MM - APOSTILA DE MODELAGEM MATEMÁTICA V.1 09 MAR

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(2)

SUMÁRIO

1. APRESENTAÇÃO 1

1.1. INTRODUÇÃO 1

1.2. MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS 1

1.3. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS: OBTENÇÃO DE MODELOS

MATEMÁTICOS DE SISTEMAS 1

1.4. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTEMA

REAL AO MODELO FÍSICO 2

1.5. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTEMA

REAL AO MODELO FÍSICO 2

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3

2.1. INTRODUÇÃO 3

2.2. OBJETIVO 4

2.3. O QUE É UMA TRANSFORMADA ? 4

2.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS 5

2.5. TRANSFORMADA DE LAPACE 5

2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES 6

2.6.1. FUNÇÃO EXPONENCIAL 6 2.6.2. FUNÇÃO DEGRAU 8 2.6.3. FUNÇÃO RAMPA 10 2.6.4. FUNÇÃO SENO 12 2.6.5. FUNÇÃO COSENO 14 2.6.6. TEOREMA DA TRANSLACÃO 16

2.6.7. FUNÇÃO PULSO OU GATE 19

2.6.8. FUNÇÃO IMPULSO 20

2.7. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 22

2.7.1. LINEARIDADE 22

2.7.2. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR

e

−αt 23

2.7.3. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn 24

2.7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS 25

2.7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS 26

2.8. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 27

2.9. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 27

2.10. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 27

2.10.1. F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS 30

2.10.2. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS 33

2.10.3. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS 38

2.11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO 42

(3)

3. MODELAGEM MATEMÁTICA 47

3.1. CONSIDERAÇOES GERAIS 47

3.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS 47

3.3. MODELAGEM MATEMÁTICA 50

3.4. CONTROLE CLÁSSICO 50

3.4.1. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 50

3.4.2. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 51

3.4.3. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 52

3.4.4. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA,

BIPRÓPRIA E IMPRÓPRIA 52

3.5. SISTEMAS ELÉTRICOS 53

3.5.1. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 53

3.5.2. EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS 54

3.5.3. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS 58

3.5.4. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DOS NÓS 61

3.6. SISTEMAS MECÂNICOS 63

3.6.1. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 63

3.6.2. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS 63

3.6.2.1. MASSA 63

3.6.2.2. MOLA 64

3.6.2.3. AMORTECEDOR 64

3.6.3. 2° LEI DE NEWTON 65

3.6.4. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 70

3.7. SISTEMAS HIDRÁULICOS 72

3.8. CONTROLE MODERNO 76

3.9. MODELAGEM POR VARIÁVEIS DE ESTADO 76

3.10. REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO DE ESTADOS QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO NÃO

ENVOLVE TERMOS EM DERIVADAS 76

3.11. REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO ENVOLVE TERMOS

EM DERIVADAS 78

3.12. ALGUMAS DEFINIÇÕES 81

3.13. CORRELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E EQUAÇÕES DE ESPAÇO DE

(4)

CAPÍTULO 1

1. APRESENTAÇÃO

1.1. INTRODUÇÃO

O objetivo da modelagem é determinar uma representação matematicamente tratável para um sistema físico. A essa representação damos o nome de modelo. Portanto, um modelo é uma idealização da realidade que retém suas principais característica e que é matematicamente tratá-vel.

A modelagem é uma etapa importante no projeto de sistemas de controle, posto que o êxito dessa tarefa dependerá do modelo criado para o sistema em questão.

A modelagem matemática de um sistema dinâmico é constituída por um conjunto de equa-ções diferenciais que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de uma forma aceitável.

1.2. MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS

Existem dois métodos básicos de modelagem:

1) Modelagem Teórica (ou Analítica) Utiliza os princípios da física e da química para obter as equações diferenciais que regem o processo a ser modelado.

2) Modelagem Experimental (ou Empírica) Usa a observação direta dos dados operacionais do processo para obter as equações diferenciais que o descrevem.

Geralmente, aplica-se uma sinal de entrada conhecido e mede-se a saída correspondente.

1.3. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS: OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS

Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico é gerado em duas etapas: 1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo comportamento se ajuste suficien-temente bem ao comportamento do sistema real.

Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída escolhidas. 2. Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações dinâmicas do modelo físico.

Para tanto, as leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e de saída.

Com o modelo matemático obtido analiticamente, pode-se estudar o comportamento di-nâmico do sistema, através da solução das equações diferenciais que o descrevem e projetar estra-tégias de controle para obter-se o comportamento desejado.

(5)

1.4. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTE-MA REAL AO MODELO FÍSICO

Um modelo físico representa um sistema físico imaginário que se assemelha ao sistema físi-co real em suas características mais importantes, mas que é mais simples (uma idealização) e, portanto, mais propício ao estudo.

A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração. Os seguintes tipos de aproximação são possíveis:

– Desprezar pequenos efeitos;

– Assumir que o ambiente em torno do sistema não seja afetado por ele; – Substituir características distribuídas por concentradas;

– Assumir relações lineares de causa-e-efeito entre as variáveis físicas; – Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo;

– Desprezar incertezas e ruídos.

1.5. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTE-MA REAL AO MODELO FÍSICO

Para obter as equações dinâmicas de um processo, os seguintes passos devem ser seguidos: 1. Definição das variáveis de entrada e de saída;

2. Escrever as relações sistêmica (relações de equilíbrio ou de compatibilidade inter-elementos);

3. Escrever as relações constitutivas para cada elemento (são puramente empíricas); e 4. Combinar as relações obtidas, obtendo as equações dinâmicas.

(6)

CAPÍTULO 2

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1. INTRODUÇÃO

A Transformada de Laplace é um método para resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada à Engenharia. Essa transformação reduz o problema de resolver a equação diferencial a um problema puramente algébrica.

Outra vantagem consiste no fato de que o método leva em conta as condições iniciais sem a necessidade de determinar em primeiro lugar a solução geral para dela então obter a solução par-ticular. Particularmente, em Engenharia Elétrica esse método é aplicado em:

• Circuitos Elétricos; • Conversão de Energia;

• Sistemas de Controle e Servomecanismos.

Algumas vantagens da aplicação da Transformada de Lapace em controle são:

a) Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho do sistema de controle sem a necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem.

b) Resolvendo a equação diferencial, obtém-se tanto a resposta transitória como a de regi-me permanente.

A Transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo, digamos f(t), numa outra função F(s) onde s=σ+jω é uma variável complexa. Em de terminadas condições, as funções f(t) e sua transformada F(s) estão relacionadas de forma biunívoca.

Figura 2.1 - Relação das Transformadas diretas e inversas Transformada Inversa

Transformada Direta

F(S) F(t)

(7)

O uso de Transformadas de Laplace nos permitirá agora aprofundar a análise das proprie-dades dos sistemas de controle. Encare a abordagem deste Capítulo como uma nova perspectiva, e não perca de vista um aspecto fundamental: muda a abordagem, mas o objeto de estudo se mantém!

2.2. OBJETIVO

Este não é um curso de Cálculo. Este Capítulo não tem a intenção de ensinar Transformadas de Laplace. Nos limitaremos a reunir aqui algumas definições e propriedades já conhecidas (e es-quecidas?) necessárias ao curso de controle.

2.3. O QUE É UMA TRANSFORMADA ?

Exemplo:

A multiplicação de dois números romanos, VI × XIV, com a resposta em número romano.

Procedimento:

Transformar estes números romanos em números arábicos: VI → 6; XIV → 14; Problema transformado: multiplicar 6 por 14 = 84;

Converter a solução do problema transformado para a solução do problema original: 84 → LXXXIV : Transformação Inversa.

Procedimento adotado:

Figura 2.2 – Procedimento adotado para se realizar uma transformada

Resolução Transformada Inversa Transformada Aplicação da PROBLEMA ORIGINAL VI x XIV PROBLEMA TRANSFORMADO 6 x 14 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ORIGINAL LXXXIV SOLUÇÃO DO PROBLEMA TRANSFORMADO 6 x 14

(8)

2.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS

Variáveis complexas: Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginária forem variáveis, teremos então o que se denomina variável complexa. Na Transformada de Laplace, utiliza-se anotação “s”como variável complexa. Ou seja:

s= σ + ωj

Onde σ é a parte real e ω é a parte imaginária.

Funções complexas: uma função complexa G(s) é uma função de “s”que se tem uma parte real e uma parte imaginária ou

X Y

G(s) G= +jG

Onde Gx e Gy são quantidades reais. O módulo de G(s) é G2x+G2y , e o argumento angular

θ de G(s) é tg−1₌(G / G )_X _Y _{. O ângulo é medido no sentido anti-horário a partir do sentido} positi-vo do eixo real. O complexo conjugado de G(s) é G(s) G= _x−jG_y.

2.5. TRANSFORMADA DE LAPACE

Inicialmente, apresentaremos a definição de Transformada de Laplace e em seguida, dare-mos alguns exemplos para ilustrar a dedução da Transformada de Laplace de várias funções co-mumente utilizadas.

Vamos definir:

f(t) → uma função do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0; S → uma variável complexa;

L → um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é para ser transformada pela integral de Laplace st

0 e dt ∞ −

∫

F(s) → Transformada de Laplace de f(t)

Então a Transformada de Laplace é de f(t) é definida por:

st st 0 0 L[f(t)] F(s)₌ ₌ ∞e dt f(t)− _⎡ _⎤₌ ∞f(t) e dt− ⎣ ⎦

∫

Anotações

(9)

2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES

2.6.1. FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial é uma das funções mais importante porque as exponenciais aparecem sempre na solução das equações diferenciais. A função exponencial é definida como:

t 0 f(t) A e−α ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ p / t 0 p / t 0 < ≥

Onde A e α são constantes.

Por definição: st 0 F(s)₌ L[f(t)] f(t) e dt₌

∫

∞ − onde: f(t) Ae = −αt Temos: t t st ( s)t 0 0 F(s)₌L[Ae−α] Ae₌

∫

∞ −α e dt − ₌ A

∫

∞e− α+ dt Artifício: u -(= α +s) t du -(= α +s) dt dt - 1 du ( s) = α + Então: u u u 0 0 0 du A A F(s) A e e du e ( s) ( s) ( s) ∞ ₋ ₋ ∞ ₋ ∞ = = = α + α + α +

∫

Mas: u -(= α +s) t Logo:

(

)

( s)t 0 0 A A A F(s) e e e ( s) ( s) ( s) ∞ − α+ −∞ − − = = − = α + α + α + A F(s) (s ) = + α Portanto: t f(t) A e₌ −α _F(s) A (s ) = + α

(10)

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções:

a) f(t) 3 e₌ −6t F(s)= b) f(t)= −2 e 3t F(s)= c) f(t) 2 e ₌ −3t F(s)= d) f(t) e ₌ −8t F(s)= e) f(t) 9 e = t F(s)= f) f(t) e ₌ −t F(s)=

02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções:

a) F(s) 3 (s 2) = + f(t) = b) F(s) 4 (s 3) − = + f(t) = c) F(s) 7 (s 5) − = − f(t) = d) F(s) 3 (s 5) = − f(t) = e) F(s) 1 (s 1) = − f(t) = f) F(s) 1 (s 1) − = + f(t) = Anotações

(11)

2.6.2. FUNÇÃO DEGRAU

A função degrau corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma determinada condição, ou variável, de um sistema, como a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica num capacitor, ou a vazão em uma tubulação, a ativação elétrica de um circuito, ou ainda o início da ação de uma força por exemplo. A função degrau é definida como:

)

s t 0 0 A A A F(s) e e e s s s ∞ − −∞ − − = = − = A F(s) s = Portanto: f(t) A = F(s) A s =

(12)

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) 3 = F(s)= b) f(t)= − 2 F(s)= c) f(t)= − 4 F(s)= d) f(t) 1 = F(s)= e) f(t) 9= F(s)= f) f(t)= − 1 F(s)=

02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções

a) F(s) 3 s = f(t) = b) F(s) 4 s − = f(t) = c) F(s) 7 s − = f(t) = d) F(s) 3 s − = f(t) = e) F(s) 1 s = f(t) = f) F(s) 1 s − = f(t) = Anotações

(13)

2.6.3. FUNÇÃO RAMPA

A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. Quando o tem-po tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. Na prática isto não ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. A função rampa é defini-da por: 0 f(t) A t ⎧ = ⎨ _⋅ ⎩ p / t 0 p / t 0 < ≥ Onde A é constante. Por definição: st 0 F(s)₌L[f(t)] f(t) e dt₌ ∞ −

∫

onde: f(t) A t = ⋅ Temos: st st 0 0 F(s)₌L[At] ₌ ∞A t e dt A− ₌ ∞t e dt A u v− ₌ ⎡ _{⋅ −} v du⎤₌ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

Artifício: u t = _dv₌_e-st du dt = ∴ dt=du _{v - e}1 -st s = Então: st st 0 v v u 0 du 1 1 F(s) A t e e dt s s ∞ ∞ − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥ = _⎢ ⋅ −_⎜ _⎟ − _⎜− _⎟ _⎥ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

s( ) s(0) st 0 1 1 1 F(s) A e 0 e e dt s s s ∞ − ∞ − − ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ = _⎢∞ ⋅ −_⎜ _⎟− ⋅ −_⎜ _⎟+ _⎜ _⎟ _⎥ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣

∫

⎦ ( ) ( ) s s 0 st 2 ₀ 2 2 2 2 1 1 1 1 A F(s) A e A e e A s s s s s ∞ _{− ∞} ₋ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = _⎢− _⎥ = _⎢_⎜− _{⎟ ⎜}− − _⎟_⎥= _⎢ _⎥= ⎣ ⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦ 2 A F(s) s = Portanto: f(t) A t= ⋅ F(s) A₂ s =

(14)

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) 3 t = ⋅ F(s)= b) f(t)= − ⋅ 2 t F(s)= b) f(t)= − ⋅ 4 t F(s)= d) f(t) 1 t= ⋅ F(s)= e) f(t) 9 t = ⋅ F(s)= f) f(t)= − t F(s)=

a) F(s) 3₂ s = f(t) = b) F(s) ₂4 s − = f(t) = c) F(s) ₂7 s − = f(t) = d) F(s) ₂3 s − = f(t) = e) F(s) 1₂ s = f(t) = f) F(s) ₂1 s − = f(t) = Anotações

(15)

2.6.4. FUNÇÃO SENO

Também muito importante, essa função de teste pode simular um sinal de natureza harmô-nica. Um exemplo bastante familiar é a tensão elétrica que existe em nossa residência. Ela é defi-nida como: 0 p / t 0 f(t) A sen( t) p / t 0 < ⎧ = ⎨ _ω _≥ ⎩

Onde: A e ω são constantes.

A Ö Amplitude da forma da onda. ω Ö Freqüência da forma da onda. Por definição: st 0 F(s)₌L[f(t)] f(t) e dt₌ ∞ −

∫

onde: f(t) A sen( t)= ⋅ ω Temos: st st 0 0

F(s)₌L[A sen( t)] _⋅ _ω ₌ ∞A sen( t) e dt A_⋅ _ω − ₌ ∞sen( t) e dt_ω − ₌

∫

Fórmula Euler: ejθ =cos θ +j senθ sen ej e j 2j

θ ₋ − θ

θ =

j

e− θ=cos θ - j sen θ cos ej e j 2 θ₊ − θ θ = Então: j t j t st (s j )t (s j )t 0 0 e e A F(s) A e dt e e dt 2j 2j ω − ω ∞ ⎛ ₋ ⎞ ₋ ∞ _{− − ω} _{− + ω} = ⎜_⎜ ⎟_⎟ = − = ⎝ ⎠

∫

(s j )t (s j )t (s j )t (s j )t 0 0 0 0 A A 1 1 F(s) e dt e dt e e 2j 2j (s j ) (s j ) ∞ _{− − ω} ∞ _{− + ω} _⎡ ₋ _{− − ω} ∞ _{− + ω} ∞_⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ = _⎢ + _⎥= − ω + ω ⎣

∫

⎦ ⎣ ⎦

(

0

)

(

0

)

A 1 1 F(s) e e e e 2j (s j ) (s j ) −∞ −∞ ⎡ − ⎤ = _⎢ − + − _⎥= − ω + ω ⎣ ⎦ 2 2 A 1 1 A (s j ) (s j ) A (s j s j ) F(s) 2j (s j ) (s j ) 2j (s j )(s j ) 2j s ⎡ ⎤ ⎡ + ω − − ω ⎤ ⎡ + ω − + ω ⎤ = _⎢ − _⎥= _⎢ _⎥= _⎢ _⎥= − ω + ω − ω + ω ⎣ + ω ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 A j j A F(s) 2j s 2j ω + ω ⎡ ⎤ = _⎢ _⎥= + ω ⎣ ⎦ 2j 2 2 2 2 A s s ⎡ ω ⎤₌ ω ⎢ ⎥ + ω + ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 A F(s) s ω = + ω Portanto: f(t) A sen( t)= ⋅ ω F(s) ₂A ₂ s ω = + ω

(16)

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) 3 sen(t) = ⋅ F(s)= b) f(t)= − ⋅2 sen(3t) F(s)= b) f(t)= − ⋅4 sen(7t) F(s)= d) f(t) sen(t)= F(s)= e) f(t) 4 sen(8t)= ⋅ F(s)= f) f(t) 3 4 sen(2t)= F(s)=

a) F(s) ₂3 s 5 = + f(t) = b) F(s) ₂4 s 6 − = + f(t) = c) F(s) ₂7 s 9 − = + f(t) = d) F(s) ₂ 3 s 25 − = + f(t) = e) F(s) ₂1 s 1 = + f(t) = f) F(s) ₂23 s 6 = + f(t) = Anotações

(17)

2.6.5. FUNÇÃO COSENO

Essa função de teste também pode simular um sinal de natureza harmônica. Ela é definida como: 0 p / t 0 f(t) A cos( t) p / t 0 < ⎧ = ⎨ _ω _≥ ⎩

Onde: A e ω são constantes.

(s j )t (s j )t (s j )t (s j )t 0 0 0 0 A A 1 1 F(s) e dt e dt e e 2 2 (s j ) (s j ) ∞ _{− − ω} ∞ _{− + ω} _⎡ ₋ _{− − ω} ∞ ₋ _{− + ω} ∞_⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ = _⎢ + _⎥= − ω + ω ⎣

∫

⎦ ⎣ ⎦

(

0

)

(

0

)

A 1 1 F(s) e e e e 2 (s j ) (s j ) −∞ −∞ ⎡ − − ⎤ = _⎢ − + − _⎥= − ω + ω ⎣ ⎦ (s j A 1 1 A (s j ) (s j ) A F(s) 2 (s j ) (s j ) 2 (s j )(s j ) 2 + ω ⎡ ⎤ ⎡ + ω + − ω ⎤ = _⎢ + _⎥= _⎢ _⎥= − ω + ω − ω + ω ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ s j + − ω 2 2 ) s ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ + ω ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 A 2s A F(s) 2 s 2 ⎡ ⎤ = _⎢ _⎥= + ω ⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 s As s s ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ + ω + ω ⎣ ⎦ 2 2 As F(s) s = + ω Portanto: f(t) A cos( t)= ⋅ ω F(s) ₂As ₂ s = + ω

(18)

Exercícios

01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) 3 cos(t) = ⋅ F(s)= b) f(t)= − ⋅2 cos(3t) F(s)= b) f(t)= − ⋅4 cos(7t) F(s)= d) f(t) cos(t)= F(s)= e) f(t) 4 cos(8t)= ⋅ F(s)= f) f(t) 3 4 cos(2t)= F(s)=

a) F(s) ₂3s s 5 = + f(t) = b) F(s) ₂4s s 6 − = + f(t) = c) F(s) ₂7s s 9 − = + f(t) = c) F(s) ₂ 3s s 25 − = + f(t) = d) F(s) ₂s s 1 = + f(t) = e) F(s) 2s₂ 3 s 6 = + f(t) = Anotações

(19)

2.6.6. TEOREMA DA TRANSLACÃO

Vamos obter a Transformada de Laplace da função transladada f(t− α) u(t− α , onde )

0

α ≥ . Essa função é zero para t< α. As funções f(t) u(t) e f(t− α) u(t− α são mostradas a ) seguir:

Por definição, a Transformada de Laplace de f(t− α) u(t− α é dada por: )

st

0

L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dt_α _{α =}

∫

∞ _α _α −

Substituindo a variável independente t por τ (letra grega Tal), em que τ = − αt , obtemos:

st s( )

0

L[f(t - )u(t - )] f(t - )u(t - ) e dt f( )u( ) e∞ − ∞ − τ+α d

−α

Esta ultima equação estabelece que a translação de uma função no tempo f(t) u(t) de α (onde α ≥0) corresponde à multiplicação da transformada F(s) por _e− αs _.

Portanto:

- s

(20)

Exemplo 01: Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo:

a)

Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por:

(

)

f(t) A u(t - ) - A u t -= × α × β

Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se:

s s s s A A A F(s) e e e e s −α s −β s ⎡ −α −β ⎤ = − = _⎣ − _⎦ b)

Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por:

(

)

A A A

f(t)= t u(t)⋅ − t u t⋅ − α = ⎡_⎣t u(t) t u(t⋅ − ⋅ − α =)⎤_⎦

α α α

Para utilizar diretamente a propriedade do deslocamento no tempoé necessário escrever a função no tempo, na forma: F(s) L[f(t - )u(t - )] e F(s)₌ _α _{α =} −αs _{, logo:}

A A

f(t)= _⎣⎡t u(t) (t⋅ − + α − α ⋅) u(t− α =)⎤_⎦ ⎡_⎣t u(t) (t⋅ − − α ⋅) u(t− α − α ⋅) u(t− α =)⎤_⎦

α α

A A A

f(t)= t u(t)⋅ − (t− α ⋅) u(t− α −) α ⋅u(t− α =)

α α α

Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se:

s s s s 2 2 2 2 A A A A 1 1 F(s) e e e e s s s s s s −α α −α ⎡ −α α −α ⎤ = − − = _⎢ − − _⎥= α α α α ⎣ ⎦

(

s s

)

s

(

)

2 2 A 1 A F(s) 1 e se 1 e 1 s s s −α −α −α ⎡ ⎤ _⎡ _⎤ = _⎢ − − α _⎥= _⎣ − − α _⎦ α⎣ ⎦ α

(21)

Exercícios:

01) Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo:

a)

(22)

2.6.7. FUNÇÃO PULSO OU GATE 0 p / t 0 u(t) A p / 0 t 0 p / t < ⎧ ⎪ =⎨ ≤ < α ⎪ _{> α} ⎩

Onde: A é uma constante.

Do teorema da translação temos:

f(t) A u(t) A u(t= ⋅ − ⋅ − α ) (função pulso no domínio do tempo)

Aplicando a Transformada de Laplace temos:

F(s)=L[f(t)] L[A u(t)] L[A u(t= ⋅ − ⋅ − α ) ]

A A - s F(s) - e s s α = F(s) A

(

1 - e- s

)

s α = Portanto: f(t) A A u(t= − ⋅ − α ) F(s) A

(

1 - e- s

)

s α = Anotações

(23)

2.6.8. FUNÇÃO IMPULSO

Considerando a seguinte função pulso com a área do pulso igual a 1:

Logo a função é dada por:

1 1 f(t) (t) u(t - A) A A ⎡ ⎤ = + − ⋅_⎢ _⎥ ⎣ ⎦

Se a largura do pulso for diminuída e a altura for aumentada, mantendo sempre unitária a área sobre o pulso, no limite, A→0 resulta num pulso de largura zero, amplitude infinita e área unitária.

Neste limite, o pulso é chamado de Impulso Unitário. Veja afigura a seguir:

t 0 0 p / t 0 1 (t) lim p / 0 t t t 0 p / t t Δ → < ⎧ ⎪⎪ δ ⎨ ≤ < Δ Δ ⎪ ⎪ > Δ ⎩

A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um intervalo infinitesimal de tempo, ou seja, ela atua por um pequeno intervalo de tempo e depois cessa a atuação. Esta função é também conhecida como função “delta de Dirac”.

Na função impulso unitário a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém a ação não é. Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito pequeno, e tende a zero, fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. Um bom exem-plo da aplicação de um impulso unitário é no choque entre duas partes mecânicas. A função impul-so unitário é definida como:

A 0 (t) lim f(t) → δ = ⎡_⎣ ⎤_⎦ A 0 1 1 (t) lim - u(t - A) A A → ⎡ ⎤ δ = _⎢ ⋅ _⎥ ⎣ ⎦

(24)

(

)

(

)

-As -As -As A 0 A 0 A 0 d _{1 - e} 1 e 1 _dA

L[ (t)] lim lim 1 - e lim

d As As As _(As) dA → → → ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ _⎡ _⎤ δ = ⎢ − ⎥= _⎢ _⎥= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ -As A 0 se L[ (t)] lim 1 s → δ = = Portanto: L[ (t)] 1δ =

A entrada impulsiva fornece energia ao sistema em um tempo infinitesimal.

(25)

2.7. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

A Transformada de Laplace (T.L.) possui várias propriedades gerais. Estas propriedades faci-litam a obtenção da Transformada de muitas funções.

2.7.1. LINEARIDADE

A Transformada de Laplace (T.L.) é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e g(t) cujas T.L existam e quaisquer constantes C1 e C2 temos:

1 2 1 2 1 2

L[C ×f(t) C+ ×g(t)] = L[C ×f(t)] L[C+ ×g(t)] = C ×L[f(t)] C+ ×L[g(t)]

Exemplo 01:

a) L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)]× ×

L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] L[2 sen(3t) ] L[-4 cos(2t)] 2 L[sen(3t) ] - 4 L[cos(2t)]× × = × + × = × ×

2 2 2 2 2 2 3 s 6 4s L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] 2 - 4 -s 3 s 2 s 9 s 4 × × = = + + + + 2 2 6 4s L[2 sen(3t) - 4 cos(2t)] -s 9 s 4 × × = + + Exercícios

01) Obter a T.L. das seguintes funções aplicando a propriedade de linearidade: a) L[2e-3t+ 5sen(t) - 7t]

(26)

2.7.2. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR

e

−αt

Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de f(t) será obtida como:

- t - t

0

L[e f(t)]α ₌ ∞e f(t)dt F(sα ₌ _{+ α})

∫

Isto é, a substituição de “s” por “(s-α)” na Transformada correspondente a multiplicação da função original por

e

−αs.

Exemplo 01: a) L[e−αt cos( t)]_ω

(

)

t 2 2 s L[e cos( t)] s −α _ω ₌ + α + α + ω b) L[e−αt sen( t)]ω

(

)

t 2 2 L[e sen( t)] s −α _ω ₌ ω + α + ω Exercícios

01) Obter a T. L. das seguintes funções: a) L[e sen(3t)] 2t

(27)

2.7.3. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn

Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de f(t) será obtida como:

n n n n d F(s) L[t f(t)] ( 1) ds = − Dica: f f ' g - g ' f₂ g= g Se f(t) e₌ −αt_{, então:} n - t n 1 n! L[t e ] (s ) α + = + α Onde : (n=1,2,3,...) Exemplo 01: 2 5t L[t e ]= Logo: n=2 e α =5, então: 2 5t 2 1 3 3 2! 2 1 2 L[t e ] (s 5) + (s 5) (s 5) × = = = − − − Exercícios

01) Obter a T. L. das seguintes funções: a) L[t sen(t)] 2

(28)

2.7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS

Se existe a Transformada de f(t) e de f’(t), então a T.L. de f’(t) será obtida como:

-st 0 L[f '(t)]=

∫

∞f '(t) e dt 0 L[f '(t)] uv= −

∫

∞v du Artifício: -st u e= _{du -se dt}₌ -st dv f '(t) dt = v=f(t) Então:

(

)

st st 0 ₀ L[f '(t)] e₌ − f(t)∞₋

∫

∞f(t) se dt₋ − 0 st 0 L[f '(t)] [e f( ) e f(0)] s₌ −∞ _{∞ −} ₊

∫

∞f(t)e dt− L[f '(t)]= −f(0) sF(s) sF(s) f(0)+ = − L[f '(t)] sF(s) f(0)= −

Similarmente para a derivada n-ésima de f(t):

n n n-1 n-2 n-2 n-1 n d [f(t)] L s F(s) - s f(0) - s f '(0) sf (0) - f (0) dt ⎡ ⎤ = + … + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos:

n n n d [f(t)] L s F(s) dt ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Anotações

(29)

2.7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS

Se existe a Transformada de f(t), então a T.L. da integral de f(t) será obtida como:

⎦ Anotações

(30)

2.8. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

O processo inverso de determinação da função de tempo f(t) a partir da Transformada de Laplace F(s) é chamado de Transformada Inversa de Laplace e a notação utilizada para designá-la é _{L . A Transformada Inversa de Laplace pode ser obtida a partir de F(s), com o auxilio da se-}−1

guinte integral de inversão:

c j 1 st c j 1 L [F(s)] f(t) F(s)e ds 2πj + ∞ − − + ∞ = =

∫

, para t > 0

onde “c”, abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s). Assim o caminho de integração é paralelo ao eixo jω e é deslocado do eixo de um valor de c. Esse caminho de integração fica à direita de todos os pontos singulares.

O cálculo da integral de inversão é, aparentemente, complicado. Na prática, raramente utili-zaremos essa integral para a obtenção de f(t). Existem métodos mais simples para encontrar f(t). Esses métodos são apresentados a seguir.

2.9. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Conhecendo-se a Transformada de Laplace de uma função, pode-se obter a função no tem-po que a originou aplicando-se as técnicas de transformação inversa. Em muitos casos, tem-pode-se usar diretamente as tabelas de Transformadas de Laplace. Quando não possível, deve-se aplicar as técnicas de decomposição, como:

• Integral de convolação; • Expansão em Frações Parciais.

No curso de Teoria de Controle, vamos utilizar o Método de Expansão em Frações Par-ciais que será apresentado a seguir.

2.10. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

Em problemas de analise de sistemas de controle, F(s), a Transformada de Laplace de f(t), apresenta-se freqüentemente do seguinte modo:

B(s) F(s)

A(s) =

onde A(s) e B(s) são polinômios em “s”. Na expansão de F(s)= B(s)/A(s) em frações parciais, é importante que a maior potência de “s” em A(s) seja maior do que a maior potência de

(31)

Se não for esse o caso, o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s) para resultar um polinômio em “s” mais um resto (uma relação de polinômio em “s” cujo numerador é de menor grau que o denominador). Ou seja:

B(s) A(s) R(s) Q(s)

Podemos escrever da seguinte forma: Q(s) A(s) R(s) B(s)+ =

Dividindo a expressão anterior por A(s), temos: Q(s) A(s) R(s) B(s) A(s)+ = ÷ Q(s) A(s) A(s) R(s) B(s) A(s) A(s) + = Logo: +R(s) B(s) Q(s) = A(s) A(s) =B(s)= +R(s) F(s) Q(s) A(s) _A(s)

Exemplo 01: Obter a Transformada Inversa de Laplace de:

a) F(s) B(s) s2 3s 3 A(s) s 1 + + = = + 2 s 2 3s 3 s 1 s + + + − s s 2 2s − + 3 -2s + - 2 1 Logo: F(s) s 2 1 s 1 = + + +

Aplicando a T.I.L. temos:

1 1 1 1 1 L [F(s)] L [s] L [2] L s 1 − ₌ − ₊ − ₊ − ⎡ ⎤ ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦ t dδ(t) f(t)₌ ₊2δ(t) e₊ −

(32)

Exercícios

01) Obter a Transformada Inversa de Laplace de:

a)

(

)(

)

3 2 B(s) s 5s 9s 7 F(s) A(s) s 1 s 2 + + + = = + +

Se a potência de “s” em A(s) é maior do que a maior potência de “s” em B(s) en-tão, F(s), Transformada de Laplace de f(t), pode ser separada em componentes:

1 2 n

F(s) F (s) F (s)= + + +F (s)

e se as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),..., Fn(s) são conhecidas de imediato, então:

1 1 1 1 1 2 n L [F(s)] L [F (s)] L [F (s)]− = − + − + +L [F (s)]− Logo: 1 2 n f(t) f (t) f (t)= + + +f (t)

onde f1(t), f2(t),..., fn(t) são as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),..., Fn(s), respectivamente.

Ao aplicar a técnica de expansão em frações parciais para achar a Transformada Inversa de Laplace de F(s)= B(s)/A(s), devem-se conhecer de antemão as raízes do polinômio do denomina-dor A(s). [Em outras palavras, este método não é aplicável enquanto o polinômio do denominador não for fatorado.]

A vantagem do método da expansão em frações parciais é que termos individuais de F(s), resultando da expansão na forma de frações parciais, são funções muito simples de “s”; portanto não necessitamos consultar uma tabela de Transformadas de Laplace se memorizarmos vários pares de Transformadas de Lapalce simples.

(33)

2.10.1. F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS

Consideremos a F(s) escrito na forma:

(

)(

) (

)

(

11

)(

22

) (

kk

)

₍

_{) (}

)

k 1 2 k k k 1 2 s -p b b B(s) _{s p} _{s p} _{s p} A(s) ₌ s p s p ⎡ ⎡ ⎤ + =⎢ + + + ⎢ ⎥ ₊ ₊ ⎢ ⎣ ⎦ _⎣

(

) (

)

(

) (

)

k k n k k k k n _{s p} b b s p s p b s p s p ₌₋ ⎤ + + ₊ + + + ₊ + ⎥ = ⎥⎦

Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de b . Assim o resí-_k duo é determinado por:

(

)

k k k s p B(s) b s p A(s) ₌₋ ⎡ ⎤ =_⎢ + _⎥ ⎣ ⎦

Note que, como f(t) é uma função real de tempo. Como:

k p t -1 k k k b L b e s p − ⎡ ⎤ = ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦

A função f(t) é obtido como:

1 2 n

p t p t p t

1 2 n

f(t) b e= − +b e− + +b e− , para t ≥0.

(34)

RESUMO:

(

11

) (

2 2

)

(

kk

)

(

n n

)

b b b b B(s) F(s) A(s) s p s p s p s p = = + + + + + + + + +

Onde: p ,p , ,p , ,p₁ ₂ … _k … _n são reais

Ö Determinação do coeficiente bk qualquer:

Multiplica-se todos os numeradores pelo denominador ao coeficiente genérico “(s+pk)” e faz –se s=-pk, obtendo-se:

(

)

k k k s p B(s) b s p A(s) ₌₋ ⎡ ⎤ =_⎢ + _⎥ ⎣ ⎦

1 S 1 S 1 S 1 s 3 s 3 (-1) 3 2 b s 1 2 s 1 s 2 ₌₋ s 2 ₌₋ (-1) 2 ₌₋ 1 ⎡ ₊ ⎤ _⎡ ₊ _⎤ _⎡ ₊ _⎤ =⎢ + ⎥ =_⎢ _⎥ =_⎢ _⎥ = = + + ⎣ + ⎦ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(

)(

) (

)

2 S 2 S 2 S 2 s 3 s 3 (-2) 3 1 b s 2 1 s 1 s 2 ₌₋ s 1 ₌₋ (-2) 1 ₌₋ -1 ⎡ + ⎤ ⎡ + ⎤ ⎡ + ⎤ =_⎢⎢ ₊ ₊ + _⎥⎥ =_⎣⎢ ₊ _⎦⎥ =⎢_⎣ ₊ ⎥_⎦ = = − ⎣ ⎦ Assim: -1 f(t) L= ⎡_⎣F(s)⎤_⎦ -1 2 -1 -1 2 -1 -1 f(t) L L L s 1 s 2 s 1 s 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥= _⎢ _⎥+ _⎢ _⎥= + + + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ -t 2t f(t) 2e₌ ₋e− _para_t_≥₀

(35)

Exercícios

01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções:

a) F(s) ₂ s 7 s 8s 15 + = + + b) F(s) ₂ s 3 s 9s 20 + = + +

(36)

2.10.2. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS

A metodologia, neste caso, é semelhante à situação com raízes reais e distintas. Se p1 e p2

são pólos complexos conjugados, então a seguinte expressão pode ser usada:

(

11

)(

2 2

) (

3 3

)

(

kk

)

(

n n

)

b s b b B(s) F(s) A(s) s p s p s p s p s p β + β = = + + + + + + + + + + (2.2)

Os valores de β1 e β2 determinados multiplicando-se ambos os lados da eq.(2.2) por

(

s p s p+ 1

)(

+ 2

)

e fazendo s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se:

(

)(

)

₍

_{) (}

)(

)

1 3 1 2 1 2 1 2 3 s -p b B(s) _{s p} _{s p} _{[ s} _] _{s p} _{s p} A(s) ₌ s p ⎡ ⎡ ₊ ₊ ⎤ _{= β + β +} ₊ ₊ ⎢ ⎢ ⎥ ₊ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣

(

k

) (

1

)(

2

)

k b _{s p} _{s p} s p + + + + +

(

) (

)(

)

1 n 1 2 n _{s p} b s p s p s p =− ⎤ + + ₊ + + ⎥ ⎥⎦

Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de do termo

1 2 ( sβ + β . Portanto: )

(

)(

)

1 1 1 2 s -p 1 2 s -p B(s) s s p s p A(s) = = ⎡ ⎤ β + β = + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦ (2.3)

Como p é uma grandeza complexa, ambos os lados da eq.(2.3) são grandezas complexas. ₁ Igualando as partes reais de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma equação. Da mesma for-ma, igualando as partes imaginarias de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma outra equação. Dessas duas equações é possível determinar β1 e β2. Os outros coeficientes b3,....,bk,....,bn serão

obtidos como no primeiro caso.

RESUMO: 3 1 2 k n 1 2 3 k n b s b b B(s) F(s) A(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) (s p ) β + β = = + + + + + + + + + +

Onde: p₁ =R₁ +jI₁ e p₂ =R₂+jI₂ são pólos conjugados complexos

Ö Determinação dos coeficientes “β1” e “β2”:

Multiplica-se todos os numeradores por “(s+p1) (s+p2)” e faz s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se:

1 1 1 2 s p 1 2 s p B(s) s (s p )(s p ) A(s) =− =− ⎡ ⎤ β + β = + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(37)

Para obter β1 e β2:

Exemplo 01: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:

a)

(

2

)

s 1 F(s) s s s 1 + = + +

A F(s) pode ser expandida da seguinte forma:

(

2

)

1 2 3 b s s 1 s 1 F(s) s 0 s s s 1 1 3j 1 3j 1 3j 1 3j s s s - s s -2 2 2 2 2 2 2 2 β + β + + = = = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

2

)

1 2 3 b s s 1 F(s) s 0 s s s 1 _s 1 3j _s 1_- 3j 2 2 2 2 β + β + = = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.4)

Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por s 1 3j s 1- 3j

2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e impõe 1 3j s -2 2 = obtendo: 1 1 1 2 s p 1 2 s p B(s) s (s p )(s p ) A(s) =− =− ⎡ ⎤ β + β = + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 3j 1 2 s -2 -2 s 1 s 1 3j s s 2 2 =− + β + β = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3j s -2 2 ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3j s 2 2 ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3j s -2 2 ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3j s -2 -2 =− ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 3j 1 2 s - ₁ _3j 2 2 s -2 -2 s 1 s s =− =− + ⎡ ⎤ β + β = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦ 1 2 1_- 3j ₁ 1_- 3j 2 2 2 2 1 3j -2 2 ₁ _3j ₁ _3j - -2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ − β + β = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _⎛ _⎞ _⎛ _⎞ ⎝ ⎠ _⎜₋ _⎟ _⎜₋ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(multiplica-se pelo conjugado)

1 1 2 1_- 3j 1 3j ₁ _3j _{3j 3} 2 2 2 2 1 3j _x ₄ ₄ ₄ ₄ 2 2 ₁ _3j ₁ _3j ₁ _3j - -2 2 2 2 4 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{− +} ₊ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − β − β + β = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3j 4 + 1 3j 2 2 3 4 = + +

(38)

Para obter b3: Logo: 1 2 1 1 3j 1 3j 2 2 2 2 − β + β − β = +

Igualando as partes reais e imaginarias de ambos os lados desta equação, respectivamente obtemos: 1 2 1 1 1 2 2 3j 3j 2 2 ⎧− β + β = ⎪⎪ ⎨ ⎪− β = + ⎪⎩

Resolvendo o sistema de equações, resulta:

1 1

β = −

2 0

β =

Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por s e faz s = 0, obtêm:

3 s 1 b s + = ₂ s (s + +s 1) 2 2 S 0 S 0 s 1 (0) 1 1 ₁ 1 s s 1 = (0) (0) 1 = ⎡ ⎤ ₌⎡ + ⎤ ₌⎡ + ⎤_{= =} ⎢ ⎥ ⎢_⎣ _{+ +} ⎥_⎦ ⎢ ₊ ₊ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 b = 1 Portanto:

(

2

)

2 s 1 s 1 F(s) s s s 1 s s s 1 + − = = + + + + +

A equação: _s2 _{+ +}_{s 1}_{pode ser reescrita da seguinte forma: (s+R)}2_+I2_{, onde R é a parte}

re-al e I é a parte imaginaria das raízes complexas. Ou seja:

2 2 2 1 3 s s 1 s 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + =_⎜ + _⎟ + ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ _⎝ _⎠ Logo:

(

2

)

2 2 2 s 1 s 1 s 1 F(s) s s s s 1 s s s 1 ₁ ₃ s 2 2 + − − = = + = + + + + + _⎛ _⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ _⎝ _⎠ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 _s 1 s ₁ ₂ ₁ 2 2 2 F(s) s s 1 3 1 3 1 3 s s s ⎛ ⎞ − + − + − ⎜_⎝ ⎟_⎠ = + = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ₊ ⎞ ₊_⎜ _⎟ ⎛ ₊ ⎞ ₊_⎜ _⎟ ⎛ ₊ ⎞ ₊_⎜ _⎟

(39)

A Transformada Inversa de Laplace F(s) é então dada por: -1 f(t) L= ⎡_⎣F(s)⎤_⎦ -1 -1 2 2 2 2 1 _{3 1} s 1 2 ₂ ₂ f(t) L F(s) L s 1 3 3 1 3 s s 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ₋ ₊ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ _⎝ _⎠ ⎥ = ⎡_⎣ ⎤_⎦= ⎢ + + ⎥ ⎢_⎛ _⎞ ⎛ ⎞ _⎛ _⎞ ⎛ ⎞ ⎥ + + + + ⎢⎜_⎝ _⎠⎟ ⎜_⎜ _⎟⎟ _⎝⎜ ⎟_⎠ _⎜⎜ _⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1_t 1_t 2 3 3 2 3 f(t) e cos t e sen t 1 2 3 2 − ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ = − ⎜_⎜ ⎟_⎟+ ⎜_⎜ ⎟_⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ para t≥0 DICA:

A ocorrência de raízes complexas gera a presença de termos oscilatórios na resposta dinâmica e a possibilidade de uma formatação genérica para a solução final, usando funções trigonométricas. Portanto, o modo mais usual é fazer a expansão na soma de uma função senoidal amortecida e uma função cossenoidal amortecida.

(

)

t 2 ₂ L e sen t s −α ω ⎡ ω =⎤ ⎣ ⎦ _{+ α + ω} t

₍

₎

2 ₂ s L e cos t s −α + α ⎡ ω =⎤ ⎣ ⎦ _{+ α + ω}

Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de:

a) F(s) ₂2s 12

s 2s 5

+ =

+ +

A função F(s) pode ser expandida em uma função senoidal amortecida e uma função cosse-noidal amortecida:

(

)(

_{) (}

_{) ( )}

2 2 2 2s 12 2s 12 2(s 1) 10 F(s) s 1 2j s 1 - 2j s 2s 5 s 1 2 + + + + = = = + + + + + + +

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2s 12 2(s 1) 10 (s 1) 2 F(s) 2 5 s 2s 5 s 1 2 s 1 2 s 1 2 s 1 2 + + + = = + = + + + + + + + + + + + -1 f(t) L= ⎡_⎣F(s)⎤_⎦

(

) ( )

(

) ( )

-1 -1 2 2 2 2 (s 1) 2 f(t) 2L 5L s 1 2 s 1 2 ⎡ ₊ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ₊ ₊ ⎥ ⎢ ₊ ₊ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

t t

(40)

Exercícios

a) F(s) ₂ s 7 (s 2s 5)(s 3) + = + + + b) F(s) ₂ s 2 s 3s 4 − = + +

(41)

2.10.3. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS

Considere a F(s) =B(s)/A(s), onde A(s) =0 tem raízes P1 de multiplicidade “r”. [As outras

raízes são supostas distintas]. A(s) pode ser escrita como:

(

) (

r

)(

) (

)

1 r 12 r 2 n

A(s)= s p+ s p+ ₊ s p+ ₊ s p+

A expansão em frações parciais de F(s) é:

r j r r 1 1 r r 1 r j 1 1 1 1 b b b b B(s) F(s) A(s) (s p ) (s p ) (s p ) (s p ) − − − − = = + + + + + + + + + + r 1 r 2 n r 1 r 2 n a a a s p+ ₊ s p+ ₊ s p + + + + + + + _(2.5)

Onde br, br-1,...., b1 são dados por:

1 r r 1 s p B(s) b (s p ) A(s) ₌₋ ⎡ ⎤ =_⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ 1 r r 1 1 s p d B(s) b (s p ) ds A(s) − =− ⎧ ⎡ ⎤⎫ =_⎨ _⎢ + _⎥_⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 1 j r r j _j 1 s p 1 d B(s) b (s p ) j! ds A(s) − =− ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎢ + ⎥⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 1 r 1 r 1 _{r 1} 1 s p 1 d B(s) b (s p ) (r 1)! ds A(s) − − =− ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎪ = ₋ ⎨ ⎢ + ⎥⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Estas relações para os valores de “b” podem ser obtidas: Multiplicando ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e fazer s tender a –p1, temos:

1 r r 1 s p B(s) b (s p ) A(s) ₌₋ ⎡ ⎤ =_⎢ + _⎥ ⎣ ⎦

Se multiplicarmos ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e então derivarmos com relação a

“s”, r r r 1 1 1 r _r r 1 _{r 1} 1 1 (s p ) (s p ) d B(s)_{(s p )} _b d _b d ds A(s) ds (s p ) − ds (s p )+ ⎡ ₊ ⎤ ⎡ ₊ ⎤ ⎡ ₊ ⎤₌ ₊ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ₊ ₊ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦ r r 1 1 1 r r 1 r 1 1 (s p ) (s p ) d d b a ds (s p ) + ds (s p )+ ⎡ + ⎤ ⎡ + ⎤ + + ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r 1 n (s p ) d a ds (s p ) ⎡ + ⎤ + + ⎢ ⎥ +

(42)

O primeiro termo do lado direito desta ultima equação é igual a zero. O segundo termo é igual a br-1. Cada um dos outros termos contém alguma potência de (s+p1) como fator, resultando

que quando “s” tende ao valor –p1, estes termos se anulam. Portanto,

1 1 r r r 1 _s _p 1 1 s p d B(s) d B(s) b lim (s p ) (s p ) ds A(s) ds A(s) − _→− =− ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎡ ⎤ = ⎨ ⎢ + ⎥⎬= ⎢ + ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

Da mesma forma, fazendosucessivas diferenciações com relação a “s” e fazendo “s”tender a –p1, obtemos equações para os br-j.

Note que a Transformada Inversa de Laplace de 1/(s+p1)n é dada por:

(

)

1 n 1 p t -1 n 1 1 t L e (n 1)! s p + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦

As constantes ar+1, ar+2, ...., na, na eq. (2.5) são determinadas a partir de:

k k k s p B(s) a (s p ) A(s) ₌₋ ⎡ ⎤ =_⎢ + _⎥ ⎣ ⎦

(

k r 1,r 2, ,n= + + …

)

A Transformada Inverda de Laplace de F(s) é então obtida como visto a seguir:

(

)

(

)

p t1 -1 r r 1 r-1 r 2 2 1 b b f(t) L [F(s)] t t b t b e r 1 ! r 2 ! − + + ⎡ ⎤ = =⎢ ₊ + ₊ + + − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r 1 r 2 n p t p t p t r 1 r 2 n a e− + a e− + a e− + + + + + + (t ≥ 0) RESUMO: r j r r 1 1 r r 1 r j 1 1 1 1 b b b b B(s) F(s) A(s) (s p ) (s p ) (s p ) (s p ) − − − − = = + + + + + + + + +

Onde: (s p )+ ₁ r são os pólos múltiplos

Ö Determinação do coeficiente br ,.., br-1 ,.., br-j ,.., b1: 1 r r 1 s p B(s) b (s p ) A(s) ₌₋ ⎡ ⎤ =_⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ 1 r r 1 1 s p d B(s) b (s p ) ds A(s) − =− ⎧ ⎡ ⎤⎫ =⎨ ⎢ + ⎥⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 1 j r r j j 1 s p 1 d B(s) b (s p ) j! ds A(s) − =− ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎪ = _⎨ _⎢ + _⎥_⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ r 1 r 1 1 d_{r 1} B(s) 1 b (s p ) (r 1)! ds A(s) − − ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎪ = ₋ ⎨ ⎢ + ⎥⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ Dica: n 1 at n 1 _{t e} 1 (n 1)! (s a) − − ₌ − +

(43)

Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) F(s) s2 2s 3₃ (s 1) + + = +

A expansão em frações parciais dessa F(s) envolve três termos:

3 2 1 3 2 1 b b b B(s) F(s) A(s) (s 1) (s 1) (s 1) = = + + + + +

Onde b3, b2 e b1 são determinados como vistos a seguir:

2 3 3 2 3 3 s 1 s 1 B(s) s 2s 3 b (s 1) (s 1) ( 1) 2( 1) 3 2 A(s) =− (s 1) ₌₋ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + + =_⎢ + _⎥ =⎢ + ⎥ = − + − + = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 3 3 2 ₃ s 1 s 1 d B(s) d s 2s 3 b (s 1) (s 1) ds A(s) ₌₋ ds (s 1) ₌₋ ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ + + ⎪ =⎨ ⎢ + ⎥⎬ =⎨ ⎢ ₊ + ⎥⎬ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎪⎩ ⎣ ⎦⎪⎭ 2 2 s 1 s 1 d b s 2s 3 2s 2 2(-1) 2 0 ds =− =− ⎧ _⎡ _⎤⎫ =_⎩⎨ _⎣ + + _⎦⎬_⎭ =⎡⎣ + ⎦⎤ = + = 3 1 2 2 3 3 1 3 1 2 3 s 1 s 1 1 d B(s) 1 d s 2s 3 b (s 1) (s 1) (3 1)! ds A(s) (2)! ds (s 1) − − =− =− ⎧ ⎫ ⎧ _⎡ _⎤⎫ ⎡ ₊ ₊ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ₋ ⎨ ⎢ + ⎥⎬ = ⎨ ⎢ ₊ + ⎥⎬ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎣ ⎦⎭ 1 _s ₁ s 1 1 d 1 2 b 2s 2 2 1 2 ds 2 =− 2 =− ⎧ ⎫ = ⎨_⎩ ⎡⎣ + ⎤⎦⎬_⎭ = ⎡ ⎤⎣ ⎦ = = Portanto obtemos: 1 f(t) L₌ − _⎡F(s)_⎤ ⎣ ⎦ 1 1 1 3 2 1 2 0 1 f(t) L L L (s 1) (s 1) (s 1) − ⎡ ⎤ − ⎡ ⎤ − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥= + + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 t t f(t) t e₌ − ₊e− ₌ 2 t f(t) (t₌ ₊1)e− _para_t_≥₀

(44)

Exercícios

a) F(s) (s3 2s 5)₄ (s 3) + + = + b) 2 4 (s 3s 2) F(s) (s 7) (s 1) + + = + +

(45)

2.11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO

Nesta seção vamos abordar o uso do método da Transformada de Laplace na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo.

O método da transformada de Laplace conduz à solução completa (solução complementar e solução específica) de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. Os métodos clássicos para a determinação da solução completa de equações diferenciais requerem o cálculo de constan-tes de integração a partir das condições iniciais. No caso do método da Transformada de Laplace, entretanto, esse requisito não é necessário porque as condições iniciais estão incluídas automati-camente na transformada de Laplace da equação diferencial.

Se todas as condições iniciais forem nulas, então a transformada de Laplace da equação di-ferencial será obtida simplesmente substituindo d/dt por s, d2_/dt2_{por s}2_{e assim por diante.}

Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelo método da Trans-formada Laplace, estão envolvidas duas etapas.

1. Aplicar a transformada de Laplace a cada termo de uma dada equação diferencial, conver-ter a equação diferencial em uma equação algébrica em “s” e obconver-ter a expressão da Transformada de Laplace da variável dependente, reorganizando a equação algébrica assim obtida.

2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela Transformada Inversa de Laplace da variável dependente.

Na discussão a seguir, utilizaremos dois exemplos para ilustrar a solução de equações dife-renciais lineares invariantes no tempo, por meio do método da Transformada de Laplace.

Exemplo 01: Encontre a solução x(t) da equação diferencial:

x 3x 2x 0+ + = , x(0) a= , x(0) b=

Onde a e b são constantes.

Escrevendo a Transformada de Laplace de x(t) como X(s) ou L[x(t)] X(s)=

Obtemos:

L[x(t)] sX(s) x(0)= −

= 2 − −

L[x(t)] s X(s) sx(0) x(0)

E, assim, a equação diferencial dada torna-se:

2

s X(s) sx(0) x(0) 3 sX(s) x(0) 2X(s) 0

⎡ ₋ ₋ ⎤₊ _⎡_⎣ ₋ _⎤_⎦₊ ₌

⎣ ⎦

Substituindo as condições iniciais dadas nessa última equação, obtemos:

2

s X(s) as b 3 sX(s) a 2X(s) 0

⎡ − − ⎤+ ⎡_⎣ − ⎤_⎦+ =

(46)

Ou

2

s 3s 2 X(s) as b 3a

⎡ + + ⎤ = + + +

⎣ ⎦

Resolvendo em relação a X(s), temos:

2 as b 3a as b 3a 2a b a b X(s) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2) s 3s 2 + + + + + + = = = − + + + + + +

A Transformada Inversa de Laplace de X(s) resulta em:

1 1 2a b 1 a b x(t) L X(s) L L (s 1) (s 2) − − ⎡ + ⎤ − ⎡ + ⎤ = ⎡_⎣ ⎤_⎦= _⎢ _⎥− _⎢ _⎥ + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ t 2t

x(t) (2a b)e₌ ₊ − ₋(a b)e₊ − _{, para t ≥ 0}

Que é a solução da equação diferencial dada. Note que as condições iniciais a e b aparecem na solução. Assim, x(t) não tem constantes indeterminadas.

Exemplo 02: Encontre a solução da equação diferencial:

x 2x 5x 3+ + = , x(0) 0= , x(0) 0=

Observando-se que L[3] 3 / s= , x(0) 0= , x(0) 0= , a transformada de Laplace da equação diferencial torna-se:

2 3

s X(s) 2sX(s) 5X(s) s

+ + =

Resolvendo para X(s), encontramos:

2 2 3 3 1 3 s 2 X(s) 5 s 5 s(s 2s 5) s 2s 5 + = = − + + + + 2 2 2 2 3 1 3 2 3 s 1 X(s) 5 s 10(s 1) 2 5(s 1) 2 + = − − + + + +

Conseqüentemente, a Transformada Inversa de Laplace torna-se:

1 x(t) L₌ − _⎡X(s)_⎤ ⎣ ⎦ 1 1 1 2 2 2 2 3 1 3 2 3 s 1 x(t) L L L 5 s 10 (s 1) 2 5 (s 1) 2 − ⎡ ⎤ − ⎡ ⎤ − ⎡ + ⎤ = _{⎢ ⎥}− _⎢ _⎥− _⎢ _⎥ + + + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ t t 3 3 3 x(t) e sen(2t) e cos(2t) 5 10 5 − − = − − , para t ≥ 0

(47)

Exercícios

01) Qual é a solução das seguintes equações diferenciais ? a) 2x 7x 3x 0+ + = , x(0) 3= , x(0) 0=

(48)

2.12. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI)

O teorema do valor inicial (TVI) permite que se descubra o valor inicial f(0 )+ do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor inicial estabelece que:

t 0 s

f(0 ) lim f(t) lim s F(s)

→ + →∞

+ = =

2.13. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)

O teorema do valor final (TVF) permite que se descubra o valor final f( )∞ do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor final estabelece que:

t s 0

f( ) lim f(t) lim s F(s)

→∞ →

∞ = =

Restrições de aplicação :

: Os pólos de F(s) B(s) / A(s)= , após cancelamento dos termos comuns, têm que estar no semi-plano esquerdo (SPE);

: Só é permitido um único pólo em s=0 (é de esperar f( )∞ = cte como na função degrau); : O valor de f( )∞ é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo jω , pois a f(t) conterá funções de tempo oscilante.

: O valor de f( )∞ é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo no semi-plano esquerdo (SPD), pois a f(t) conterá funções de tempo crescentes exponencialmente.

: Este teorema não se aplica quando f(t) for uma função senoidal sen(ωt), pois s F(s) tem pólos em s= ± jω e o

tlim f(t)→∞ não existe.

Exemplos: Encontre valor inicial f(0 )+ o valor final f( )∞ dos sinais abaixo: a) 2 12(s 1) F(s) s(s 1) + = + Valor inicial: 2 s 12(s 1) f(0 ) lim s 0 s(s 1) →∞ + + = = + Valor final:

(49)

b) 4s 5 F(s) 2s 1 + = + Valor inicial:

Como a ordem dos dois polinômios numerador e denominador são iguais efetua-se a divisão polinomial: 4s 5 3 F(s) 2 2 Y(s) 2s 1 2s 1 + = = + = +

+ + e aplica-se o teorema do valor inicial a Y(s):

s s

3

f(0 ) lim sY(s) lim s 1.5

2s 1

→∞ →∞

+ = ⎡_⎣ ⎤_⎦= =

+

Valor final:

Podemos aplicar o teorema do valor final diretamente a F(s):

2 s 0 s 0 4s 5s f( ) lim s F(s) lim s 0 2s 1 → → ⎡ + ⎤ ∞ = ⎡⎣ ⎤⎦= ⎢_⎢ ₊ ⎥_⎥= ⎣ ⎦

(50)

CAPÍTULO 3

3. MODELAGEM MATEMÁTICA

3.1. CONSIDERAÇOES GERAIS

Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e efeito de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. Modelos físicos as-semelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora representativos das características mais importantes. Os modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos sistemas por meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças).

Pode-se prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico ou matemático. Por exemplo, seja o sistema dinâmico mostrado na Figura 3.1, composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este sistema, que se desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A equação mate-mática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da massa e da

ex-tremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na figura.

0 0 i 0 i

mx +b(x −x ) k(x+ −x ) 0=

Figura 3.1 - Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a sus-pensão de um veículo.

3.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS

O diagrama mostrado Figura 3.2 ilustra os diferentes tipos de sistemas e os modelos mate-máticos utilizados na sua representação. Sistemas dinâmicos estocásticos possuem um comporta-mento imprevisível, e portanto não podem ser modelados. Um ruído é um exemplo de uma dinâ-mica estocástica. Sistemas determinísticos, ao contrário, possuem uma dinâdinâ-mica previsível que pode ser modelada matematicamente. Se o sistema for determinístico, ele pode ser modelado por parâmetros concentrados ou distribuídos. Sistema a parâmetros concentrados significa que, dado as condições do sistema num instante, é possível prever a sua condição em qualquer instante. Já com parâmetros distribuídos, o estado é uma função de outros parâmetros. Um exemplo de um sistema com parâmetros concentrados é o sistema massa-mola-amortecedor mostrado na Figura

(51)

de temperatura numa placa aquecida, por sua vez, é um sistema com parâmetros distribuídos, uma vez que a temperatura em cada ponto depende da posição do ponto e do tempo. Sistemas a parâmetros distribuídos são governados por equações diferenciais parciais (∂f/∂x). Quando o sis-tema possuir parâmetros concentrados, ele poderá ser modelado por funções contínuas ou discre-tas no tempo. Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apenas em determinados ins-tantes de tempo. Eles podem, eventualmente, ser modelados por funções contínuas. A propriedade discreta pode tanto estar no próprio sistema quanto na forma de se medir o sistema. Se a medição for discreta, a intervalos regulares no tempo, este sistema é considerado discreto. Exemplos de sistema discretos são: o número de habitantes contaminados a cada ano pelo vírus da gripe, a temperatura máxima do dia observada durante um ano num dado local, etc. Se um sistema dinâ-mico contínuo for simulado num computador, ele passa a ser discreto, uma vez que é impossível obter o valor do estado a cada instante de tempo, mas somente nos pontos calculados pelo com-putador. Na prática, porém, considera-se que o cálculo efetuado pelo computador é preciso o sufi-ciente para que o sistema possa ser admitido como contínuo.