Licenciatura em Matem´ atica
3a¯ Prova - 29/06/2009 Nome:
No¯ USP:
Instru¸c˜oes:
1- Preencha o cabe¸calho a caneta.
2- A prova pode ser resolvida a l´apis.
3-Justifique suas afirma¸c˜oes.
4- Boa prova!
Quest˜ao 1 2 3 4 5 Nota
Quest˜ao 1. (1,0) Prove que ||~u+~v|| = ||~u−~v|| se e somente se ~u e ~v s˜ao ortogonais. Dˆe uma interpreta¸c˜ao geom´etrica.
Solu¸c˜ao. Como a norma de um vetor ´e um n´umero positivo, temos:
||~u+~v||=||~u−~v|| ⇐⇒ ||~u+~v||2 =||~u−~v||2 ⇐⇒
(~u+~v)·(~u+~v) = (~u−~v)·(~u−~v) ⇐⇒
~
u·~u+~u·~v+~v ·~u+~v·~v =~u·~u−~u·~v−~v·~u+~v·~v ⇐⇒
~u·~u+2~u·~v+~v·~v =~u·~u−2~u·~v+~v·~v (o produto escalar ´e comutativo) ⇐⇒
2~u·~v =−2~u·~v ⇐⇒ 4~u·~v = 0 ⇐⇒ ~u e~v s˜ao ortogonais
Interpreta¸c˜ao Geom´etrica. A soma de vetores~u+~v pode ser interpre- tada como uma diagonal do paralelogramo determinado pelos vetores~ue
~v e a diferen¸ca~u−~v ´e a outra diagonal. (Fa¸ca uma figura.) A afirma¸c˜ao demonstrada acima nos diz que os comprimentos das duas diagonais s˜ao iguais se e somente se o paralelogramo for, na verdade, um retˆangulo.
Observa¸c˜oes.
1- Como quase nenhum aluno percebeu qual era a interpreta¸c˜ao geom´etrica, n˜ao foi atribu´ıda nenhuma nota para ela. Foi avaliada apenas a solu¸c˜ao alg´ebrica.
2- A maioria dos alunos demonstrou apenas uma das implica¸c˜oes e n˜ao a equivalˆencia, usando coordenadas e n˜ao as propriedades do produto escalar. Est´a correto, mas ´e mais trabalhoso e menos elegante.
Quest˜ao 2. (2,0)
(a) Determine a inversa da matriz A=
3 5 0 1 2 1 3 7 1
(b) Use o item (a) para resolver o sistema
3x + 5y = −5
x + 2y + z = 1
3x + 7y + z = 0
Solu¸c˜ao. a) [A|I] =
3 5 0 | 1 0 0 1 2 1 | 0 1 0 3 7 1 | 0 0 1
→
1 2 1 | 0 1 0 3 5 0 | 1 0 0 3 7 1 | 0 0 1
→
1 2 1 | 0 1 0
0 −1 −3 | 1 −3 0 0 1 −2 | 0 −3 1
→
1 2 1 | 0 1 0
0 1 3 | −1 3 0
0 0 −5 | 1 −6 1
→
1 2 1 | 0 1 0
0 1 0 | −25 −35 35 0 0 1 | −15 65 −15
→
1 0 0 | 1 1 −1
0 1 0 | −25 −35 35 0 0 1 | −15 65 −15
= [I|A−1]
Portanto, A−1 =
1 1 −1
−25 −35 35
−15 65 −15
b) O sistema dado pode ser escrito na forma AX =B, sendo Aa matriz dada no item (a), X =
x y z
e B =
−5 1 0
Usando propriedades da multiplica¸c˜ao de matrizes, teremos:
AX =B ⇐⇒ A−1(AX) = A−1B ⇐⇒ X = (A−1A)X=A−1B (∗)
Logo,
x y z
=
1 1 −1
−25 −35 35
−15 65 −15
−5 1 0
=
−4
7 115
5
, ou seja,x=−4, y =
7
5 e z = 115
Observa¸c˜ao. A multiplica¸c˜ao de matrizes n˜ao ´e comutativa. Logo, ´e preciso ter cuidado com as equivalˆencias em (*).
(a) Prove que as retas r e s se interceptam:
r:
x= 1 + 3t y= 1
z =−2 + 4t
(t∈R) s:
x= 7 + 3t y=−1−2t z = 7 + 5t
(t∈R)
(b) Determine uma equa¸c˜ao para o plano que cont´em r es.
Solu¸c˜ao. a) Observe que queremos um ponto P cujas coordenadas sa- tisfa¸cam a ambos os sistemas de equa¸c˜oes das retas res, mas n˜ao neces- sariamente com os mesmos parˆametros! Logo, vamos iniciar mudando o parˆametro da reta s para a letraα. Igualando as equa¸c˜oes temos:
1 + 3t= 7 + 3α 1 =−1−2α
−2 + 4t= 7 + 5α
Resolvendo o sistema teremos α=−1 e t= 1.
O ponto de intersec¸c˜ao (P) tem coordenadas (4,1,2), obtidas tanto fa- zendot = 1 nas equa¸c˜oes dercomo tamb´em fazendot=−1 nas equa¸c˜oes de s. (Confira!)
b) Sejam ~u= [3 0 4]T e~v = [3 −2 5]T respectivamente vetores dire- tores das retas r es. O vetor~n =~u×~v = [8 −3 −6]T ´e ortogonal ao plano que cont´em as retas. Assim, uma equa¸c˜ao para o plano pode ser:
8(x−1)−3(y−1)−6(z+ 2) = 0 ou equivalentemente, 8x−3y−6z = 17.
Quest˜ao 4. (2,0)
(a) Determine a equa¸c˜ao da retas que passa porA(6,0,−3) e ´e perpen- dicular `a reta
r :
x= 1 +t y= 2−2t z =−3
(t∈R) (b) Qual a distˆancia de A a r?
Solu¸c˜ao 1. (Usando proje¸c˜ao). Considere o ponto B(1,2,−3) perten- cente `a retar e tome o vetor BA~ = [5 −2 0]T.
Seja ~u a proje¸c˜ao do vetor BA~ sobre o vetor d~ = [1 − 2 0] que ´e paralelo a r. Fazendo as contas, obteremos que ~u = [95 − 185 0]T. O vetor ~v = BA~ −~u ´e ortogonal `a reta r e tem a dire¸c˜ao da reta que se quer. (Fa¸ca uma figura!) Temos: ~v = [−165 − 85 0]T
Equa¸c˜oes param´etricas para a retas:
s:
x= 6− 165t y= 0− 85t z =−3
(t∈R)
b) A distˆancia de A `a reta r ´e a norma do vetor ~v, a saber, ||~v|| =
q256
25 +6425 =
√320
5 = 8
√5 5 .
Solu¸c˜ao 2. SejaQo ponto de intersec¸c˜ao das retasr es. Por pertencer a r, as coordenadas de Q s˜ao da forma (1 +t,2−2t,−3) para algum t (a ser calculado). O vetor AQ~ ´e ortogonal ao vetor diretor de r. Logo, o produto escalar entre eles ´e igual a zero:
(t−5)·1+(2−2t)·(−2)+(−3)·0 = 0 ⇐⇒ t−5−4+4t = 0 ⇐⇒ 5t= 9 ⇐⇒ t = 9 5 Assim, AQ~ = [−165 − 85 0]T. Observe que AQ~ ´e o vetor~v encontrado
na resolu¸c˜ao anterior.
O restante ´e igual.
ou dˆe um exemplo que mostre que ela ´e falsa.
a) Se uma matriz quadrada ´e invers´ıvel ent˜ao sua transposta tamb´em ´e invers´ıvel.
b) Se~u·~v =~u·w~ ent˜ao~v =w.~
c) A reta que passa pelo ponto P(1,2,−3) e ´e paralela ao vetor d~ = [1 1 −1]T est´a contida no plano 2x−y+z=−3.
Solu¸c˜ao. a) Verdadeira. Seja A Uma matriz quadrada e invers´ıvel.
Ent˜ao existe uma matriz C de mesmo tamanho queA tal que AC =I e CA=I. Logo,
(AC)T =IT e (CA)T =IT
Mas a transposta do produto ´e o produto “trocado” das transpostas.
Logo,
CTAT =I e ATCT =I
Essas ´ultimas igualdades equivalem a dizer que AT ´e invers´ıvel e sua inversa ´e CT, ou seja, a transposta da inversa de A.
b) Falso (mesmo se ~u6=~0): Exemplo:
~
u= [1 0 0]T ; ~v = [2 9 −89]T ; w~ = [2 34 31]T. Temos: ~u·~v = 2,
~
u·w~ = 2, mas ~v 6=w.~
c)H´a v´arias maneiras de provar que a afirmac˜ao ´e verdaderia: uma delas:
Os pontos da reta r tˆem coordenadas do tipo (1 +t,2 +t,−3−t) para t ∈ R. Para mostrar que os pontos de r est˜ao no plano de equa¸c˜ao 2x−y+z =−3 basta observar que
2(1 +t)−(2 +t) + (−3−t) = 2 + 2t−2−t−3−t =−3, para todo t. Logo, todos os pontos da reta r pertencem ao plano.
Observa¸c˜ao. Observe que eun˜aoescrevi 2(1 + 2t)−(2 + 3t) + (−3−4t) =
−3 ⇐⇒ 2 + 4t−2−3t−3−4t =−3 ⇐⇒ −3 =−3 logo a afirma¸c˜ao
´
e verdadeira, como vi muitos alunos fazerem!
Para afirmar que−3 =−3 n˜ao ´e preciso nehuma hip´otese! ´E at´e poss´ıvel come¸car de uma afirma¸c˜ao falsa, chegar em −3 = −3. Ou seja, partir de qualquer afirma¸c˜ao e chegar em uma igualdade do tipo a = a n˜ao permite concluir que a afirma¸c˜ao original ´e verdadeira! Quem escreveu assim escreveu errado e precisa aprender e corrigir o v´ıcio!
