O Problema do Isomorsmo entre Anéis de Frações de Planos Quânticos

O Problema do Isomorsmo entre Anéis de

Frações de Planos Quânticos

Manuel Martins

sob orientação de Christian Lomp e Paula Carvalho

Seminário Diagonal

Programa Novos Talentos em Matemática da Fundação Calouste Gulbenkian

Conceitos iniciais

Conceitos iniciais

Denição

Um anel R é um conjunto munido com uma operação comutativa + tal que (R, +) é um grupo abeliano e também uma operação · associativa e distributiva sobre +. Ex: os inteiros, os racionais, os anéis de polinómios, etc.

Mais ainda, se R\{0} for um grupo abeliano para operação ·, então R diz-se um corpo. Ex: os racionais, os reais, os complexos, etc.

Denição

Uma álgebra sobre um corpo K é um anel munido com uma ope-ração de multiplicação por escalares, que lhe confere uma estrutura de espaço vetorial sobre K. Ex: os anéis de polinómios, o plano quântico, etc.

Conceitos iniciais

Conceitos iniciais

Denição

Um anel R é um conjunto munido com uma operação comutativa + tal que (R, +) é um grupo abeliano e também uma operação · associativa e distributiva sobre +. Ex: os inteiros, os racionais, os anéis de polinómios, etc.

Mais ainda, se R\{0} for um grupo abeliano para operação ·, então R diz-se um corpo. Ex: os racionais, os reais, os complexos, etc.

Denição

Uma álgebra sobre um corpo K é um anel munido com uma ope-ração de multiplicação por escalares, que lhe confere uma estrutura de espaço vetorial sobre K. Ex: os anéis de polinómios, o plano quântico, etc.

Conceitos iniciais

Conceitos iniciais

Denição

Um homomorsmo entre duas álgebras R1 e R2 sobre um corpo K

é uma função ϕ : R1 −→ R2 que preserva as operações das álgebras.

Isto é:

ϕ(r + s) = ϕ(r ) + ϕ(s), ∀r , s ∈ R₁ ϕ(r · s) = ϕ(r ) · ϕ(s), ∀r , s, ∈ R₁ ϕ(λr ) = λϕ(r ), ∀λ ∈ K , ∀r ∈ R₁

Se ϕ for bijectiva então diz-se um isomorsmo e as álgebras R1 e R2

dizem-se isomorfas.

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

O Plano Quântico

Seja K um corpo e q ∈ K, com 0 6= q 6= 1.

Denição

O plano quântico é a K-álgebra gerada por x e por y, sujeitos à relação yx = qxy. Denota-se por Kq[x , y ].

Os elementos de Kq[x , y ]escrevem-se de forma única como P ai ,jxiyj

com um número nito de coecientes 0 6= ai ,j ∈ K e i, j ∈ N.

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

O Plano Quântico

Seja K um corpo e q ∈ K, com 0 6= q 6= 1.

Denição

O plano quântico é a K-álgebra gerada por x e por y, sujeitos à relação yx = qxy. Denota-se por Kq[x , y ].

Os elementos de Kq[x , y ]escrevem-se de forma única como P ai ,jxiyj

com um número nito de coecientes 0 6= ai ,j ∈ K e i, j ∈ N.

Kq[x , y ] é um domínio, isto é, não tem elementos divisores de zero.

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

O Plano Quântico

Seja K um corpo e q ∈ K, com 0 6= q 6= 1.

Denição

O plano quântico é a K-álgebra gerada por x e por y, sujeitos à relação yx = qxy. Denota-se por Kq[x , y ].

Os elementos de Kq[x , y ]escrevem-se de forma única como P ai ,jxiyj

com um número nito de coecientes 0 6= ai ,j ∈ K e i, j ∈ N.

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

Isomorsmos entre planos quânticos

Sejam Kq[x , y ] e Kp[u, v ] os planos quânticos associados a dois

dife-rentes escalares q e p. O problema do isomorsmo entre planos quân-ticos consiste em determinar as condições sobre p e q para Kq[x , y ] e

Kp[u, v ] sejam isomorfos, como álgebras.

É fácil ver que se p = q−_{1 então a função denida por ϕ(x) = v e}

ϕ(y ) = u é um isomorsmo entre Kq[x , y ] e Kp[u, v ], pois:

yx = qxy ⇒ϕ(y )ϕ(x ) = qϕ(x )ϕ(y ) ⇒uv = qvu

⇒vu = q−1_uv

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

Isomorsmos entre planos quânticos

Sejam Kq[x , y ] e Kp[u, v ] os planos quânticos associados a dois

dife-rentes escalares q e p. O problema do isomorsmo entre planos quân-ticos consiste em determinar as condições sobre p e q para Kq[x , y ] e

Kp[u, v ] sejam isomorfos, como álgebras.

É fácil ver que se p = q−_{1 então a função denida por ϕ(x) = v e}

ϕ(y ) = u é um isomorsmo entre Kq[x , y ] e Kp[u, v ], pois:

yx = qxy ⇒ϕ(y )ϕ(x ) = qϕ(x )ϕ(y ) ⇒uv = qvu

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

Extensões do plano quântico

O problema generaliza-se quando se consideram duas extensões do plano quântico:

o toro quântico é a K-álgebra Kq[x±1, y±1] onde os termos

monomiais da forma αxi_yj_{, α ∈ K\{0}, i, j ∈ Z são invertíveis.}

o q-anel de divisão é a álgebra de divisão Kq(x , y ) onde todos

os elementos não-nulos são formalmente invertíveis. Temos a seguinte cadeia de inclusões:

Kq[x , y ] ⊂ Kq[x±1, y±1] ⊂ Kq(x , y )

.

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

Extensões do plano quântico

O problema generaliza-se quando se consideram duas extensões do plano quântico:

o toro quântico é a K-álgebra Kq[x±1, y±1] onde os termos

monomiais da forma αxi_yj_{, α ∈ K\{0}, i, j ∈ Z são invertíveis.}

o q-anel de divisão é a álgebra de divisão Kq(x , y ) onde todos

os elementos não-nulos são formalmente invertíveis. Temos a seguinte cadeia de inclusões:

Kq[x , y ] ⊂ Kq[x±1, y±1] ⊂ Kq(x , y )

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

Extensões do plano quântico

O problema generaliza-se quando se consideram duas extensões do plano quântico:

o toro quântico é a K-álgebra Kq[x±1, y±1] onde os termos

monomiais da forma αxi_yj_{, α ∈ K\{0}, i, j ∈ Z são invertíveis.}

o q-anel de divisão é a álgebra de divisão Kq(x , y ) onde todos

os elementos não-nulos são formalmente invertíveis.

Temos a seguinte cadeia de inclusões:

Kq[x , y ] ⊂ Kq[x±1, y±1] ⊂ Kq(x , y )

.

O plano, o toro e o anel de frações do plano quântico

Extensões do plano quântico

O problema generaliza-se quando se consideram duas extensões do plano quântico:

o toro quântico é a K-álgebra Kq[x±1, y±1] onde os termos

monomiais da forma αxi_yj_{, α ∈ K\{0}, i, j ∈ Z são invertíveis.}

o q-anel de divisão é a álgebra de divisão Kq(x , y ) onde todos

os elementos não-nulos são formalmente invertíveis. Temos a seguinte cadeia de inclusões:

Kq[x , y ] ⊂ Kq[x±1, y±1] ⊂ Kq(x , y )

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Denição

Sejam R um anel e X ⊂ R um subconjunto fechado para a multipli-cação tal que 0 /∈ X e 1 ∈ X . A ideia passa por inverter os elementos de X , obtendo-se assim o chamado anel de frações à direita de R relativamente a X . Mais explicitamente:

Denição

Um anel S diz-se um anel de frações à direita se existe um homo-morsmo φ : R −→ S tal que:

a) ∀x ∈ X , φ(x) tem inverso em S,

b) ∀s ∈ S, ∃r ∈ R, x ∈ X : s = φ(r)φ(x)−_1,

c) ker(φ) = {r ∈ R | rx = 0, para algum x ∈ X }.

Uma vez que S é único a menos de isomorsmo, denota-se por RX−_1.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Denição

Sejam R um anel e X ⊂ R um subconjunto fechado para a multipli-cação tal que 0 /∈ X e 1 ∈ X . A ideia passa por inverter os elementos de X , obtendo-se assim o chamado anel de frações à direita de R relativamente a X . Mais explicitamente:

Denição

Um anel S diz-se um anel de frações à direita se existe um homo-morsmo φ : R −→ S tal que:

a) ∀x ∈ X , φ(x) tem inverso em S,

b) ∀s ∈ S, ∃r ∈ R, x ∈ X : s = φ(r)φ(x)−_1,

c) ker(φ) = {r ∈ R | rx = 0, para algum x ∈ X }.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Condições

Se RX−_{1 for um anel de frações à direita, então satisfaz}

necessaria-mente duas condições:

1. ∀r ∈ R, ∀x ∈ X , rX ∩ xR 6= ∅

Se tomarmos o elemento φ(x)−_{1φ(r ) ∈ S, podemos por b) escrever}

φ(x )−1φ(r ) = φ(r0)φ(x0)−1 para alguns r0 ∈ R, x0 _{∈ X. Logo,}

φ(r )φ(x0) = φ(x )φ(r0) ⇔ φ(rx0− xr0) = 0 por c) , ∃y ∈ X : (rx0 _{− xr}0

)y =0

⇔ r (x0y ) = x (r0y ) onde x0y ∈ X , r0y ∈ R. À condição 1. chama-se condição de Ore.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Condições

Se RX−_{1 for um anel de frações à direita, então satisfaz}

necessaria-mente duas condições:

1. ∀r ∈ R, ∀x ∈ X , rX ∩ xR 6= ∅

Se tomarmos o elemento φ(x)−_{1φ(r ) ∈ S, podemos por b) escrever}

φ(x )−1φ(r ) = φ(r0)φ(x0)−1 para alguns r0 ∈ R, x0 _{∈ X. Logo,}

φ(r )φ(x0) = φ(x )φ(r0) ⇔ φ(rx0− xr0) = 0 por c) , ∃y ∈ X : (rx0 _{− xr}0

)y =0

⇔ r (x0y ) = x (r0y ) onde x0y ∈ X , r0y ∈ R. À condição 1. chama-se condição de Ore.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Condições

2. ∀r ∈ R, ∀x ∈ X , xr = 0 ⇒ ∃x0 _{∈ X : rx}0

=0

Como φ é um homomorsmo, xr = 0 ⇒ φ(x)φ(r) = 0. Mas como φ(x )é invertível por a), temos que φ(r) = 0 e por c), existe x0 como armado.

À condição 2. chama-se condição de reversibilidade à direita. Um conjunto X que verique 1. e 2. diz-se um conjunto de deno-minadores à direita, pois estas condições, além de necessárias, são

também sucientes para que exista o anel de frações à direita RX−1_.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Condições

2. ∀r ∈ R, ∀x ∈ X , xr = 0 ⇒ ∃x0 _{∈ X : rx}0

=0

Como φ é um homomorsmo, xr = 0 ⇒ φ(x)φ(r) = 0. Mas como φ(x )é invertível por a), temos que φ(r) = 0 e por c), existe x0 como armado.

À condição 2. chama-se condição de reversibilidade à direita.

Um conjunto X que verique 1. e 2. diz-se um conjunto de deno-minadores à direita, pois estas condições, além de necessárias, são

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Condições

2. ∀r ∈ R, ∀x ∈ X , xr = 0 ⇒ ∃x0 _{∈ X : rx}0

=0

Como φ é um homomorsmo, xr = 0 ⇒ φ(x)φ(r) = 0. Mas como φ(x )é invertível por a), temos que φ(r) = 0 e por c), existe x0 como armado.

À condição 2. chama-se condição de reversibilidade à direita. Um conjunto X que verique 1. e 2. diz-se um conjunto de deno-minadores à direita, pois estas condições, além de necessárias, são

também sucientes para que exista o anel de frações à direita RX−1_.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Construção

Dena-se em R × X a seguinte relação de equivalência "∼": (r , x ) ∼ (r0, x0)sse existem s, s0 ∈ R tais que xs = x0

s0 ∈ X e rs = r0s0 ∈ R. (1)

Denotem-se por rx−1 _{(ou r/x) a classe de equivalência de um par (r, x)}

e por RX−_{1 o conjunto destas classes de equivalência. Então, vejamos}

que RX−_{1é de facto o anel de frações à direita de R relativamente a X .}

Observação: Note-se que r/x = (rs)/(xs) sempre que xs ∈ X . Isto é fundamental para reduzir 'frações' a um denominador comum.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Construção

Dena-se em R × X a seguinte relação de equivalência "∼": (r , x ) ∼ (r0, x0)sse existem s, s0 ∈ R tais que xs = x0

s0 ∈ X e rs = r0s0 ∈ R. (1)

Denotem-se por rx−1 _{(ou r/x) a classe de equivalência de um par (r, x)}

e por RX−_{1 o conjunto destas classes de equivalência. Então, vejamos}

que RX−_{1é de facto o anel de frações à direita de R relativamente a X .}

Observação: Note-se que r/x = (rs)/(xs) sempre que xs ∈ X . Isto é fundamental para reduzir 'frações' a um denominador comum.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Operações

A adição em RX−1 _{é denida tendo por base a condição de Ore.}

Dadas duas frações r1/x1 e r2/x2, existem a ∈ R e y ∈ X tais que

x₂a = x₁y ∈ X, visto que x₂R ∩ x₁X 6= ∅. Assim pode-se denir: r₁/x₁+ r₂/x₂ = (r₁y + r₂a)/t, onde t = x₁y = x₂a. (2)

Para denir a multiplicação, usemos o facto que x1R ∩ r2X 6= ∅ para

encontrar a ∈ R e y ∈ X tais que x1a = r2y. Assim dene-se:

(r₁/x₁).(r₂/x₂) = (r₁a)/(x₂y ). (3)

As duas operações estão bem denidas e têm elementos neutros 0/1 e 1/1, respetivamente. Logo, (RX−_{1, +, .,0, 1) é de facto um anel.}

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Operações

A adição em RX−1 _{é denida tendo por base a condição de Ore.}

Dadas duas frações r1/x1 e r2/x2, existem a ∈ R e y ∈ X tais que

x₂a = x₁y ∈ X, visto que x₂R ∩ x₁X 6= ∅. Assim pode-se denir: r₁/x₁+ r₂/x₂ = (r₁y + r₂a)/t, onde t = x₁y = x₂a. (2)

Para denir a multiplicação, usemos o facto que x1R ∩ r2X 6= ∅ para

encontrar a ∈ R e y ∈ X tais que x1a = r2y. Assim dene-se:

(r₁/x₁).(r₂/x₂) = (r₁a)/(x₂y ). (3)

As duas operações estão bem denidas e têm elementos neutros 0/1 e 1/1, respetivamente. Logo, (RX−_{1, +, .,0, 1) é de facto um anel.}

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Operações

A adição em RX−1 _{é denida tendo por base a condição de Ore.}

Dadas duas frações r1/x1 e r2/x2, existem a ∈ R e y ∈ X tais que

x₂a = x₁y ∈ X, visto que x₂R ∩ x₁X 6= ∅. Assim pode-se denir: r₁/x₁+ r₂/x₂ = (r₁y + r₂a)/t, onde t = x₁y = x₂a. (2)

Para denir a multiplicação, usemos o facto que x1R ∩ r2X 6= ∅ para

encontrar a ∈ R e y ∈ X tais que x1a = r2y. Assim dene-se:

(r₁/x₁).(r₂/x₂) = (r₁a)/(x₂y ). (3)

As duas operações estão bem denidas e têm elementos neutros 0/1 e 1/1, respetivamente. Logo, (RX−_{1, +, .,0, 1) é de facto um anel.}

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Homomorsmo

Seja ϕ : R −→ RX−_{1 tal que ϕ(r) = r/1, ∀r ∈ R. Como (r}

1/1) +

(r₂/1) = (r₁ + r₂)/1 e (r₁/1).(r₂/1) = (r₁r₂/1), temos que ϕ é um homomorsmo.

Mais ainda:

a) Temos que 1/x (x ∈ X ) é o inverso de x/1 = ϕ(x)

b) Também se verica que r/x = (r/1).(1/x) = ϕ(r)ϕ(x)−1_.

c) Por m, note-se que r/1 = 0/1 ⇔ ∃ s, s0 _{∈ R : rs = 0s}0 ₌₀

e 1s = 1s0 _{∈ X. Assim,}

ker ϕ = {r ∈ R | rs = 0 para algum s ∈ X }.

Isto conclui a demonstração de que RX−_{1é um anel de frações à direita}

de R relativamente a X . Prova-se também que tal anel de frações é único a menos de isomorsmo.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Homomorsmo

Seja ϕ : R −→ RX−_{1 tal que ϕ(r) = r/1, ∀r ∈ R. Como (r}

1/1) +

(r₂/1) = (r₁ + r₂)/1 e (r₁/1).(r₂/1) = (r₁r₂/1), temos que ϕ é um homomorsmo.Mais ainda:

a) Temos que 1/x (x ∈ X ) é o inverso de x/1 = ϕ(x)

b) Também se verica que r/x = (r/1).(1/x) = ϕ(r)ϕ(x)−1_.

c) Por m, note-se que r/1 = 0/1 ⇔ ∃ s, s0 _{∈ R : rs = 0s}0 ₌₀

e 1s = 1s0 _{∈ X. Assim,}

ker ϕ = {r ∈ R | rs = 0 para algum s ∈ X }.

Isto conclui a demonstração de que RX−_{1é um anel de frações à direita}

de R relativamente a X . Prova-se também que tal anel de frações é único a menos de isomorsmo.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Homomorsmo

Seja ϕ : R −→ RX−_{1 tal que ϕ(r) = r/1, ∀r ∈ R. Como (r}

1/1) +

(r₂/1) = (r₁ + r₂)/1 e (r₁/1).(r₂/1) = (r₁r₂/1), temos que ϕ é um homomorsmo.Mais ainda:

a) Temos que 1/x (x ∈ X ) é o inverso de x/1 = ϕ(x)

b) Também se verica que r/x = (r/1).(1/x) = ϕ(r)ϕ(x)−1_.

c) Por m, note-se que r/1 = 0/1 ⇔ ∃ s, s0 _{∈ R : rs = 0s}0 ₌₀

e 1s = 1s0 _{∈ X. Assim,}

ker ϕ = {r ∈ R | rs = 0 para algum s ∈ X }.

Isto conclui a demonstração de que RX−_{1é um anel de frações à direita}

de R relativamente a X . Prova-se também que tal anel de frações é único a menos de isomorsmo.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Homomorsmo

Seja ϕ : R −→ RX−_{1 tal que ϕ(r) = r/1, ∀r ∈ R. Como (r}

1/1) +

(r₂/1) = (r₁ + r₂)/1 e (r₁/1).(r₂/1) = (r₁r₂/1), temos que ϕ é um homomorsmo.Mais ainda:

a) Temos que 1/x (x ∈ X ) é o inverso de x/1 = ϕ(x)

b) Também se verica que r/x = (r/1).(1/x) = ϕ(r)ϕ(x)−1_.

c) Por m, note-se que r/1 = 0/1 ⇔ ∃ s, s0 _{∈ R : rs =0s}0

=0

e 1s = 1s0 _{∈ X. Assim,}

ker ϕ = {r ∈ R | rs = 0 para algum s ∈ X }.

Isto conclui a demonstração de que RX−_{1é um anel de frações à direita}

de R relativamente a X . Prova-se também que tal anel de frações é único a menos de isomorsmo.

Como construir anéis de frações

Como construir anéis de frações - Homomorsmo

Seja ϕ : R −→ RX−_{1 tal que ϕ(r) = r/1, ∀r ∈ R. Como (r}

1/1) +

(r₂/1) = (r₁ + r₂)/1 e (r₁/1).(r₂/1) = (r₁r₂/1), temos que ϕ é um homomorsmo.Mais ainda:

a) Temos que 1/x (x ∈ X ) é o inverso de x/1 = ϕ(x)

b) Também se verica que r/x = (r/1).(1/x) = ϕ(r)ϕ(x)−1_.

c) Por m, note-se que r/1 = 0/1 ⇔ ∃ s, s0 _{∈ R : rs =0s}0

=0

e 1s = 1s0 _{∈ X. Assim,}

ker ϕ = {r ∈ R | rs = 0 para algum s ∈ X }.

Isto conclui a demonstração de que RX−_{1 é um anel de frações à direita}

de R relativamente a X . Prova-se também que tal anel de frações é único a menos de isomorsmo.

Como construir anéis de frações

O toro quântico e o q-anel de divisão

Prova-se recorrendo à denição que os conjuntos {xi_yj

| i , j ∈ N} e Kq[x , y ]\{0} são conjuntos de denominadores à direita e portanto dão

origem a anéis de frações à direita de Kq[x , y ].

Estes anéis são respetivamente: o toro quântico Kq[x±1, y±1].

Como construir anéis de frações

O toro quântico e o q-anel de divisão

Prova-se recorrendo à denição que os conjuntos {xi_yj_{| i , j ∈ N} e}

Kq[x , y ]\{0} são conjuntos de denominadores à direita e portanto dão

origem a anéis de frações à direita de Kq[x , y ].

Estes anéis são respetivamente: o toro quântico Kq[x±1, y±1].

o q-anel de divisão Kq(x , y ) =Frac(Kq[x , y ]).

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

O isomorsmo entre planos quânticos

Noções e resultados preliminares (no plano quântico) Um elemento f não-invertível e não-nulo diz-se primo se:

f |ab =⇒ f |a ∨ f |b, para todos a, b ∈ Kq[x , y ].

Um elemento f diz-se central se af = fa para todo a ∈ Kq[x , y ].

A imagem por isomorsmo de um elemento central e primo é ainda um elemento central e primo.

Os elementos primos no plano quântico Kq[x , y ] são os múltiplos

escalares de x e y e, caso q seja uma raiz da unidade, também os elementos irredutíveis e centrais. Neste caso, o centro é o subanel Kq[xn, yn].

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

O isomorsmo entre planos quânticos

Noções e resultados preliminares (no plano quântico) Um elemento f não-invertível e não-nulo diz-se primo se:

f |ab =⇒ f |a ∨ f |b, para todos a, b ∈ Kq[x , y ].

Um elemento f diz-se central se af = fa para todo a ∈ Kq[x , y ].

A imagem por isomorsmo de um elemento central e primo é ainda um elemento central e primo.

Os elementos primos no plano quântico Kq[x , y ]são os múltiplos

escalares de x e y e, caso q seja uma raiz da unidade, também os elementos irredutíveis e centrais. Neste caso, o centro é o subanel Kq[xn, yn].

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

O isomorsmo entre planos quânticos

Seja ϕ um isomorsmo entre planos quânticos Kq[x , y ] e Kp[u, v ].

A relação yx = qxy transforma-se por isomorsmo na relação ϕ(y )ϕ(x ) = qϕ(x )ϕ(y ) em Kp[u, v ].

Como, em particular, x e y são primos e não são centrais, as suas imagens ϕ(x) e ϕ(y) são elementos primos e não centrais, e portanto são múltiplos escalares de u e v.

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

O isomorsmo entre planos quânticos

Seja ϕ um isomorsmo entre planos quânticos Kq[x , y ] e Kp[u, v ].

A relação yx = qxy transforma-se por isomorsmo na relação ϕ(y )ϕ(x ) = qϕ(x )ϕ(y ) em Kp[u, v ].

Como, em particular, x e y são primos e não são centrais, as suas imagens ϕ(x) e ϕ(y) são elementos primos e não centrais, e portanto são múltiplos escalares de u e v.

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

O isomorsmo entre planos quânticos

Só existem dois casos possíveis, para alguns λ, µ ∈ K\{0}:

(1) ϕ(x) = λu ∧ ϕ(y) = µv

(2) ϕ(x) = λv ∧ ϕ(y ) = µu

No caso (1) tem-se 0 = ϕ(yx − qxy) = λµ(vu − quv) = λµ(p − q)uv =⇒ p = q. No caso (2) tem-se 0 = ϕ(yx − qxy) = λµ(uv − qvu)

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

O isomorsmo entre planos quânticos

Só existem dois casos possíveis, para alguns λ, µ ∈ K\{0}:

(1) ϕ(x) = λu ∧ ϕ(y) = µv

(2) ϕ(x) = λv ∧ ϕ(y ) = µu

No caso (1) tem-se 0 = ϕ(yx − qxy) = λµ(vu − quv) = λµ(p − q)uv =⇒ p = q.

No caso (2) tem-se 0 = ϕ(yx − qxy) = λµ(uv − qvu)

= λµ(1 − qp)uv =⇒ p = q−1.

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

O isomorsmo entre planos quânticos

Só existem dois casos possíveis, para alguns λ, µ ∈ K\{0}:

(1) ϕ(x) = λu ∧ ϕ(y) = µv

(2) ϕ(x) = λv ∧ ϕ(y ) = µu

No caso (1) tem-se 0 = ϕ(yx − qxy) = λµ(vu − quv) = λµ(p − q)uv =⇒ p = q. No caso (2) tem-se 0 = ϕ(yx − qxy) = λµ(uv − qvu)

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Noções e resultados preliminares

Em Kq[x±1, y±1], os elementos x e y não são primos mas, nesta

álgebra, adquirem outra propriedade importante: são invertíveis.

Como tal, são também elementos invertíveis as suas imagens por um isomorsmo ϕ : Kq[x±1, y±1] −→ Kp[u±1, v±1] .

As unidades em Kq[x±1, y±1] são os termos monomiais, isto é,

elementos da forma λxi_yj _{com λ ∈ K\{0}, i, j ∈ Z.}

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Noções e resultados preliminares

Em Kq[x±1, y±1], os elementos x e y não são primos mas, nesta

álgebra, adquirem outra propriedade importante: são invertíveis. Como tal, são também elementos invertíveis as suas imagens por um isomorsmo ϕ : Kq[x±1, y±1] −→ Kp[u±1, v±1] .

As unidades em Kq[x±1, y±1] são os termos monomiais, isto é,

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Noções e resultados preliminares

Em Kq[x±1, y±1], os elementos x e y não são primos mas, nesta

álgebra, adquirem outra propriedade importante: são invertíveis. Como tal, são também elementos invertíveis as suas imagens por um isomorsmo ϕ : Kq[x±1, y±1] −→ Kp[u±1, v±1] .

As unidades em Kq[x±1, y±1] são os termos monomiais, isto é,

elementos da forma λxi_yj _{com λ ∈ K\{0}, i, j ∈ Z.}

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Comecemos por escrever ϕ(x) = αui_vj _{e ϕ(y) = βu}k_vl _{para alguns}

α, β ∈ K , i , j , k, l ∈ Z.

Da relação yx = qxy resulta a seguinte equação em Kp[u±1, v±1]:

ϕ(y )ϕ(x ) = qϕ(x )ϕ(y ) ⇔ (βuk_vl_)(αui_vj_{) = q(αu}i_vj_)(βuk_vl₎

⇔ αβpil_ui +k_vj +l _{= qαβp}jk_ui +k_vj +l

o que implica, já que estamos num domínio,

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Comecemos por escrever ϕ(x) = αui_vj _{e ϕ(y) = βu}k_vl _{para alguns}

α, β ∈ K , i , j , k, l ∈ Z.

Da relação yx = qxy resulta a seguinte equação em Kp[u±1, v±1]:

ϕ(y )ϕ(x ) = qϕ(x )ϕ(y ) ⇔ (βuk_vl_)(αui_vj_{) = q(αu}i_vj_)(βuk_vl₎

⇔ αβpil_ui +k_vj +l _{= qαβp}jk_ui +k_vj +l

o que implica, já que estamos num domínio,

pil −jk = q. (4)

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Por outro lado, as pré-imagens de u e v são invertíveis em Kq[x±1, y±1],

isto é, ϕ−1_{(u) = λx}s_yt _{e ϕ}−1_{(v ) = µx}m_yn _{para alguns λ, µ ∈ K,}

s, t, m, n ∈ Z.

Podemos escrever então:

u = ϕ(λxsyt) = λ(αuivj)s(βukvl)t = λαsβtpauis+ktvjs+lt;

v = ϕ(µxmyn) = µβ(αuivj)m(βukvl)n = µαmβnpbuim+knvjm+ln

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Por outro lado, as pré-imagens de u e v são invertíveis em Kq[x±1, y±1],

isto é, ϕ−1_{(u) = λx}s_yt _{e ϕ}−1_{(v ) = µx}m_yn _{para alguns λ, µ ∈ K,}

s, t, m, n ∈ Z.

Podemos escrever então:

u = ϕ(λxsyt) = λ(αuivj)s(βukvl)t = λαsβtpauis+ktvjs+lt;

v = ϕ(µxmyn) = µβ(αuivj)m(βukvl)n = µαmβnpbuim+knvjm+ln

para alguns expoentes a e b inteiros.

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Olhando apenas aos expoentes de u e v, obtém-se o seguinte sistema:          is + kt =1 js + lt =0 im + kn =0 jm + ln =1 isto é, matricialmente: i k j l  s m t n  =  1 0 0 1  . Daqui resulta que il − jk = ±1 e portanto, p = q±1_.

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Olhando apenas aos expoentes de u e v, obtém-se o seguinte sistema:          is + kt =1 js + lt =0 im + kn =0 jm + ln =1 isto é, matricialmente: i k j l  s m t n  =  1 0 0 1  .

Daqui resulta que il − jk = ±1 e portanto, p = q±1_.

Os isomorsmos possíveis entre planos e toros quânticos

Isomorsmo entre toros quânticos

Olhando apenas aos expoentes de u e v, obtém-se o seguinte sistema:          is + kt =1 js + lt =0 im + kn =0 jm + ln =1 isto é, matricialmente: i k j l  s m t n  =  1 0 0 1  . Daqui resulta que il − jk = ±1 e portanto, p = q±1_.

O problema do isomorsmo no q-anel de divisão

Caso geral: isomorsmo entre anéis de frações de

planos quânticos

O problema ainda se encontra em aberto. Alev e Dumas (1994) intro-duziram um invariante, que resolveu o problema no caso em q não é uma raiz da unidade.

Denição

Seja D uma álgebra de divisão sobre K. Denota-se por

G(D) o subgrupo multiplicativo [D∗_{, D}∗_{] ∩ K}∗_{, onde [D}∗_{, D}∗_{] =}

haba−1_b−1_{| a, b ∈ D}∗_{i é o subgrupo gerado pelos comutadores.}

O problema do isomorsmo no q-anel de divisão

Caso geral: isomorsmo entre anéis de frações de

planos quânticos

O problema ainda se encontra em aberto. Alev e Dumas (1994) intro-duziram um invariante, que resolveu o problema no caso em q não é uma raiz da unidade.

Denição

Seja D uma álgebra de divisão sobre K. Denota-se por

G(D) o subgrupo multiplicativo [D∗_{, D}∗_{] ∩ K}∗_{, onde [D}∗_{, D}∗_{] =}

O problema do isomorsmo no q-anel de divisão

O invariante G(D)

G (D) = [D∗, D∗] ∩ K∗ é invariante por isomorsmo, isto é, dados

D₁ = Kq(x , y ), D2 = Kp(u, v ) e um isomorsmo ϕ : D1 −→ D2,

tem-se que G(D1) = G (D2).

Proposição (Alev; Dumas (1994))

G (Kq(x , y )) = < q >

A junção dos dois resultados permite concluir que se dois anéis de frações à direita Kq(x , y ) e Kp(x , y ) são isomorfos então < q >=<

p >. Se q não for uma raiz da unidade, então p = q±1.

O problema do isomorsmo no q-anel de divisão

O invariante G(D)

G (D) = [D∗, D∗] ∩ K∗ é invariante por isomorsmo, isto é, dados

D₁ = Kq(x , y ), D2 = Kp(u, v ) e um isomorsmo ϕ : D1 −→ D2,

tem-se que G(D1) = G (D2).

Proposição (Alev; Dumas (1994))

G (Kq(x , y )) = < q >

A junção dos dois resultados permite concluir que se dois anéis de frações à direita Kq(x , y ) e Kp(x , y ) são isomorfos então < q >=<

O problema do isomorsmo no q-anel de divisão

O invariante G(D)

G (D) = [D∗, D∗] ∩ K∗ é invariante por isomorsmo, isto é, dados

D₁ = Kq(x , y ), D2 = Kp(u, v ) e um isomorsmo ϕ : D1 −→ D2,

tem-se que G(D1) = G (D2).

Proposição (Alev; Dumas (1994))

G (Kq(x , y )) = < q >

A junção dos dois resultados permite concluir que se dois anéis de frações à direita Kq(x , y ) e Kp(x , y ) são isomorfos então < q >=<

p >. Se q não for uma raiz da unidade, então p = q±1.

Automorsmos e anéis xos no q-anel de divisão

Automorsmos em K

(x , y )

e elementos xos

Dado um automorsmo σ em Kq(x , y ) (um isomorsmo de Kq(x , y )

em Kq(x , y )), um elemento xo é um r ∈ Kq(x , y ) tal que σ(r) = r.

O conjunto dos elementos xos em Kq(x , y ) forma por sua vez o

cha-mado anel xo por σ e denota-se por Kq(x , y )σ.

Num artigo de 2014, Siân Fryer trabalhou com vários automorsmos de ordem nita, onde conseguiu estebelecer isomorsmos entre o q-anel de divisão e o seu anel dos elementos xos.

A m de ganhar maior intuição sobre a estrutura o q-anel de divisão, estudamos este artigo e procuramos em particular estender os resulta-dos de Fryer a um automorsmo de ordem 5:

ϕ : Kq(x , y ) −→ Kq(x , y )

Automorsmos e anéis xos no q-anel de divisão

Automorsmos em K

(x , y )

e elementos xos

Dado um automorsmo σ em Kq(x , y ) (um isomorsmo de Kq(x , y )

em Kq(x , y )), um elemento xo é um r ∈ Kq(x , y ) tal que σ(r) = r.

O conjunto dos elementos xos em Kq(x , y ) forma por sua vez o

cha-mado anel xo por σ e denota-se por Kq(x , y )σ.

Num artigo de 2014, Siân Fryer trabalhou com vários automorsmos de ordem nita, onde conseguiu estebelecer isomorsmos entre o q-anel de divisão e o seu anel dos elementos xos.

A m de ganhar maior intuição sobre a estrutura o q-anel de divisão, estudamos este artigo e procuramos em particular estender os resulta-dos de Fryer a um automorsmo de ordem 5:

ϕ : Kq(x , y ) −→ Kq(x , y )

x 7−→ y ; y 7−→ x−1(y + q−1).

Automorsmos e anéis xos no q-anel de divisão

Automorsmos em K

(x , y )

e elementos xos

Dado um automorsmo σ em Kq(x , y ) (um isomorsmo de Kq(x , y )

em Kq(x , y )), um elemento xo é um r ∈ Kq(x , y ) tal que σ(r) = r.

O conjunto dos elementos xos em Kq(x , y ) forma por sua vez o

cha-mado anel xo por σ e denota-se por Kq(x , y )σ.

Num artigo de 2014, Siân Fryer trabalhou com vários automorsmos de ordem nita, onde conseguiu estebelecer isomorsmos entre o q-anel de divisão e o seu anel dos elementos xos.

A m de ganhar maior intuição sobre a estrutura o q-anel de divisão, estudamos este artigo e procuramos em particular estender os resulta-dos de Fryer a um automorsmo de ordem 5:

ϕ : Kq(x , y ) −→ Kq(x , y )

Referências Bibliográcas

Referências Bibliográcas

(para quem quiser saber os detalhes)

[1] T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag New York, 1999.

[2] J. Alev et F. Dumas, Sur le corps des fractions de certaines algèbres quantiques, J. Algebra, 170, 1994, 229-265.

[3] K. R. Goodearl et R. B. Wareld, An Introduction to Noncommuta-tive Noetherian Rings, London Math. Soc. Student Text Series, Vol. 16, Cambridge Univ. Press, London/New York, 1989.

[4] R. Coulibaly e K. Price, Factorization in Quantum Planes, Missouri J. Math. Sci. 18, No. 3, 2006, 197-205.

[5] L. Richard, Equivalence rationelle et homologie de Hochschild pour certaines algèbres polynomiales classiques et quantiques, tese de doutora-mento, Universidade Blaise Pascal, 2002.

[6] S. Fryer, The q-division ring and its xed rings, J. Algebra, 402, 2014, 358-378.