Equações diferenciais, separação de variáveis e o problema de forças centrais

Institutode Matemáti a, Estatísti ae ComputaçãoCientí a

Departamentode Matemáti a

Equações Diferen iais, Separação

de Variáveis e o Problema de

Forças Centrais

Már ia MayumiNakamura

Equações Difere

nci

a

i

s

,

Separa~ão

de

Variáveis c o

Problema de Forças

CeJ

•tr

ais

U

a

m

:õ

L:::~

n.

u

ür.~

Mio

n

a

:

b

st

tt

t'X

-?IY!

Pi

'u

c.·or

róf::

r

po:

u.ll! A

n:d

sç

ã

o

li

na

l

da

•.i

hM:

t

laç[~

<I

<=Yi<la

HlC:•~L

-o

c'rrip;

idp

c

\'l

$!(i'

l

h,

i

id

a.

po··

i'

Vrt.rdfl

1\'f.ay-..

nn

i

:'\t)..k

t

l

mnr

a

·

r

il

1

>T

()Wtd<

l ()('I

:\

oom

i~fi..1

jl

t

J

g.a

rlo

:é\.

rro

f.

D

r

.

.Cdm

un

dQ

C&

pt-l

as

<

.

l

e

Oiive

:

ra

Pr

of. Dr

.

Mfirdo

.

Jm

:

r:

>

.:l

r.l

Y•u

Pro

f.

Dr

.

Danie

l

:u

lian

o

Pnmploun

d

a

S

il

v~

Dis

·

sto

rta

~

·

ti.o

ap

r

ewntudl.l ao

l

ru:ti<,

u

~

•.l

d~

Mtt.

l.f·

;

·

••ft

(i<:

it

,

E.9a

tf

;:;;L

i

t

n

c

Cü

u

t

pl

l

taçàv

C1fl11

t

i

fi

.:

·:>..

t:f

..

H

CAMP

.

r

··

:.rru>

r<"'l

lll~

i

~o

p

~m

·m

l

Nl45c

F

I

C

HA

CA

T

A

LOGRÁF

I

CA

ELABORADA

PELA

B

I

.B

U

OTECA

DO

IM

.

E

CC

DA

UN

I

CA

M

r

Oi b

li

O

I

eéA

ri

ta

:

!\h

-ri

a

Fi

t

b

i

í

m

ít

O

CZ.C

r

ril !'V

I

üll

er

-

CR

138

/

6

1

62

Nàk:.Jnntra. Mirei

a Màyumi

Equ::.çôcs

difemw

.

i:Jis,

ll'plll'

:.çito

d~

,

.

:lJifM:is

e

o probl

ema de

forças cc:lllr:t.il\!Márda

f!<

b

yumi N:)k:unur:.-

Campinas, [S.P.

s.n

.

]

,

201 L

O

rientador: Edmundo

C:tpc

las de

O

l

h·

dn

L)is9:.Tiaçito

(mc.'SU':tdo prolis

sional

)

•

Uni"ersidade

~:tdu::.l

de

Campi.na.~.

I

nstituto

de M:

·

ltl~lllilica, Estatb!ic

~

.

c

C

ompotaçito CicnLilica.

L

Variá"ds (MIIh.'lllátic.::.

)

.

:?.lle.;;Jd,

FunçOC-s

de.

3.Equaçôes

dikrt.'llt

-iai.s

pa

:

rdàili.

4.Frobl'llius, M&odo dl.'.

I.

Olivcir:t,. Edmundo

C:)pdás

de.

11.

Univt.-rsid:I((C

E~:tdu

~

·l

de

C::.mpina.s.

h

utituto

de

-Mat~

~mAiica,

Est:.U.-ica

e

Computação Cicnllfk.:l.

111

. Titulo.

Tlhdo <.·m inglês: Di ITcft'ntial C\:Ju:nions.

s~'Pamtins

v.'lri:ilitc

.

, :md tbc oc:mr.d

force

.

, probll1ll

P

al:'lvr:..JK>h:IVC em ir~Biês

(Kcywords):

I.

Varbbks (Malhl1llatic

-

s). 2

.

ll

cslo\:1 func.tions. 3.

P

:mi:ll di lfcn•nli:ll

~'qlll.'llionll

Tilulaçito:

Mc.'JIU\"

~,_n M~K'n'll\tica

1l

;ux:

:1

c~mill:ldor-x

P

ro

f. IJr. Edmundo

Capcbs

de

OJi,

,

dl'.l (

I

M

E

CC'.--UN

I

C

AM

P

)

Prot: llr. Mardo Jose Mcnon (IPGW • UN

I

CAMP)

Pr

of.

l

k

Daui d J

uli:mo

P

amplon::.

(k)

Silv.. (UN

I

P

A

L

)

(

I

Oissenaç,ão

dr

;\

l

cstradú

l'rofission•

l

defendida""' 18

d

l'

f~V<'

I

'

~ir

o

de 21)1

I

e apro•

·

ada

pela

B

a

ncll Exaruinltdora

composta pelo

•

P•·of

~

.

Dn.

I

o;:

OI.IVF

,

IRA

Não bastaensinar ao homemuma espe ialidade, porque se tornará assim

uma máquina utilizável e não uma personalidade. É ne essário que adquira

um sentimento, senso práti o daquilo que vale a pena ser empreendido,

da-quilo que é belo. - Albert Einstein.

Nummundo impessoal, omo o que vivemos, arrisquei, nestes três anos,

a me aperfeiçoar  omo que artesanalmente  pelo mundo dos números.

Não ontava omtantasprovações,mas oresultadoaquiseen ontra. Quero,

aqui, registrarminha gratidãoa todos que fazem parte deste momento.

Começo agrade endo àqueles que são minha referên ia, minha base de

respeito, de arinho e de integridade, minha mãe Katiae meu paiAmaro.

Em seguida, à minha família que soube entender minha ausên ia e me

apoiar mesmo de longe: Alessandra Nakamura, Ana, Leila, Sílvia, Paloma,

Solange eEduardo Taque ita,Fran o, Vanessa,Angela eKioshi Yamakawa,

Eduardo, André, Ri ardo, Elizae Jorge Horai, Yomiko e Chuji Horai, Sato

e GisaburoNakamura.

Aomeuqueridoorientador,EdmundoCapelas, omquemtiveoprivilégio

de estudar. Sempremuito ompreensivo, pa iente esolí ito.

A minha famíliade oração: Luiz Krempel, Teresinha Ron hetti, Bruno

Gia ominieBrunoHonórioporseremminhadosediáriade ompanheirismo.

Ao CláudioMu elin, meu professor,amigo, padrinho, olegade trabalho

pare ia não mais existir.

À JulianaLopes, por sempremeajudar om as palavras.

Ao JoãoPereirade SáNeto, porter parti ipadoativamentenessa

disser-tação.

Ainda pude ontar om o arinho de Ronaldo Luggli, Ri ardo Orlando,

Marina Pi olo, Lu iana Galo, Daniel Perez, Mar elo Alves, Luiz Massoni,

Celso A iolli, Mar elo Jerry, Davi Rissetti, Mar elo Dias, Marli Curioni e

Aldair Falavigna. Obrigada por fazerem meus dias mais divertidos e me

provarem que ainda existe amizadena nossa área.

Agradeço ainda aos amigos: Giseli Mu elin, Mi helle Kuroda, Heloísa

Fas ina, Daniela Martins, Pedro, Natália, Nan y e Viní ius Avan i, Ester

Rosa,RobertoLimberger,RobertaSalomão,DanielMorienteeGustavo

Mar-tins. Vo ês são espe iais!

Aosmeusalunos, oordenadoresediretores,quesempremein entivaram.

Por m, agradeço a Deus, a essên ia absoluta, por não ter me deixado

Efetuamos um estudo sistemáti o envolvendo o aso geral de uma equação

diferen ialpar ial,linear,de segunda ordem, om

n

variáveisindependentes. Parti ularizamospara o aso bidimensional,

n = 2

, duas variáveis indepen-dentes. Utilizamos o método de separação de variáveis para onduzir esta

equação diferen ial par ial a um onjunto de duas equações diferen iais

or-dinárias. Introduzimos o método de Frobenius a partir de uma parti ular

equação diferen ial ordinária, a hamada equação de Bessel. Como

apli a-ção, apresentamos e dis utimos o hamado problema de forças entrais, em

parti ular, estudamos o problema de Kepler de onde emerge naturalmente

o problema de lassi açãode uma ni a, onde aelipse mere e tratamento

We develop a systemati study involvingthe general ase of a se ond order

linearpartialdierentialequationwith

n

independentvariables. We parti u-larize tothe bidimensional ase,

n = 2

,involvingtwoindependentvariables. In this ase, we present the method of separating variables to develop the

partial dierential equationintoa set of two dierentialordinaryequations.

We introdu e the Frobenius method using a parti ular ordinary dierential

equation, the so- alled Bessel equation. As an appli ation, we present and

dis uss the so- alled entral for es and as parti ular ase, we study the

Ke-pler problem fromwhi hnaturally emerges the problemof the lassi ation

Introdução 1

1 Equações diferen iais 5

1.1 Um brevehistóri o . . . 5

1.2 EDPs  deniçõese notações. . . 7

1.3 Equação transformada . . . 8

1.4 Classi ação . . . 11

2 EDPs om duas variáveis independentes 13 2.1 Classi ação . . . 14

2.2 A forma anni a . . . 17

2.2.1 Tipo hiperbóli o

∆ > 0

. . . 18

2.2.2 Tipo parabóli o

∆ = 0

. . . 19

3 Separação de variáveis 22

3.1 Métodode Fourier . . . 22

3.2 Métodode separação de variáveis . . . 23

3.3 Condiçõesde ontorno . . . 25

3.4 Soluçãodo problema de partida . . . 26

4 Método de Frobenius 27 4.1 Denição. . . 28

4.2 O métodode Frobenius . . . 29

5 O problema de forças entrais 35 5.1 Equaçõesdiferen iais esuas integrais . . . 37

5.1.1 Equação daórbita . . . 41

5.2 O problema de Kepler . . . 42

5.2.1 A ter eira leide Kepler . . . 44

Apêndi e 49

Con lusão 53

Émuitofrequente, natentativademodelarumfenmenoouumexperimento

qualquer, obterequaçõesqueenvolvamvariações das quantidadespresentes.

Assim, as leis que regem esses fenmenos são traduzidas por equações de

variações. Quandoessa variaçõessãoinstantâneas,ofenmenosedesenvolve

ontinuamenteeasequaçõesmatemáti assãodenominadasdeequações

dife-ren iais,poroutrolado,seasvariáveisenvolvidas foremdis retizadas,então

temos as equações de diferenças.

Neste texto, nos fo amos nas Equações Diferen iais (EDs), as quais têm

extrema importân ia não só omo teoria matemáti a, mas também omo

ferramenta de análise indispensável no exer í io da atividade prossional e

ientí a em diversas áreas, apenas para men ionar, dentre outras, Físi a,

Quími a,Biologia,E onomiae Te nologia ontemporânea.

Devido a esta vasta área de apli ação, o estudo de uma ED, em geral,

passapordiversasdivisõese/ou lassi açõesnosentidodeparti ularizartal

estudo. Primeiramente,divide-seesteestudoemduasgrandes lasses:

Equa-ção Diferen ial Ordinária (EDO), om apenas uma variável independente e

envolvendo alinearidade, istoé, EDOe EDP lineares enão-lineares.

Aorigem,osobjetivoseosmétodosmatemáti osenvolvendoasequações

diferen iaispar iais(EDPs)estãoligadostradi ionalmenteaosproblemas da

Físi a-Matemáti a. Por exemplo, a elasti idade e a dinâmi a dos uidos,

que tratam de fenmenos on retos, tiveram o seu desenvolvimento

alavan- ado a partirda teoriamatemáti a destas equações. Alémdisto, asmesmas

equações que estudamos em elasti idade e dinâmi a dos uidos reapare em

seguidasvezes, nas maisvariadasáreas daFísi aedaMatemáti aApli ada,

em geral, demonstrando, assim, o poder de síntese e a admirável e iên ia

da Matemáti a no estudo dos fenmenos da natureza. Com isso, diversos

problemas matemáti os abstratos e de signi ado, às vezes, obs uro na sua

on epção físi aoriginal,adquiremumainterpretação on reta quando

fo a-dos doponto de vista dame âni a, por exemplo.

A m de justi ar a importân iadas EDs, men ionamos algumasdestas

equações. São três as lássi as EDPs lineares e de segunda ordem

apre-sentadas, em geral, através de seus protótipos: equação de onda, equação

de difusão e equação de Lapla e. A equação de onda, equação do tipo

hi-perbóli o, des reve movimentos os ilatórios dentre eles, os ilações de uma

membrana ir ular e a hamada equação do telégrafo. A equação de

difu-são, dentre elas a equação do alor, equação dotipoparabóli o, estuda,por

exemplo, o uxo magnetohidrodinâmi oem um meio poroso. A equação de

Lapla e, equação dotipo elípti o, estuda, dentre outras, a determinação de

ionamos a equação de Tri omi, asso iada aproblemas advindos da

aerodi-nâmi a ea equação de Lapla e generalizadano universo de de Sitter [13℄.

Enm, apenas para men ionar, desta amos a hamada equação de

Ri - ati, uma ED não-linear de primeira ordem; a equação de S hrödinger,

ad-vinda da Me âni a Quânti a, que ontém um oe iente não real; as

equa-ções de Maxwell, um onjunto de equações diferen iais lineares, dentre

ou-tras. Mais re ente emergem as hamadas ED fra ionárias onde é admitida

a derivada de ordem não inteira e que des revem, dentre outros, problemas

envolvendo sub esuper difusão.

Oobjetivodopresentetrabalhoéefetuarumestudosistemáti odasEDPs

lineares e de segunda ordem om

n

variáveis independentes, a m de parti- ularizarmos para o aso

n = 2

, istoé, duas variáveisindependentes.

Opresentetrabalhoestádispostonaseguinteforma: Noprimeiro apítulo

apresentam-se as EDPs lineares e de segunda ordem, om

n

variáveis inde-pendentes e a respe tiva equação transformada, que permite a lassi ação

quanto ao tipo, importante para dis ernirmos omo afrontar orretamente

um parti ular problema envolvendo ondições sejam elas ini iais e/ou de

ontorno. No segundo apítulo, introduzimos as EDPs lineares de segunda

ordem om duas variáveis independentes e a respe tiva lassi ação quanto

ao tipo. No apítulo três, dis ute-se o método de Fourier, onsistindo da

metodologia dos três passos, a saber: separação de variáveis, ondições de

ontornoesoluçãodaEDPdepartida. Maisumavez,aqui,dis utimoso aso

umaEDP linearde segundaordeme om duasvariáveisindependentes aum

onjunto de duas EDOs lineares de segunda ordem onde, no aso geral, os

oe ientespodemdependerdavariávelindependente,istoé, oe ientesnão

onstantes. Neste aso emque os oe ientes não são onstantes

apresenta-mos o método de Frobenius, que pode ser interpretado omo uma

generali-zação do método de Taylor, envolvendo uma série de potên ias. O método

de Frobenius é bastante geral e potente pois forne e, em geral, pelo menos

uma solução da EDO. O aso em que os oe ientes são onstantes será

importante para dis utir a EDO que emerge quando do estudo das órbitas

de uma ni a.

Comoumaapli ação,dedi amoso apítulo in oaoestudodas hamadas

forças entrais onde dis utimos, omo aso parti ular, o hamado problema

de Kepler, ujas órbitaselípti as emergem de formanatural. Este problema

é abordado através das oordenadas polares noplano de onde se re uperam

as três leis de Kepler, asso iadas ao movimento planetário, em parti ular a

lei das áreas. A importân ia desta apli ação reside no fato de que

ne essi-tamos al ular a área de uma elipse. Este tópi o, área da elipse, pode ser

entendido omo uma generalização da área de um ír ulo, esta apresentada

de forma direta no Ensino Médio. Finalmente, apresentamos as on lusões.

Umapêndi e ompletaotrabalho, ondedis utimosoproblemadaintegração

explí itadaequaçãodas órbitasbem omoexpli itamoso ál ulodaárea de

Equações diferen iais

Neste apítuloapresentamosumbrevehistóri odasEDsenfatizandoasEDPs

para asquaisapresentamos aequaçãotransformadaquepermitedis utir,de

forma quase que imediata,otipo dareferida EDP.

1.1 Um breve históri o

O ál ulodiferen ial eintegrale asEDs nas eram juntose os dois teoremas

bási os do ál ulo (teorema fundamental do ál ulo e o teorema do valor

médio) estão intimamente rela ionados à solução daED mais simples e

im-portante, a saber:

x

′

(t) = f (t).

Entretanto, não há dúvidas de que a inspiração ini ial para o estudo das

EDs veiodaMe âni a. Diversosproblemas omoomovimentodos planetas,

empiri amentepor homens omo J. Kepler (1571 - 1630),L. da Vin i(1452

- 1519),G. Galilei(1564- 1642) eC. Huygens (1629 -1695). Porém, faltava

a estes, teoria matemáti a apaz de modelar os fenmenos.

Com o apare imento do ál ulo, no nal do sé ulo XVII, por obra de I.

Newton (1642 - 1727) e G. W. Leibniz (1646 - 1716), inúmeros problemas

me âni os, in luindoestes três,puderam ser, então, modelados

matemati a-mente naformade EDs.

Emerge a questão: omo resolver tais problemas? Vários deles foram

resolvidosexpli itamenteede maneiraelegantepormatemáti osde

extraor-dinária habilidade opera ional, omo Ja ques Bernoulli (1655 - 1705), Jean

Bernoulli ( 1667 -1748), Ni holas Bernoulli ( 1695- 1726), DanielBernoulli

(1700 - 1782)e, prin ipalmente, porum de seus alunos,o brilhanteL. Euler

(1707 - 1783) ujaobra (in ompleta)preen he 74 grandesvolumes[1℄.

Apesar disso, om otempodes obriu-se quenão seria possívelobter

mé-todosgerais de resoluçãoexplí ita (emtermos de funçõeselementarese suas

integrais) para as EDs. A base rigorosa do ál ulo ainda não havia sido

lançada no sé ulo XVIII, mas os resultados surpreendentes até então não

deixavamdúvidasde que estateoria matemáti aestava no aminho orreto.

Por outro lado, não havia omo esque er a tradição matemáti a grega, tal

omorepresentadapelopadrãodeperfeiçãoerigordosElementosdeEu lides

(300a.C.). Essatradiçãoforçavauma omparaçãodesfavorávelàsituaçãodo

ál ulo que inquietava e desaava uma boa parte dos matemáti os no nal

rios surgiam e as disputas es apavam invariavelmente para o ampo

meta-físi o, onde os ritérios matemáti os perdem sua jurisdição. Era inevitável,

portanto,que uma partedo esforço matemáti ofosse dedi adopara

es lare- er osfundamentos teóri osdo ál ulo e pro uraroutros métodos de estudo

das EDs quenão asua solução explí ita.

É neste período que se desta a A. L. Cau hy (1789 - 1925), o qual

de-monstrou rigorosamente, pelaprimeira vez, e por três métodos diferentes, a

existên iadesoluçõesparaumavasta lassedeEDsquein luiessen ialmente

todos osmodelos onhe idos.

Apóso iní io dosé ulo XIXosmétodos gerais de resolução explí ita das

EDs perderam a sua proeminên ia e nenhum método de maior relevân ia

foi desenvolvido até o apare imento do ál ulo opera ional de O. Heaviside

(1850 - 1925) ea transformada de Lapla e nonal do sé uloXIX.

Ini iou-seassimateoriaqualitativageométri arepresentadaporH.

Poin a-ré (1854 - 1912) e A. M. Liapunov (1857 - 1918), bem omo a teoria de

aproximação analíti a(expansão emséries) e de aproximaçãonuméri a.

1.2 EDPs  denições e notações

Uma EDP é aquela que envolve derivadas par iais de uma função om, no

mínimo, duas variáveis independentes.

A ordem de uma EDP é denida omo a mais altaordem da derivada

pendente,

u

,eemtodas assuas derivadas. Caso ontrário,elaé hamadade não linear.

Neste trabalho denotamos por

∂u

∂x

≡ u

x

a derivada par ial da variá-vel dependente u em relação à variável independente x. Da mesma forma,

∂

2

_u

∂x∂y

≡ u

xy

e

∂

2

_u

∂x

2

≡ u

xx

.

1.3 Equação transformada

Nestaseçãovamosapresentaro asogeraldeumaEDPlinear om

n

variáveis independentes. Então, uma EDP linear de segunda ordem om

n

variáveis independentes é dada por

n

X

j=1

n

X

k=1

A

(x)

_kj

∂

2

_u

∂x

j

∂x

k

+

n

X

j=1

B

_j

(x)

∂u

∂x

j

+ C

(x)

u + G

(x)

= 0

(1.1) onde

B

(x)

j

, C

(x)

, G

(x)

e u são funçõesde

x

1

, ..., x

n

e

A

(x)

kj

,

é uma matrizreal e simétri a (ou seja,

A

t

_{= A}

)em

k

,

j

.

Nota-se que a equação a ima possui termos envolvendo derivadas

mis-tas. Podemos, através de uma onveniente mudança de variável, es rever a

mesmaequaçãosemesses termos. Estepro edimentoseráne essárioquando

estudarmos o método de separação de variáveis, que será apresentado no

Capítulo 3.

Começamosporintroduziraseguintetransformação:

y

k

=

n

P

l=1

R

kl

x

l

,onde











∂y

k

∂x

l

= R

kl

∂

2

_y

k

∂x

m

∂x

l

= 0.

Denindoas matrizes:

U

mn

(x)

≡

∂

2

_u

∂x

m

∂x

n

e

U

(y)

kj

≡

∂

2

_u

∂y

k

∂y

j

(1.2)

e utilizandoaregra da adeia,podemos es rever

U

_mn

(x)

= U

_kj

(y)

∂y

k

∂x

m

∂y

j

∂x

n

= U

_kj

(y)

R

km

R

jn

= ( ˜

RU

(y)

R)

mn

(1.3)

onde

R

˜

é a matriz transposta asso iada à matriz R. Considerando somente o termo quadráti odaequação (1.1), temos

Q =

n

X

j=1

n

X

k=1

A

(x)

_kj

U

_jk

(x)

=

n

X

k=1

(A

(x)

U

(x)

)

kk

= tr[A

(x)

U

(x)

]

(1.4)

onde

tr[A]

denota o traço da matriz A. Podemos es rever a equação a ima

na seguinteforma

Q = tr[A

(x)

_RU

_˜

(y)

_{R] = tr[RA}

(x)

_RU

_˜

(y)

_].

(1.5)

Note que, em um ponto xo,

x

0

≡ (x

01

, x

02

, ..., x

0n

)

, a matriz

A

(x)

tem

Se

A

éuma matrizreal esimétri a,então elapode ser diagonalizadapor uma matriz ortogonal. Seja R, até então arbitrária, uma matriz ortogonal,

isto é,

RA

(x)

_R

_˜

é diagonal,ouainda, amatriz dos autovalores. Logo:

[RA

(x0)

R]

˜

jk

≡ b

(x0)

j

δ

jk

= a

(y0)

j

δ

jk

(1.6)

onde

x

0

foisubstituídopor

y

0

,usandoatransformaçãopreviamente introdu-zida, isto é:

y

k

=

n

X

l=1

R

kl

x

l

e

b

j

éo

j

-ésimo autovalorde

A

.

Então emum ponto

x

0

, equivalentea um ponto

y

0

,temos:

Q = tr[RA

(x0)

RU

˜

(y0

)

] =

n

X

j,k=1

[RA

(x0

)

R]U

˜

kj

=

n

X

j,k=1

a

(y

0

)

j

δ

jk

U

kj

=

n

X

j=1

a

(y

0

)

j

U

(y

0

)

jj

(1.7) ou ainda,na forma

Q =

n

X

j=1

a

(y

0

)

j

∂

2

_u

∂y

2

j

.

(1.8)

Comisso,podemostransformaraequação(1.1),aqual ontémotermoda

derivada mista, naseguinte EDP sem o termoda derivada mista, aequação

transformada

n

X

j=1

a

(y

0

)

j

 ∂

2

_u

∂y

2

j



y=y

0

+ F

"

y

0

, u,

 ∂u

∂y



y=y0

#

= 0

(1.9)

onde introduzimosanotação

y

0

= (y

01

, y

02

, y

03

, ..., y

0n

)

e

 ∂u

∂y



y=y

0

≡

 ∂u

∂y

1

,

∂u

∂y

2

, ...,

∂u

∂y

n



y=y

0

.

A lassi ação quanto ao tipo de uma EDP depende apenas dos termos

quadráti os. Assim, lassi amos a equação (1.9) de a ordo om os tipos

listados a seguir emum domínioD, seem todos os pontos deste domínioos

oe ientes

a

(y0

)

i

satiszerem as seguintes ondições:

•

Se todos os oe ientes

a

(y

0

)

i

foremnão nulos e tiverem o mesmo sinal a EDP é dotipo elípti o.

•

Se os oe ientes

a

(y

0

)

i

forem todos não nulos e não tiverem o mesmo sinal, a EDP é dotipo ultra hiperbóli o.

1

•

Se pelo menos um dos oe ientes

a

(y

0

)

i

for nulo, a EDP é do tipo parabóli o.

Observe quese os oe ientes

a

(y

0

)

i

de umaEDP foremtodos onstantes, ela será invariante quanto ao tipo. Neste aso dizemos que ela é do tipo

elípti o, parabóli o ou ultra hiperbóli o em todo o seu domínio. Por outro

lado, se os oe ientes tiverem dependên ia nas variáveis independentes, as

equações poderão mudar de tipo de um ponto para outro, e são hamadas

equações de tipo misto. Neste aso, podemos estender a lassi ação

intro-duzindo osseguintes tipos:

•

Se emtodoseu domínio, os oe ientes

a

(y0)

i

tiverem apenas duas pos-sibilidades: todos não nulos e de mesmo sinal ou pelo menos um deles seja

nulo,sendoarbitrárioosinaldos demais,aEDPédotipoelípti o-parabóli o.

1

Otipohiperbóli oéum asoespe í onoqualapenasumdos oe ientestemsinal

•

Se em todo o seu domínio, os oe ientes

a

(y

0

)

i

tiverem apenas duas possibilidades: todos não nulos, não sendo de mesmo sinal ou pelo menos

um deles seja nulo sendo arbitrário o sinal dos demais, a EDP é do tipo

hiperbóli o-parabóli o.

•

Se emtodoseu domínio, os oe ientes

a

(y

0

)

i

tiverem apenas duas pos-sibilidades: todos nãonulos ede mesmosinal,outodosnão nulos, nãosendo

EDPs om duas variáveis

independentes

Neste apítulo dis utimos, primeiramente, as EDPs, lineares, de segunda

ordem, om duasvariáveisindependentes bem omo sua lassi açãoquanto

ao tipo. Tais equações são estudadas om mais ênfase devido à sua grande

importân iaemdiversos problemas daFísi a, omoporexemplo,problemas

asso iados à equação de onda e alor, a equação de Lapla e e a equação de

Poisson, estas duas últimas usadas para determinar o poten ial elétri o de

uma onguração eletrostáti a.

Vamos omeçar dis utindo a forma mais geral de uma EDP linear de

segunda ordem om duas variáveis independentes:

A

∂

2

_u

∂x

2

+ 2B

∂

2

_u

∂x∂y

+ C

∂

2

_u

∂y

2

+ D

∂u

∂x

+ E

∂u

∂y

+ F u = G

(2.1)

onde os oe ientes

A, B, C, D, E, F

e

G

são funçõesdas variáveis indepen-dentes x e y, e

u = u(x, y)

é a variável dependente. Suponha, que tanto u(x, y) quantoos oe ientes presentes naequaçãoa imasão ontinuamente

diferen iáveisequeos oe ientes A,B eC nãosãosimultaneamentenulos. 1

2.1 Classi ação

A lassi açãodeumaEDPdesegundaordemébaseadanareduçãoda

equa-ção (2.1) para aforma anni a atravésde uma transformaçãode

oordena-das onforme apresentado noCapítulo1. Aqui, neste aso,esta lassi ação

é análogaà lassi ação de uma quádri a.

O hamado dis riminanteasso iado a equação (2.1) édado por

∆ = B

2

_{− AC.}

(2.2)

Note que se os oe ientes são onstantes,

∆

também será onstante. As-sim, a equação a ima pode ser lassi ada omo hiperbóli a, parabóli a ou

elípti a em um domínio dado, se para todos os pontos deste domínio, seu

dis riminanteforrespe tivamentepositivo,nuloounegativo. Ainda mais,se

o mesmo depende das variáveis independentes

x

e

y

,dizemos que aequação é de tipomisto.

No asoespe í ode duasvariáveisindependentes, sempreháuma

trans-formação de oordenadas que deixa a equação (2.1) invariante quanto a

1

Onúmero2nafrentedotermodederivadamistaestápresente onvenientementepara

transformação seja inversível. Vamos veri ar este fato.

Primeiramente vamos onsiderar a forma anni a. Para transformar a

equação (2.1) na forma anni a podemosusar uma transformação de

oor-denadas geral dadapor:

ξ = ξ(x, y)

e

η = η(x, y),

(2.3)

onde

ξ

e

η

são, pelo menos duas vezes ontinuamente diferen iáveis e, além disso, admitimosque o Ja obiano

(J)

desta transformação seja diferente de zero, aso ontrárionão temos arespe tiva inversa, nodomínio onsiderado,

J =

∂(ξ, η)

∂(x, y)

=





















∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

∂η

∂x

∂η

∂y





















= ξ

x

η

y

− η

x

ξ

y

.

Introduzindo estas transformações na equação (2.1), obtemos uma nova

equação dada por:

A

∂

2

_u

∂ξ

2

+ 2B

∂

2

_u

∂ξ∂η

+ C

∂

2

_u

∂η

2

+ D

∂u

∂ξ

+ E

∂u

∂η

+ F u = G

(2.4)

onde os oe ientes são taisque

A = A

 ∂ξ

∂x



2

+ 2B

 ∂ξ

∂x

∂ξ

∂y



+ C

 ∂ξ

∂y



2

B = A

 ∂ξ

∂x

∂η

∂x



+ B

 ∂ξ

∂x

∂η

∂y

+

∂η

∂x

∂ξ

∂y



+ C

 ∂ξ

∂y

∂η

∂y



(2.5)

C = A

 ∂η

∂x



2

+ 2B

 ∂η

∂x

∂η

∂y



+ C

 ∂η

∂y



2

D = A

∂

2

_ξ

∂x

2

+ 2B

∂

2

_ξ

∂x∂y

+ C

∂

2

_ξ

∂y

2

+ D

∂ξ

∂x

+ E

∂ξ

∂y

E = A

∂

2

_η

∂x

2

+ 2B

∂

2

_η

∂x∂y

+ C

∂

2

_η

∂y

2

+ D

∂η

∂x

+ E

∂η

∂y

F = F

e

G = G

sendo

u = u(ξ, η)

.

Como o dis riminante, equação (2.2), depende apenas dos oe ientes

A, B

e

C

, a lassi ação da EDP também depende somente destes oe i-entes, logo podemos rees rever as equações (2.1) e (2.4), respe tivamente,

omo:

A

∂

2

_u

∂x

2

+ 2B

∂

2

_u

∂x∂y

+ C

∂

2

_u

∂y

2

= H ≡ H



x, y, u,

∂u

∂x

,

∂u

∂y



(2.6) e

A

∂

2

_u

∂x

2

+ 2B

∂

2

_u

∂x∂y

+ C

∂

2

_u

∂y

2

= H ≡ H



ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η



(2.7)

onde as funções

H

e

H

são, respe tivamente, funções de

x

,

y

,

u

,

∂u

∂x

,

∂u

∂y

e

ξ

,

η

,

u

,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η

.

Suponha agora que os oe ientes

A

,

B

e

C

são não nulos. Podemos então es olher

ξ

e

η

demodoqueos oe ientes

A

e

C

seanulem. Comoasequações

A = 0

e

C = 0

são idênti as ex eto pelatro a de

ξ

por

η

:

A = A

 ∂ξ

∂x



2

+ 2B

 ∂ξ

∂x

∂ξ

∂y



+ C

 ∂ξ

∂y



2

≡ 0,

C = A

 ∂η

∂x



2

+ 2B

 ∂η

∂x

∂η

∂y



+ C

 ∂η

∂y



2

≡ 0,

vamos estudar, então, a equação:

A

 ∂τ

∂x



2

+ 2B

 ∂τ

∂x

∂τ

∂y



+ C

 ∂τ

∂y



2

= 0

(2.8)

onde

τ

ora é

ξ

, ora é

η

.

Dividindoaequação (2.8) por

 ∂τ

∂y



2

, temos:

A

 ∂τ /∂x

∂τ /∂y



2

+ 2B

 ∂τ /∂x

∂τ /∂y



+ C = 0.

(2.9)

Aolongo deuma urva ara terísti a[2℄daequação(2.8), onde

τ

é ons-tante, temos

dτ =

∂τ

∂x

dx +

∂τ

∂y

dy = 0.

(2.10)

Rearranjando aequação anterior, podemos es rever

 ∂τ /∂x

∂τ /∂y



A

 dy

dx



2

− 2B

 dy

_dx



+ C = 0

(2.12)

a qualé uma equação algébri a ujas raízessão dadaspor:

dy

dx

=

B +

√

∆

A

e

dy

dx

=

B −

√

∆

A

(2.13) onde

∆ = B

2

_{− AC}

.

As equações (2.13), são hamadasde equações ara terísti as esuas

res-pe tivas integrais de urvas ara terísti as. Dis utamos, separadamente,

ada uma das três possibilidades dodis riminante, asaber:

2.2.1 Tipo hiperbóli o

∆ > 0

Se

∆ > 0

háduasequações ara terísti as,logotemosduasfamíliasde urvas distintas.

A primeira forma anni a da equação hiperbóli a é a equação original

reduzida à:

∂

2

_u

∂ξ∂η

= H

1



ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η



(2.14) onde

H

1

=

H

B

, om

B 6= 0

.

A segunda forma anni a, obtida através de uma mudança de variáveis

independentes do tipo,







α = ξ + η

β = ξ − η

∂

2

_u

∂α

2

−

∂

2

_u

∂β

2

= H

2



α, β, u,

∂u

∂α

,

∂u

∂β



.

(2.15)

Este tipo de equação pode ser exempli ada poruma equação de

propa-gação de onda, também hamadade equaçãode d'Alembert [3℄.

2.2.2 Tipo parabóli o

∆ = 0

No aso em que

∆

é nulo, as equações ara terísti as são idênti as, logo, temos somenteuma urva ara terísti a

ξ

onstante(ou

η

onstante) sendo a forma anni a dada por:

∂

2

_u

∂ξ

2

= H

3



ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η



om

η =

onstante, ou

∂

2

_u

∂η

2

= H

4



ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η



om

ξ =

onstante.

As equações parabóli as podem ser exempli adas porequações

asso ia-das aos problemas de difusão, também hamadade equaçãodo alor [3℄.

2.2.3 Tipo elípti o

∆ < 0

Observe que quando

∆

é negativo, as urvas ara terísti as são omplexas. Entretanto, se os oe ientes

A

,

B

e

C

são funções analíti as, teríamos a

primeiraforma anni aelípti a. Desde que

ξ

e

η

são omplexos onjugados, podemos deniruma nova mudança de variáveis:

α =

1

2

(ξ + η)

e

β =

1

2i

(ξ − η)

oquenos onduzasvariáveisindependentes

α

e

β

reais. Efetuandoas trans-formações, obtemos:

∂

2

_u

∂α

2

+

∂

2

_u

∂β

2

= H

5



ξ, η, u,

∂u

∂ξ

,

∂u

∂η



.

(2.16)

Este tipo de equação está asso iado aos problemas advindos da

eletros-táti a, isto é, asso iados a um poten ial. Quando

H

5

= 0

, temos a equação de Lapla e. No aso em que

H

5

é onstante ou possui dependên ia apenas em

ξ

e

η

, temosa equação de Poisson [3℄.

2.3 EDP do tipo misto

Na seção anterior, tratamos da lassi ação de uma EDP de segunda

or-dem, dependendo do valordo

∆

, onde o mesmo não muda seu sinal em um determinado domínio onsiderado. Agora, vamos trabalhar o aso em que

estedis riminantemudadesinaldependendododomínioem onsideração,ou

ainda,quandoumaEDPpodeserde diferentestiposemdiferentes domínios.

F.Tri omi(1897-1978) foioprimeiroafazerum estudo ompleto sobre

a lassi ação de uma EDP linear de segunda ordem. Tri omi mostrouque

as hamadas partes prin ipais (termosdas derivadas de segunda ordem,

podem ser reduzidas na forma anni a.

Existem seis possíveis tipos para uma EDP dotipo misto,são eles:

•

EDPs Hiperbóli o -Elípti o de primeiro esegundo tipos

•

EDPs Hiperbóli o -Parabóli o de primeiroe segundo tipos

•

EDPs Elípti o- Parabóli o de primeiro esegundo tipos

AsEDPshiperbóli o-elípti odoprimeiroesegundotipossão onhe idas

hoje omo equações de Tri omi [7℄. No aso, a equação do primeiro tipo é

importantenoestudodasdinâmi assubatmi asetransni asdosgases,jáa

equação dosegundo tipo, ujas ara terísti asenvolvemasretas parabóli as

Separação de variáveis

Vamos, neste apítulo, apresentar o método de separação de variáveis

as-so iado a uma EDP linear de segunda ordem onduzindo-a a duas EDOs,

bem omo o hamadométodode Fourier,quelevaem ontaas ondições de

ontorno e/ou ini iais.

3.1 Método de Fourier

Este método é um dos mais utilizados para a resolução de um problema

envolvendo uma EDP linear junto om ondições ini iais e/ou ondições de

ontorno por sua simpli idade. Para resolvermos um parti ular problema,

usamos a hamadaregra dos três passos,a saber:

(i)Apli amoso métodode separação de variáveisoumétodo produto,

(iii) Estas soluções serão ompostas ( ombinadas)de modoque o

resul-tado satisfaça a EDP, assim omo as ondiçõesdadas.

A sequên ia a ima, onstitui o hamado método de Fourier, para a

resolução de uma EDP linear ehomogênea.

3.2 Método de separação de variáveis

Para apli armos o método de separação de variáveis vamos supor

primeira-mente, que a equação esteja na forma anni a. Consideremos a seguinte

EDP linear, de segunda ordem ehomogênea, onforme 1 Capítulo 2

A

∂

2

_u

∂ξ

2

+ 2B

∂

2

_u

∂ξ∂η

+ C

∂

2

_u

∂η

2

+ D

∂u

∂η

+ E

∂u

∂ξ

+ F u = 0

(3.1)

onde os oe ientes

A

,

B

,

C

,

D

,

E

e

F

são funções das variáveis inde-pendentes

ξ

e

η

, assim omo a variável dependente

u = u(ξ, η)

. Como já vimos, é sempre possível en ontrar uma transformação de oordenadas do

tipo

x = x(ξ, η)

e

y = y(ξ, η)

, om o ja obiano diferente de zero, apaz de reduzir esta equação àforma anni a dotipo:

a(x, y)

∂

2

_u

∂x

2

+ c(x, y)

∂

2

_u

∂y

2

+ d(x, y)

∂u

∂x

+ e(x, y)

∂u

∂y

+ f (x, y)u = 0

(3.2)

onde

a = −c 6= 0

paraas equações hiperbóli as,

a = 0

(ou

c = 0

) paraas

equações parabóli as e

a = c 6= 0

no aso das equações elípti as. 1

No asodeumaEDP om

n

variáveisindependentesreduzimos,atravésdestemétodo,

Vamos, então, supor que a solução

u(x, y)

da equação a ima possa ser es rita naforma doproduto

u(x, y) = R(x)T (y),

onde a função

R(x)

depende somente davariável

x

e

T (y)

depende somente da variável

y

. Substituindo a função

u(x, y)

es rita dessa formana equação (3.2), obtemosuma novaEDO envolvendo asfunções

R

e

T

:

aT

d

2

_R

dx

2

+ cR

d

2

_T

dy

2

+ dT

dR

dx

+ eR

dT

dy

+ f RT = 0

(3.3)

onde omitimos, dos oe ientes e das variáveis dependentes, a dependên ia

fun ional em

x

e

y

.

Suponhamosagoraquesejapossívelen ontrarumafunção

p(x, y)

talque, ao dividirmos a equação (3.3) por esta função, obtenhamos uma expressão

da forma:

T a

1

(x)

d

2

_R

dx

2

+ Rb

1

(y)

d

2

_T

dy

2

+ T a

2

(x)

dR

dx

+ Rb

2

dT

dy

+ [a

3

(x) + b

3

(y)]RT = 0.

(3.4)

Dividindoesta equaçãopor

RT

temos, então, já rearranjado:

a

1

R

d

2

_R

dx

2

+

a

2

R

dR

dx

+ a

3

= −

 b

1

T

d

2

_T

dy

2

+

b

2

T

dT

dy

+ b

3



.

(3.5)

Observe aquique, nestaigualdade, o ladoesquerdo ontém somente

fun-ções da variável

x

, enquanto que o lado direito envolve apenas a variável

y

. Assim, podemos diferen iar ambos os lados da equação em relação a

x

obtendo 2 :

d

dx

 a

1

R

d

2

_R

dx

2

+

a

2

R

dR

dx

+ a

3



= 0.

(3.6) 2

a

1

R

d

2

_R

dx

2

+

a

2

R

dR

dx

+ a

3

= λ.

(3.7)

onde a onstante

λ

é hamada de onstante de separação. Substituindo a equação (3.7) naequação (3.5) podemos, então, es rever:

a

1

d

2

_R

dx

2

+ a

2

dR

dx

+ (a

3

− λ)R = 0

(3.8)

b

1

d

2

_T

dy

2

+ b

2

dT

dy

+ (b

3

+ λ)T = 0

(3.9)

quese onstituinumsistemadeduasEDOs,ambasdependendode

λ

. Assim,

u(x, y)

ésolução daequação diferen ialpar ial se

R(x)

e

T (y)

são, respe ti-vamente, soluçõesdas equações (3.8) e (3.9).

Até agora, onduzimos a EDP, de segunda ordem, linear e homogênea,

através do método de separação de variáveis, num onjunto de duas EDOs.

Porém,note queas equações a ima arregam, emsuas soluçõesgerais, duas

onstantes deintegração arbitrárias. Para determiná-lasdevemosre orrer ao

segundo passo dométodo, a apli açãodas ondições.

3.3 Condições de ontorno

Nosso problemaagora,resume-seemdeterminarassoluçõesdasduasEDOs,

obtidaspelaseparaçãodevariáveis,impondo-lhesquesatisfaçamas ondições

de ontorno do problema original. Vamos apresentar aqui apenas três tipos

de ondiçõesde ontorno,são elas:

(i)Condiçõesde Diri hlet[1805- Peter Gustav LejeuneDiri hlet-1859℄,

u(x, y)|

x=x0

= α(y),

onde

α

é onhe ida.

(ii)Condiçõesde Neumann[1832 -CarlNeumann-1925℄, emqueédado

o valorda derivada da função para um erto valor

x = x

0

, istoé,

∂

∂x

u(x, y)|

x=x0

= β(y),

onde

β

é dada.

(iii)Condiçõesmistas, asquais forne em ovalor, para

h 6= 0

, de

∂

∂x

u(x, y) + hu(x, y)|

x=x

0

= γ(y),

onde

γ

é onhe ida.

Devemos notar que a es olha orreta do sistema de oordenadas é de

suma importân ia para que tenhamos ondições separadas. Além disso, as

ondições de ontorno dadas em

x = x

0

devem onter somente derivadas de

u(x, y)

emrelação a

x

, e seus oe ientes devemdepender apenas de

x

.

3.4 Solução do problema de partida

Finalmente, o ter eiro passo do método de Fourier onsiste em resolver o

sistema de EDOs orrespondentes e fazer om que as soluções satisfaçamas

Método de Frobenius

No Capítulo 3, introduzimos o método de separação de variáveis, o qual,

onsistebasi amenteemresolverumaEDP,linear,de segundaordem,

trans-formando-aemum sistemade duasEDOs. Assim,pre isamosentão,estudar

um método de omo resolveressas EDOs. Ométodode Frobenius 1

onsiste

fundamentalmente em onstruir uma solução da EDO de segunda ordem,

linear e homogênea, no aso de os oe ientes não serem onstantes, na

forma de série, em torno do ponto

x = x

0

, om um parâmetro livre, istoé, na seguinteforma:

y(x) =

∞

X

n=0

a

n

(x − x

0

)

n+s

(4.1) 1

FerdinandGeorgFrobenius,nas eunodia26deOutubrode1846,emCharlottenburg,

subúrbiodeBerlim. Fezgrandes ontribuiçõesparaateoriadasEquaçõesDiferen iaisea

TeoriadeGrupos. EstudougrandepartedasuavidaemBerlim,mastrabalhouemZüri h

onde

a

0

6= 0

e

s

é o parâmetro e, visto que, é sempre possível deslo ar a singularidade sem mudar essen ialmente a ED, é su iente onsiderar que

x = x

0

+ z

erestringirmos,sem perda de generalidade,nosso estudo ao aso do ponto

z = 0

.

Então, vamos onsiderar somente a seguinte série, voltando em

x

,

y(x) =

∞

X

n=0

a

n

x

n+s

om

a

0

6= 0

e

s

oparâmetro.

Antes de ontinuar om o desenvolvimento dométodode Frobenius,

va-mos introduziro on eito de pontosingular regular.

Vistoqueseum pontonão éum pontoordinário 2

,asso iadoaumaEDO,

ele deve ser um ponto singular, vamos denir o on eito de ponto singular.

E no aso emquetemosum pontosingulardevemos lassi á-lo omosendo

um pontosingular regularou um pontosingular irregular.

4.1 Denição

Um ponto

x = x

0

asso iado a EDO

p(x)

d

2

dx

2

y(x) + q(x)

d

dx

y(x) + r(x)y(x) = 0

(4.2)

onde

p(x)

,

q(x)

e

r(x)

são funçõespolinomiaisé dito ponto singular regular se oslimites:

lim

x→x

0

(x − x

0

)

q(x)

p(x)

2

lim

x→x

0

(x − x

0

)

2

r(x)

p(x)

são nitos. Caso ontrário opontoé hamadopontosingular irregular[6℄.

4.2 O método de Frobenius

Porrazõespedagógi asvamosintroduzirométododeFrobenius onsiderando

a EDO hamadaequação de Bessel(1784 - 1846) de ordem

µ

, dada por:

x

2

d

2

dx

2

y(x) + x

d

dx

y(x) + (x

2

_{− µ}

2

_{)y(x) = 0}

(4.3)

onde

µ

éum parâmetro, emprin ípioarbitrário. O aso geralé dis utido na referên ia [8℄.

Para obtermos uma solução válida emuma vizinhança da origem,

onsi-deramos uma série doseguinte tipo:

y(x) =

∞

X

n=0

a

n

x

n+s

,

om

a

0

6= 0

e

s

um parâmetro, emprin ípio,arbitrário.

Cal ulandoa primeirae segunda derivadas, temos,respe tivamente,

d

dx

y(x) =

∞

X

n=0

(n + s)a

n

x

n+s−1

e

d

2

dx

2

y(x) =

∞

X

n=0

(n + s)(n + s − 1)a

n

x

n+s−2

.

jando obtemos:

∞

X

n=0

[(n + s)(n + s − 1) + (n + s) − µ

2

]a

n

x

n+s

+

∞

X

n=0

a

n

x

n+s+2

= 0.

Podemos notar laramente, que existem duas diferenças fundamentais

relativamente aodesenvolvimentoemsérie de Taylor, a saber:

(i) Os índi es do somatório da primeira derivada e da segunda derivada

não mudaram;

(ii)somentese

s

éigual azeroobtemosexatamenteasérie de Ma laurin.

Mudandoo índi edo segundo somatório,

n = k − 2

podemos es rever:

∞

X

k=0

[(k + s)(k + s − 1) + (k + s) − µ

2

]a

k

x

k+s

+

∞

X

k=2

a

k−2

x

k+s

= 0.

Paratermososíndi esdepartidaiguaisdevemosexpli itarosdois

primei-rostermosnoprimeirosomatório,emseparado,paraquepossamosrearranjar

os demaisem um úni o somatório, já efetuandoa volta para oíndi e

n

:

[s(s − 1) + s − µ

2

]a

0

x

s

+ [s(s + 1) + (s + 1) − µ

2

]a

1

x

s+1

+

∞

X

n=2

{[(n + s)

2

− µ

2

]a

n

+ a

n−2

}x

n+s

= 0.

Desta igualdade, podemos es rever

s

2

_{− µ}

2

_{= 0}

(4.4)

[(s + 1)

2

_{− µ}

2

_]a

1

= 0

[(n + s)

2

_{− µ}

2

_]a

n

+ a

n−2

= 0,

n ≥ 2.

auxiliar, enquanto que a ter eira delas para um valor de

s

, é a hamada fórmula de re orrên ia que, neste aso, rela iona o enésimo termo om

o termo de ordem

n − 2

. A segunda das equações, aquela que envolve o oe iente

a

1

não tem um nome espe í o.

A partirda equação indi ial,equação (4.4),podemos es rever

s = ±µ

isto é,os hamados expoentes.

Substituindoos valores de

s

na segunda equação, temos:

[(±µ + 1)

2

− µ

2

]a

1

= 0.

Expli itandootrinmio quadradoperfeito temos:

(1 ± 2µ)a

1

= 0,

de onde podemos on luirque:

µ = ∓

1

2

⇒ ∀a

1

6= 0

e

µ 6= ∓

1

2

⇒ a

1

= 0.

Substituindo esses dois resultados na fórmula de re orrên ia, obtemos

nalmente:

[(n ± µ)

2

_{− µ}

2

_]a

n

+ a

n−2

= 0

ou ainda,na forma

a

n

= −

a

n−2

n(n ± 2µ)

,

om

n ≥ 2

. Noteque, se

µ

é um númerointeiroou um número semi-inteiro, o denominadorpode tornar-se nulo.

Daquiemdiante, éne essáriofazeraes olharelativamenteaoparâmetro

µ

, até então arbitrário. Es olhamos

µ

de maneiradidáti ae onveniente: (i)Para

µ =

1

4

, temos que as raízes daequação auxiliarsão distintas, ou seja,

s

1

=

1

4

e

s

2

= −

1

4

. E, vistoque,

µ 6= ±

1

2

,temos que

a

1

= 0

eda relação de re orrên iaobtemos

a

n

= 0

para

n

ímpar. Por issopodemos es rever:

a

n

= −

a

n−2

n(n ±

1

2

)

om

n = 2, 4, 6, . . .

Para

n

ímpar temos:

a

2n

= −

a

2n−2

n(4n ± 1)

om

n = 1, 2, 3, . . .

Com isso, obtemosduas soluções linearmente independentes da equação

diferen ial, umaasso iada à raiz

s

1

=

1

4

eoutra asso iada à raiz

s

2

= −

1

4

.

(ii) Consideremos agora,

µ = 0

. A equação indi ial admite raiz dupla,

isto é,

s = 0

. Mais uma vez

µ 6= ±

1

2

e então

a

1

= 0

bem omo os demais ímpares. A relaçãode re orrên ia agora nos forne erá:

a

2n

= −

a

2n−2

4n

2

om

n = 1, 2, 3,

...

De onde obtemos uma úni a solução da equação diferen ial. Uma outra

solução linearmenteindependente pode ser pro urada atravésdo método de

(iii)Consideremos agora

µ =

1

2

. As raízesda equaçãoindi ial são

s

1

=

1

2

e

s

2

= −

1

2

. No aso emque

s

1

=

1

2

temos

a

1

= 0

o que impli aem todos os termos de índi es ímparesserem nulos, eda relaçãode re orrên ia temos:

a

n

= −

a

n−2

n(n + 1)

om

n = 2, 3, 4,

....

Aqui obtemossomenteuma solução. Em relaçãoao aso emque

s = −

1

2

temos

a

1

arbitrárioe afórmulade re orrên ia é dada por:

a

n

= −

a

n−2

n(n − 1)

om

n = 2, 3, 4,

....

Vistoque temos duas onstantes arbitrárias

a

0

e

a

1

, ambas diferentes de zero, esta raiz, a menorraiz, nos forne e uma solução geral daED ouainda

duas soluçõeslinearmenteindependentes obtidas omo desenvolvimento em

série. Pode-se ainda mostrar que a solução obtida om a maior raiz, é um

aso parti ular daquela obtida om amenor raiz.

(iv) Consideremos

µ = 1

. As raízes da equação indi ial são

s

1

= 1

e

s

2

= −1

. No aso em que

s = 1

temos

a

1

= a

3

= · · · = 0

logodafórmula de re orrên ia temos:

a

n

= −

a

n−2

n(n + 2)

om

n = 2, 3, 4, . . .

Aqui, também, obtemos somente uma solução. Por outro lado,

relativa-mente ao aso em que

s = −1

temos ainda

a

1

= a

3

= a

5

= · · · = 0

e da fórmulade re orrên ia temos:

que para

n = 2

impli a em

a

0

= 0

, ontrariando a hipótese

a

0

6= 0

e assim, tal expoente não forne e uma solução.

Comojá foi men ionadono omeçodeste trabalho, hámuitos problemas

físi os que podem ser dis utidos através de uma EDO, linear e de segunda

ordem. Em relação às equações om oe ientes onstantes, temos omo

exemplos,oestudo devibraçõesme âni as,osistemamassa-mola, o ir uito

elétri o RLC, dentre outros.

Por outro lado, quando tratamos de oe ientes não onstantes, surge

uma outra lasse de funções, as hamadas Funções Espe iais, dentre as

quais podemos itar as funções ilíndri as, mais espe i amente, as funções

de Bessel, que apare em em problemas que apresentam simetria ilíndri a,

porexemplo, ondução de orrente num o, bem omo as funções esféri as,

mais espe i amente asfunções de Legendre, que se apresentam em

proble-mas omsimetriaesféri a omoporexemplo,oestudodopoten ialemtorno

de uma superfí ieesféri a [5,9, 10℄.

AsfunçõesdeBesselrepresentamum asoparti ularda hamadaequação

hipergeométri a onuente enquanto que as funções de Legendre se

onsti-tuem num aso parti ular da hamada equaçãohipergeométri a,uma EDO,

linear,de segundaordeme oe ientes variáveis. Aequaçãohipergeométri a

pode ser onsiderada o aso geral de uma equação diferen ial de segunda

ordem om três pontossingulares regulares etrês parâmetros, in luindoum

pontosingularnoinnito,enquantoqueda onuên iadedoisdestespontos,

O problema de forças entrais

Este apítulotem omo objetivo re uperar asleis de Kepler 1

, asso iadas ao

movimentoplanetário,emparti ular,obteraleidasáreasedis utirtambém

as possíveis órbitas.

O movimento de um sistema om dois orpos sofrendo uma força

di-re ionada sobre uma reta ontendo os entros desses dois orpos, isto é, a

1

Johannes Kepler (Figura5.1), nas ido nodia27 deDezembrode1571, em Weilder

Stadt,pertodeStuttgart,Alemanha, foiumastrnomo,matemáti oeastrólogoalemão.

Umadassuasmaiores ontribuiçõessãoastrêsleisfundamentaisdame âni a eleste-Leis

de Kepler. Keplerviveunuma épo aonde nãohavianenhuma distinção entre astrologia

e astronomia, mas havia uma forte distinção entre astronomia e a físi a. Seus estudos

ini iaistinham omoobjetivoseguira arreirateológi a,porém,porserprotestante,sofreu

pressõesdaigreja atóli aea abousendoexilado. FoientãoparaPragaondetrabalhou

omoastrnomojunto omTy hoBrahe,ein orporouargumentosreligiososeora io ínio

emseutrabalho,motivadopela onvi çãoreligiosadequeDeus havia riadoomundode

a ordo omumplanointeligível,queéa essívelatravésdaluz naturaldarazão. Morreu

força entral éumproblemafísi oextremamenteimportante. Oproblemade

Kepler apresenta-se em muitos ontextos, entre eles, desempenha um papel

importanteno ampodame âni a eleste. Comoexemplostemosumsatélite

que move-se sobre um planeta, um planeta sobre seu sol, ou duas estrelas

bináriassobresi. OproblemadeKeplerétambémimportantenomovimento

de duaspartí ulas arregadas,ouainda,oátomode hidrogêneo,oqualpode

ser des ritoemtermos da lássi a força entral entre dois orpos.

O problema de Kepler e o problema do os iladorharmni o simples são

os dois problemas fundamentais dentro do me anismo lássi o. O problema

de Kepler é usado frequentemente para desenvolver métodos novos nessa

área, omo lagrangeanos, hamiltonianos e equação de Hamilton-Ja obi. O

problema de Kepler onserva também o vetor de Lapla e-Runge-Lenz, que

planetáriopoderiaserexpli adointeiramenteporme anismos lássi osepela

lei dagravitação de Newton.

Emastronomia, o matemáti oe astrnomo alemão,Johannes Kepler

es-tudou asobservaçõesdoastrnomo dinamarquêsTy hoBrahe. Porvoltade

1605, Kepler des obriu que asobservações de Brahe seguiamtrês leis

mate-máti as relativamente simples. As leis de Kepler do movimento planetário

são as três leis matemáti as que des revem o movimento dos planetas no

sistema solar.

As leis de Kepler desaaram a Astronomia e a Físi a de Aristóteles e

de Ptolomeu. Sua primeira armação de que a Terra se movia, em órbitas

elípti as esua prova de que asvelo idades dos planetasvariavam,mudaram

a AstronomiaeFísi a. Nãoobstante, aexplanação físi ado omportamento

dos planetasveioquase um sé ulomaistarde,quando Isaa Newton deduziu

as leisde Keplera partir das própriasleisda gravitação universal, usandoa

geometria Eu lideana lássi a.

5.1 Equações diferen iais e suas integrais

Nesta seção vamos utilizar o formalismo lagrangeano a m de estudar o

problema de forças entrais. Vamos nos limitar aoproblema onde aenergia

poten ial depende apenas da distân ia radial,

r

, o que impli a que a força tem a direção do vetor

~r

. Visto que este sistema possui simetria esféri a, temos a onservação dovetormomentoangulartotal,

L = ~r × ~p

~

, onformea

Me âni aVetorial,oqueimpli aque

~r

ésempreperpendi ular àdireçãoxa de

L

~

noespaço, istoé,

~r

perten e a um plano uja normalésempre paralela a

L

~

.

O movimentode uma partí ulano espaço pode ser des rito por três

o-ordenadas, por exemplo, neste aso, as oordenadas polares esféri as são

as mais onvenientes. Sejam

r

, a distân ia radial;

θ

, o ângulo azimutal e

Ψ

, o ângulo zenital. Por simetria tomamos o eixo polar na direção de

L

~

a m de que o movimento o orra no plano perpendi ular ao eixo polar. Com

esta imposiçãoa oordenada

Ψ

é onstante e igual a

π/2

o que nos permite eliminá-la.

Diante do a ima exposto, a lagrangeana, denotada por

L

, es rita em termos das oordenadas polares,é dada por

L

_{= T − V}

=

m

2



˙r

2

+ r

2

˙θ

2



_{− V (r)}

onde

m

é a massa e

V (r)

é a energia poten ial, dependendo apenas da dis-tân ia radial.

2

Sabemos que a oordenada

θ

é í li a (ou ignorável) uma vez que não apare e expli itamentenalagrangeana,deonde on luímosqueo

orrespon-dente momento anni o é o momentoangulardo sistema

p

θ

=

∂L

∂ ˙θ

= mr

2

_˙θ.

2

A ompanhamosanotaçãoempregada,emgeral,pelos físi os,istoé,

˙r

denotaa

deri-vada temporalde

r

. Note queestassão todasvariáveises alares, advindasdaMe âni a

˙p

θ

=

d

dt

(mr

2

_{˙θ) = 0}

uja integração forne e (integral primeira)a onservação domomento

mr

2

˙θ = ℓ

(5.1)

onde

ℓ

é o módulo ( onstante) domomentoangular.

Ainda mais, apartir desta equação de movimentopodemos es rever

d

dt

 1

2

r

2

_˙θ



= 0

ou seja,

1

2

r

2

˙θ

é a hamada velo idadeareolar,istoé, aárea varridapeloraio

vetor na unidade de tempo. Então, a onservação do momento angular

im-pli a na onstân ia davelo idadeareolarevi e-versa. Como aso parti ular

de forças inversamente propor ionais ao quadrado da distân ia, esta é uma

prova dasegunda leide Kepler,a saber:

Oraiovetor varre áreasiguais em tempos iguais

Enm, a outra equação de Lagrange (uma para ada oordenada)

asso- iada à oordenada radial,

r

, é

d

dt

(m ˙r) − mr ˙θ

2

₊

∂V

∂r

= 0

ou ainda,após aderivada ser efetuada,na forma

m¨

_{r − mr ˙θ}

2

= f (r)

(5.2)