PROCEDIMENTO PARA A PROPAGAÇÃO DE ERROS Neste texto mostraremos como fazer as seguintes propagação de erros :
1 - Propagação de erro do diâmetro uma esfera de aço para seu volume.
1 – Propagação de erro do diâmetro e comprimento de um cilindro reto de alumínio para seu volume.
2 – Propagação de erro da massa e do volume de uma esfera de aço e de um cilindro reto de alumínio para sua massa específica (densidade).
VOLUME DA ESFERA: Escrevendo o volume 𝑉𝐸 de uma esfera de raio 𝑅 em termos do seu diâmetro ∅: Relação entre raio e diâmetro: 𝑅 = ∅/2.
𝑉𝐸=4 3𝜋𝑅3 → 𝑉𝐸= 4 3𝜋 ( ∅ 2) 3 → 𝑉𝐸= 4 24𝜋(∅)3 → 𝑉𝐸= 1 6𝜋∅3.
VOLUME DO CILINDRO: Escrevendo o volume 𝑉𝐶 de um cilindro reto de raio 𝑅 e comprimento ℎ em termos do seu diâmetro ∅ e do seu comprimento ℎ:
𝑉𝐶 = 𝜋𝑅2ℎ → 𝑉 𝐶 = 𝜋 ( ∅ 2) 2 ℎ → 𝑉𝐶 =1 4𝜋(∅)2ℎ → 𝑉𝐶 = 1 4𝜋∅2ℎ.
CÁLCULO DOS ERROS NAS MEDIDAS DA ESFERA: Para as medidas de diâmetro ∅ da esfera, podemos determinar os erros nessas medidas realizando uma serie de medições, calculando o desvio padrão desse conjunto de medições (desvio padrão amostral) e, finalmente, dividindo o desvio padrão amostral pela raiz quadrada do números de medidas, 𝑛.
Esse erro é chamado de erro padrão da média e é indicado por 𝜀:
𝜀 = 𝑠
√𝑛 (1) Para a esfera de aço grande temos:
Paquímetro
Corpo de prova ∅1 ∅2 ∅3 ∅4 ∅5
Esfera de aço grande 20,6 mm 20,6 mm 20,6 mm 20,6 mm 20,6 mm
Como todas as cinco medidas de diâmetro foram iguais, usaremos a resolução experimental do paquímetro, que é de 0,05 mm como valor para o desvio padrão e consideraremos que, como foram feitas cinco medidas, então n = 5.
Paquímetro
Corpo de prova ∅ médio Desvio padrão Erro padrão
Esfera de aço grande 20,6 mm 0,05 mm 𝟎,𝟎𝟓
√𝟓 = 0,02 mm
Para a massa 𝑚 da esfera de aço, fazemos apenas uma medida por pesagem e assumimos como erro padrão a metade da menor divisão do instrumento de medida.
Portanto, para a esfera de aço grande, temos os seguintes valores e seus respectivos erros:
Corpo de prova Balança digital (g) Erro padrão (g)
Diâmetro médio: ∅ = 20,6 𝑚𝑚 ± 0,05 𝑚𝑚 = (2,06 ± 0,005) 𝑐𝑚. Massa: 𝑚 = (35,7 ± 0,05)𝑔.
CÁLCULO DOS ERROS NAS MEDIDAS DO CILINDRO: Para as medidas de diâmetro ∅ e comprimento ℎ do cilindro, podemos determinar os erros nessas medidas realizando uma serie de medições, calculando o desvio padrão desse conjunto de medições (desvio padrão amostral) e, finalmente, dividindo o desvio padrão amostral pela raiz quadrada do números de medidas, 𝑛, ou seja, calculando o erro padrão da média, 𝜀, dado pela equação (1). Para o cilindro de alumínio, temos:
Paquímetro
Corpo de prova ∅1 ∅2 ∅3 ∅4 ∅5
Cilindro metálico de Al 12,5 mm 12,6 mm 12,6 mm 12,5 mm 12,6 mm
Paquímetro
Corpo de prova ∅ médio Desvio padrão Erro padrão
Cilindro metálico de Al 12,56 mm 0,055 mm 0,02 mm
Paquímetro
Corpo de prova ℎ1 ℎ2 ℎ3 ℎ4 ℎ5 ℎ médio Desvio
padrão
Erro padrão Cilindro metálico de Al 61,6 mm 61,5 mm 61,5 mm 61,5 mm 61,5 mm 61,52 mm 0,045 mm 0,02 mm
Para a massa 𝑚 do cilindro de Al, fazemos apenas uma medida por pesagem e assumimos como erro padrão a metade da menor divisão do instrumento de medida.
Portanto, para o cilindro de alumínio, temos os seguintes valores médios e seus respectivos erros: Diâmetro médio: ∅ = 12,56 𝑚𝑚 ± 0,02 𝑚𝑚 = (1,256 ± 0,002) 𝑐𝑚.
Comprimento médio: ℎ = 61,52 𝑚𝑚 ± 0,02 𝑚𝑚 = (6,152 ± 0,002) 𝑐𝑚. Massa: 𝑚 = (20,8 ± 0,5)𝑔.
FÓRMULA MATEMÁTICA PARA A PROPAGAÇÃO DE ERRO
Desejamos agora calcular o volume do cilindro de alumínio, levando em conta os erros no diâmetro e no
comprimento. Ou seja, desejamos propagar os erros no diâmetro e no comprimento do cilindro para o seu volume. Para fazer isso precisamos de um pouco de matemática.
Considere uma grandeza 𝑦 que depende de outras grandezas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛. Podemos escrever: 𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛).
A variação de 𝑦, em função de cada uma das variações infinitesimais de cada um dos 𝑥𝑖, é dada pela diferencial exata de 𝑦:
Corpo de prova Balança digital (g) Erro padrão (g) Cilindro metálico de Al 20,8 g 0,05 g
𝑑𝑦 = (𝜕𝑓 𝜕𝑥1) 𝑑𝑥1+ ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥2) 𝑑𝑥2+ ⋯ + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛) 𝑑𝑥𝑛, onde os (𝜕𝑥𝜕𝑓
𝑖) representam as derivadas parciais da função 𝑓 em relação a cada uma das variáveis 𝑥𝑖 de que depende. É possível fazer uma analogia entre as variações infinitesimais (diferenciais exatas) e os desvios (erros) das variáveis, uma vez que ambos representam variações. Dessa forma:
∆𝑦 = (𝜕𝑓 𝜕𝑥1) ∆𝑥1+ ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥2) ∆𝑥2+ ⋯ + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛) ∆𝑥𝑛. (2) Como se pretende determinar o máximo erro na medida deve-se considerar a situação na qual os erros, atuando no mesmo sentido, somam-se. Isso só é possível tomando-se o módulo das derivadas parciais na equação (2) acima. Obtemos assim a equação para a propagação de erro:
∆𝑦 = |𝜕𝑥𝜕𝑓 1| ∆𝑥1+ | 𝜕𝑓 𝜕𝑥2| ∆𝑥2+ ⋯ + | 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛| ∆𝑥𝑛. (3) VOLUME DA ESFERA E DO CILINDRO
ESFERA: Vamos agora usar a equação (3) para propagar o erro do diâmetro de esfera de aço grande para seu volume: Calculamos primeiro o volume da esfera, em centímetros: 𝑉𝐶 =16𝜋∅3=1
6𝜋(2,06)3= 4,58 𝑐𝑚3.
Em seguida, fazemos a propagação de erro, usando a fórmula (3). Note que a fórmula do volume é 𝑉𝐶 =16𝜋∅3, ou
seja, o volume 𝑉 é a função 𝑓, e ∅ é a única variável x nesse caso. Escrevemos 𝑉 = 𝑓(∅). Nossa expressão para a propagação de erro fica:
∆𝑉 = |𝜕∅𝜕𝑓| ∆∅. (4)
Aqui 𝜕𝑓𝜕∅ é a derivada do volume em relação ao diâmetro ∅: 𝜕𝑓 𝜕∅=
1 2𝜋∅2
Para ∆∅ usamos o erro padrão no diâmetro da esfera; ∆∅ = 0,005 𝑐𝑚. Para ∅ usamos o valor médio do conjunto de cinco medidas: ∅ = 2,06 𝑐𝑚.
𝜕𝑓 𝜕∅=
1
2𝜋(2,06)2= 6,67 𝑐𝑚2. Substituindo esses valores em (4) temos:
∆𝑉 = |6,67 𝑐𝑚2|(0,005 𝑐𝑚) = 0,0333 𝑐𝑚3≈ 0,03 𝑐𝑚3.
Assim o volume da esfera de aço, com seu erro propagado, será: 𝑉𝐸 = (4,58 ± 0,03)𝑐𝑚3.
CILINDRO: Vamos agora usar a equação (3) para propagar o erro do diâmetro e do comprimento do cilindro de Al para seu volume.
Calculamos primeiro o volume do cilindro, em centímetros: 𝑉𝐶 =1
4𝜋∅ 2ℎ =1
4𝜋(1,256)
Em seguida, fazemos a propagação de erro, usando a fórmula (3). Note que a fórmula do volume é 𝑉𝐶 =14𝜋∅2ℎ, ou
seja, o volume 𝑉 é a função 𝑓, e ∅ e ℎ são as variáveis 𝑥1 e 𝑥2. Escrevemos 𝑉 = 𝑓(∅, ℎ). Nossa expressão para a propagação de erro fica:
∆𝑉 = |𝜕𝑓𝜕∅| ∆∅ + |𝜕𝑓
𝜕ℎ| ∆ℎ. (5)
𝜕𝑓
𝜕∅ é a derivada do volume em relação ao diâmetro ∅ e 𝜕𝑓
𝜕∅ é a derivada do volume em relação ao comprimento ℎ:
𝜕𝑓 𝜕∅= 1 2𝜋∅ℎ; 𝜕𝑓 𝜕ℎ= 1 4𝜋∅2.
Para ∆∅ usamos o erro padrão no diâmetro do cilindro, ou seja, ∆∅ = 0,002 𝑐𝑚. Para ∆ℎ usamos o erro padrão no comprimento do cilindro, ou seja, ∆ℎ = 0,002 𝑐𝑚.
𝜕𝑓 𝜕∅= 1 2𝜋(1,256)(6,152) = 12,14 𝑐𝑚2; 𝜕𝑓 𝜕ℎ= 1 4𝜋(1,256)2= 1,239 𝑐𝑚2. Substituindo esses valores em (5) temos:
∆𝑉 = |12,14 𝑐𝑚2|(0,002 𝑐𝑚) + |1,239 𝑐𝑚2|(0,002 𝑐𝑚) = 0,0267𝑐𝑚3≈ 0,03 𝑐𝑚3.
Assim o volume do cilindro de alumínio, com seu erro propagado, será: 𝑉 = (7,62 ± 0,03)𝑐𝑚3.
MASSA ESPECÍFICA DA ESFERA E DO CILINDRO
Gostaríamos agora de calcular a massa específica do cilindro de alumínio, com seu erro propagado. A massa específica (densidade) 𝜌 é dada por:
𝜌 =𝑚
𝑉. (6) Aqui, a densidade 𝜌 é a função 𝑓 e a massa 𝑚 e o volume 𝑉 são as variáveis 𝑥1 e 𝑥2. Escrevemos 𝜌 = 𝑓(𝑚, 𝑉). A expressão para a propagação de erro, neste caso, fica:
∆𝜌 = |𝜕𝑚𝜕𝑓| ∆𝑚 + |𝜕𝑓
𝜕𝑉| ∆𝑉. (7)
𝜕𝑓
𝜕𝑚 é a derivada da densidade em relação à massa 𝑚 e 𝜕𝑓
𝜕𝑉 é a derivada da densidade em relação ao volume 𝑉:
𝜕𝑓 𝜕𝑚= 1 𝑉; 𝜕𝑓 𝜕𝑉= − 𝑚 𝑉2.
ESFERA: Vamos calcular a massa específica da esfera de aço grande, com seu erro propagado. O valor da densidade da esfera de aço grande de massa 𝑚 = 35,7 𝑔 e volume 𝑉 = 4,58 𝑐𝑚3 será:
𝜌 = 35,7 𝑔
4,58 𝑐𝑚3= 7,79 𝑔. 𝑐𝑚−3.
Para a propagação do erro da densidade, ∆𝜌, precisamos dos valores de ∆𝑚 e ∆𝑉. Para esses valores, usaremos os erros padrão na massa e no volume da esfera: ∆𝑚 = 0,05 𝑔 é o erro na massa e ∆𝑉 = 0,03 𝑐𝑚3 é o erro no volume;
𝜕𝑓 𝜕𝑚= 1 4,58= 0,218 𝑐𝑚−3; 𝜕𝑓 𝜕𝑉= − 35,7 (4,58)2= −1,70 𝑔. 𝑐𝑚−6.
Substituindo esses valores em (7) temos:
∆𝜌 = |0,218 𝑐𝑚−3|(0,05 𝑔) + |−1,70 𝑔. 𝑐𝑚−6|(0,03 𝑐𝑚3) = 0,0109 𝑔. 𝑐𝑚−3+ 0,051 𝑔. 𝑐𝑚−3;
∆𝜌 = 0,0619 𝑔. 𝑐𝑚−3≈ 0,06 𝑔. 𝑐𝑚−3.
Assim a densidade da esfera de aço grande, com seu erro propagado, será: 𝜌 = (7,79 ± 0,06)𝑔. 𝑐𝑚−3.
CILINDRO: Gostaríamos agora de calcular a massa específica do cilindro de alumínio, com seu erro propagado. O valor da densidade do cilindro de alumínio de massa 𝑚 = 20,8 𝑔 e volume 𝑉 = 7,62 𝑐𝑚3 será:
𝜌 = 20,8 𝑔
7,62 𝑐𝑚3= 2,73 𝑔. 𝑐𝑚−3.
Encontrando os valores numéricos: ∆𝑚 = 0,02 𝑔 é o erro na massa e ∆𝑉 = 0,03 𝑐𝑚3 é o erro no volume;
𝜕𝑓 𝜕𝑚= 1 7,62= 0,131 𝑐𝑚−3; 𝜕𝑓 𝜕𝑉= − 20,8 (7,62)2= −0,358 𝑔. 𝑐𝑚−6.
Substituindo esses valores em (4) temos:
∆𝜌 = |0,131 𝑐𝑚−3|(0,02 𝑔) + |−0,358 𝑔. 𝑐𝑚−6|(0,03 𝑐𝑚3) = 0,00262 𝑔. 𝑐𝑚−3+ 0,0107𝑔. 𝑐𝑚−3;
∆𝜌 = 0,0134 𝑔. 𝑐𝑚−3≈ 0,01 𝑔. 𝑐𝑚−3.
Assim a densidade do cilindro de alumínio, com seu erro propagado, será: 𝜌 = (2,73 ± 0,01)𝑔. 𝑐𝑚−3.
COMPARAÇÃO COM A LITERATURA
Note que a massa específica do aço e do alumínio, de acordo com a literatura são, respectivamente, de 7,85𝑔. 𝑐𝑚−3 e
de 2,73 𝑔. 𝑐𝑚−3. Os desvios percentuais relativos em relação aos nossos valores médios são:
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜(𝐴ç𝑜) = (7,79 − 7,85)
7,85 . 100 = −0,76%.
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜(𝐴𝑙) = (2,73 − 2,7)
2,7 . 100 = 1,1%.
REFERÊNCIA
PIACENTINI, João J., GRANDI, Bartira C. S., HOFMANN, Márcia P., DE LIMA, Flávio R. R., ZIMMERMANN, Erika, Introdução ao Laboratório de Física. 3º Edição. Florianópolis: Editora da UFSC, 2008.
