Lista 08 Exercicios 2014

(1)

1. Seja f (x, y) = ln(x + y − 1)

(a) Encontre o dom´ınio da fun¸c˜ao f . (b) Encontre a imagem da fun¸c˜ao f .

(c) Calcule f (1, 1) (d) Calcule f (e, 1) 2. Seja f (x, y) = ex2−y

(c) Calcule f (2, 4)

3. Seja g(x, y) =p36 − 9x2_{− 4y}2

(a) Encontre o dom´ınio da fun¸c˜ao g. (b) Encontre a imagem da fun¸c˜ao g.

(c) Calcule g(1, 2)

4. Seja h(x, y, z) = x2ln(x − y + z) (a) Encontre o dom´ınio da fun¸c˜ao h. (b) Encontre a imagem da fun¸c˜ao h.

(c) Calcule h(3, 6, 4) 5. Seja f (x, y, z) = p 1

x2_{+ y}2_{+ z}2_{− 1}

(c) Calcule f (1, 3, −4)

6. Determine e fa¸ca o esbo¸co do dom´ınio das fun¸c˜oes abaixo: (a) f (x, y) =√x + y (b) f (x, y) =√x +√y (c) f (x, y) = ln(9 − x2− 9y2₎ (d) f (x, y) = x − 3y x + 3y (e) f (x, y) = 3x − 5y x2_{+ y}2_{− 9} (f) f (x, y) =√x − y ln(x + y) (g) f (x, y, z) =p1 − x2_{− y}2_{− z}2 (h) f (x, y, z) = ln(16 − 4x2− 4y2_{− z}2₎

7. Esboce o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x, y) = 3 (b) f (x, y) = x (c) f (x, y) = 1 − x − y (d) f (x, y) = cos(x) (e) f (x, y) = 4 − x2− y2 (f) f (x, y) =px2_{+ y}2

8. A altura das ondas h num mar aberto depende da velocidade v (em m/s) do vento e do intervalo de tempo t (em s) no qual está ventando com a mesma velocidade. Então h é uma fun¸cão de v e de t, ou seja, h = f (v, t).

(a) Qual é o significado do valor de f (40, 15)? (b) Qual é o significado da fun¸cão h = f (30, t)?

(c) Qual ´e o significado da fun¸c˜ao h = f (v, 30)?

(2)

(a) f (x, y) = xy (b) f (x, y) = x2− y2 (c) f (x, y) = x y (d) f (x, y) = x + y x − y (e) f (x, y) = y − cos(x) (f) f (x, y) = e 1 x2+y2

10. Descreva as superf´ıcies de n´ıvel de cada uma das fun¸c˜oes abaixo:

(a) f (x, y, z) = x + 3y + 5z (b) f (x, y, z) = x2− y2_{+ z}2 _{(c) f (x, y, z) = x}2_{− y}2

11. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite n˜ao existe. (a) lim

(x,y)→(5,−2)(x

5_{+ 4x}3_{y − 5xy}2₎

(b) lim

(x,y)→(6,3)xycos(x − 2y)

(c) lim (x,y)→(0,0) x2 x2_{+ y}2 (d) lim (x,y)→(0,0) x3+ xy2 x2_{+ y}2 (e) lim (x,y)→(0,0) (x + y)2 x2_{+ y}2 (f) lim (x,y)→(0,0) x3y2 x2_{+ y}2 (g) lim (x,y)→(0,0) 8x2y2 x4_{+ y}4 (h) lim (x,y,z)→(0,0,0) xy + yz2+ xz2 x2_{+ y}2_{+ z}4 (i) lim (x,y,z)→(3,0,1)e −xy_cosπz 2 (j) lim (x,y,z)→(0,0,0) xy + yz + xz x2_{+ y}2_{+ z}2

12. Determine h(x, y) = g(f (x, y)) e o conjunto no qual h ´e cont´ınua. (a) g(t) = t2+√t, f (x, y) = 2x + 3y − 6 (b) g(t) = √ t − 1 √ t + 1, f (x, y) = x 2_{− y}

13. Use a defini¸c˜ao de derivadas parciais como limites para achar fx(x, y) e fy(x, y).

(a) f (x, y) = x2− xy + 2y2 _{(b) f (x, y) =}√_{3x − y}

14. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das fun¸c˜oes abaixo: (a) f (x, y) = 3x − 2y4 (b) f (x, y) = x5+ 3x3y2+ 3xy4 (c) f (x, y) = xe3y (d) f (x, y) = x − y x + y (e) f (x, y) = x ln y (f) f (x, y) = xy (g) f (α, β) = sen(α)cos(β) (h) f (s, t) = st 2 s2_{+ t}2 (i) f (x, y) = arctg x y (j) f (x, t) = esen(xt) (k) f (x, y) = ln x +px2_{+ y}2 (l) f (x, y) = Z x y cos(t2)dt (m) f (x, y, z) = xy2z3+ 3yz (n) f (x, y, z) = x2eyz (o) ω =√r2_{+ s}2_{+ t}2 (p) u =px2 1+ x22+ x23+ · · · + x2n (q) f (x, y, z, t) = x − y z − t 15. Use diferencia¸c˜ao impl´ıcita para determinar ∂z

∂x e ∂z ∂y (a) px2_{+ y}2_{+ z}2 _{= xyz} (b) xy + yz = xz (c) x2+ y2− z2 _{= 2x(y + z)} (d) xy2_z3_{+ x}3_y2_{z = x + y + z}

(3)

(a) f (x, y) =px2_{+ y}2_{; f} x(3, 4) (b) f (x, y) = sen(2x + 3y); fy(−6, 4) (c) f (x, y, z) = x y + z; fz(3, 2, 1) (d) f (u, v, w) = wtg(u, v); fv(2, 0, 3) (e) f (x, y) = x2y3− 2x4_{y; f} xxx (f) f (x, y) = exy2; fxxy (g) f (x, y) = xcos(y); ∂ 3_f ∂y2_∂x (h) f (x, y) = ln(sen(x − y)); ∂ 3_f ∂y∂x2 (i) f (x, y, z) = ln(x + 2y2+ 3z3); ∂ 3_f ∂x∂y∂z 17. Determine as derivadas parciais de segunda ordem:

(a) f (x, y) = x4_{− 3x}2_y (b) f (x, y) = ln(3x + 5y) (c) f (x, y) = x x + y (d) f (α, β) = β · tg(2α) (e) f (x, y) = e−xsen(y) (f) f (x, y) =px + y2

18. Determine se cada uma das seguintes fun¸cões u(x, y) é solu¸cão da equa¸cão uxx+ uyy= 0, que é

conhecida como equa¸c˜ao de Laplace:

(a) u = x2+ y2 (b) u = x3+ 3xy2 (c) u = lnpx2_{+ y}2

19. Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie no ponto especificado: (a) z = 9x2+ y2+ 6x − 3y + 5, P = (1, 2, 18) (b) z = y2− x2_, _{P = (−4, 5, 9)} (c) z =p4 − x2_{− 2y}2_, _{P = (1, −1, 1)} (d) z = cos(x + y), P = (1, −1, 1) (e) z = ln(2x + y), P = (−1, 3, 0) (f) z = exln y, P = (3, 1, 0)

20. Explique por que a fun¸cão é diferenciável no ponto dado e fa¸ca a lineariza¸cão L(x, y) da fun¸cão no ponto. (a) f (x, y) =√xy, P = (1, 4) (b) f (x, y) = y ln x, P = (2, 1) (c) f (x, y) = excos(xy), P = (0, 0) (d) f (x, y) = x y, P = (6, 3)

21. Determine a aproxima¸c˜ao linear da fun¸c˜ao f (x, y) = p20 − x2_{− 7y}2 _{em (2, 1) e use-a para}

aproximar f (1, 95; 1, 08)

22. Determine a aproxima¸c˜ao linear da fun¸c˜ao f (x, y) = ln(x − 3y) em (7, 2) e use-a para aproximar f (6, 9; 2, 06)

23. Determine a aproxima¸c˜ao linear da fun¸c˜ao f (x, y, z) =px2_{+ y}2_{+ z}2 _{em (3, 2, 6) e use-a para}

aproximar p(3, 02)2_{+ (1, 97)}2_{+ (5, 99)}2

24. Determine o diferencial das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x, y) = x2y3 (b) f (x, y) = ln(2x − 3y) (c) f (x, y) = exsec(y) (d) f (x, y, z) = x y + 2z (e) f (x, y, z) = lnpx2_{+ y}2_{+ z}2 (f) f (x, y, z) = x cos(yz)

25. Se z = 5x2+ y2 e (x, y) varia de (1, 2) a (1, 05; 2, 1), compare os valores de ∆z e dz

(4)

27. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com erro de medida de no máximo 0,1 cm. Utilize os diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.

28. Uma faixa de 5 cm é pintada ao redor de um retângulo de dimensões 2m por 3m. Utilize diferenciais para aproximar a área em cent´ımetros quadrados pintada na faixa.

29. Use a regra da cadeia para determinar dz dt ou dw dt (a) z = x2y + xy2; x = 2 + t4; y = 1 − t3 (b) z =px2_{+ y}2_{; x = e}2t_{; y = e}−2t (c) z = sen(x) · cos(y); x = πt; y =√t (d) z = x ln (x + 2y) ; x = sen(t); y = cos(t)

(e) w = xeyz; x = t2; y = 1 − t; z = 1 + 2t

(f) w = xy + yz2; x = et; y = etsen(t); z = etcos(t) 30. Use a regra da cadeia para determinar ∂z

∂s ou ∂z ∂t (a) z = x2+ xy + y2; x = s + t; y = st (b) z = x y; x = se t_{; y = 1 + se}−t (c) z = arctg(2x + y); x = s2t; y = s ln t (d) z = exy· tg(y); x = s + 2t; y = s t (e) z = ercos(θ); r = st; θ =√s2_{+ t}2 (f) z = sen(α)tg(β); α = 3s + t; β = s − t 31. Sabendo que w = x2+ y2+ z2, x = st, y = s · cos(t) e z = s · sen(t), calcule ∂w

∂s e ∂w

∂t quando s = 1 e t = 0 utilizando a regra da cadeia.

32. Sabendo que z = x y, x = re st _{e y = rse}t_{, calcule} ∂z ∂r, ∂z ∂s e ∂z ∂t quando r = 1, s = 2 e t = 0 utilizando a regra da cadeia.

33. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a dire¸c˜ao indicada pelo ˆangulo θ. (a) f (x, y) = x2y3+ 2x4y, P = (1, −2), θ = π 3 (b) f (x, y) = sen(x + 2y), P = (4, −2), θ = 3π 4 (c) f (x, y) =√5x − 4y, P = (4, 1), θ = −π 6 (d) f (x, y) = xe−2y, P = (5, 0), θ = π 2 34. Seja f (x, y) = 5xy2_{− 4x}3_{y, P = (1, 2) e V =} 5 13, 12 13

. Fa¸ca o que se pede. (a) Determine o gradiente de f .

(b) Calcule o gradiente de f no ponto P .

(c) Determine a taxa de varia¸c˜ao de f em P na dire¸c˜ao do vetor V .

(d) Determine a taxa de varia¸cão máxima de f no ponto P e em que dire¸cão a taxa de varia¸cão máxima ocorre. 35. Seja f (x, y) = y ln(x), P = (1, −3) e V = −4 5, 3 5

(5)

(d) Determine a taxa de varia¸cão máxima de f no ponto P e em que dire¸cão a taxa de varia¸cão máxima ocorre. 36. Seja f (x, y, z) = xy + yz2+ xz3, P = (2, 0, 3) e V = −2 3, − 1 3, 2 3

(b) Calcule o gradiente de f no ponto P .

(d) Determine a taxa de varia¸cão máxima de f no ponto P e em que dire¸cão a taxa de varia¸cão máxima ocorre.

37. Determine a derivada direcional da fun¸c˜ao f no ponto dado na dire¸c˜ao do vetor V : (a) f (x, y) = 1 + 2x√y, P = (3, 4) e V = (4, −3). (b) f (x, y) = x y, P = (6, −2) e V = (−1, 3). (c) f (x, y, z) = z3− x2_{y, P = (1, 6, 2) e V = 2i + 4j + 12k.} (d) f (x, y, z) = x · arctgy z , P = (1, 2, −2) e V = (1, 1, −1).

38. Determine a taxa de varia¸cão máxima de f no ponto dado e a dire¸cão em que isso ocorre. (a) f (x, y) = xe−y; P = (1, 0)

(b) f (x, y) = ln(x2+ y2); P = (1, 2)

(c) f (x, y) = cos(xy); P = (1, 0) (d) f (x, y, z) = x2y3z4; P = (1, 1, 1)