LISTA DE REVISÃO GEOMETRIA ESPACIAL – 2 ANO – PROVA TRIMESTRAL 3º TRIMESTRE
PRISMAS
1) Calcule a área total e o volume de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6 cm de lado.
2) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a
3 1
do perímetro da base, calcule sua superfície total.
3) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15cm, conforme a figura. Calcule o volume e a área total da cunha.
4)
4) (ITA - SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3 m e que tem área total de 80 m2. O lado dessa base quadrada mede:
A) 1 m B) 8 m C) 4 m D) 6 m E) 16 m
5) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB = 3cm e BC = CD = DE = EA = 2cm, calcule o volume e a área total do prisma.
6) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m² de área lateral. Seu volume vale: A) 16 m3 B) 4 3m3 C) 32 m3 D) 16 3m3 E) 64 m3 PIRÂMIDES
7) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a aresta da base mede 6 m. Calcule seu volume e a área total.
8) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada uma das pirâmides regulares cujas medidas estão indicadas nas figuras.
b) Pirâmide regular (quadrada)
9) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 3 m. Sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base, calcule a altura e a área total dessa pirâmide.
10) Considere uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um cubo de 2 cm de aresta. Calcule:
a) a área lateral da pirâmide;
b) a área total da pirâmide;
c) a razão entre o volume da pirâmide e do cubo;
11) Numa pirâmide regular de base triangular, a aresta da base mede 2 3cm e a altura mede 4 cm. Calcule o apótema da base, o apótema da pirâmide e a aresta lateral.
12) Calcule a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9 cm.
13) Determine a área total e o volume de um tetraedro regular cuja aresta mede 2 m.
14) (FUVEST) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4cm e BC = 3cm. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 10cm e 2 37cm. Calcule o volume da pirâmide.
CILINDROS
15) (UEMG) O diâmetro da base de um cilindro reto tem 10cm. Sabendo que a altura do cilindro é 12 cm, o seu volume é:
A) 120 πcm³ B) 1440πcm³
C) 300πcm³ D) 1200πcm³
16) Qual é a altura de um cilindro reto de 12,56cm² de área da base sendo a área lateral o dobro da área da base?
Use π = 3,14.
17) Calcular a área lateral de um cilindro equilátero sendo 289cm² a área de sua secção meridiana.
18) Um rótulo retangular, contendo a prescrição médica, foi colado em toda a superfície lateral de um recipiente de forma cilíndrica de um certo remédio, contornando-o até as extremidades se encontrarem, sem haver superposição. Sabendo-se que a altura do recipiente é 12 cm e que o volume do recipiente (desprezando-se a sua espessura) é 192 cm³, pode-se afirmar que a área do rótulo, em cm², é igual a: A) 96 B) 80 C) 76 D) 72 E) 70
19) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. Após o gelo derreter completamente, determine a altura do nível da água no copo. Considere = 3.
20) (Enem) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm × 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina:
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será:
A) o triplo. B) o dobro. C) igual. D) a metade. E) a terça parte.
21) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo:
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é A) 2𝜋. B) 7. C) (7𝜋)/3. D) 8. E) 8/3. CONES
23) Calcule a área da secção meridiana do cone equilátero cuja base tem área 24cm2.
24) Calcule a área total e o volume de um cone equilátero de altura medindo 30cm.
25) (Ufscar) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em ml, ingerido pelo casal. Adote π = 3.
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido.
26) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10. O volume desse sólido é: A) 5 2 π B) 4 3 π C) 4𝜋 D) 5𝜋 E) 3𝜋
ESFERAS
27)Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 2
cm 324 .
28) Uma fundição transformou uma esfera maciça de ferro em oito esferas maciças de raio 5 cm. Qual é a medida do raio da esfera original?
29) Um plano secciona uma esfera, determinando um círculo de
2
cm
16 de área. Determine o raio da esfera, sabendo que o plano dista 3 cm do centro da esfera.
30) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3m. Se a altura do reservatório é h = 6m, calcule a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório.
31) (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é 16 cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se podem obter com toda a massa é:
A) 300 B) 250 C) 200 D) 150 E) 100
GABARITO 1) 3 2 T l 2 b cm 3 540 10 3 54 V cm 360 3 108 360 3 54 2 A 360 10 6 6 A 3 54 4 3 6 6 A ) ( ) (
2) No triângulo isósceles a altura também é mediana.
i) Pela relação de Pitágoras temos: a 32 42 255cm
ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm
iii) A altura do prisma vale (18cm) 6cm
3
1
iv) Área total: 2 2
2 132 12 2 108 12 2 3 8 108 ) 6 5 ( 2 ) 6 8 ( cm A cm A cm A T b l
3) A cunha é um prisma triangular reto cuja base é um triângulo retângulo
13 5 325 100 225 10 15 : 2 2 2 2 2 2 a a c b a hipotenusa Área da base: 75 2 2 ) 15 )( 10 ( 2 ) ).( ( cm cat cat Ab Área total: At 2Ab Al 2(75)(10.10).(15)(10)(5 13).(10)40050 1350(8 13)cm2 Volume: Ab Ab.h75.10750cm3
4) Sendo x a aresta da base, temos que:
x 12 x 2 x 3 4 x 2 At 2 2
Do enunciado, temos que At 80. Assim:
) ( ) ( : convém não 6 x ou 4 x 0 40 x 6 x 2 0 80 x 12 x 2 80 x 12 x 2 2 2 2
5) A base é formada por um retângulo e um triângulo. Área do triângulo: h h cm 2 7 4 7 4 9 4 ) 2 3 ( 22 2 2 Área da base: 2 ) 7 4 3 6 ( 2 2 7 . 3 2 3x cm A A A A b t r b Área lateral: Al 3(10)4(2)(10)3080110cm2 Área total: 122) 2 2 7 3 ( 110 12 2 7 3 110 ) 6 4 7 3 ( 2 . 2A A cm At b l Volume: 6).10 3 2 7 3 ( cm V 6) 7) i) Volume:
3 2 48 ) 4 ).( 12 ( 3 4 ). 36 ( 3 4 . 6 3 . m h A Vpirâmide b ii) Área total:
2 2 2 2 2 2 96 60 36 60 15 4 2 ) 5 ).( 6 ( . 4 36 ) 6 ( 5 16 9 4 3 m A A A m A m A m g l b t l b 8) a)
Área da base:
Cálculo do apótema da pirâmide (g):
Área lateral: Área total: 2 ) 6 2 3 ( 24 3 48 3 24 cm A A A A A t t l b t Altura da pirâmide:
Seja m o apótema da base: cm 21 4 h 85 h 12 h 96 m h g 3 2 2 3 4 2 3 a m 2 2 2 2 2 Volume: 3 7 96 3 ) 21 4 ( ) 3 24 ( 3 cm V h Ab V b) Área da base:
Área lateral: Triângulo equilátero
2 3 24 2 3 48 2 3 4 3 2 3 3 2 2 cm A a A b b . 6 4 6 4 96 96 4 100 2 10 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 cm g g g g a g l 2 6 48 2 6 4 . 4 6 2 . 6 ag cm Al 2 2 25 ) 5 ( 2 cm A a A b b 4cm
Seis triângulos isósceles
5cm 5cm 5cm g 2 2 l 2 face l cm 3 25 3 5 A 4 3 a 4 A 4 A 2 3 5 2 3 a g altura g
Área total:
Altura da pirâmide: Seja m o apótema da base:
4 59 4 4 75 2 ) 2 3 5 ( 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h m h g a m Volume: 9) Apótema da pirâmide (g) : m g g a g a A Al b 3 15 2 3 ) 9 ( 3 10 2 ). 3 ( 6 2 3 3 10 2 . 6 10 6 3 90 2 Apótema da base (m): m a m 2 3 3 2 3 Altura da pirâmide: m h h h h h m h g 2 33 9 4 2673 27 ) 675 )( 4 ( 4 4 27 675 4 ) 3 )( 9 ( 3 ). 225 ( ) 2 3 3 ( ) 3 15 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Área total: 2 2 2 3 297 2 ) 3 9 )( 33 ( 2 3 3 11 11 10 m a A A A A A A A b t b b l b t 2 ) 3 1 ( 25 3 25 25 cm A A A A t l b t 3 6 59 25 3 ) 2 / 59 )( 25 ( 3 cm V h Ab V
10) a) 2 l 2 2 b cm 5 4 2 5 2 4 A cm 5 1 2 g cm 1 a cm 2 h ) ).( ( . b) t
2 2 l 2 2 b cm 5 1 4 A cm 5 4 A cm 4 2 A ( ) c)
3 1 8 1 . 3 8 8 3 8 8 ) 2 ).( 2 ).( 2 ( 3 8 3 2 . 4 3 . 3 3 cubo pirâmide cubo b pirâmide V V cm V cm h A V d)
6 5 1 ) 2 .( 6 5 1 4 ) ( ) ( 2 cubo pirâmide total A total A 11) i) 1cm 6 3 3 2 a 6 3 l a 3 2 a p b ii) g cm g h 17 1 16 1 4 4 2 2 iii) L g2
3 2 17 2 3 2 173 202 5cm12) O tetraedro regular é a pirâmide triangular regular com todas as faces sendo triângulos equiláteros. O apótema, g, da pirâmide é a altura do triângulo
equilátero e o apótema da base, ap, é a terça parte da altura da base (também mediana). Utilizando esses dados, temos:
cm 6 4 24 h 4 3 4 27 2 3 2 3 3 h 2 3 6 3 3 a g h 6 3 l 2 3 l 3 1 ap 2 3 3 2 3 l g 2 2 p ² ² ² ² .
13) O tetraedro regular é uma pirâmide cujas faces são todos triângulos equiláteros. A altura será calculada pela relação g 2 = h2 + m2, onde “g” é o apótema da pirâmide (no caso altura no triângulo equilátero da face), “m” é o apótema da base (também triângulo equilátero).
i) 2 2 2 2 Total l 3 2 3 4 3m 4 3 l 4 A ( ) . ii)
3 2 2 base 2 2 2 2 m 3 2 2 36 2 3 8 36 18 8 12 3 6 2 3 2 3 h 4 3 l 3 h A V 3 6 2 9 24 9 3 3 3 3 3 m g h 3 3 3 3 1 2 3 l 3 1 m 3 2 3 2 2 3 l g . . ) ( . . . . ; .14) As áreas laterais de ABE e CDE são diferentes. Logo as respectivas alturas também são. Considerando g1 e g2 as respectivas alturas de CDE e ABE. Temos:
10 2 2 g 10 4 2 g 2 10 4 ) ABE ( A 2 2 g ). 4 ( ) ABE ( A 37 1 g 37 2 1 g 2 37 2 ) CDE ( A 2 1 g ). 4 ( ) CDE ( A .
A altura da pirâmide não intercepta a base em seu centro. Considerando “x” e “3-x” as distâncias respectivas da interseção da altura com a base até os lados AB e CD, temos:
. 6 36 h 4 40 h ) 2 ( h 40 , Logo . 2 6 12 x x 6 28 40 x h 40 ) 1 ( x x 6 h 28 x h 40 x x 6 9 h 37 ) x ( h 10 2 x x 6 9 h 37 ) x ( h 2 g ) x 3 ( h 1 g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 O volume será então: base 3
cm 24 3 ) 6 ).( 3 )( 4 ( 3 h . A V . 15) .
. ²
.
.5 .(12) (25 ).(12) 300 .cm³ 5 Raio 10 Diâmetro h R h A V base 2 .16)
cm 2 56 12 12 25 h 12 25 h 2 14 3 2 h R 2 A cm 12 25 56 12 2 A 2 A ii cm 2 4 14 3 56 12 R R 14 3 56 12 R A i lateral base lateral base , , , ). ).( , .( . . . ² , , . ) , , ² ). , ( , ² . )17) No cilindro equilátero a altura possui a mesma medida do diâmetro da base.
Temos: ³ cm . 289 ² r 4 ) r 2 .( r . . 2 h . r . . 2 A cm 25 , 4 4 17 4 289 r 289 r 4 289 A r 4 ) r 2 .( r . 2 h . r . 2 A lateral 2 ção sec 2 ção sec 18) ² ) )( ( ² ) )².( ( ) )².( ( cm 96 12 4 2 rh 2 A cm 4 16 r 12 192 r 192 12 r 192 V 12 r V Lateral 19) ² cm 96 ) 12 )( 4 ( 2 rh 2 A cm 9 27 243 h 243 h 27 h 27 h ) 3 ( 9 h 9 h )². 3 ( h ². r ) copo ( V ³ cm 243 ) 27 ( 9 )³ 3 .( 9 ) cubo ( V 9 ) água ( V Latyeral 20) B
Construindo os cilindro do Tipo 1 e do Tipo 2 calculando o raio da base comparando com a largura do retângulo, temos:
3 2 2 2h . 10 .(10) 1000 1000cm r . V 10 2 20 r 20 r 2 : 1 Tipo 3 2 2 2h 5 20 500 500cm r V 5 2 10 r 10 r 2 2 Tipo ) .( . . : .
O custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será o dobro. 21) B
22) O raio da base mede 7cm. A altura será calculada pela relação de Pitágoras.
cm 24 576 h 49 625 h h 7 25 h r g 2 2 2 2 2 2 2 .
23) A secção meridiana é um triângulo equilátero cujo lado mede o diâmetro da base. Conhecendo a área da base do cone, temos:
2 2 ção sec 2 Triângulo ção sec 2 base 2 base cm 3 24 4 3 ) 6 ).( 16 ( 4 3 6 4 A 6 4 r 2 l 4 3 l A A cm 6 2 24 r 24 r . 24 A r . A .24) A altura do cone equilátero é a altura do triângulo equilátero.
cm 3 20 3 3 60 3 3 . 3 60 l 30 2 3 l 30 h 2 3 l h .
O lado do triângulo equilátero vale o dobro do raio: 10 3cm 2 3 20 r . i) Área total:
2 totsl : r(r g) 10 3 10 3 20 3 10 3 30 3 900 cm A 3 20 l g . ii) Volume:
3 2 base 3000 cm 3 30 . 3 10 3 h . A V . 25)a) O volume do cone é: Vcone r h 500cm 500ml 3 ) 20 ( ) 5 )( 3 ( 3 ) 20 ( ) 5 ( 3 3 2 2 2
Observe que a situação se resume em calcular a diferença entre dois volumes de cones.
O volume do cone menor é:
3 2 2 menor cone 625cm 3 10 25 6 3 3 10 5 2 3 h r V ( , ) ( )( )( , )( ) ,
O volume consumido pela 1ª pessoa foi de 500 – 62,5 = 437,5 cm³
Percentualmente, temos , 0,875 87,5%
500 5
437
26) O sólido é formado pelo cilindro cujo diâmetro vale o lado do quadrado e que também é diâmetro da base do cone. A altura do cilindro também é o lado do quadrado.
i) Volume do cilindro: Vcilindro Ab.h
.r2.h.(1)2.(2)2ii) Altura do cone: h
10 212 9 3iii) Volume do cone: .
.
.
. . (13)3 1 h r 3 1 h A 3 1 Vcone b 2
iv) Volume do sólido: Vsólido Vcilindro Vcone 23
27) 3 3 3 esfera 2 2 2 esfera 2 esfera cm 972 ) 243 ( 4 3 ) 729 ( 4 ) 9 ( 3 4 r 3 4 V cm 9 81 r 81 r 4 324 r 324 r 4 324 A r 4 A 28)
cm 10 1000 R 3 4000 3 R 4 3 R 4 V 3 4000 3 500 8 V 8 V 3 500 3 5 4 3 r 4 V 3 3 3 original esfera 1 original 3 3 esfera 1 . . . . ) .( . 29) r 16 r 16 4cm 16 A r A 2 ção 2 ção . . sec sec .O raio da esfera é determinado pela relação de Pitágoras:
cm 5 16 9 R 4 3 R r 3 R2( )2 2 2( )2( )2 .
30) A capacidade do reservatório será a soma dos volumes do hemisfério e do cilindro. As medidas estão ilustradas na figura.
3 3 3 io reservatór 3 2 2 cilindro 3 3 3 3 hemisfério m 45 m 27 m 18 V m 27 3 3 h r V m 18 3 3 2 6 R 4 3 r 4 2 1 V ) .( ) ( . ) ( . . 31) 150 32 3 1600 3 32 1600 V V doces de n 3 32 2 3 4 V 1600 16 10 V V esfera panela 3 esfera 2 cil panela º Alternativa D
