p x e p y, que apresentam alista de pontos

Departamento de Ciênia daComputação IME/USP

SegundoSemestrede 2007

Algoritmo deShamos

Deve-seaShamosoalgoritmodedivisãoeonquistavistonaaula2para,dadaumaoleçãode

n

^pontosno

plano,determinarumpardepontosmaispróximosdaoleção. Apartemaisdeliadadessealgoritmoéprovar

queeleestáorreto. Porque essealgoritmo de fato devolve um parde pontos maispróximos?

Oalgoritmoonsidera uma linha divisóriavertial

ℓ

^{quedeixametade dos pontos daoleçãoà esquerdae}

metadeàdireita. Aidéiadoalgoritmoéalularumpardepontosnametadeesquerdaomaispróximopossível,

umparde pontosnametade direita omaispróximopossível,enalmente,seneessário, umparde pontoso

maispróximopossívelomumpontoemumametade eooutronaoutra.

A divisãoda oleção de pontos nasduas metades, que hamaremos de metade esquerda e metade direita,

é feita pela rotina DIVIDE. A rotina usa para tanto dois vetores,

p x

^e

p y

^{, que apresentam alista de pontos}

ordenada um pela oordenada

x

^{e outro pela oordenada}

y

^{. Veja o ódigo da rotina nas} transparêniasda aula2. Oque arotina DIVIDE devolve efetivamente são doispares de vetores,

(p ^l _x , p ^l _y )

^e

(p ^r _x , p ^r _y )

^{, que ontém}

a lista dos

⌊ n/2 ⌋

^ou

⌈ n/2 ⌉

^{pontos da metade esquerda e da metade direita, ordenados pela oordenada}

x

^e

pelaoordenada

y

respetivamente. ÉfáilverquearotinaDIVIDEfunionaorretamente,desdequenãohaja pontosomoordenadas

x

oinidentes,ouomoordenadas

y

oinidentes.

Aobtençãodeumpardepontosmaispróximosnametadeesquerdaenametadedireitaéfeitareursivamente,

eportantofunionaorretamenteporumargumentoindutivo.

A parte deliada é anal, em que se determina,se neessário, um parde pontos o maispróximopossível

om um ponto em uma metade e o outro na outra. Essa é a prinipal tarefa da rotina COMBINA. Seja

δ

^o

mínimo entre adistânia dosdoispares depontos obtidosreursivamente. Apergunta aserrespondida para

garantirqueoalgoritmodefatodáarespontaorretaé: porquearotinaCOMBINAdeterminaseexisteumpar

depontos,adaumdeumladodalinha

ℓ

^{,aumadistâniamenorque}

δ

^{e,emasoarmativo,enontraumtal}

pardepontosassim,àdistâniamínima?

Paraefetuaressatarefa,éfáilverqueCOMBINApreisaapenasolharparaospontosqueestãoaumadistânia

não maisque

δ

^{da linha}

ℓ

^{. A primeiraetapadeCOMBINAéexatamenteseleionartaispontos. Issoéfeitonas}

linhas 36. Fixe a atenção em um dos pontos seleionados,digamos, o ponto

p

^{. Considere agura abaixo.}

Nagura,adaumdosquadradosestátotalmenteontidoem umadasduasmetades. Ademais,adaumdos

quadradostemlado

δ/2

^{. Comoadiagonaldeumtalquadradomede}

δ/ √

2 < δ

^{,nãopodehaverdoispontosda}

oleçãoem um mesmoquadrado destes. (Outais pontos estariam em uma mesmametade e estariama uma

distânia menor que

δ

^{, uma ontradição àdenição de}

δ

^{.) Como a linha horizontal do meio dagura passa}

exatamente peloponto

p

^{,qualquerponto seleionado queestejaauma distâniamenorque}

δ

^de

p

^deveestar

numdosquadradosdagura. Ouseja,hánomáximo14pontosseleionadosquepodemestaraumadistânia

menorque

δ

^de

p

^{. Destesnomáximo14,nãomaisqueseteestãoaimade}

p

^.

PSfragreplaements

δ ℓ

p

AsegundaetapadeCOMBINAonsisteemperorrerospontosseleionadosalulandoadistâniaentreada

umdeleseos(nomáximo)setepontosseleionadosseguintesemordemdaoordenada

y

^{. Observequeaseleção}

dospontos, feitanas linhas36 darotina COMBINA, jáosmantém ordenadospela oordenada

y

^{. Apenas um}

ponto dentreessessetepontos têmhane deestaramenos doque

δ

^{dopontoem questãoenaoutra metade}

emrelaçãoaoponto. Detodasasdistâniasaluladas,arotinaCOMBINAmantémamenor,desdequeelaseja

menorque

δ

^{,eumdos paresqueatingiu essemínimo. Aonal, arotinadevolveouessepar, ouumdosdois}

paresobtidosreursivamente,aquelequeforomaispróximodestestrês.

1). Ajusteoalgoritmodadonastransparêniasdaaula2paraquefunionemesmoqueaoleçãodepontos

dadainluapontosomoordenadas

x

^ou

y

oinidentes.

2). Reneoalgoritmoeoargumentoquegarantequeelefunionaparaque,narotinaCOMBINA,adaponto

dafaixaentralsejaomparadoommenosquesetepontos.

[Notequeparaaordemdeomplexidadedoalgoritmotantofazseparaada

m ∈ M

alulamos7,6ou100000 distâniasoalgoritmoontinuatendoomplexidadedetempo

O ( n log n )

^.℄

3). [CLRS33.4-1℄O Prof. MaquiSperto teveuma idéia genial eveio omum novoesquema para queo

algoritmoenontreoparmais-próximoveriando, nasua faseCombinar,somenteadistânia entre

adaponto

m ∈ M

^eos

5

^{pontosqueestãoaseguirde}

m

^em

M

^{. Aidéiaésempreoloarospontosda}

reta

l

^noonjunto

E

^{daesquerda. Então,nãopoderáhaverumpardepontosoinidentessobreareta}

l

^omumpontoem

E

^{eoutropontoem}

D

^{. Portanto,nomáximo6pontospodemestarnaretâgulode}

dimensões

δ × 2δ

^{. Ondeestáabobagemnoesquema propostopelo professorSperto.}

4). [CLRS33.4-2℄Semaumentaraomplexidadedetempoassintótiadoalgoritmo,mostreomogarantir

queoonjuntodepontospassadosparaaprimeirahamadareursivadoalgoritmonãoontenhapontos

oinidentes. Provequeentãoésuiente queoalgoritmoveriqueos6(e não 7)pontosqueseguem

adapontoem

M

^{. Porquenãoésuienteveriarsomente5pontos? Ouésuiente?}

5). ConsidereafaseCombinardoalgoritmodedivisão-e-onquistaparaoProblemadoParMais-Próximo,

vistoemsaladeaula. ModiquearotinaCOMBINAparaquesejaaluladaadistâniaentreadaponto

eapenaspontosdooutroladodapartiçãofeitaemDIVIDE. Mostreque,nestafase,paraadapontona

esquerda,ésuienteoalgoritmoalularadistâniaentredeleomnomáximo6pontosnadireira.

6). Paraamodiaçãopropostanoexeríioanterior,voêonseguemostrarumexemploondeérealmente

neessárioalularmosadistânia entre adaponto e6pontos

d 1 , . . . , d 6

^{dooutroladodapartição?}

(Ouseja,oseuexemplodevemostrarumponto

e

^{daesquerda,digamos,epontos}

d ¹ , . . . , d ⁶

^dadireita

naproximidadedoponto

e

^{detalformaqueseoalgoritmoalulaadistâniaentre}

e

^eapenasadaum

dospontos

d 1 , . . . , d 5

^{entãooalgoritmonãodevolveopar}mais-próximo(queporazaréopar

{ e, d 6 }

^.)

Se voê não onseguir enontrar um tal exemplo, então tente mostrar que é suiente o algoritmo

alularadistâniaentreadapontodeumladoemenosdoque6pontosdooutrolado.

7). [CLRS33.4-3℄AdistâniaentredoispontospodeserdenidadediversasmaneirasalémdaEulidiana.

No plano, a

L m

^{-distânia entre dois pontos}

p = (p x , p y )

^e

q = (q x , q y )

^{é dada por}

( | p x − q x | ^m +

| p y − q y | ^m ) ^{1 /m}

^{. Portanto, adistânia Eulidiana éa}

L 2

^{-distânia. Modique oalgoritmodedivisão-}

e-onquista para o Problema do Par Mais Próximo de tal forma que ele devolva o par de pontos

mais-próximoemrelaçãoa

L ¹

^{-distânia(tambémonheidaomoManhattandistane).}

8). [CLRS33.4-4℄Dadosdoispontos

p

^e

q

^noplano,a

L ∞

^{-distâniaentreelesédadapor}

max {| p x − q x | , | p y − q y |}

^{. Modiqueo algoritmopara oparmais próximo paraque ele enontre um par}mais-próximo de aordooma

L ^∞

^-distânia.

Observação: Sempre quedesreverumamodiaçãodeumalgoritmodado,exibaoresultadodamodiação