promediação das equações instantâneas locais é comumente resolvido por meio da decomposição da densidade de força interfacial em diversos mecanismos: Arrasto, Massa Virtual, Sustentação, etc. Tais modelos tem grande sucesso nos sistemas para os quais foram desenvolvidos e calibrados, mas carecem de generalidade e aplicação ampla e irrestrita. O presente trabalho propõe uma solução alternativa ao problema de fechamento sem a decomposição e postulação de quais forças agem e de quais seriam os modelos que as descrevem. O modelo se propõe a descrever o efeito de todo o Tensor Tensão sobre a interface - a força resultante - deixando a cargo da própria física e dinâmica do escoamento definir como as fases se influenciam. Um caso de teste foi escolhido inicialmente onde se comparam a abordagem padrão e a proposta, resolvendo-se por meio de simulação numérica direta no código comercial ANSYS CFX a instabilidade de Rayleigh-Taylor. Os dados obtidos demonstram que a proposta, mesmo que ainda incipiente, apresenta-se como promissora, visto os resultados entre ambas as abordagens apresentarem boa concordância entre si e com a comparação experimental.
1. INTRODUÇÃO
O estudo de escoamentos multifásicos desponta hoje como um avanço no campo da Mecânica dos Fluidos, da mesma maneira que o estudo da turbulência o foi na virada do século XX. Grande parte desta latência se deve à complexidade deste tipo de escoamento, pois soluções analíticas são difíceis de serem obtidas e limitadas em sua abrangência. O uso de simulação numérica, até pouco tempo, era pouco prática na maioria dos casos devido às limitações computacionais e mesmo financeira, restringindo-se a situações e geometrias simples.
Na indústria, o estudo de escoamentos multifásicos faz-se presente constantemente, encontrando-se fenômenos deste tipo nas mais diversas áreas como na indústria aeroespacial, química, alimentos, civil, mecânica e nuclear. E em todas, muito esforço tem sido dedicado
09 a 12 de setembro de 2012 Búzios, RJ no entendimento da física destes fenômenos, na sua descrição matemática e, consequentemente, em métodos de predição do comportamento destes sistemas.
Para a indústria petroquímica, por exemplo, este conhecimento é fundamental, visto que praticamente todas as operações unitárias de refino tratam de sistemas multifásicos de alta complexidade, tanto sob o ponto de vista físico-químico, quanto matemático. Outras área da ciência como meteorologia, oceanografia e medicina também são setores carentes de maior empenho em pesquisas neste campo.
1.1. Escoamentos Multifásicos
Escoamentos multifásicos são uma classe de escoamentos onde há a presença de mais de uma fase como, por exemplo, água e óleo, ar e água ou ar e poeira; sendo estes exemplos de sistemas líquido-líquido, gás-líquido e gás-sólido, respectivamente e encontrados facilmente na Natureza. Uma fase pode ser formada por uma substância pura como a água; por um sistema multicomponente formado por mais de uma espécie química como, por exemplo, água do mar ou o ar atmosférico; ou coloidal, como a maionese ou pasta de dente, formadas por diferentes materiais em diversos estados físicos misturados em uma escala diminuta e que em conjunto tem um comportamento reológico próprio.
A principal dificuldade do tratamento matemático destes escoamentos reside no comportamento das interfaces (Ishii e Mishima, 1984). Localmente, um escoamento multifásico consiste em certo número de regiões preenchidas por uma única fase limitada por meio da interface que as separa. O contorno desta dificuldade trata o escoamento através da descrição do comportamento médio dos campos envolvidos, como feito no tratamento da turbulência. E, da mesma maneira, o processo de promediação das equações instantâneas de conservação gera um problema de fechamento do sistema.
No fechamento do sistema deve-se descrever matematicamente de que maneira as fases interagem e trocam informações, como quantidade de movimento, energia e massa. Os modelos de fechamento disponíveis são extremamente dependentes da morfologia e do regime do escoamento e carecem de generalidade, principalmente quando há variação de ambos (Drew, 1983, 1989, 1892; Chahed et al., 2003; Burns, 2002; Patankar e Joseph, 2001). Tome-se como exemplo o transporte de fluidos em gasodutos ou oleodutos. Hidrocarbonetos podem mudar de estado físico durante seu escoamento por uma série de fatores, e um sistema monofásico antes líquido (ou gasoso) muda para um padrão multifásico gás-líquido, apresentando uma série de regimes e padrões de escoamentos que podem muitas vezes ser danosos às estruturas das tubulações e a outros equipamentos envolvidos, como válvulas, medidores de vazão, etc. (Rezende et al., 2008 a; Paladino, 2005).
2. MODELAGEM MATEMÁTICA
A descrição dos campos instantâneos locais é impraticável na maioria das situações, e, diferentemente da turbulência, a solução dos campos instantâneos locais não é apenas um problema de escala espacial e temporal - que também existe. Associada a interface há uma descontinuidade de todos os campos, e as equações diferenciais de conservação, representadas
09 a 12 de setembro de 2012 Búzios, RJ em sua forma canônica pela Equação 1, tornam-se singulares, e sobre a interface uma condição de salto deve ser aplicada, a Equação 2;
· S t u J , (1)
·ˆ Si u ui J n . (2)Frente a isto, a descrição de um comportamento médio é preferível. Assim, um procedimento de promediação é efetuado às equações instantâneas, neste caso a média de conjunto (ensemble average) (Drew, 1989),
,
, ;
E
f x t
f x t dm . (3)Diante da descontinuidade dos campos, um artifício matemático é utilizado: a função indicadora de fase,
, 1 se em t 0 se em t x x x t , (4)onde representa a fase. Este artifício matemático é importante, pois a média na função indicadora de fase, representa a presença potencial da fase (Burns, 2002), ou a probabilidade de se encontrar a fase em uma coordenada de tempo e espaço qualquer. É comum também se referir a esta grandeza como fração volumétrica, r, assim, r, que é continua, afastando os problemas de singularidade nas interfaces. Todo o procedimento algébrico detalhado de obtenção das equações promediadas pode ser encontrado em (Rezende, 2008 b).
A Equação 1 é multiplicada pela função indicadora de fase e o operador de promediação conjunta é então aplicado. Após definirem-se as variáveis promediadas de maneira a eliminar
(Burns, 2002; Rezende, 2008 a, b), obtém-se,
·
· S
·t r r r r
α uα Jα u u i J . (5)
O termo do lado direito da igualdade representa a perda da informação das equações instantâneas locais devido à promediação. Quando a variável em questão é u , a Equação 5 passa a representar a equação de conservação de quantidade de movimento promediada,
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·
·t r r r r
uα u uα Tα αg uα M , (6)
onde T representa o tensor tensão da fase. Os dois últimos termos à direita do sinal de igualdade representam a transferência de quantidade de movimento pela interface devido à transferência de massa pela mesma,
·
α α i
u u ρ u u , (7)
e a transferência de quantidade de movimento devido às tensões que agem sobre a interface, ·
α
M T . (8)
Este último termo, M , denomina-se densidade de força interfacial com unidades de força por unidade de volume e representa um fluxo de quantidade de movimento e é o tema deste trabalho.
Densidade de Força Interfacial: Nesta formulação média, a informação da posição da interface, sua forma e velocidade se degenerou em dois termos: uα e M , que agora precisam ser modelados para o fechamento do sistema de equações. Com a promediação, tem-se um modelo determinístico que resolve o comportamento médio do sistema, mas matematicamente incompleto, pois as condições de salto promediadas agora não passam de restrições para os termos de transferência interfacial de quantidade de movimento,
1 f N i
uα Mα m , (9)e os dois novos termos precisam de equações constitutivas de fechamento. O termo mi
representa a tração, ou força de tensão superficial devido ao desequilíbrio de forças do termo a esquerda do sinal de igualdade.
O tratamento matemático da densidade de força interfacial é feito por meio da decomposição, encarando-a como uma superposição linear de diferentes tipos de forças atuantes na interface, M FDrag FLift FVMFBasset , e algumas dessas forças como a de Basset, FBasset, são de difícil implementação computacional sendo quase sempre desconsideradas. Já outras como a de arrasto, FDrag, de massa virtual, FVM, e a de sustentação, FLift, tem diversas correlações, sendo cada uma calibrada de acordo com um tipo específico de problema, o que as torna restritas em sua aplicação.
Na hipótese da tensão superficial ser desprezível e não haver transferência de massa entre as fases, o único termo atuante é M . Isto num sistema bifásico implica em
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M M , ou seja, uma simetria de forças. E, indiferentemente da formulação, as forças são consideradas simétricas ou recíprocas, Fi F , mesmo em presença de tensão i superficial, tendo como resultado um desbalanço da equações de conservação, pois
i
M m M , ou seja, realmente não há simetria. A diferença das forças agindo sobre a interface é equilibrada pela força de tensão interfacial. Esta simetria postulada é uma das causas de instabilidade numérica do modelo de dois fluidos quando do uso de um modelo de tensão superficial.
Todavia, esta problemática surge principalmente devido à decomposição e a consequente simetria das forças. Um dos principais motivos para a decomposição é a necessidade de invariância galileana das forças de interface. Drew (1989) demonstra que para que a invariância exista é necessário que as equações de fechamento sejam funções de grandezas também invariantes. Todavia, recorrendo a Equação 8, o modelo exige que somente duas questões sejam respondidas: (1) ‘Como se calcular o tensor tensão sobre a interface?’e (2), ‘Como se calcular o gradiente da função indicadora de fase?’. A dedução das equações não pede nenhuma decomposição.
Para a segunda questão tem-se r, ou seja, a média de conjunto do gradiente da função indicadora de fase é o próprio gradiente de fração volumétrica, que tem a propriedade de ser normal a qualquer isossuperfície do campo de fração volumétrica. Esta constatação é base de uma série de modelos, sendo o mais conhecido o de Força de Superfície Contínua para a tensão superficial (Brackbill et al., 1999).
A Equação 8 portanto, representa a projeção do tensor tensão na direção do vetor normal à interface, o gradiente de fração volumétrica, cujo o módulo representa a própria área da interface por unidade de volume:
ˆ ˆ · Tij i j· k k α M T e e e , (10) i ij j T α M e . (11)
O gradiente da função indicadora de fase opera como uma função Delta de Dirac dentro do operador integral de média,
ˆ
· i i E dm
α M T x x n , (12)o que pode ser reinterpretado como, Mα Ti· r , onde Ti representa o tensor tensão na
interface. E o escoamento possui em si todas estas informações. A principal dificuldade está em como se medir o tensor tensão sobre a interface. Isto experimentalmente é um grande desafio, entretanto, a abordagem numérica permite que se amostre qualquer campo, em qualquer posição a qualquer instante de tempo e virtualmente com a precisão que se quiser.
09 a 12 de setembro de 2012 Búzios, RJ Pode-se determinar o produto escalar do tensor tensão em relação ao vetor normal da interface ou de outra superfície material qualquer aonde se quiser (Georg et al., 2008):
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i j i j i j i j k k i r u r u r M e e e e e x x . (13)A Equação 13 representa o termo fonte das equações de conservação de quantidade de movimento para cada fase, com a vantagem de que se pode considerar ou não a tensão superficial. Não sendo mais necessário considerar ou não um tipo de força uma vez que todas, sejam elas quais forem, estão implícitas no tensor tensão. A função Delta garante que o termo fonte seja calculado somente na região da interface. Ela é representada por uma função gaussiana centrada na fração volumétrica de 50%. Isto afasta problemas de gradientes acentuados tanto no espaço quanto no tempo. Esta abordagem é similar ao modelo de força contínua de Brackbill et al. (1999).
3. METODOLOGIA
Um problema de teste foi escolhido para se avaliar o efeito que a Equação 13 exercesobre um problema envolvendo duas fases imiscíveis. Dois fluidos, água pura e água salgada, com densidades próximas possuindo uma interface vertical e mesma viscosidade (10
-3
Pa.s). Ao deixar o sistema seguir seu curso, surgem forças de cisalhamento devido à diferença de peso dos fluidos que se movem em direções opostas devido ao empuxo gerado. Esta movimentação então dá origem às instabilidades de Rayleigh-Taylor. A Figura 1 ilustra a configuração do problema. Os fluidos se encontram inicialmente estagnados. As condições de contorno aplicadas as paredes são de não deslizamento.
Figura 1 - Domínio de cálculo.
O modelo foi resolvido numericamente no simulador comercial ANSYS CFX v12.1 empregando uma malha hexaédrica regular com 163 mil elementos. A interface é imposta por meio de uma função de suavização unitária, o que garante uma transição nas propriedades e campos gradual, melhorando a estabilidade numérica.
A solução do sistema é obtida com passo de tempo adaptativo variando de 10-6 s a 10-3s, mantendo o número de Courant abaixo de 0,02. A solução segregada é preferida devido à explicitação do termo fonte mantendo tanto os termos fontes quanto os campos de fração volumétrica no mesmo nível iterativo.
50cm 50cm
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4. RESULTADOS
Na Figura 2 apresenta-se o transiente da camada de cisalhamento. A interface imposta inicialmente difusa por questões de estabilidade numérica é rapidamente compactada ao espaçamento de um elemento (~1mm). Esta compactação se dá devido à ativação do algoritmo de compressão da interface. A instabilidade então logo surge em sua forma característica “enovelada”. A malha se mostrou adequada na captura da interface resolvendo todas as escalas da turbulência a um Reynolds médio de cerca de 5·103.
A obtenção da solução é de difícil convergência devido à captura destas estruturas e ao modo como os termos fontes são resolvidos pelo código, o que requer o passo adaptativo de tempo e dentro dos limites fixados. Os resíduos médios quadráticos da solução ficaram entre 10-5 a 10-6.
Figura 2 – Desenvolvimento das instabilidades de Rayleigh-Taylor em intervalos de 0,5s.
Na Figura 3 apresenta-se a comparação entre o resultado numérico e o obtido experimentalmente. A dificuldade experimental reside na retirada do septo que acaba por arrastar a interface, todavia, o comportamento qualitativo mostra-se muito similar.
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Figura 3 - Comparação das camadas de cisalhamento numérica e experimental.
A comparação entre a densidade da força de arrasto dada pelo modelo de mistura padrão (Rezende, 2008 b) e a densidade de força interfacial é mostrada na Figura 4. Os vetores apontam na direção do deslocamento da interface e a magnitude é diferenciada para cada pedaço da interface (mostrada em verde). Pelo modelo de mistura padrão apenas a força de arrasto seria considerada e a sua média integral sobre a área é de cerca de 71N/m³. O valor obtido pela Equação 13 é cerca de 18% maior resultando em 84N/m³.
Densidade da Força de Arrasto Média: 3 84 Modelo N m M 3 71 Drag N m F
Figura 4 – Vetores da força resultante sobre a interface e comparação entre a densidade média da força por unidade de volume dada pelo modelo de arrasto padrão e o modelo proposto.
Esta diferença pode ser devido ao modelo em si necessitar de alguma constante de ajuste; indicar que além do arrasto outras forças estão atuando como Basset, massa Virtual e Sustentação; ou ambas as hipóteses serem verdadeiras. Estudos mais detalhados são necessários para se quantificar a contribuição de cada uma delas.
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5. CONCLUSÕES
O modelo proposto obteve boa descrição do desenvolvimento de uma instabilidade de Rayleigh-Taylor. A comparação dos resultados com o observado experimentalmente apresenta boa concordância qualitativa e os valores da densidade média da força sobre os obtidos para o modelo de mistura padrão e o proposto foram da mesma ordem de magnitude. Sendo a força de arrasto a força predominante, a diferença entre os resultados pode advir da desconsideração das demais forças; de um ajuste por meio de uma constante de fechamento no modelo proposto; ou mesmo de ambas as hipóteses, o que requer ainda estudos mais aprofundados.
O modelo também permite a inclusão direta das componentes do tensor de Reynolds na Equação 13 o que a torna ainda mais interessante diante da possibilidade de acoplar a densidade de força interfacial ao campo turbulento.
6. REFERÊNCIAS
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Computacional para a Simulação Numérica do Escoamento Bifásico de Ar e Ferro-Gusa em Canal de Corrida de Alto-Forno, Dissertação(Mestrado). Depto. Eng.
