André Gustavo Campos Pereira
Joaquim Elias de Freitas
Roosewelt Fonseca Soares
Cálculo I
D I S C I P L I N A
A derivada
Autores
aula
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Governo Federal Presidente da República
Luiz Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário de Educação a Distância – SEED
Carlos Eduardo Bielschowsky
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Reitor
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Vice-Reitora
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Secretária de Educação a Distância
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Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais
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Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Projeto Gráfico
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Revisores de Estrutura e Linguagem
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Revisora das Normas da ABNT
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Editoração de Imagens
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Diagramadores
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Adaptação para Módulo Matemático
André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos
Colaboradora
Viviane Simioli Medeiros Campos
Imagens Utilizadas
Apresentação
N
a aula 3 (Taxa de variação), vimos os conceitos de taxa de variação média entre os valores e + , que denotamos por y , e de taxa de variação instantânea no ponto , que foi definida por lim
0=
(x0x)(x0)
x . Veremos nesta aula o que representa geometricamente esses conceitos e como historicamente eles evoluíram para o conceito da derivada de uma função em um ponto. Estudaremos também as propriedades da derivada de uma função e apresentaremos vários exemplos para que nos familiarizemos com esse conceito tão importante da Matemática.
Objetivos
Panorama histórico de derivadas
P
ode-se dizer que as primeiras noções de diferenciação se originaram de problemas relativos ao traçado de tangentes a curvas e de questões que tinham como objetivo a determinação de máximos e mínimos de funções. Embora essas considerações tenham surgido desde os tempos da Grécia Antiga, parece razoável afirmar que as primeiras manifestações realmente claras do método diferencial foram encontradas em algumas idéias de Johann Kepler (1571-1630). Kepler observou que os incrementos ou acréscimos de uma função tornavam-se infinitesimais nas vizinhanças de um ponto de máximo ou de mínimo de uma função cujo gráfico era uma curva suave.No século XVII, quando René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665) introduziram as coordenadas cartesianas, tornou-se possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar funções analiticamente. A Matemática tomou assim um grande impulso, principalmente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas, a partir de observações ou experiências realizadas, procuraram determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis do estudo desenvolvido com as propriedades de tais funções.
Eram conhecidas tão poucas curvas antes de Fermat que ninguém sentiu qualquer necessidade de aperfeiçoar a idéia antiga, e aparentemente inútil, segundo a qual a tangente é uma reta que toca uma curva num único ponto. Encontrar uma forma de traçar uma tangente ao gráfico de uma função num determinado ponto desse gráfico passou a ser um problema difícil. Essa dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como “o problema das tangentes” (SIMMONS, 1987).
Fermat resolveu tal dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto , considerou outro ponto sobre a curva; considerou a reta Q secante à curva. Seguidamente, fez deslizar ao longo da curva em direção a , obtendo desse modo retas Q que se aproximavam duma reta , a qual Fermat chamou reta tangente à curva no ponto .
Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores máximos ou mínimos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos, Px fx)), com o valor assumido no outro ponto, Qx+E fx+E)), próximo de , a diferença entre fx+) e x) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de , diferença das abscissas de e . Assim, o problema de determinar máximos ou mínimos e de determinar tangentes a curvas passaram a estar intimamente relacionados.
Essas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.
No século XVII, Newton e Leibniz criaram simultaneamente, e independentemente um do outro, o Cálculo Infinitesimal, sendo que Leibniz introduziu a notação x e y para designar os acréscimos em e em . Dessa notação, surge o nome do ramo da Matemática, conhecido hoje como Cálculo Diferencial.
Derivada
Definição
1Chamamos de derivada da função no ponto o limite da taxa de variação
média, y x =
(x+ x)(x)
x , quando tende a 0, desde que esse limite exista. Desse modo, a derivada da função no ponto deve ser entendida
como sendo a taxa de variação instantânea, no ponto , que denotamos por
x):
(x0) = lim 0
y
x = lim0
(x0+ x)(x0) x .
Considerando =+ , tem-se que =, portanto, podemos
reescrever:
(x0) = lim 0
y
x = lim
(x)(x0) xx0
.
Definimos como uma função cujo domínio é formado pelos pontos do domínio de para os quais o limite anterior exista. O domínio de deve ser o mesmo domínio de ou parte dele. Se existe para um determinado valor de , dizemos que é derivável em .
Teorema 1 (Continuidade de função derivável)
Se é derivável em , então, é contínua em .
Demonstração - Uma função é contínua em se lim
x) =x). Usando as propriedades de limites de funções reais, temos que
lim
x)x)) = limx)x)) xx
xx
=
lim
x)x)
xx
lim
xx) = x
Logo,
lim
x)x)) = 0, lim
x)limx) = 0, lim
x)x) = 0 .
Portanto,
lim
x) =x), o que prova que é contínua em .
Notações
Existem diversas maneiras de representar a derivada de uma função y=x). As notações mais usadas são as introduzidas por Newton e Leibniz.
n Notação de Newton
x)- lê-se: “ linha de ” e significa a derivada de no ponto .
’ - lê-se: “ linha”, é uma notação sintética, mas não apresenta a variável independente.
n Notação de Leibniz
y
x- lê-se: “yx ou derivada de em relação a ”, apresenta as variáveis dependente
e independente.
xfx) - lê-se: “ de de x ou derivada de em relação a ”, apresenta as variáveis dependente e independente. É muito importante quando é expressa por mais de uma função.
Interpretação na dinâmica
Interpretação gráfica da derivada
Na Figura 1, observaremos que a taxa de variação média de x) entre e +
é o coeficiente angular, que denotamos por , da reta secante ao gráfico da função , que passa pelos pontos x fx)) e (x+ x f(x+ x)), isto é,
m= y
x =
(x+ x)(x)
x .
Portanto, como (x0) = lim 0
y
x = lim0
(x0+ x)(x0)
x , temos que x) é o limite dos coeficientes angulares das retas secantes que passam pelos pontos
x fx))e (x+ x f(x+ x)), quando tende a zero. Podemos então
considerar que x
) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no
ponto x fx)).
Equação da reta tangente
De acordo com o exposto anteriormente, a equação da reta tangente ao gráfico da curva y=x) no ponto x fx)) é dada por
y=x) +x)xx).
Exemplo 1
Encontre a equação da reta tangente à curva x) =x para = , isto é, a reta tangente no ponto 1 f1)).
Inicialmente, calculemos x), usando a definição de derivada
(x) = lim 0
(x+ x)(x)
x = lim0
(x+ x)2x2
x = lim0(2x+ x) = 2x.
Ou seja, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de x) =x
no ponto 1 f1)) é dado por 1) = 21 = 2 e a equação da reta tangente em 1 f1)) é
y =1) +1)x1),
y= 1+ 21),
y= 2.
A Figura 1 mostra a representação gráfica dessa tangente.
Exemplo 2
Encontre a derivada da função x) = 1
x, isto é, calcule x), usando a definição de derivada para = .
(x) = lim 0
(x+ x)(x)
x = lim0 1 x+ x
1 x
x =
lim 0
x(x+ x) (x+ x)x ·
1
x = lim0
1
(x+ x)x = 1 x2
portanto, x) = 1
x quando x) = 1 x.
Atividade 1
Calcule a derivada das seguintes funções:
a)
função constante fx) =,b)
função identidade dx) =x,c)
função x) =x.sua resposta
a)
b)
Cálculo das derivadas das funções
trigonométricas seno e co-seno
N
os exemplos a seguir, vamos usar a definição de derivada e os dois limites básicos apresentados a seguir para calcular as derivadas das funções trigonométricas seno e co-seno. Calcularemos as derivadas das demais funções trigonométricas como aplicação da regra da derivada do quociente de funções. Para o cálculo das derivadas dessas funções, as variáveis independentes são consideradas em radiano.No cálculo das derivadas do seno e do co-seno, faremos uso dos limites lim
0
snx
x = 1 e lim0
osx1
x = 0. Faremos apenas a demonstração do segundo limite, uma vez que a demonstração do primeiro pode ser encontrada na
bibliografia indicada.
lim 0
osx1
x = lim0
(osx1)(osx+ 1)
x(osx+ 1) = lim0
os2x1
x(osx+ 1)
= lim 0
sen2x
x(osx+ 1) =lim0
senx
x ·
senx osx+ 1
= lim 0
senx x ·lim0
senx
osx+ 1 =1· 0
Cálculo da derivada do co-seno
Aplicando a definição de derivada, temos(osx) = lim 0
os(x+ x)osx
x = lim0
osxosxsenxsenxosx
x
= lim
0
osx(osx1)senxsenx
x
= lim
0
osx
osx1
x
senxsenx
x
= lim
0osxlim0
osx1
x
lim
0senxlim0
senx
x
=osx·0senx·1 =senx
.
Resumindo, osx) =senx.
Entretanto, encontrar a derivada de uma função a partir da definição de derivada pode ser muito trabalhoso.
Seja, por exemplo, x) = x
12x1
x3+ 1 . Trata-se de uma função simples, porém é fácil ver que é muito trabalhoso calcular a derivada x) através da definição de derivada. Esse é um exemplo que requer um estudo sobre regras de derivação. Felizmente, para resolver o problema de obter a derivada de uma função, podemos utilizar algumas propriedades que facilitam muito o cálculo de derivadas.
Cálculo da derivada do seno
Aplicando a definição de derivada, temos
(senx) = lim 0
sen(x+ x)senx
x = lim0
senxosx+osxsenxsenx
x
= lim
0
senx(osx1) +osxsenx
x
= lim
0
senx(osx1)
x +osx senx
x
= lim
0senxlim0
(osx1)
x + lim0osxlim0
senx
x
=senx·0 +osx·1 =osx
Regras de derivação para a
soma, subtração, produto e
quociente de funções
Aplicando a definição de derivada,
(x0) = lim 0
(x0+ x)(x0)
x ,
e usando a notação mais adequada para esses casos, temos
xf(x) = lim0
f(x+ x)f(x) x .
Nas regras que seguem, consideramos as funções e deriváveis em , isto é, os limites
xu(x) = lim0
u(x+ x)u(x)
x
e
xv(x) = lim0
v(x+ x)v(x)
x
existem.
Observação 1 - Para a representação de funções, usamos as letras f g h u, ou outra letra qualquer, indiferentemente, ressalvando apenas que as letras e são usadas
geralmente como variáveis independentes. Em alguns casos, a função pode receber um nome e uma notação particulares, por exemplo, a função identidade d, apresentada na
atividade 1, b.
Observação 2 - Se x) =x, pelo exemplo 1 x) = 2x, não importando se na definição da função foi usada a letra ou .
Teorema 2 (Derivada da soma de funções)
Sejam e funções deriváveis em , então, a soma das duas, v, é também derivável em e
xu+v)x) =
xux) + xvx).
Na notação usual,
+v) =+v.
Demonstração - Aplicaremos a definição de derivada a x) = u+v)x):
x(u+v)(x) = lim0
(u+v)(x+ x)(u+v)(x)
x
= lim 0
u(x+ x) +v(x+ x)[u(x) +v(x)]
x
= lim 0
u(x+ x)u(x)
x +
v(x+ x)v(x)
x
= lim 0
u(x+ x)u(x)
x + lim0
v(x+ x)v(x)
x
=
xu(x) + xv(x)
Teorema 3 (Regra da derivada da soma de
n
funções)
Sejam u, u2, , u funções deriváveis em , então, a soma uu2 u é derivável em e
d
dxu+u2+ +u)x) = d
dxux) + d
dxu2x) + + d
dxux). Na notação usual,
u+u2+ +u) =u+u2+ +u, e, na notação de somatório, temos
n = n = .
Faremos a seguir a demonstração para o caso = , isto é,
+2+3) =+2+3.
Demonstração - Aplicaremos a regra da soma duas vezes.
+2+3) = [+2) +3] (Associatividade das funções reais)
+2+3) = [+2) +3] = +2)+3 (Regra da derivada da soma, primeira vez).
+2+3) = [+2) +3] = +2)+3=+2+3 (Regra da derivada da soma, segunda vez).
Atividade 2
sua resposta
Consideremos as funções x) =x e x) =x.
Seja x) = u+v)x) =ux) +vx). Calculemos sua derivada x) .
Teorema 4 (Derivada da diferença de funções)
Sejam e funções deriváveis em , então, a diferença das duas, v, é derivável nos pontos onde ambas são deriváveis. Nesses pontos,
xuv)x) =
xux) xvx).
Na notação usual,
v) =v .
Atividade 3
Atividade 4
Demonstre o teorema 4Sugestão - Aplique a definição de derivada a x) = uv)x) e proceda de forma semelhante ao caso da derivada da soma de funções.
Calcular a derivada da função x) =xx.
Teorema 5 (Derivada do produto
vde funções)
Sejam e funções deriváveis em , então, o produto das duas é derivável em e
xuv)x) =
xux)vx) +ux) xvx).
Na notação usual,
v) =v+v.
Demonstração - Aplicaremos a definição de derivada a x) = uv)x):
x(u·v)(x) = lim0
(u·v)(x+ x)(u·v)(x)
x
= lim 0
u(x+ x)·v(x+ x)u(x)·v(x)
x
Para transformar esse limite em um equivalente que contenha as derivadas de e , somamos e subtraímos (x)v(x+ x) ao numerador da fração, pois esta não se altera, e obtemos:
xuv)x) =
Exemplo 3
Consideremos a função x) =x, calculemos sua derivada x).
Solução
Usando a regra do produto v)=v+v com x e x, observe que v =dx), de modo que x) =x=uv e x) = uv) =uv+uv em que
= x e = , substituindo e e suas derivadas e por expressões em termos de , temos:
x) = xx)= 2xx+x1 = 3x
.
Resumindo,
x) = 3x.
= lim0
u(x+ x)·v(x+ x)u(x)·v(x+ x) +u(x)·v(x+ x)u(x)·v(x)
x
= lim 0
u(x+ x)u(x)
x v(x+ x) +u(x)·
v(x+ x)v(x)
x
= lim 0
u(x+ x)u(x)
x ·lim0v(x+ x) + lim0u(x)·lim0
v(x+ x)v(x)
x
=
Atividade 5
Consideremos a função gx) =fx), onde é uma constante e é uma
função derivável em , calculemos sua derivada x).
Teorema 6 (Derivada do quociente de funções)
Sejam e funções deriváveis de , então, o produto das duas v é derivável nos pontos onde ambas são deriváveis e x)= 0 . Nesses pontos,
x u v x) =
xux)·vx)ux)· xvx)
vx) .
Na notação usual,
v
·v·v
v .
Conclusão:a derivada de um quociente é a derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, dividido pelo denominador ao quadrado.
Demonstração - Aplicaremos a definição de derivada a x) =u v
x):
x
u
v
(x) = lim
0
u
v
(x+ x)u
v
(x)
x = lim0
u(x+ x) v(x+ x)
u(x) v(x)
x
= lim 0
u(x+ x) v(x+ x)
u(x) v(x)
·1
x
= lim 0
u(x+ x)·v(x)v(x+ x)·u(x) v(x+ x)·v(x) ·
1 x
= lim 0
u(x+ x)·v(x)v(x+ x)·u(x)
x ·lim0
1
Para transformar o primeiro limite anterior em um equivalente que contenha as derivadas de e , somamos e subtraímos x)vx) ao numerador da fração, pois esta não se altera, e obtemos:
Exemplo 4
Consideremos a função x) = x 3
x+ 1, calculemos sua derivada x).
Solução
Usando a regra do quociente v
·v·v
v , com x
e =x 1,
de modo que x) = x 3
x+ 1 = u
v e x) =
u
v
= u·vu·v
v em que = x
e = x, substituindo e e suas derivadas e por expressões em termos de , temos:
x) =
x3 x+ 1
= 3x·
x+ 1x3·2x x+ 1)
. x u v x) = = lim 0
u(x+ x)·v(x)u(x)·v(x) +u(x)·v(x)v(x+ x)·u(x)
x
= lim 0
u(x+ x)u(x)
x ·v(x)u(x)·
v(x+ x)v(x)
x
=
lim 0
u(x+ x)u(x)
x ·lim0v(x)lim0u(x)
=
xu(x)·v(x)u(x)· xv(x)
1
v2(x) =
xu(x)
·v(x)u(x)·
xv(x)
v2(x)
lim 0
1
(x+ x)(x) lim
0
1
(x+ x)(x)
lim 0
1
(x+ x)(x) lim
0
1
(x+ x)(x)
· lim 0
(x+ x)(x) x
· lim
0
1
Atividade 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Aplicação da regra da derivada do quociente – Use a regra do quociente para calcular as derivadas das seguintes funções trigonométricas: tangente, secante, cotangente e co-secante.
Tangente: tgx senx osx
Secante: sex= osx
Cotangente: otgx osx senx
Co-secante: osex= senx
Como vimos nesta aula, sabemos que se x) =x, então, x) = 1 . Encontre a derivada da função x) =x+x no ponto 1 f1)).
Sendo x) = 1x
x2 , calcule
x). Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto 1 f1)).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função x) = 3x2x4 no ponto 2 f2)).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função x) =x no ponto 3/2 f3/2)).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função x) =x no ponto 2 f2)).
Encontre a derivada da função fx) =snx no ponto /3, f/3)).
12
13
14
15
Resumo
Encontre a derivada da função fx) =osx no ponto /3, f/3)).
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função fx) =osx no ponto /3, f/3)) .
Encontre a derivada da função x) =tgx no ponto /3, f/3)) .
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função x) =tgx no ponto /3, f/3)).
Nesta aula, vimos que a derivada de uma função
y=x)no ponto
nada mais é do que a taxa de variação instantânea no ponto
, vista na
aula 3 (Taxa de variação). O domínio da função derivada
é formado
pelos pontos do domínio de
para os quais o limite da definição da
exista. Vimos que
x)representa geometricamente a inclinação
da reta tangente ao gráfico e
no ponto
e, finalmente, vimos as
1
2
Auto-Avaliação
Vimos que a interpretação geométrica da derivada x) de uma função em
um dado ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função no
ponto x fx)). Se fx)0, qual seria o comportamento da função nesse
ponto, ou melhor, com essa informação somos capazes de intuir algo sobre o crescimento/decrescimento da função nesse ponto?
Se a função representa os seus investimentos no tempo e se lhe fosse permitido saber que num tempo futuro acontecerá fx)0, você faria alguma coisa
para tentar mudar isso ou isso é um bom resultado e você ficaria tranqüilo?
Referências
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.
SIMMONS, George F. Cálculo: com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1.
