DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
GIUSEPPE DURIGAN
RENAN WUNDERLICH PORTELLA
DESENVOLVIMENTO DE APLICATIVO PARA DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS EM CONCRETO ARMADO
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Curitiba 2017
RENAN WUNDERLICH PORTELLA
DESENVOLVIMENTO DE APLICATIVO PARA DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS EM CONCRETO ARMADO
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado ao Curso Superior de
Engenharia Civil, do departamento de Construção Civil - DACOC da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro Civil.
Orientador: Prof. MSc. Amacin Rodrigues Moreira
Curitiba 2017
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Curitiba – Sede Ecoville
Departamento Acadêmico de Construção Civil Curso de Engenharia Civil
FOLHA DE APROVAÇÃO
DESENVOLVIMENTO DE APLICATIVO PARA DIMENSIONAMENTO DE
EELEMENTOS EM CONCRETO ARMADO
Por
GIUSEPPE DURIGAN
RENAN WUNDERLICH PORTELLA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, defendido e aprovado em 30 de junho de 2017, pela seguinte banca de avaliação:
__________________________________ ___ Prof. Orientador – Amacin Rodrigues Moreira, MSc.
UTFPR
__________________________________ ___ Profa. Renata Sa Brito Stramandinoli, Dra.
UTFPR
___________________________________ _____ Prof. Rogério Francisco Küster Puppi, Dr.
UTFPR
UTFPR - Deputado Heitor de Alencar Furtado, 5000 - Curitiba - PR Brasil
www.utfpr.edu.br dacoc-ct@utfpr.edu.br telefone DACOC: (041) 3279-4500
O dimensionamento de peças estruturais de concreto armado representa trabalho complexo que envolve amplo conhecimento técnico, teórico e prático por parte do engenheiro estrutural. A discretização da estrutura, a análise de esforços, o dimensionamento e o detalhamento de armaduras demandam tempo que pode ser acelerado por softwares computacionais. Por outro lado as ferramentas disponíveis no mercado brasileiro, e que por consequências estejam de acordo com as normatizações nacionais, são, em geral, de difícil acesso pelo preço excessivo e interface pouco amigável. As soluções mais acessíveis tendem a não trabalhar com a estrutura inteira, mas apenas peças específicas. O presente trabalho busca desenvolver um software aberto de amplo acesso desenvolvido em Java. Dentre as características do software estão: Análise de esforços e deslocamentos de pórticos planos, dimensionamento e detalhamento de lajes maciças, vigas contínuas e pilares em concreto armado. O desenvolvimento detalhado, bem como os códigos, modulação e resultados discutidos também estão disponíveis.
Palavras-chave: programa livre, método da rigidez, pórticos planos,
The design of structural elements of reinforced concrete is a complex work, involving extensive technical, theoretical and practical knowledge by the structural engineer. The discretization of the structure, stress analysis, designing and detailing demand time which can be accelerated by computer softwares. On the other hand the tools available in the Brazilian market, thus in conformity with national regulations, are generally difficult to access by its excessive price and unfriendly interface. Most affordable solutions tend not to work with the entire structure at once, spliting it part by part. This study aims to develop an open software built in the Java language. Among the features of the software are: Analysis of stress and displacements in two-dimensional frames, design and details of reinforced concrete solid slabs, continuous beams and columns. The detailed development, as well as codes, structures and results are also available.
Keywords: freeware, stiffness method, two-dimensional frames, solid slabs, beams, columns.
Figura 1 – Etapas da discretização de uma estrutura . . . 20
Figura 2 – Peças de uma estrutura convencional . . . 21
Figura 3 – Coordenadas globais e locais . . . 22
Figura 4 – Matriz de Rigidez . . . 23
Figura 5 – Matriz de rotação . . . 23
Figura 6 – Quadrantes da matriz de rigidez global. . . 24
Figura 7 – Quadrantes do vetor de forças nodais . . . 25
Figura 8 – Diagrama tensão-deformação . . . 27
Figura 9 – Diagrama tensão-deformação do concreto . . . 28
Figura 10 – Diagrama tensão-deformação do aço . . . 29
Figura 11 – Capacidade resistente da seção . . . 29
Figura 12 – Vãos teóricos de lajes. . . 32
Figura 13 – Vinculações em bordas não contínuas . . . 33
Figura 14 – Vinculações em lajes de 4 bordas . . . 34
Figura 15 – Altura efetiva da laje h . . . 39
Figura 16 – Áreas de influência das lajes sobre vigas . . . 42
Figura 17 – Armadura negativa . . . 48
Figura 18 – Seção retangular . . . 50
Figura 19 – Seção em “T” . . . 54
Figura 20 – Seção genérica discretizada . . . 57
Figura 21 – Diagrama de seção . . . 57
Figura 22 – Diagrama de Interação . . . 60
Figura 23 – Método Pilar Padrão . . . 61
Figura 24 – Envoltórias mínimas de momentos . . . 62
Figura 25 – Fluxograma da rotina de análise matricial . . . 68
Figura 26 – Fluxograma da rotina de dimensionamento de lajes . . . 71
Figura 27 – Fluxograma da rotina de dimensionamento de vigas . . . 72
Figura 28 – Fluxograma da rotina de dimensionamento de pilares . . . 73
Figura 29 – Tela 1: Carregamento inicial . . . 75
Figura 30 – Tela 2: Menu inicial . . . 76
Figura 31 – Tela 1 (Vigas): Situação geométrica . . . 77
Figura 32 – Tela 2 (Vigas): Material . . . 78
Figura 33 – Tela 3.1 (Vigas): Apoios . . . 79
Figura 34 – Tela 3.2(Vigas): Carregamentos . . . 80
Figura 35 – Tela 4(Vigas) Esforços definidos . . . 81
Figura 38 – Tela 6 (Vigas): Esforço Cortante . . . 83
Figura 39 – Tela 1 (Pilares): Geometria e carga . . . 84
Figura 40 – Tela 2 (Pilares): Material . . . 85
Figura 41 – Tela 3 (Pilares): Armaduras . . . 86
Figura 42 – Tela 4 (Pilares): Menu de resultados . . . 87
Figura 43 – Tela 5 (Pilares): Diagrama de Interação . . . 88
Figura 44 – Tela 6 (Pilares): Tensões na Seção . . . 88
Figura 45 – Tela 1 (Lajes): Geometria . . . 89
Figura 46 – Tela 2 (Lajes): Material . . . 90
Figura 47 – Tela 3 (Lajes): Cargas . . . 91
Figura 48 – Tela 4 (Lajes): Resultados . . . 92
Figura 49 – Tela 5 (Lajes): Momentos resultantes . . . 93
Figura 50 – Tela 6 (Lajes): Armadura . . . 94
Figura 51 – Tela 7 (Lajes): Cortante . . . 95
Figura 52 – Estudo de caso . . . 98
Figura 53 – Vinculações da laje L1 . . . 99
Figura 54 – Aproximação das charneiras . . . 101
Figura 55 – Resultados (Lajes) - Momentos fletores . . . 104
Figura 56 – Resultados (Lajes) - Reações nas vigas . . . 105
Figura 57 – Resultados (Lajes) - Armaduras . . . 106
Figura 58 – Tela 1 - Relatório de Lajes . . . 107
Figura 59 – Tela 2 - Relatório de Lajes . . . 108
Figura 60 – Tela 3 - Relatório de Lajes . . . 109
Figura 61 – Tela 4 - Relatório de Lajes . . . 110
Figura 62 – Tela 5 - Relatório de Lajes . . . 111
Figura 63 – Tela 6 - Relatório de Lajes . . . 112
Figura 64 – Tela 7 - Relatório de Lajes . . . 113
Figura 65 – Distribuição dos carregamentos . . . 115
Figura 66 – Momentos fletores na viga V6 . . . 115
Figura 67 – Esforço cisalhante na viga V6 . . . 116
Figura 68 – Resultados (Vigas) - Distribuição dos carregamentos . . . 120
Figura 69 – Resultados (Vigas) - Esforços Cortantes . . . 121
Figura 70 – Resultados (Vigas) - Momentos Fletores . . . 121
Figura 71 – Resultados (Vigas) - Armadura Longitudinal . . . 123
Figura 72 – Resultados (Vigas) - Armadura Transversal . . . 124
Figura 73 – Tela 1 - Relatório de vigas . . . 125
Figura 74 – Tela 2 - Relatório de vigas . . . 126
Figura 77 – Tela 5 - Relatório de vigas . . . 129
Figura 78 – Tela 6 - Relatório de vigas . . . 130
Figura 79 – Tela 7 - Relatório de vigas . . . 131
Figura 80 – Tela 8 - Relatório de vigas . . . 132
Figura 81 – Tela 9 - Relatório de vigas . . . 133
Figura 82 – Estudo de caso (Pilar P1) . . . 134
Figura 83 – Geometria do Pilar P1 . . . 135
Figura 84 – Seção transversal da configuração para 4 vergalhões . . . 136
Figura 85 – Diagrama de Interação para a configuração com 4 vergalhões . . . 136
Figura 86 – Tensões médias obtidas no aplicativo . . . 137
Figura 87 – Diagrama de Interação obtido no aplicativo . . . 138
Figura 88 – Seção transversal com 6 vergalhões . . . 139
Figura 89 – Diagrama de Interação para 6 vergalhões . . . 139
Figura 90 – Tensões médias obtidas no aplicativo . . . 140
Figura 91 – Diagrama de Interação obtido no aplicativo . . . 141
Figura 92 – Seção transversal para 9 vergalhões . . . 142
Figura 93 – Diagrama de Interação para 9 vergalhões . . . 142
Figura 94 – Tensões médias obtidas no aplicativo . . . 143
Figura 95 – Diagrama de Interação obtido no aplicativo . . . 144
Quadro 1 – Classe de Agressividade Ambiental . . . 38
Quadro 2 – Limites para deslocamentos . . . 43
Tabela 1 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas . . . 45 Tabela 2 – Esforços resultantes - Comparação entre softwares . . . 122 Tabela 3 – Comparação entre os softwares . . . 145
E Módulo de elasticidade
{F} Vetor de forças nodais
I Momento de inércia
[k‘] Matriz de rigidez local antes da correção pela matriz de rotação
[k] Matriz de rigidez local
λ Razão entre o maior vão teórico e o menor vão teórico em uma laje.
N Solicitação normal
q Ação variável à carga acidental
[R] Matriz de rotação
A
c Área da seção transversal do concretoA
s Armadura de traçãoA39;
s Armadura de compressãof
cd Resistência de compressão no concretof
ck Resistência característica do concretoγ
Peso específicog
Ação devido à carga permanente[K
g]
Matriz de rigidez globalλ
Índice de esbeltezl
x Menor vão teórico em lajesl
y Maior vão teórico em lajesµ
Momento relativoM
xy Momento volvente ou de torção em lajes apoiadas[R
T]
Matriz de rotação transposta1 INTRODUÇÃO . . . . 16 2 OBJETIVOS . . . . 18 2.1 OBJETIVO GERAL . . . 18 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . 18 2.3 JUSTIFICATIVA . . . 18 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . 19
3.1 A ANÁLISE MATRICIAL EM ESTRUTURAS . . . 19
3.1.1 O Método da Rigidez Direta aplicado à pórticos planos . . . 21
3.2 PROPRIEDADES DO CONCRETO ARMADO . . . 26
3.2.1 Não-linearidade geométrica . . . 26
3.2.2 Não-linearidade física . . . 27
3.2.3 Comportamento do concreto armado . . . 27
3.2.4 Diagrama tensão-deformação do concreto . . . 28
3.2.5 Diagrama tensão-deformação do aço . . . 28
3.2.6 Esgotamento da capacidade resistente da seção . . . 29
3.3 DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 30 3.3.1 Classificação das lajes maciças . . . 31
3.3.1.1 Direção de armação . . . 32 3.3.1.2 Vinculação . . . 32 3.3.2 Ações . . . 34 3.3.2.1 Cargas permanentes . . . 35 3.3.2.2 Ações variáveis . . . 37 3.3.3 Pré-dimensionamento segundo a NBR 6118:2014 . . . 37 3.3.4 Esforços . . . 39 3.3.4.1 Momentos fletores . . . 39
3.3.4.1.1 Lajes armadas em uma direção . . . 40
3.3.4.1.2 Lajes armadas em duas direções . . . 41
3.3.4.1.3 Compatibilização de momentos fletores em lajes adjacentes . . . 41
3.3.4.2 Reações . . . 42
3.3.4.3 Flechas . . . 43
3.3.4.3.1 Lajes armadas em uma direção . . . 44
3.3.4.3.2 Lajes armadas em duas direções . . . 44
3.3.5 Detalhamento . . . 44
3.3.5.3 Armadura positiva . . . 47
3.3.5.4 Armadura negativa sobre apoios . . . 48
3.3.5.5 Armadura volvente . . . 48
3.4 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS . . . 49
3.4.1 Determinação das reações de apoio . . . 49
3.4.2 Determinação dos esforços atuantes . . . 49
3.4.3 Dimensionamento de peças sujeitas a flexão simples segundo a NBR 6118:2014 . . . 50 3.4.3.1 Seção retangular . . . 50 3.4.3.1.1 Armadura Longitudinal . . . 51 3.4.3.1.2 Armadura transversal . . . 53 3.4.3.2 Seção em “T” . . . 54 3.4.3.3 Critérios da NBR 6118:2014 . . . 54 3.4.3.3.1 Armadura longitudinal . . . 54 3.4.3.3.2 Armadura transversal . . . 55 3.5 DIMENSIONAMENTO DE PILARES . . . 55 3.5.1 Flexo-compressão . . . 56
3.5.2 Efeitos de segunda ordem . . . 60
3.5.3 Critérios da ABNT NBR 6118/2014 . . . 61
3.5.3.1 Momento mínimo . . . 61
3.5.3.2 Índice de Esbeltez . . . 62
3.5.3.3 Método Pilar Padrão com Curvatura Aproximada . . . 64
4 MATERIAIS E MÉTODOS . . . . 65
4.1 LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO JAVA . . . 65
4.1.1 Programação orientada a objetos . . . 65
4.2 SISTEMA OPERACIONAL ANDROID . . . 66
4.3 MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA APLICADO COMPUTACIONALMENTE 67 4.4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DO DIMENSIONAMENTO DE LAJES . . . 70
4.5 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DE VIGAS . . . 72
4.6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL DE PILARES . . . 73
4.7 ESTRUTURA GERAL DO SOFTWARE . . . 74
4.7.1 Módulo de vigas . . . 76
4.7.2 Módulo de pilares . . . 84
4.7.3 Módulo de lajes . . . 88
4.8 FUNCIONAMENTO DO SOFTWARE . . . 95
5.2 ESTUDO DE CASO . . . 97
5.2.1 Lajes . . . 98
5.2.1.1 Pré-dimensionamento . . . 98
5.2.1.2 Vinculações . . . 99
5.2.1.3 Cargas atuantes . . . 99
5.2.1.4 Momentos fletores máximos . . . 100
5.2.1.5 Reações nas vigas . . . 100
5.2.1.6 Cálculo da armadura . . . 101
5.2.1.7 Detalhamento . . . 103
5.2.1.8 Resultados obtidos no aplicativo . . . 103
5.2.2 Vigas . . . 113 5.2.2.1 Pré-dimensionamento . . . 114 5.2.2.2 Carregamentos . . . 114 5.2.2.3 Armadura . . . 116 5.2.2.3.1 Longitudinal . . . 116 5.2.2.3.2 Transversal . . . 118 5.2.2.4 Detalhamento . . . 119
5.2.2.5 Resultados obtidos no aplicativo . . . 120
5.2.3 Pilares . . . 133
5.2.3.1 Geometria . . . 134
5.2.3.2 Carregamentos . . . 135
5.2.3.3 Materiais . . . 135
5.2.3.4 Capacidade da Seção . . . 135
5.2.3.5 Resultados obtidos no aplicativo . . . 144
6 CONCLUSÕES . . . 146
7 MELHORIAS E APLICAÇÕES POSTERIORES . . . 148
REFERÊNCIAS . . . 150
APÊNDICES 152 APÊNDICE A – CÓDIGO FONTE DO SOFTWARE DESENVOLVIDO153 A.1 Algoritmos para o dimensionamento de lajes . . . 153
A.2 Algoritmos de cálculo de esforços pelo método da rigidez direta . . . 169
A.3 Algoritmos de dimensionamento de vigas . . . 176
B.1 Pranchas A1 com pré-dimensionamento e detalhamento das
armaduras positivas e negativas das lajes, vigas e pilares. . . 195
ANEXOS 196
ANEXO A – TABELAS DE LAJES . . . 197
1 INTRODUÇÃO
O concreto armado é, no contexto atual, o método construtivo mais empregado no Brasil (SANTOS, 2006). O material é aplicado quase que hegemonicamente em construções de todo país, sejam elas formais ou informais. Tal notoriedade deve-se, entre outros, às vantagens que o concreto oferece sobre outras tecnologias. Dentre as que merecem destaque estão: economia, facilidade de execução em diversas formas, resistência ao fogo, agentes externos e mecânicos, além de propiciar facilidade na construção de estruturas hiperestáticas (ARAÚJO, 2010).
Neste contexto, é prudente afirmar que a tecnologia merece destaque no desenvolvimento de soluções construtivas, tanto no âmbito prático como teórico. Para tanto, verifica-se que existe um vasto repertório de pesquisa e desenvolvimento tecnológico dentro da área do concreto estrutural. É possível encontrar, em especial, um significativo desenvolvimento na área de análise e dimensionamento estrutural.
O processo de análise estrutural pode ser ilustrado como o processo de determinação dos esforços solicitantes, além dos deslocamentos, de uma estrutura através de modelos matemáticos (FONTES; PINHEIRO, 2006). Tais modelos utilizam uma série de idealizações, desde o comportamento das ações até aproximações dos materiais. Para a NBR 6118:2014 , na qual o presente trabalho se baseia, a análise estrutural tem como objetivo base realizar a verificação dos estados limites, últimos e de serviço, nas ações estruturais. Na sequência está a decomposição da estrutura em partes que dão origem aos elementos estruturais. Estas peças compõe a estrutura com uma ou duas dimensões preponderantes sobre as demais. Estes elementos são as lajes, as vigas e os pilares. (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2001). São métodos de análise: a viga bi-apoiada, o pórtico plano e o pórtico espacial. Para resolução destes sistemas são comumente utilizadas soluções como a análise matricial, pelo método dos deslocamentos, bem como o método dos elementos finitos. Estas soluções, no entanto, demandam esforço complexo que muitas vezes tornam inviável a resolução manual por parte do engenheiro.
Desta forma, tendo em vista o enorme progresso tecnológico do século XX, tornou-se comum a utilização de softwares computacionais nesta área em território nacional. Destacam-se, por exemplo, o CAD/TQS, desenvolvido pela TQS Informática e o Eberick, desenvolvido pela AltoQI, por realizarem análise global da estrutura, gerando desta forma, resultados precisos e confiáveis. Isto tornou o trabalho muito mais produtivo e eficiente, uma vez que possibilitou o dimensionamento e análise da estrutura como um todo (global), eliminando boa parte das preocupações com simplificações. Por outro lado, a possibilidade de analisar um grande número de
graus de liberdade gerou a necessidade por um novo tipo de engenheiro, que saiba averiguar resultados e constatar erros (NEVES, 2010). No Brasil, por exemplo, boa parte das universidades ainda tratam a análise matricial como uma disciplina optativa, renunciando ao grande potencial curricular e lógico matemático que a matéria proporciona aos alunos (CASS JUNIOR; CARVALHO, 2015).
2 OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO GERAL
Desenvolver software (aplicativo) gratuito e eficaz no cálculo e dimensionamento de peças em concreto armado, com intuito de auxiliar a comunidade acadêmica no ensino de estruturas.
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Cálculo de esforços em vigas, treliças e pórticos planos..
• Dimensionamento em concreto armado dos elementos isolados: lajes, vigas e pilares.
• Promover a integração entre as ferramentas de cálculo estrutural e a tecnologia dos sistemas operacionais móveis.
• Validar e calibrar resultados obtidos.
2.3 JUSTIFICATIVA
Estruturas de concreto representam parte crucial de uma obra, tanto do ponto de vista de segurança como econômico. Estima-se, por exemplo, que as lajes de um edifício sejam responsáveis pelo consumo de concreto de até dois terços do volume total de uma obra (SCHWETZ, 2011).O mercado atual de engenharia apresenta diversas opções de softwares para cálculo estrutural, entretanto, nota-se a inexistência de uma ferramenta de livre acesso que agrupe os dimensionamentos de todos os elementos de concreto armado. Algumas rotinas trabalham com o processamento de peças específicas, como é o caso do software “PCalc”, desenvolvido pelo engenheiro Sander Cardoso, que destina-se ao dimensionamento de pilares (CARDOSO JÚNIOR, 2014). Seu método iterativo, entretanto, necessita que o usuário teste as configurações de armadura manualmente, processo este que pode ser automatizado, facilitando a interação homem-máquina. Além do supracitado, o mercado carece de tecnologias móveis na área estrutural em conformidade com a norma brasileira, fato que contribuiria com o potencial de mercado para o produto esperado fruto do presente trabalho.
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1 A ANÁLISE MATRICIAL EM ESTRUTURAS
No histórico da engenharia civil, sempre foi de interesse dos construtores garantir a estabilidade das estruturas. Seja por razões estéticas ou necessidades construtivas, métodos foram desenvolvidos com o intuito de vencer os desafios impostos. A utilização do pilar e da verga nas construções gregas, além da utilização do arco nos aquedutos são exemplos de inovação. Estas construções, por outro lado, eram planejadas e executadas de modo extremamente empírico, baseando-se somente na experiência do mestre e do pedreiro responsável (LEET; UANG; GILBERT, 2009).
Em tempos modernos, porém, com a diversificação de materiais, técnicas construtivas e necessidades humanas, a construção civil se viu frente a um novo desafio: analisar e dimensionar estruturas de modo a preservar a segurança das mesmas.
Inicialmente foram desenvolvidos métodos aproximados de análise
estaticamente indeterminada que permitiam ao engenheiro prever as forças internas na construção de concreto armado. Já em 1920, com a divulgação do método da distribuição de momentos de Hardy Cross, foi possível realizar a análise de estruturas contínuas. Foi, porém, com o advento das soluções computacionais, que houve expressivo progresso na área de análise estrutural.
Em 1959 o engenheiro M.J. Turner, chefe da unidade de análises estruturais dinâmicas da Boeing, publicou o método da rigidez direta, além de uma maneira eficiente para implementá-lo computacionalmente (FELIPPA, 2000). Deste modo, houve grande avanço neste período na capacidade de analisar grandes estruturas, tanto no que tange a velocidade como também a complexidade das composições. Com o aumento da capacidade de processamento dos computadores foi possível aumentar o número de discretizações, o que possibilitou passar de uma análise simplificada, uni-dimensional, para bi-dimensional; e posteriormente uma análise global pelos pórticos espaciais.
A discretização dos elementos estruturais de um edifício simples
pode considerar, por exemplo:
1. A laje suporta o peso próprio além das cagas acidentais e transmite cargas às vigas.
2. As vigas por sua vez suportam as cargas das lajes além do peso próprio e transmitem as reações aos pilares.
3. Os pilares então recebem todos os carregamentos acima e transmitem à fundação, que por sua vez transmitem ao solo.
Esta discretização pode ser compreendida nas Figuras 1 e 2.
Figura 1 – Etapas da discretização de uma estrutura
Fonte: MARTHA, LUIZ FERNANDO
Nesta discretização algumas definições são necessárias:
1. Eixo: Segmento originado da união dos centros de massa das seções transversais de uma estrutura.
2. Nós: Pontos de intersecção dos eixos.
3. Ações: Forças concentradas, distribuídas, ou binários que geram deformação em uma estrutura.
4. Deformação: Alteração na forma dos elementos. Ocorre pela combinação dos deslocamentos.
5. Deslocamentos: Rotação ou Translação em um ponto do eixo.
6. Elementos estruturais: Peças que compões a estrutura. São exemplos as lajes, as vigas e os pilares. Uma representação pode ser observada na Figura 2.
Figura 2 – Peças de uma estrutura convencional
Fonte: COTTA, IGOR FREDERICO STOIANOV, 2007
3.1.1 O Método da Rigidez Direta aplicado à pórticos planos
A análise de estruturas pela analogia de pórticos planos apresenta vantagens quando comparada às vigas continuas e o pórtico espacial.
O modelo de vigas considera que todos os apoios são simplesmente apoiados, seja em vigas ou pilares. Este modelo é permitido para análise de estruturas segundo a norma brasileira, porém deve seguir correções que são descritas no item 14.6.7.1 da ABNT NBR 6118:2014.
Já o modelo dos pórticos espaciais apresenta a vantagem de conceber resultados mais precisos, uma vez que considera todos os esforços que agem na estrutura. O modelo, porém apresenta como limitação sua alta complexidade, que demanda tempo e conhecimentos complexos das vinculações das estruturas.
O método dos pórticos planos, por sua vez, apresenta resultados próximos aos do modelo espacial, com reações que geralmente estão a favor da segurança(FONTES; PINHEIRO, 2006). O método requer, porém, que o projetista tome cuidado ao analisar pilares com encontro de mais de uma viga, ou ao definir as distribuições dos esforços das lajes.
A análise inicia-se pela convenção das coordenadas globais, que representam vetores dos deslocamentos nodais. A numeração destas coordenadas deve preferencialmente ser realizada de modo a facilitar a posterior montagem e interpretação da matriz de rigidez. Cada nó, na análise de pórticos planos, possui um total de 3 graus de liberdade, que representam, respectivamente na ordem sugerida na Figura 2, as reações horizontal, vertical e o momento fletor. Na convenção global devem ser numerados primeiramente os apoios livres e posteriormente os restringidos.
Cada barra deverá possuir um sistema de coordenadas locais para montagem da matriz de rigidez do elemento isolado, que será utilizada para a posterior determinação da matriz de rigidez global da estrutura. Estas coordenadas deverão seguir um sistema de eixos locais, que será ajustado através de uma matriz de rotação.
Figura 3 – Coordenadas globais e locais
Fonte: MARTHA, LUIZ FERNANDO
Além das matrizes de rigidez, também devem ser determinados os vetores de deslocamentos (incógnitas) e de ações nodais, que formarão um sistema de equações lineares. Estas equações possibilitarão o cálculo dos deslocamentos e posteriormente a determinação das reações de apoio e esforços internos. Aqui, estes vetores serão referenciados como U e F, respectivamente.
A matriz de rigidez global do elemento pode ser obtida pela equação 3.1.
onde k‘ é a matriz 6x6 local do elemento definida por:
Figura 4 – Matriz de Rigidez
Fonte: MARTHA, LUIZ FERNANDO
onde E é o módulo de elasticidade, I representa o momento de inércia de seção, A a área da seção e L, o comprimento da respectiva barra.
Já a matriz de rotação R é definida por:
Figura 5 – Matriz de rotação
Fonte: MARTHA, LUIZ FERNANDO
Onde β é o ângulo da peça com o referencial adotado.
A matriz de rigidez global
[K
g]
é então obtida pela soma das contribuições derigidez de cada um de seus elementos de acordo com as coordenadas globais. Isto é, pela soma dos valores da matriz de rigidez global equivalentes aos pontos globais da estrutura de maneira ordenada. Esta correspondência é determinada pelo número de graus de liberdade da estrutura, que em pórticos planos equivale a 3 por nó.
Figura 6 – Quadrantes da matriz de rigidez global.
Adaptado de: MICHELIN, MÁRCIO LEANDRO, 2003
Já o vetor de forças nodais
F
é encontrado pela soma do vetor de forçasdas barras com o dos nós.
F = Fns + Fbarras
(3.2)
As forças dos nós são forças ou momentos pontuais que atuam sobre os nós da estrutura. Fns= FXe FY e MZe (3.3)
Já as forças das barras são determinadas pela idealização destas como engastes perfeitos. A parcela das forças nas barras deve ser transposta para as coordenadas globais posteriormente, como pode ser observado na equação 3.4.
Fbglobal = [βe]T ×Fblocal
(3.4)
Figura 7 – Quadrantes do vetor de forças nodais
Adaptado de: MICHELIN, MÁRCIO LEANDRO, 2003
Posteriormente, a determinação do vetor de incógnitas do deslocamentos pode ser obtida pela equação matricial 3.5.
U = [Kg]−1×F (3.5)
A obtenção dos deslocamentos se dá então através da resolução de sistemas lineares de equações . Para tanto podem ser utilizados tanto métodos numéricos diretos como métodos iterativos. Recomenda-se sempre a utilização de métodos diretos, visto sua solução exata. Alguns dos métodos utilizados para tal resolução computacional são:
• Método da eliminação de Gauss
Consiste em transformar o sistema linear original em uma matriz triangular superior que possui resolução imediata.
• Método de Gauss-Jacobi
Alternativa ao método de eliminação de Gauss que transforma um sistema A.x=b em um sistema equivalente x=C.x+g. A resolução ocorre então por iterações.
Transforma a matriz de rigidez global também em um triplo produto matricial para facilitar a resolução. O método no entanto não realiza inversões de matrizes para a obtenção das reações e dos esforços internos, o que requer menor esforço computacional (MARTINS; ANTUNES, 2007).
3.2 PROPRIEDADES DO CONCRETO ARMADO
3.2.1 Não-linearidade geométrica
Para Scadelai (2003), quando ocorrem efeitos da mudança de geometria da estrutura, a relação força-deslocamento deixa de ser linear. Essa não-linearidade, denominada geométrica, em geral pode ser desconsiderada quando a hipótese dos pequenos deslocamentos é admitida válida. No entanto, a não-linearidade geométrica torna-se relevante nos casos em que os deslocamentos, relativamente significativos, podem acentuar os problemas de instabilidade ou a interação do esforço axial com os momentos fletores. Nesses casos, devido à grandeza dos deslocamentos, surge a necessidade de se escreverem as equações de equilíbrio em relação à configuração deslocada da estrutura. Mesmo que com deslocamentos relativamente pequenos, combinados com certas disposições de cargas na estrutura, podem ocorrer situações de instabilidade ou o surgimento de esforços adicionais.
Segundo Borges (1999), quando os efeitos não-lineares implicarem em enrijecimento da estrutura, a utilização de uma análise linear pode conduzir a estruturas mais seguras, porém antieconômicas. Por outro lado, se o comportamento não-linear implicar em perda de rigidez ou de estabilidade, a utilização de uma análise linear pode resultar ou induzir a uma falsa noção de segurança estrutural. A determinação dos esforços solicitantes ao longo das seções transversais de uma peça é feita, geralmente, supondo a estrutura na sua posição indeformada, ou seja, desprezando-se as deformações da peça. Diz-se então que se trata da teoria de 1ª ordem. A rigor, deve-se sempre considerar a posição deformada da estrutura – Teoria de 2ª ordem – para calcular os esforços solicitantes, já que isso significa grau mais elevado de aproximação. Porém, do ponto de vista prático, a diferença entre os resultados obtidos mediante as teorias da 1ª e da 2ª ordem pode ser tão pequena que não compensa executar um cálculo mais elaborado. Entretanto, no cálculo de pilares, um dos objetos de estudo deste trabalho, a não consideração desses efeitos pode causar discrepâncias consideráveis nos cálculos, sendo imprescindível a consideração da não-linearidade geométrica nos projetos de pilares, bem como dos efeitos de 2ª ordem local.
3.2.2 Não-linearidade física
A não-linearidade geométrica prova que pode não haver proporcionalidade entre causa e efeito, mesmo quando o comportamento do material é elástico-linear. O problema se agrava quando o próprio material apresenta comportamento não-linear, o que caracteriza a não-linearidade física. O comportamento do material é linear quando obedece à Lei de Hooke, ou seja, quando a tensão é proporcional à deformação.
Figura 8 – Diagrama tensão-deformação
Fonte: SCADELAI, M.A., 2003
Caso contrário, o comportamento do material é não-linear. Ao contrário da não-linearidade geométrica, a não-linearidade física é uma propriedade intrínseca do material, e acarreta não-proporcionalidade entre causa e efeito, mesmo na teoria de 1ª ordem. Considerando-se uma estrutura de concreto armado, a não-linearidade física resulta da resposta não-linear do aço e do concreto.
3.2.3 Comportamento do concreto armado
O concreto armado apresenta comportamento de difícil descrição, resultado da associação de dois materiais estruturais (aço e concreto). O diagrama tensão-deformação do concreto não é linear, e é variável para as várias classes de resistência. O concreto é considerado como um material elastoplástico, no entanto apresenta um comportamento aproximadamente elástico-linear para tensões da ordem de até 30% de sua máxima tensão de compressão. A partir desse valor, inicia-se a plastificação do concreto que, graficamente, é traduzida pelo trecho descendente da curva tensão-deformação. Segundo a NBR 6118:2014, para dimensionamentos de peças de concreto
de seção qualquer, no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-deformação idealizado, mostrado na Figura 8, composto de uma parábola do 2º grau entre os valores de
ε
c, de zero a 0,2% , cuja ordenada é0, 85.f
cd, e de um trecho retocorrespondente aos valores de
ε
c entre 0,2% e 0,35% .3.2.4 Diagrama tensão-deformação do concreto
Conforme a norma ABNT NBR 6118:2014, para análises no estado limite último pode ser empregado para o concreto submetido a compressão um diagrama tensão-deformação idealizado mostrado na Figura 9.
Figura 9 – Diagrama tensão-deformação do concreto
Fonte: JÚNIOR, S.D.C., 2014
3.2.5 Diagrama tensão-deformação do aço
Conforme a ABNT NBR 6118:2014, para o cálculo nos estados-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama simplificado mostrado na Figura 10 para os aços com ou sem patamar de escoamento. Este diagrama pode ser aplicado para tração e compressão.
Figura 10 – Diagrama tensão-deformação do aço
Fonte: JÚNIOR, S.D.C., 2014
3.2.6 Esgotamento da capacidade resistente da seção
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, a condição de estado limite último de uma seção transversal de concreto armado é caracterizada quando a distribuição das deformações é dada por uma reta que passa necessariamente por um dos pontos A, B ou C da Figura 11, podendo a ruptura ocorrer tanto pelo esmagamento do concreto, quanto pela deformação plástica excessiva da armadura.
Figura 11 – Capacidade resistente da seção
Na Figura 11, os números de 1 à 5 representam os domínios de dimensionamento. Para Bastos (2004), os domínios são caracterizados da seguinte maneira:
• Domínio 1: flexo-tração sem tensões de compressão.
• Domínio 2: flexão simples/composta sem ruptura à compressão do concreto (c<3,5) e com alongamento permitido para as armaduras (s<10).
• Domínio 3: flexão simples/composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento das armaduras (s>yd).
• Domínio 4: flexão simples/composta com ruptura à compressão do concreto e armaduras tracionadas sem escoamento (s<yd).
• Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas.
• Domínio 5: flexo-compressão sem tensões de tração.
Considerando as situações de ruptura, Bastos (2004) ainda analisa como os elementos podem se comportar se dimensionados de forma errônea.
• Peças subarmadas: pequena taxa de armadura, rompem no domínio 2, por deformação excessiva das barras de aço sem esmagamento do concreto.
• Peças normalmente armadas: a ruptura ocorre no limite entre o domínio 2 e o domínio 3, com esmagamento do concreto e escoamento do aço ocorrendo simultaneamente.
• Peças superarmadas: rompem no domínio 4, com o esmagamento do concreto tendo início antes do escoamento da armadura.
3.3 DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO
Lajes são elementos bi-dimensionais, ou seja, que possuem duas dimensões de grandeza semelhantes e muito maiores que uma terceira, a espessura. São peças destinadas principalmente a receber a maior parte das cargas de uma estrutura, sejam estas provenientes de pessoas, móveis, pisos, dentre outras. Estas cargas são em geral perpendiculares à estrutura e podem ser distribuídas em área, plano ou pontual. É possível também a existência de cargas externas, como momentos nas bordas das lajes.
Lajes maciças tem sua espessura essencialmente formada por concreto. Possuem também armadura longitudinal e eventualmente transversal. As cargas das lajes maciças tradicionais são transferidas às estruturas que a apoiam nas bordas, que podem ser paredes ou vigas. Também podem possuir uma ou mais bordas livres.
Lajes apoiadas diretamente sobre pilares, comumente chamadas de laje lisa ou laje cogumelo, apesar de também serem essencialmente elementos maciços de concreto, não serão abordadas neste estudo, visto que é costume no Brasil associar lajes maciças à peças apoiadas nas bordas.
As lajes maciças de forma retangular, apoiadas sobre as quatro bordas, são as lajes mais comuns nas construções correntes de Concreto Armado (BASTOS, 2015). Em geral, lajes maciças apresentam espessuras que variam de 7 a 15 cm e podem ser utilizadas nos mais variados tipos de construção, desde edifícios de múltiplos pavimentos, até escadas, muros de arrimo, entre outros.
3.3.1 Classificação das lajes maciças
Lajes maciças de concreto armado podem ser classificadas de acordo com seus vínculos, sua direção e sua forma geométrica.
As formas geométricas das lajes podem ser variadas: quadradas, retangulares, triangulares ou até circulares. A forma mais empregada, porém, é a retangular, uma vez que é muitas vezes a que melhor se adapta ao contorno arquitetônico da construção, além de poder ser facilmente executada.
É necessário, entretanto, definir algumas características de cálculo que se
aplicam às lajes. De acordo com a NBR 6118, o vão teórico
`
de uma laje deve serconsiderado a distância entre os centros dos apoios. Porém, algumas precauções devem ser tomadas:
1) Em lajes isoladas o vão teórico pode ser considerado o vão livre acrescido da espessura da laje no meio do vão.
2) Em vão extremo de laje contínua, o vão teórico pode ser calculado como o vão livre acrescido da metade da dimensão do apoio interno acrescido da metade da espessura da laje no meio do vão.
3) Em lajes em balanço, o vão teórico será o comprimento da extremidade até o centro do apoio.
Desta definição pode-se classificar a peça de acordo com sua direção de armação.
3.3.1.1 Direção de armação
Lajes podem possuir apenas uma de suas direções armada. Esta situação ocorre quando o maior vão teórico (
l
y) é maior ou igual a metade do menor vão teórico(
l
x), constatado na Figura 12.Figura 12 – Vãos teóricos de lajes.
FONTE: Autores.
Já quando a razão λ é inferior a 2, a laje pode ser considerada armada em duas direções, ou como também é conhecida, laje em cruz. Isto ocorre pois neste caso as armaduras são calculadas para resistir aos momentos fletores de ambos os eixos, uma vez que os esforços solicitantes de ambas as direções são importantes.Uma laje definida como armada em uma direção, apesar de ser assim chamada, apresenta também armadura secundária. A armadura principal, que obedece à direção de menor vão, neste caso, é calculada para resistir apenas ao momento fletor deste sentido apenas. Na direção de maior vão, dispõe-se uma armadura com seção transversal mínima dada pela NBR 6118. Neste caso os esforços são calculados supondo-se a laje como uma viga de 1m de largura na direção principal.
3.3.1.2 Vinculação
Existem três tipos de vinculações principais, além da borda livre, em lajes maciças: o apoio simples, o engaste perfeito e o engaste elástico. A consideração de apoios elásticos, além de requerer a utilização de programas dedicados, não está
presente nos ábacos tradicionais de dimensionamento. A idealização destes apoios em engastes perfeitos, apesar de não ocorrer na prática, ocorre em erro não maior que 10%(CUNHA; SOUZA, 1994 apud BASTOS, 2015). Portanto, serão considerados os seguintes vínculos para o presente trabalho: borda livre, apoio simples e o engaste perfeito.
A borda simplesmente apoiada ocorre em ligações onde não há continuidade da laje com peças vizinhas. Esta consideração ocorre pois neste caso a rigidez à torção sobre a qual a viga é submetida é pequena, deste modo deformando junto com a laje.
Já o engaste perfeito ocorre quando existe continuidade da laje para com peças vizinhas, além de varandas, marquises. Nestes casos a rigidez à torção não pode ser desprezada.
Existem situações especiais, como quando duas lajes vizinhas possuem espessuras muito diferentes. Neste caso considera-se a laje com maior espessura simplesmente apoiada enquanto que a outra engastada.
Outro caso especial ocorre quando as lajes não tem continuidade sobre a totalidade da borda de sua vizinha, como pode ser observado na Figura 13.
Figura 13 – Vinculações em bordas não contínuas
Fonte: BASTOS, PAULO SÉRGIO. 2015
Neste caso, adota-se o seguinte critério:
Se
a ≥
23L
a laje L1 pode ser considerada engastada na laje L2;Se
a <
23L
a laje L1 tem a borda simplesmente apoiada;Além destes, existem critérios que devem ser seguidos para o caso de diferença significativa entre os momentos negativos de lajes adjacentes. Para estes casos a
norma afirma que, além de compatibilização, configurações diferentes podem ser adotadas para os apoios.
Dadas as vinculações adotadas, verifica-se que as combinações possíveis dividem-se 10 categorias, de acordo com a Figura 14.
Figura 14 – Vinculações em lajes de 4 bordas
Fonte: BASTOS, PAULO SÉRGIO. 2015
3.3.2 Ações
Em construções correntes, existem dois tipos de ações a serem consideradas, quais sejam, as ações permanentes (g) e as acidentais (q), que são variáveis. As combinações devem seguir o Estado Limite Último (ELU), isto é:
Fd= m X i γgiFGi,k+ γq[FQ1,k + n X j Ψ0jFQj,k] (3.6)
de acordo com a NBR 8681 (2003)
3.3.2.1 Cargas permanentes
• O peso próprio pode ser determinado por:
gpp = γconc.h (3.7)
onde:
g
pp é o peso próprio em kN/m²;γ
conc é o peso específico do concreto;h
é a espessura da laje;O valor recomendado para o peso específico do concreto segundo a NBR 6118 é 25 kN/m³
• O peso do contrapiso pode ser definido por:
gcontr = γcontr.e (3.8)
onde:
g
contr é o peso do contrapiso em kN/m²;γ
contr é o peso específico do contrapiso;e
é a espessura do contrapiso;O valor recomendado para o peso específico do contrapiso segundo a NBR 6120 é 21kN/m³
• O peso do revestimento do teto pode ser definido por:
grev = γrev.e (3.9)
onde:
g
rev é o peso do revestimento do teto em kN/m²;γ
contr é o peso específico do revestimento do teto;O valor recomendado para o peso específico do revestimento do teto segundo a NBR 6120 é 19kN/m³.
• O peso do piso pode ser definido por:
gpiso = γpiso.e (3.10)
onde:
g
pisoé o peso do piso em kN/m²;γ
pisoé o peso específico do revestimento do teto;e
é a espessura do piso;O valor recomendado para o peso específico do piso pode ser
determinado segundo a NBR 6120 é de acordo com o tipo de material utilizado.
• O peso de paredes, caso estas não se encontrem sobre as vigas, pode ser determinado de acordo com as direções da armadura.
1. Para lajes armadas em duas direções considera-se a carga da parede uniformemente distribuída na área da laje, do que resulta:
gpar =
γalv.e.h.l Alaje
(3.11)
onde:
g
par é o peso da parede em kN/m²;γ
alvé o peso específico da alvenaria em kN/m³;e
é a espessura da parede;h
é a altura da parede em m;l
é o comprimento da da parede em m;A
laje é a área da laje em m².2. Para lajes armadas em apenas uma direção seguem duas possibilidades:
2.1. Parede paralela à direção principal (de menor vão):
gpar =
γalv.e.h.l Alaje
(3.12)
g
par é o peso da parede em kN/m²;γ
alv é o peso específico da alvenaria em kN/m³;e
é a espessura da parede;h
é a altura da parede em m;l
é o comprimento da da parede em m;A
laje é a área da laje em m².2.2. Parede perpendicular à direção principal (lx):
gpar =
γalv.e.h Alaje
(3.13)
3.3.2.2 Ações variáveis
As ações acidentais variam de acordo com o tipo de ocupação da estrutura. Os valores recomendados podem ser encontrados na tabela 2 da NBR6120.
3.3.3 Pré-dimensionamento segundo a NBR 6118:2014
A espessura mínima segue os critérios do item 13.2.4.1 da NBR 6118, segundo a qual:
1) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço;
2) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
3) 10 cm para lajes em balanço;
4) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
5) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
6) 15 cm para lajes com protensão apoiada em vigas, com o mínimo de
`/42
paralajes de piso bi-apoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas;
7) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel.
Para determinação da altura útil, a seguinte fórmula é recomendada:
d ∼= (2, 5 − 0, 1n).l0 (3.14)
onde:
n= número de bordas engastadas;
l
0 = menor valor entre o menor vão (l
x) e0, 7.l
y (maior vão).Conhecida a altura útil, pode-se determinar a altura efetiva da laje pela equação 3.15.
h = d + /2 + c (3.15)
onde:
é a bitola a ser calculada;
c é o cobrimento, que deve ser determinado de acordo com a classe de agressividade ambiental.
Quadro 1 – Classe de Agressividade Ambiental
Figura 15 – Altura efetiva da laje h
Fonte: SANTOS BASTOS, PAULO SÉRGIO DOS., 2015
3.3.4 Esforços
3.3.4.1 Momentos fletores
O cálculo dos momentos fletores atuantes sobre lajes maciças pode ser realizado pelo cálculo elástico, de acordo com a teoria de Kirchhof, que trata lajes
como elementos de placa delgada, homogêneos, isótropos, elásticos e
lineares(PINHEIRO; MUZARDO; SANTOS, 2003). A resolução, entretanto, é realizada em geral, por processos numéricos, como, por exemplo, o método dos elementos finitos, analogia por grelhas, entre outros.
A equação fundamental, que rege o problema de placas, é Lagrangeana.
∂4w ∂x4 + 2 ∂4w ∂x2 ∗ ∂y2 + ∂4w ∂y4 = p D (3.16) e D = Eh 3 12 − (1 − ν2) (3.17) onde:
w é a função que representa os deslocamentos verticais;
p é a carga total uniformemente distribuída;
D é a rigidez da placa à flexão;
E é o módulo de elasticidade;
h é a espessura da placa;
Entretanto, na maioria dos casos, não pode ser encontrada uma resolução exata, o que obriga a utilização de processos numéricos.
A resolução também pode ser obtida por meio de ábacos, que são resoluções numéricas obtidas por diferenças finitas. As tabelas de Czerny, Bares e Marcus são exemplos de resoluções tabeladas que tornam o cálculo mais fácil e rápido. As tabelas de Marcus para lajes em cruz podem ser encontradas no anexo A.1.
3.3.4.1.1 Lajes armadas em uma direção
Para a resolução de lajes armadas em apenas uma direção, pode-se aplicar simplificação, de modo que esta passa a ser considerada uma viga de largura constante de 1 metro. Neste caso, desprezam-se os momentos na direção secundária.
• Para lajes bi-apoiadas pode-se considerar:
M = q.L
2
8 (3.18)
onde:
M
é o momento no do vão;q
é a carga sobre a laje;L
é a dimensão na direção principal (menor);• Para lajes apoiadas e engastadas:
M = q.L 2 14, 22 (3.19) e X = −q.L 2 8 (3.20) onde:
X
é o momento no engaste;• Para lajes bi-engastadas
M = q.L
2
e
M = −q.L
2
12 (3.22)
3.3.4.1.2 Lajes armadas em duas direções
Para a resolução de lajes em cruz utilizando tabelas, busca-se obter 4 variáveis:
M
x−→
Momento fletor no meio do vão na direção xM
y−→
Momento fletor no meio do vão na direção yX
x−→
Momento fletor na extremidade do vão na direção xX
y−→
Momento fletor na extremidade do vão na direção yNestes casos a direção x é, em ordem, ou a direção com maior número, ou a menor direção.
Pela resolução por tabelas, por exemplo, utilizando as tabelas de Marcus, algumas das variáveis que devem ser conhecidas são:
•
q −→
Carga atuante sobre a laje;•
L
xy−→
Direções principais;•
γ −→
Razão lly xAs Tabelas de Marcus são uma quantificação do cálculo das lajes supondo-as com uma grelha de vigas mas levando em conta o efeito de resistência do fato da laje ser inteiriça e contínua e portanto mais resistente do que a grelha de vigas independentes imaginada. (Rosa Brito, Dorival. 2007)
3.3.4.1.3 Compatibilização de momentos fletores em lajes adjacentes
Lajes vizinhas em geral possuem carregamentos diferentes, além de poderem ter condições de apoio diferentes. Uma das consequências desta situação são momentos negativos diferentes nos apoios entre lajes. A NBR 6118:2014 recomenda que adote-se o seguinte critério: x ≥ 0, 8X1 X1+X2 2 (3.23)
3.3.4.2 Reações
A determinação das reações das lajes sobre as vigas pode ser realizada de duas formas, a primeira, a partir das análise plástica, de acordo com o item 14.7.4 da NBR 6118:2014 e, a segunda, pela aproximação das charneiras. Neste segundo caso são traçados triângulos e trapézios nas lajes de acordo com as seguintes considerações:
• 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
• 60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado;
• 90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre.
Desta forma, a laje ficará dividida em área de influência sobre as vigas, como pode ser observado na Figura 16.
Figura 16 – Áreas de influência das lajes sobre vigas
Fonte: CHUST CARVALHO, ROBERTO et al., 2001
As reações obtidas são consideradas uniformemente distribuídas, o que é uma simplificação, uma vez que as cargas são maiores na parte central da borda e menores nos extremos(PINHEIRO; MUZARDO; SANTOS, 2003). O cálculo das reações pode ser obtido pela equação 3.24.
Vxy = p.Axy lxy (3.24) onde:
V
xy é a reação na viga em kN/m;p
é carga total atuante sobre a laje em kN/m2;l
xy é a dimensão do vão da viga em m.3.3.4.3 Flechas
Segundo a NBR 6118 as flechas máximas não devem ser maiores que os valores do Quadro 2.
Quadro 2 – Limites para deslocamentos
Fonte: Tabela 13.2 da NBR 6118 (2014)
As flechas devem ser calculadas considerado-se as combinações do estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) de acordo com a NBR 6118:2014.
3.3.4.3.1 Lajes armadas em uma direção
Assim como na determinação dos momentos, as lajes armadas apenas em uma direção seguem os valores:
• Laje bi-apoiada
ai = 5pl4
384EI (3.25)
• Laje apoiada e engastada
ai = pl4 185EI (3.26) • Laje bi-engastada ai = pl4 384EI (3.27)
3.3.4.3.2 Lajes armadas em duas direções
ai = αpl4x
12EI (3.28)
onde:
a
i é a flecha imediata sobre a laje;α
é um coeficiente tabelado em função deγ
;l
xé o menor vão;p é o valor do carregamento sobre a laje na combinação quase permanente.
3.3.5 Detalhamento
3.3.5.1 Armadura longitudinal
Determinados os momentos fletores máximos atuantes na laje, torna-se possível calcular as armaduras. Primeiro determina-se a linha neutra.
x = 1, 25.d.(1 − ( s
1 − Md
0.425.fcd.b.d2
onde:
d é a altura útil;
b é a largura de uma faixa de laje de 100 cm.
As=
Md fyd.(d − 0, 4.x)
(3.30)
• Armadura mínima
Quadro 3 – Armadura mínima
Fonte: Tabela 19.1 da NBR 6118:2014
onde:
Tabela 1 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas
Forma
ρ
min= A
s.min/A
c20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Retangular 0,15 0,15 0,15 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226
Os valores de
ρ
min estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8,γ
c = 1,4 eγ
c = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes,ρ
min deve ser recalculado.onde:
As = ρs.bw.h (3.31)
• Armadura máxima
De acordo com a NBR6118, a soma das armaduras positiva e negativa não deve ser superior a 4% da área de seção transversal do concreto:
As+ A0s = 4%Ac (3.32)
onde:
A
s é a armadura de tração;A
0s é a armadura de compressão;A
c é a área de seção transversal do concreto.• Diâmetro máximo
Segundo o item 20.1 da NBR 6118:2014 o diâmetro máximo de uma armadura de flexão é h/8.
• Espaçamento máximo
Ainda no mesmo item da NBR 6118:2014, o espaçamento máximo da armadura de flexão deve ser o maior valor entre 2h e 20 cm. Nas regiões dos maiores momentos fletores, no entanto, deve prevalecer o menor desses valores.
• Espaçamento mínimo
Recomenda-se adotar o valor especificado para barras de uma mesma camada horizontal das armaduras longitudinais de vigas:
ah,min ≥ 2cm l 1, 2dmax,agr (3.33)
3.3.5.2 Armadura transversal
Para determinar-se a necessidade de armadura transversal na laje, deve-se realizar a seguinte verificação:
VSd ≤ VRd1 (3.34)
onde:
V
Sd é a força cortante de cálculo;V
Rd1é a força cortante máxima.V
Rd1= [τ
Rd.k(1, 2 + 40ρ
1) + 0, 15.σ
cp].b
w.d
onde:
τ
Rd= 0, 25.f
ctdρ
1=
bw.dAs1σ
cp=
NAsdssendo k um coeficiente de valor:
k=1, para os elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio.
k=|1,6-d|, para os demais casos, não menor que 1.
Caso seja prevista armadura transversal para lajes, esta deve ser dimensionada da mesma forma que uma viga dimensionada para resistir à força cisalhante. Devem-se seguir os seguintes cuidados:
• Resistência do estribo não deve ser maior que 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm;
• Resistência do estribo não deve ser maior que 435 MPa (fywd), para lajes com espessura maior que 35 cm.
3.3.5.3 Armadura positiva
“Nas lajes armadas em uma ou em duas direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.”(NBR 6118 (2014) item 20.1)
3.3.5.4 Armadura negativa sobre apoios
A determinação do comprimento das barras negativas entre lajes adjacentes deve ser calculado com base no diagrama fletor da região. Para tanto deve-se recomenda-se seguir o esquema ilustrado na Figura 17.
Figura 17 – Armadura negativa
Fonte: PINHEIRO, LIBÂNIO M., 2003
onde
`
é o maior entre os menores vãos das lajes adjacente.a1 ≥ al+ lb 0, 25l + 10 (3.35) onde:
a
l=1,5d (deslocamento do diagrama);l
b é o comprimento de ancoragem; Ø é a bitola da barra. 3.3.5.5 Armadura volventeLajes de grandes dimensões, quando apoiadas em peças vizinhas,
ocasionam em momentos de torção
M
xy (momentos volventes) que provocam umatendência de levantamento das bordas (BASTOS, 2015). Nestes casos recomenda-se a adoção de armaduras especiais nas bordas.
3.4 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS
3.4.1 Determinação das reações de apoio
Existem múltiplas metodologias para se encontrar as solicitações resultantes em um elemento de viga. O presente trabalho tem como enfoque o método de análise matricial denominado Método da Rigidez Direta, ou Método dos Deslocamentos, descrito na Seção 3.1.1. Resumidamente, define-se o vetor de forças globais atuantes, assim como a matriz de rigidez global do sistema de barras, e, por análise numérica ou solução direta, encontram-se as deformações, tratadas como incógnitas do problema, pela resolução das equações de equilíbrio. Para Soriano (2013), este é o método mais importante quando comparado a outras técnicas de análise estrutural, pois permite fácil adaptação para o meio computacional. Ressalta-se que, para utilização deste procedimento, a viga deve ser considerada como um pórtico plano horizontal, ou seja, ausente de barras verticais. A consequência disto é um sistema de barras com dois graus de liberdade (deslocamentos) em cada nó, ao invés de três, por conta da redundância da deformação horizontal. Aponta-se também o fato da matriz de rotação ser aplicada apenas em barras inclinadas. Como vigas são, em sua maioria, elementos retos, não há necessidade de se rotacionar as matrizes locais de rigidez.
3.4.2 Determinação dos esforços atuantes
Tendo ciência das reações do sistema, a determinação dos esforços atuantes torna-se imediata. Süssekind (1987) define como momento o produto vetorial entre as grandezas de força aplicada e sua distância perpendicular até o ponto de interesse. Desta forma, para uma seção genérica de viga, o momento fletor é definido como:
M = n X i=1 ±Pi.xi+ n X i=1 ±qi.Li.xi + n X i=1 ±Mi (3.36)
Na Equação 3.36, o momento fletor é composto por três parcelas de influência,
que são as cargas concentradas (Pi), as cargas distribuídas (qi) e seus respectivos
trechos relevantes (Li), e momentos aplicados (Mi). Estes fatores devem ser
contabilizados adotando-se uma visão unilateral do sistema, ou seja, os efeitos do lado direito da seção de interesse não devem ser equacionados juntamente com os esquerdos. Devido a continuidade do elemento, os momentos de visão esquerda
(Mfesq) e de visão direita (Mfdir) convergem em um mesmo valor, para qualquer ponto
da barra (SÜSSEKIND, 1987)
Assim como o momento fletor, o esforço cortante obedece o mesmo padrão e, tomado como a derivação da Equação 3.37, tem o seguinte aspecto:
V = ∂M ∂xi = n X i=1 ±Pi+ n X i=1 ±qi.Li (3.37)
Desta forma, é possível determinar os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga.
3.4.3 Dimensionamento de peças sujeitas a flexão simples segundo a NBR 6118:2014
Tendo em mente os domínios de dimensionamento descritos em 3.2.6 e a condição de Estados Limites Últimos proposta pela NBR 6118:2014, assim como determinados os diagramas de esforços da viga, é possível iniciar o processo de dimensionamento da armadura. Vale lembrar que o domínio 5 deve ser evitado, pois nele exige-se a configuração de armadura dupla para que o conjunto resista simultaneamente compressão e tração (BASTOS, 2004).
Pensando em estabelecer fácil checagem dos limites de utilização, a NBR 6118:2014 estabeleceu o conjunto de relações abaixo para a profundidade relativa da linha neutra:
x
d
≤ 0, 45
paraf ck ≤ 50M P a
xd
≤ 0, 35
para50M P a ≤ f ck ≤ 90M P a
Onde x é a profundidade da linha neutra e d, a altura útil da peça.
3.4.3.1 Seção retangular
Fonte: Autores
3.4.3.1.1 Armadura Longitudinal
O roteiro de cálculo para seções retangulares inicia-se com a determinação do
momento solicitante reduzido
µ
através da Equação 3.38 (BASTOS, 2004).ou µ = Md 0,85.fcd.b.d2 µ = Md 0,85.fcd.b.d2 (3.38)
Onde Mdé o momento de maior valor, seja ele positivo ou negativo, do diagrama
majorado pelo Estado Limite Último. o parâmetro b refere-se à base da seção, d indica a altura útil, podendo ser adotado inicialmente 90% da altura da seção e fcdconsiste na resistência de projeto do concreto na seção, dada pela Equação 3.39.
fcd = fck
γc
(3.39)
Com o coeficiente de ponderação do concreto sendo 1,4.
Segundo a NBR 6118:2014, o valor do momento relativo
µ
define a utilizaçãode armadura. Para concretos com resistência característica de até 50MPa, momentos maiores que 0,295 exigem aplicação de armadura dupla, caso contrário, usa-se armadura simples.
Para o caso de armadura simples:
(µ ≤ 0, 295)
Md1 = Md (3.40)
Para o uso de armadura dupla:
(µ > 0, 295)
ou Md1 = 0, 295.0, 85.fcd.b.d2 Md1 = 0, 295.0, 80.fcd.b.d2 (3.41)
Após a definição do momento fletor relativo, relaciona-se o mesmo com a taxa mecânica de armadura (ω). O resultado é o polinômio de segunda ordem dado pela Equação 3.42.
ω2− 2.ω + 2.u = 0 (3.42)
Resolvendo a equação, obtém-se o valor da taxa mecânica de armadura e então, através deste parâmetro, determina-se a altura da linha neutra na seção (x), conforme a Equação 3.43.
x = 1, 25.(ω.d) (3.43)
A seguir, definem-se as deformações dos materiais. Para tal, estipula-se a deformação específica do concreto (c) de acordo com os limites do
f
ck e calcula-se adeformação no aço (s) pela Equação 3.44.
εs= ( d − x x ).εc (3.44) Se
ε
s≤ 10
fs = fyk γs (3.45)Onde fyk é a resistência característica do aço, γs é o coeficiente de ponderação tomado como 1,15 e
f
yd, a tensão resistente total do aço. Caso a deformação específicado aço seja ultrapasse o limite de 10, esta deve ser adotada com o valor limite e a deformação do concreto, recalculada em função desta determinação.
Finalmente, calcula-se a área de armadura necessária na seção através da Equação 3.46.
As1 =
Md1 fyd.(d − 0, 4.x)
Para vigas que necessitem de armadura simples somente, a área de aço necessária já está calculada. Porém, nos casos que necessitem de armadura dupla, o
procedimento se estende. O momento fletor não é totalmente resistido pela área As1.
Com Md1 definido pelas Equações 3.40 e 3.41, calcula-se a parcela restante (Md2).
Md2= Md− Md1 (3.47)
Como esta segunda parte da armadura ficará no lado oposto a As1, adota-se
uma nova altura útil (d’), tomada como 10% da altura da seção. Utiliza-se, então, o mesmo procedimento descrito para o cálculo das deformações específicas, porém adotando a relação dada pela Equação 3.48.
ε0s= x d− d0 d x d .εc (3.48)
Se a deformação específica do aço (s‘) for maior que a mínima de 2,071,
adota-se fs como a resistência de projeto do aço. Caso contrário, a tensão será proporcional
à deformação, seguindo o gráfico da Figura 18.
A segunda área de armadura é então calculada pela Equação 3.49.
As2 = Md2 f0 s.(d − d0) (3.49) 3.4.3.1.2 Armadura transversal
A armadura transversal é essencial para resistir aos esforços cisalhantes. Seu dimensionamento é feito com base nos valores extremos de esforço cortante do diagrama da viga. Inicia-se verificando a capacidade resistente do concreto, através das Equações 3.50 e 3.51.
αv2 = (1 − fck
250) (3.50)
Vsd ≤ Vrd2 (3.52)
A armadura de aço por metro é então calculada pela Equação 3.53.
Asd s = Vsd − 0, 6.fctd.b.d 0, 9.d.fyd (3.53) com
f
yd≤ 435M P a
3.4.3.2 Seção em “T”No caso de vigas com seção “T”, o dimensionamento é similar, porém com a determinação da mesa comprimida definida com base nas dimensões da geometria da seção, descrita na Figura 19.
Figura 19 – Seção em “T”
Fonte: Autores
3.4.3.3 Critérios da NBR 6118:2014
3.4.3.3.1 Armadura longitudinal
A norma estabelece que a taxa de armadura na deve estar entre 0,4 e 4% da área da seção.
3.4.3.3.2 Armadura transversal
A armadura mínima por metro é expressa pela Equação 3.55.
fctm = 0, 3.fck 2 3 (3.54) Asw s min = 0, 2. fctm.b fyk (3.55)
As armaduras calculadas devem ser verificadas para estar em concordância com os limites da norma.
3.5 DIMENSIONAMENTO DE PILARES
Segundo Scadelai (2003), até por volta da década de 60, pilares eram dimensionados pela flambagem, simplificadamente, multiplicando-se a carga de trabalho, suposta axial, pelo coeficiente de segurança γ e um coeficiente de majoração ω, que dependia do índice de esbeltez, e tinha como base teórica a consideração da flambagem além do limite de proporcionalidade. Esse processo de cálculo era denominado Processo ω (Ômega). Nos casos de flexão composta, calculava-se a armadura para esta solicitação e verificava-se depois o pilar com a força axial isoladamente, majorada por γ e ω.
Ao longo dos anos, foram desenvolvidos estudos que vêm aperfeiçoando o dimensionamento de pilares, por meio de análises envolvendo tipos variados de seções e solicitações. A complexidade envolvida nesse dimensionamento recai no fato do comportamento dos pilares ser tipicamente não-linear, ou seja, além da não-linearidade geométrica, caracterizada pela substancial alteração sofrida pelas solicitações decorrentes dos deslocamentos transversais do eixo do pilar, observa-se também a não linearidade física, decorrente das equações constitutivas não-lineares do concreto e do aço.
Alguns autores têm incluído, em suas publicações sobre os vários aspectos das peças de concreto armado, considerações sobre o fenômeno da instabilidade de pilares esbeltos, como Fusco (1981), Santos (1981) e Süssekind (1987).
Em seu trabalho, Banki (2004) faz uma análise do processo simplificado que é introduzido pela NBR 6118, para determinação dos efeitos locais de 2ª ordem em pilares de concreto armado, denominado “Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada”. É apresentada uma abordagem direta, evitando o procedimento iterativo sugerido pela
Norma, e uma análise dos resultados obtidos em função do índice de esbeltez e da excentricidade de 1ª ordem.
À priori do dimensionamento propriamente dito, é necessário o conhecimento do comportamento do conjunto concreto-aço, assim como as situações de esforços possíveis para elementos de pilares.
O estudo das não-linearidades física e geométrica é fundamental, pois interfere no comportamento das estruturas. Essa interferência é verificada através da relação entre momento e curvatura. Para Borges (1999), o conceito de linearidade, por vezes, é confundido com o conceito de elasticidade, isto é, se é dito que um determinado material tem comportamento elástico-linear, os conceitos elástico e linear são distintos. Uma barra é de material elástico quando, cessada a ação do carregamento aplicado, volta ao comprimento inicial; isso quer dizer que, quando a tensão retorna ao valor zero, a deformação também é nula, não havendo pois nenhuma deformação residual. Além disso, para as barras sob carregamento monotônico, o conceito mais importante é o de linearidade, ficando o conceito de elasticidade como essencial ao estudo de barras sob carregamento cíclico. A análise do conceito de elasticidade pode ser feita observando-se o diagrama da Figura 8, onde, ao retirar o carregamento, a deformação resultante for nula, ou seja, a relação tensão-deformação retroceder pela curva em traço cheio, o comportamento do material será elástico, mas, se o caminhamento se der através da linha tracejada, existirá deformação residual, portanto, o material terá comportamento inelástico. O fato do diagrama ser curvo demonstra que o material não tem comportamento linear, ou seja, não existe proporcionalidade entre tensão e deformação.
3.5.1 Flexo-compressão
O maior desafio do dimensionamento de pilares trata-se da situação de flexão oblíqua. Neste tipo de solicitação, o centro de carregamento possui excentricidade em ambas as direções com relação às coordenadas do centróide da seção.
