8. AB=2. 20 00cm= 4000cm= 40 m - 1ºH RESOLUCAO TRAB 4ºBIM

(1)

3 9 4

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Resolução dos exercícios

IHGFEDCBA

C A P i T U L O

1 0

FEDCBA

•

••

•

• E x e r c í d o s

1 . a ) Falsa, pois, por exemplo, os lados de um podem medir 1 cm e 2 cm e os do outro, 1 cm e 3 cm, ou seja, não

são proporcionais.

b ) Verdadeira.

c ) Falsa, pois, por exemplo, os ângulos agudos de um dos triângulos podem ser de 30° e 60°; os do outro

podem ser de 40° e 50°.

d ) Verdadeira.

e ) Falsa, pois, por exemplo, as bases de um deles podem medir 1 cm e 3 cm e as do outro, 1 cm e 4 cm; logo,

não são proporcionais.

f ) Falsa, pois um pode ter ângulos internos medindo 30° e 150° e o outro, 80° e 100°; logo, não são

semelhantes.

2 . Sejam x e y as medidas, em centímetros, dos lados de

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

R Tem-se

2

= ~ =

J.Q

=} x = 9 ey = 15.

2" '3 x y

3 . Sim, pois eles têm dois ângulos conqruentes, um medindo 48° e o outro, 90°. Logicamente, os terceiros ângulos

também são congruentes.

4 . O perímetro do quadrilátero dado é 85 cm e o do

pro-, _ 85 cm AB BC CD

curado e 17 cm. Entao, 17 cm = A'B' = B'C' = C'D' =

= DA ~ A'B' = 2 4 cm B'C'= 6 6 cm C'D'= 44 cm

D'A' ~ " " "

D'A' = 3,6 cm.

5 . Não, pois podem ocorrer dois casos:

ou

Nessa situação, os dois triângulos não são semelhantes.

6 . Se x, ye z são as medidas em centímetros das arestas

_ 1 8 2 6

do outro bloco, entao -3 = - = - = - =}

x

y

z

=} x = 24, Y = 6, z = 18.

d Ih f 6m 9 m

7 . A razão e seme ança entre as iquras e 5 m = 7,5 m =

=1,2

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

t ~

Daí:

2

= 1,2 =} x = 2,5 m; ~ = 1,2 =} Y = 3,33 m;

x w y

z = 6 - 3 = 3 m;

2.1

= 1,2 =}w = 2,52 m;

t = 5 - x = 5 - 2,5 = 2,5 =} t = 2,5 m.

8 . AB = 2 . 2000 cm = 4000 cm = 40 m BC = 4 . 2000 cm = 8000 cm = 80 m CD = 5 . 2 000 cm = 1 0000 cm = 1 00 m AD = 2,7 . 2000 cm = 5400 cm = 54 m

4 x 10

9 . a )

6

=

5

=} 6x = 20 =} x =

3

3 +x x

b ) - ' - - = - =} x2 = 12 + 4x =} x2 - 4x - 12 = O =}

x 4

=} x = -2 (não serve) ou x = 6

3 5 10

c ) - = - =} 3x = 10 =} x =

-2 x 3

3 5 18

- = - =} 5y = 18 =} Y =

-Y 6 5

1 0 .

40 30 20

'---~v~----'

90

180 = 90 0

=} x= 80 (lote I 80 m)

x

4

180 = 90 =} Y= 60 (lote Il: 60 m)

y

30

z = 180 - (80 + 60) = 40 (lote III: 40 m)

1 1 . 1 e 8 (caso LAL); 2 e 5 (caso LLL ou AA); 3 e 6 (caso LLL); 4 e 7 (caso AA).

1 2 . a) 48 = ~ = ~ =} x= 2 e y = 3

Y

x

b ) ~ = } L = ~ =} y = 10 e x = 8

354

1 3 . a )

48

10 x

48 18

Temos:

10

=

x

=} x = 3,75 m

b ) (3,75 - 0,50) m = 3,~ m

y 3,25

48 18

-- = 3 25 =} Y = 8,6 m

y ,

A sombra do prédio maior diminuiu,

(2)

1 4 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

AE

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

AC - EC

=

3 em

BE AE 4 3 32

Tem-se: -

= -

~ - = - ~

x

= -

em

. DE EC x 8 3

1 5 .

GFEDCBA

a )

MN PO 2 8

6AMN 6APO ~ AM =

AP ~

x

90 ~

~ x=22,5 m

Faltam 90 m - 22,5 m = 67,5 m para chegar ao

ponto mais alto.

b )

Q

AP PO 90

6APO 6ASR ~

As

=

SR ~

70

~ h

=

6,22 m

AB AD 9 6

1 6 . a ) 6ADE - 6ABC ~

BC

=

DE ~ x

=

8 ~

~ x = 12 em

ED CB 36 27

b ) 6EDA - 6CBA ~ DA =

BA ~

x

= x - 1O ~

~ x = 40 m

4 AB

1 7 . a ) 6CAB - 6XYB ~

2 =

3 ~

AB

=

6

2 5 4

b ) 6ABC - 6EDC ~

AB

=

2 ~

AB =

S-e ) 6ACD - 6CBD, pois AêD "" eBD e ADC "" CDB (ângulo comum). Daí:

AD

= -º2-

~ =

_1_0 _ ~ 4 . (AB+4)

=

100 ~ CD BD ~ 10 AB +4

~ AB= 21

A R

8

FEDCBA

h~

1 8 . 1Q_modo:

Da semelhançados triângulos ABC e ADE, podemos escrever:

AB AC BC

AD

=AE=DE~

5 4 BC

~ -

=

--2

=

-6 ~ AD

=

7,5 em e BC

=

4em AD 4 +

Operímetro do 6ABC é5 em+4em+4em= 13 em e o perímetro do 6ADE é7,5 em +6 em+ 6 em= 19,5 em.

did ' 13 em 13 2 Arazãope I ae 19,5em

=

39

=3·

2

2Q _modo:

A razão de semelhança entre os triângulos ABC e ADEé

AC 4 2 "d

k

= AE = "6 = 3·

Como o perímetro e a soma as

Resolução dos exercrcios

395

medidas dos três lados, a razão entre seus perímetros

b' ,2 tam em e

_{3 .}

1 9 . A

4

D F

'~----~v~----~

6

Seja

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

C a medida do lado do quadrado.

6ABC - 6AFD

~

= ~

4 -

FEDCBA

e

=

-.L ~

4 e

=

24 - 6 e ~ e

=

2,4 em

AF FD ~ 4 6

2 0 . p

Q1 - - - " 5

2x

R 84 T

6POS - 6PRT

PO PS OS

PR

p=r=RT

Da 1ª e da 3ª razões, temos:

_x_

= ~

~

J.-

= ~

~

OS

=

28 m

3x 84 3 84

2 1 . a ) A

f3 :

B 2 D 3 c

Chamando med(ABD) = a .e med(BÂD) = ~,temos

que a . + ~= 90°

*

• Oângulo BAc mede 90°; como med(BAD) = ~,

o ângulo CAD deve medir o complemento de ~,

que, por

*

r éigual acx.

Por fim, no 6CAD, o ângulo AêD mede o

com-plemento deo ; que é igual a ~.

Veja a figura abaixo:

A

f3, (X

B 3 c

(3)

es

IHGFEDCBA

c ã o a o s exercícios

GFEDCBA

b ) Podemos escrever:

AD BD AD 2 2

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

I r

-=-~-=-~(AD) =6~AD=-v6em

CD AD 3 AD

2 2 . Os triângulos AMN, BMP e PNC são semelhantes ao triângulo ABC pelo caso LAL.

l ~

B p C

~

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

6,5

AB AM

a ) .6.ABC ~ .6.AMN ~ - = - ~

BC MN

~g

=

li ~

MN = 3 25 em

6,5 MN '

.6.ABC ~ .6.MBP ~ = AC ~

g

=

FEDCBA

Q

~ MB MP 2,6 MP ~

~ MP = 3,65 em

AB NP 5,2 NP

.6.ABC ~ .6.NPC ~

BC

=

PC ~ 65

= 3 25 ~

~ NP = 2,6 em "

O perímetro, em centímetros, do .6..MNP é:

3,25 + 3,65 + 2,6 = 9,5

b ) _MNBC ₌ _MPAC ₌

PN

AB ₌

1;

2 _{os tnangu}., I_{os sao seme}- Ih_antes

pelo caso LLL.

AD AE 3 4 1

2 3 . a )

As

= AC ~ 9 + 3 = 4 + 12 =

4

b)~ 4

(

1

)2

1 c )

4

=

16

d ) Do item anterior, sabemos que

A6ABC= 1 6 . A6ADE'

isto é, A6ABC= 16 . 6crn/ = 96 cm-. Podemos também fazer:

A_6ABC= AC . AB₂ = 1 6 em . 1 2 em₂ = 96 _em2

AB h,

2 4 . a ) DE = -h- ~ h₂= 6em

2

b ) A área do triângulo ABC é: (5 em) ~ (3 em) = 7,5 cm-.

A área do triângulo CDE é (10 em)2' (6 em) = 30 crn-.

AB 5 1 1 (

Observe que k= - = - = - ek2 _{= -} _{7 5 . 30} ₌

DE 1

°

2 4' .

=

1.)

4 .

2 5 . Se o perímetro de T1 é 6 em, seus lados medem 2 em.

Se o perímetro de T2 é 24 em, seus lados medem 8 em.

Se a razão entre os lados é ~ = 4, a razão entre as áreas é 42 = 16.

2 6 . Se a razão entre as áreas é 3

46 = 9 = k2, a razão entre as

medidas dos lados ék=3. Então ~~ = 3 ~ AB = 12 em.

r

2 7 . ~ - x+ (8 - x)

_-ª-·4- 8-x ~x-3

(

8)2 400 20

y2= 42 + (8 - X)2= 42 + 8 -

3

= -9- ~ Y=

3

2 8 . a ) (.,1 5 )2 = 12 + _m2 ~ m = 2

(.,J5)2= m . y = 2y ~ Y = ~

(+

J

= (.,J5)2+x2 ~ X = ~

5

b ) 32 ₌ _(x ₊ _{2) . 2 ~} _x ₌

-2

45 3.,)5

y2= (x + 2) . x = - ~ y =

--4 2

c ) M

x N y

z

Q 4Y5 P

.6.PQN: (4.,J5)2= 42 + Z2 ~ Z= 8

.6.MPQ: (4.,J5)2= (x + z) . z ~

~ 80 = (x + 8) . 8 ~ x = 2

.6.MNQ: y2= x2+42 ~ y2= 22+42= 20 ~ Y = 2.,J5

2 9 . D E

r:-r-~

A

Os triângulos BAC e DCE são semelhantes e k = ~~ =

-.LJ2l-

2

- DE

-Temos:

{

AB = 2 . CD = 2 . 16m = 32m

AC = 2 . CE; como ~C + C~ = 6, concluímos que CE= 2 m e AC = 4 m

Usando o teorema de Pitágoras no .6.ABC, temos:

A(2 = B(2 + AB2 ~ B(2 = 42 _- _{3,22 ~}

~ BC = .,)5,76 m = 2,4 m ~ DE = 1,2 m

3 0 .

c:J---~---

~

4

50m

FEDCBA

5 5

x2= 502 + 42 ~

~ x2= 2516 ~

~ x =

-f2.5T6

= 50,1597

Como 50,152 = 2515,0225 e 50,162 = 2516,0256, o comprimento aproximado, por excesso, com erro menor

que 0,01, é 50,16 rn.

3 1 . a ) 172 = x2+ 15- ~ x2= 64 ~ x = 8 em

b) Seja f a hipotenusa do primeiro triângulo.

Então: f2 = 62 + 92 = 117 e 122= x2+f2 ~

(4)

t)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

X2+

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

X2= 16 => X2= 8 => x= 212 cm

GFEDCBA

d ) 62= X2

+

32 => X2=27 => X= 3-D cm

32'6

A 3 D 5 C

h2 _{= 3 . 5 = 1 5}_=> _{h =}

.J15

_cm

b2= 32+ h2= 24 => b = 2../6 cm

c2= 52+ h2= 40 => c= 2.flõ cm

IHGFEDCBA

3 3 . (;2= 402 + 202 = 2000 => (; = 20.,[5 m =44,6 m

3 4 . A base do triângulo de hipotenusa AB mede:

6· 0,40 = 2,4 => AB2= (2,4)2 + (1,8)2 = 9 => AB= 3 m

3 5 . O Pelo teorema de Pitágoras, obtemos

FEDCBA

x

= 5.

A distância total percorrida pelo . robô é

10m + 3 m + 6 m + 5 m = 24 m.

10m

6 6m

3m

3 6 . 3000 m = 3 km

.----_---'A~_----.,

V

:2

x

, , ,

(3)2 9

x2= 22+

2

=> x2= 4 +

""4

=>

25 ~

=>x2 =

4

=>x =

~4

=>

5·

=>x = -_2' = 2 5=>x = 2 5 km_,

32= x2₊ _(x₊ _{0,6)2 =>} => 9=x2+x2+ 1,2x+0,36 => => 2X2+ 1,2x - 8,64 = O=> => x2₊ _{0,6x - 4,32} ₌ _O=>

x+0,6 =>X = -0,6 ±

-f17:64

=>

2

=> x

=

-0,6 +4,2

=

1 8

2 '

O comprimento do portão é

x 1,8 m e a altura é 2,4 m.

36 cm .

3 8 . O lado do quadrado mede --4- = 9em A diaqonal d

é tal que d2= 92+ 92 => d = 912 em.

3 7 .

Resolução dos exercicros

397 TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e - D

3 9 . h = -2- =>

e

= 1 2

Operímetro é igual a

FEDCBA

3 e =3 . 12=36, ou seja, 36 me ras.

4 0 . a ) 262

=

x2+ (39 - 15)2 => X

=

10

b ) 122= x2+ ( ~)2 => X= 812

c ) 132= 122+

(V

J

=> x = 17 d ) 62 =(3-DY + {[10 -

;x

+ 2)lf =>

x

=2

4 1 . Seja x a distância, em metros, de Paulo (P) ao pé do poste (A): (3,5)2 = x2+ (4,5 - 1,7)2 => X= 2,1 m

B

4,5 m

C

-l,m

A' _iP

I X

4 2 . a ) De d2= (1 000)2 + (800)2, tem-se d = 100 ..•/164,

ou seja, aproximadamente 1 280 m.

museu

1000m

hotel: : monumento

11---11

800m

b )À velocidade de 2 km/h, cada grupo terá caminhado

500 m ao fim de 15 minutos. A distância x entre eles é determinada pela igualdade x2₌ ₍₅₀₀₎₂ ₊ _{(500)2 e} é aproximadamente 707 rn.

A

B 8 D e C

(5)

.6.BDG - .6.FEC

DG _ BD

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e _

8 2 _ _

EC - TE

=:}

2 -

FEDCBA

e

=:}

e -

16 =:}

e -

4 em

O perímetro do quadrado

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

é4 . (4 em) = 16 em.

b) A menor distância de A a BCédada pela medida do

segmento AH, com AH perpendicular a

se

(AH éa

altura relativa à hipotenusa BC):

A

B,~

FEDCBA

~v~ ~/C

14

• BC= 8 +

e

+ 2 = 8 + 4 + 2= 14 • .6.BGD: BG2= 82₊ _e2 ₌ ₈₂+ _{42 =:}}

=:} BG=

.j8õ

= 4.,[5 BD BG • .6.BGD - .6.GFA =:} GA =

GF

=:}

-ª- _

4.,[5 GA _

-ª- _

8.,[5

=:} GA - 4 =:} -.,[5 - 5

AB= BG+ GA= 4.,[5+ 8.,[5 = 28.{5

5 5

• .6.CFE:CF2

=

e

2 + ₂₂

=

₄₂+ _{22 =:}}

=:} CF=

-J2õ

= 2.,[5

• .6.CFE- .6.FGA =:} ~ = ~ =:} FA FG ~ _ 2.,[5 FA _ 4.,[5

=:} FA - 4 =:} - 5

4.,[5 14.,[5 AC= CF+ FA =:} AC = 2.,[5+ --5- =

-5-Por fim, no .6. retângulo ABC, temos:

b . c= a . h =:} AC . AB= BC . h =:}

14.,[5 28.,[5 28

=:} -- . -- = 14 . h =:} h= -- em= 5 6 em

5 5 5'

CAPITULO

IHGFEDCBA

1 1

•

c) A(2 = 52+ 42 = 41 =:} AC =

..[41

-

5 5..[41

sen A = -- =

---..[41

41

A 3cm

B(2 = 42+ 32 =:} BC = 5 em

- 4 - 3

cos B =

5

e cos C =

5

c

122 = c2+ 72 =:}

=:} c2 = 144 - 49 =:}

=:} c2 = 95 =:} c =

.J95

cm

-

.J95

-

7 cos B = --1-2-; cos C =

12

tg 270 = 120 =:}

d

120 =:} 0,5 = -d-=:} =:} d = 240 m

120 m

tg a. = 140 m =0,857

120m

O valor mais próximo

que encontramos na

tabela érI. = 41°.

97 sen 76° = - =:}

x 97 =:} 0,97030 = - =:}

x =:} x = 99,96 m = 100 m

b),~

A 7cm C

5 . a) /120m

~

d

b)

97m

32

tg a. = -.-~-- = 0,0833 ~

3,2 1 384

=:}-x-=TI=:}x=

,r-100m C,I ~ - - - - ~ v ~ - - - - ~

240m

6 .

8 . a) 162= 152+ d2 =:} d2 = 31 =:} d =..J3f m = 5,57 rr

6 x

7 · L

3,2

u . .

x

1 . A(2 = AB2+B(2 =:}A(2 = 82+ 152 = 64 +225 = 289 =:}

=:} AC = ~289 = 17 =:} AC = 17 cm b) t₉_{a. = --1-5-}5,57 ₌ O 37 A_, _. _{rampa nao e acessiver.}-, 'I

- 15 - 8 - 15

a) sen A =

17"";

cos A =

17"";

tg A =

8

- 8 - 15 - 8

b) sen C =

17"";

cos C =

17"";

tg C =

15

9 .

4 2

2 . a) .6.QOP: tg

e

=

""6

=

""""3

b) AQ'OP"

e -

P'Q' 2 - 6 OP' - 9

L . : ; .tg -

w

=:}

""""3 -

OP' ~ - m

- 2

3 . a) sen C =

7

b) B(2 = 112+ 602 = 121 + 3600 = 3721 =:}

=:}BC=~3721 =61

- 11 sen B =

61

escada

4 solo

a) seno .=

+

=

+;

na tabela, obtemos o .=42°.

(6)

10.~ T, T,

FEDCBA

x 200

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

y

~~

GFEDCBA

a ) Na trilha 2, pois a inclinação émaior.

° 200 200

b ) sen 10 = -x-~x = 0,174 = 1149,42 Aproximando, obtemos x= 1149 m.

° 200 200

sen15 = -- ~ y = O 259 = 772,2

Y

,

Aproximando, obtemos y= 772m.

A diferença pedidaé 1 149m - 772 m =377 m

IHGFEDCBA

1 1 .

250m

433m

, = 250 = O5773 (tabela) = 300

tg

FEDCBA

o . 433 ' ~ [ J .

4 4

1 2 . a ) tg 50° = -~ 1,19175 = -~x "'"3,36

x x

b ) cos30° =

6~

0,86603 =

6~

x= 5,196

75 (tabela)

c ) cos x= 106 ~ cos x=0,707 ~ x=45°

8

d ) sen54°= - ~ 0,80903 = - ~ x= 9,89

x x

3

sen20° =-~

x 3

~ 0,34202 = - ~

x ~ x = 8,77 km

1 4 .

1200m

, ,

área

de refúgio

sen75° = 1 2dOO ~ 0,96593 = 1 2dOO ~ d = 1159 m

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

m o n t a n h a

1 5 .

e

~ 1,42815 =

7O~

~

e

= 99,97 m ou

aproxi-madamente 100m.

e

tg 55° =-~

70

Resolução dos exercicios 3 9 9

1 6 . O seno de um ângulo agudo é definido, no riângulo retângulo, pela razão entre a medida do cateto oposto a

esseângulo e a hipotenusa. Ora, a hipotenusa

correspon-de ao lado correspon-de maior medida em um triângulo retângulo,

de modo que essa razão está entre Oe1. Para o cosseno

vale a mesma ideia.

A tangente de um ângulo agudo éa razão entre a

me-dida do cateto oposto ao ângulo e a meme-dida do cateto

adjacente ao ângulo.

Pode ocorrer que o cateto oposto meça mais ou menos

(ou até tenha a mesma medida) que o adjacente, de

modo que a tangente pode assumir qualquer valor real

positivo.

1 7 . c

ê

B

A 6cm

,AB 6

a ) sen C= AC ~ 0,2 = AC ~ AC=30 cm

b ) AC2= AB2+ BC2~ 302= 62+ B(2 ~

~ BC=~900 - 36 =~864 =12../6

• BC 12.,[6 2.,[6

sen A = AC = ~ =

-5-1 8 . a )

10 (tabela) _ 90

tgu .

=6=

1,666 .. ~ ( ' 1 . - 5

10

tgo .=

12

10 =,0833 .. ~---7 "'.=40°V .

ri. '

1?

c ) "

10 (tabela) 450

tgu .=

10

= 1 ~ o =

(7)

IHGFEDCBA

1 9 .

GFEDCBA

a )

b )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

sen 37" = 6

h

5~ 0,6 = 6h5~ h = 39 m

H = h + 3 ~ H = 39 + 3 ~ H = 42 m

42 -:- 2,8 = 15

Portanto, o prédio possui 15 andares.

8-D

2 0 . a ) tg 60° = -- = -D ~ x = 8 x

b ) sen 45° = ~ ~ .,[2 = ~ ~ x . .,[2 = 12 ~

x 2 x

12 r:;

~x =-- =6'12

12

c ) O triângulo é retângulo isóseeles; o outro eateto

também mede x.

Daí: 62 = x2 + x2 ~ 2X2= 36 ~ x2 = 18 ~ x = 3.,[2

x 11 ° 11 1

d ) sen 30° = -- ~ x = - . sen 30 = - . - ~

11 2 2 2

2

e ) eos 60° =

+~

+

=

+~

x = 4,5

f ) A hipotenusa do triângulo de eatetos.,[2 e

-fIO

mede

.J12

= 2-D.

2 1 .

2-D -D 2-D

Daí: cos30° = --~ -- = --~ x = 4

x 2 x

h

-D

h

sen60° = 6~2= 6~

parede ~ h = 3-D m

60

FEDCBA

0 d 1 d

eos

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= 6 ~ T = 6 ~

~d = 3m

2 2 . _{sen 60° =}

_8~

h

-D

h

~-2-=8~

~ h = 4-D m

8m

h

2 3 .

x

30'

H y

x 1 x 5-D

sen 30° = -- ~ - = -- ~ x =

--5.[3 2 5.[3 2

. v

-D

Y 15

eos 30° = ----L- ~ -- = -- ~ y =

-5.[3 2 5.[3 2

,. 5-D 15

O perimetro e: 2x + 2y = 2· -2-em + 2· Tem =

= 5-D em + 15 em = 5(-D+ 3) em

2 4 . A _{tg 60° = ~} _{~ -D = ~} _~

x x

4-D

~x = -3-em

4-D

CD = x+ 15 = -3- + 15

y

4cm

D x

4 -D 4 8-D

sen 60° = - ~ -- = - ~ y = -- em

y 2 Y 3

8-D AD = BC = -3-em

O perímetro do paralelogramo é:

2 . (4~

+

15)

+

2 . 8~

=

8-D 16-D ( )

= -3- + 30 + -3- = 8-D+30 em

2 5 . a ) AC é a altura relativa à hipotenusa BD. Lembrando

que o quadrado da medida de um eateto é igual ao

produto entre a medida de sua projeção na hipotenusa e a medida da hipotenusa, escrevemos:

AB2= BD . BC ~ 82 =(x + 4) . 4 ~

~16=x+4~x=12

b)~BAC4 1 c

~ c a ~ 8 ~ 2 " ' ' ' ~ 3 0

B 4 C 12 D

AB

c ) 1

º

modo l:>BAD tg ~ = AD;

mas AD2 = 162 - 82 = 256 - 64 = 192 ~ ~ AD = 8-D

8 1

-D

tg ~ = 8-D = -D =

-3-2º modo: Como

FEDCBA

a . = 30°, no l:>BACconcluímos que

med(ABC) = 60°.

l:>BAD 90° + 60° + ~ = 180° ~

-D

(8)

2 6 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

B

FEDCBA

40

Como med(BDA) = 120°, concluímos que med(ABD) =

= 30° e o ll.ABDé isóscelesde base AB.Assim, BD= 40 m.

No ll.BCD, temos:

GFEDCBA

a ) cos 60° = BXD=}

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+

= 4 x

O=} x = 20

h

,(3

h

b ) sen 60° =

BD

=} -2- =

40

=} h = 20,(3 m

2~---~~

A

, , , ,

:c

, , , ,

x D

• ll.ABD·tg 45° = AD =} 1 = € =}

. BD x+ 1,4

=}€=x+1,4 1

• ll.ACD tg 60° =

!..-

=},(3 =

!..-

=}

x x

=}f=x',(3 2

Substituindo 2 em 1 =} x . ,(3 = x + 1,4 =}

=} x . (,(3 - 1) = 1,4 =}

=}x= 1,4 =_1_,4_=~=2=} ,(3 - 1 1,7 - 1 0,7

Em 2,obtemosf=2· ,(3=2· 1,7=3,4=}f=3,4km

2 8 . a ) Não; sejam d e c, respectivamente, o desnível e o comprimento horizontal de cada uma das rampas.

Projeto1:

Ld

d 30

c

= 100 = 0,3 =} =} d = 0,3c

c

ProjetoII:

d

,(3

tg 30° = - = -- =}

c 3

,(3

=} d = -3- . c=}

=} d =0,577 . c c

b ) Projeto 1: 6 = 0,3 . c =} c = 20 m

,(3

ProjetoII 6 = -3- . c =} c = 6 . ,(3 m

Resolução dos exerci cios 4 0 1

c ) Projeto I: ProjetoII:

L~}

20

x = ~202 + 62 Y = ~36 + 108 x = ~ 436 :. y = 12 m

x

='2.[109

:. x= 20,88 m

d ) Na figura anterior, tgli= 260= 0,3. Na tabela, o valor

mais próximo éli = 1

r .

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 9 .

No triângulo PP'R,temos:

x ,(3 x 15,(3

cos 30° =

15

=} -2- =

15

=} x =

-2-OP' = 15 - x = 15 _ 15,(3 2 Como OP' = 00', segue que

( 15,(3)

PO = 2 . OP' =} PO = 2· 15 - -2- =}

=} PO = 30 - 15,(3 =} PO = 30 - 15 . 1,7 =}

=} PO = 4,5 m

~ A 1,5 km B x D

-'--",-..,-'---.,.---,---r- trajetória do avião ~

1I

,

.

I

h h

c

cabeceira da pista

Com a velocidade de 300 krn/h, temos:

3600 s- 300 km}

=} x = 1,5 km =} AB = 1,5 km

• 18 s - x

ll.ACD:tg350= h =}07= h=} 1,5+x ' 1,5+x

=} h = 1,05 + O,7x 1

h h

ll.BCD tg 56° = - =} 1 5 = - =} h = 1 5x 2

x 'x '

Igualando 1 e 2 : 1,05 + 0,7 x = 1,5 x =}

1,05 21

=}~=x=}x=16 km

. 3 21 63

(9)

esc

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ção dos exercícios

GFEDCBA

C A P i T U L O

1 2

IHGFEDCBA

1 . a) b = 6,5 cm e h = 12 cm

A = b . h =} A = (6,5 cm) . (12 cm) = 78

em-b)

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e

= 5-{3 m

A =

e

2 =} A = (5-{3 m)2 = 75 m2

{b= 16dm

1-:71

c) d r= Zô dm ~h

16

Pelo teorema de Pitágoras: h2 + 162 = 202 =}

=} h= 12 dm

A = b . h = (16 dm ) . (12 dm) = 192 drn?

d)

FEDCBA

e : medida do lado do quadrado 2p = 4 e = 24 m =}e = 6 m A =

e

2 _{= (6}_m)? _{= 36 m2}

tg 30° =

.h

=}.,[3 =...b... =}

b 3 12

=} h = 4.,[3 dm

A=b· h=

= (12 dm) . (4.,[3 dm) =

= 48.,[3 drn?

e)~

~h

b=12 dm

f) c

{t}

e2 + e2 = (5../2 mm)2

A = e2 =} =}A = 25

rnrn-e

1 cm - 200 m} .

2 . x = 0,3 . 200 m = 60 m (medida real) 0,3 cm - x

Are'l = (60 m)? = 3600 m2

3. _e _{= 2,5 u.c. =} A}

1 = (2,5 u.c.)" = 6,25 u.a.

A = 20· A₁ = 20· (6,25 ua.) = 125 u.a.

4 . Dimensões do retângulo: a e b

{

2a + 2b = 28 m =} a + b = 14 m -ª.. = l=}-ª.. = 12.-=}-ª.. = 12.-= a + b =}

b 434347

=}; =~ = 1

74=2=}a=6meb=8m

A = a . b = (6 m) . (8 m) = 48 m2

5 . • f: medida do lado do azulejo

d: medida da diagonal do quadrado d = e .../2 =} 1 5../2 = e ../2 =}e = 15 cm Logo: A₁ = (15 em)? = 225 cm2 (área do azulejo) • A2: área da superfície das paredes

Logo: A2 = (54 rn) (4,5 m) = (5400 cm) . (450 cm) = = (5400) . (450) em?

• n: número de azulejos que serão usados:

n . A

1 = A2=} n = 5400₂₂₅. 450 = 10800

6 . A = 225 m2 (área do quintal)

x: medida do lado da piscina original (em m)

x

A1 (área da piscina original): A1 = x2

A2 area(é da piscina re.. duzid )UZI a :{A2 = (x - 2)2 1 A2 = 0,36' 225 m2 2 De 1 e 2 : (x - 2)2 = 81 m2 =} x = 11 m =} =} A₁ = (11 m)2 = 121 m2

Logo:A₁_-A2= 121 m2-81 m2=40m2

.. _ {2a+2b=52dm

7 . ae b: dimensões da mesa =}

a . b = 144 drrr' 2

De 1 e 2 .obtêrn-se: a = 18 dm e b = 8 dm (ou a = 8 dm

eb= 18dm)

8 . A

1: área da área de serviço

A₁ = (2,10 rn) . (3,55 m) = 7,455 m2

A_{2: área da cozinha}

A2 = (2,55 m) . (4,50 m) = 11,475 m2 Logo: A

1 + A2 = 18,93 m2

9 . A malha é composta de 10 . 9 = 90 quadradinhos.

A: área de cada quadradinho de x m de medida do lado A = x2 = 36000 m2 =} x = 20 m

90

a) Perímetro das regiões I, II eIII: 14x = 280 m Perímetro da região IV: 12x = 240 m

Logo, as regiões com perímetros iguais são I, IIeIII. b) Ar = 6x2; AlI = 7x2; Am = 6x2; Arv = 6x2

Logo, Lucas deverá construir na superfície II.

AlI = 7x2 = 7 . 400 m2 = 2800

m-1 0 . Sejam a, b. c e d as dimensões, em metros, dos lotes representados. Temos: b

,---,---,

a

FEDCBA

750 300 a {' b ~ 750 m' 1

ã . C = 300 m2 ₂

b . d = 600 m2 ₃ d 600 x d

c . d = x m2

4 b c

De 1 e 2 : 12.-= 750 =} b =

2

c

*

c 300 2

Substituindo * em 3 : (; c) . d = 600 m2 =}

=} c . d = 240 m2 =} x = 240 m2

Assim, o preço de venda do lote de 240 m2 de área é: 240 . R$ 86,00 = R$ 20640,00

1 1 . A: área destinada aos espectadores

A = (180 m)· (60 m) = 10800 m2 = = 108000000 cm2

Logo:

(10)

1 2 .

GFEDCBA

A I :

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

área do piso da sala

AI = (9,60 m) . (4,50 m) = 43,20 m2

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e ~

4,SOm

9,60m

a )

FEDCBA

e : medida do lado de cada ladrilho

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x: número de ladrilhos colocados em 1 linha

9,60 96

x = - C - = 1 0 e

y: número de ladrilhos colocados em 1 coluna

4,50 45

Y = - c - = 1 ü e

Como 3 = mdc(96, 45) ex, yE 71., então, para que

se obtenha o menor número de ladrilhos, devemos

ter:

e

= 0,3 m

Logo x = 32 e y = 15 => x . y = 32 . 15 = 480

(480 ladrilhos colocados)

b ) Como C = 0,3 m = 30 em, então:

A = C 2 = (30 em)? = 900 cm2

1 3 . Paulo (tablete quadrado):

{

4 C = 12 em =>C = 3 em

AI = C 2 (área da superfície do seu tablete)

Carlos (tablete retangular):

. {~a=+3~b =212 em =>a + b = 6 em 3

A2 = a . b (área da superfície do seu tabletej 4

a

De 1 ,temos: AI = (3 em)' = 9

crn-De 2 e 3, temos: a + b = 6 em => 4b = 6 em =>

=>b = 1,5 em e a = 4,5 em

De 4 _{temos: A2 = (4,5 em) . (1,5 em) = 6,75}

em-Como as espessuras dos tabletes são iguais, então, se A2<AI'

Carlos teria vantagem em aceitar a troca.

1 4 . o~erve na fi~ura que:

{X

= C - 0 , 5

e - y + 1,1 - x+ 0,5 => o

Y =" -1,1

1'11 ~

Q

h

l°'s

y ~ ~ x

t

Ao = y2 = ( e - 1,1)2

Ao' = x2 = ( C - 0,5)2

A

'=

C 2 o

Resolução dos exercícios _{4 0 3}

Como Ao + Ao + Ao = 7,06 m2, temos:

, , 3

( C - 1,1)2 + ( C - 0,5)2 + C 2 = 7,06 m2=> =>3 C 2 - 3 ,U - 5,6 = O=>

!

= 2 m Logo, Ao = (2 m)2 = 4 m2

1 5 . a ) b = 15 em}

h = 6 em =>A = b . h = (15 em) . (6 em) = 90

em-A lS D

/:

7

B (

b ) b = 1OCm}

h = 4 em =>A = b . h = (10 em) . (4 em) = 40

em-A D

4

x

FEDCBA

10

10 -x

B L---J'(

4 ~

E

c ) b = 10 em

6AHB retângulo => sen 60° = :B => ~ = ~ =>

=> h = 3-D em

A = b . h = (10 cm)(3-D em) = 30-D em'

Ar- 1~0 __7D

6 h

B (

1 6 . b = AD = 12m

A,~ 1~2~m~ ~D

8m h

B H (

6AHB retângulo =>sen 60° =

.h.

=> -D =

Jl

=>

=> h= 4-D m AB 2 8

A = b . h = (12 m)(4-D m) = 48-D m2

1 7 . 6AFE retângulo }

3 =>

AE = 30 m e AF = - . FE

4

9

=>AF2 + FE2 = 302=> - . FEl + FEl = 900 =>

(11)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3

=} FE = 24 m =} AF = - . 24 m = 18 m

4

FEDCBA

A B c

30

F E D

AACDF= 504 m2 =} AF . FD = 504 =} 18 . FD = 504 =}

=} FD = 28 m

Como AF e ED = FD - FE = 28 m - 24 m = 4 m são

as respectivas medidas da altura e da base da

passa-gem (paraleloqramo). então sua área é:

AABDE= ED . AF = (4 m) . (18 m) = 72 m2

Outro modo de resolução:

Primeiramente determinam-se FE = 24 m e AF = 18 m,

da forma como foi feito anteriormente.

Como os triângulos retângulos AFE e CDB são

con-gruentes, temos:

AACDF= 2 . AAFE+ AABDE=}

=} 504 = 2 .

(+ .

24 . 18) + AABDE=} AABDE= 72 m2

IHGFEDCBA

1 8 . a) 6ABC é equilátero.

A

e=8m

A =

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e

2_{..[ 3} _=}

4 =} A = 64..[3 =}

4

=} A = 16..[3m2

B 8 c

b) b= AC = 8 m

Hé ponto médio de BC =} BH = HC = ~ = 4 m

2 A

6AHC retângulo =}

=} h2 + 42 = 122 =}

=} h = 8,/2 m

1

A=-· a· h=}

2

=}A=

J....·

_{8· 8,/2=}} 2

=} A = 32,/2 m2

c) a BC = 11 m; b = AC = 9 m; c = AB = 4 m

A

~

B x 11 - x c

42 = h2 + x2 =} h2 = 16 - x2

92=(11-x)2+h2=}81 =121-22x+x2+h2 2

Substituindo 1 em 2 :

81 = 121 - 22x + 16 =}

=} 22x = 56 =} x = ~~ m

Em 1 : h2 = 16 - 784 = ..l...!...21.. =} h = 24,/2 m

121 121 11

11 . 24,/2

AABC= 2 11 =} AABC= 12,/2 m2

d) 6ABC retângulo =} tg 60° = BhC=}

=} h = BC . tg 60° = 12..[3 m

A A =

J...

BC . h=}

2

=} A = J.... . 12 . 12..[3 =}

2 =} A = 72..[3 m2 h

c

e) A

B c

6AHB retângulo =} h2 _{+ 22 = 62 =} h = 4,/2 m}

*

6AHC retângulo =} h2 + H(2 = (4../6)2 ~

=} H(2 = 96 - 32 =} HC = 8 m

Logo: a = BH + HC = 10m e h = 4,/2 m.

A = J.... . a . h = J.... . 10 . 4,/2 =} A = 20,/2 m2

2 2

1 9 . a) b = 12 em e h = 8 em

A = J.... . b . h = J.... (12 em) . (8 em) = 48

em-2 2

b) A

8

h 10

B x 14 - x C

{

82 ₌ _h2 ₊ _x2 ₁

102 = h2 + (14-x)2=} 100 = h2 + 196- 28x+x2 ₂

Substituindo 1 em 2

40

100 = 64 + 196 - 28x = 160 =} x =

7""

m

Em 1 : 64 = h2 _{+ 1600 =} h2 = 1 536 =}}

49 49

14. 16../6

A = ~ = 7 = 16.,[6 m2

2 2

c) 6ABC é equilátero e

e

= 6 dm.

A =

e

2

..[ 3 =} A = 62. ..[3 =} A = 9-13

(12)

d )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

6BHC retângulo ~ h2+ 32 = 122 ~ h =

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 m m

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

B b = AC= 6 m

1 A=-·b·h=

2

=

1..

(6m ) ( 3 m

m)

=

2

FEDCBA

=

9 m

m2

A3mH3mC

e ) b = 4,8 cm e c = 3,6 cm

B

3,6cm

A=1..·b·c=

2

1

= 2 (4,8 cm)(3,6 cm) =

= 8,64 cm2

A 4,8 cm C

IHGFEDCBA

f ) AB2+A(2 = B(2 ~ 122+A(2 = 182~ AC = 6-J5 dm

"dm~"dm :;

16;:m;:2~dm)~

~ = 36-J5dm2

A C

9)~A

~

B H C

1

18m I

h: medida da altura AH do 6ABC

6AHB retângulo ~ sen 300

=

t4 ~ ~

= 1h4~

~ h = 7 m A: área do 6ABC

1 1

A = - BC . h ~ A = - . (18 m) . (7 m) = 63 m2

FEDCBA

2 2

2 0 .A folha de papel tem 42 quadradinhos, cada um dos quais com área igual a:

C 2 = (0,24 m)· (0,28 m) = 00016 m2 = 16 crn- ~

42 '

~ C = 4cm

j

h = medida da altura do triângulo ~

~ h = 3 . (4 cm) = 12 cm

b = medida da base do triângulo ~

~ b = 6 . (4 cm) = 24 cm

Logo, a áreaé:

A = 1.. . b . h = 1.. (24 cm) . (12 cm) = 144

em-2 2

2 1 . Observe na figura que: 1

ABCE= 2"CE . BM

CE = AC = 6.,[2 cm }

BD 6.,[2 ~

BM= T = - 2 - = 3 . , [ 2 c m

~ A

BCE= ~(6.,[2 cm) . (3.,[2 cm) = 18 cm2

' ( o uc d x ( ro _{4 0 5} A

6 M

D C

E

_II

,..---.:. ----"D

3-Y2

-m

5

45'

B C

A = área do 6BMC ~ A = 1.. . (3.,[2) . ( 3.,[2) ~

I I 2 5 5

~A =~m2 I 25

A = área da superfície da mesa ~

~ A = 4 . A = 4 . ~ m2 = 1 44 m2

-.- I 25 r

2 3 . 6ABC retângulo, em que b e c são as medidas dos catetos ea éa medida da hipotenusa.

j

b + c = 28 cm ~ (b+ C)2= 784 cm2 ~

~ b2+ c2+ 2bc = 784em- 1

a2 ₊_b2₊_{c2 = 800 cm2 ~} _b2₊_{c2 = 800 cm2 - a2 2}

a2 = b2 ₊ _{c2 (teorema de Pitágoras)} ₃

De 2 e 3 : a2 _{= 800} _{em- -} _{a2 ~}

~ a2_{= 400} _em' _{= b2}₊ _{c2 4}

Substituindo 4 em 1 :400 cm2+ 2bc = 784 em- ~

~ bc = 192 cm2 ~ A = 1..bc = 96

em-ABC 2

2 4 . Para calcular a área da região sombreada, vamos dividi-Ia em5regiões triangulares - (ABC), (CDM), (DEF), (HMG)

e (AHI) -, em que (CDM), (DEF)e (HMG) são congruentes

entre si.

2 B

2 _D

C A

H M

G

Temos:

A = 1.. (3 . 2 cm) . (2 . 2 cm) = 12 cm2 ~BC 2

1

ACOM_{= AOEF}_{= AHMG= 2(2·2} cm) . (1 ·2 cm) = 4

em-A~HI= +(4 . 2 cm) . (1 ·2 cm) = 8

em-Logo: A = AABC+ 3 . ACOM+ AAHI=

= 12 crn?+ 12em? + 8 cm2 = 32

em-(Sugestão: pedir aos estudantes que encontrem outras

divisões que permitam calcular a área da região

(13)

o a o c . : > c : :x

IHGFEDCBA

" t '

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

cios

2 5 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

AI = X . Y (área do retângulo)

Observe na figura que l:,.AED - l:,.ABC, ou seja:

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 7 - Y = ~ ~ y = 2 7 _ 1 1 x

27 32 32

A

27 - Y

B f-I---+ ----1 C

32 - x y

E~ ~O

x

( 27X)

~=x.y=x. 27-""32 ~

27x2 ~ AI=27x - ""32

/';' ,. -b-27

'1 e maxrrna se X= Xv =

2a

= -_...=..:..._- = 16 ~

2 . (-

~n

~ X = 16m

27

Nesse caso, y = 27

-32'

16 = 13,5 ~y = 13,5 m.

As dimensões são 16 m e 13,5 m.

2 6 . €: medida do lado do l:,.ABC (equilátero)

[ + 25%[ = [ +

!

= ~

FEDCBA

t : medida do lado do l:,.EBD

(equi.átero) E

(213 AABe=

-4-(~ € y

· 13

AEBD = 4

2 5 € 2 1 3 2 5 =

16" .

-4- =

16 .

AABe

9

= AABe+

16 .

AABe= AABC+ 0,5625 . AABe

Logo, o acréscimo na área do l:,.ABC é de 0,5625 =

= 56,25%.

B '---L (---'O

I f I 4

2 7 . A 2 em O E 2 em F

Sem

B 2em ( G 2 em H

AI: área do retângulo ABCD

AI = (2 em)(5 em) = 10 em2

A2: área do triângulo EFM

A =LJl=h

FEDCBA

2

A₃: área do triângulo GHM

A

=

2· (5 - h)

=

5 - h

3

2

A: área do monograma

A = AI + _A2+ A3 =

= 1O ~ + 5 ~ ~ A = 15 em2

x: preço do tecido por monograma

1 m2 = 10 000 crn/ - 120 reaiS} _ 15· 120

1 5 em- - X ~ X - 1O000 ~

~ x = R$ 0,18

P:preço unitário do monograma

P = R$0,18 + R$ 7,50 = R$ 7,68

Logo, Kátia deverá desembolsar:

20 . R$ 7,68 = R$ 153,60

2 8 . a) D = 16 dm e d = 12 dm

A = + . D . d ~ A = + (16 dm) . (12 dm) = 96

drn-b) M: ponto médio de AC e BD

A

B

MC =

-º-

e MD =

.si

O 2 2

D = 2 . 16 dm e d = 213 dm

(

A =

J...

D . d ~ A =

J...

(216 dm) .( 2 1 3dm) = 6.,[2 dm'

2 2

c)

D

}

AM

=-2

~

l:,.AMD é retângulo

~ (~ y + 4 2 = 1 2 2 ~

O ~ D = 16.,[2 dm

d = BD = 8 dm A

B

c 1

A=-· D· d~ 2

~ A = +( 16.,[2 dm) . (8 dm) = 64.,[2 drn?

2 9 . a ) D = AC = 12 em ~

~AM = 6 em

d = BD ~ MD =

.si

O

2

A

B

c

l:,.AMD é retângulo ~ AM2+ MD2 = AD2 ~

d2

~ 36 +

4""

= 64 ~ d = 4.[7 em

1

Logo' A = -_. ₂ . D . d ~

(14)

b)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

D

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2p = 40 dm ~

~ 4f = 40 dm ~ f = 10 dm

D = 16 dm e MD =

-ª-º-

=

-ª-2 2

c

l',.AMD é retângulo ~ AM2 + MD2 = f2 ~

~ 64 +

(n

2

= 100 ~ d = 12 dm

1

Logo: A = 2 . D . d ~

~ A = .l(16 drn) : (12 dm) = 96 drn?

2

GFEDCBA

c ) A 2p = 4€ = 60 em ~

~ f = 15 em

B D

c

l',.AMB é retângulo

{

BM 1 15

eos 600 _{= -} _{~ BM = -} _{. 15 em = -} _em

f 2 2

o AM .,[3 15.,[3

sen60 =- ~AM =-· 15em =-- em

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c

2 2

d }

BM = - ~ d = 2 . BM = 15 em

2

FEDCBA

D

~

AM = 2 ~ D = 2 . AM = 15.,[3em

1

~A=-· D· d~ 2

1 ( h ) 225.,[3

~A=- 15-v3em · (15em)=--

em-2 2

d ) A 4f = 50 m ~

e

=

2}

m

B D

c

d 3 d D

D=4~3=4

l',.AMD retângulo:

d2 D2 625

4

+

4

= f2 ~ d2 + D2 = 4 .

4

= 625 2

d2 D2 d2 + D2 2 d2 D2 625

De 1 · 9=16= 9 + 16 ~ 9=16=25~

Resoluçãe do s xercicios

IHGFEDCBA

4 0 7

{

d2 = 9 . 25 ~ d = 15 m

~ e

D2= 16· 25 ~ D = 20 m

1 1

Logo: A = 2 . D . d ~ A = 2(20 m) . (15m) = 150 m2

30._e _{= 1".25em} _e

g -

!

A

B D

l',.AMD retângulo ~

~ AM2 + M D2 = f2 ~

D2 d2

~-+-= 1252~

44'

~D2+d2=4· 1,252 2

c

~ ~ =

-º=. ;;.

4· 1,252 ~ {d = 1,5 em

9 16 25 D = 2 em

medida medida no mapa real

1 em - 90 km} ~ d = 135 km

1,5 em - d, t

medida no mapa

1em

-2 em

-medida real

90km}~ D = 180 km

D

_r

'

Logo, a área real é:

1 1

A=-· D· d ~A=-(180km)· (135km)= 12150km2

2 t 2

3 1 . a ) b = 10m; B = 24 m;h = 12m

1 1

A = 2 (b + B) .h ~ A = 2 (10 + 24) . 12 ~

~ A = 204 m2

b ) b = 5 m; B = 15m

P 5 5

12,5

h

Q

l',.PHQ retângulo:

QH2 + h2 = PQ2~ h2 = 12,52 - 102 ~ h = 7,5 m

1 1

A = 2 (b + B). h ~ A = 2(5 + 15) . 7,5 ~ A = 75 m2

c ) b = 4 m; B = 10m; h = 5 m

A = .l (b + B) . h ~ A = .l(4 + 10) . 5 ~ A = 35 m2

(15)

Reso ucão dos exer,'cio,

GFEDCBA

d ) b = 20

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

m

p

FEDCBA

20 5

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L

C _

h\15

Q T H 9 R

L"PTQ e L"SHR congruentes :::}QT = HR = 9 m

B = QT + TH + HR = (9 + 20 + 9) m = 38 m

L"SHRretânqulo ee h2 + 92 = 152 :::} h = 12 m

1 1

A = 2(b + B) . h :::}A = 2(20 + 38) . 12 :::}

:::}A = 348 m2

e ) b =6 m

FEDCBA

,"t

6 hS~

Q 2 H, 6 H, x R

L"PH₁Q retânqulo ee 22 + h2 = (2.J1(iY :::} h = 6 m

L"SH₂Rretânqulo ee x2 + 62 = (6.,[2)2:::}X = 6 m

B=2+6+x:::}B=14m

1 1

A = 2(b + B) . h:::} A = 2(6 + 14) . 6 :::}A = 60 m2

f)b=6m

p ₆ ₅

h 4-./3

Q H, x R

{

eos 6 0 ° =_x L"SH

2Rretãnqulo ee 4..[3 :::} sen 6 0 ° = hr=;

4,,3

{

X = + . 4..[3 :::}x = 2..[3 m

:::}

..[3

h=

2'

4..[3 :::}h= 6m

L"PH

1Q retângulo isóseeles :::} QH1 = h = 6 m

B = QH

1 + H1H2+ X = 6 + 6 + 2..[3 = 12 + 2..[3:::}

:::} B = (12 + 2..[3) m

Logo: A = ; (b + B) . h = +(6 + 12 + 2..[3) . 6 :::}

:::} A = (9 +..[3)6m2

IHGFEDCBA

3 2 . b = 10m; B = 26 m

10m

P 5

'2~J

Q 16m H R

10m

L"PHQ retângulo :::}

:::} h2 + 162 = 202 :::} :::}h=12m

1 1

A = 2(b + B) . h:::} A = 2(10 + 26) . 12 :::}A = 216 m2

Logo, o preço de venda é:

216· R$ 350,00 = R$ 75600,00

3 3 . 2p = 78 m :::} 2x + 15 + 33 = 78 :::}x = 15m

P 15

m

5

L"PHQ retângulo

h2 ₊ ₉2 _{= x}2 _:::}

:::} h2 = 152 - 92 :::}

:::}h=12m

b = 15m; B = 33 m

A = +(b + B) . h = +(15 + 33) . 12 :::}A = 288 m2

3 4 . h = 4 dm; B = b + 3 dm

A = 24 drn- :::}+(b + B) . h = 24 :::}

:::} (b + b + 3) . 4 = 48 :::} b = 4,5 dm

Logo: B = b + 3 dm = (4,5 + 3) dm = 7,5 dm

3 5 . b = 6 em; med(PSR) = med(QPS) = 1 2 0 °

12m

H x R

Q x 12m

L"SHR retângulo:

{

eos 3 0 ° = ~ :::} ..[3 = ~:::} y = 4-J3 m

y

2 Y

x

1

x

sen 30° =

Y :::}

2 = 4..[3 :::}x = 2..[3 m

2p = 12 + 2y + 2x + 12 = 24 + 12..[3:::}

:::} 2p = 12(2 + ..[3) m

B= 12 + 2x :::} B = (12 + 4..[3) m

A = +(b + B) . h = +( 12 + 12 + 4..[3) . 6 :::}

:::} A = 12 .(6 +

..[3)

m2

3 6 . a ) L"AOB equilátero :::}

1 8..[3

:::}AAOB= 2 . 8 . -2-:::}

:::}AAOB= 16..[3 em2

8 8

A 8 B

Ahe>ágOnO= 6 . AAOB:::}Ahexágono= 96..[3

em-b ) L"AOB equilátero em que

h = OH = 9em :::}

e..[3

:::}h= -2- :::}

e..[3

:::}-- = 9 :::}

e

= 6..[3 em

2

(16)

A.

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= 6 . A = 6 .

(-1 .

6.,[3 . 9) em2=

hexagono AOB 2

= 162.,[3 em2

GFEDCBA

c ) 60HB retângulo =} HB2+22= 2,52=} HB= 1,5 em

H é ponto médio de AB =}

=} AB = 2 . H B=} AB = 3 em 2p = 5· AB=}

=} 2p = 15 em =} p = 7,5 em

a

=

OH

=

2 em

A = P .a = (7,5 em) . (2 em) = 15

crn-d ) 60HB retângulo =} HB2= 152 - 122=} HB= 9 em

AB = 2 . HB =

=

2 . (9 em)

=

18 em 2p = 7 .AB =

= 7 . (18 em) =} p = 63 em

o

12 15

a = OH = 12 em

A = P .a = (63 em) . (12 em) = 756

em-37.

_{TSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

_e

= 0,8 m

60HB retângulo:

a

2

+

(;)2

= e2 =}

=} a2=0,82 - 0,42=}

=} a = 0,4.,[3 m

FEDCBA

HJ.-B

2

2p = 6 .e = } 2p = 6 . 0,8 m =} p = 2,4 m

A = P .a=}A = (2,4 m) . (0,4.,[3) m = 0,96.,[3 m2

IHGFEDCBA

3 8 . CD = AB = 4 em

A 6COD isóseeles=}

=} M ponto médio de CD=}

=} MD = 2em

4

B E

AM = AO + OM =} 6 = AO + a=}AO = 6 - a

60MD retângulo =} a2+ 22= (6 - a)2=}a = ~ em

2 p = 5 . AB =} 2 P= 5 . 4 em =} p = 1O em

A = P . a= (1Oem) (~ em) = 8 30 em2

< i

Resolução dos exercícios 4 0 9

3 9 . a = 3em

a= OH: altura do 6AOB, eqUilátero}

(apótema do hexágono) =}

AB= e

=} a =

FEDCBA

e .,[3 =}3 = e .,[3 =}e = 2.,[3 em

2 2

a ) A1 = área do 6AOB }

( )

.,[3 =}

e = 2.,[3 em =}a= 2.,[3 em ."2= 3em

=} A =

-1 .

(2.,[3 em) . (3 em) = 3.,[3 em-1

2

A

=

área do hexágono =} A

=

6 . A 1 =}

=}A = 6 . (3.,[3 em2) = 18.,[3

em-b ) 2p = s e =} 2p = 5(2.,[3 em) = 10.,[3 em

40.a) r = 1 1 dm}

=}A =rr(1 1 d rn)?= 1 21nd m2 A = m2

b ) d = 2r = 24 m =} r = 12 mi..=}

A = m2

_J

=} A = rr(12 m)? = 144rr m2

c ) 2m = 32rrem =}r= 16em} =} A =m2

=} A =rr(16 em)? =256rr

em-4 1 . T,--::o---r___:;:---, 2r= 1 2 dm =}

=} r = 6 dm A = m2 _=}

=} A = rr(6 dm)? = 36rr

drn-o

12dm

4 2 . 2m = 2 . (6rr em) + 2 . (4rr em) =} r = 10 em A = m2=}A = n:(10 em)? = 100rr em2

4 3 . a ) r= 5m A = m2 _=}

=} A = rr(5 m)2 = 25rr m2

b) 6AOB isóseeles =}

=} M ponto médio de AB=}

=} MB = AB = 6 m

2

o r

i: ! ! : 2 '

A~

(17)

OM2 + MS2

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= OS2 ~ 42+ 62= r2 ~ r=

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 m

m A = m2 ~ A = rr(2m mr = 52rr m2

GFEDCBA

c ) PT tangente àcircunferência ~

~ OT 1. PT ~ OT =r 1",.PTO retângulo: OT2+ PT2= OP2 ~

~ r2+ 82= (r +4)2 ~ r= 6 m A = m2~ A = rr(6 m)2= 36rr m2

o

p

1",.ACS retângulo

x2 ₊

FEDCBA

_{( 4 - I2 Y} ₌₆_{2 ~} _X ₌₂_m

OS= r; CO = r - x= r - 2 } 1",.SCO retângulo ~

~ (4..f2r + (r - 2)2= r2 ~ r = 9 m

A = m2 ~ A = rr(9 m)2= 81 rr m2

IHGFEDCBA

4 4 . 0,35 m

(III)

O A m O A m

(I) 0,35 m

FEDCBA

(lI)

O A m (IV) O A m

0,35m

I U II: círculo de raio r= 0,4 m

AIU II = m2= rr(O,4 rn)?= O,16rr m2= 0,5024 m2

III U IV: retângulo (0,35 m) x (0,8 m) A_mu1v = 0,28 m2

Atampo =AlUll +AmUIV =0,5024 m2+0,28 m2=0,7824 m2

4 5 . a )

6

A: área da superfície sombreada

AI: área do semicírculo de raio rI = 3 dm

1 1 9

A = - m2 ~ A = - rro 32 ~ A = - rr

drn-I 2 I I 2 I 2

A2: área do semicírculo de raio r2= 1 dm

1 1 1

A = - m2 ~ A = - rro F ~ A = - rr drn?

22222 22

9 1

A = A - A ~ A = - rr - - rr ~ A = 4rr

drn-I 2 2 2

b ) A

o

c

AS

o

= ( }

d = OS = 4 ~ d = e ..f2 ~ 4 = c ..f2 ~

~

e

2 ₌ ₈

drn-AI = f2 (área do quadrado) ~

~ AI = 8

drn-r = OS = 2 dm

A2

=

m2 (área do círculo) ~ _A2

=

4rr drn-A = _{A2 - AI (área da região sombreada)}

A = 4(rr - 2)

drn-c )

A o C

I 1 o

20

AS = 20 dm ~ AC = 5 dm; CD = 10 dm; OS= 5 dm

AI: área do semicírculo de centro 0

1 e diâmetro AC

AI =

t

rr (; dm)2 = 2; ndrn?

A2: área do semicírculo de centro O e diâmetro CD

1 25

A

=

-rr (5 dm)2 ~ A

=

-rr drn?

2 2 2 2

A

3: área do semicírculo de centro O2 e diâmetro OS

A = A = Qrr

drn-3 I 8

A

4: área do semicírculo de centro Oe diâmetro AS

1

A4= 2"rr (10 drn)' = 50rr drn?

A: área da região sombreada ~ A=A4 - AI - A2 - A3=

=

(50rr - 25rr _ 25rr _ 25rr) drn?

=

125rr

drn-828 4

4 6 . r = 49 m

A = área da praça ~ A = m2 ~

~ A

=

22 o (49 m)2

=

7546 m2

7

Como a ocupação média era de 4 pessoas por rn-', então

estima-se que o número de pessoas presentes era: 4 o 7546 = 30184

4 7 . {AS

=

16 cm ~ rI + r2

=

16 cm 1

SC= 24 cm ~ _r2+ r3= 24 cm 2

(18)

De 1 e 2 ,temos:

{

r

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 = 16 - r2

= 24 - ~ r, + r3 = 40 - 2r2 ~ r

3 r2

~ 22 = 40 - _{2r2 ~ r2}= 9 cm

Logo: r, = 16 - 9 ~ r, = 7 cm

r3 = 24 - 9 ~ r3 = 15 cm

Assim, as áreas dos círculos de centros

GFEDCBA

A , B e C são,

respectivamente: m~= 49rr em': m~= 81 rt cm2 em~=

= 225rr crn-.

IHGFEDCBA

4 8 . a ) r = 4 m e8 = 30° ângulo

central área (rn-)

360° - n .42} 30 4rr

30° - A ~ As.tor

=

360 . 16rr m2

=

3

m2

s e t o r

b ) r = 9 dm e8 = 120°

ângulo área (drn-) central

360° - rr . 92} 120

1200 _ A ~ Asetor

=

360 . 81n drn-

=

27rr drrr'

s e t o r

c ) r

=

12m e 8

=

45° ângulo

central área (rn-)

360° - rr· 122} 45

450 _ A ~ As.tor= 360 . 144rr m2= 18rr m2

s e t o r

d ) r = 6 cm e8 = 90° ângulo

central área (em')

3600 - rt . 62} 90

900 _ A ~ As.tor

=

360 . 36rr em-

=

9rr cm2

s e t o r

e ) r = 10 cm e8 = 1 500 ângulo, ( ') central area cm

360° - rr· 102} 150 125rr

1500 _ A ~Asetor= 360 . 100rrcm 2 ₌

-3-cm2

s e t o r

f ) r = 2 km e8 = 300° ângulo

central área (krn-)

3600 - n :2 2

}

~ A =_3_00_. 4rr km2=_1_0_rrkm2 3000

- As•,or setor 360 3

Resolução dos exercícios 4 1 1

A,: área do setor de 90° e raio 4 m

1 1

A = -m2 ~ A =-rr . 16 ~ A = 4rr m2

" 4 1 1 4 1

A_{2: área do setor de 90° e raio 2 m}

1 1

A2 = "4m~ ~ _A2= "4rr . 4 ~ _A2= nm2

A: área da região sombreada

A = _{A, - A2} = 3rr m2

b)

A_{t: área do círculo} de raio 6 m

A, = rr(6 m)2 = 36rr m2

A_{2: área do círculo} de raio 4 m

A2

=

rr(4 m)2

=

1 6rr m2

A: área da coroa circular

A _6m B

A,: área do setor de 90° e raio r= AB = 6 m

1

A = -rr . (6 m)2 = 9rr m2

t

FEDCBA

4 A_{2: área do 6ABC}

A2 =

+ .

(6 m)(6 m) = 18 m2

A: área do segmento circular

A =A, - ~ ~ A = 9(rr - 2) m2

d ) 5m

5m

A _5m

A,: área do setor de 90° e raio r = AB = 5 m

1 25rr

A

=

-rr(5 m)2

= --

m2

1 4 4

A_{2: área do 6ABC}

1 25

A = - .(5 m)(5 m) = - m2

(19)

· 2

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Resolução dos exercicios

A3: área do segmento circular contido no 6ADC 25

A3= A1 - A2 ~ AJ= 4(rr - 2) m2

A: área da região sombreada

A = 2 . AJ ~ A = 225(n - 2) m2

GFEDCBA

e ) r= OM; R= OB

6AOB isósceles ~

~ M é ponto médio de AB

MB = 5m

10m

60MB retângulo ~ OB2= OM2 + MB2 ~

~ R2 - r2

=

25 ~ rrR2 - rrr2

=

25rr

(. n)

Logo, Acoroa= rrR2 - rrr2 ~ Acoroa= 25rr m2

f ) • Lembrando que: "Se BC é um diâmetro de um cír-culo de raio R, então o triângulo ABC, inscrito no

semicírculo, é retângulo em A".

De fato, observe na figura abaixo que:

{

1800 -

FEDCBA

( J .= 28 1

( J .= 2~ 2

Adicionando membro a membro 1 e 2 ,temos:

180° =28 +2~ ~ 8+ ~=9 0 ° ~ med(BÂC) = 90°

1800

- a

• Temos:

AH: altura do triângulo retângulo BAC

R=medida do raio do círculo maior HO =4m

Pelas relações métricas no 6BAC, temos:

AH2= BH . HC~

~ AH2=(R - 4) . (R+4)= R2 - 16

*

Pelo teorema de Pitágoras no 6AHB, temos:

AB2= AH2+ BH2 ~ 82= (Rl - 16) + (R - 4)2 ~

~ Rl - 4R - 32 = O ~ R= 8 m

• Logo, a área da coroa circular é:

A = rrR2 - rrr2 ~ A = 64rr - 16rr ~ A = 48rr m2

8

IHGFEDCBA

5 0 . Diâmetro da piscina = 2r = 8 m ~ r = 4 m

Largura do piso = 2,5 m ~ R= 4 m + 2,5 m = 6,5 m

A: área do piso ~ A = rrR2 - rrr2 ~ A = 6,52rr - 42_{rr ~}

~ A = 82,50 m2

Logo, Marina gastará: 82,50 . R$ 16,00 = R$ 1320,00

5 1 . a ) A₁: área do setor

ângulo área (em') central

OL...'----'-"c--1 B 360° _ n :42 } ~

45° - A₁

~ A = 45 . 16rrem- = 2rr cm2 1 360

A2: área do 6AOB

AH = medida da altura do 6AOB

med(AÔH) = 45° ~ med(OÂH) = 45° ~

~ 6AHO é retângulo isósceles ~

{

OH =AH

~ OH2+AH2= 42 ~ 2 . AW = 16 ~ AH = 2--12cm

Assim: A

=

1.

OB· AH ~A

=

1.

(4cm) .

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(2 --1 2 c m ) =

2 2 2 2

= 4--12em?

Logo: A =A - A ~ A = 2rr em- - 4--12em- =

s e g 1 2 s e g

= 2(rr - 2 --1 2 ) cm2

b) A₁: área do setor

ângulo . (drn-) central area m

360°- rt : 82 } ~

30° - A1

~ A =

-ª-º-- .

64rr drn- =

1 360

= 16rr

drn-3

A_{2: área do 6AOB}

6AHO retângulo ~ sen 30°

=

AH

~..!..

=

AH ~

OA 2 8

~AH = 4dm

Assim: A =

1.

OB . AH ~ A =

1.

(8 dm) . (4 dm) =

2 2 2 2

= 16 drn'

Logo: A = A - A ~ A = 16rr drn- - 16 drn- =

seg 1 2 seg 3

= .l§.(rr - 3) drn?

3

c ) A

2

A₁: área do setor ~

(20)

A2:

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

área do LAOB => A

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 = t . OB . OA => 1

=> A = - . (2 m) . (2 m) = 2 m2

FEDCBA

2

Logo: As"'] = A, - A2=> Aseg= lt m 2

- 2 m2 = (rt - 2) m2

d)

A 1<:----,.

GFEDCBA

A , : área do setor

ângulo

central área (cm')

3600-lt·122 } 120°- A

_,

=>

=> A =

J1iL.

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 4 4 l t cm2 =

, 360

FEDCBA

= 4 8 l t cm2

A

2: área do LAOB

OH: altura do triângulo isósceles AOB => AH = HB

LOHB retângulo =>

{

sen 30° = OH =>

1

= OH => OH = 6 cm

=> OB 2 12

HB ~ HB t - ;

cos 30° = ÜB =>

2

=

12

=> H B = 6" 3 cm

Logo: AB = 12~ cm

Assim.A, =t· AB· OH=>A₂ =t(12~cm). (6cm) =

= 36~

em-Logo: A = A - A => A = 4 8 l t cm2 _- _36~ _cm2 ₌

s e g 1 2 s e g

= 1 2 ( 4 l t - 3~) cm2

Observe na figura abaixo que:

A p B

5 " Q

D R

c

Pe S são pontos médios dos lados AB e DA,

respectiva-mente. Assim, traçando a diagonal BD, temos:

AS AP SP 1 AASP 1

LASP ~ LADB => - = - = - = - => - =

-AD AB DB 2 AADB 4

Da mesma forma, podemos concluir que:

1 1 1

ACQR=

4 .

ACBD;ABQP=

4 .

ABCA;ADRS=

4 .

ADCA

Temos: AASP+ ACQR+ABQP+ ADRS=

1

= - (48 cm2 + _{48 crn-) = 24}

em-4

Logo: ApQRS= AABCD- 24 em- =>