GA aula14

Geometria Analítica - Forma e Excentricidade

Denição Unicada das Cônicas

Cleide Martins

DMat - UFPE

Resumo: cônicas e seus parâmetros geométricos

o eixo maior: 2a o eixo menor: 2b a distância focal: 2c

com _a2 _{= b}2_{+ c}2

Denimos os parâmetros geométricos de uma hipérbole como sendo o eixo transverso: 2a

o eixo conjugado: 2b a distância focal: 2c

com _c2 _{= a}2_{+ b}2

Elipses em posição canônica

Os parâmetros geométricos estão marcados nas guras das elipses em posição canônica.

x2 _y2 b b b b b bF2 F1 A1 A2 B1 B2 c a b x y c a b x2 _y2 b b b b b b F1 F2 A1 B1 B2 c a b x y

Hipérboles em posição canônica

Os parâmetros geométricos da hipérbole estão marcados nas guras das hipérboles em posição canônica. x y c a b c −c a −a b F2 b F1 b A2 b A1 x y c a b c −c a −a bF1 bF2 b A1 bA2 2 2 2 2

Parábolas em posição canônica

O parâmetro geométrico da parábola está marcado nas guras das parábolas em posição canônica com eixo de simetria Oy.

y = x 2 4p x y b ℓ : x =−p F p y =−x 2 4p x y b ℓ : x = p F −p

Parábolas em posição canônica

O parâmetro geométrico da parábola está marcado nas guras das parábolas em posição canônica com eixo de simetria Ox..

x = y 2 x y b ℓ : y =−p F p x =−y 2 x y b ℓ : y = p F

Excentricidade da elipse e da hipérbole

Independente da posição de uma elipse ou de uma hipérbole em relação ao sistema de coordenadas.

Denição

A excentricidade de uma elipse ou de uma hipérbole é denida por e = c

a

Elipse: Excentricidade X Forma

Em qualquer elipse a relação entre os parâmetros geométricos é dada por a2 = b2+ c2

Como na elipse c < a, a excentricidade de uma elipse e = c

a é um número entre 0 e 1.

elipses que têm excentricidade pequena, próxima de zero, são aquelas onde

I a distância focal é muito pequena, de modo que a ≈ b ou

I o eixo maior é muito maior que a distância focal, de modo que também a ≈ b. I Nesses casos a elipse tem a forma mais arredondada

elipses que têm uma excentricidade próxima de 1 são aquelas que têm eixo maior quase igual à distância focal, de modo que o eixo menor é pequeno, póximo de zero.

Elipse: Excentricidade X Forma

Em qualquer elipse a relação entre os parâmetros geométricos é dada por a2 = b2+ c2

Como na elipse c < a, a excentricidade de uma elipse e = c

a é um número entre 0 e 1.

elipses que têm excentricidade pequena, próxima de zero, são aquelas onde

I a distância focal é muito pequena, de modo que a ≈ b ou

I o eixo maior é muito maior que a distância focal, de modo que também a ≈ b. I Nesses casos a elipse tem a forma mais arredondada

elipses que têm uma excentricidade próxima de 1 são aquelas que têm eixo maior quase igual à distância focal, de modo que o eixo menor é pequeno, póximo de zero.

Elipse: Excentricidade X Forma

Em qualquer elipse a relação entre os parâmetros geométricos é dada por a2 = b2+ c2

Como na elipse c < a, a excentricidade de uma elipse e = c

a é um número entre 0 e 1.

elipses que têm excentricidade pequena, próxima de zero, são aquelas onde

I a distância focal é muito pequena, de modo que a ≈ b ou

I o eixo maior é muito maior que a distância focal, de modo que também a ≈ b.

I Nesses casos a elipse tem a forma mais arredondada

elipses que têm uma excentricidade próxima de 1 são aquelas que têm eixo maior quase igual à distância focal, de modo que o eixo menor é pequeno, póximo de zero.

Elipse: Excentricidade X Forma

Em qualquer elipse a relação entre os parâmetros geométricos é dada por a2 = b2+ c2

Como na elipse c < a, a excentricidade de uma elipse e = c

a é um número entre 0 e 1.

elipses que têm excentricidade pequena, próxima de zero, são aquelas onde

I a distância focal é muito pequena, de modo que a ≈ b ou

I o eixo maior é muito maior que a distância focal, de modo que também a ≈ b. I Nesses casos a elipse tem a forma mais arredondada

elipses que têm uma excentricidade próxima de 1 são aquelas que têm eixo maior quase igual à distância focal, de modo que o eixo menor é pequeno, póximo de zero.

Elipse: Excentricidade X Forma

Em qualquer elipse a relação entre os parâmetros geométricos é dada por a2 = b2+ c2

Como na elipse c < a, a excentricidade de uma elipse e = c

a é um número entre 0 e 1.

elipses que têm excentricidade pequena, próxima de zero, são aquelas onde

I a distância focal é muito pequena, de modo que a ≈ b ou

I o eixo maior é muito maior que a distância focal, de modo que também a ≈ b. I Nesses casos a elipse tem a forma mais arredondada

elipses que têm uma excentricidade próxima de 1 são aquelas que têm eixo maior quase igual à distância focal, de modo que o eixo menor é pequeno, póximo de zero.

Elipse: Excentricidade X Forma

Em qualquer elipse a relação entre os parâmetros geométricos é dada por a2 = b2+ c2

Como na elipse c < a, a excentricidade de uma elipse e = c

a é um número entre 0 e 1.

elipses que têm excentricidade pequena, próxima de zero, são aquelas onde

I a distância focal é muito pequena, de modo que a ≈ b ou

I o eixo maior é muito maior que a distância focal, de modo que também a ≈ b. I Nesses casos a elipse tem a forma mais arredondada

elipses que têm uma excentricidade próxima de 1 são aquelas que têm eixo maior quase igual à distância focal, de modo que o eixo menor é pequeno, póximo de zero.

Hipérbole- Excentricidade X Forma

Em qualquer hipérbole, a relação entre os parâmetros geométricos é dada por c2 = a2+ b2

Como na hipérbole c > a, a excentricidade de uma hipérbole e = c

a é um número maior que 1.

Uma excentricidade pequena signica e ≈ 1 e hipérboles podem ter excentricidade arbitrariamente grande.

Se a excentricidade de uma hipérbole é pequena é porque

I o eixo transverso é próximo da distância focal, c ≈ a, de modo que b ≈ 0 I Nesse caso a hipérbole é mais fechada.

Hipérboles que têm uma excentricidade grande são aquelas onde

I o eixo transverso é muito pequeno, a ≈ 0 de modo que b ≈ c ou seja, a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande ou

I a distância focal é muito maior que o eixo transverso, de modo que também a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande

Hipérbole- Excentricidade X Forma

Em qualquer hipérbole, a relação entre os parâmetros geométricos é dada por c2 = a2+ b2

Como na hipérbole c > a, a excentricidade de uma hipérbole e = c

a é um número maior que 1.

Uma excentricidade pequena signica e ≈ 1 e hipérboles podem ter excentricidade arbitrariamente grande.

Se a excentricidade de uma hipérbole é pequena é porque

I o eixo transverso é próximo da distância focal, c ≈ a, de modo que b ≈ 0

I Nesse caso a hipérbole é mais fechada.

Hipérboles que têm uma excentricidade grande são aquelas onde

I o eixo transverso é muito pequeno, a ≈ 0 de modo que b ≈ c ou seja, a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande ou

I a distância focal é muito maior que o eixo transverso, de modo que também a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande

Hipérbole- Excentricidade X Forma

Em qualquer hipérbole, a relação entre os parâmetros geométricos é dada por c2 = a2+ b2

Como na hipérbole c > a, a excentricidade de uma hipérbole e = c

a é um número maior que 1.

Uma excentricidade pequena signica e ≈ 1 e hipérboles podem ter excentricidade arbitrariamente grande.

Se a excentricidade de uma hipérbole é pequena é porque

I o eixo transverso é próximo da distância focal, c ≈ a, de modo que b ≈ 0 I Nesse caso a hipérbole é mais fechada.

Hipérboles que têm uma excentricidade grande são aquelas onde

I o eixo transverso é muito pequeno, a ≈ 0 de modo que b ≈ c ou seja, a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande ou

I a distância focal é muito maior que o eixo transverso, de modo que também a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande

Hipérbole- Excentricidade X Forma

Em qualquer hipérbole, a relação entre os parâmetros geométricos é dada por c2 = a2+ b2

Como na hipérbole c > a, a excentricidade de uma hipérbole e = c

a é um número maior que 1.

Uma excentricidade pequena signica e ≈ 1 e hipérboles podem ter excentricidade arbitrariamente grande.

Se a excentricidade de uma hipérbole é pequena é porque

I o eixo transverso é próximo da distância focal, c ≈ a, de modo que b ≈ 0 I Nesse caso a hipérbole é mais fechada.

Hipérboles que têm uma excentricidade grande são aquelas onde

I o eixo transverso é muito pequeno, a ≈ 0 de modo que b ≈ c ou seja, a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande ou

I a distância focal é muito maior que o eixo transverso, de modo que também a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande

Hipérbole- Excentricidade X Forma

Em qualquer hipérbole, a relação entre os parâmetros geométricos é dada por c2 = a2+ b2

Como na hipérbole c > a, a excentricidade de uma hipérbole e = c

a é um número maior que 1.

Uma excentricidade pequena signica e ≈ 1 e hipérboles podem ter excentricidade arbitrariamente grande.

Se a excentricidade de uma hipérbole é pequena é porque

I o eixo transverso é próximo da distância focal, c ≈ a, de modo que b ≈ 0 I Nesse caso a hipérbole é mais fechada.

Hipérboles que têm uma excentricidade grande são aquelas onde

I o eixo transverso é muito pequeno, a ≈ 0 de modo que b ≈ c ou seja, a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande ou

I a distância focal é muito maior que o eixo transverso, de modo que também a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande

Hipérbole- Excentricidade X Forma

Em qualquer hipérbole, a relação entre os parâmetros geométricos é dada por c2 = a2+ b2

Como na hipérbole c > a, a excentricidade de uma hipérbole e = c

a é um número maior que 1.

Uma excentricidade pequena signica e ≈ 1 e hipérboles podem ter excentricidade arbitrariamente grande.

Se a excentricidade de uma hipérbole é pequena é porque

I o eixo transverso é próximo da distância focal, c ≈ a, de modo que b ≈ 0 I Nesse caso a hipérbole é mais fechada.

Hipérboles que têm uma excentricidade grande são aquelas onde

I o eixo transverso é muito pequeno, a ≈ 0 de modo que b ≈ c ou seja, a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande ou

I a distância focal é muito maior que o eixo transverso, de modo que também a inclinação da

Hipérbole- Excentricidade X Forma

Em qualquer hipérbole, a relação entre os parâmetros geométricos é dada por c2 = a2+ b2

Como na hipérbole c > a, a excentricidade de uma hipérbole e = c

a é um número maior que 1.

Uma excentricidade pequena signica e ≈ 1 e hipérboles podem ter excentricidade arbitrariamente grande.

Se a excentricidade de uma hipérbole é pequena é porque

I o eixo transverso é próximo da distância focal, c ≈ a, de modo que b ≈ 0 I Nesse caso a hipérbole é mais fechada.

Hipérboles que têm uma excentricidade grande são aquelas onde

I o eixo transverso é muito pequeno, a ≈ 0 de modo que b ≈ c ou seja, a inclinação da

assíntota em relação ao eixo é grande ou

E se e = 0 ou e = 1?

0 < e < 1 Para hipérboles

e > 1 Que gura geométrica tem excentricidade nula?

I A circunferência.

Que gura geométrica tem excentricidade igual a 1?

E se e = 0 ou e = 1?

0 < e < 1 Para hipérboles

e > 1 Que gura geométrica tem excentricidade nula?

I A circunferência.

Que gura geométrica tem excentricidade igual a 1?

E se e = 0 ou e = 1?

0 < e < 1 Para hipérboles

e > 1 Que gura geométrica tem excentricidade nula?

I A circunferência. Todos os pontos de uma circunferência estão a mesma distância do centro,

não há pontos mais ou menos excêntricos.

Que gura geométrica tem excentricidade igual a 1?

E se e = 0 ou e = 1?

0 < e < 1 Para hipérboles

e > 1 Que gura geométrica tem excentricidade nula?

I A circunferência. Todos os pontos de uma circunferência estão a mesma distância do centro,

não há pontos mais ou menos excêntricos.

Que gura geométrica tem excentricidade igual a 1?

E se e = 0 ou e = 1?

0 < e < 1 Para hipérboles

e > 1 Que gura geométrica tem excentricidade nula?

I A circunferência. Todos os pontos de uma circunferência estão a mesma distância do centro,

não há pontos mais ou menos excêntricos.

Que gura geométrica tem excentricidade igual a 1?

E se e = 0 ou e = 1?

0 < e < 1 Para hipérboles

e > 1 Que gura geométrica tem excentricidade nula?

I A circunferência. Todos os pontos de uma circunferência estão a mesma distância do centro,

não há pontos mais ou menos excêntricos.

Que gura geométrica tem excentricidade igual a 1?

I A parábola. As parábolas não têm centro, a excentricidade é a razão entre a distância de um

Exemplo- motivação para a denição unicada das cônicas

Dado o ponto F = (0, 3) e a reta ` : y = 16

3. Identique e esboce o lugar geométrico dos

pontos P = (x, y) tais que

d(P, F ) = 3 4d(P, `)

Solução

Solução

É uma elipse em posição canônica com parâmetros geométricos dados por b2= 7_{⇒ b =}√7_{⇒ 2b = 2}√7 a2 = 16⇒ a = 4 ⇒ 2a = 8 c2 = 16− 7 = 9 ⇒ c = 3 ⇒ 2c = 6 e = 3 4

Esboço

Denição unicada das cônicas

Considere um número real positivo e, um ponto F e uma reta ` tal que F 6∈ `. O lugar geométrico dos pontos P tais que

d(P, F ) = e.d(P, `) é

uma parábola se e = 1 uma elipse se e < 1 uma hipérbole se e > 1

Denição unicada das cônicas

Considere um número real positivo e, um ponto F e uma reta ` tal que F 6∈ `. O lugar geométrico dos pontos P tais que

d(P, F ) = e.d(P, `) é

uma parábola se e = 1

uma elipse se e < 1 uma hipérbole se e > 1

Denição unicada das cônicas

Considere um número real positivo e, um ponto F e uma reta ` tal que F 6∈ `. O lugar geométrico dos pontos P tais que

d(P, F ) = e.d(P, `) é

uma parábola se e = 1 uma elipse se e < 1

Denição unicada das cônicas

Considere um número real positivo e, um ponto F e uma reta ` tal que F 6∈ `. O lugar geométrico dos pontos P tais que

d(P, F ) = e.d(P, `) é

uma parábola se e = 1 uma elipse se e < 1 uma hipérbole se e > 1

Denição unicada das cônicas

Considere um número real positivo e, um ponto F e uma reta ` tal que F 6∈ `. O lugar geométrico dos pontos P tais que

d(P, F ) = e.d(P, `) é

uma parábola se e = 1 uma elipse se e < 1 uma hipérbole se e > 1

Informações complementares sobre as elipses

Como uma elipse tem dois focos, elipses têm duas diretrizes As diretrizes da elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 são as retas x = a e e x = −ae As diretrizes da elipse x2 b2 + y2 a2 = 1 são as retas y = a e e y = −ae

Informações complementares sobre as hipérboles

Como uma hipérbole tem dois focos, hipérboles têm duas diretrizes As diretrizes da hipérbole x2 a2 − y2 b2 = 1 são as retas x = a e e x = −ae As diretrizes da hipérbole −x 2 b2 + y2 a2 = 1 são as retas y = a e e y = −ae

Parametrizações das cônicas em posição canônica

Da mesma maneira que denimos uma reta por suas equações paramétricas 

x = x0 + aλ

y = y0 + bλ λ∈ R

podemos descrever os pontos sobre uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole em função de um parâmetro

Equações paramétricas da parábola y =

4p

Existe uma parametrização natural para uma parábola, considerando que ela é o gráco de uma função, nesse caso y = f(x), simplesmente considerando que x é o parâmetro:

(

x = t

y = _4pt2 ∈ R

Equações paramétricas da circunferência x

₊

_y

₌

_a

A circunferência de centro C = (x0, y0) e raio a > 0 é o lugar geométrico dos pontos

P = (x, y)tais que d(P, C) = a. Sua equação é

(x− x0)2+ (y− y0)2 = a2

Quando C é a origem temos

x2+ y2= a2

Podemos localizar cada ponto dessa circunferência pelas equações 

x = a cos t

Equações paramétricas da circunferência x

₊

_y

₌

_a

A circunferência de centro C = (x0, y0) e raio a > 0 é o lugar geométrico dos pontos

P = (x, y)tais que d(P, C) = a. Sua equação é

(x_{− x}0)2+ (y− y0)2 = a2

Quando C é a origem temos

x2+ y2= a2

Podemos localizar cada ponto dessa circunferência pelas equações  x = a cos t y = a sen t t∈ R x y b O b bP b b t a

Equações paramétricas da elipse

a2

+

y2

b2

= 1

Para escrever equações paramétricas para essa elipse, consideramos que, como na

circunferência, vale a identidade trigonométrica fundamental: cos2_{t + sen}2_{t = 1, de modo que,}

escrevendo sua equação na forma x a 2 +y b 2 = 1 é natural que façamos a identicação



x = a cos t

y = b sen t 0≤ t ≤ 2π

Qual a relação entre a posição de cada ponto da elipse e o parâmetro t?

Equações paramétricas da elipse

a2

+

y2

b2

= 1

Para escrever equações paramétricas para essa elipse, consideramos que, como na

circunferência, vale a identidade trigonométrica fundamental: cos2_{t + sen}2_{t = 1, de modo que,}

escrevendo sua equação na forma

x a 2 +y b 2 = 1 é natural que façamos a identicação



x = a cos t

y = b sen t 0≤ t ≤ 2π

Qual a relação entre a posição de cada ponto da elipse e o parâmetro t? bP b b b b t

Equações paramétricas da hipérbole

a2

−

y2

b2

= 1

Para escrever equações paramétricas para essa hipérbole, consideramos que, para seus pontos, vale a identidade trigonométrica: sec2_{t− tg}2_{t = 1, de modo que, escrevendo sua equação na}

forma x a 2 −y b 2 = 1 é natural que façamos a identicação



x = a sec t y = b tg t

Qual a relação entre a posição de cada ponto da hipérbole e o parâmetro t?

Equações paramétricas da hipérbole

a2

−

y2

b2

= 1

Para escrever equações paramétricas para essa hipérbole, consideramos que, para seus pontos, vale a identidade trigonométrica: sec2_{t− tg}2_{t = 1, de modo que, escrevendo sua equação na}

forma x a 2 −y b 2 = 1 é natural que façamos a identicação



x = a sec t y = b tg t

Qual a relação entre a posição de cada ponto da hipérbole e o parâmetro t? x y b b b P b b b b b b b θ

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Translação

x y

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Rotação

x y

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Translação e rotação

x y

Translação de Eixos

Dois sistemas de coordenadas construídos com uma mesma base e origens diferentes estão relacionados por translação

Se B = (e→1, →

e2) é uma base ortonormal e O e Q são pontos distintos, considere os sistemas de

coordenadas xOy construído com O e B e uQv construído com Q e B

Considere um ponto P desse plano. Qual a relação entre as coordenadas (x, y) de P em (O, B) e as coordenas (u, v) de P em (Q, B)?

Lembre que

(x, y) =OP→ e (u, v) =QP→ Lembre também que

→ OP = → OQ + → QP Então, se OQ= (x→ 0, y0), ou seja Q = (x0, y0) em xOy, temos

(x, y) = (x0, y0) + (u, v) Portanto _ x = u + x0 y = v + y0 ou  u = x − x0 v = y _{− y}0

Cônicas transladadas

Se os eixos de simetria de uma determinada cônica são uma translação uCv com C = (x0, y0)

do sistema xOy, então em uCv sua equação é reduzida e em xOy é uma das seguintes

(x−x0)2 h2 + (y−y0)2 k2 = 1 (x−x0)2 h2 − (y−y0)2 k2 =±1 y− y0= (x−x0) 2 4p x− x0= (y−y0) 2 4p

Exercícios

1 Identique e esboce o lugar geométrico dos pontos P cuja distância ao ponto F = (3, 3) é

o dobro da distância ao eixo Ox

2 Identique e esboce o lugar geométrico dos pontos P cuja distância ao ponto F = (3, 3) é

a metade da distância ao eixo Oy

3 O gráco da função y = f(x) = x2_{− 4x + 5 é uma parábola. Determine o foco, o vértice}

e a diretriz dessa parábola.

4 Identique e esboce o lugar geométrico dos pontos P = (x, y) que satisfazem as equações

paramétricas      x = b(t2_2t+1) y = a(t2_2t−1) t6= 0; a ≥ b > 0