MESTRADO EM ECONOMIA
O coeficiente de ajustamento e o
resseguro
Ana Filipa Gomes dos Santos
M
O coeficiente de ajustamento e o resseguro
Ana Filipa Gomes dos Santos
Dissertação
Mestrado em Economia
Orientado por
Professora Doutora Ana Cristina Moreira Freitas
Agradecimentos
A todos os meus colegas de faculdade que direta ou indiretamente contribuíram para a realização desta tese os meus sinceros agradecimentos e gratidão.
Também, e não menos importante, à Professora Dra. Cristina Freitas pela dis-ponibilidade total e rapidez na sua resposta a qualquer pedido, questão e dúvida.
Resumo
Na teoria sobre a atividade seguradora aparece naturalmente a necessidade de lidar com a incerteza sobre a ocorrência de fenómenos que possam causar prejuízos. Uma das formas que as seguradoras têm para reduzir o risco é efetuar um resseguro, que consiste em transferir parte do risco para outra seguradora. O resseguro tem assim uma importância enorme na viabilidade económica e normalidade de ope-ração das seguradoras em todo o mundo, para que estas sejam parte integrante e indispensável da atividade económica e financeira em todos os países.
Neste trabalho iremos estudar o tipo de resseguro proporcional ou de quotas e explorar a redução do risco na forma da redução da probabilidade de ruína. Com esse objetivo serão deduzidas equações teóricas para a determinação do coeficiente de ajustamento. Com base nessas equações e em estudos numéricos realizados na linguagem de programação R, iremos determinar, de entre uma gama de quotas admissíveis para certos modelos, aquela que torna máximo o coeficiente de ajus-tamento. Em termos numéricos, iremos fazer variar alguns parâmetros do modelo (como o número médio de indemnizações pagas por unidade de tempo, o montante médio de indemnização individual, e os coeficientes de segurança associados aos prémios de seguro e resseguro) e estudar o efeito dessa variação quer no coefici-ente de ajustamento quer no lucro esperado por unidade de tempo da companhia seguradora.
Códigos JEL: C02, C60, G22
Palavras-Chave: atividade seguradora, coeficiente de ajustamento, indemnizações agregadas, modelo de Cramér-Lundberg, probabilidade de ruína, resseguro, teoria do risco
Abstract
In the theory of the insurance activity, the need to deal with uncertainty about the occurrence of phenomena that can cause losses appears naturally. One way for insurers to reduce risk is to reinsure, which consists of transferring part of the risk to another insurer. Reinsurance is thus of enormous importance in the economic viability and normality of operation of insurers throughout the world.
In this work, we will study the proportional or quota reinsurance and we will explore risk reduction in terms of the reduction of the probability of ruin. With that purpose we will start by deducing theoretical equations for the adjustment coefficient. Based on these equations and on numerical studies performed in the programming language R, we will determine, from a series of admissible quotas for certain models, the one that maximizes the adjustment coefficient. In numerical terms, we will vary some model parameters (such as the average number of claims paid per unit of time, the average individual claim amount and the relative security loadings associated to insurance and reinsurance premiums) and we will study the effect of this variation, either in the adjustment coefficient or in the expected profit of the insurer.
JEL Codes: C02, C60, G22
Keywords: adjustment coefficient, aggregate claims, Cramér-Lundberg model, reinsurance, risk theory, ruin probability.
Índice
Agradecimentos i
Resumo ii
Abstract iii
1 Introdução 1
2 Noções elementares de Probabilidades 5
2.1 Função de distribuição de uma variável aleatória . . . 5
2.2 Tipos de variáveis aleatórias . . . 6
2.3 Valor esperado de uma variável aleatória . . . 6
2.4 Momentos e respetiva função geradora . . . 7
2.5 Variáveis aleatórias identicamente distribuídas e independentes . . . . 8
2.6 Convolução . . . 10
2.7 Esperança condicional . . . 11
2.8 Processo estocástico e processo estocástico composto . . . 12
2.8.1 Processo estocástico . . . 12
2.8.2 Processo estocástico composto . . . 13
3 Modelo das Indemnizações Agregadas 14 3.1 Definição do processo da indemnizações agregadas . . . 15
3.2 Características do processo das indemnizações agregadas . . . 16
3.3 Processo do número de indemnizações . . . 20
3.3.2 Processo de Poisson e Processo de Poisson composto . . . 21
3.3.3 Processo de Poisson composto para as indemnizações agregadas 22 4 Ruína 24 4.1 O processo de reserva e a probabilidade de ruína . . . 24
4.2 Coeficiente de ajustamento . . . 26
4.3 O Teorema Fundamental do Risco . . . 29
4.4 Cálculo da probabilidade de ruína em modelos particulares . . . 30
4.4.1 Modelo exponencial . . . 30
4.4.2 Mistura de exponenciais . . . 31
4.5 A desigualdade de Lundberg e a aproximação de Cramér-Lundberg . 32 5 O efeito do resseguro proporcional no coeficiente de ajustamento 35 5.1 O resseguro proporcional . . . 35
5.2 Processo de reserva . . . 36
5.3 O resseguro proporcional e a probabilidade de ruína . . . 38
5.4 Modelos para as indemnizações individuais . . . 39
5.4.1 Modelo degenerado - Seguro de Vida . . . 39
5.4.2 Modelo exponencial - Exemplo Típico . . . 41
6 Estudo numérico 42 6.1 Modelo degenerado . . . 45 6.1.1 Efeito da variação de α . . . 46 6.1.2 Efeito da variação de λ . . . 48 6.1.3 Efeito da variação de β . . . 50 6.1.4 Efeito da variação de θ . . . 53 6.1.5 Efeito da variação de ξ . . . 55 6.2 Modelo exponencial . . . 57 6.2.1 Efeito da variação de α . . . 58 6.2.2 Efeito da variação de λ . . . 60 6.2.3 Efeito da variação de β . . . 62 6.2.4 Efeito da variação de θ . . . 64 6.2.5 Efeito da variação de ξ . . . 66
7 Conclusões 68
Capítulo 1
Introdução
Os seguros surgem com o objetivo de oferecerem proteção contra prejuízos finan-ceiros resultantes de acontecimentos de índole aleatória e que interfiram nos planos individuais das pessoas e instituições. O principal objetivo no campo segurador é proceder à indemnização dos segurados, minorando as consequências negativas da concretização de um risco. Em relação à tipologia de seguros, existem os seguros de vida (morte), seguro de incapacidade temporária ou definitiva (incapacidade para o trabalho), seguro de saúde (doença), seguro de propriedade (danos a uma proprie-dade), seguro de incêndio, seguro automóvel, entre outros.
O risco transita, deste modo, através do seguro, dos indivíduos para as compa-nhias de seguros. Exemplificando, suponhamos que um individuo possui uma pro-priedade que pode ser danificada ou destruída no próximo período de tempo. Entre a Companhia Seguradora e o Segurado é celebrado um contrato (apólice) no sentido de ser pago um montante igual (cobertura total) ou menor (cobertura parcial) do que o prejuízo financeiro sofrido face ao dano que venha a ocorrer eventualmente no período de vigência da apólice. Diz-se então que há lugar a um pagamento de indemnização. Na apólice é estabelecido um montante de pagamento por parte do segurado ao segurador, como retribuição da cobertura estabelecida pelo segurador no contrato - Prémio.
pagamento de uma quantidade fixa de dinheiro - o prémio - do que correr o risco de ter que eventualmente fazer face a uma perda eventualmente muito grande, ainda que pouco provável (Guedes-Vieira (2012)). Como consequência, as companhias seguradoras assumem uma grande quantidade de riscos que pretendem minimizar. Surge assim a necessidade de estudar mecanismos de proteção contra os efeitos de perdas grandes e imprevisíveis.
A Teoria do Risco é precisamente definida como o estudo do afastamento dos resultados financeiros dos resultados esperados e dos métodos que evitam consequên-cias inconvenientes resultantes desses desvios. A Teoria do Risco ocupa-se, portanto, do estudo dos modelos matemáticos e probabilísticos que melhor se adaptam à ati-vidade seguradora (Mikosch (2009)).
A Teoria do Risco remonta ao século XVII com a primeira tabela de mortalidade construída em 1693 por Sir Edmund Halley, que permitiu o tratamento e o cálculo dos valores de anuidade no ramo do Seguro Vida. Inicialmente, a Teoria do Risco estava principalmente associada a unidades de risco individual. O comportamento de toda a carteira de apólices era deduzido como a soma dos resultados individuais. Uma nova fase do seu desenvolvimento deu-se no início do século XX com os traba-lhos de Lundberg, em que os modelos de risco passaram a ser estudados no coletivo, em vez de estudados apólice a apólice, como anteriormente (veja-se, por exemplo, Fraga Alves (1997) e Bowers (1986)).
Na linha do que já foi referido anteriormente, as companhias seguradoras neces-sitam de se precaverem contra perdas que possam pôr em causa a sua solvabilidade e a honra dos compromissos assumidos. É, neste sentido, que as seguradoras têm de proceder à divisão do risco, ressegurando para o efeito parte da sua carteira.
Pode dizer-se que o Resseguro é o seguro das seguradoras, isto é, é o contrato mediante o qual uma das partes (chamada de resseguradora) assume no todo ou em parte o risco originalmente subscrito por outra seguradora (chamada de seguradora cedente). Ao aceitar este risco a resseguradora cobra um prémio, na generalidade
dos casos superior ao valor esperado do risco que lhe é transmitido. O objetivo do Resseguro é, deste modo, proporcionar a redução à exposição e limitação dos riscos.
Existem vários tipos de resseguro, mas neste trabalho será dada especial ênfase ao resseguro por quotas, aqui também designado por resseguro proporcional (veja-se Centeno (2003), Picado Horta (2001) e Egídio dos Reis (1999)).
No resseguro por quotas a resseguradora participa em todos os riscos de uma classe de negócios numa certa percentagem. Em termos simples, a resseguradora assume uma percentagem fixa de todas as apólices de seguro subscritas pelo segu-rador e em troca recebe uma percentagem correspondente do prémio original.
Para cada tipo de seguro é naturalmente importante escolher o resseguro mais apropriado. No contexto dos resseguros por quotas isto corresponde a escolher a quota, visando um compromisso entre o ganho esperado do segurador e a segu-rança esperada. Neste trabalho irá ser considerada como medida de segusegu-rança a probabilidade de ruína da companhia seguradora. Como veremos, a minimização da probabilidade de ruína é essencialmente equivalente à maximização do coeficiente de ajustamento (estudado em Brito e Freitas (2003, 2006, 2008) e em Csorgo e Steine-bach (1991)). Neste trabalho iremos forcar-nos portanto na quota que maximiza este coeficiente, tornando dessa forma mínima a probabilidade de ruína da companhia.
Para isso, iremos deduzir equações gerais que permitem obter o coeficiente de ajustamento no caso da companhia fazer um resseguro proporcional. Com base nes-sas equações e em estudos numéricos realizados na linguagem de programação R, iremos posteriormente determinar, de entre uma gama de quotas admissíveis para certos modelos, aquela que torna máximo o coeficiente de ajustamento. Para além desse estudo iremos também analisar o lucro esperado da companhia seguradora por unidade de tempo.
Em termos numéricos, iremos ainda fazer variar alguns parâmetros do modelo (como o número médio de indemnizações pagas por unidade de tempo, o montante
médio de indemnização individual, e os coeficientes de segurança associados aos pré-mios de seguro e resseguro) e estudar o efeito dessa variação quer no coeficiente de ajustamento quer no lucro esperado por unidade de tempo.
A dissertação encontra-se estruturada da forma que se segue. No Capítulo 2 começamos por expôr um conjunto de noções elementares de Teoria das Probabi-lidades necessárias para a compreensão e desenvolvimento dos capítulos seguintes. No Capítulo 3 apresentamos o Modelo das Indemnizações Agregadas e as respetivas propriedades, dando especial ênfase ao caso em que o processo das indemnizações agregadas constitui um processo de Poisson composto. No Capítulo 4 estudamos a Teoria da Ruína abordando várias noções como as de processo de reserva, probabili-dade de ruína e coeficiente de ajustamento. Nesse mesmo capítulo será apresentado o Teorema Fundamental do Risco, a desigualdade de Lundberg e a aproximação de Cramér-Lundberg. O Capítulo 5 tem como principal objetivo o estudo do efeito do resseguro proporcional no coeficiente de ajustamento. Em particular, nesse capítulo serão deduzidas a expressão geral para a reserva da companhia e a equação do coe-ficiente de ajustamento, no caso desta efetuar resseguro. Esse estudo será explorado a nível numérico no Capítulo 6 no caso de dois modelos típicos para os montantes de indemnização individual. O Capítulo 7 é dedicado a conclusões.
Capítulo 2
Noções elementares de
Probabilidades
Neste capítulo vão ser introduzidas algumas definições e conceitos de Teoria das Probabilidades necessários para a compreensão e desenvolvimento dos capítulos se-guintes (veja-se, por exemplo, Dudewicz e Mishra (1988)).
2.1
Função de distribuição de uma variável
aleató-ria
Uma variável aleatória será genericamente denotada por X e estará definida
num espaço de probabilidade (Ω,A , P ), em que Ω é o espaço amostral, A é uma
σ-álgebra e P é uma medida de probabilidade.
A função de distribuição de uma variável aleatória X é uma função F : R → [0, 1] definida por:
FX(x) = P (X ≤ x), ∀x ∈ R
e satisfaz as propriedades seguintes:
· FX é não-decrescente, ou seja, FX(x) ≤ FX(y) se x ≤ y;
· FX é contínua à direita, ou seja, limh→0+FX(x + h) = F (x), ∀x.
2.2
Tipos de variáveis aleatórias
Uma variável aleatória X diz-se discreta se assumir apenas um número finito ou infinito numerável de valores. O conjunto de valores possíveis para X é designado
por suporte de X e denotado por SX.
A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X com suporte
SX = {x1, x2, . . .} é dada por pX(xi) = P (X = xi), i ∈ {1, 2, . . .}, e é tal que
P
x∈SXpX(x) = 1.
Uma variável aleatória X diz-se absolutamente contínua quando a sua função
de distribuição FX se puder representar como
FX(x) =
Z x
−∞
fX(y)dy, ∀x ∈ R,
onde a função fX, que é designada por função densidade de probabilidade de
X é tal que fX(x) ≥ 0, ∀x ∈ R e
R∞
−∞fX(x)dx = 1.
2.3
Valor esperado de uma variável aleatória
Dada uma variável aleatória discreta X com suporte SX = {x1, x2, . . .} e função
de probabilidade pX(xi) = P (X = xi), i ∈ {1, 2, . . .}, sePx∈SX|x|P (X = x) < +∞,
então o valor esperado de X (também designado por média de X) é definido por
E(X) = X
x∈SX
xP (X = x).
Dada uma variável aleatória absolutamente contínua X com função densidade
de probabilidade fX, se
R+∞
definido por
E(X) =
Z +∞
−∞
xfX(x)dx.
O valor esperado satisfaz as seguintes propriedades: · se a ∈ R, E(a) = a;
· se b ∈ R e X for uma uma variável aleatória, E(bX) = bE(x); · se a, b ∈ R e X for uma variável aleatória, E(aX + b) = aE(X) + b.
2.4
Momentos e respetiva função geradora
Comecemos esta secção por apresentar a forma de cálculo do valor esperado de uma função de uma variável aleatória X, discreta ou absolutamente contínua. Seja g : R → R uma função e seja X uma variável aleatória.
Dada uma variável aleatória discreta X com suporte SX = {x1, x2, . . .} e função
de probabilidade dada por pX(xi) = P (X = xi), i ∈ {1, 2, . . .}, E(g(X)) existe se e
só se P
x∈SX|g(x)|pX(x) < +∞. Nesse caso, E(g(X)) =
P
x∈SXg(x)pX(x).
Dada uma variável aleatória absolutamente contínua X com função densidade
de probabilidade fX, E(g(X)) existe se e só se
R∞
−∞|g(x)|fX(x)dx < +∞. Nesse
caso, E(g(X)) =R∞
−∞g(x)fX(x)dx.
De seguida iremos apresentar as definições de momento ordinário e momento centrado de uma variável aleatória.
O momento ordinário de ordem k da variável aleatória X é definido por
mk = E(Xk). O primeiro momento ordinário de uma variável aleatória coincide
O momento centrado de ordem k da variável aleatória X é então por
µk = E((X − E(X))k). O momento centrado de ordem 2 chama-se variância,
que é uma medida de dispersão da variável aleatória.
Em geral, os momentos centrados de ordem par são medidas de dispersão da variável aleatória, enquanto que os de ordem ímpar servem para medir a assimetria da distribuição .
A variância satisfaz as propriedades seguintes: · se a ∈ R, V (a) = 0;
· se a ∈ R e X for uma variável aleatória, V (aX) = a2V (X);
· se a, b ∈ R X for uma variável aleatória, V (aX + b) = a2V (X).
A função geradora de momentos de uma variável aleatória X é dada por:
MX(t) = E(etX), t ∈ R.
No caso em que a função geradora de momentos MX(t) existe para |t| ≤ T para
algum T > 0, o momento ordinário de ordem k existe e é dado pela derivada de ordem k da função geradora de momentos avaliada em 0:
E(Xk) = MX(k)(0), k = 1, 2, . . . .
2.5
Variáveis aleatórias identicamente distribuídas
e independentes
Comecemos esta secção com a noção de variáveis aleatórias identicamente dis-tribuídas.
Duas variáveis X e Y dizem-se identicamente distribuídas quando as
respe-tivas funções de distribuição, FX e FY, coincidem, ou seja:
Seja (X, Y ) um vetor aleatório bidimensional. A respetiva função de distribuição
conjunta FX,Y : R2 → [0, 1] é dada por:
FX,Y(x, y) = P [X ≤ x, Y ≤ y], ∀(x, y) ∈ R2. (2.1)
O vetor aleatório (X, Y ) diz-se discreto se assumir apenas um número finito ou infinito numerável de valores. O conjunto de valores possíveis para (X, Y ) é
designado por suporte de (X, Y ) e denota-se por SX,Y. A função de
probabili-dade conjunta de (X, Y ), com suporte SX,Y = {(x1, y1), (x2, y2), . . .} é dada por
pX,Y(xi, yi) = P (X = xi∧ Y = yi), i ∈ {1, 2, . . .}.
O vetor aleatório (X, Y ) diz-se absolutamente contínuo se a sua função de dis-tribuição se puder representar como:
FX,Y(x, y) = Z y −∞ Z x −∞ fX,Y(s, t)dsdt, ∀(x, y) ∈ R2,
onde a função fX,Y, chamada de função densidade de probabilidade conjunta de
(X, Y ), é tal que fX,Y(x, y) > 0, ∀(x, y) e
R+∞
−∞
R+∞
−∞ fX,Y(x, y, )dxdy = 1.
Dado um vetor aleatório (X, Y ), se E(g(X, Y )) existir, então:
E(g(X, Y )) = X (x,y)∈SX,Y g(x, y)pX,Y(x, y) no caso discreto e E(g(X, Y )) = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞
g(x, y)fX,Y(x, y)dxdy
no caso absolutamente contínuo.
Duas variáveis aleatórias X e Y dizem-se independentes se e só se FX,Y(x, y) =
FX(x) × FY(y), ∀x, y ∈ R.
Dadas duas variáveis aleatórias X e Y , tem-se que E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) (desde que os valores esperados existam). Se as duas variáveis aleatórias forem
independentes, então também são satisfeitas as seguintes propriedades (desde que os valores esperados envolvidos existam):
· E(g1(X)g2(Y )) = E(g1(X))E(g2(Y )) para quaisquer funções g1e g2contínuas;
· V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y );
· MX+Y(t) = MX(t) × MY(t), t ∈ R.
2.6
Convolução
Sejam FX e FY as funções de distribuição de duas variáveis aleatórias X e Y ,
respetivamente.
Seja S = X + Y . A função de distribuição da variável aleatória S é dada pelo
chamado produto de convolução de FX por FY, FS = FX ? FY.
Se a variável aleatória Y for discreta, com suporte SY e função de probabilidade
pY, a função de distribuição de S é dada por:
FS(s) =
X
y∈SY
FX(s − y)pY(y).
Se Y for uma variável aleatória absolutamente contínua, com função densidade
de probabilidade fY, a função de distribuição de S obtém-se a partir da seguinte
expressão:
FS(s) =
Z +∞
−∞
FX(s − y)fY(y)dy.
No caso de X e Y serem variáveis aleatórias independentes e identicamente
dis-tribuídas com função de distribuição comum F , a função de distribuição FS é o
produto de convolução de F por F denotado por F2?. No caso mais geral em que
Sn = X1+ . . . + Xn é a soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas com função de distribuição comum F , temos que a função de
distribui-ção de Sn é dada por FSn = F
2.7
Esperança condicional
Dadas duas variáveis aleatórias X e Y , a esperança condicional de X dado Y , E(X|Y ), é uma variável aleatória que assume valores E(X|Y = y).
Se a variável aleatória X|Y = y é discreta, com suporte SX|Y =y,
E(X|Y = y) = X
x∈SX|Y =y
xpX|Y(x|y),
em que pX|Y é a função de probabilidade condicional de X dado Y = y.
Se a variável aleatória X|Y = y é absolutamente contínua, E(X|Y = y) =
Z +∞
−∞
xfX|Y(x|y)dx,
em que fX|Y é a função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y.
Proposição 2.1. Se X e Y forem duas variáveis aleatórias e g : R → R uma função contínua, então
E(g(X)) = E(E(g(X)|Y )).
Demonstração. A demonstração será feita apenas no caso em que o vetor (X, Y ) é absolutamente contínuo. Neste caso,
E(E(g(X)|Y )) =
Z +∞
−∞
E(g(X)|Y = y)fY(y)dy
=
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞
g(x)fX|Y(x|y)fY(y)dxdy,
= Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ g(x)fX,Y(x, y)dxdy, = Z +∞ −∞ g(x) Z +∞ −∞ fX,Y(x, y)dy dx = Z +∞ −∞ g(x)fX(x)dx = E(g(X)).
Proposição 2.2. Se X e Y forem duas variáveis aleatórias, então
V (X) = E(V (X|Y )) + V (E(X|Y )).
Demonstração.
E(V (X|Y )) = E(E(X2|Y ) − (E(X|Y ))2)
= E(X2) − E((E(X|Y ))2)
= E(X2) − (E(X))2− E((E(X|Y ))2) + (E(X))2
= V (X) − E((E(X|Y ))2) + (E(E(X|Y )))2
= V (X) − V (E(X|Y )).
∴ V (X) = E(V (X|Y )) + V (E(X|Y )).
2.8
Processo estocástico e processo estocástico
com-posto
2.8.1
Processo estocástico
Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias Y (t), onde t é um parâmetro que toma valores sobre um conjunto T , chamado de conjunto de
índices do processo. O processo estocástico será denotado por {Y (t)}t∈T.
No caso em que T = {0, 1, 2, . . .}, {Y (t)}t∈T diz-se um processo estocástico em
tempo discreto. No caso em que T = [0, +∞[, {Y (t)}t∈T diz-se um processo
esto-cástico em tempo contínuo.
Se o espaço dos valores possíveis para cada Y (t) coincidir com o conjunto dos números inteiros, o processo estocástico designa-se por processo de contagem (ou processo de valores inteiros). Nesse caso, usualmente a letra Y é substituída pela letra N .
Diz-se que um processo estocástico em tempo contínuo, {Y (t)}t>0, tem
incre-mentos independentes quando, para todos os índices t0 < t1 < . . . < tn, as n
variáveis aleatórias Y (t1) − Y (t0), Y (t2) − Y (t1), . . . , Y (tn) − Y (tn−1) são
indepen-dentes.
Diz-se que um processo estocástico tem incrementos estacionários se, para
todos h > 0 e t1 < t2, as variáveis aleatórias Y (t2+ h) − Y (t1 + h) e Y (t2) − Y (t1)
têm a mesma distribuição.
2.8.2
Processo estocástico composto
Um processo estocástico {S(t)}t>0 diz-se um processo estocástico composto
se S(t) = N (t) X i=1 Xi,
onde {N (t)}t>0 é um processo de contagem e X1, X2, . . . , XN (t) é uma coleção de
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e independentes de N (t). No caso em que N (t) = 0, considera-se S(t) = 0.
Capítulo 3
Modelo das Indemnizações
Agregadas
As matemáticas atuariais remontam ao século XVII. A teoria clássica dos segu-ros estava associada aos seguro de vida e tratava os riscos apólice a apólice. Uma nova fase do seu desenvolvimento deu-se no início do século XX com os trabahos de Lundberg. Esta fase, devido a Cramér, Segerdahl e a outros autores suecos, tornou-se conhecida como teoria do risco coletivo.
O avanço realizado nos processos estocásticos e mais recentemente os progressos alcançados no domínio da informática permitiram um desenvolvimento significativo da Teoria do Risco nas últimas décadas. Hoje, a Teoria do Risco é uma ferramenta essencial na resolução de problemas técnicos da atividade seguradora, como por exemplo na escolha do programa de resseguro, na construção de tarifas, na determi-nação das reservas a constituir e no estudo da rentabilidade das companhias.
A Teoria do Risco tem assim como objetivo a construção e o estudo dos modelos matemáticos que melhor se adaptem à atividade seguradora.
Neste capítulo iremos começar por estudar o modelo que descreve as indemniza-ções agregadas, isto é, o modelo que corresponde ao montante total de indemnizaindemniza-ções pagas pela companhia seguradora. O modelo aqui estudado será o designado modelo
de risco coletivo em que as indemnizações são adicionadas à medida que os sinistros ocorrem.
3.1
Definição do processo da indemnizações
agrega-das
Ao longo do trabalho iremos denotar por {S(t)}t>0 o processo das
indemni-zações agregadas, em que a variável aleatória S(t) representa o montante total pago em indemnizações no intervalo de tempo ]0, t].
Dessa forma, S(t) = N (t) X i=1 Xi,
em que Xi representa o montante da i-ésima indemnização cujo sinistro ocorreu no
intervalo ]0, t], para i = 1, 2, . . . , N (t). Para N (t) = 0, toma-se S(t) = 0.
Admite-se que {S(t)}t>0 é um processo estocástico composto, em que:
· {N (t)}t>0 é um processo de valores inteiros que conta o número de
indemni-zações pagas até ao instante t;
· {Xi}i=1,2,...,N (t) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e
iden-ticamente distribuídas a uma variável aleatória que denotamos por X, com
função de distribuição comum FX, e independentes de N (t).
Consideremos agora t> 0 e h > 0. Para um dado instante t, observamos que:
· N (t + h) − N (t) é o número de indemnizações pagas entre os instantes t e t + h; · S(t+h)−S(t) é o montante agregado de indemnizações pagas entre os instantes
t e t + h.
O instante de cada indemnização e o tempo decorrido entre duas indemnizações sucessivas serão denotados por:
· Vi- instante da i-ésima indemnização Xi, i = 1, 2, . . .. Admitimos que V1, V2, . . .
são variáveis aleatórias tais que V1 < V2 < . . ., para excluir a possibilidade de
· Ti - tempo decorrido entre duas indemnizações sucessivas Xi−1 e Xi, i =
1, 2, . . .. Admitimos que T1 = V1.
Assim sendo, temos que
T1 = V1, Ti = Vi− Vi−1, i = 2, 3, . . . e Vi =
i X
j=1
Tj, i = 1, 2, . . .
3.2
Características do processo das indemnizações
agregadas
Nesta secção são apresentados resultados que relacionam a média, a variância, a função geradora de momentos e a função de distribuição de S(t) com as médias, as variâncias, as funções geradoras de momentos e as funções de distribuição de X e de N (t).
Proposição 3.1. A média da variável aleatória S(t) pode ser obtida a partir das médias de X e de N (t) da seguinte forma:
E(S(t)) = E(X)E(N (t)).
Demonstração. A esperança condicional de S(t) dado o valor de N (t) é dada por:
E(S(t)|N (t) = n) = E(X1+ X2+ . . . + XN (t)|N (t) = n) = E(X1+ X2+ . . . + Xn|N (t) = n) = E(X1+ X2+ . . . + Xn) = n X i=1 E(Xi) = nE(X).
Consequentemente, E(S(t)) = E(E(S(t)|N (t))) = +∞ X n=0 E(S(t)|N (t) = n)P (N (t) = n) = +∞ X n=0 nE(X)P (N (t) = n) = E(X) +∞ X n=0 nP (N (t) = n) = E(X)E(N (t)).
Portanto, acabamos de mostrar que
E(S(t)) = E(X)E(N (t)).
Proposição 3.2. A variância da variável aleatória S(t) pode ser obtida a partir médias e das variâncias de X e de N (t) da seguinte forma:
V (S(t)) = E(N (t))V (X) + V (N (t))E(X)2.
Demonstração. O segundo momento condicional de S(t) dado o valor de N (t) é dado por:
E(S(t)2|N (t) = n) = E((X1+ . . . + XN (t))2|N (t) = n) = E((X1+ . . . + Xn)2|N (t) = n)
= E((X1+ . . . + Xn)2) = E X12+ . . . + X 2 n+ 2 X i<j XiXj !
= nE(X2) + n(n − 1)(E(X))2 = n(E(X2) − E(X)2) + n2E(X)2
Assim sendo, obtemos
V (S(t)) = E(S(t)2) − E(S(t))2| = E(E(S(t)2|N (t))) − E(S(t))2
= +∞ X
n=0
E(S(t)2|N (t) = n)P (N (t) = n) − (E(N (t))E(X))2
= +∞ X
n=0
(nV (X) + n2(E(X))2)P (N (t) = n) − E(N (t))2E(X)2
= V (X) +∞ X n=0 nP (N (t) = n) + (E(X))2 +∞ X n=0 n2P (N (t) = n) − E(N (t))2E(X)2
= E(N (t))V (X) + E(N (t)2) − E(N (t))2 E(X)2
= E(N (t))V (X) + V (N (t))E(X)2
Portanto, acabamos de mostrar que
V (S(t)) = E(N (t))V (X) + V (N (t))E(X)2.
Proposição 3.3. A função geradora de momentos da variável aleatória S(t) pode ser obtida das funções geradoras de momentos de X e de N (t) da seguinte forma:
MS(t)(r) = MN (t)(log MX(r)).
Demonstração. A esperança condicional de erS(t) dado o valor de N (t) é dada por:
E(erS(t)|N (t) = n) = E(erPN (t)
i=1 Xi|N (t) = n) = E(erPni=1Xi)
= E n Y i=1 erXi ! = n Y i=1 E(erXi) = (MX(r))n
Assim sendo, MS(t)(r) = E(erS(t)) = E(E(erS(t)|N (t))) = +∞ X n=0 E(erS(t)|N (t) = n)P (N (t) = n) = +∞ X n=0 (MX(r))nP (N (t) = n) = E(MX(r)N (t)). Consequentemente,
MS(t)(r)) = E(MX(r)N (t)) = E(elog(MX(r))
N (t)
)
= E(eN (t) log(MX(r))) = M
N (t)(log(MX(r)))
Fica portanto demonstrado que
∴ MS(t)(r) = MN (t)(log MX(r))
Proposição 3.4. A função de distribuição da variável aleatória S(t) relaciona-se com a função de distribuição de X e com a função de probabilidade de N (t) da seguinte forma: FS(t)(x) = +∞ X n=0 FXn?(x)P (N (t) = n), em que FX0?(x) = 1 ∀x > 0.
Demonstração. Comecemos por calcular P (S(t)6 x|N (t) = n):
P (S(t) 6 x|N (t) = n) = P N (t) X i=1 Xi 6 x|N (t) = n = P n X i=1 Xi 6 x|N (t) = n ! = P n X i=1 Xi 6 x ! = FXn?(x).
Assim sendo, FS(t)(x) = P (S(t) 6 x) = +∞ X n=0 P (S(t) 6 x|N (t) = n)P (N (t) = n) = +∞ X n=0 FXn?(x)P (N (t) = n), em que F0? X (x) = 1 ∀x > 0.
Acabamos portanto de mostrar que
FS(t)(x) =
+∞ X
n=0
FXn?(x)P (N (t) = n)
3.3
Processo do número de indemnizações
Nesta secção vamos descrever o processo do número de indemnizações com que vamos trabalhar. Para isso, nas próximas secções vamos relembrar alguns conceitos associados à distribuição de Poisson.
3.3.1
Distribuição de Poisson
Dizemos que uma variável aleatória Y tem distribuição de Poisson de parâ-metro λ, e escreve-se Y ∼ P o(λ), se a respetiva função de probabilidade for dada por
pY(y) = P (Y = y) =
e−λλy
y! , y = 0, 1, 2, . . . .
Neste caso, a média, a variância e a função geradora de momentos são dadas por: · E(Y ) = λ;
· V (Y ) = λ;
· MY(t) = eλ(e
t−1)
3.3.2
Processo de Poisson e Processo de Poisson composto
Dizemos que um processo de contagem {N (t)}t>0, com N (0) = 0, é um processo
de Poisson homogéneo, ou simplesmente processo de Poisson, de intensidade λ, se verificar as seguintes condições (veja-se Karlin e Taylor (1975)):
· {N (t)}t>0 tem incrementos independentes;
· {N (t)}t>0 tem incrementos estacionários;
· para qualquer h → 0+, P (N (h) > 1) = λh + o(h);
· para qualquer h → 0+, P (N (h) > 2) = o(h).
Proposição 3.5. Se {N (t)}t>0 é um processo de Poisson de intensidade λ, então,
para todo t > 0, a variável aleatória N (t) tem distribuição de Poisson de média λt, ou seja,
P (N (t) = n) = e
−λt(λt)n
n! , n = 0, 1, 2, . . . .
Em particular, tem-se que · E(N (t)) = λt; · V (N (t)) = λt; · MN (t)(r) = eλt(e
r−1)
, r ∈ R.
Em seguida enunciamos um resultado acerca da distribuição do tempo decorrido entre acontecimentos sucessivos num processo de Poisson (veja-se, por exemplo, Beard et al. (1984)).
Proposição 3.6. Os tempos decorridos entre acontecimentos sucessivos num pro-cesso de Poisson de intensidade λ, são variáveis aleatórias independentes e
Reciprocamente, se os tempos decorridos entre acontecimentos sucessivos num pro-cesso de contagem são variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuí-das com distribuição exponencial de média 1λ, então o processo de contagem é um
processo de Poisson de intensidade λ.
De seguida apresentamos a definição de processo de Poisson composto.
Um processo estocástico {S(t)}t>0 diz-se um processo de Poisson composto
se for um processo estocástico composto (como definido na Secção 2.8.2) e o respetivo
processo de contagem, {N (t)}t>0, for um processo de Poisson. Por outras palavras,
{S(t)}t>0 é um processo de Poisson composto se puder ser escrito na forma
S(t) = N (t) X
i=1
Xi,
em que {N (t)}t>0 é um processo de Poisson e X1, X2, . . . , XN (t) é uma coleção de
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e independentes de N (t).
3.3.3
Processo de Poisson composto para as indemnizações
agregadas
Neste trabalho iremos essencialmente estudar o caso em que processo das
in-demnizações agregadas, {S(t)}t>0, definido na Secção 3.1, constitui um processo
de Poisson composto, ou seja, em que o processo do número de indemnizações,
{N (t)}t>0, constitui um processo de Poisson, digamos de intensidade λ.
Como consequência das propriedades demonstradas na Secção 3.2 e da Propo-sição 3.5 relativa ao processo de Poisson, podemos escrever as seguintes igualdades
relativas a {S(t)}t>0:
E(S(t)) = λtE(X);
V (S(t)) = λtE(X2);
FS(t)(x) = +∞ X n=0 FXn?(x)e −λt(λt)n n! .
Capítulo 4
Ruína
Um tema bastante importante no âmbito da Teoria do Risco é a Teoria da Ruína, cujo principal objetivo é o estudo da probabilidade de ruína da companhia seguradora.
Neste contexto, estuda-se a probabilidade de, em algum instante, a reserva da companhia se esgotar, ou seja, o montante recebido em prémios, juntamente com a reserva inicial da companhia, não ser suficiente para cobrir as indemnizações a pagar.
Vários trabalhos têm sido dedicados ao estudo das probabilidades de ruína, vi-sando quer o cálculo exato dessas probabilidades em modelos particulares, quer a obtenção de aproximações e de majorações para as mesmas (veja-se, por exemplo, De Vylder (1978), Beekman (1985), Gerber et al. (1987), Dufresne e Gerber (1989), Dickson e Waters (1992), Grandell (2000), Asmussen (2000), Dickson (2005) e refe-rências aí citadas). Ao longo das secções que se seguem serão apresentados alguns resultados importantes neste contexto.
4.1
O processo de reserva e a probabilidade de ruína
Denotemos por {S(t)}t>0 o processo das indemnizações agregadas da companhia
seguradora estudado na Secção 3.1 e por {U (t)}t>0 o processo de reserva da
supõe-se que os prémios são recebidos continuamente a uma taxa constante c > 0, isto é, que o montante total de prémios recebidos entre 0 e t é igual a ct. Logo a reserva de risco no instante t é
U (t) = u + ct − S(t), t > 0. (4.1)
A ruína ocorrerá se em algum instante a reserva se tornar negativa. Consideremos agora
T = inf{t : t > 0 e U(t) < 0},
que corresponde ao instante da ocorrência da ruína, com o pressuposto de que T = ∞ se U (t) > 0 para todo o t.
Assim sendo, a probabilidade de ruína é dada por ψ(u) = P (T < ∞).
Figura 4.1: Gráfico da evolução de U (t)
Na Figura 4.1 ilustra-se a evolução do processo de reserva ao longo do tempo. Uma vez que a taxa de prémios é constante ao longo do tempo, o gráfico tem
indemnização. Nesse momento, o valor da reserva decresce num montante
corres-pondente à indemnização Xi. A ruína ocorre no instante em que a reserva se torna
negativa. Nesse caso, a soma da reserva inicial com o total recebido em prémios não é suficiente para cobrir as indemnizações a pagar.
4.2
Coeficiente de ajustamento
Existe naturalmente uma relação entre o processo de reserva {U (t)}t>0 e o
pro-cesso das indemnizações agregadas {S(t)}t>0, dada pela igualdade (4.1).
Como já foi referido anteriormente, neste trabalho, iremos explorar o caso em
que {S(t)}t>0 constitui um processo de Poisson composto. Neste caso, o modelo do
processo de reserva é denominado Modelo de Cramér-Lundberg.
Nesta secção iremos apresentar a noção de coeficiente de ajustamento, que é um coeficiente que tem, como veremos, uma grande importância no contexto da Teoria da Ruína.
Para isso, uma das condições de base que se assume neste contexto é que c excede o valor esperado das indemnizações pagas por unidade de tempo, isto é,
c > λE(X)
(caso contrário, a ruína ocorreria quase-certamente). Dito por palavras, isto significa que, em média, o montante recebido em prémios é superior às indemnizações a pagar. Vamos agora admitir que o prémio é calculado através do princípio do valor esperado, ou seja, que é dado pelo produto de uma constante superior a 1 pelo valor esperado das indemnizações agregadas por unidade de tempo. Neste contexto, definimos o coeficiente de segurança da companhia, θ > 0, através da equação
c = (1 + θ)λE(X). (4.2)
Seja agora η o supremo dos valores ν para os quais a função geradora de
Suponhamos que η > 0 e que MX(r) tende para ∞ quando r → η, isto é,
limr→ηMX(r) = ∞.
Define-se coeficiente de ajustamento como sendo a única raiz positiva r = R da equação
λ + rc = λMX(r), r < η, (4.3)
que é equivalente a
1 + (1 + θ)E(X)r = MX(r), r < η. (4.4)
Proposição 4.1. Sob as condições anteriores, a equação (4.4) tem apenas uma raiz positiva.
Demonstração. Começamos por verificar que o primeiro membro da equação (4.4) é uma reta com declive positivo dado por (1 + θ)E(X) e com ordenada na origem igual a 1.
Analisemos de seguida o segundo membro da equação, tendo em conta que
MX(r) = E(erX). Uma vez que MX(0) = 1, concluímos imediatamente que as
duas funções (correspondentes a ambos os membros da equação) se intersectam no ponto (0, 1). Portanto, a equação admite a solução trivial.
Estudemos agora o comportamento da função MX(r) para r > 0. Para isso
re-corramos às suas derivadas de primeira e de segunda ordem:
· M0 X(r) = E(XerX) > 0; M 0 X(0) = E(X); · M00 X(r) = E(X2erX) > 0.
Para r = 0, o declive da recta (que é igual a (1 + θ)E(X)), é maior que o declive
da curva MX(r) (que é igual a MX0 (0) = E(X)), uma vez que θ > 0.
Finalmente, atendendo a que limr→ηMX(r) = ∞, podemos concluir que as duas
funções se intersetam num único ponto à direita de r = 0.
A situação descrita pode ser ilustrada pela Figura 4.2, permitindo concluir que existe uma única solução positiva.
Figura 4.2: Determinação gráfica do coeficiente de ajustamento R
Exemplo 4.1. Neste exemplo, determina-se a expressão para o coeficiente de ajus-tamento no caso em que o montante das indemnizações individuais tem distribuição exponencial de parâmetro α.
No caso em que X ∼ Exp(α), temos que E(X) = 1
α e que MX(r) =
α
α − r,
r < α.
que: 1 + (1 + θ)r α = α α − r que é equivalente a r((1 + θ)r − θα) = 0.
As raízes da equação anterior são a raiz nula e o coeficiente de ajustamento
R = θα
1 + θ. (4.5)
4.3
O Teorema Fundamental do Risco
Na presente secção iremos enunciar e provar o Teorema Fundamental do Risco.
Teorema 4.2. No modelo de Cramér-Lundberg, para u > 0, tem-se que a seguinte
expressão para a probabilidade de ruína da companhia:
ψ(u) = e
−Ru
E(e−RU (T )|T < ∞), (4.6)
onde R denota o coeficiente de ajustamento. Demonstração. Para t > 0 e r > 0 quaisquer,
E e−rU (t) = E e−rU (t)|T < t P (T < t) + E e−rU (t)
|T > t P (T > t). (4.7)
Como U (t) = u + ct − S(t), tem-se que
E e−rU (t) = e−ru−rct
E erS(t) = e−ru−rct+λt(MX(r)−1). (4.8)
Como para t > T ,
U (t) = U (T ) + c(t − T ) − (S(t) − S(T )),
sendo U (T ) independente de S(t) − S(T ) (devido ao facto de {S(t)}t>0 ter
incre-mentos independentes), e tendo esta diferença distribuição de Poisson composta, de parâmetro λ(t − T ), então
As duas expressões anteriores simplificam-se para r = R, ou seja, se r for o coeficiente de ajustamento, obtendo-se da igualdade (4.7)
e−Ru= E e−RU (T )|T < t P (T < t) + E e−RU (t)|T > t P (T > t). (4.10)
Fazendo t → ∞ na última igualdade, o segundo termo do lado direito tende para
0, pois se não ocorreu ruína então limt→∞U (t) = ∞ (uma demonstração desta
afirmação pode ser vista no Capítulo 13 de Bowers et al. (1986)). Obtém-se então
e−Ru = E eRU (T )|T < ∞ ψ(u),
de onde sai (4.6).
4.4
Cálculo da probabilidade de ruína em modelos
particulares
Nesta secção iremos determinar as expressões para a probabilidade de ruína no caso do modelo de indemnização individual ser exponencial e no caso em que o modelo de indemnização individual é uma mistura de exponenciais.
4.4.1
Modelo exponencial
Exemplo 4.2. Determinemos a probabilidade de ruína no caso em que as indem-nizações individuais têm distribuição exponencial de média 1/α.
Denotemos por T o instante de ruína. Sejam ˆu as reservas imediatamente antes de
T , e considere-se y > 0. Como o acontecimento −U (T ) > y dado que T < ∞ é equivalente a que X, o montante da indemnização que causou a ruína, seja superior
a ˆu + y, dado que é superior a ˆu, então
P (−U (T ) > y|T < ∞) = P (X > ˆu + y|X > ˆu) = e−αy, y > 0,
e conseguentemente
que corresponde ao complementar da função de distribuição exponencial, e portanto,
E(e−RU (T )|T < ∞) = α
α − R.
Tendo em conta a expressão para o coeficiente de ajustamento para o modelo expo-nencial, (4.5), a partir de (4.6) obtém-se
ψ(u) = α − R α e −αθu 1+θ = 1 1 + θe −αθu 1+θ.
4.4.2
Mistura de exponenciais
Nesta secção iremos determinar a expressão para a probabilidade de ruína no caso do modelo de indemnização individual ser uma mistura de exponenciais.
Para isso, vamos começar por apresentar uma proposição que relaciona a probabi-lidade de ruína com a função geradora de momentos das indemnizações individuais.
Proposição 4.3. A probabilidade de ruína da companhia e a função geradora de momentos do montante de indemnização individual estão relacionados da seguinte forma: Z +∞ 0 eur(−ψ0(u))du = 1 1 + θ × θ(MX(r) − 1) 1 + (1 + θ)E(X)r − MX(r) . (4.11)
A fórmula (4.11) pode ser usada para determinar expressões explícitas para ψ(u), para certas famílias de distribuição particulares. Na verdade, a sua utilidade é com-provada nos casos em que as indemnizações particulares têm distribuição exponen-cial, gama ou mistura de exponenciais.
No exemplo que se segue iremos desenvolver o caso da mistura de exponenciais. Exemplo 4.3. Determinemos a probabilidade de ruína no caso em que as indem-nizações individuais têm função densidade de probabilidade dada por:
fX(x) = n X i=1 Aiβie−βix, x > 0, (4.12) com βi > 0, Ai > 0, ∀i = 1, 2, . . . , n, e Pn i=1Ai = 1.
Neste caso, a função geradora de momentos é dada por MX(r) = n X i=1 Ai βi βi− r . (4.13)
Originalmente, a função anterior existe apenas para r < min{β1, β2, . . . , βn}.
Es-tendendo o seu domínio a todos os r 6= βi, pode provar-se que a equação (4.4) tem n
raízes, as quais são designadas por ri, i = 1, . . . , n. Substituindo (4.13) em (4.11) e
tendo em conta que o lado direito resulta numa fração com o numerador e o deno-minador polinómios em r, podendo então aplicar-se o método das frações parciais, obtém-se Z +∞ 0 eru(−ψ0(u))du = n X i=1 Ciri ri− r . (4.14)
Resta agora notar que a única função que satisfaz simultaneamente (4.14) e ψ(∞) = 0 é ψ(u) = n X i=1 Cie−uri. (4.15)
4.5
A desigualdade de Lundberg e a aproximação
de Cramér-Lundberg
Na generalidade dos casos, não é possível determinar o denominador da equa-ção (4.6) do Teorema Fundamental do Risco. No entanto, esse teorema permite a obtenção de desigualdades, como as que são apresentadas de seguida.
Corolário 4.4 (Desigualdade de Lundberg). No modelo de Cramér-Lundberg, para u ≥ 0, podemos obter o seguinte majorante para a probabilidade de ruína:
ψ(u) < e−Ru,
em que R denota o coeficiente de ajustamento.
Demonstração. Para demonstrar o pretendido é suficiente notar que para T < ∞, tem-se que U (T ) < 0. Como tal, o denominador de (4.6) é maior que 1.
Corolário 4.5. Se as indemnizações individuais forem limitadas de tal forma que
FX(m) = 1 para algum m finito, então, no modelo de Cramér-Lundberg, para u ≥ 0,
tem-se o seguinte minorante para a probabilidade de ruína:
ψ(u) > e−R(u+m),
em que R denota o coeficiente de ajustamento.
Demonstração. Uma vez que FX(m) = 1, para T < ∞ tem-se que U (T ) > −m.
Assim,
e−RU (T ) < eRm,
e portanto
E e−RU (T )|T < ∞ < eRm.
Combinando esta desigualdade com o Teorema 4.2, prova-se o pretendido.
Apesar de se tratar de um majorante, tendo em conta os dois corolários an-teriores, alguns autores sugerem a seguinte aproximação para a probabilidade de ruína:
ψ(u) ' e−Ru,
que usualmente é designada por aproximação de Lundberg.
Para além da aproximação anterior, têm sido estudadas na literatura várias apro-ximações para a probabilidade de ruína (veja-se, por exemplo, Dickson (2005)).
Uma das aproximações mais conhecidas neste contexto, originalmente demons-trada por Cramér-Lundberg, baseia-se no seguinte resultado (veja-se, por exemplo, Rolski (1999), Grandell(1991) ou Asmussen (2000)).
Teorema 4.6. Consideremos o modelo de Cramér-Lundberg e assumamos que
Z +∞
0
xeRx(1 − FX(x))dx < ∞,
em que R denota o coeficiente de ajustamento. Então, tem-se que ψ(u) ' 1 − λE(X) c λ cM 0 X(R) − 1 −1 e−Ru quando u → ∞.
A aproximação sugerida pelo teorema anterior é designada por aproximação de Cramér-Lundberg.
No capítulo que se segue, o nosso objetivo será estudar o efeito da introdução de resseguro na diminuição da probabilidade de ruína. Esse estudo será feito através da análise do coeficiente de ajustamento. Efetivamente, fazemos notar que, atendendo às desigualdades anteriormente apresentadas e à aproximação de Cramér-Lundberg, o problema da minimização da probabilidade de ruína é essencialmente equivalente ao da maximização do coeficiente de ajustamento, sendo este último o problema em que nos vamos concentrar no capítulo que se segue.
Capítulo 5
O efeito do resseguro proporcional no
coeficiente de ajustamento
5.1
O resseguro proporcional
O recurso a mecanismos de dispersão e cobertura do risco assume uma importân-cia fundamental na gestão do negócio das empresas de seguros. Embora o co-seguro e a securitização de riscos - através do mercado de capitais - permitam implementar algumas soluções neste domínio, o resseguro tradicional continua a constituir o ins-trumento preferencialmente escolhido pelos operadores para garantir uma adequada mitigação dos riscos tendo em conta a sua capacidade de subscrição.
O resseguro é essencialmente a operação na qual o segurador (também designado por cedente) transfere para outro (ressegurador), total ou parcialmente, um risco assumido através da emissão de uma ou mais apólices. Nessa operação, o segurador tem como principal objetivo diminuir as suas responsabilidades na aceitação de um risco, cedendo a outro uma parte da responsabilidade e do prémio recebido. Dito de forma simples, o resseguro é visto como um seguro do seguro.
Tecnicamente, o resseguro é um contrato que visa, através da diluição dos riscos, equilibrar e dar solvência aos seguradores. Em alguns casos, por força de contrato ou regulação, o resseguro é obrigatório.
Apesar de existirem outros tipos de resseguros (veja-se Macedo (2011)), para as pequenas companhias com ativos limitados, o custo (e esforço antecipados) no estabelecimento do resseguro proporcional é compensado pela divisão de riscos e prémios. É de salientar que uma das vantagens do resseguro proporcional é o facto de requerer uma administração muito simples, quando comparada com outros tipos de resseguro (veja-se Bugmann (1997)), ficando, por isso, económica a sua imple-mentação. No mercado português, grande parte dos tratados de resseguro são de tipo proporcional (veja-se ASF).
Neste trabalho, iremos centrar o nosso estudo precisamente neste tipo de resse-guro. No resseguro proporcional, também designado por resseguro por quotas (ou ainda resseguro de quota-parte), a resseguradora participa em todos os riscos de uma classe de negócios numa certa percentagem. Em termos simples, a ressegura-dora assume uma percentagem fixa de todas as apólices de seguro subscritas pelo segurador e em troca recebe uma percentagem correspondente do prémio original.
Sendo 0 < α ≤ 1 a proporção de cada risco retida pela seguradora, designada por quota retida, então 1 − α é a percentagem cedida à resseguradora, designada por quota cedida ou quota de resseguro.
Neste contexto, por cada indemnização X, a seguradora retém αX e cede à resseguradora (1 − α)X.
5.2
Processo de reserva
Começamos por relembrar que na Secção 4.1 foi definido o processo de reserva de
uma companhia seguradora, {U (t)}t≥0, partindo do pressuposto que essa companhia
não efetuava resseguro.
Nesta secção iremos apresentar o processo de reserva de uma companhia de seguros, de modo análogo ao que foi feito na Secção 4.1, mas agora admitindo que a companhia faz um resseguro proporcional de quota retida α.
Começamos por notar que, na presença deste tipo de resseguro, o montante pago
pela seguradora aquando da ocorrência da indemnização individual Xi é
αXi,
sendo o restante,
Xi− αXi = (1 − α)Xi,
assumido pela resseguradora. Em contrapartida, a resseguradora recebe da compa-nhia cedente (compacompa-nhia seguradora) um montante a título de prémio.
Desta forma, as indemnizações agregadas retidas pela seguradora são dadas por
Sα(t) =
N (t) X
i=1
αXi,
em que {N (t)}t>0 é, como anteriormente, o processo do número de indemnizações,
que admitimos neste trabalho como sendo um processo de Poisson de intensidade λ. Quanto aos prémios, vamos admitir que os mesmos são calculados segundo o princípio do valor esperado (veja-se (4.2)) com coeficientes de segurança (positivos) θ e ξ, respetivamente, para o cedente e o ressegurador.
Assim sendo, a taxa de prémios pagos pelos segurados à companhia seguradora é, tal como na Secção 4.2, dada por:
(1 + θ)λE(X)
e a taxa de prémios pagos pela seguradora à resseguradora é dada por:
(1 + ξ)λ(E(X − αX)) = (1 + ξ)(1 − α)λE(X).
Pelo exposto anteriormente, concluímos que, após o resseguro, partindo de uma reserva inicial u, a reserva da companhia cedente no tempo t é então dada por
Uα(t) = u + (1 + θ)λE(X)t − (1 + ξ)(1 − α)λE(X)t −
N (t) X
i=1
ou seja, Uα(t) = u + [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]λE(X)t − N (t) X i=1 αXi, t > 0. (5.1)
Fazemos notar que no caso em α = 1, que corresponde a uma quota de retenção de 100%, ou seja, ao caso em que não é efetuado resseguro, a expressão anterior para a reserva da seguradora coincide com a expressão (4.1) da Secção 4.1.
5.3
O resseguro proporcional e a probabilidade de
ruína
Como já foi anteriormente, ao efetuar um resseguro, a seguradora pretende au-mentar a segurança da companhia. Isso pode ser feito usando diferentes perspetivas como, por exemplo, maximizando a respetiva utilidade esperada, minimizando a variabilidade das indemnizações agregadas retidas pela seguradora ou minimizando outras medidas de risco (veja-se, por exemplo, Albrecher et al. (2017) e Karageyik e Sahin (2017)).
Neste trabalho, e por se considerar que a análise da probabilidade ruína da companhia é de extrema importância neste contexto, optamos por estudar o efeito da introdução do resseguro proporcional na minimização da probabilidade de ruína da companhia, para dois modelos usuais para as indemnizações individuais.
Tal como notado no fim do capítulo anterior, o problema da minimização da pro-babilidade de ruína é essencialmente equivalente ao da maximização do coeficiente de ajustamento, sendo este último o problema em que nos vamos concentrar daqui para a frente. Para trabalhos relacionados com este problema veja-se, por exemplo, Waters (1983), Fraga Alves (1997), Centeno (2002) e Zhang (2015).
Como tal, vamos começar por estabelecer a equação geral para a determinação do coeficiente de ajustamento, usando a definição de coeficiente de ajustamento estabelecida na Secção 4.2, mas agora na presença de resseguro proporcional com quota retida igual a α.
Adaptando assim as equações (4.3) e (4.4) ao caso em que a companhia efetua resseguro, e atendendo a que a reserva neste caso é dada por (5.1), obtém-se, neste caso, que o coeficiente de ajustamento é a única solução positiva da equação:
λ + [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]λE(X)r = λMαX(r), (5.2)
Atendendo a que
MαX(r) = E(er(αX)) = E(e(rα)X) = MX(αr),
a equação (5.2) para o coeficiente de ajustamento é equivalente a:
1 + [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]E(X)r = MX(αr). (5.3)
Fazemos notar que no caso em α = 1, que corresponde a uma quota de retenção de 100%, ou seja, ao caso em que não é efetuado resseguro, a equação anterior coincide com a equação (4.4) da Secção 4.2.
5.4
Modelos para as indemnizações individuais
Como já foi exposto anteriormente, neste trabalho estamos a estudar um dos modelos mais utilizados para o processo do número de indemnizações, que é o pro-cesso de Poisson. Neste caso, o propro-cesso das indemnizações agregadas é designado por processo de Poisson composto e o processo de reserva designado por modelo de Cramér-Lundberg.
Obviamente que, para além de modelar o processo do número de indemnizações, na prática é essencial modelar também os montantes de indemnização individual. Nas próximas duas secções vamos considerar dois modelos usuais para as indemni-zações individuais. Para cada um deles, vamos apresentar algumas das suas proprie-dades, escrever a expressão para a reserva da seguradora e a equação para coeficiente de ajustamento.
5.4.1
Modelo degenerado - Seguro de Vida
Nesta secção vamos considerar o modelo degenerado para o montante de indem-nização individual. Neste modelo, o montante de indemindem-nização individual toma um
valor constante com probabilidade igual a 1.
Este é o modelo usual no caso de Seguro de Vida, em que a seguradora paga uma indemnização fixa no caso do segurado morrer durante o período de vigência da apólice.
Vamos então supor que as indemnizações individuais são constantes e iguais a β. Assim vamos considerar:
X ≡ β.
Neste caso particular, temos que
E(X) = β e MX(r) = erβ.
Assim sendo, atendendo à expressão geral (5.1), obtemos neste caso que a reserva da seguradora no tempo t é dada por:
Uα(t) = u + [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]λβt −
N (t) X
i=1
αβ, t > 0. (5.4)
Para além disso, a equação (5.3) que permite obter o coeficiente de ajustamento pode reescrever-se na seguinte forma:
1 + [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]βr = eαrβ,
o que é equivalente a
5.4.2
Modelo exponencial - Exemplo Típico
Nesta secção vamos considerar o modelo exponencial para o montante de in-demnização individual. Este modelo é usualmente designado por modelo típico no contexto dos seguros porque é tipicamente usado em vários tipos de seguro.
Vamos então supor que as indemnizações individuais seguem uma distribuição exponencial de média igual a β, ou seja, de parâmetro 1/β. Assim vamos considerar:
X ∼ Exp 1
β
.
Neste caso particular temos que
E(X) = β e MX(r) =
1
1 − βr.
Assim sendo, atendendo à expressão geral (5.1), obtemos neste caso que a reserva da seguradora no tempo t é dada por:
Uα(t) = u + [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]λβt −
N (t) X
i=1
αXi, t > 0. (5.6)
Para além disso, a equação (5.3) que permite obter o coeficiente de ajustamento pode reescrever-se na seguinte forma:
1 + [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]βr = 1
1 − βαr,
o que é equivalente a 1
Capítulo 6
Estudo numérico
Nesta secção iremos apresentar alguns estudos numéricos, desenvolvidos no Soft-ware R, com o objetivo de analisar, para os dois modelos de indemnização individual,
a evolução do coeficiente de ajustamento, que denotaremos por Rα, e do lucro
espe-rado por unidade de tempo, lα, em função da quota retida α.
Neste estudo iremos também fazer variar os vários parâmetros envolvidos, como os coeficientes de segurança θ e ξ (relativos aos prémios de seguro e de resseguro), o número médio de indemnizações por unidade de tempo λ e a média das indemni-zações individuais β = E(X).
Para a determinação dos valores do coeficiente de ajustamento, Rα, foram
utili-zadas as equações deduzidas nas Secções 5.4.1 e 5.4.2.
Para além da análise do coeficiente de ajustamento, Rα, vamos também analisar,
como referimos anteriormente, o lucro esperado da seguradora por unidade de tempo,
lα. Atendendo à expressão geral para a reserva inicial, (5.1), temos que lα será dado
pela diferença entre o prémio líquido da seguradora por unidade de tempo:
e as indemnizações agregadas esperadas pagas por unidade de tempo: E N (1) X i=1 αXi
Assim sendo, temos que lα é dado por
lα = [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]λE(X) − E N (1) X i=1 αXi .
Uma vez que E
PN (1)
i=1 αXi
= αλE(X), a expressão anterior é equivalente a
lα = [(1 + θ) − (1 + ξ)(1 − α)]λE(X) − αλE(X),
ou ainda a
lα= [θ − ξ + ξα]λE(X). (6.1)
De modo análogo ao que foi feito na Secção 4.2, vamos naturalmente assumir
aqui que lα é positivo, ou seja, o prémio líquido da seguradora por unidade de tempo
é superior às indemnizações agregadas esperadas pagas por unidade de tempo: θ − ξ + ξα > 0,
o que é equivalente a
α > 1 − θ
ξ. (6.2)
Os valores admissíveis para a quota retida terão portanto que satisfazer a condição anterior.
Antes de passarmos à apresentação dos resultados, fazemos ainda notar que o coeficiente de segurança associado ao prémio de resseguro não deverá ser inferior ao associado ao prémio de seguro, isto é, deveremos ter ξ ≥ θ. Efetivamente, se pudessemos ter ξ < θ, então, se a seguradora optasse por ressegurar o risco total
(isto é, α = 0), esta receberia um prémio líquido por unidade de tempo igual a ((1 + θ) − (1 + ξ))λE(X) = (θ − ξ)λE(X), que seria positivo. Isso significaria que a seguradora obteria um lucro certo sem qualquer risco, o que é um absurdo.
Portanto, neste contexto deveremos ter ξ ≥ θ.
6.1
Modelo degenerado
Nesta secção iremos apresentar os resultados obtidos para o modelo degenerado exposto na Secção 5.4.1, que foram desenvolvidos usando o Software R.
Nas tabelas apresentadas, incluímos o valor da quota retida (α), o valor obtido
numericamente para o coeficiente de ajustamento (Rα), e o valor do lucro esperado
por unidade de tempo (lα).
Serão apresentadas várias tabelas fazendo variar os coeficientes de segurança θ e ξ (relativos aos prémios de seguro e de resseguro), o número médio de indemnizações por unidade de tempo λ e a média das indemnizações individuais β = E(X).
Iremos começar por considerar os seguintes valores de base: θ = 0.2, ξ = 0.3, λ = 1, β = 1.
Primeiro vamos analisar, para estes valores fixos, a evolução do coeficiente de ajustamento e do lucro esperado por unidade de tempo em função da quota retida, α. Para isso vamos considerar uma variação para α de 0 a 1 em passos de 0.05.
Em seguida, vamos variar cada um dos quatro parâmetros, fixando os restantes três, e analisar o efeito dessa variação em termos do coeficiente de ajustamento e do lucro esperado.
6.1.1
Efeito da variação de α
Nesta secção iremos começar por analisar o efeito da variação da quota retida, α, no valor do coeficiente de ajustamento e no valor do lucro esperado para o modelo degenerado. Os restantes parâmetros estão fixos em θ = 0.2, ξ = 0.3, λ = 1, β = 1.
α Rα lα 0 - -0.1 0.05 - -0.085 0.1 - -0.07 0.15 - -0.055 0.2 - -0.04 0.25 - -0.025 0.3 - -0.01 0.35 0.0808386 0.005 0.4 0.2419937 0.02 0.45 0.3288372 0.035 0.5 0.3753755 0.05 0.55 0.3989061 0.065 0.6 0.4088395 0.08 0.65 0.4106021 0.095 0.7 0.4073383 0.11 0.75 0.4010354 0.125 0.8 0.3928891 0.14 0.85 0.3837291 0.155 0.9 0.3740120 0.17 0.95 0.3641162 0.185 1 0.3541852 0.2
Tabela 6.1: Valores para o coeficiente de ajustamento, Rα, e para o lucro esperado,
Pela análise da Tabela 6.1 verificamos imediatamente que o lucro esperado por unidade de tempo aumenta à medida que a quota retida aumenta. Efetivamente, analisando a expressão (6.1):
lα= [θ − ξ + ξα]λE(X),
vemos que se trata de uma função crescente de α (se mantivermos todos os restantes parâmetros fixos), uma vez é uma função afim de α em que o respetivo coeficiente, que é igual a ξλE(X), é positivo. Dessa forma concluímos que o valor máximo para o lucro esperado é atingido no caso em que α = 1, isto é, no caso em a companhia não efetua resseguro.
No que diz respeito ao coeficiente de ajustamento, Rα, verificamos que o mesmo
apenas está definido para valores da quota acima de determinado valor, ou seja, nem todos os valores de α são admissíveis para a existência do coeficiente de ajustamento. De entre os valores apresentados na tabela, o valor mínimo da quota para o qual o coeficiente de ajustamento está definido é 0.35. Motivados por estes resultados numéricos desenvolvemos o texto que aparece imediatamente após a expressão (6.1),
em que assumimos que lα é positivo, o que conduz a
α > 1 − θ
ξ.
Neste caso particular, atendendo a que θ = 0.2 e ξ = 0.3, a desigualdade anterior fica
α > 1 −0.2
0.3 =
1
3 = 0.333....,
o que é coerente com os resultados da tabela
No que diz respeito à evolução do coeficiente de ajustamento, verificamos que o mesmo começa por crescer com o aumento de α e depois decresce a partir de determinado valor para a quota. O valor da quota, de entre os valores apresen-tados na tabela, que maximiza o coeficiente de ajustamento é α = 0.65. O valor correspondente para o coeficiente de ajustamento é 0.4106021. Se pretendessemos melhorar a estimativa do valor de α para o qual o coeficiente de ajustamento é máximo (tornando essencialmente mínima a probabilidade de ruína ou, pelo menos, um majorante para a mesma), apenas teríamos que apertar o passo que estamos a considerar para α, e que neste momento é de 0.05.
6.1.2
Efeito da variação de λ
Nesta secção iremos analisar o efeito da variação do número médio de indemni-zações, λ, no valor do coeficiente de ajustamento e no valor do lucro esperado, para o modelo degenerado. Para isso serão contrapostos os valores obtidos para λ = 1 e λ = 2. Os restantes parâmetros estão fixos em θ = 0.2, ξ = 0.3, β = 1.
λ = 1 λ = 2 α Rα lα Rα lα 0 - -0.1 - -0.2 0.05 - -0.085 - -0.17 0.1 - -0.07 - -0.14 0.15 - -0.055 - -0.11 0.2 - -0.04 - -0.08 0.25 - -0.025 - -0.05 0.3 - -0.01 - -0.02 0.35 0.0808386 0.005 0.0808386 0.01 0.4 0.2419937 0.02 0.2419937 0.04 0.45 0.3288372 0.035 0.3288372 0.07 0.5 0.3753755 0.05 0.3753755 0.1 0.55 0.3989061 0.065 0.3989061 0.13 0.6 0.4088395 0.08 0.4088395 0.16 0.65 0.4106021 0.095 0.4106021 0.19 0.7 0.4073383 0.11 0.4073383 0.22 0.75 0.4010354 0.125 0.4010354 0.25 0.8 0.3928891 0.14 0.3928891 0.28 0.85 0.3837291 0.155 0.3837291 0.31 0.9 0.3740120 0.17 0.3740120 0.34 0.95 0.3641162 0.185 0.3641162 0.37 1 0.3541852 0.2 0.3541852 0.4
Tabela 6.2: Valores para o coeficiente de ajustamento, Rα, e para o lucro esperado,
lα, em função de α, para λ = 1 e para λ = 2 quando θ = 0.2, ξ = 0.3, β = 1 (modelo
Na Tabela 6.2 apresentamos os valores para o coeficiente de ajustamento e para o lucro esperado por unidade de tempo para dois valores diferentes para o número médio de indemnizações por unidade de tempo, λ = 1 e λ = 2. Fazemos notar que a primeira parte da Tabela 6.2 corresponde à Tabela 6.1, mas resolvemos repeti-la para ser mais fácil comparar os resultados.
Começamos por observar que podemos fazer uma análise para λ = 2 totalmente análoga à que foi feita para λ = 1 (Secção 6.1.1).
Agora vamos então concentrar-nos na comparação dos resultados para os dois valores de λ.
No que diz respeito ao lucro esperado, a tabela mostra que o mesmo é superior quando λ é maior, ou seja, para λ = 2. Para além disso verificamos que para λ = 2, o lucro é duas vezes superior ao lucro obtido para λ = 1.
Analisemos novamente a expressão (6.1):
lα= [θ − ξ + ξα]λE(X),
mas agora como função de λ. Vemos que se trata de uma função linear em λ com coeficiente [θ − ξ + ξα]E(X) positivo (atendendo à condição (6.2)) e que portanto,
se λ duplica, então lα também duplica.
Quanto ao coeficiente de ajustamento, vemos que ele é o mesmo para os dois valores de λ, se considerarmos o mesmo valor para a quota e mantivermos fixos os restantes parâmetros. Efetivamente se analisarmos a equação geral para o coeficiente de ajustamento (5.3), verificamos que a mesma não depende do número médio de indemnizações por unidade de tempo, o que significa que, se os restantes valores forem os mesmos, a variação de λ não vai afetar o coeficiente de ajustamento.
6.1.3
Efeito da variação de β
Nesta secção iremos analisar o efeito da variação do montante médio de indem-nização individual, β = E(X), no valor do coeficiente de ajustamento e no valor do lucro esperado, para o modelo degenerado. Para isso serão contrapostos os valores obtidos para β = 1 e β = 2. Os restantes parâmetros estão fixos em θ = 0.2, ξ = 0.3, λ = 1. β = 1 β = 2 α Rα lα Rα lα 0 - -0.1 - -0.2 0.05 - -0.085 - -0.17 0.1 - -0.07 - -0.14 0.15 - -0.055 - -0.11 0.2 - -0.04 - -0.08 0.25 - -0.025 - -0.05 0.3 - -0.01 - -0.02 0.35 0.0808386 -0.005 0.04043524 0.01 0.4 0.2419937 0.02 0.12099785 0.04 0.45 0.3288372 0.035 0.16442033 0.07 0.5 0.3753755 0.05 0.18767831 0.1 0.55 0.3989061 0.065 0.19945564 0.13 0.6 0.4088395 0.08 0.20442847 0.16 0.65 0.4106021 0.095 0.20530113 0.19 0.7 0.4073383 0.11 0.20366970 0.22 0.75 0.4010354 0.125 0.20051393 0.25 0.8 0.3928891 0.14 0.19645193 0.28 0.85 0.3837291 0.155 0.19182922 0.31 0.9 0.3740120 0.17 0.18700864 0.37 0.95 0.3641162 0.185 0.18202277 0.37 1 0.3541852 0.2 0.17709815 0.4
Tabela 6.3: Valores para o coeficiente de ajustamento, Rα, e para o lucro esperado,
lα, em função de α, para β = 1 e para β = 2 quando θ = 0.2, ξ = 0.3, λ = 1 (modelo
