Capítulo 5. Regras de Inferência. 5.1 Argumentos Válidos em Lógica Proposicional

Plano de Aula

Institui¸c˜ao: Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor: Allan de Sousa Soares

Disciplina: Matem´atica Discreta I

Conte´udo Pragm´atico: L´ogica Proposicional Tema da Aula: Regras de Inferˆencia

Dura¸c˜ao: 100 min Objetivos:

- Entender as principais regras de inferˆencia; - Reconhecer um argumento v´alido;

- Verificar a validade de uma conclus˜ao a partir de premissas verdadeiras. Metodologia:

- Aula Expositiva Participada. Recursos Did´aticos

- Apostila;

- Pincel e quadro branco; - Datashow;

Avalia¸c˜ao: - Observa¸c˜ao;

- Resolu¸c˜ao de exerc´ıcios. Referˆencia Principal:

[1] ROSEN, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications, 7rd, McGRAW-HILL, 2007. Bibliografia:

[2] DAGHLIAN, J. L´ogica e ´algebra de Boole. 4 ed. S˜ao Paulo: Atlas, 1995.

Cap´ıtulo 5

Regras de Inferˆ

encia

Regras de inferˆencia s˜ao regras de transforma¸c˜ao sint´aticas que podem ser usadas para inferir uma conclus˜ao a partir de uma premissa, para criar um argumento. Um conjunto de regras pode ser usada para inferir qualquer conclus˜ao v´alida, se esta conclus˜ao for completa.

5.1

Argumentos V´

alidos em L´

ogica Proposicional

Considere o seguinte argumento que envolve uma sequˆencia de proposi¸c˜oes: “Se Jo˜ao possui um carro, ent˜ao Jo˜ao poder´a viajar para sua cidade.”

“Jo˜ao possui um carro.” Portanto,

“Jo˜ao poder´a viajar para sua cidade.”

Gostar´ıamos de determinar se o argumento apresentado ´e v´alido, isto ´e, saber se a conclus˜ao “Jo˜ao poder´a viajar para sua cidade” ser´a verdadeira caso as premissas “Se Jo˜ao possui um carro, ent˜ao Jo˜ao poder´a viajar para sua cidade” e “Jo˜ao possui um carro” tamb´em sejam verdadeiras. Em s´ımbolos l´ogicos, podemos escrever a sequˆencia de argumentos da seguinte forma:

...p → q

...p

...

∴ q

Note que, se p e q s˜ao vari´aveis proposicionais com valores verdade quaisquer, ent˜ao a senten¸ca ((p → q) ∧ p) → q ´e uma tautologia (verifique!). Em particular, quando p → q e p s˜ao verdadeiras, sabemos que q tamb´em deve ser. Dizemos que essa ´e uma forma v´alida de argumento pois, sempre que todas as premissas (exceto a ´ultima) s˜ao verdadeiras, a conclus˜ao tamb´em deve ser (agora sim, a ´ultima).

Agora, suponhamos, no argumento anterior que a premissa p → q fosse falsa, isto ´e, “Se Jo˜ao possui um carro, ent˜ao Jo˜ao poder´a viajar para sua cidade” ´e uma premissa falsa (chamada de primeira premissa). Neste caso, ainda ter´ıamos um argumento v´alido, contudo n˜ao podemos decidir se a conclus˜ao ´e verdadeira.

Defini¸c˜ao 1. Uma argumento em l´ogica proposicional ´e uma sequˆencia de proposi¸c˜oes. To-das, menos a ´ultima das proposi¸c˜oes, s˜ao chamadas de premissas, e a ´ultima ´e chamada de conclus˜ao. Um argumento ´e v´alido se a veracidade das premissas implica que a conclus˜ao seja verdadeira.

Defini¸c˜ao 2. Uma forma de argumento em l´ogica proposicional ´e a sequˆencia de proposi¸c˜oes compostas que envolvem vari´aveis proposicionais. Uma forma de argumento ´e v´alida quais-quer que sejam as proposi¸c˜oes substitu´ıdas nas vari´aveis proposicionais em suas senten¸cas; a conclus˜ao ´e verdadeira se as premissas forem todas verdadeiras.

Da Defini¸c˜ao 2 vemos que uma forma de argumento com premissas p1, p2, . . . , pne conclus˜ao

q ´e v´alida, quando (p1∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → q ´e uma tautologia.

5.2

Regras de Inferˆ

encia Para a L´

ogica Proposicional

Podemos sempre usar tabela-verdade para mostrar que uma forma de argumento ´e v´alida. Contudo, `a medida que o n´umero vari´aveis proposicionais aumenta, o n´umero de linhas da tabela-verdade associada aumenta significativamente (dobrando a cada vari´avel proposicional). Em particular, uma forma de argumento com 10 vari´aveis proposicionais possui 210 _{= 1024}

linhas. Se tiv´essemos 11 vari´aveis proposicionais ao inv´es de 10 nossa tabela-verdade teria 211= 2048 linhas. Para resolvermos este problema de uma maneira menos penosa desenvolveremos algumas formas de argumento relativamente simples chamadas regras de inferˆencia. Por meio destas, usadas em conjunto, conseguiremos mostrar que uma forma de argumento ´e v´alida com relativa facilidade.

A tautologia (p ∧ (p → q)) → q ´e a base da regra de inferˆencia chamada modus ponens (modo que afirma), ou propriedade do destacamento. Em s´ımbolos:

...p

...p → q

...

∴ q

A regra de inferˆencia modus ponens segue a ideia de que, se uma senten¸ca condicional e a hip´otese dessa condicional s˜ao verdadeiras, ent˜ao a conclus˜ao tamb´em deve ser verdadeira.

Exemplo 3. Suponha que a senten¸ca condicional “Se chover hoje, ent˜ao usarei o guarda-chuva” e sua hip´otese, “Est´a chovendo hoje” s˜ao verdadeiras. Ent˜ao, por modus ponens, segue que a conclus˜ao condicional “Usarei o guarda-chuva hoje” ´e verdadeira.

Devemos tomar cuidado para n˜ao inferirmos que a conclus˜ao de um argumento v´alido seja verdadeira caso algumas de suas premissas forem falsas. O Exemplo 4 nos mostrar´a isso mais claramente.

Exemplo 4. Consideremos o seguinte argumento:

“Se √2 > 3₂, ent˜ao √2
2 > ₂3
2. Sabemos que √2 > 3₂. Consequentemente, √2
2 = 2 >

3 2

2 = 9₄.”

Note que o argumento apresentado ´e v´alido segundo a regra de inferˆencia modus ponens. Con-tudo, a conclus˜ao √2
2 > 3₂
2´e falsa, pois 2 < 9₄. Em particular, a condicional dada apresenta valor-verdade verdadeiro uma vez que temos F → F .

A seguir apresentaremos as principais regras de inferˆencia para a l´ogica proposicional.

Figura 5.2: Principais Regras de Inferˆencia (Parte 2).

Exemplo 5. Determine qual regra de inferˆencia ´e a base do seguinte argumento: “Est´a ven-tando muito agora. Portanto, est´a ventando muito ou est´a chovendo agora.”

Solu¸c˜ao: Temos as proposi¸c˜oes simples, p: “Est´a ventando muito agora.” e q: “Est´a chovendo agora”. O argumento dado, em s´ımbolos, fica na seguinte forma:

...p

...

∴ p ∨ q

Nota-se facilmente que este argumento usa a regra da adi¸c˜ao.

Exemplo 6. Determine qual regra de inferˆencia ´e a base do seguinte argumento: “Se n˜ao chover hoje eu sairei de casa. Se eu sair de casa hoje, ent˜ao irei trabalhar. Portanto, se n˜ao chover hoje, eu irei trabalhar.”

Solu¸c˜ao: Temos as proposi¸c˜oes simples, p: “Est´a chovendo hoje,” q: “Sairei de casa hoje” e r: “Irei trabalhar hoje”. O argumento dado, em s´ımbolos, fica na seguinte forma:

...p → q

...q → r

...

∴ p → r

Nota-se facilmente que este argumento usa a regra do silogismo hipot´etico.

O Exemplo 7 nos ajudar´a a entender a utiliza¸c˜ao das regras de inferˆencias em proposi¸c˜oes compostas de muitas premissas, isto ´e, aquelas que n˜ao se enquadram diretamente em nenhuma das regras das Tabelas 5.1 e 5.2.

Exemplo 7. Mostre que as hip´oteses “N˜ao est´a ensolarada esta tarde e est´a mais frio que ontem”, “Se vamos nadar, ent˜ao est´a ensolarado”, “Se n˜ao formos nadar, ent˜ao vamos fazer

um passei de barco” e “Se fizermos um passei de barco, ent˜ao estaremos em casa ao anoitecer” nos levam `a conclus˜ao “Estaremos em casa ao anoitecer”.

Solu¸c˜ao: Identifiquemos as proposi¸c˜oes p: “N˜ao est´a ensolarada esta tarde”, q: “Est´a mais frio que ontem”, r: “Vamos nadar”, s: “Vamos fazer um passei de barco” e t: “Estaremos em casa ao anoitecer”.

Passo Simbologia Raz˜ao 1. ¬p ∧ q hip´otese 2. ¬p simplifica¸c˜ao de (1) 3. r → p hip´otese

4. ¬r modus tollens usando (2), (3) 5. ¬r → s hip´otese

6. s modus ponens usando (4) e (5) 7. s → t hip´otese

8. t modus ponens usando (6) e (7)

5.3

Aplica¸

c˜

ao Computacional - Regra da Resolu¸

c˜

ao

Programas de computador tem sido desenvolvidos para automatizar e a tarefa de raciocinar e fornecer teoremas. Boa parte desses programas utilizam a regra de inferˆencia conhecida como resolu¸c˜ao. Em linguagem l´ogica, temos:

((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)) → (q ∨ r)

Verifique que trata-se de uma tautologia.

Exemplo 8. Use a regra da resolu¸c˜ao para mostrar que as hip´oteses “Jo˜ao est´a trabalhando ou n˜ao est´a chovendo” e “Est´a chovendo ou Maria est´a fazendo compras” implicam que “Jo˜ao est´a trabalhando ou Maria est´a cozinhando”.

Solu¸c˜ao: Primeiro identifiquemos as proposi¸c˜oes: p: “Est´a chovendo” , q: “Jo˜ao est´a traba-lhando” e r: “Maria est´a fazendo compras”. Escrevendo o argumento dado em linguagem l´ogica, temos:

((q ∨ ¬p)) ∧ ((¬p ∨ r)) → (q ∨ r) ≡ ((¬p ∨ q)) ∧ ((¬p ∨ r)) → (q ∨ r)

Em simbologia argumentativa, temos:

...p ∨ q

...¬p ∨ r

∴ q ∨ r

Logo, pela regra da resolu¸c˜ao que a conclus˜ao ´e verdadeira.

Exemplo 9. Mostre que as hip´oteses ((p ∧ q) ∨ r) e r → s implicam a conclus˜ao p ∨ s. Solu¸c˜ao: Vejamos os passos:

Passo Simbologia Raz˜ao 1. (p ∧ q) ∨ r hip´otese

2. (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) propriedade distributiva em (1) 3. p ∨ r simplifica¸c˜ao de (2) 4. r ∨ p propriedade comutativa em (3) 5. r → s hip´otese

6. ¬r ∨ s equivalˆencia com (5) 7. p ∨ s resolu¸c˜ao usando (4) e (6)

Existem tamb´em regras de inferˆencia associadas aos quantificadores universal e existencial. Instancia¸c˜ao Universal: Regra de inferˆencia usada para concluir que P (c) ´e verdadeira, em que c ´e um elemento particular do dom´ınio, dada a premissa ∀xP (x).

Generaliza¸c˜ao Universal: Regra de inferˆencia que diz que ∀xP (x) ´e verdadeira, dada como premissa P (c) ´e verdadeira para todos os elementos c do dom´ınio. A generaliza¸c˜ao universal ´

e usada quando mostramos que ∀xP (x) ´e verdadeira tomando um elemento arbitr´ario c do dom´ınio e mostrando que P (c) ´e verdadeira.

Exemplo 10. Um argumento no qual se usa a instancia¸c˜ao universal ´e o seguinte: “Toda mulher ´e discreta. Maria ´e uma mulher. Por isso, Maria ´e discreta”. De fato, se considerarmos Maria como sendo um elemento c do conjunto de todas as mulheres e sendo P (x) verdadeira para todos os elementos x deste conjunto, temos que P (c) deve ser verdadeira.

Instancia¸c˜ao Existencial: Regra de inferˆencia que nos permite concluir que existe um ele-mento c no dom´ınio para o qual P (c) ´e verdadeira se sabemos que ∃xP (x) ´e verdadeira. Note que c n˜ao ´e arbitr´ario.

Generaliza¸c˜ao Existencial: Regra de inferˆencia que ´e usada para concluir que ∃xP (x) ´e verdadeira quando um elemento particular c com P (c) verdadeira ´e conhecido.

Exemplo 11. Um argumento no qual se usa a generaliza¸c˜ao existencial ´e o seguinte: “Pan ama abanar sua cauda. Logo, algo gosta de abanar a cauda.”

5.4

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1. Encontre a forma de argumento para o argumento dado e determine se ´e v´alido. Podemos inferir que a conclus˜ao ´e verdadeira se as premissas forem verdadeiras?

...Se Plat˜ao ´e humano, ent˜ao Plat˜ao ´e mortal.

...Plat˜ao ´e humano.

...

∴ Plat˜ao ´e mortal.

Exerc´ıcio 2. Qual a regra de inferˆencia usada em cada um dos argumentos abaixo.

a) Alice ´e graduada em matem´atica. Por isso, Alice ´e graduada em ou em matem´atica ou em ciˆencia da computa¸c˜ao.

b) Jo˜ao ´e graduado em matem´atica e em ciˆencia da computa¸c˜ao. Por isso, Jo˜ao ´e graduado em matem´atica.

c) Se o dia estiver frio, a piscina estar´a fechada. O dia est´a frio. Por isso, a piscina est´a fechada. d) Se chover hoje, a universidade estar´a fechada. A universidade n˜ao est´a fechada hoje. Por isso n˜ao choveu hoje.

e) Se eu for a praia, ent˜ao eu ficarei no sol por muito tempo. Se eu ficar no sol por muito tempo, minha cabe¸ca doer´a. Por isso, se eu for a praia, minha cabe¸ca doer´a.

Exerc´ıcio 3. Use as regras de inferˆencia para mostrar que as hip´oteses “Paulo trabalha muito”, “Se Paulo trabalha muito, ent˜ao ele ´e um homem esfor¸cado” e “Se Paulo ´e um Homem esfor¸cado, ent˜ao ele conseguir´a um emprego” implicam a conclus˜ao “Paulo conseguir´a um emprego”.

Exerc´ıcio 4. Quais regras de inferˆencia s˜ao usadas no argumento abaixo:

“Todos os homens s˜ao mortais. S´ocrates ´e um homem. Por isso, S´ocrates ´e mortal.”

Exerc´ıcio 5. Para cada grupo de premissas abaixo, qual conclus˜ao ou conclus˜oes relevantes podem ser tiradas? Explique as regras de inferˆencia utilizadas para obter cada conclus˜ao das premissas.

a) “Se eu tiro o dia de folga, chove ou neva.” “Eu tirei folga na ter¸ca-feira ou na quinta-feira”. “Fez sol na ter¸ca-feira.“N˜ao nevou na quinta feira.”

b) “Se eu como comida apimentada, ent˜ao eu tenho sonhos estranhos.” “Eu tenho sonhos estranhos quando cai um trov˜ao enquanto eu durmo.” “Eu n˜ao tive sonhos estranhos.”

c) “Eu sou esperto ou sortudo.” “Eu n˜ao tenho sorte.” “Se eu tivesse sorte, ent˜ao ganharia na loteria.”

d) “Todo graduado em ciˆencia da computa¸c˜ao tem seu pr´oprio computador.” “Ralph n˜ao tem seu pr´oprio computador.” “Ana tem seu pr´oprio computador.”

e) Todos os roedores roem sua pr´opria comida.” “Ratos s˜ao roedores.” Gatos n˜ao roem sua comida.” “Morcegos n˜ao s˜ao roedores.”

5.5

Respostas dos Exerc´ıcios

Resposta do Exerc´ıcio 1. Modus ponens, v´alido. A conclus˜ao ´e verdadeira.

Resposta do Exerc´ıcio 2. a) Adi¸c˜ao; b) Simplifica¸c˜ao; c) Modus ponens; d) Modus tollens; e) Silogismo hipot´etico.

Resposta do Exerc´ıcio 3. Seja p: “Paulo trabalha muito”, q: “Paulo ´e um homem esfor¸cado”, s: “Paulo conseguir´a o emprego”. As hip´oteses s˜ao p, p → r e r → s. Usando modus ponens e as primeiras duas hip´oteses segue r. Usando modus ponens e a ´ultima hip´otese segue s, “Paulo conseguir´a o emprego”, que ´e a conclus˜ao desejada.

Resposta do Exerc´ıcio 4. Instancia¸c˜ao universal ´e usada para concluir que “Se S´ocrates for um homem, ent˜ao S´ocrates ´e mortal.” Modus ponens ´e ent˜ao usada para concluir que S´ocrates ´

e mortal”.

Resposta do Exerc´ıcio 5. a) S˜ao conclus˜oes v´alidas: (1) “Eu n˜ao tirei folga na ter¸ca-feira”, (2) “Eu tirei folga na quinta-feira”, (3) “Choveu na quinta-feira”; b) ´E uma conclus˜ao v´alida: “Eu n˜ao comi comida apimentada e n˜ao trovejou”; c) ´E uma conclus˜ao v´alida: “Eu sou espeto”; d) ´E uma conclus˜ao v´alida: “Ralph n˜ao estuda ciˆencia da computa¸c˜ao”; e) S˜ao conclus˜oes v´alidas: (1) “Os ratos roem sua pr´opria comida”, (2) “Gatos n˜ao s˜ao roedores”.