Cap 6 - Atualizados.v05

Cap´ıtulo

6

Transmissão de Sinais através de

Redes Lineares

Comodis utidonos apítulosanteriores,trabalharemos omaSériedeFourier eTransformadasdeFourier

1 .

6.1 Sistemas

Segundo Lathi [1℄, os sistemas podem ser lassi ados generi amente nas seguintes ategorias:

1. Sistemaslinearesenãolineares;

2. Sistemas omparâmetros onstantesou omparâmetrosvariandonotempo;

3. Sistemasinstantâneos(semmemória)oudinâmi os( ommemória);

4. Sistemas ausaisounão ausais;

5. Sistemas ontínuosoudis retosnotempo;

6. Sistemasanalógi osedigitais;

7. Sistemasinversíveisounãoinversíveis;

8. Sistemasestáveisouinstáveis. 1

Osexemplosreferen iados aolongodestetexto,os quaissãoapresentadosaseguir,são exemplosdoslivros:i.OPPENHEIM,A.,WILLSKYA.,Signal&Systems,2ndEd., Prenti e-Hall,1996[3℄,ii. LATHI,B.P.,SinaiseSistemasLineares,2nd Ed.,Bookman,2004[1℄e iii. OLIVEIRA,H.M.,FundamentosdaEngenhariadeTele omuni ações,Departamentode

Outras lassi ações, tais omo sistemas determinísti os e probabilísti os, estãoalémdoes opodestadis iplina.

As redes Lineares são aquelas ara terizadas por uma resposta (saída) a uma ombinaçãolineardeex itações(entradas)éiguala ombinaçãolineardas respostasde adaex itação atuandoseparadamente,portanto,se

x

1

(t)

S.L.

−→

y

1

(t)

e

x

2

(t)

S.L.

−→

y

2

(t),

emque

x

i

éaex itação(entrada)e

y

i

éaresposta(saída),então,paratodo

x

1

e

x

2

,

αx

1

(t) + βx

2

(t)

S.L.

−→

αy

1

(t) + βy

2

(t).

Os sistemas invariantes no tempo, também onhe idos om sistemas om parâmetros onstantes,apresentamadi ionalmenteapropriedadede esta ional-idade,ouseja,

x(t)

−→

S.L.

y(t),

emque

x

i

éaex itação(entrada)e

y

i

éaresposta(saída),então,

x(t − τ )

−→

S.L.

y(t − τ ).

Exemplo6.24

Exemplosdesistemaslineares omparâmetros onstantes,sãosistemasregidosporequações diferen iaslineares om oe ientes onstantes,assim,oltro

RC

,mostradonaFigura6.10,é umsistemalinearinvariante,poisossinaisdeentradaesaídaobede emaequaçãodiferen ial linear

d

dt

y(t) +

1

RC

y(t) =

1

RC

x(t)

Figura6.1: Filtro

RC

integradorsimples.

⋄

6.1.1 Resposta de um Sistema Linear

Toda a abordagem realizada será fo ada em sistemas SISO (single-input, single-out-put),ouseja,úni aentrada,úni asaída.

Asaídadeumsistemapara

t ≥ 0

éoresultadodeduas ausasindependentes: a ondiçãoini ial do sistema (ouoestadodo sistema) para

t = 0

eaentrada

x(t)

para

t ≥ 0

. Se um sistema é linear, a saída deve ser a soma das suas omponentesresultantesdestaduas ausas. Parao ir uito

RC

daFigura6.10, aresposta

y(t)

édeterminada omosendo

y(t) =

v

C

(0)

| {z }

omponenteentradanula

+ Rx(t) +

1

C

Z

t

0

x(τ )dτ

|

{z

}

omponenteestadonulo

.

Fazendo

x(t) = 0

, a laroqueasaídaserá

y(t) = v

C

(0)

,logo,denimos

v

C

(0)

omosendoa omponentedeentradanuladaresposta

y(t)

.

SegundoLathi[1℄,quasetodosossistemasobservadosnapráti asetornam nãolinearesquandosinaisgrandesosu ientesãoapli adosaeles. Entretanto, épossívelaproximaramaioriadossinaisnãolinearesporsistemaslinearespara análisedepequenossinais.

DevidoapropriedadedosSistemasLineares,de omposição,podemos des r-everumaentradaqualquer

x(t)

pelasoma defunçõesmaissimples,daforma

x(t) = a

1

x

1

(t) + a

2

x

2

(t) + · · · + a

m

x

m

(t),

então,pela linearidade,aresposta

y(t)

édadapor

y(t) = a

1

y

1

(t) + a

2

y

2

(t) + · · · + a

m

y

m

(t),

emque

y

k

(t)

éarespostadeestadonuloaentrada

x

k

(t)

.

Por exemplo, onsidere uma entrada arbitrária

x(t)

, omo mostrada na Figura 6.2, em que aproximamos

x(t)

pela soma de pulsos retangulares de largura

∆t

e alturas variáveis. Quando fazemos

∆t → 0

, a aproximação é melhorada,ouseja,quandoospulsosretangularessetornamimpulsos,

δ

. Dessa forma, uma entrada arbitrária pode ser substituída pela soma ponderada de impulsos unitários. Portando, se soubermos a resposta do sistema a um im-pulso unitário,

h(t)

, podemos determinaimediatamente a respostadosistema auma entrada qualquer

x(t)

atravésdasoma dasrespostasdosistema a ada omponenteimpulsode

x(t)

.

Figura6.2: Representaçãodesinaisemtermosde omponentes dedegrau.

Utilizandoapropriedadedasuperposiçãoparadeterminararespostaso sis-temaaumaentradaarbitrária

x(t)

,ini ialmentedenimosumpulsoretangular

p(t)

dealturaunitáriaelargura

∆τ

,similaraFigura6.2. Logo,

x(t)

éasomade pulsosretangularesestreitos,assimumpulsoem

t = n∆t

possuialtura

x(n∆t)

, epodeserexpressopor

x(n∆t)p(t − n∆t)

,assim

x(t) = lim

∆t→0

X

t

x(n∆t)p(n∆t)

= lim

∆t→0

X

t

 x(n∆t)

∆t



p(t − n∆t)∆t

Quando

∆t → 0

, a altura desta faixa tende a

∞

, mas sua área permane e

x(n∆t)

,logo,estafaixaseaproximadoimpulso

x(n∆t)δ(t − n∆t)

para

∆t → 0

. Portanto,

x(t) = lim

∆t→0

X

t

x(n∆t)δ(t − n∆t)∆t.

Paradeterminararespostaparaesseimpulso

x(t)

, iremos onsideraraentrada eosparesdesaída orrespondentes[1℄,logo:

entrada

=⇒

saída

δ(t) =⇒ h(t)

δ(t − n∆τ ) =⇒ h(t − n∆τ )

[x(n∆τ )∆τ ] δ(t − n∆τ ) =⇒ [x(n∆τ )∆τ ] h(t − n∆τ )

lim

∆τ →0

X

t

[x(n∆τ )∆τ ] δ(t − n∆τ )

|

{z

}

x(t)

=⇒ lim

∆τ →0

X

t

[x(n∆τ )∆τ ] h(t − n∆τ )

|

{z

}

y(t)

.

Portanto,

y(t) = lim

∆t→0

X

t

x(n∆t)h(t − n∆t)∆t;

=

Z

∞

−∞

x(τ )h(t − τ )dτ.

Observe a resposta do sistema

y(t)

a uma entrada arbitrária

x(t)

em termos daresposta

h(t)

doimpulsounitário. Conhe endo

h(t)

podemosdeterminara resposta

y(t)

aqualquerentrada.

6.2 Integral de Convolução

Aintegralde onvolução,produtode onvoluçãoousimplesmente onvolução édenida omo

x

1

(t) ∗ x

2

(t) =

Z

∞

−∞

x

1

(τ )x

2

(t − τ )dτ,

(6.1)

eéumaoperaçãolargamenteutilizadanaanálisedesinais.

6.2.1 Propriedade da Integral de Convolução

•

Comutati a:

x

1

(t) ∗ x

2

(t) = x

2

(t) ∗ x

1

(t)

;

•

Distributiva:

x

1

(t) ∗ [x

2

(t) + x

3

(t)] = x

1

(t) ∗ x

2

(t) + x

1

(t) ∗ x

3

(t)

;

•

Asso iativa:

x

1

(t) ∗ [x

2

(t) ∗ x

3

(t)] = [x

1

(t) ∗ x

2

(t)] ∗ x

3

(t)

;

•

Deslo amento: Se

x

1

(t) ∗ x

2

(t) = c(t)

,então

x

1

(t) ∗ x

2

(t − T ) = x

1

(t − T ) ∗

x

2

(t) = c(t − T )

,e

x

1

(t − T

1

) ∗ x

2

(t − T

2

) = c(t − T

1

− T

2

)

; Exemplo6.25

Cal ule a onvolução de

x(t) = tu(t)

om

h(t) = u(t)

, ilustrado na Figura 6.3(a) e Figura 6.3(b). Solução: Paraavaliaraintegralde onvolução, geralmente utiliza-seo pro- edimentográ oparaauxiliarnadeterminaçãodosintervalosdeintegração,verFigura6.3. Assim,sabe-seque:

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

Z

∞

−∞

x(τ )h(t − τ )dτ,

omo

x(t) = tu(t)

e

h(t) = u(t)

,tem-se

x(τ ) = τ u(τ )

e

h(t − τ ) = u(t − τ );

verFigura6.3(a)eFigura6.3(d).Como

u(τ ) = 1

e

u(t − τ ) = 1

,logo,

y(t) =

Z

t

0

τ dτ ;

=

t

2

2

.

Observequepeladeniçãodossinais,

y(t) = 0

quando

t < 0

,assim,

y(t) =

t

2

2

u(t).

⋄

Exemplo6.26 Cal ulea onvoluçãode

h(t) = e

−

2t

_u(t)

omumaentrada

x(t) = e

−

t

_u(t)

,ilustradona Figura6.4.Solução: Sabe-seque:

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

Z

∞

−∞

Figura6.3: Convoluçãode

x(t) = tu(t)

om

h(t) = u(t)

. omo

x(t) = e

−

u(t)

e

h(t) = e

−

2t

_u(t)

,tem-se

x(τ ) = e

−

τ

_{u(τ )}

e

h(t − τ ) = e

−

2(t−τ )

_{u(t − τ ).}

Como

u(τ ) = 1

e

u(t − τ ) = 1

,logo,

y(t) =

Z

t

0

e

−

τ

_e

−

2(t−τ )

_{dτ ;}

= e

−

2t

Z

t

0

e

−

τ

_e

2τ

_{dτ ;}

= e

−

_2t

Z

t

0

e

τ

_{dτ ;}

= e

−

2t

_(e

t

_{− 1) = e}

−

t

_{− e}

−

2t

_.

Observequepeladeniçãodossinais,

y(t) = 0

quando

t < 0

,assim,

y(t) = e

−

t

_{− e}

−

2t

_u(t).

⋄

Exemplo6.27

Cal ulea onvolução deduasportas

Π

t

τ

e

Π

t

τ

,ilustradonaFigura 6.5. Solução: Paraavaliaraintegralde onvolução,utilizeopro edimentográ oparaauxiliarna determi-naçãodosintervalosdeintegração,verFigura6.5. Assim,sabe-seque:

y(t) = Π

 t

τ



∗ Π

 t

τ



=

Z

∞

−∞

Π

 t

′

τ



Π



t −

t

′

τ



dt

′

,

tem-se

Π

 t

′

τ



e

Π



t −

t

′

τ



;

Figura6.4: Convoluçãode

x(t) = e

−t

_u(t)

om

h(t) = e

−2t

_u(t)

.

verFigura6.5(d),logo,

y(t) = Π

 t

τ



∗ Π

 t

τ



=



































0,

t +

τ

₂

≤ −

τ

₂

Z

t+τ /2

−

τ /2

dt

′

= t + τ,

−

τ

2

≤ t +

τ

2

≤ −

τ

2

Z

τ /2

t−τ /2

dt

′

= t − τ,

−

τ

₂

≤ t −

τ

₂

≤ −

τ

₂

0,

t −

τ

2

≥

τ

2

.

Ouseja,

Figura6.5: Convoluçãodeduasportas

x(t) =

Q(

t

τ

)

e

h(t) =

Q(

t

τ

)

.

τ Λ

 t

τ



= Π

 t

τ



∗ Π

 t

τ



,

verFigura6.6.

⋄

Figura6.6: Convoluçãodeduasportas.

Observações:

•

Convolução omum Impulso:A onvoluçãodeumfunção omo im-pulsounitárioresultanaprópriafunção

x(t)

. Paraobservartalarma ão, onsidereadeniçãode onvoluçãodaEquação(6.1),

x(t) ∗ δ(t) =

Z

∞

−∞

x(τ )δ(t − τ )dτ,

omo

δ(t − τ )

éumimpulsolo alizadoem

t = τ

, ontudo,pelaintegração, ovalorde

τ

variade

−∞

a

+∞

,assim,peladeniçãodeimpulso,obtemos opróprio

x(t)

,portanto,

x(t) ∗ δ(t) = x(t).

6.3 Cara terísti as de Redes Lineares

Utilizandoosresultadosobtidos,observa-seque

f (t) = f (t) ∗ δ(t)

,deforma queumsinal

f (t)

arbitrárioéreproduzidoquando onvoluido omumimpulso unitário,i.e.,

f (t) =

Z

∞

−∞

f (τ )δ(t − τ )dτ.

Admitindo o onhe imento a resposta a um impulso apli ado no instante

τ

, denotadapor

h(t; τ )

eapli andooprin ípiodasuperposição,arespostaobtida nasaídadoltroquandoaex itação é

f (t)

,é:

r(t) = lim

∆τ →0

X

t

[f (n∆τ )∆τ ] h(t; n∆τ ) =

Z

∞

−∞

f (τ )h(t; τ )dτ.

No aso de sistemas invariantes no tempo, a resposta ao impulso é esta- ionária,demodoqueveri a-se

h(t; τ ) = h(t− τ )

, omoindi adonaFigura??. Neste aso,arespostaé

r(t) ==

Z

∞

−∞

Figura6.7: Respostaaoimpulsounitário.

obtida onvoluindo-searespostaaoimpulsounitário omex itação. Assim,um sistemalinearpodeser ara terizadosimplesmentee ompletamenteatravésda suafunçãodeponderação

h(t)

[2℄.

Figura6.8: Respostaaoimpulso-Sistemainvariantenotempo.

É possível trabalhar no domínio da frequên ia, analisando o espe tro dos sinais envolvidos. ATransformadade Fourierdarespostaaoimpulsounitário

h(t)

é onhe ia omo funçãodeTransferên iadosistema,

H(ω) ≡ F {h(t)}

. O espe trodosinaldesaída é:

r(t) = f (t) ∗ h(t)

←→ R(ω) = F (ω)H(ω).

T F

Figura6.9: Cara terizaçãodeumltrolinear.

Comoosistemamodi aoespe trodosinal deentrada,dandotratamento desigual às várias frequên ias (normalmente atenuando uma dada faixa om relação à outra), pode ser interpretado omo um pro esso de ltragem de tre hosdoespe tro. Apli andoumimpulsounitário omox itaçãoésu iente paraobter-setodaainformaçãopara ara terizaroltrolinear.

Exemplo6.28[2℄

Parao ir uito

RC

des rito anteriormente, afunção detransferên ia podeseravaliada fa ilmente,usandoumdivisordetensão(verFigura6.10):

H(ω) =

R(ω)

F (ω)

=

1/jωC

R + 1/jωC

=

1

1 + jωRC

Arespostaaoimpulsounitáriodosistemaéobtidasimplesmenteanti-transformandoafunção detransferên ia,daforma

h(t) =

1

RC

e

−

t/RC

_u(t)

Figura6.10: Filtro

RC

integradorsimples.

Paraoanálisedo omportamentodafunçãodetransferên ia(quepossivelmenteé om-plexa)usa-se

|H(ω)|

e

∠H(ω)

,amagnitudeeafaseda funçãodetransferên iadosistema. Parao ir uito

RC

,

|H(ω)| =

1

p1 + (ωRC)

2

e

∠H(ω) = − tan

−

1

_(ωRC)

Figura6.11: FunçãoTransferên iadeumltro

RC

.

Aatenuaçãodo ltronormalmenteéexpressaemde ibéis

20 log

10

|H(ω)|

. Para arede

RC

a imades rita,tem-se:

log |H(ω)| −

1

2

log

10

1 + (ωRC)

2



O omportamentoassintóti opodeseravaliadofa ilmente omsegue:



|H(ω)|

dB

≈ 0

ω ≪ 1/RC

|H(ω)|

dB

≈ −20 log

10

ω

1/RC

ω ≫ 1/RC

Aresposta desteltro a umpulsoretangular delargura

τ

éesboçado na Figura para

τ ≫ RC

e

τ ≪ RC

,respe tivamente.O omportamentodaredemudaemtornodafrequên ia

Figura6.12: DiagramadeBodeparao ir uito

RC

.

Figura6.13: Respostadeum ir uito

RC

aumpulsoretangulardelargura

τ

.

6.4 Transmissão Sem Distorção [2℄

Atransmissãodeumsinalatravésdeumsistemalinearpodeintroduzir sev-erasdistorçõesnosinais. Algumasredesdistor emmaisqueoutras,ne essita-se umamaneirade ompara-las. Ainformaçãotransportadapelosinalestá essen- ialmente na forma de onda, não importando ganhos/atenuaçãoe/ou atrasos queo orramnatransmissão[1℄.

Seosinaldesaída

r(t)

éumareproduçãoexatadaex itação

f (t)

,aresposta deveserdaforma

r(t) = kf (t − t

0

)

, omoilustradonaFigura6.14

Figura6.14: Transmissãosemdistorçãoemredeslineares.

detransferên iane essáriaparaqueosistemanãointroduzadistorçãopodeser en ontradafa ilmenteobservando-seosparesdetransformadas,

f (t)

←→ F (ω)

T F

r(t) = kf (t − t

0

)

T F

←→ kF (ω)e

−jωt

0

.

Lembrando da relação entre os dois espe tros, dada por

R(ω) = H(ω)F (ω)

, on lui-se,

H(ω) = ke

−jωt

0

.

Observandoo omportamentoda onstante

k

eda fasedafunção transfer-ên ia

H(ω)

omplexa, referente,porexemplo, aum abo, anal, ampli ador, irtuito,et ., tem-se:



|H(ω)| = k

|Θ(ω)| = −ωt

0

para

−∞ < ω < +∞

, ujos omportamentosen ontram-seesboçadosnaFigura6.15.

Figura6.15: FunçãoTransferên iapara umatransmissãosemdistorção.

Emtermospráti os,deve-sepro urarmanteromódulodafunçãode trans-ferên ia prati amente onstante dentro da faixade frequên iade interesse, si-multaneamentepro ura-semanterafasepropor ionalàfrequên ianestamesma faixa,porexemplo,oltrodaFigura 6.15podetransmitirsinais ujoespe tro está on entradonafaixa

|ω| ≤ ω

c

(ou

|ω − ω

0

| ≤ ω

c

)prati amentesem intro-duzirdistorção.

A frequên ia

ω

c

é hamadade frequên iade orte de redeeafaixade

0

até

f

c

Hz(naqualprati amentenãohádistorçãonosinalapli ado)temlargura

B = f

c

Hz e é referida omo Banda Passante do Filtro. Vário ritérios para avaliarabandapassantesãousados,asaber:

•

BandaPassantedeMeiaPotên ia(3dB);

•

BandaPassanteEquivalenteRetangular;

•

BandaPassanteEntre Zeros(Null-To-Null);

Equalização [2℄

Adistorçãolinear onsisteemdistorçõesnaamplitudee/ounafasedafunção detransferên iaepodeteori amentesereliminadapelousodeRedesde Equal-ização. Essasredes orrigemasdistorçõesnumadadafunçãodetransferên ia. Considerandoqueosinalétransmitidosobreum anal omdistorção

H

C

(ω)

, umltrolinear

H

EQ

(ω)

podeser olo adoem as atadeformaaelininar ( on-trolar) a distorção, da forma

H

C

(ω)H

EQ

(ω) = K

1

e

jωt

1

, em que

K

1

e

t

1

são onstantesmaisoumenosarbitrários.

Figura6.16: ProjetodeRedesdeEqualização.

Quase sempre não é possível obter equalizaçãoperfeita, porém frequente-mente são possíveis ex elentes aproximações práti as, de modo a reduzir as distorçõespresentesaníveistoleráveis.

Um equalizador bastante utilizado é o ltro transversal, dispositivo esse onstituído por uma linha de retardo omderivações, asquais sofrem ganhos ajustáveisparagerarasaída. Essesforamosprimeirosltrosdigitais(F.I.R). Um exemplode um ltrotransversal om três derivações éapresentado a seguir, em que

c

−1

,

c

0

e

c

+1

são os ganhos ajustáveis e

∆ = T

s

é o atraso introduzidoem adaestágio.

Figura6.17: FiltroTransversal om3Derivações.

Neste aso,asaída é

y(t) = c

1

x(t) + c

0

x(t − ∆) + c

−

1

x(t − 2∆)

eafunção transferên iaimplementadapeloltroé

H

EQ

(ω) = c

+1

e

jω∆

+ c

0

+ c

−

1

e

−jω∆

6.5 Filtros Lineares Passivos

Filtros Linearespodem serimplementados apenas omelementos passivos, tais omo apa itores,resistoreseindutores. Autilizaçãoadi ionaldeelementos ati vospermitema onstruçãodeltrosativos.

Existembasi amentequatrotiposdeltrosdeinteresse(verFigura6.18),a saber:

•

FiltrosPassa-baixa(LPF):Funçãotransferên ia:

H(ω) = kΠ

 ω

2ω

B



e

−jωt

0

.

•

FiltrosPassa-alta(HPF):

H(ω) = k



1 − Π

 ω

2ω

B



e

−jωt

0

_.

•

FiltrosPassa-faixa(BPF):

H(ω) = k



Π

 ω − ω

0

2ω

B



e

−jω

0

t

0

_{+ Π}

 ω + ω

0

2ω

B



e

−jω

0

t

0



e

−jωt

0

_.

•

FiltrosRejeita-faixa(BSF):

H(ω) = k



1 − Π

 ω − ω

0

2ω

B



+ Π

 ω + ω

0

2ω

B



e

−jωt

0

.

Osdoisltrosmaissimplesdeinteressesãoosintegradores(LPF),

H(ω) =

1/jω

,eosderivadores(HPF),

H(ω) = jω

. Demodogeral,osltrospassa-faixa são frequentemente referidos omo integradores, ara terizadosporpossuírem apenas pólos na função detransferên ia. Já osltros passa-altasão referidos omoderivadores, ara terizado-sepelapresençadeapenaszerosnafunçãode transferên ia.

Figura6.18: Filtrosideaisdostipos: (a)LPF,(b)HPF,( )BPF e(d)BSF.

Lista de Exer í io - Transmissão de Sinais através

de Redes Lineares

QuestõesreferentesaoCapítulo6.

Exer í io 6.1 Resolva asquestões dadas emsala de aula.

Exer í io 6.2 As linhas telefni as introduzem distorções e ne essitam o uso deequalizadores. Parasimulações, duaslinhasmetáli asapresentam ara terís-ti as de distorção de amplitude e de tempo de propagação de grupo (

D(ω) =

−dΘ(ω)/dω

). Observando os gabaritos Mostrados na Figura 6.20, na faixa

300 − 3400

Hz, on lua: Qualalinha demelhor qualidade? Explique.

Figura 6.19: Distorçãodeamplitudeede tempodepropagaçãode grupopara duaslinhastelefni as.

deum obstá ulo,existemdois aminhosde propagaçãodo sinal. Admitaqueas duas trajetórias são ara terizadas por atenuações

k

1

e

k

2

, respe tivamente, e porretardos no tempo

t

1

e

t

2

,respe tivamente. Obviamente, o aminho direto (1)apresentamenor atenuaçãoemenorretardoqueo aminhode reexão(2), i.e.,

k

2

<< k

1

< 1

e

t

2

> t

1

> 0

. Mostre que o modelo que ara teriza tal omportamento é aquele apresentado na gura abaixo. En ontre a função de transferên ia e demonstre que ela apresenta ondulações na magnitude

H(ω)

. En ontreovalordosparâmetros

k

,

α

e

T

naexpressão

H(ω)@ ∼

= k(1+α cos ωT )

ejustiqueashipótesesassumidas.

Figura6.20: Distorção deamplitudeedetempodepropagaçãodegrupopara duaslinhastelefni as.