caderno do PROFESSOR MATEMÁTICA ensino fundamental 6 a - SÉRIE volume

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PROFESSOR

MA TEMÁ TICA

volume 1 - 2009

6 ^a - SÉRIE

ensino fundamental

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 6^a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.

ISBN 978-85-7849-183-3

1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.

II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.

Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 373.3:51

S239c Governador

José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretária da Educação

Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta

Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula

Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas

Valéria de Souza

Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores

Ghisleine Trigo Silveira AUTORES

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume

Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos

Matemática

Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli

Caderno do Gestor

Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie

Equipe de Produção

Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial

Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo EXECUÇÃO

Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção

Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO

Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador:

Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva:

Mauro Zilbovicius

Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:

Guilherme Ary Plonski

Coordenadoras Executivas de Projetos:

Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*

deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, enca- minhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.

As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova pro- posta em sala de aula no ano passado.

Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concre- tizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.

O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.

Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-peda- gógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho.

Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamen- te iremos vencê-lo!

Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de Castro

Secretária da Educação do Estado de São Paulo

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S ^uMário

São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5 Ficha do Caderno 7

orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 13

Situação de Aprendizagem 1 – Investigando sistemas de numeração:

do Egito ao computador 13

Situação de Aprendizagem 2 – Frações e decimais: um casamento com significado 26

Situação de Aprendizagem 3 – Multiplicação e divisão com frações 31

Situação de Aprendizagem 4 – Números negativos: desvendando as regras de sinais 35 Orientações para Recuperação 43

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 44

Considerações finais 45

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental 47

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S ão PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a),

É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5^a a 8^a séries do Ensino Fun- damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta.

Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges- tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.

A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.

Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto.

Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo.

Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.

Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve- lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu- cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos.

Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor.

O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.

Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês.

Bom ano letivo de trabalho a todos!

Maria inês Fini

Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

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F iCHA do CAdErno

Sistemas de numeração: da história às operações com frações, decimais e negativos

nome da disciplina: Matemática área: Matemática

Etapa da educação básica: Ensino Fundamental Série: 6ª-

Período letivo: 1º- bimestre de 2009

temas e conteúdos: Sistemas numéricos, frações e decimais Sistema posicional de numeração Equivalência entre frações e decimais Operações com frações (. e ÷) e decimais (.) Números negativos

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o riEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS

Os temas escolhidos para compor o conteú- do disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem de tais materiais, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bi- mestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currícu- lo, destacando-se a contextualização dos con- teúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.

De acordo com o número de aulas disponí- veis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento dos temas. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contem- plar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode deter- minar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendiza- gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é a de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.

São apresentados também, em cada Cader- no, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.

Compõem o Caderno ainda algumas consi- derações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

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Conteúdos básicos do bimestre

Um diagnóstico nas primeiras aulas deve permitir ao professor identificar com clareza o conhecimento numérico dos seus alunos. Nesta primeira avaliação, ainda de caráter informal, é importante que se verifique se os alunos con- seguem resolver problemas envolvendo: 1) as quatro operações com os números naturais;

2) soma e subtração com frações; 3) soma, subtração e multiplicação com decimais¹. Nes- ta proposta de grade curricular sugerimos que tais contextos tenham sido trabalhados até a 5ª- série, contudo, muitas vezes alguns deles não foram sistematizados a contento, o que indica- rá ao professor a necessidade de um perío do de retomada dos conteúdos.

Nesta proposta de grade, o 1º- bimestre da 6ª- série será dedicado ao eixo números, com objetivos de progresso no conhecimento nu- mérico dos alunos em duas frentes, uma delas de ordem quantitativa, a outra de ordem qualitativa. Por progresso na frente de ordem quantitativa entendemos a expansão do campo numérico dos naturais para os inteiros, sempre contextualizado em situações desafiadoras que sinalizem a insuficiência dos naturais para resolver alguns tipos de problemas como, por exemplo, aqueles relacionados à ideia de representação de dívidas, ou ainda, relacionados às escalas nas quais faça sentido o uso de números simétricos (escalas termo- métricas, linha do tempo, etc.).

Ainda referindo-nos aos progressos na frente de ordem quantitativa, no que diz respeito às operações com decimais e com frações, é desejável que o aluno aprenda na 6ª- série a dividir números com vírgula e a multiplicar e dividir fração por fração (na 5ª- série o aluno deve aprender a multiplicar fração por número inteiro). Um desafio sempre presente nesta série refere-se ao fato de que muitas vezes o professor terá de cuidar da sistematização dessas operações simulta- neamente à presença de um aluno que ainda tem um conhecimento restrito da ideia de fração. A ampliação desse conhecimento será feita ao longo da série e em paralelo à discussão dos processos operatórios, apostando-se, dessa forma, na noção de que o tratamento espiralado do tema trará benefí- cios, tanto do ponto de vista de fixação das representações e dos algoritmos quanto de compreensão dos significados. Retomando- se o tema em vários momentos do ano, e em contextos diferentes, espera-se que cada aluno aprenda no seu ritmo e pelo caminho que lhe seja o mais favorável.

Quanto aos progressos na frente de ordem qualitativa, espera-se uma ampliação da ideia de fração. Na 5ª- série as frações são apresentadas como relação entre a parte (numerador) e o todo (denominador). Nesse contexto, o material concreto, os desenhos e a malha qua- driculada constituem ferramentas didáticas importantes da prática docente. Na 6ª- série,

1 Usualmente chamamos de decimais os números escritos “com vírgula”, porém, todos os números reais poderiam ser chamados de decimais se levarmos em consideração que a palavra decimal se refere ao “sistema decimal de numeração”. Neste Caderno convencionamos chamar de decimais apenas os números escritos com vírgula, e cujas casas depois da vírgula não sejam todas iguais a zero, ou todas iguais a 9. Como 0,999...= 1 e 3,0 = 3, diremos que ambos são inteiros (essa discussão é aprofundada no Caderno do 1º- bimestre da 8ª- série).

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as expectativas são as de que se amplie o con- ceito de fração para “algo que represente um número” e “algo que possui outras representa- ções” (notação decimal, porcentagem).

A fração 3

5 , que antes era compreendida como “três partes de um total de cinco partes”, agora deverá ser compreendida também como o “número obtido da divisão de 3 por 5”, ou como o decimal 0,6, ou, ainda, como uma representação de 60% de alguma coisa.

Uma estratégia interessante que pode ser utilizada na preparação do terreno para a dis- cussão das novas ideias das frações e decimais é a de discutir em mais detalhes as caracterís- ticas principais do sistema posicional decimal de numeração. Nas séries anteriores, o trabalho com material dourado, ábaco ou outros recursos apresenta o sistema decimal de forma bastante contextualizada e operacional, porém nem sempre o foco é o de analisar em maiores detalhes algumas importantes características desse sistema, nem de compará-lo com outros sistemas de numeração. Essa forma de trabalho, muito associada às possibilidades cognitivas das crianças menores, não tem a preocupação de investigar, por exemplo, por que os agrupamentos no nosso sistema são feitos em potências de 10, e não de 5, 12 ou qualquer outro número, ou, ainda, por que só precisamos de 10 símbolos para representar números no nosso sistema. O recurso da história da Matemática, mais especificamente da história dos sistemas antigos de numeração, consiste em uma das formas mais interes- santes de buscar respostas a essas perguntas.

Em relação à apresentação dos números negativos, que também está sendo sugerida nesta proposta como um tema do 1º- bimestre, especial atenção deve ser dada às operações de mul- tiplicação e divisão. Uma vez que a faixa etária dos alunos de 6ª- série ainda demanda forte vín- culo com o concreto, a utilização de estratégias variadas na apresentação dessas operações favorece a construção de ideias com significado.

Mesmo sabendo que um dos objetivos centrais seja o de que o aluno finalize a série operando com destreza e agilidade com os números negativos, o percurso deve passar pela discussão de contextos, de preferência concretos, que favore- çam justificativas para as regras de sinais e para as operações formalizadas com os negativos.

Em termos de organização dos conteúdos no bimestre, propomos uma divisão em oito unidades, sendo as duas primeiras dedicadas à discussão dos sistemas de numeração; a terceira e a quarta reservadas à multiplicação, à divisão e à ampliação da ideia de fração; a quinta para as operações com decimais, em especial a divisão, que é o tema novo nesse bloco; a sexta e sétima para as operações com números negativos; e a oitava para o trabalho com expressões numéricas. Em relação à metodologia, sugerimos que as Situações de Aprendizagem utilizadas no bimestre valori- zem a ideia de resolução de problemas, o que inclui: 1) busca de situações desafiadoras que mobilizem o interesse do aluno; 2) valorização de estratégias diversificadas de abordagem na resolução dos problemas; 3) busca de contex- tos, sejam eles na história da Matemática, nas aplicações práticas da vida real ou na busca

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de argumentos relacionados à ampliação de horizontes das ideias matemáticas.

Para o trabalho específico com alguns temas das unidades, apresentaremos a seguir quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), lembrando que elas constituem uma das formas de introduzir conteúdos da grade levando-se em consideração todas as preocu- pações do bimestre relatadas anteriormente.

É importante destacar ainda que as Situa- ções de Aprendizagem propostas devem ser compreendidas pelo professor como uma forma de articulação dos conteúdos do bimestre, e não como uma estrutura que en- gesse o seu planejamento de curso. Os temas e abordagens propostos são indicações que sinalizam para um caminho que, certamen- te, poderá ser modificado, alterado, comple- mentado, sintetizado ou reordenado pelo professor, de acordo com suas necessidades e interesses pedagógicos.

Situação de Aprendizagem 1

investigando sistemas de numeração: do Egito ao computador

Comparamos os sistemas de numeração egípcio, mesopotâmico, maia, chinês e romano com o nosso para poder melhor apreciá-lo e compreendê-lo. A Situação de Aprendiza- gem propõe também a discussão sobre o sistema binário e sua aplicação na computação, o que contextualiza de forma incisiva o tema tratado em situações concretas da Matemática aplicada.

Queremos que o professor esteja atento ao fato de que a decisão sobre deslocar a discussão

sobre sistemas de numeração de povos antigos da 5ª- série, que normalmente é apresentada nos livros didáticos, para a 6ª- série tem objetivos muito claros e bem definidos. Abordar sistemas de numeração de povos antigos na 5ª- série muitas vezes restringe a discussão aos aspectos históricos do tema, uma vez que o aluno ainda não tem um conhecimento numérico formali- zado sobre potências. Acreditamos que discus- sões acerca da base de numeração de sistemas antigos, da característica posicional de alguns sistemas em comparação a outros que não são posicionais, da importância da concepção do zero para a operacionalidade e a clareza de um sistema, dos princípios aritméticos utilizados em cada sistema, dentre outras, agregam maior significado aos alunos de 6- série do que aos ^a alunos de 5ª- série. Se o professor julgar que em seu planejamento essa discussão pode ser feita com sua turma de 5ª- série, sugerimos que aproveite o material desta Situação de Aprendiza- gem deslocando-o para a 5ª- série.

Frações e decimais: um casamento com significado

Ampliamos a ideia de fração da 5ª- série investigando a relação entre frações e núme- ros decimais por meio de representações em malhas quadriculadas e partições de figuras.

O uso desses recursos torna os temas abor- dados mais concretos para muitos alunos, o que, na faixa etária da 6^a- série, ainda é um aspecto importante a ser considerado pelo professor ao planejar suas estratégias meto- dológicas de tratamento dos conteúdos da grade curricular.

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Situação de Aprendizagem 3 Multiplicação e divisão com frações

Apresentamos estratégias com o uso de figuras para discussão dos algoritmos da mul- tiplicação e da divisão de frações. Além disso, convencionamos a ideia de que uma fração pode representar uma divisão, sem que nos importe, nesse caso, se numerador e denominador são nú- meros inteiros ou não. A ampliação de significados da ideia de fração é um dos momentos mais importantes da 6ª- série porque, a partir dele, o aluno deve estabelecer de forma mais sistemati- zada a conexão entre temas que, até então, man- tinham uma relação não muito evidente (relação entre números decimais e frações).

números negativos: desvendando as regras de sinais

Apresentamos diferentes contextos e estra- tégias para investigar as operações com núme- ros negativos. Discutiremos alguns problemas relacionados à compreensão e ao uso dos registros das operações com números negativos, e dedicaremos especial atenção às operações de multiplicação e divisão com números negativos, que normalmente se constituem como um ponto de dificuldade para os alunos. Ao final propomos também um jogo que favorece o desenvolvimento da prática das operações com números negativos.

A Situação de Aprendizagem 1 relaciona-se diretamente com os temas propostos nas

unidades 1 e 2; as Situações de Aprendiza- gem 2 e 3 com os temas das unidades 3, 4 e 5;

e a Situação de Aprendizagem 4 com os temas das unidades 6 e 7. Todas as Situações de Aprendizagem estão direta ou indiretamen- te relacionadas ao tema da unidade 8, que se refere à sistematização dos assuntos do bimestre por meio do trabalho com expressões numéricas na resolução, com significado, de problemas concretos desafiadores.

Quadro geral de conteúdos do 1

^o-

bimestre da 6

^a-

série do Ensino Fundamental

unidade 1 – Avaliação diagnóstica e sis- tema posicional de numeração.

unidade 2 – Sistemas antigos de nume- ração.

unidade 3 – Decimais e frações/Divisão com decimais

unidade 4 – Multiplicação com frações.

unidade 5 – Divisão com frações.

unidade 6 – Soma e subtração com ne- gativos.

unidade 7 – Multiplicação e divisão com negativos.

unidade 8 – Expressões numéricas na re- solução de problemas.

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S ituAçõES dE APrEndizAGEM

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1

INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAçãO:

DO EGITO AO COMPUTADOR

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: sistema indo-arábico posicional decimal de numeração; potências; siste- mas antigos de numeração (egípcio, mesopotâmico, maia, romano e chinês); sistema binário e aplicações.

Competências e habilidades: reconhecer por meio da história dos sistemas de numeração a cons- trução de ideias e do conhecimento matemático; estabelecer comparações entre sistemas de numeração identificando semelhanças e diferenças entre eles; decodificar a estrutura lógica da escrita matemática; transpor ideias relacionadas à base de um sistema de numeração para aplicações práticas na computação (sistema binário).

Estratégias: resolução de situações-problema.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

Nesta Situação de Aprendizagem será proposta uma breve investigação de alguns sistemas de numeração de povos antigos, pos- sibilitando, com isso, a comparação das suas características com as do nosso sistema. Por meio dessa comparação espera-se que o aluno investigue aspectos importantes de um sistema como, por exemplo, a operacionalidade de um sistema posicional em relação aos sistemas não posicionais, a possibilidade do uso de outras bases que não 10 em um sistema de numeração, a importância do uso de um sím- bolo para o zero, dentre outros.

Como relatado na apresentação do Caderno, o deslocamento desse tema de discussão – que

normalmente é tratado na 5ª- série – para a 6ª- série está relacionado ao fato de as possibilidades de ampliação e aprofundamento da dis- cussão serem maiores com alunos de 6ª- série do que com alunos de 5ª- série. Aproveitamos o tema escolhido para explorar, por exemplo, potências, o que normalmente não seria o foco de exploração na 5ª- série. Recomen- damos também que o professor observe com atenção o tipo de exploração feita nos exer- cícios desta Situação de Aprendizagem que vão muito além de uma mera transposição da escrita numérica de um sistema de numeração para outro. Os exercícios propostos foram ela- borados com a intenção de conduzirem uma discussão mais aprofundada sobre a estrutura dos sistemas de numeração em compara- ção com o nosso sistema posicional decimal.

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Caso o professor entenda que tais temas se adap- tam melhor ao seu planejamento de 5ª- série, sugerimos que aproveite a discussão explorada a seguir deslocando-a para a série anterior.

Como o interesse central da discussão é o de podermos compreender melhor as característi- cas do nosso sistema de numeração, a escolha dos sistemas de povos antigos que serão aqui tratados pautou-se pela gama de possibilidades que cada um deles pode permitir na comparação com o nosso sistema. Os sistemas escolhidos, e que serão apresentados a seguir, são: egípcio, mesopotâmico, maia, romano e chinês.

Sistema egípcio antigo de numeração Por volta de 3 000 a.C., os egípcios já tinham um sistema de escrita para a represen- tação dos algarismos utilizando símbolos, muitos dos quais fazendo alguma referência à fauna e à fl ora das proximidades do Rio Nilo, local onde habitavam. A base do sistema egípcio de numeração, assim como a do nosso sistema, é decimal, o que signifi ca que os agrupamentos são feitos em potências de 10.

Observe a tabela a seguir com os algarismos hieroglífi cos utilizados pelos egípcios antigos².

2 Na tabela optamos por representar os números em potências de 10 porque fará parte desta atividade estabelecer a relação entre a escrita convencional de um número no nosso sistema de numeração e a compreensão do seu signifi cado utilizando- se uma escrita com potências de 10. Entendemos que essa pode ser uma boa porta de entrada para o início da discussão sobre potências na 6ª- série. Em particular, chamamos a atenção do professor para o fato de que tal abordagem exige que se discuta, por exemplo, a ideia que está por trás da representação de um “número elevado a zero” por 1.

O hieróglifo que representa 1 000 é uma fl or de lótus, muito presente às margens do Rio Nilo. É curioso notar que o símbolo de 100 000 (um número grande) é um girino, que normalmente é visto em grandes quantidades nas margens dos rios.

A formação de números nesse sistema é muito simples, usando-se apenas o princípio aditivo, como se pode observar pelos exemplos a seguir:

Uma vez compreendido o funcionamento do sistema egípcio, muito mais do que sim- plesmente transpor números do nosso sistema para o egípcio, e vice-versa, interessa-nos aproveitar suas características para compará- las com as do nosso sistema.

Nesse sentido, apresentamos a seguir uma série inicial de exercícios que caminham na di- reção desse objetivo.

1 100 17 4

253

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

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1. A posição em que os algarismos são co- locados no sistema egípcio interfere na formação do número?

Não, como se pode ver no número 1 100, em que a centena foi escrita à esquerda do mi- lhar. Isso indica que o sistema egípcio não é posicional, o que é uma diferença em relação ao nosso sistema.

2. Qual é o maior número que pode ser forma- do com os símbolos do sistema egípcio?

9 999 999.

3. A distância média entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 150 000 000 km.

Os hieróglifos egípcios não são sufi cien- tes para representar esse número. Pesqui- se a fauna e a fl ora da região do Rio Nilo e crie “novos hieróglifos” de forma que se possa representar a distância Terra-Sol no sistema egípcio de numeração.

É necessário criar símbolos para 10 000 000 e 100 000 000. Se, por exemplo, os símbolos fossem X e Y, respectivamente, a distância seria o número Y XXXXX.

4. Com apenas dez algarismos podemos re- presentar qualquer número no nosso sistema de numeração. Quantos hieróglifos seriam necessários no sistema egípcio para representar todos os números naturais?

Infi nitos, sendo essa uma grande desvanta- gem desse sistema.

Sistema mesopotâmico antigo de numeração

O sistema de numeração dos povos que viveram na Mesopotâmia³, por volta de 2 000 a.C., também merece uma investigação detalhada pelo fato de ser um dos mais antigos sistemas posicionais – característica que o aproxima do nosso – e por ser um sistema de base 60 – característica que o diferencia do nosso. A escrita mesopotâmica era feita em placas de argila com o uso de bastonetes, cunhando-se o barro, daí o nome escrita cuneiforme.

Observe com atenção as cunhagens usadas para representar alguns números no sistema de numeração da Mesopotâmia⁴.

3 Mesopotâmia quer dizer “terras entre rios”, no caso os rios Tigre e Eufrates, localizados na região onde atualmente fi ca o Iraque.

4 As marcas tracejadas vermelhas foram colocadas apenas para facilitar a leitura do número e a percepção da lógica de funcionamento do sistema, não fazendo, portanto, parte da escrita numérica mesopotâmica.

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

1 12

2 15

3 4 5 10 48 11

20 21

(16)

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

59

60 61 63 72

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

84

119 120 559 600 Analisando com atenção a tabela, percebe-

se que só existem dois tipos de cunhagens, que são: , para o 1, e , para o 10. Essas marcas eram feitas com o mesmo bastonete, mudan- do-se apenas sua inclinação de vertical para horizontal. Do 1 ao 59, os números são for- mados usando-se apenas o princípio aditivo, e cada grupo de dez marcas da unidade () é substituído pela marca de uma dezena (^), o que nos dá a falsa impressão de que se tra- ta de um sistema decimal. Veja que o número 60 passa a ser representado novamente pela marca da unidade, sugerindo, então, que os agrupamentos são feitos em potências de 60.

De fato, o sistema mesopotâmico de nume- ração era posicional e sexagesimal (base 60).

No nosso sistema de numeração, as casas, ou posições, são marcadas por potências de 10 (unidade, dezena, centena, milhar, dezena de milhar, etc.), o que significa dizer, por exemplo, que um algarismo colocado na terceira casa da direita para a esquerda representa o total de centenas do número. Comparativa- mente, no sistema mesopotâmico as casas, ou posições, da direita para a esquerda represen- tam as seguintes potências de sessenta: 60⁰, 60¹, 60², 60³...

Seguem exemplos dos números 952, 25 704 e 43 203 escritos no sistema mesopotâmico, com potências de 60, e no indo-arábico, com potências de 10:

60² 60¹ 60⁰ 10⁴

4

10³ 3

10² 2

10¹ 0

10⁰ 3

60² 60¹ 60⁰

60¹ 60⁰ 10²

9

10¹ 5

10⁰ 2 10⁴

2

10³ 5

10² 7

10¹ 0

10⁰ 4

(17)

Em uma primeira etapa da discussão, por meio da investigação da lógica de funcionamento do sistema mesopotâmico, o aluno estará desenvolvendo habilidades de observa- ção, dedução e generalização, além de estar revendo o conteúdo de potências. Em uma segunda etapa, poderá desenvolver as habilidades de comparação e argumentação, como sugerem os exercícios a seguir.

5. No sistema mesopotâmico, o número

 pode corresponder a diferentes nú- meros do nosso sistema. Explique essa afirmação.

Na posição da unidade (1 = 60^o) represen- taria o número 11, na posição do 60 repre- sentaria 660, na posição do 60² o número 39 600, etc. Poderíamos, ainda, imaginar que cada um dos símbolos esteja ocupando uma posição diferente, o que implicaria mais possibilidades. Por exemplo, se  ocupa a casa da unidade e  a casa do 60, o nú- mero representado seria o 601. Para saber qual número estaria sendo representado, os mesopotâmicos levavam em consideração o contexto em que ele havia sido escrito, o que gerava muitos erros ou ambiguidades.

6. Assim como o nosso sistema de numera- ção, o mesopotâmico também era posicional⁵, porém com certa ambiguidade na escrita dos números, como você observou no exercício anterior. Essa ambiguidade

5 Na verdade, o sistema mesopotâmico torna-se posicional para além do número 59. Se fosse um sistema posicional como o nosso, o mesopotâmico teria de utilizar 60 símbolos (algarismos) diferentes, sendo um deles um símbolo para o zero. Se assim fosse, cada casa de uma potência de 60, ou seja, cada posição teria um, e apenas um, símbolo do sistema. É razoável supor que isso não tenha sido dessa forma porque demandaria inúmeros bastonetes de formatos diferentes para se fazer a escrita cuneiforme dos números.

poderia ser eliminada com a utilização de um algarismo que era desconhecido dos mesopotâmicos. Que algarismo é esse?

O zero. Por exemplo, o número 43 203 re- presentado no sistema mesopotâmico não possui algarismos na posição do 60, o que só poderia ser corretamente indicado se o sistema dispusesse de um símbolo gráfi- co especial para representar a ausência de unidades naquela posição. É bem provável que os mesopotâmicos ignoraram o zero porque, segundo suas concepções, não fazia sentido representar o “nada” por “alguma coisa”. Uma primeira tentativa de resolver essa ambiguidade foi feita deixando-se um espaço maior entre os símbolos quando eles representavam posições diferentes, mas isso não se mostrou satisfatório porque muitas vezes um símbolo aparecia sozinho. Na prática, as ambiguidades eram resolvidas pelo contexto em que o número aparecia, identificando-se o que ele representava pela ordem de grandeza que deveria ser conside- rada naquele contexto.

7. Invente um símbolo para o zero e es- creva os números 11, 660 e 36 001 no sistema mesopotâmico de numeração utilizando seu símbolo.

Admitindo-se que o símbolo do zero seja ,então teremos 11=, 660=

e 36 001=.

(18)

60¹= 60 60⁰= 1

758

226

984

8. Passe os números 758 e 226 para o sistema mesopotâmico e, em seguida, faça as contas armadas de soma e sub- tração entre esses números.

Para operar no sistema decimal, 10 unidades transformam-se em 1 dezena, 10 dezenas em 1 centena, e assim por diante. No sistema sexagesimal, como o mesopotâmico, o “vai um” para a casa seguinte será feito em gru- pos de 60, e não de 10. A seguir apresenta- mos as contas armadas:

9. Identifique uma situação prática do nosso dia a dia em que utilizamos a base 60 para fazer contas.

O sistema hora:minuto:segundo de medi- ção do tempo utiliza base 60 já que 60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Esse é um resquício do passado distante mantido até hoje. As hipóteses sobre as razões pelas quais os mesopotâmicos estabeleceram um sistema de base 60 não estão comprovadas. Algu- mas delas relacionam o fato a aspectos da Astronomia (um ano tem aproxima- damente 360 dias); outras admitem que tenha surgido da fusão de dois sistemas de numeração de povos antigos, um de base 10 e outro de base 6.

10. Passe os números 498 e 279 para o sis- tema romano de numeração e tente efetuar a conta armada de subtração desses números. Por que é difícil fazer essa conta?

No sistema romano, os símbolos usados em cada posição não necessariamente definem o valor daquela posição, o que dificulta sua praticidade para fazer contas armadas. Na verdade, os próprios romanos utilizavam seu sistema de numeração apenas para o registro numérico e não para as operações, que eram feitas com o ábaco. Com esse exercício o aluno deve perceber que fazer a conta armada DCXCVIII − CCLXXIX não é nada prático porque as “posições”

de cada símbolo não marcam exatamente unidade, dezena, centena, milhar, etc. Vale lembrar que o sistema romano será tratado

+

60¹= 60 60⁰= 1

758

226

532

–

(19)

mais adiante, podendo o professor deixar os exercícios relacionados a esse tema para outro momento.

Sistema maia antigo de numeração

Vamos agora analisar o sistema de nume- ração do povo maia, que viveu por volta do ano 500 d.C. na região onde hoje se locali- zam o México e a América Central. Lembra- mos ao professor que o estudo dos sistemas de numeração de povos antigos sinaliza inú- meras possibilidades de interdisciplinaridade com as disciplinas de História e Geografi a.

No caso específi co dos maias, tal estudo po- derá valorizar o contato com seus notáveis conhecimentos sobre Astronomia, calendário e agricultura, bem como com seu engenho so sistema de numeração.

Da mesma forma que o sistema de nume- ração mesopotâmico e que o nosso, o maia também era posicional, porém de base 20.

Para um sistema assim, espera-se que os algarismos multipliquem potências de 20, que são 1, 20, 400, 8 000..., porém o sistema maia operava com uma irregularidade nesse pa- drão: na posição de 20², em que o algarismo deveria ser multiplicado por 400, ele era multiplicado por 360. Em virtude dessa anoma- lia, o sistema maia, que tinha tudo para ser tão operacional quanto o nosso, por ser posicional e ter um símbolo para representar o zero, fi cou privado desse benefício. Note que, no nosso sistema, colocar zero à direita de um número natural corresponde a multipli- cá-lo por 10. Se o sistema maia fosse estri-

tamente vigesimal (base 20), colocar zero à direita de um número natural corresponderia a multiplicá-lo por 20, o que não ocorre na prática devido ao uso do 360 na casa que deveria ser ocupada pelo 400.

Um aspecto importante que diferencia o sistema mesopotâmico do maia é o fato de que o povo pré-colombiano concebeu um símbolo para o zero. Observando atentamente alguns exemplos de números na escrita maia, o aluno poderá investigar sua lógica de funcionamento.

Depois da tabela apresentamos um exercício signifi cativo sobre o tema.

Observação:

As anotações das potências em verme- lho não fazem parte da escrita maia, são meramente indicativas da opera- ção que deve ser feita com os valores numéricos dos símbolos na composi- ção do número.

1 2 3 4 5 6 7

8

9

10

19

20

(20)

21 27

22 28

23 29

24 30

25 79

26 258

11. Preservada a lógica apresentada na tabela, porém utilizando 360 no lugar do 400 (que seria a próxima potência de 20), descubra qual é o seguinte nú- mero maia:

41 453

Sistema romano antigo de numeração O sistema romano de numeração antigo, cujas marcas ainda estão presentes em nosso tempo, não foi concebido para fazer contas, mas sim para o registro e a escrita dos núme- ros. Um exercício interessante que o aluno pode fazer depois que tenha aprendido a re- gistrar alguns números no sistema romano é o de tentar realizar contas armadas de adição ou subtração com a escrita numérica desse sistema. Tal exercício deve sinalizar com clareza

41 453

que a difi culdade operacional do sistema romano diz respeito ao fato de que as posições não marcam com clareza um agrupamento de determinada potência. Vale observar que, apesar de seu sistema não ser operacional para a realização de contas, isso não quer dizer que os romanos antigos não fi zessem contas. Os calculistas romanos utilizavam o ábaco de fi - chas para a prática do cálculo.

Tal qual o sistema egípcio, o romano tam- bém era regido pela adição dos algarismos que compõem o número, com a difi culdade adicio- nal de que os romanos também usavam o prin- cípio subtrativo na composição dos números.

Apresentamos a seguir uma tabela com os algarismos do sistema romano de numeração.

Apesar de bem conhecida e explorada por boa parte dos livros didáticos, a lógica de uso do princípio subtrativo nem sempre é bem compreendida pelo aluno, o que frequentemente implica erros do seguinte tipo:

Normalmente o aluno associa a ideia de que todo signo numérico colocado à esquerda

1 I 5 V 10 X 50 L 100 C

500 D (I C na origem do sistema romano) 1 000 M (CI C na origem do sistema romano)

Escrita correta do número 499: CDXCIX Escrita errada do número 499: ID

(21)

de um algarismo de valor superior será dele abatido. Tal compreensão implica frequentemente a escrita errada de números como 99 (o aluno escreve IC quando o correto é XCIX), 490 (o aluno escreve XD, quando o correto é CDXC), 45 (o aluno escreve VL, quando o correto é XLV), etc.

O que deve ser esclarecido sobre o uso do princípio subtrativo na composição de núme- ros do sistema romano é a regra de que ele só pode ser utilizado entre dois algarismos consecutivos da tabela ordenada dos algarismos, e nunca devemos utilizar os algarismos V, L e D para retiradas. Dessa forma, 499 não pode ser escrito como ID porque do algarismo D só podemos retirar o algarismo C, que é o sím- bolo imediatamente anterior a ele na tabela;

45 não pode ser escrito como VL porque o algarismo V não pode ser utilizado para fazer retiradas, etc.

12. A regra de uso do princípio subtrativo na composição de números no sistema romano exige que:

a) o princípio subtrativo seja usado ape- nas entre algarismos consecutivos da tabela ordenada de algarismos;

b) os algarismos correspondentes aos nossos números 5, 50 e 500 (I, L e D) não podem ser usados para fazer retiradas na composição de um número (podemos retirar deles o 1, o 10 e o 100, respectivamente, mas eles não podem ser retirados do 10, do 100 e do 1 000, respectivamente).

Justifique as escritas erradas dos núme- ros da tabela por uma das duas regras e escreva corretamente os números no sistema romano de numeração.

15  XV (justificativa do erro pela regra “b”) 49  XLIX (justificativa do erro pela regra “a”) 1 500  MD (justificativa do erro pela regra

“b”)

999  CMXCIX (justificativa do erro pela regra “a”)

13. Tente fazer a conta armada indicada adiante e, em seguida, registre as ra- zões da dificuldade em usar o algoritmo (regras de cálculo) da subtração para fazer a conta.

MDXLIX

– CCCXCXVIII As dificuldades no uso do algoritmo da subtração estão diretamente associadas ao fato de que nem sempre as posições são marcadas com um único símbolo no sistema romano, o que dificulta identificar o tipo de agrupamento que está sendo feito (unidades, dezenas, centenas etc.). Essa observação pode servir para o professor explorar/desdobrar al- guns aspectos na comparação entre o sistema romano e o nosso:

Escrita errada

15 VX

49 IL

1500 DMM

999 IM

(22)

o sistema romano não pode ser exatamen- f

te defi nido como decimal porque utiliza símbolos para os números 5, 50 e 500;

o sistema romano não possui as posições dos f

agrupamentos muito bem marcadas, o que, dito de outra forma, signifi ca que ele não é exatamente um sistema posicional como o nosso (esse aspecto difi culta a operaciona- lidade do sistema para fazer contas);

a escrita dos números em algarismos ro- f

manos é, em geral, mais extensa que a escrita dos números no sistema indo-ará- bico de numeração, o que também é um aspecto que difi culta a praticidade nos registros numéricos.

Sistema chinês antigo de numeração

A história dos sistemas antigos de numera- ção da China é repleta de detalhes, que podem ser encontrados na maioria dos livros de histó- ria da Matemática ou de história dos sistemas de numeração. Resumidamente, existem dois tipos de sistema de numeração na China an- tiga, ambos posicionais como o nosso, porém com algumas diferenças particulares. Analisa- remos brevemente os dois sistemas, lembrando sempre que o nosso objetivo central é o de compará-los com o nosso. Algarismos do sistema tradicional chinês de numeração:

O interesse do sistema chinês na compara- ção com o nosso reside no fato de que, como o nosso, ele também utiliza o princípio multi- plicativo na composição dos números, além de também ser um sistema decimal. Veremos seu funcionamento por meio de dois exemplos:

O segundo sistema de numeração chinês que comentaremos é o de barras, que foi concebido entre os séculos II a.C. e III d.C. Esse sistema é posicional, como o nosso, sendo que cada posição é marcada por um único símbo- lo. A tabela a seguir indica os dez primeiros algarismos do sistema chinês de barras:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A partir dos números maiores que 9, a escrita passa a ser feita como veremos nos exemplos adiante:

 ^{8 326}

 ⁹³⁴

Note na escrita dos números anteriores que o espaçamento entre as posições de unidade, dezena, centena etc. deve ser dado de forma clara, caso contrário pode haver ambiguidade na leitura

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 100 1 000

2 . 10 + 6

5 . 1000 + 4 . 100

 ²⁶

 ^{5 400}

(23)

e na compreensão do número. Atentos a isso, ao longo dos anos os chineses passaram a utilizar um sistema de barras horizontais e verticais intercaladas. As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas, dezenas de milhar, mi- lhões, etc.) eram expressas por meio do sistema de barras verticais, e as unidades de casas pares (dezenas, milhares, centenas de milhar, dezenas de milhões, etc.) com barras horizontais. Segue adiante a tabela de barras horizontais e alguns exemplos de números nessa nova forma de escrita:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exemplos:

 ⁵³⁶

 ^{98 432} É interessante observar que o sistema chinês resolve bem a questão da ambiguidade de significado dos símbolos, que o sistema mesopo- tâmico não conseguiu resolver, porém também lidava com a dificuldade de não ter um símbolo para o zero. Por causa da ausência de sím- bolo para o zero, era difícil distinguir as nota- ções de números como 5 444, 54 440, 50 444, 544 000, etc. Além disso, uma única barra vertical podia corresponder tanto ao 1 quanto ao 100, ao 10 000, ao 100 000, etc.

A solução encontrada por alguns foi deixar um espaço vazio na posição que corresponderia ao zero, sendo que outros escribas opta- vam por uma notação mista entre o sistema de

barras e o sistema tradicional, descrito no iní- cio desta apresentação.

14. Usando apenas três barras verticais, escreva todos os números possíveis no sistema posicional chinês de numera- ção (resolva este exercício utilizando a escrita apenas com barras verticais).

|||  3

| ||  12

|| |  21

Observação: infinitas outras possibilidades poderiam ser elaboradas se incorporássemos espaçamentos com o significado de zero na posição correspondente ao espaçamento.

Sistema binário de numeração e os computadores

Uma vez tendo conhecido sistemas posicionais de base 10, 20 e 60, poderíamos nos fazer a seguinte pergunta: será que existe alguma aplicação moderna para sistemas de outras bases?

A resposta a essa pergunta é sim, e a apli- cação está muito mais perto de nós do que podemos imaginar: os computadores. Veja em que contexto isso ocorre.

Os elementos radioeletrônicos (válvulas, se- micondutores) empregados nos computadores são dispositivos construídos para responder a sinais elétricos. Podemos dar dois tipos diferentes de comandos para um dispositivo com essa característica, que são: “deixe passar a corrente elétrica” (ligue) ou “não deixe passar a corrente elétrica” (desligue). A linguagem mais adequada para programar uma máquina

(24)

como essa é a binária (sistema de base 2), utilizando o algarismo 1 para o comando “liga”

e 0 para “desliga”. Em um sistema binário, os algarismos 0 ou 1 multiplicam as potências de 2 para formar os números. Veja alguns exemplos em que transformamos números do sistema decimal para o binário:

Na computação, os algarismos 0 e 1 usa- dos no sistema binário são chamados de bits, termo que deriva do inglês “binary digits”

(dígitos binários). Em geral, quando escre- vemos os números no sistema binário gasta- mos mais bits do que o número de dígitos que gastaríamos no sistema decimal (ex.: 1 024, que é escrito com quatro dígitos no sistema decimal, tem 11 bits no binário). Esse fato, que constituiria um enorme problema para a capacidade limitada de memória do homem, não é um problema para o computador, que possui uma enorme capacidade de armaze- namento de dados.

Finalizaremos a discussão sobre a Situa- ção de Aprendizagem 1 com a apresentação de alguns exercícios para a reflexão sobre o sistema binário de numeração. Tais exer- cícios podem ser realizados em situação de discussão coletiva envolvendo o professor e seus alunos.

1 = 1 . 2⁰ ⇒ 1

2 = 1 . 2¹ + 0 . 2⁰⇒ 10 3 = 1 . 2¹ + 1 . 2⁰⇒ 11

4 = 1 . 2² + 0 . 2¹ + 0 . 2⁰ ⇒ 100

19 = 1 . 2⁴ + 0 . 2³ + 0 . 2² + 1 . 2¹ + 1 . 2⁰ = 10011 1024 = ··· ⇒ 10000000000

15. Se um número binário termina em zero, o que podemos dizer sobre seu correspondente no sistema decimal?

Será um número par.

16. Se um número binário termina em 00, o que podemos afirmar sobre seu correspondente no sistema decimal?

É um múltiplo de 4.

17. Faça a conta armada de adição dos números binários 1101 e 101.

10010.

18. Na informática se diz que 1 byte cor- responde a 8 bits. Sabendo que cada bit pode assumir valor 0 ou 1, calcule quantas são as possibilidades de combi- nações diferentes de 0 e 1 em um byte.

2 elevado a 8, ou seja, 256 possibilidades.

19. Escreva o ano das Olimpíadas de Pequim (2008) no sistema binário de numeração.

11111011000.

20. (Atividade com uso de calculadora) Para quantificar a “capacidade de me- mória” dos computadores e dos perifé- ricos que armazenam dados (disquetes, CDs, pen drives), costuma-se usar múl- tiplos do byte (B), como indica a tabela a seguir:

Nome Símbolo Valor atribuído

Quilobyte KB 2¹⁰ B

Megabyte MB 2¹⁰ KB

Gigabyte GB 2¹⁰ MB

(25)

Quantos bytes cabem em um disquete com capacidade de 1,44 MB? E em um CD de 700 MB?

Aproximadamente 1 509 949 bytes no dis- quete e 734 003 200 bytes no CD (o pro- fessor poderá também pedir conversões para bits).

Considerações sobre a avaliação

O tema tratado nesta Situação de Aprendi- zagem pode ser avaliado por meio de provas, listas de exercícios ou trabalhos em grupo.

Nas provas ou listas de exercícios o professor pode explorar as ideias que foram abordadas nos exercícios apresentados nesta Situação de Aprendizagem. Porém, é importante destacar que muitos desses exercícios foram ela- borados e colocados neste material não com a intenção de serem diretamente transpostos para uma lista de exercícios para aluno, mas sim com o objetivo de sinalizar possibilidades de abordagem dos temas desenvolvidos.

Recomendamos que os exercícios deste material sejam analisados e adaptados de forma que o professor crie seu próprio material de aula, adequado ao seu planejamento e às ca- racterísticas particulares de suas turmas.

Com relação ao trabalho em grupo, propomos que o professor divida a classe em dez grupos. Cada grupo terá de pesquisar e apresentar um sistema de numeração de algum povo antigo. Caso o professor deseje que os grupos trabalhem os mesmos sistemas que foram apresentados em classe, dois grupos se responsabilizarão pela apresentação do sistema egípcio, dois pelo sistema mesopotâmico,

dois pelo sistema maia, dois pelo sistema romano e dois pelo sistema chinês. Alguns desafios que podem ser colocados para cada grupo são:

Os grupos devem preparar uma apre- f

sentação para a classe dando conta de esclarecer o funcionamento do sistema e descrever suas características em com- paração com o nosso.

Os grupos devem apresentar para a f

classe uma breve descrição históri- ca do povo antigo cujo sistema de numeração está sendo investigado.

Essa descrição pode ser feita com o acompanhamento dos professores de História e Geografia.

Os grupos devem pesquisar e trazer para f

a classe pelo menos uma nova informa- ção sobre o sistema de numeração investigado que não tenha sido apresentada ou comentada pelo professor na classe (exemplo de questões que podem ser apresentadas: como os romanos escreviam números muito grandes? Quais são as hi- póteses sobre o uso da base 20 no sistema maia de numeração? Quais as semelhanças e diferenças entre o sistema chinês antigo e o sistema chinês atual de numeração?).

Caso o professor prefira, poderá também pedir que os grupos pesquisem outros sistemas antigos de numeração, como o dos gre- gos e o dos hebreus. Recomendamos que os critérios de avaliação dos trabalhos incluam a capacidade do grupo de responder às dúvidas da classe em relação ao tema apresentado.

(26)

Outro trabalho individual ou em grupo que pode ser proposto é a criação de um sistema de numeração. O professor pode preestabelecer as características do sistema ou dar liberdade para que cada um crie seu próprio sistema. Caso o professor opte por não estabelecer as características do sistema, é importante que ao menos sejam estabe- lecidas duas regras: 1) o sistema não pode ter ambiguidade de escrita; 2) o sistema não pode permitir duplicidade de escrita dos nú- meros. Essas regras podem servir de parâme- tro para o professor avaliar a compreensão dos alunos sobre como deve ser estabelecida a lógica de um sistema funcional e operacional de numeração.

Outro conteúdo matemático que pode ser avaliado com base em temas apresentados nesta Situação de Aprendizagem é o trabalho com potências. Tanto na escrita dos sistemas posicionais de numeração dos povos antigos quanto no trabalho com o sistema binário e

os computadores o professor deve encontrar bom manancial para o trabalho com potên- cias e suas propriedades operacionais.

Outro aspecto que deve estar claro é que o estudo feito nesta Situação de Aprendiza- gem tem como objetivo central melhorar a compreensão do aluno sobre a estrutura de funcionamento do sistema indo-arábico posicional decimal de numeração. É importante, portanto, que frequentemente o professor sinalize esse caminho e avalie os resultados também sob esse ponto de vista.

Como fonte de pesquisa para os trabalhos dos alunos e para a elaboração de atividades do professor, relacionamos algumas referên- cias bibliográficas sobre o assunto ao final do Caderno. Pesquisas na internet também constituem uma valiosa ajuda para os trabalhos em grupo, uma vez que muita informação sobre sistemas de numeração de povos antigos pode ser encontrada na rede eletrônica.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2

FRAçÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: potências; frações: equivalentes, relação entre fração e decimais, novos significados para fração; decimais (revisão da soma, subtração e multiplicação/aprendizagem da divisão).

Competências e habilidades: estabelecer relação entre conceitos e linguagens: frações/decimais/

porcentagem; saber identificar e reconhecer informações numéricas envolvendo frações e decimais em contextos diversificados.

Estratégias: resolução de situações-problema; uso de malhas quadriculadas e de figuras.

(27)

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2

Nosso sistema de numeração é posicional, de base 10, e nele conseguimos escrever qualquer número natural utilizando apenas dez símbolos, que são os algarismos de 0 a 9. O primeiro fato que nos interessa é mostrar que tal sistema pode ser estendido para a represen- tação de números não inteiros, bastando para isso interpretar os algarismos à direita da vír- gula como indicativos de divisões por potên- cias de 10, como vemos no exemplo a seguir da representação do número 4735,8902:

O trabalho com potências de expoentes negativos normalmente é feito na 7ª- série, mas o exemplo anterior também pode ser utilizado para a atribuição de signifi cado às potências de expoentes negativos, bastando para isso que se trabalhem regularidades e equivalência:

÷ 10¹ é equivalente a  10^–1, ÷ 10² é equivalente a  10^–2, etc.

É provável que a concepção sobre fração que o aluno adquiriu nas séries anteriores seja a de uma “relação entre parte (numerador) e

todo (denominador)”, cabendo nesse momen- to estabelecer a equivalência entre essa ideia e a de que uma fração representa também o resultado da divisão do numerador pelo denominador. Essa equivalência, apesar de motivação supostamente natural, deve ser mostrada para o aluno. Veja um caminho possível para isso.

A fração 3

4 , que pode signifi car três partes de um bolo que foi dividido em quatro partes iguais, pode também signifi car a divisão de três bolos igualmente por quatro crianças. No caso da segunda interpretação, um bom méto- do para realizar a tarefa seria pegar cada um dos bolos e dividi-los em quatro partes iguais, cabendo uma parte para cada criança:

Se quatro crianças querem repartir igualmente três bolos, a porção de bolo que caberá a cada uma pode ser expressa por 3 ÷ 4; no caso analisado, as fi guras indicam que cada criança receberá 3

4 de um bolo. Então, as ex- pressões 3

4 e 3 ÷ 4 têm de ser equivalentes.

Incorporar a ideia de que uma fração, como 3

4 , deve ser interpretada como o “resultado

4 7 3 5

 10³  10²  10¹  10⁰ 4 milhares 7 centenas 3 dezenas 5 unidades

8 9 0 2

÷ 10¹ ÷ 10² ÷ 10³ ÷ 10⁴ 8

décimos

9 centésimos

0 milésimos

2 décimos de milésimos

3 bolos divididos igualmente entre 4 crianças 3 partes de 1 bolo que foi dividido em 4 partes