Resolução: 15% de 700 =. 700 = R$ 105. Resolução: 17% de 52 =. 52 = 8,

(1)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

1

Matemática Financeira: Interpretação de situações reais, inclusive na leitura de gráficos e tabelas, podendo ocorrer, também, em outras provas, tais como Geografica e Biologia.

Vale a pena ler revistas e jornais onde possamos encontrar tais formas gráficas, ficando assim familiarizados com os fatos que as notícias contam e com essa forma de veicular a informação.

Um símbolo que aparece bastante em prova, sobretudo em matemática financeira, é o símbolo de porcentagem: % Pois bem, o símbolo % significa apenas: divido por 100.

É isso mesmo. O símbolo % sempre vem depois de um número.

Ele quer dizer apenas que este número está divido por 100.

É muito frequente o uso de expressões como as

apresentadas na figura acima. Elas refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.

Vamos ver queridos alunos alguns exemplos:

•

O aumento dos combustíveis foi de 15%.

Isso significa que em cada R$100,00 houve um acréscimo de R$15,00.

•

Foi dado um desconto de 20% em todas as mercadorias.

Isso significa que em cada R$100,00 foi dado um desconto de R$20,00.

•

11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência.

•

o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas.

As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões centesimais, percentagem ou porcentagem. Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento).

Ou seja,

Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para obter a taxa unitária, basta dividir o numerador por 100.

35 35 0 35

%=100= , 500

500 5

%=100=

0 6 0 6 0 006 100

, %= , = , 840

840 8 4

%=100 = ,

Para calcular x % de um valor, basta multiplicar o valor pelo número

100 x .

Exemplo: Calcular 15% de R$700.

Resolução: 15

15 700 700 105

% de =100. =R$

Dica do Tio Sormany: Dica do Tio Sormany: Dica do Tio Sormany: Dica do Tio Sormany:

Exemplo:

Calcular 17% de 52.

Resolução: 17

17 52 52 8 84

% de =100. = ,

Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta multiplicá-la por100%.

Esse fato é matematicamente correto, pois 100%e o número

1

é o elemento neutro da multiplicação. Ou seja, multiplicar por

100

% não altera o resultado.

Exemplo: Transformar a fração

5

4

em taxa percentual.

Resolução:

5 5 500

100 125

4

⁼

4

^. ^%⁼

4

^%⁼ ^%

Exemplo: Transformar a fração

5

8

em taxa percentual.

Resolução:

5 5 500

100 62 5

8

⁼

8

^. ^%⁼

8

^%⁼ ^{, %}

Exemplo: Transformar o número 0,352 em forma de taxa percentual.

Resolução: 0 352, =35 2, %

Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, então deveremos adicionar zeros a direita.

Da, de e do é sinônimo de vezes(multiplicação). Vale tanto para fração quanto para porcentagem.

1.0. PORCENTAGEM

PORCENTAGEM E PROBLEMAS.

1.1. PERCENTUAL DE UM VALOR

1.2. Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual

%

100 P = P

(2)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

2

Os problemas de porcentagem geralmente são resolvidos por Regra de Três ou por Raciocínio Lógico.

1)(ENEM-2012)O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangencias, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de A) 300% B) 200% C) 150% D) 100% E) 50%

2)(ENEM-2012)A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente de um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se.

Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é

A) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado.

B) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a² para ((1 – 0,2) a)².

C)48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.

D) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.

E) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

3)(ENEM-2012)O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.

Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela.

1.3. PROBLEMAS COM PORCENTAGEM

1.4.

FRAÇÃO x PORCENTAGEM

(3)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

3

Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4)(ENEM-2012)Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e

comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa 30% e na segunda etapa em 10%.

Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de

A) hipoglicemia. B) normal. C) pré-diabetes. D) diabetes melito E) hiperglicemia.

5)Observe a balança.

Sabendo que ela está equilibrada e que as duas latas têm exatamente o mesmo peso , então um terço dos 12%do peso de cada lata equivale a

a) 30g. b) 75g. c) 90g.d) 150g. e) 250g.

6)(FCC-27/01/2013) A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,

(A) 5.(B) 6.(C) 19.(D) 500. (E) 600.

7)(Cesgranrio-2012)O resultado de uma pesquisa feita pela Confederação Nacional de Agricultura (CNA) sobre a produtividade de mil famílias em assentamentos é apresentado no gráfico abaixo.

Quantas, dentre as famílias pesquisadas, produzem, pelo menos, o suficiente para o seu consumo?

(A)250 (B)370 (C)420 (D)520 (D)600

8)(VUNESP-2012)No gráfico está representado o lucro mensal, em milhares de reais, de uma pequena empresa, no período de janeiro a setembro de 2009.

De acordo com os dados do gráfico, é correto afirmar que o lucro (A) de abril teve um crescimento de 25% em relação ao do mês anterior.

(B) médio mensal, no 2.º trimestre, foi igual a 40 mil reais.

(C) médio mensal, no 3.º trimestre, foi igual a 60 mil reais.

(D) mensal igual a 50 mil reais ocorreu em apenas um mês.

(E) mensal igual a 60 mil reais ocorreu em três meses consecutivos.

9)Um cliente comprou, em uma agencia dos correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre Landell de Moura e dos 150 anos de fundação da CEF. Para o pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que

3

4

dessa quantia correspondiam ao custo dos selos comemorativos dos 150 anos do padre Landell e que

1

5

, ao custo dos 150 anos da CEF. Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o cliente corresponde a

a) 12% b) 20% c) 5% d)8% e)10%

10)O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento?

11)Numa festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é

13

12

.A porcentagem de rapazes na festa é:

a) 44 %b) 45 %c) 40% d) 48 % e) 46 %

(4)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

4

12)(FCC--2013)Três lojas cobram preços distintos por certo produto. O maior preço é 35% a mais que o preço intermediário. O menor preço é 25% a menos que o preço intermediário. Para se igualar ao maior preço, o menor preço deve ser aumentado, em porcentagem, em

(A) 60.(B) 65.(C) 35.(D) 80. (E) 50 13)(CESGRANRIO-2012)

Revista Veja. São Paulo: Abril, 2249. ed, ano 44, n.52, 28 dez. 2011, p. 23. Edição especial. Sustentabilidade.

Adaptado.

Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta.

Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de

lixo recicladas na China e nos EUA em um ano?

(A) 9,08 (B) 10,92 (C) 12,60 (D) 21,68 (E) 24,80

14)Dois aumentos sucessivos de 40% e 10% são equivalentes a um único aumento de:

a) 58% b) 54% c) 50% d) 44%

15)Descontos sucessivos de 30% e 10% são equivalentes a um único desconto de:

a) 40% b) 37% c) 33% d) 20%

16)Calcular:

a)

30%

de

20%

de

40%

b)

81%

c)

( 20% )

² d)

12%

de R$730,00

17)Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é:

a) 10% b)15% c) 23% d) 28% e) 33%

18)Que número deve ser somado ao numerador e ao denominador da fração

2

3

para que ela tenha um aumento de 20%?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

19)(FCC-27/01/2013)Em uma escola privada, 22% dos alunos têm bolsa de estudo, sendo os demais pagantes. Se 2 em cada 13 alunos pagantes ganharem bolsa de estudo, a escola passará a contar com 2.210 alunos bolsistas. Dessa forma, o número atual de alunos bolsistas é igual a

(A) 1.430. (B) 340. (C) 910. (D) 1.210. (E) 315.

20)Antônio, Beatriz e Carlos são funcionários da mesma empresa.

Sabe-se que Antônio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos ganha 20% a menos que Antônio. A diferença entre o salário de Carlos e Beatriz é de R$80,00. Qual o salário de Antônio?

21)O gerente de uma loja aumentou o preço de um artigo em 25%. Decorrido um certo tempo, ele percebeu que não foi vendida 1 unidade sequer desse artigo. Resolveu, então, anunciar um desconto de tal modo que o preço voltasse a ser igual ao anterior.

O desconto anunciado foi de

a) 20% b) 22%c) 25%d) 28% e) 30%

22)Dos 3840 candidatos inscritos num Concurso, 15% não compareceram à prova (sendo, portanto, eliminados) e 1728 dos que compareceram foram reprovados. O percentual, com relação ao número de inscritos, dos candidatos aprovados foi:

a) 35% b) 40% c) 45%d) 50% e) 55%

23)Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou R$ 60,00 a menos que a estante e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custou cada uma das

mercadorias?

24)Tiago, André e Gustavo foram premiados em um ”bolão ”do Campeonato Brasileiro. Tiago vai ficar com 40% do valor total do prêmio enquanto André e Gustavo vão dividir o restante igualmente entre dois. Se Gustavo vai receber R$ 600,00, então o prêmio total é:

a) igual a R$ 1500,00. b) maior que R$ 2000,00.

c) menor que R$ 2500,00. d) igual a R$ 2500,00.

e) maior que R$ 3000,00.

25)(FCC - 2012 )

Do salário mensal de Miguel, 10% são gastos com impostos, 15%

com moradia, 25% com transporte e alimentação e 10% com seu plano de saúde. Daquilo que resta,

3

8

são usados para pagar a mensalidade de sua faculdade, sobrando ainda R$ 900,00 para o seu lazer e outras despesas. O gasto mensal de Miguel com moradia, em reais, é igual a

a) 210,00 b) 360,00 c) 450,00 d) 540,00 e) 720,00

26)Três lojas concorrem vendendo a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25% de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto de 10%, a terceira camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta camiseta igual com desconto de 30%. Ordenando os valores pagos por três clientes que compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse segundo cliente.

Desta forma, o valor de X é aproximadamente a) 50. b) 33,3. c) 25. d) 22,5. e) 12.

27)(FCC - 2012 - TRT - 6ª Região (PE) - Técnico )

Duas lojas concorrem vendendo a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3 camisetas. A outra loja, Melhor Compra, oferece 25% de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma mesma compra. Comparando um cliente que levou 4 camisetas da loja Q-Preço com outro que comprou 4 camisetas na loja Melhor Compra, o cliente que obteve maior desconto, em relação ao preço inicial de uma camiseta, obteve um desconto, por camiseta, de

a) 50%. b) 33,3%. c) 25%. d) 22,5% e) 12,5%.

(5)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

5

28)(FCC-03/O3/2013) Atendendo ao pedido de um cliente, um perfumista preparou 200mL da fragrância X. Para isso, ele misturou 20% da essência A25% da essência B e 55% de veículo. Ao conferir a fórmula da fragrância X que fora encomendada, porém, o perfumista verificou que havia se enganado, pois ela deveria conter 36% da essência A, 20% da essência B e 44% de veículo. A quantidade de essência A, em mL, que o perfumista deve acrescentar aos 200 mL já preparados, para que o perfume fique conforme a especificação da fórmula é igual a

(A) 32 (B) 36 (C) 40.(D) 45. (E) 50.

29)Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais que um selo do tipo B, então 8 selos do tipo A custam

A) R$ 9,00. B) R$ 10,50. C)R$ 12,00. D)R$ 12,60.

E)R$ 8,40

30)O quadro abaixo apresenta a distribuição dos salários dos funcionários em um banco

Sabe-se que foram admitidos mais 500 funcionários, ganhando cada um R$ 2.000,00, sendo que 20% deles eram homens. A nova porcentagem de funcionários do sexo feminino, com relação ao total geral, que ganham um salário inferior a R$ 3.000,00 é (A) 40%. (B) 36%. (C) 30%. (D) 24%. (E) 12%.

31)Após a morte do Sr. Cunha, o imóvel que ele possuía foi vendido por R$ 720.000,00. O dinheiro da venda foi dividido da seguinte maneira: primeiro, foram destinados 6% do valor total para a comissão da imobiliária e 10%, desse mesmo total, para impostos e honorários advocatícios. Metade do restante foi para a viúva do Sr. Cunha e a outra metade foi dividida igualmente entre seus três filhos. O valor, em reais, destinado a cada filho do Sr.

Cunha foi

(A) 120.000,00 (B) 102.600,00 (C) 100.800,00 (D) 12.600,00.

(E) 10.800,00

31)Marcelino chegou à cidade de Campo Maior com uma velocidade média de 70

km / h

. O aumento percentual de sua velocidade média para percorrer os 168

km

restantes, em um tempo de 90 minutos deverá ser:

(A) 49% (B) 60 % (C) 54 % (D 56% (E) 63%

i)Imagine a seguinte situação. Chegou o mês de Dezembro e meu amigo Adelson Júnior resolve presentear a sua noiva Viviane com uma bolsa. Vai ao Shopping Jardins e encontra a bolsa dos sonhos da sua mulher por apenas R$ 200,00. Lástima! Gastou todo o dinheiro em um bar no E.U.A.

Resolve então comprar a bolsa no final de semana. Quando Adelson Júnior retorna ao Shopping Jardins, encontra a mesma bolsa por R$ 280,00. Obviamente o valor da bolsa aumentou em R$ 80,00.

ii)Imagine agora outra situação. Chegou o mês de Dezembro e Sormany Barreto resolveu presentear a sua esposa Andrezza com um anel de brilhantes. Vai à joalheria e encontra o anel dos sonhos da sua mulher por “apenas” R$ 4.000,00. Lástima!

Esqueceu a carteira em casa. Resolve então comprar o anel no final de semana. Quando você retorna à joalheria, encontra o mesmo anel por R$ 4.080,00. Obviamente o valor do anel aumentou em R$ 80,00.

Em valores absolutos, o aumento do valor da bolsa foi igual ao aumento do valor do anel. Qual dos dois aumentos foi mais significativo em relação ao valor inicial do objeto?

Obviamente um aumento de R$ 80,00 em um produto que custa R$ 200,00 é bem mais representativo do que um aumento de R$ 80,00 em um produto que custa R$ 4.000,00. Uma maneira de comparar esses aumentos é a chamada variação percentual.

Definição

A razão entre o aumento e o preço inicial, expressa em forma de porcentagem, é chamada variação percentual.

Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial inicial

V

na data 0 e valor final

V

final em uma data futura

t

. A variação percentual dessa grandeza entre as datas consideradas é o númeroi(expresso em porcentagem) dado por:

Queridos alunos voltemos aos nossos exemplos:

200 00 280 00

inicial final

i ) V = , e V = ,

Assim, a taxa percentual é:

280 200 80 2 40 200 200 2 100 40

i − ÷ %

= = = =

÷

4 000 00 4 080 00

inicial final

ii ) V = . , e V = . ,

Assim, a taxa percentual é:

4080 4000 80 40 2 4000 4000 40 100 2

i − ÷ %

= = = =

÷

Dica do Tio Sormany: Dica do Tio Sormany: Dica do Tio Sormany: Dica do Tio Sormany:

Saiba que x% de y é a mesma coisa que y% de x. Procure sempre a versão mais simples da conta, compare:

Fizemos 17% de 52... Agora façamos 52% de 17...

Veja que fica bem mais fácil!!!!!

1.5. VARIAÇÃO PERCENTUAL

final inicial inicial

V V

i V

= −

(6)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

6

Vários são os fatores que determinam o preço de um produto. A lei da oferta e da procura é um desses fatores que obriga, às vezes, mais de um reajuste de preços, para valores maiores (acréscimos sucessivos) ou para valores menores (descontos sucessivos).

Se um produto com preço inicial

P

₀ sofre acréscimos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2,…, in, então o preço desse produto após n reajustes é

P

_n dado por:

2Pn = P0 ⋅ (1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ … ⋅ (1 + in)²

Particularmente, esses acréscimos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1 = i2 = … = i_n =i. Neste caso, temos:

2Pn = P0 ⋅ (1 + i)ⁿ²

1)Os bancos vêm aumentando significativa as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2012 e de 40% no 2° semestre de 2012. Assim podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em:

a)50% b)72% c)82% d)18% e)70%

2)No início do ano de 2011, Jack ganhava um salário de R$7.000,00. Nos meses de junho dos anos de 2011 e 2012, seu salário sofreu dois aumentos sucessivos de 20%.

Qual o salário referente após junho de 2012?

3)(FCC)Em certo mês os preços aumentaram 30% e meu salário 56%. De quanto aumentou meu poder de compra?

a) 26% b) 22% c) 20% d) 18% e) 16%

Já vimos que numa transação comercial o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos. Da mesma forma, os preços de um produto podem ter descontos sucessivos.

Vejamos:

Se um produto com preço inicial

P

₀ sofre descontos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2,…, i_n, então o preço desse produto após n descontos será

P

_n dado por:

2Pn = P0 ⋅ (1 − i1) ⋅ (1 − i2) ⋅ … ⋅ (1 − in)²

Particularmente, esses descontos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1 = i2 = … = in= i. Neste caso, temos:

2Pn = P0 ⋅ (1 − i)ⁿ²

1) Uma mercadoria de R$17.487,65 teve os seguintes reajustes:

aumento de 10%, 20% e 25% e finalmente um desconto de 40%.

Quanto essa mercadoria aumentou ou diminuiu no final?

2)Dois descontos sucessivos de 20% e 60% são equivalentes a um único desconto de:

A) 32% B) 68% C) 80% D) 70%

3)Um produto sofreu em janeiro de 2011 um acréscimo de 20%

sobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos

afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é:

a)10% maior b)10 % menor c)Acréscimo superior a 5%

d)Desconto de 84% e)Desconto de 16%

4)Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale a aumentar o preço original em:

(A) 2% (B) 4% (C) 6% (D) 8% (E) 10%

Dicas do Tio Sormany

Aumentos percentuais

Aumentar algo em 10% e o mesmo que multiplicar por 1,1(1+0,1).

E assim por diante Iremos ver uma Técnica criada pelo Tio Sormany

para resolver problemas envolvendo aumentos e/ou descontos sucessivos.

3.0. ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS

4.0. DESCONTOS SUCESSIVOS

(7)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

7

OPERAÇÕES DE COMPRA E VENDA QUE UTILIZAM

PORCENTAGEM.

É comum em nosso dia a dia algumas palavras como lucro, prejuízo, abatimento, comissão virem relacionadas com taxa percentual.

Esses problemas podem ser resolvidos pelas equações abaixo.

Porém, em alguns casos a regra de três nos dá uma tremenda velocidade.

A situação é a seguinte: alguém possui dinheiro hoje, mas não precisa ou não quer usá-lo.

Outra pessoa não possui dinheiro agora, mas quer ou precisa usar uma “graninha” no momento atual. Quem tem o dinheiro hoje pode cedê-lo para a pessoa que precisa. Para tanto,

ela cobra um “aluguel”. Este aluguel são os juros.

Esta é uma maneira simplificada de entender porque pagamos juros quando pegamos dinheiro emprestado. Estamos pagando uma remuneração para que quem nos emprestou deixe de usar o dinheiro hoje, para poder usá-lo só depois.

1. Fórmula de juros simples

Sormany empresta R$ 200,00 para Andrezza, cobrando uma taxa de 1% ao mês (juros simples). Qual o valor da dívida, depois de dez meses?

Resolução:

Entramos em um dos problemas mais comuns de matemática financeira. A cobrança de juros.

A ideia dos juros é remunerar o capital. Andrezza precisa do dinheiro hoje, mas não tem este dinheiro. Sormany tem o dinheiro, mas não precisa dele agora. Assim, Sormany empresta o dinheiro para Andrezza, mas cobra uma remuneração por isto.

Esta remuneração são os juros.

Os juros representam uma receita (ou rendimento) para quem empresta o dinheiro e uma despesa para quem toma emprestado.

O valor dos juros depende da taxa.

Dizer que é cobrada uma taxa de 1% significa que os juros cobrados são de:

1 200 0 01 200 2

J = % × = , × =

Portanto, os juros são iguais a R$ 2,00.

Pois bem, passado o primeiro mês, Andrezza já deve a Sormany R$ 202,00. Deste valor, temos R$ 200,00 correspondentes ao inicialmente emprestado, mais R$ 2,00 de juros. Passa o segundo mês. Andrezza continua usando o dinheiro de Sormany.

Portanto, terá que pagar novos juros. A taxa permanece em 1%.

Como calcular os juros do segundo mês?

A partir do segundo mês, temos que saber se a taxa é de juros simples ou de juros compostos.

Quando temos juros simples, a taxa sempre incide sobre o valor inicial.

Assim, os juros do segundo mês serão, novamente, iguais a R$ 2,00.

Fica assim:

1 200 2 J = % × =

Passa o terceiro mês. E a Andrezza continua com o dinheiro do Somany. Portanto, vai ter que pagar mais uma remuneração.

Novamente teremos uma taxa de 1%. E, como são juros simples, novamente esta taxa incidirá sobre o valor inicialmente emprestado (R$ 200,00).

Portanto, os juros do terceiro mês serão novamente de R$ 2,00.

E assim por diante, até o décimo mês.

Ao final do décimo mês, Andrezza terá que devolver os

R$ 200,00 iniciais mais R$ 2,00 reais para cada mês que passou.

Assim, Andrezza terá que devolver:

200 10 2 + × = 220

Resposta: depois de dez meses o valor da dívida é de R$ 220,00.

1.1. Alguns nomes importantes.

A quantia inicial (=200,00) geralmente recebe um nome importante: capital inicial (C).

A quantia final (=220,00) também recebe um nome importante:

montante (M).

Podemos dizer que o montante (M) é igual ao capital (C) mais os juros (J).

Foi exatamente isto que aconteceu no nosso exemplo.

O capital foi de 200. Os juros foram de 20. E o montante foi 220. Esta equação sempre vale, sejam juros simples, sejam compostos. O que vai mudar, conforme

as taxas sejam simples ou compostas, é a forma de calcular os juros.

Reduções percentuais

Diminuir algo em 10% e o mesmo que multiplicar por

1 0 1 − ,

. Diminuir algo em 20% e o mesmo que multiplicar por

1 0 2 − ,

.

1 0 3 − ,

.

1 0 01 − ,

. E assim por diante

VENDA = COMPRA LUCRO + VENDA = COMPRA PREJUIZO −

JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

M = C + J

(8)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

8

No caso de regime simples, os juros ficam:

J = C i t × ×

ou

100 C i t

J × ×

=

(Taxa unitária) (Taxa percentual) Na fórmula temos:

J

•

são os juros

t

•

é o número de períodos que passaram

i

•

é a taxa de juros

C

•

é o capital(principal)

E foi exatamente esta fórmula que usamos no problema acima.

Andrezza teve que pagar, de juros, vinte reais.

Ou seja, Andrezza teve que pagar juros de:

JURO SIMPLES é o regime caracterizado por juros

constantes, pois são calculados sobre o capital inicial para todos os períodos da transação.

1.2.TAXA UNITÁRIA

É a taxa que se refere a uma unidade de capital.

Conversão de Taxa Percentual para Taxa Unitária

Para se converter uma taxa percentual para a forma unitária, basta que se divida a taxa percentual dada por 100.

Forma Percentual

Conversão Forma Unitária 36% a.a. 36

÷

100 0,36 a.a.

4,57% a.t. 4,57

÷

100 0,0457 a.t.

15,7% a.s. 15,7

÷

100 0,157 a.s.

0,8% a.b. 0,8

÷

100 0,008 a.b.

Legendas:

a.a. = ao ano;

a.t. = ao trimestre;

a.s= ao semestre;

a.b.= ao bimestre.

OBSERVAÇÃO:

Inversamente para transformar uma taxa unitária em sua forma percentual, deve-se multiplicar por cem.

DICA:

Centesimal

→

Unitária (

÷ 100

e retira o

%

).

Unitária

→

Centesimal (

× 100

e coloca o

%

).

2.0.MONTANTE SIMPLES

Chamaremos de montante(ou valor futuro) ao valor do capital acrescido do juro referente ao período de aplicação)

Vimos que:

M = C + J

Mas

J = C.i.t ⇒ M = C C.i.t +

Colocando C em evidência:

1.3. Cuidados na aplicação da fórmula de juros simples De uma forma geral, o conhecimento das fórmulas acima é suficiente para resolver todas as questões de juros simples.

O cuidado que se deve ter é com as unidades. As unidades de tempo e da taxa têm que ser coerentes. Assim, se a taxa está ao mês e o prazo está em anos, não podemos sair aplicando a fórmula. Antes, temos que garantir que as unidades estejam condizentes.

Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente.

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

O regime de juros compostos é aquele onde os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior.

O capital inicial (principal) pode crescer como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber:

•

Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.

•

Juros compostos-após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam por sua vez, a render juros. É também conhecido como "juros sobre juros" ou juros cumulativos.

O regime de juros compostos é o mais comum ou o mais largamente utilizado no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia

# Comparação dos regimes de capitalização

Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através de juros simples e juros compostos, com um Exemplo:

Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de

10 % a.a ( , a.a ) 0 1

. Juros é sinônimo de Rendimento

( )

. 1 .

M = C + i t

(9)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

9

Teremos:

Observando-se o quadro obtido para uma mesma aplicação de capital, por um mesmo período de tempo(n) e uma mesma taxa de juro, constata-se que:

• Para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples como para o regime de capitalização composta. Conclui-se, então, que, tratando-se de um período único de tempo, não há diferença entre os regimes de capitalização.

• Salvo aviso em contrário, os juros serão devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.

• No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente. No regime de capitalização composta, o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.

• Dessa forma, ao se falar em juros ou rendimentos lineares, estará se falando de capitalização simples. Quando se falar em juros ou rendimentos exponenciais, trata-se do regime de capitalização composta.

• Graficamente, os dois regimes de capitalização podem ser apresentados como seguem:

Fórmula do Montante Composto

Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica:

M →

montante(Capital

+

Juros)

C →

Capital inicial aplicado.

i →

taxa de juros

n →

número de períodos.

(1 + i )

^t

→

é chamado de fator de capitalização composta, e encontra-se tabelado para diversos valores de

i

e

t

.

Nota: Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão

precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação:

M = C + j ⇔ j = M − C

n = 1

O montante simples é igual ao montante composto.

0 < n < 1

O montante simples é maior que o montante composto.

n > 1

O montante simples é menor que o montante composto.

1)SÃO PAULO - O ministro da Fazenda, Guido Mantega, afirmou na terça-feira (07/04/2009) que o governo permitiu reduzir o IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) para os eletrodomésticos da linha branca, como fogão, geladeira e máquina de lavar.

Atualmente, as alíquotas cobradas sobre esses produtos vão de 5%, no caso dos fogões, até 20%, para as máquinas de lavar. Pela proposta, esta medida temporária é para estimular a produção nas empresas do setor, com capacidade ociosa devido à redução no nível de atividade econômica. Como consequência dessa medida de combate à crise, encontramos no comércio, já com a redução do IPI promoções e ofertas como a do encarte abaixo.

Nas condições acima, a taxa de juros simples do financiamento da geladeira é de:

a) 3,2 % ao mês. b) 0,4% ao mês. c) 5% ao mês.

d) 4% ao mês. e) 6% ao mês.

2)Faustino dispõe de R$ 22.500,00 e pretende aplicar esta quantia a juros simples, do seguinte modo:

3

5

do total à taxa mensal de 2,5% e, na mesma ocasião, o restante à taxa de 1,8% ao mês.

Supondo que durante 8 meses sucessivos Faustino não faça qualquer retirada, ao término desse período o montante que ele obterá das duas aplicações será igual, em R$, a

(A) 25 548,00. (B) 26 496,00. (C) 26 864,00.

(D) 27 586,00. (E) 26 648,00.

M = C.( 1 i ) +

t

(10)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

10

3)Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de

36%

.Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de:

a)11 anos, 1mês e 10 dias. b)11 anos e 8 meses.

c)8 anos, 10 meses e 3 dias. d)8 anos e 4 meses.

e) 7 anos, 6 meses e 8 dias 4)Um valor X foi aplicado a juros

compostos de 10% ao mês durante dois meses em um fundo de investimentos A. O mesmo valor X foi aplicado a juros compostos de 20% ao mês durante dois meses em um fundo de investimentos B. Em relação ao rendimento da aplicação no fundo A, o rendimento obtido na aplicação no fundo B o supera em, aproximadamente, (A) 23% (B) 44% (C) 65% (D) 110% (E) 210%.

5)(ENEM-2012)Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:

•

Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00.

•

Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30.000,00, e mais prestação de R$ 26.000,00 para dali a 6 meses.

•

Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00, mais uma prestação de R$ 20.000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data da compra.

•

Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39.000,00.

•

Opção 5: Pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60.000,00 Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo.

Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso

financeiramente escolher a opção A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5.

6)Célia e Paula são irmãs e receberam bonificações de R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00, respectivamente. Ambas aplicaram os seus valores totais de bonificações. Célia aplicou por 90 dias a uma taxa de 2%

a.m. e resgatou seu montante ao término do prazo.

Paula aplicou por 1 mês, a uma taxa de 2,4% a.m. e também resgatou seu montante ao término do prazo. Considerando que as aplicações foram feitas a juros compostos, é correto afirmar que (A) a soma dos montantes é igual R$ 8.380,04.

(B) o montante de Célia superou o montante de Paula em R$ 2.228,00.

(C) a soma dos montantes é igual a R$ 8.372,00.

(D) o montante de Paula equivale a 60% do montante de Célia.

(E) o montante de Célia superou o montante de Paula em R$ 2.234,04.

7)Um capital é aplicado a juros compostos durante um ano, com uma taxa de 5% ao semestre. O valor do montante desta aplicação apresentou, no final do período, um valor igual a

R$ 13.230,00. O valor dos juros desta aplicação foi igual a a) R$ 2.700,00. b) R$ 2.230,00. c) R$ 1.700,00.

d) R$ 1.230,00. e) R$ 1.070,00.

8)(COFECON 2011) Mediante o raciocínio utilizado na matemática financeira por meio de um gráfico comparativo entre o valor dos juros simples e o dos juros compostos, assinale a alternativa incorreta.

(A) Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos.

(B) Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composta, e o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período.

(C) O valor dos juros simples e dos juros compostos é igual no primeiro período de capitalização.

(D) É correto afirmar que, antes do primeiro período de capitalização, o valor dos juros simples é inferior ao dos juros compostos, sendo ambos calculados com base na mesma taxa de juros (i) aplicada sobre o mesmo capital (C).

(E) Após o primeiro período de capitalização, o valor dos juros compostos é superior ao valor dos juros simples

9)Um capital de R$ 25 000,00, aplicado a juros simples e à taxa anual de 12%, ao final de um período de 15 meses produzirá o montante de

a) R$ 37 000,00. b) R$ 37 250,00. c) R$ 32 500,00.

d) R$ 28 750,00. e) R$ 25 250,00.

10)João dos Santos fez uma aplicação de R$ 28.500,00 numa instituição financeira por dois anos, com capitalização composta anual. Sabendo que a taxa composta de juros anual da aplicação correspondeu a 10%, o montante resgatado pelo investidor no vencimento da aplicação foi de

(A)R$ 36.200,00 (B)R$ 35.485,00 (C)R$ 35.200,00 (D)R$ 34.485,00 (E)R$ 34.200,00

11)A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinquenta anos (em 1953).

Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.

Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa população decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproximadamente:

a) 10% da população existente em 1953 b) 20% da população existente em 1953 c) 30% da população existente em 1953 d) 45% da população existente em 1953 e) 65% da população existente em 1953

(11)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

11

EXERCÍCIO – TIPO ENEM

QUESTÃO 01 – (ENEM-2010)Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40%

desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%.Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de A) 16%

B)24%.

C)32%.

D)48%.

E)64%.

QUESTÃO 02 – (Enem 2010) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75%

dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa, vez, utilizando 40% do espaço dela.

Uma representação possível para essa segunda situação é

QUESTÃO 03 – (Enem 2011)Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (Certificado de Depósito Bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é:

a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80 b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56 c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38 d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21 e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87

QUESTÃO 04 – (Enem 2011)Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3.800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de:

a) R$ 4.222,22 b) R$ 4.523,80 c) R$ 5.000,00 d) R$ 13.300,00 e) R$ 17.100,00

QUESTÃO 05 – (Enem 2011)Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior.

O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

Para escolher o rendimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá:

a) Escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.

b) Escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.

c) Escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

d) Escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18

% do investimento C.

e) Escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

QUESTÃO 06 – (ENEM 2010) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%;

bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado:

a)insuficiente b)regular c)bom d)ótimo e)excelente

QUESTÃO 07 – (Enem 2011) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.

(12)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

12

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 24 abr. 2011(adaptado).

Uma jovem com IMC = 20 kg/m², 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC.

Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é

( ^Use ³ ⁼ ^{1 7} ^{, e} ^{1 7} ^, ⁼ ^{1 3} ^, )

A) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%.

B) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%.

C) manter seus níveis atuais de gordura.

D) aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%.

E) aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%.

QUESTÃO 08 – (ENEM 2009) O álcool hidratado utilizado como combustível veicular é obtido por meio da destilação fracionada de soluções aquosas geradas a partir da fermentação de biomassa.

Durante a destilação, o teor de etanol da mistura é aumentado, até o limite de 96% em massa. Considere que, em uma usina de produção de etanol, 800kg de uma mistura etanol/água com concentração20% em massa de etanol foram destilados, sendo obtidos 100kg de álcool hidratado 96% em massa de etanol.A partir desses dados, é correto concluir que a destilação em questão gerou um resíduo com uma concentração de etanol em massa A)de 0% B)de 8,0%. C)entre 8,4% e 8,6%.

D)entre 9,0% e 9,2%. E)entre 13% e 14%.

QUESTÃO 09 – (ENEM 2010) Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões.

Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%.

Disponível em: planetasustentavel. abril.com. br. Acesso em:

02 maio 2009.

Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente,

A)22,5%. B)50,0%. C)52,3%. D)65,5%. E)77,5%.

QUESTÃO 10 – (ENEM 2009) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição

de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1º - de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em:

12 jul. 2009 (adaptado).

Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?

A)27,75 milhões de litros. B)37,00 milhões de litros.

C)231,25 milhões de litros. D)693,75 milhões de litros.

E)888,00 milhões de litros.

QUESTÃO 11 – (ENEM 2006) Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, matéria-prima para a produção de combustível nuclear, e necessário extrair-se e tratar-se 1,0 tonelada de minério.

Assim, o rendimento (dado em % em massa) do tratamento do minério ate chegar ao dióxido de urânio puro é de:

a) 0,10% b) 0,15% c) 0,20% d) 1,5% e) 2,0%

QUESTÃO 12 – (ENEM) As "margarinas" e os chamados "cremes vegetais" são produtos diferentes, comercializados em embalagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do rótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos

Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentícias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, por desatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina não obterá a consistência desejada, pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproximadamente,

a) o triplo b) o dobro c) a metade. d) um terço e) um quarto.

QUESTÃO 13 – (ENEM) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrativa há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

A)3 doses B)4 doses. C)6 doses. D)8 doses. E)10 doses.

QUESTÃO 14 – (Enem 2ª aplicação 2010) Em março de 2010, o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) reajustou os valores debolsas de estudo concedidas a alunos de iniciação científica, que passaram a receber R$ 360,00 mensais, um aumento de 20% com relação ao que era pago até então. O órgão concedia 29 mil bolsas de iniciação científica até 2009, e esse número aumentou em 48% em 2010.

O Globo. 11 mar. 2010.

Caso o CNPq decidisse não aumentar o valor dos pagamentos dos bolsistas, utilizando o montante destinado a tal aumento para incrementar ainda mais o número de bolsas de iniciação científica no país, quantas bolsas a mais que em 2009, aproximadamente, poderiam ser oferecidas em 2010?

(13)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

13

a) 5,8 mil. b) 13,9 mil. c) 22,5 mil. d) 51,5 mil. e) 94,4 mil.

QUESTÃO 15 – (Enem 2ª aplicação 2010) O IGP-M é um índice da Fundação Getúlio Vargas, obtido por meio da variação dos preços de alguns setores da economia, do dia vinte e um do mês anterior ao dia vinte do mês de referência. Ele é calculado a partir do Índice de Preços por Atacado (IPA-M), que tem peso de 60% do índice, do Índice de Preços ao Consumidor (IPC-M), que tem peso de 30%, e do Índice Nacionalde Custo de Construção (INCC), representando 10%. Atualmente, o IGP-M é o índice para a correção de contratos de aluguel e o indexador de algumas tarifas, como energia elétrica.

A partir das informações, é possível determinar o maior IGP-M men sal desse primeiro trimestre, cujo valor é igual a

a) 7,03%. b) 3,00%. c) 2,65%. d) 1,15%. e) 0,66%.

QUESTÃO 16 – (Enem 2ª aplicação 2010) Uma bióloga conduziu uma série de experimentos demonstrando que a cana-de- açúcar mantida em um ambiente com o dobro da concentração atual de realiza 30% mais de fotossíntese e produz 30% mais de açúcar do que a que cresce sob a concentração normal de . Das câmaras que mantinham esse ar rico em gás carbônico, saíram plantas também mais altas e mais encorpadas, com 40% mais de biomassa.

Disponível em: http://revistapesquisa.fapesp.br. Acesso em:

26 set 2008.

Os resultados indicam que se pode obter a mesma produtividade de cana numa menor área cultivada. Nas condições apresentadas de utilizar o dobro da concentração de no cultivo para dobrar a produção da biomassa da cana-de-açúcar, a porcentagem da área cultivada hoje deveria ser, aproximadamente,

a) 80%. b) 100%. c) 140%. d) 160%. e) 200%.

QUESTÃO 17 – (Enem 2ª aplicação 2010) No dia 12 de janeiro de 2010, o governo da Venezuela adotou um plano de racionamento de energia que previa cortes no fornecimento em todo o país. O ministro da energia afirmou que uma das formas mais eficazes de se economizar energia nos domicílios seria o uso de lâmpadas que consomem 20% menos da energia consumida por lâmpadas normais.

Disponível em: http://www.bbc.co.uk. Acesso em: 23 abr.

2010 (adaptado).

Em uma residência, o consumo mensal de energia proveniente do uso de lâmpadas comuns é de 63 kWh.

Se todas as lâmpadas dessa residência forem trocadas pelaslâmpad as econômicas, esse consumo passará a ser de, aproximadamente, a) 9 kWh. b) 11 kWh. c) 22 kWh. d) 35 kWh. e) 50 kWh.

QUESTÃO 18 – (Enem 2ª aplicação 2010) Um dos estádios mais bonitos da Copa do Mundo na África do

Sul é o Green Point, situado na Cidade do Cabo, com capacidade pa ra 68 000 pessoas.

Centauro. Ano 2, edição 8, mar./abr, 2010.

Em certa partida, o estádio estava com 95% de sua capacidade, se ndo que 487 pessoas não pagaram o ingresso quecustava 150 dóla res cada. A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é

a)

0 95 68000 150 , . . − 487

b)

0 95 68000 487 150 , . ( . ) .

c)

( ^{0 95 68000} ^, ^. ⁻ ^{487 150} ) ^.

^d)

^{95 68000} ^. ( ⁻ ^{487 150} ) ^.

e)

( 95 68000 . − 487 150 ) .

QUESTÃO 19 – (ENEM - 2009) Paulo emprestou R$5.000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de meses.

Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é.

QUESTÃO 20 – (ESPM RS/2012)Um capital aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês quadruplica o seu valor após um tempo de

A) 4 anos. B) 3 anos e meio. C) 5 anos. D) 5 anos e 3 meses. E) 6 anos.

QUESTÃO 21 – (FGV /2012)César aplicou R$ 10 000,00 num fundo de investimentos que rende juros compostos a uma certa taxa de juro anual positiva

i

. Após um ano, ele saca desse fundo R$ 7 000,00 e deixa o restante aplicado por mais um ano, quando verifica que o saldo é R$ 6 000,00.

O valor de

( ⁴ i − ¹ )

²é:

A) 0,01 B) 0,02 C) 0,03 D) 0,04 E) 0,05

QUESTÃO 22 – (UFG GO/2012)O gráfico a seguir mostra, nas colunas, a quantidade de livros vendidos no Brasil em cada ano, em milhões de unidades, e destaca na parte sombreada a quantidade vendida porta a porta e o porcentual que este tipo de venda representa em relação ao total de vendas do ano.

(14)

Razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas.

14

VENDA DE LIVROS PORTA A PORTA DESLANCHA.

Folha de S. Paulo, São Paulo, 25 set. 2011, p. B8.

[Adaptado].

De acordo com os dados apresentados, comparando-se os

valores de cada ano, a partir de 2008, com os do ano anterior,conclui-se que o.

A) número de livros vendidos teve o maior aumento em 2008.

B) aumento porcentual do número de livros vendidos porta a porta, em cada um dos anos, foi maior que o triplo do aumento porcentual do total de livros vendidos.

C) maior aumento porcentual do número de livros vendidos porta a porta ocorreu em 2010.

D) aumento porcentual do número de livros vendidos porta a porta em 2009 foi maior do que em 2008.

E) número de livros vendidos porta a porta em 2009 foi menor do que o dobro do número de livros vendidos porta a porta em 2007.

QUESTÃO 23 – Órgãos do governo federal divulgaram, recentemente, o número exato de mandados de prisão não cumpridos no país, ou seja, quantos criminosos já foram julgados e condenados pela Justiça, mas continuam nas ruas por um motivo prosaico: a falta de vagas nas cadeias, que já estão superlotadas.

Observando-se o quadro, publicado na revista Veja, e sabendo-se que a razão entre o número de mandados de prisão pendentes e o número de pessoas presas é de 11 para 8, pode-se concluir que, atualmente, o sistema penitenciário comporta um número de presos que excede a sua capacidade em

(A) 54,5%. (B) 60,0%. (C) 62,5%. (D) 65,0%.(E) 70,0%.

QUESTÃO 24 – Certo dia, o preço de 1 grama de ouro era 24 dólares. Se a partir de então houve um aumento de 15% no preço do dólar e de 20% no preço do grama de ouro, a razão entre as cotações do ouro e do dólar, nessa ordem, passou a ser de 1 para

(A) 20. (B) 21. (C) 23. (D) 25. (E) 27.

QUESTÃO 25 – Um ônibus viajava com um número inicial x de passageiros. Ao realizar a primeira parada, 40% desses passageiros desembarcaram. Logo após, entraram no ônibus 20%

da quantidade de passageiros que estavam no ônibus após o desembarque. Desse modo, o número final de passageiros no ônibus correspondia a 54. A quantia correspondente ao valor de x é igual a:

(A) 60 (B) 72 (C) 75 (D) 80 (E) 90

QUESTÃO 26 – Ao aplicar uma prova, na qual foram propostas x questões, um professor observou que determinado aluno acertou 4 das 15 primeiras questões e, das questões restantes, 4/5 foram respondidas corretamente. Se um número de questões respondidas corretamente por aquele aluno equivale a 60% do total de questões da prova, quantas questões ele errou?

a) 16 b) 18 c) 21 d) 23 e) 25

QUESTÃO 27 – Encerradas as atividades de certo dia, um ajudante informou à supervisão que o número de valas que haviam sido abertas pela manhã estava para o número das abertas à tarde, assim como 14 está para 11. Relativamente ao total de valas abertas nesse dia, é correto afirmar que o número de valas abertas à tarde correspondia a

(A) 42% (B) 44% (C) 46% (D) 48% (E) 49%

QUESTÃO 28 – Em determinada fábrica, constatou-se que, devido à poluição, 480 dos 2 000 empregados estavam apresentando um problema respiratório. Na tabela que representa esses dados, x indica o número de homens doentes.

Nesse caso, em relação ao total de empregados, o número de mulheres doentes corresponde a

(A) 8,4 %. (B) 15,6 %. (C) 24 %. (D) 35 %. (E) 53,2 %.

QUESTÃO 29 – Numa repartição pública, 90% dos funcionários têm apenas o ensino médio completo, enquanto os 10% restantes possuem ensino superior completo. No próximo ano, serão mantidos todos os funcionários atuais e contratados alguns novos, todos com ensino superior completo. Com isso, os funcionários com ensino superior completo passarão a representar 40% do total de funcionários da repartição. Assim, o número de funcionários com ensino superior completo nessa repartição sofrerá um aumento de (A)30% (B) 300% (C) 400% (D) 500% (E) 600%

QUESTÃO 30 – Os bancos vem aumentando de maneira significativa as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2° semestre de 2009. Assim podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em:

a)50% b)30% c)150% d)56% e)20%

QUESTÃO 31 – Um produto sofreu em janeiro de 2011 um acréscimo de 20% sobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é:

a)10% maior b)10 % menor c)Acréscimo superior a 5%

d)Desconto de 84% e)Desconto de 16%