Hamiltonianaspseudo-hermitianaseadeformaçãojordanianadeSL(2)

Hamiltonianas pseudo-hermitianas e a deforma¸c˜

ao

jordaniana de sl (2)

P. G. Castro

Departamento de Matem´atica – UFJF

Baseado em trabalho conjunto com

Ricardo Kullock Francesco Toppan

J. Math. Phys. 52, 062105 (2011), arXiv:1104.3852 [hep-th]

´

Algebras de Hopf

Uma bi´algebra com ant´ıpoda (coinversa): um espa¸co vetorial H sobre um corpo k estruturas µ : H ⊗ H → H e η : k → H. coestruturas ∆ : H → H ⊗ H e ε : H → k

ant´ıpoda S : H → H que ´e a inversa do mapa identidade com respeito `a opera¸c˜ao de convolu¸c˜ao

´

Algebras de Hopf

sujeitos `a comutatividade do diagrama

H ⊗ H S⊗id //H ⊗ H µ ##G G G G G G G G G H ∆_xxxx;;x x x x x  _// ∆FFF_##F F F F F F k η //H. H ⊗ H id ⊗S //H ⊗ H µ ;;w w w w w w w w w

Drinfel’d Twist

Seja H cocomutativa e tome um elemento F ∈ H ⊗ H que seja invert´ıvel e um 2-cociclo, i.e.,

(F ⊗ 1)(∆ ⊗ id )F = (1 ⊗ F )(id ⊗ ∆)F .

Nota¸c˜ao: F = fα⊗ fα e F−1 = ¯fα⊗ ¯fα, com α um multi-´ındice.

Drinfel’d Twist

Definindo (com χ = fαS (fα) ∈ H)

∆F(a) = F ∆(a)F−1 SF(a) = χS (a)χ−1,

(H, µ, η, ∆F, ε, SF) ´e uma ´algebra de Hopf triangular com matriz-R universal dada por R = F21F−1. Chamamos HF.

´

Algebra Universal Envelopante

Tome uma ´algebra de Lie g (com geradores τi). Sua ´algebra universal

envelopante

U (g) = T (g)/I , com T (g) =L

n≥0g⊗n a ´algebra tensorial de g e I o ideal gerado pelos

elementos da forma (x ⊗ y − y ⊗ x − [x , y ]), ´e uma ´algebra de Hopf com

∆(τi) = τi⊗ 1 + 1 ⊗ τi

ε(τi) = 0

Drinfel’d Twist da ´

Algebra Universal Envelopante

U (g) pode ser deformada em UF(g).

Pode-se perguntar qual ´e o subespa¸co linear gF ⊂ UF(g), an´alogo a g⊂ U (g).

Condi¸c˜oes dos geradores de gF: {τF

i } geram gF

deforma¸c˜ao m´ınima da regra de Leibniz: ∆F(τ_iF) = τ_iF⊗ 1 + f_ij⊗ τF j

sob a¸c˜ao adjunta deformada [τ_iF, τ_jF]F = (τ_iF)1τjFSF((τiF)2),

as constantes de estrutura de g s˜ao reproduzidas.1

1

nota¸c˜ao de Sweedler

Drinfel’d Twist da ´

Algebra Universal Envelopante

Tome como geradores deformados

τiF = ¯fα(τi)¯fα,

com coproduto

A ´

algebra de Lie dinˆ

amica

Iniciamos com a ´algebra de Heisenberg hd = {xi, pi, ~} satisfazendo

[xi, pj] = i ~δij, [~, xi] = [~, pi] = 0 e introduzimos os elementos H = 1 2~(pipi) , K = 1 2~(xixi) , D = 1 4~(xipi + pixi) .

Elementos Primitivos vs. Compostos

Estados de duas part´ıculas |ψ1i ⊗ |ψ2i:

∆(~P2_{) = ~P}2_{⊗ 1 + 1 ⊗ ~P}2_{, (~P}2

tot= ~P12+ ~P22)

∆(~L2_{) = ~L}2_{⊗ 1 + 2~L ⊗ ~L + 1 ⊗ ~L}2_{, (~L}2

tot = ~L21+ 2~L1· ~L2+ ~L22)

A ´

algebra de Lie dinˆ

amica

Os elementos H, K , D s˜ao declarados elementos primitivos da ´algebra de Lie aumentada

Gd = {~, xi, pi, H, K , D}, i = 1, ..., d .

A ´

algebra de Lie dinˆ

amica

As rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao n˜ao triviais de Gd s˜ao:

[xi, pj] = i ~δij, [D, H] = iH, [D, K ] = −iK , [K , H] = 2iD, [xi, H] = ipi, [xi, D] = i 2xi, [pi, K ] = −ixi, [pi, D] = − i 2pi.

A ´

algebra de Lie dinˆ

amica

Como sl (2) ´e uma sub´algebra de Gd, U (Gd) pode ser deformada em

UF(Gd) pelo twist jordaniano

F = exp(iD ⊗ σ),

onde σ = ln(1 + ξH) e ξ ∈ R+.

A ´

algebra de Lie dinˆ

amica

e a deforma¸c˜ao (no formalismo h´ıbrido) produz a n˜ao comutatividade de Snyder: [x_iF, x_jF] = −i ξ 2(x F i p F j − x F j p F i ) [x_iF, pF_j ] = i ~δij + i ξ 2p F i pjF

O oscilador harmˆ

onico

Como vimos, Gd ´e a ´algebra de Lie dinˆamica para o oscilador harmˆonico,

cuja hamiltoniana ´e dada por H = H + K .

Portanto, podemos escrever sua deforma¸c˜ao como

HF = HF + KF = He−σ+ Keσ.

Vˆe-se que HF n˜ao ´e hermitiano.

Operadores η-pseudo-hermitianos

Temos um espa¸co de Hilbert H (dotado de produto interno h·, ·i) com uma hamiltoniana H que n˜ao ´e hermitiana.

Por´em

HF †= ηHFη−1, onde

Operadores η-pseudo-hermitianos

O tratamento para este tipo de hamiltoniana ´e definir um novo espa¸co de Hilbert ˜H dotado de produto interno hh·, ·ii sob o qual HF seja

autoadjunta.

O novo produto interno se relaciona ao original por

hh·, ·ii = h·, η·i.

De fato, sob hh·, ·ii HF torna-se autoadjunta:

hhψ, HFφii = hψ, eσ_HF_φi

= heσHFe−σeσψ, φi = hHFψ, eσφi = hhHFψ, φii.

Operadores η-pseudo-hermitianos

Note que

H e ˜H, como espa¸cos vetoriais, s˜ao o mesmo. ˜

H ´e um espa¸co de Sobolev.

Resta mostrar que o espectro de H ´e real. Isto acontece porque a raiz quadrada de η, ρ tal que ρ2 _{= η, ´e uma transforma¸c˜ao unit´aria ρ : ˜H → H.}

Prova: Para ρ = e12σ, usando a defini¸c˜ao de hh·, ·ii, encontramos que

Operadores η-pseudo-hermitianos

Por outro lado, denotando por ‡ a transforma¸c˜ao adjunta entre espa¸cos vetoriais (T : W → V ; T‡: V∗ → W∗_{), temos que}

hh ˜ψ, ρ−1φii = hρ−1‡ψ, φi.˜

Portanto ρ−1‡= ρ, de modo que ρ ´e unit´aria se encarada como transforma¸c˜ao ρ : ˜H → H.

Assim, podemos mapear as observ´aveis em ˜H de volta para H, onde o produto interno ´e o usual:

HF 7→ HF_ρ = ρHFρ−1.

Operadores η-pseudo-hermitianos

A nova hamiltoniana ´e dada por

HF_ρ =  1 −ξ 2 4  HF + KF + i ξD,

que ´e manifestamente hermitiana pois KF † = KF + 2i ξD.

Assim, HF relaciona-se unitariamente a um operador hermitiano e

portanto tem espectro real. A transforma¸c˜ao ρ ´e chamada pseudocanˆonica e os sistemas descritos por HF em ˜H e HF_ρ em H s˜ao fisicamente

Conclus˜

oes

Pode-se aplicar a deforma¸c˜ao jordaniana `a ´algebra de Lie dinˆamica do oscilador harmˆonico, que cont´em como sub´algebras a ´algebra de Heisenberg e a ´algebra sl (2)

Esta deforma¸c˜ao induz uma n˜ao comutatividade do tipo Snyder A hamiltoniana deformada n˜ao ´e hermitiana, mas

η-pseudo-hermitiana, i.e. autoadjunta sob um produto interno

modificado, podendo ser mapeada numa hamiltoniana hermitiana que possui o mesmo espectro