REVIS˜AO P2 - ´Algebra Linear II

REVIS˜ AO P2 - ´ Algebra Linear II

Anna Regina Cˆorbo

DEMAT - CEFET/RJ

21 de novembro de 2019

AUTOVALORES E AUTOVETORES

BRANCO

Quest˜ oes - Autovalores

1 Considere o seguinte operador linear de R³:

T(x,y,z) = (x+ 3y+ 3z,−3x−5y−3z,3x+ 3y+z) Determine os autovalores deT.

2 Considere o seguinte operador linear de R³:

T(x,y,z) = (x+y+z,2y+z,2y+ 3z) Determine os autovetores e os autoespa¸cos deT, sabendo que T possui autovaloresλ= 1 e λ= 4.

APLICAC ¸ ˜ AO DE PRODUTO

INTERNO

ROXO

Quest˜ oes - Produto Interno

1 SejaC[−1,1] o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas no intervalo real [−1,1]. Considere o produto interno definido em C[−1,1] por:

<f,g >=

Z 1

−1

f(x)g(x)dx

a) Calcule a norma (isto ´e, o comprimento) do polinˆomio p(x) =x em C[−1,1].

b) Mostre que os polinˆomiosp₁(x) =x e p₂(x) =x² s˜ao ortogonais em C[−1,1].

ORTOGONALIZAC ¸ ˜ AO DE

GRAM-SCHMIDT

AZUL

Quest˜ oes - Ortogonaliza¸c˜ ao de Gram-Schmidt

1 Considere o espa¸co vetorialR⁴ com o produto interno usual.

a) Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base α={(1,−1,0,0),(0,1,−1,0),(0,0,1,−1)}de um subespa¸co S deR⁴ em uma base ortogonal.

b) Determine o subespa¸co doR⁴ que seja o complemento ortogonal da base

α={(1,−1,0,0),(0,1,−1,0),(0,0,1,−1)}.

DEFINIC ¸ ˜ AO DE PRODUTO

INTERNO

LARANJA

Quest˜ oes - Defini¸c˜ ao de Produto Interno

1 Mostre que se o vetor x+y´e ortogonal ao vetorx−y ent˜ao kxk=kyk.

2 Sejamu,v∈V um espa¸co vetorial euclidiano tais quekvk= 3 e kuk= 5. Determine k ∈Rde modo que

<v+k·u,v−k·u >= 0.

AUTOVALORES E AUTOVETORES

AZUL

Quest˜ oes - Autovalores

1 Considere o seguinte operador linear de R³:

T(x,y,z) = (x+y+z,2y+z,2y+ 3z) Determine os autovalores deT.

2 Considere o seguinte operador linear de R³:

T(x,y,z) = (x+ 3y+ 3z,−3x−5y−3z,3x+ 3y+z) Determine os autovetores e os autoespa¸cos deT, sabendo que T possui autovaloresλ= 1 e λ=−2.