Representações em situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau a uma incógnita : um estudo com alunos do 9.º ano de escolaridade

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Universidade de Lisboa

Representações em situações problemáticas que envolvem

inequações do 1.º grau a uma incógnita: Um estudo com

alunos do 9.º ano de escolaridade

Elisabete Barata Fernandes

Relatório da Prática de Ensino Supervisionada

Mestrado em Ensino da Matemática

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Universidade de Lisboa

Representações em situações problemáticas que envolvem

inequações do 1.º grau a uma incógnita: Um estudo com

alunos do 9.º ano de escolaridade

Elisabete Barata Fernandes

Relatório da Prática de Ensino Supervisionada orientado pela Professora Doutora Leonor Santos e coorientado pela Professora

Doutora Suzana Nápoles

Mestrado em Ensino da Matemática

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Resumo

O objetivo deste trabalho é perceber se alunos do 9.º ano compreendem e sabem usar os diferentes tipos de representações na resolução de situações problemáticas integradas no estudo de inequações. Para tal, formulei as seguintes questões: Quais são os principais tipos de representações usados pelos alunos na resolução de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau? Quais são os principais erros e dificuldades que os alunos revelam na conversão e no tratamento de representações de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau?

A investigação decorreu no âmbito da minha prática letiva supervisionada durante o 3.º período do ano letivo de 2012/2013 numa turma do 9.º ano de uma escola, em Lisboa, tendo abordado o tema Álgebra, o tópico Inequações e o subtópico Inequações do 1.º Grau a uma Incógnita.

A metodologia de investigação de natureza interpretativa, recorre a dados quantitativos e qualitativos. Participaram todos os alunos da turma, tendo selecionado dois deles para aprofundamento do estudo. Na recolha dos dados utilizei os seguintes instrumentos: a observação de aulas, alguns documentos da escola, um diário de bordo, as produções escritas de todos os alunos da turma e uma entrevista semiestruturada, gravada em áudio, aos dois alunos da turma, já mencionados, que obtiveram o melhor desempenho escolar na disciplina de Matemática no 1.º período do referido ano letivo.

Os resultados do estudo revelam que os alunos passaram progressivamente do uso predominante da representação numérica para a representação algébrica. Na maioria das situações problemáticas, os alunos apresentaram dificuldades na conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica, principalmente na escolha do sinal de desigualdade apropriado para cada caso. No tratamento das inequações, os alunos cometeram erros essencialmente na aplicação do 2.º princípio de equivalência e na construção do intervalo que represente adequadamente o respetivo conjunto-solução. As conclusões inferidas pela análise das produções escritas e da entrevista realizada aos dois alunos selecionados estão de acordo às já proferidas para toda a turma.

Palavras-chave: Situações problemáticas, inequações do 1.º grau, 9.º ano, representações, conversão e tratamento de representações, erros e dificuldades.

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Abstract

The aim of the present investigation is to study whether the 9th_{year students} understand and know how to use the different types of representations in solving problematic situations involving inequalities. Thus, I have formulated the following questions: Which are the main types of representations used by students in solving problematic situations involving inequalities of first degree? Which are the main mistakes and difficulties that students exhibit in the conversion and treatment of representations of problematic situations involving inequalities of first degree?

The research occurred in the my teaching practice supervised during the third .period of the school year 2012/2013 in school in Lisbon, having discussed the theme Algebra, the topic Inequalities and the subtopic Inequalities of first degree. In data collection used the following instruments: classroom observation, some documents from the school, written work produced by all students during classes, and a semi-structured interview, recorded on audio, given by two students who obtained the best mathematical performance on in the first third period of the school year.

The results of the study reveal that students were passing progressively from the predominant use of the numerical representation for the algebraic representation. Most of the problematic situations, students presented difficulties in the conversion of the natural language to the algebraic language, especially in the choice of appropriate inequality sign for each case. In the treatment of inequalities, the students made mistakes in the application of the 2nd equivalence principle and construction of the interval that adequately represents the respective solution set. The conclusions inferred by analyzing the written productions and interview the two students are according to those already referred to the whole class.

Keywords: Problematic situations, inequalities of first degree, 9th year, representations, conversion and processing of representations, errors and difficulties.

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Agradecimentos

À Professora Doutora Leonor Santos pelas sugestões, conselhos, paciência e orientação.

À professora Doutora Suzana Nápoles pela orientação nos conceitos matemáticos prestada neste trabalho.

À professora Helena Fonseca pela forma como me ajudou na concretização deste estudo e, especialmente pelo carinho, amizade, apoio, incentivo e partilha de conhecimentos e experiência.

À direção da escola pela disponibilidade.

Aos alunos envolvidos neste trabalho pela disponibilidade e pelo entusiasmo com que realizaram as tarefas.

À minha família, a quem tive de dedicar menos tempo e atenção, pelo incentivo, apoio e inspiração em todos os momentos.

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Abreviaturas e Acrónimos

C.S. – Conjunto-Solução

DGIDC – Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular Ex. – Exercício

eq. – equação i.e. – isto é ineq. – inequação ineq.´s – inequações

NCTM – National Council of Teachers of Mathematics PE – Princípio de equivalência

probl. – problema TPC – Trabalho de Casa

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Índice Geral

Capítulo 1 – Introdução ... 1

1.1. Motivações ... 3

1.2. Objetivo e Questões do Estudo ... 4

1.3. Organização do Estudo ... 4

Capítulo 2 – Enquadramento da Problemática ... 7

2.1. Situações Problemáticas em Matemática ... 7

2.2. Representações Matemáticas ... 14

2.3. Situações Problemáticas e Representações nas Orientações Curriculares em Matemática ... 30

Capítulo 3 – Unidade de Ensino ... 33

3.1. Caracterização da Turma ... 33

3.2. Ancoragem da Unidade no Programa de Matemática ... 38

3.3. Conceitos Matemáticos Relativos à Unidade ... 43

3.4. Estratégias de Ensino ... 52

3.5. Sequência e Planos de Aulas ... 54

3.6. Tarefas e Recursos ... 56

3.7. Descrição Sumária das Aulas Lecionadas ... 59

Capítulo 4 – Métodos e Procedimentos de Recolha e Análise de Dados ... 85

4.1. Opções Metodológicas ... 85

4.2. Participantes ... 86

4.3. Instrumentos de Recolha de Dados ... 87

4.4. Métodos de Análise de Dados ... 89

Capítulo 5 – Apresentação e Análise de Dados ... 91

5.1. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 91

5.2. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 97

5.3. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 122 5.4. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho Complementar131

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5.5. Síntese dos Resultados ... 136

Capítulo 6 – Conclusão ... 151

6.1. Principais Resultados ... 152

6.2. Reflexão Final ... 160

Referências Bibliográficas ... 163

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Índice de Anexos

Anexo 1: Autorização da Direção da Escola... 175

Anexo 2: Autorização dos Encarregados de Educação ... 177

Anexo 3: Plano de Aula n.º 1 ... 179

Anexo 10: Ficha de Trabalho n.º 1 ... 271

Anexo 12: Ficha com os Princípios de Equivalência ... 281

Anexo 17: Guião da Entrevista ... 299

Anexo 18: Ficha de Trabalho Complementar ... 301

Anexo 19: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 305

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Índice de Figuras

Figura 1: Idades dos alunos da turma no início do ano letivo de 2012/2013 ... 34

Figura 2: Nacionalidade de ambos os pais dos alunos da turma ... 34

Figura 3: Parentesco dos Encarregados de Educação com os alunos da turma... 34

Figura 4: Anos de entrada dos alunos na turma ... 35

Figura 5: Classificações atribuídas aos alunos da turma na disciplina de Matemática no final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013 ... 36

Figura 6: Percentagem de positivas no 9.º ano do Departamento de Matemática e Ciências Experimentais da escola no final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013 .. 36

Figura 7: Avaliação dos alunos da turma no domínio dos conhecimentos e atitudes na disciplina de Matemática no final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013 ... 37

Figura 8: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 92

Figura 9: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 93

Figura 10: Exemplos ilustrativos de resoluções de três alunos à alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 94

Figura 11: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 96

Figura 12: Resolução correta de um aluno que usou a representação algébrica na alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1... 97

Figura 13: Exemplos ilustrativos de resoluções de três alunos à alínea a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 98

Figura 14: Resoluções do José (em cima) e do Luís (em baixo) às alíneas a), b), c) e d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 100

Figura 15: Resolução incorreta de um aluno à alínea a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 100

Figura 16: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 101

Figura 17: Resoluções incorretas de dois alunos à alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 103

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Figura 18: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea c) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 104 Figura 19: Resoluções incorretas de dois alunos à alínea c) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 105 Figura 20: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno à alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 106 Figura 21: Resolução incorreta de um aluno à alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 107 Figura 22: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 108 Figura 23: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 109 Figura 24: Resolução incorreta de um aluno à alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 110 Figura 25: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 110 Figura 26: Erros de dois alunos na tradução da inequação do Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 112 Figura 27: Erro de um aluno na indicação da solução do Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 112 Figura 28: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 113 Figura 29: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos ao Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 114 Figura 30: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 116 Figura 31: Erros de dois alunos na tradução da inequação do Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 116 Figura 32: Erros de três alunos no Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 117 Figura 33: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 118 Figura 34: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 120

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Figura 35: Erro de um aluno na tradução da inequação do Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 120 Figura 36: Erro de um aluno no Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 121 Figura 37: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 122 Figura 38: Resoluções do José (em cima) e do Luís (em baixo) ao Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 124 Figura 39: Erros de dois alunos na tradução da 2.ª inequação da conjunção de inequações do Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 125 Figura 40: Erro de um aluno na resolução da conjunção de inequações do Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 126 Figura 41: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 127 Figura 42: Erro de um aluno na resolução da 1.ª inequação da conjunção de inequações do Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 129 Figura 43: Resolução do José (em cima) e do Luís (em baixo) ao Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6 ... 130 Figura 44: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 1 da Ficha de Trabalho Complementar ... 132 Figura 45: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 2 da Ficha de Trabalho Complementar ... 134 Figura 46: Percentagem de alunos que usaram os três tipos de representação: linguagem natural, numérica e algébrica em cinco alíneas de tarefas das fichas de trabalho ... 136 Figura 47: Percentagem de alunos que cometeram erros em cinco alíneas de tarefas das fichas de trabalho, tendo usado um dos três tipos de representação: linguagem natural, numérica e algébrica ... 138 Figura 48: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados para resolver situações problemáticas envolvendo inequações num exercício e em cinco alíneas das tarefas das fichas de trabalho ... 139 Figura 49: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados para resolver situações problemáticas envolvendo inequações em cinco exercícios das fichas de trabalho ... 140

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Figura 50: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados para resolver onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho ... 141 Figura 51: Percentagem de alunos que cometeram erros na tradução de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho... 142 Figura 52: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho... 143 Figura 53: Percentagem de alunos que cometeram erros na formulação das conclusões de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho ... 143 Figura 54: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações e nos respetivos conjuntos-solução numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho ... l145 Figura 55: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho ... 146 Figura 56: Percentagem de alunos que cometeram erros nos intervalos de inequações numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho ... 147

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Índice de Quadros

Quadro 1: Número de alunos da turma com retenções em anos anteriores ... 35

Quadro 2:Temas e objetivos das aulas concretizadas ... 54

Quadro 3: Natureza e fonte das tarefas propostas nas aulas lecionadas... 58

Quadro 4: Natureza e fonte das tarefas propostas para trabalho de casa ... 58

Quadro 5: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 60

Quadro 7: Objetivos de aprendizagem das tarefas propostas para trabalho de casa ... 69

Quadro 8: Objetivos de aprendizagem do Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3 ... 72

Quadro 9: Objetivos de aprendizagem das tarefas do Ficha de Trabalho n.º 4 ... 73

Quadro 12: Erros dos alunos no Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1 ... 93

Quadro 13: Análise das resoluções do item b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho nº 1 . 95 Quadro 14: Análise das resoluções do item a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº4 .. 99

Quadro 15: Análise das resoluções do item b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 102 Quadro 16: Análise das resoluções do item c) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 105 Quadro 17: Análise das resoluções do item d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 107 Quadro 18: Análise das resoluções do item e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 109 Quadro 19: Análise das resoluções do Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 111

Quadro 20: Análise das resoluções do Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4 ... 115

Quadro 24: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de situações problemáticas ... 144

Quadro 25: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de inequações e na determinação dos respetivos intervalos ... 148

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Capítulo 1

Introdução

Ao longo deste trabalho, apresento um estudo de cariz investigativo realizado no âmbito da minha prática letiva supervisionada, do Mestrado em Ensino da Matemática, que decorreu durante o 3.º período do ano letivo de 2012/2013 numa turma do 9.º ano de escolaridade, de uma escola situada em Lisboa.

O assunto abordado centra-se nas representações utilizadas por alunos do 9.º ano na resolução de situações problemáticas integradas no estudo de inequações do 1.º grau a uma incógnita. Tendo por base o Programa de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007), este subtópico faz parte do tema Álgebra, em particular do tópico de Inequações, abordado pela primeira vez no referido ano letivo.

A Álgebra constitui um dos grandes ramos da Matemática, ao lado da Geometria e da Análise Infinitesimal. As orientações curriculares e didáticas para o ensino da Álgebra têm mudado profundamente nos últimos anos. No passado, a Álgebra era encarada como uma simples manipulação de símbolos e aplicação de fórmulas. Progressivamente, esta perspetiva tem vindo a ser modificada, como refere o National Council of Teachers of Mathematics ou NCTM (2007, p. 39) “os professores poderão ajudar os alunos a construir uma base sólida baseada na compreensão e nas suas experiências como preparação para um trabalho algébrico mais aprofundado”.

Também as representações têm vindo a merecer um especial destaque nas orientações curriculares para o ensino da Matemática. De facto, um dos objetivos gerais do Programa de Matemática do Ensino Básico consiste na necessidade dos alunos compreenderem e saberem usar diferentes tipos de representações (DGIDC, 2007). Este programa destaca igualmente que “as representações matemáticas desempenham um papel importante em toda a aprendizagem desta disciplina [Matemática], e o trabalho com os conceitos matemáticos mais importantes deve envolver, sempre que possível, mais do que uma forma de representação” (DGIDC, 2007, p. 9). Além disso, como refere o NCTM (2007, p. 76), somente “ao observar as suas representações [dos alunos], os professores poderão conseguir compreender os modos de interpretação e de raciocínio dos alunos”. No entanto, se para comunicar raciocínios são necessárias

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representações, para desenvolver o raciocínio matemático é também necessário enfatizar essas representações em todo o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Consequentemente, a aprendizagem das representações por parte dos alunos tem merecido uma crescente atenção de investigadores, de que destaco Duval (2003). Segundo este autor, uma representação de um objeto é algo que substitui esse objeto (Duval, 2006). No entanto, para Duval (2006), os objetos matemáticos não devem ser confundidos com a sua representação, sendo este um dos problemas cruciais da compreensão matemática, na medida em que, não é possível aceder a um objeto matemático sem as representações, o que torna ambígua a distinção entre o objeto representado e a representação usada (Duval, 2006).

Duval (1993) considera dois tipos de representações, as representações internas e as representações externas (ou semióticas). Nas primeiras, encontram-se as imagens mentais que correspondem às formulações internas construídas pelo indivíduo sobre uma dada realidade. As segundas são organizações simbólicas externas (símbolos, figuras, diagramas, gráficos, etc.) cujo objetivo é representar ou codificar uma determinada “realidade matemática” (Dufour-Janvier, Bednarz & Belanger, 1987).

Além disso, Duval (2004; 2006) distingue duas transformações de representações externas: os tratamentos e as conversões,

 Os primeiros são transformações de representação que ocorrem dentro de um mesmo registo e que revelam o papel intrínseco dos registos semióticos de representação na atividade matemática. São exemplos de tratamentos, resolver inequações ou sistemas de inequações.

 Os segundos são transformações de representação que consistem em mudanças de registo semiótico de representação. São exemplos de conversões, a passagem de uma inequação (expressão algébrica) para a sua representação gráfica ou a passagem de uma constatação sobre uma relação em linguagem natural para a sua notação utilizando simbologia matemática. Apesar da passagem de um registo para outro nem sempre ser simples, é muitas vezes necessária para uma melhor compreensão do objeto em questão.

Para Duval (2004), as aprendizagens fundamentais relativas ao raciocínio requerem diversificação dos registos semióticos de representação, diferenciação entre representante e representado e ainda a coordenação entre os diferentes registos. O

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NCTM (2007, p. 77) refere esta ideia ao indicar que “representações distintas focam, geralmente, aspetos diferentes de relações e conceitos complexos” pelo que, para se tornarem conhecedores de conceitos matemáticos, “os alunos necessitam de uma diversidade de representações que suportem a sua compreensão” (NCTM, 2007, p. 77).

Vários são os contextos matemáticos que favorecem o uso diversificado de representações. Por exemplo, a resolução de problemas pode ser utilizada para estimular o uso de diversas representações. Possibilita, ainda, o estabelecimento de conexões entre diferentes tipos de representações e a passagem de uns para outros, podendo contribuir para aumentar o conhecimento matemático dos alunos (Dufour-Janvier, Bednarz & Bélanger, 1987). Neste contexto, torna-se relevante, como pretendi com este estudo, compreender de que modo os alunos lidam com as representações quando resolvem situações problemáticas envolvendo inequações no 9.º ano de escolaridade.

1.1. Motivações

A minha observação e acompanhamento das atividades letivas teve início no mês de Janeiro de 2013, no princípio do 2.º período. Nessa altura, restavam três temas para serem trabalhados na turma do 9.º ano: Circunferência e Polígonos; Números Reais e Inequações; e Trigonometria no Triângulo Retângulo. Como não tinha tido ainda qualquer contato com a turma, não optei pelo primeiro tema; e a minha escolha também não recaiu no terceiro, por limitações de tempo devido ao meu desejo de finalizar o presente relatório no final do ano letivo de 2012/2013.

Assim, em concordância com a professora orientadora cooperante, decidi estudar as Inequações englobadas no tema dos Números Reais e Inequações. Esta escolha deveu-se ao facto desse tema ser muito abrangente e o número de aulas previstas para a lecionação das Inequações se ajustar ao número de horas planeadas para a minha intervenção letiva.

A seguir, após a leitura de alguns artigos científicos e teses, constatei que o tema Inequações tem, até ao momento, sido pouco explorado ao contrário do tema das Equações. Verifiquei também, como já foi referido na secção anterior, que o Programa de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007) salienta a importância que as representações têm no ensino e aprendizagem da Matemática e incentiva à utilização de vários tipos de representações. Além disso, uma das capacidades transversais que

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importa desenvolver, segundo este programa, consiste na resolução de problemas. Assim, tendo presente todos os factos, mencionados atrás, escolhi estudar tipos de representações usadas pelos alunos para solucionarem situações problemáticas suscetíveis de serem resolvidas recorrendo a inequações do 1.º grau a uma incógnita.

Por fim, importa salientar que era meu desejo utilizar vários tipos de representações, tais como a linguagem natural, as expressões numéricas, as expressões algébricas e também as representações gráficas. No entanto, não foi possível abordar estas últimas, pois não existem computadores disponíveis na escola para a sua utilização em sala de aula e esse assunto não faz parte do currículo de Matemática para o Ensino Básico. Um futuro desenvolvimento deste trabalho poderia consistir em verificar se as representações gráficas contribuem para facilitar a aprendizagem dos alunos relativamente às inequações no Ensino Secundário.

1.2. Objetivo e Questões do Estudo

O objetivo deste estudo é perceber se os alunos compreendem e sabem usar os diferentes tipos de representações na resolução de situações problemáticas envolvendo inequações do 1.º grau a uma incógnita. Tendo em conta este objetivo, formulei as seguintes questões que nortearam este estudo:

 Quais são os principais tipos de representações usados pelos alunos na resolução de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau?

 Quais são os principais erros e dificuldades que os alunos revelam na conversão de representações de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau?

 Quais são os principais erros e dificuldades que os alunos revelam no tratamento de representações de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau?

1.3. Organização do Estudo

Este trabalho está organizado em seis capítulos. Neste primeiro capítulo refiro o tema, as motivações, o objetivo e as questões de investigação do estudo. O segundo capítulo engloba alguma literatura de referência e as orientações curriculares relativas às

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representações matemáticas e às situações problemáticas suscetíveis de serem resolvidas recorrendo a inequações. No capítulo seguinte, apresento a unidade didática da Álgebra, sendo descritas as principais características da turma sobre a qual incide o estudo, as orientações curriculares vigentes, as estratégias de ensino, as tarefas propostas e os recursos utilizados, os planos das aulas lecionadas por mim e a descrição sumária das mesmas. O quarto capítulo incide sobre os métodos e procedimentos da recolha de dados, e nas principais características dos participantes e nas razões para a sua escolha. No capítulo cinco, analiso os dados recolhidos tendo em conta a problemática definida. Por fim, no capítulo seis, indico as principais conclusões e teço algumas considerações finais.

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Capítulo 2

Enquadramento da Problemática

Ao longo deste capítulo procedo ao enquadramento teórico e curricular da problemática, recorrendo a trabalhos nacionais e internacionais sobre o tema em estudo e ao Programa Nacional do Ensino Básico em vigor aquando da realização deste relatório (DGIDC, 2007).

2.1. Situações Problemáticas em Matemática

No campo do ensino da Matemática, não existe uma definição de problema que seja consensual entre investigadores e professores, mas sim diversas perspetivas. Por exemplo, Kantowski (1977), com base na definição de Pólya (1975), considera que “um indivíduo está perante um problema quando se confronta com uma questão a que não pode dar resposta ou com uma situação que não sabe resolver, usando os conhecimentos imediatamente disponíveis” (p. 163).

Lester (1980) também concorda com esta definição, e acrescenta ainda que o interesse para encontrar uma solução é um fator importante para que uma situação seja considerada um problema por parte do indivíduo:

Um problema é uma situação na qual um indivíduo ou grupo é chamado a realizar uma tarefa para a qual não há um algoritmo imediatamente disponível que determine completamente o método de solução (...). Deve acrescentar-se que se supõe um desejo por parte do indivíduo ou do grupo para realizar a tarefa. (Lester, 1980, p. 287)

Nesta perspetiva, a noção de problema refere-se às pessoas envolvidas. Uma dada tarefa pode implicar esforços significativos a alguns indivíduos, enquanto que para outros pode ser um mero exercício de rotina, bastando-lhes recordar factos já aprendi- dos para a resolver. A mesma tarefa pode ainda ser interpretada e sentida de modo diferente consoante o resolvedor de cada momento e, também, consoante o momento de cada resolvedor. É neste sentido que Dumas-Carré, Caillot, Torregrossa e Gil (1989, p. 140) definem situação problemática como sendo:

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Uma situação ambígua que levanta algumas dificuldades na procura de um caminho a seguir, embora essa ambiguidade e essas dificuldades não sejam algo intrínseco à situação, mas sim uma característica da interação entre a situação e aquele que a resolve. Um problema não é um objeto tendo uma existência autónoma é uma interação entre uma situação e um indivíduo em determinado momento.

Assim, uma dada questão poderá ser um problema ou um exercício para um dado indivíduo, consoante este disponha, ou não, de um processo que lhe permita resolver rapidamente essa questão. Por isso, num dado momento, uma certa questão pode constituir um problema para um certo indivíduo, mas, em outro momento, ser um simples exercício.

No presente trabalho, assumo esta perspetiva, e devido a esse facto, na maior parte do texto deste relatório, a palavra “problema” é substituída pela expressão “situação problemática”.

Outros autores, como por exemplo Blum e Niss (1991), referem que um problema é “uma situação que acarreta consigo certas questões abertas que desafiam intelectualmente quem não está na posse imediata de métodos diretos, procedimentos ou algoritmos suficientes para responder às questões” (p. 37).

Do mesmo modo que existem várias perspetivas sobre o que é um problema, também a expressão ‘resolução de problemas’ encontra-se associada a diferentes significados consoante os autores. Para alguns, trata-se de um processo para dar resposta à situação problemática:

Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum caminho é conhecido de imediato, é encontrar um caminho para sair de uma dificuldade, é encontrar um caminho em torno de um obstáculo, é atingir um objetivo desejado que não é imediatamente acessível, e fazê-lo com os meios apropriados. (Pólya, 1980, p. 1)

As características do contexto, da tarefa e do indivíduo são elementos referidos na literatura quando se aborda o que significa resolver problemas. Se enfatizarmos as características da tarefa estamos a medir o seu grau de dificuldade, o tipo de conhecimento que requer e o contexto a que se refere. Por exemplo, Agre (1982) salienta o grau de dificuldade de um problema: “Para qualificar como problema o processo de resolução ou de definição tem que se crer que possui ao menos um pouco de dificuldade” (p. 130).

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Ao contrário do autor anterior, Nunokawa (2005) citado em Henriques (2010), valoriza sobretudo os processos do indivíduo ao assumir que a resolução de problemas é um processo de pensamento no qual o resolvedor tenta dar sentido à situação problemática usando o conhecimento matemático que tem e tenta obter nova informação sobre essa situação até que a consiga resolver.

De forma geral, concordo com Henriques (2010) quando esta afirma que “um problema é uma situação para a qual um indivíduo está interessado em obter uma solução mas que não dispõe, à partida, de um procedimento de resolução. A resolução de problemas consiste num processo natural de exploração, onde o indivíduo tem que reunir determinadas condições iniciais (conhecimentos e compromisso) que lhe permitam superar as dificuldades que vão surgindo à medida que atinge os objetivos pretendidos, proporcionando uma alteração substancial na situação de partida” (p. 50).

 Tipos de problemas matemáticos

Na literatura existem várias tipologias usadas para identificar o tipo de problema e de resolução que permite fazer face a uma determinada situação, pois este aspeto constitui um fator decisivo no ensino da resolução de problemas. Por exemplo, Pólya (1981, Vol. 2, p. 139) diferencia os problemas entre: (i) os que se resolvem mecanicamente aplicando uma regra que acaba de se conhecer; (ii) os que se podem resolver aplicando algo que se deu antes e em que o resolvedor tem que tomar alguma decisão; (iii) os que requerem combinar duas ou mais regras ou exemplos dados na aula; e (iv) os que também requerem combinar duas ou mais regras, mas que contêm ramificações e requerem alto grau de raciocínio pessoal. Para o autor, a ordem determina o grau de dificuldade e o valor educativo. Assim, na perspetiva pedagógica de Pólya (1981), os problemas com verdadeiro interesse são os dos níveis (iii) e (iv).

Por sua vez, Ponte (1992) considera uma outra classificação, que diz respeito à distinção entre os problemas puramente matemáticos e os da vida real, uma vez que a sua resolução envolve processos de raciocínio muito diferentes. Os problemas da vida real podem ainda ser de diversos tipos, de acordo com a natureza das atividades que proporcionam. De acordo com Ponte (1991, 1992) citado por Henriques (2010), os problemas escolares podem ser classificados em três grandes grupos:

 Os problemas de tipo 1 são situações do mundo real, relativamente curtas, contêm toda a informação necessária para a sua resolução, e usualmente

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colocam uma questão que tem solução simples. Estes problemas podem ser usados quando os alunos já têm os conhecimentos necessários para os resolver.

 Os problemas de tipo 2 são situações do mundo real, normalmente suscetíveis de serem exploradas de várias maneiras. Segundo o autor, a resolução destes problemas tende a ser dirigida pelo professor, mas há usualmente oportunidades para explicações divergentes. O objetivo é utilizar a Matemática sobretudo como um recurso para compreender melhor uma situação real.

 Os problemas de tipo 3 são investigações abertas cuja exploração pode seguir um de muitos caminhos. Atendendo à sua natureza, podem representar atividades e experiências de aprendizagem muito diversas, suscitando por isso muito interesse em temos pedagógico.

A tipologia de problemas apresentada por Ernest (1992) centra-se no papel do professor e do aluno. Assim, os problemas são apresentados pelo professor e dirigidos para um objetivo ou solução, e o aluno segue um conjunto de orientações. Na abordagem que designa por “resolução de problemas”, o professor divulga o problema e facilita a resolução e o aluno procura resolvê-lo. Por último, na “formulação de problemas”, o professor cria um contexto favorável para os alunos formularem os seus próprios problemas.

Pehkonen (1991), pelo seu lado, valoriza a distinção entre os problemas abertos e fechados. Esta distinção refere-se ao nível da exatidão da descrição do enunciado do problema e objetivos. Assim, num problema fechado, tanto o enunciado como os objetivos são fechados, isto é, é dada uma indicação mais ou menos explícita do que é dado e do que é pedido. Se o enunciado e/ou os objetivos são abertos, então temos o problema designado por aberto, desempenhando o aluno um papel importante na sua definição. Na opinião do autor, a maioria dos problemas que são usualmente encontrados na Matemática escolar são problemas fechados. Note-se que, segundo Ponte (2005), um problema é uma tarefa fechada. Logo, estes dois autores atribuem significados distintos a um problema, no que respeita ao grau de definição do seu enunciado/do que é pedido.

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Em adição ao conceito de resolução de problemas também surge o termo ‘investigação’ que forma um subgrupo dos problemas abertos. Por exemplo Evans (1987) explica a diferença entre estes dois conceitos da seguinte forma:

 A resolução de problemas é uma ação convergente onde os alunos têm que encontrar uma solução para um certo problema.

 A investigação é mais divergente do que um problema, e aqui os alunos são encorajados a pensar em estratégias alternativas, a considerar o que irá acontecer se um certo caminho for seguido ou a verificar quando é que diferentes abordagens irão produzir diferentes resultados.

No entanto, a fronteira entre resolução de problemas e investigações não está bem definida. A maior parte dos problemas tornam-se investigações se as condições da tarefa forem alteradas. No decorrer da resolução de muitas investigações, independentemente do grau de dificuldade inicial, os alunos obtêm um problema quando formulam uma dada questão que não sabem como resolver.

Por fim, importa salientar que além dos problemas e investigações, Ponte (2005) também identifica outros tipos de tarefas matemáticas que considera distintas: os exercícios, os projetos e as tarefas de modelação. Segundo este autor, um exercício e um projeto distinguem-se pela duração da sua execução. O primeiro tem uma curta duração, enquanto o segundo uma longa duração. Para além do tempo de realização, Ponte (2005) considera também importantes outras dimensões, como por exemplo o contexto. De acordo com este autor, as tarefas de modelação são tarefas que se apresentam num contexto de realidade, enquanto que os exercícios, os problemas e as investigações tanto podem surgir em contextos de realidade, como de semi-realidade ou de matemática pura (Ponte, 2005).

 O ensino da resolução de problemas

Na literatura existe um número significativo de resultados sugerindo que há vários aspetos da resolução de problemas que podem e devem ser ensinados (Charles & Lester, 1984; Fernandes, 1992). Tal assunção levou ao desenvolvimento de diversas abordagens para ensinar a resolver problemas.

Para Pólya (1945), o objetivo fundamental da educação é ensinar os mais novos a pensar, constituindo a resolução de problemas uma arte prática que todos os alunos

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podem aprender. O modelo de resolução de problemas concebido por este matemático envolve quatro fases:

(i) Compreender o problema. Nesta fase interpreta-se a informação fornecida de forma que esta possa fazer sentido para o aluno, envolvendo a compreensão verbal e a identificação das partes principais do problema: as incógnitas, os dados e as condicionantes.

(ii) Idealizar um plano. Estabelecer um plano é formular, pelo menos de uma forma geral, qual o caminho a seguir para obter a solução do problema. Nesta fase é importante conseguir selecionar ou inventar uma estratégia de resolução do problema. O estabelecimento do plano pode ainda ter que passar alterações, com base “na experiência passada e em conhecimentos previamente adquiridos” (Pólya, 1975, p. 6).

(iii) Executar o plano. O plano é apenas um roteiro geral. Executar o plano é efetuar todo o trabalho identificado na fase anterior. É ao longo da sua execução que surge a formulação de conjeturas e o seu teste, seguindo-se-lhe muitas vezes um processo cíclico.

(iv) Avaliar o que foi feito (olhar para trás para o trabalho realizado). A avaliação ou análise retrospetiva do processo de resolução do problema permite identificar até que ponto este está resolvido e se a estratégia seguida foi ou não adequada. Assim, em primeiro lugar, deve testar-se a solução encontrada e caso esta não verifique o problema, ensaia-se uma nova abordagem. Mas mesmo que a solução encontrada seja correta é sempre possível aumentar a compreensão do problema procurando, por exemplo, generalizações ou verificando se alterações nas condições iniciais do problema afetam a solução.

O modelo de quatro fases acima descrito deve ser ensinado aos alunos e constituí um conjunto de instrumentos que o indivíduo passa a ter ao seu dispor para resolver problemas. Este modelo tem servido de base à maior parte do trabalho realizado com vista a melhorar as capacidades dos alunos na resolução de problemas (Schoenfeld, 1980). No entanto, Schoenfeld (1985a) defende que, para se aplicar com sucesso uma estratégia não a basta conhecer, é preciso igualmente ser capaz de tomar boas decisões e ter capacidade para a executar.

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Ponte (1992), por sua vez, realça a importância dos requisitos a nível de conteúdos, e sublinha a necessidade da existência de uma boa base de conhecimentos para se desenvolver a capacidade de resolução de problemas. Constata-se, contudo, que para se ter êxito na resolução de problemas não basta ter muitos conhecimentos matemáticos ou conhecer estratégias de resolução, pois muitos alunos apesar de os possuírem, não têm sucesso quando resolvem problemas. Algumas dificuldades na resolução de problemas estão associadas às fracas capacidades metacognitivas em geral, ou à falta de processos de controlo, em particular, que são considerados essenciais para se obter sucesso na resolução de problemas (Lester, 1985; Schoenfeld, 1985b, 1992; Silver, 1985; Vale, 1993, citados por Henriques, 2010).

Os processos metacognitivos têm a ver com o pensamento acerca do próprio pensamento e podem-se identificar duas vertentes. Por um lado, o conhecimento dos conhecimentos, respeitando ao que a pessoa sabe acerca das suas próprias capacidades e recursos, assim como das suas conceções sobre a Matemática. Por outro lado, a gestão ou controlo dos conhecimentos diz respeito à forma como toma decisões para selecionar e gerir estratégias e ações práticas com vista à resolução de um problema (Fernandes, 1989).

Lester (1985) considera, por exemplo, que a investigação em metacognição tem claras implicações na educação matemática, pois o seu ensino leva a que os alunos discutam e pensem sobre o processo que utilizaram para resolver problemas, tendo em vista fazê-los tomar consciência de que muitos problemas podem ter vários processos de resolução. Também Ponte (1992) considera que estimular o aluno, a desenvolver as suas capacidades no que respeita aos processos metacognitivos constitui uma possibilidade de melhorar a sua capacidade de resolução de problemas.

Em suma, as dimensões para uma boa prática na atividade de resolução de problemas incluem: (i) o conhecimento matemático; (ii) o domínio de estratégias e (iii) o controlo sobre o processo de trabalhar um problema.

Por fim, importa referir que no próximo capítulo apresento os passos abordados nas aulas e aplicados pelos alunos na resolução das situações problemáticas propostas. Estes passos baseiam-se no modelo de resolução de problemas de Pólya (1945) referido anteriormente (ver secção 3.3).

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2.2. Representações Matemáticas

A importância das representações matemáticas tem vindo a ser salientada por muitos investigadores e professores nas últimas décadas. Por exemplo, Vergnaud (1998) realça a necessidade do estudo das representações e apresenta duas razões distintas:

A primeira é que todos experimentamos representações como imagens internas, gestos e palavras. A segunda é que as palavras e símbolos que usamos para comunicar uns com os outros não se referem diretamente à realidade mas a entidades representadas: objetos, propriedades, relações, processos, ações e constructos acerca das quais não existe acordo automático entre duas pessoas. (p. 167)

Greeno e Hall (1997) também sublinham a importância das representações, que definem como “ferramentas essenciais para a comunicação e o raciocínio sobre conceitos e informação em Matemática, Ciência e outros domínios” (p. 362). Além disso, de acordo com Goldin (2002), as representações dos alunos podem desempenhar, ainda, um outro papel importante na aprendizagem da Matemática: “O seu estudo permite, pelo menos potencialmente, descrever com algum detalhe, o desenvolvimento matemático dos alunos em interação com os ambientes escolares e a criação de métodos de ensino capazes de desenvolver poder matemático” (p. 198).

No entanto, como afirma Vergnaud (1998, p. 167) a “representação é um conceito difícil” porque a noção de representação no âmbito do ensino, aprendizagem e desenvolvimento da Matemática, pode ter diferentes interpretações (Goldin, 2002). Por exemplo, para Duval (2006), uma representação de um objeto, tomando a palavra objeto em sentido lato, por forma a incluir entidades abstratas como as que se encontram em Matemática, é algo que substitui esse objeto.

Outros autores, como, por exemplo, Goldin (2002) e Greeno e Hall (1997) referem-se às representações como objetos (nomes) e ações (verbos). Assim, segundo Goldin (2008), uma representação é uma configuração que poderá, de alguma forma, “atuar no lugar de, ser interpretado como, corresponder a, denotar, descrever, encarnar, codificar, invocar, categorizar, ligar com, mediar, produzir, referir a, assemelhar, servir como metáfora para, significar, substituir por, sugerir ou simbolizar o que está a ser representado” (p. 181). De acordo com este autor, a relação entre a representação e o objeto representado é mais complexa do que o que se poderia pensar. Assim, uma

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palavra pode representar vários objetos diferentes e um dado numeral pode representar os elementos de um conjunto ou um ponto numa reta numérica (Goldin, 2008).

A definição de Goldin (2008) é consistente com o indicado pelo NCTM (2000): “O termo representação refere-se simultaneamente a processo e a produto, por outras palavras, ao ato de capturar um conceito ou relação matemática através de uma determinada forma e à forma em si mesma” (p. 67). Para o NCTM (2000), o termo representação refere-se, também, “a processos e a produtos que são observáveis externamente bem como àqueles que ocorrem internamente na mente das pessoas que fazem Matemática” (p. 67). A dicotomia interna/externa merece, então, ser analisada com maior detalhe.

 Representações internas e externas

Goldin (1998, 2002), tal como muitos outros autores, distingue entre representações “internas” e “externas”, isto é:

 As representações internas estão ligadas a possíveis configurações mentais dos indivíduos (aprendentes ou resolvedores de problemas) e são construídas por eles a partir da observação de comportamentos (Goldin & Kaput, 1996). Estas representações não podem ser comunicadas a outras pessoas, apenas podem ser inferidas a partir da produção de representações externas pelo próprio indivíduo.

 As representações externas referem-se a configurações observáveis e físicas que têm como objetivo representar uma certa realidade (Dufour-Janvier, Bednarz & Belanger, 1987). Deste modo, as representações externas são facilmente acessíveis através da observação, por qualquer indivíduo com conhecimento adequado, e podem ser exibidas ou comunicadas a outras pessoas. Exemplos destas representações externas são as representações verbais, gráficas, algébricas ou simbólicas, pictóricas (diagramas ou desenhos), tabelares e outras.

Duval (1993) também considera os dois tipos de representações: as representações internas (ou mentais) e as representações externas (ou semióticas). Geralmente, a linguagem natural é o primeiro registo de representação externa, e a partir daí, constroem-se e desenvolvem-se novos sistemas semióticos.

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De acordo com Duval (2006), o acesso aos objetos matemáticos só é possível por meio de símbolos ou representações externas desses objetos. Por essa razão, as atividades sobre o objeto matemático ocorrem sempre pela sua representação semiótica, sendo essa representação, portanto, essencial à atividade cognitiva. De facto, certas representações são muito associadas ao conceito que é difícil imaginar como é que o conceito pode ser concebido sem elas.

Para este autor não é possível separar os diversos registos de representação da função cognitiva do pensamento humano. Este designa de “sémiosis” “a produção de uma representação semiótica” e de “noésis” “a compreensão do conceito de um objeto.” (Duval, 1993, p. 40). No entanto, para Duval (1999), os objetos matemáticos (números, funções, retas, etc.) não podem, nem devem, ser confundidos com as suas representações (escrita decimal ou fracionária, gráficos, traçados de figuras, etc.), uma vez que um mesmo objeto matemático pode ser apresentado através de representações muito diferentes.

Estas considerações podem ser exemplificadas da seguinte forma, abordada por Traldi Júnior (2002): considere-se um sistema de inequações do 1.º grau e os seus diferentes registos de representação:

 Representação algébrica:



(x,y) |0x 4 e y 0



 Representação geométrica (ou gráfica):

 Representação em linguagem natural: conjunto dos pares ordenados (x, y), sendo que “x” pertence ao intervalo [0, 4] e “y” é um número real igual ou superior a zero.

Portanto, neste exemplo, tem-se um sistema de inequações do 1.º grau representado de três formas diferentes: algebricamente, graficamente e em linguagem natural. O facto de um aluno saber resolver um exercício que está representado na forma algébrica ou em qualquer outra forma isoladamente (“sémiosis”), não significa que este compreenda o conceito do objeto sistema de inequações do 1º grau (“noésis”).

Apesar desta distinção entre as representações internas e externas, diversos autores sublinham e justificam, nas suas teorias, a importância de uma relação mais ou

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menos direta entre ambas. Goldin (2002) salienta a importância do acesso às representações externas para descrever o que os alunos, professores ou matemáticos fazem internamente, uma vez que só é possível fazer inferências sobre as representações internas dos alunos através da produção de representações externas: “As representações internas encontram-se codificadas fisicamente e a sua descrição a nível cerebral ainda não é conhecida em detalhe” (p. 210).

É ainda de destacar a abordagem bidireccional das representações, feita por Goldin (2002). Para o autor, não é só o externo que representa o interno, por exemplo, quando um aluno expressa o que tem em mente ao desenhar um gráfico, mas também o interno representa o externo, ou seja, o aluno visualiza o que é descrito por um gráfico ou por uma fórmula algébrica. Além disso, o seu estudo sobre representações indica que através da interação entre sistemas de representação externa, desenvolvem-se sistemas de representação internos para os alunos poderem produzir novas representações externas. Assim, de acordo com Goldin (2002), um objetivo fundamental da educação matemática é o desenvolvimento, pelos alunos, de sistemas internos de representação eficientes que correspondam de maneira coerente, e interatuem adequadamente com os sistemas externos da Matemática, convencionalmente estabelecidos.

Parece, pois, inquestionável, a existência de uma relação estreita entre representações internas e externas, ambas essenciais na aprendizagem da Matemática. De facto, é esta interação de dois caminhos, entre representações internas e externas, que ajuda a promover a compreensão e o desenvolvimento de conceitos matemáticos (Zhang, 1997).

Neste estudo, interpreto o termo “representação” sob a perspetiva de Greeno e Hall (1997) como uma ferramenta usada para raciocinar, construir compreensão e representar ideias matemáticas. Assim, quando uso, no texto deste relatório, o termo “representação” sem referência a “externo” ou “interno”, é porque me refiro a uma representação externa.

 O papel das representações externas

Na opinião de Zhang (1997), as representações externas desempenham funções muito mais importantes do que meros auxiliares de memória: “[As representações externas] são tão intrínsecas a tantas tarefas cognitivas que conduzem, limitam e até determinam o comportamento cognitivo” (p. 180). Acrescenta, ainda, que a forma de

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uma representação pode influenciar a resolução de problemas: “A forma de uma representação determina qual a informação que vai ser percebida, quais os processos que vão ser ativados e quais as estruturas que podem ser descobertas a partir de uma representação específica” (p. 179).

Ao longo das últimas décadas, muitos autores têm investigado os efeitos das representações externas na aprendizagem da Matemática. Por exemplo, Greeno e Hall (1997), como já referido, afirmam que as representações são ferramentas úteis para raciocinar, construir compreensão e para comunicar informações. Sublinham, ainda, a importância dos alunos se empenharem na escolha e na construção das suas próprias representações para resolver um problema matemático.

De igual modo, Cox (1999) salienta que o processo de construção de uma representação ajuda os alunos a melhorar o seu conhecimento. Para o autor, a construção de representações pode ter diferentes objetivos. Por exemplo, para os alunos com pouco ou nenhum domínio do conhecimento pode ajudar a construir esse conhecimento. Para os alunos com níveis avançados de domínio de conhecimento, a construção da representação pode ajudar a aceder à informação armazenada na memória de longo prazo e como sumário do seu processamento, o que diminui a carga do trabalho de memória e os ajuda a concentrar-se no raciocínio (Henriques, 2010).

 Tipos de representações externas

Na literatura existem muitas tipologias de classificação de representações externas, dependendo do domínio de conhecimento que se considere (semiótica, ciências cognitivas, etc.). Por exemplo, Bruner (1966) refere as representações inativas, icónicas e simbólicas e associa-as a estádios de desenvolvimento das crianças. As representações inativas estão associadas à ação (justificando o recurso a materiais manipuláveis para criar modelos favoráveis à construção de conceitos), as representações icónicas assentam no uso de figuras, imagens, esquemas, tabelas ou desenhos, pelo que também são referidas como representações visuais. As representações simbólicas são as mais complexas, pois apelam ao uso de linguagens simbólicas.

Como sistemas de representação externos, Goldin e Shteingold (2001) indicam dois tipos: (i) notacionais e formais – que incluem o sistema de numeração, a forma de escrever e manipular expressões algébricas e equações, as convenções para denotar

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funções, derivadas e cálculo de integrais e as linguagens informáticas; e (ii) relações visuais e espaciais – incluindo retas numéricas, gráficos (cartesianos, polares ou outros sistemas de coordenadas), tabelas e diagramas geométricos. Acrescentam, ainda, que palavras e frases, faladas e escritas, também são representações externas pois podem descrever objetos materiais, propriedades físicas, ações e relações ou coisas mais abstratas.

No que respeito em particular a Álgebra, Friedland e Tabach (2001) apresentam quatro modos de representação essenciais ao ensino da Matemática: representação verbal, representação numérica, representação gráfica e representação algébrica. Estes autores apresentam as vantagens e desvantagens associadas a cada uma das formas de representação que identificam:

 Representação verbal – está normalmente associada à apresentação do problema e à interpretação final dos resultados obtidos, dá ênfase à conexão da Matemática com outras áreas do conhecimento e entre a Matemática e o quotidiano. Esta forma de representação pode tornar-se um obstáculo para a comunicação matemática, uma vez que não é universal e a sua utilização pode ser feita de forma ambígua ou conduzir a associações incorretas.

 Representação numérica – é uma representação natural para os alunos que se encontram a iniciar o estudo da álgebra e, normalmente, precede qualquer outro tipo de representação. Este tipo de representação é importante na compreensão inicial de um problema e na investigação de casos particulares, no entanto, não é generalizável, sendo por isso uma ferramenta, em alguns casos, limitada.

 Representação gráfica – proporciona uma imagem clara de uma função de variável real. É uma forma de representação intuitiva e apelativa para os alunos que gostam de uma análise visual. No entanto, a representação gráfica é muito influenciada por fatores externos (por exemplo, escalas) e apresenta frequentemente só uma parte do domínio do problema. A sua utilidade como ferramenta matemática varia de acordo com a tarefa em causa.

 Representação algébrica – esta é concisa, geral e efetiva na apresentação de padrões e modelos matemáticos, por vezes é o único método de justificar ou efetuar generalizações. Contudo, esta forma de representação, que usa

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exclusivamente símbolos algébricos pode ocultar o significado matemático ou a natureza do objeto e causar dificuldades de interpretação de resultados.

Na resolução de problemas, Preston e Garner (2003) distinguem os seguintes modos de representação: (i) linguagem natural escrita para explicar o raciocínio e as estratégias, como complemento de outros modos de representação; (ii) pictórico, com recurso a desenhos ou imagens para apresentar, conjugar e sintetizar a informação; (iii) aritmético, por vezes, através de estratégias de tentativa e erro, de desfazer ou do uso de tabelas; (iv) gráfico, com recurso a gráficos de variáveis contínuas ou discretas com o objetivo de mostrar o seu comportamento; e (v) algébrico, correspondendo à utilização de linguagem simbólica para generalizar. Brown e Mehilos (2010) fazem referência a uma outra forma de representação, a tabular.

 Transformações das representações externas: a conversão e o tratamento

A característica que sobressai da atividade matemática é a mobilização simultânea de, pelo menos, dois registos de representação ou a possibilidade de mudar, em qualquer momento, de um registo para outro (Duval, 2006). De acordo com Duval (2004; 2006), a atividade matemática pode ser analisada considerando dois tipos de transformações de representações semióticas: os tratamentos e as conversões.

Os primeiros são transformações que ocorrem dentro de uma mesma representação; e os segundos são transformações de um tipo de representação noutro tipo (diferente) de representação em relação ao mesmo objeto matemático. De forma a exemplificar a diferença entre estas duas transformações considere-se o seguinte problema utilizado por Traldi Júnior (2002):

Qual é o conjunto-solução que satisfaz a condição: o dobro de um número mais 3 é maior que 4?

Resolução:

2x + 3 > 4 (Conversão: transformação do registo linguagem natural para o registo algébrico).

2x > 1 => x > 1/2 (Tratamento: transformações de representações dentro de um mesmo registo algébrico).

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Assim, a conversão é uma atividade cognitiva diferente e independente da atividade do tratamento. Por exemplo, um aluno pode saber adicionar dois números escritos na forma decimal e também dois números escritos na forma fracionária, mas não consegue proceder à conversão de um número fracionário em decimal. Outro exemplo, um aluno consegue resolver um sistema de inequações representado na forma algébrica aplicando os princípios de equivalência e sabe interpretar os dados de um gráfico e encontrar as soluções, porém não sabe fazer a conversão entre os dois registos de representação.

De acordo com Duval (2003), a conversão, principalmente nos seus dois sentidos, é que é relevante para a aprendizagem em Matemática, sendo assim importante utilizá-la nas atividades de ensino. O mesmo autor refere que a conversão deve ser privilegiada comparativamente ao tratamento, devido ao facto de esta não ser tão evidente e espontânea para a maioria dos alunos (Duval, 2009).

Por sua vez, o uso de diversos registos de representação no processo de ensino aprendizagem permite efetuar o tratamento de uma forma mais económica e rápida, e proceder à complementaridade dos registos de representação, pois, segundo Duval (2009), todos os registos de representação são parciais. A coordenação entre diferentes registos de representação também é importante, pois a conceitualização implica essa coordenação. No entanto, não parece ser possível realizá-la no âmbito de um ensino que seja determinado principalmente por conceitos, podendo ocorrer uma divisão entre os diferentes registos de representação por parte dos alunos. Neste caso, os alunos não reconhecem o mesmo objeto através de diferentes representações que lhes são dadas em diferentes sistemas semióticos. Por exemplo: a escrita algébrica de uma relação e a sua representação gráfica, a escrita numérica de uma relação e sua relação geométrica numa reta ou num plano, o enunciado de uma fórmula em linguagem natural e sob a forma literal, a descrição de uma situação e sua conversão numa equação.

São muitas as explicações que justificam a separação entre os registos de representação e, portanto, a não coordenação entre eles. Uma delas é a da “não-congruência” entre eles, pois quando há congruência entre os registos, a conversão torna-se trivial e pode ser considerada intuitivamente como um simples processo de codificação, mas, quando não há congruência, a conversão torna-se onerosa em termos de tratamento. Como afirma Duval (1993, p. 63), “(…) não pode ocorrer uma verdadeira aprendizagem quando as situações e tarefas propostas não levam em conta a

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necessidade de diversos registos de representação, para o funcionamento cognitivo do pensamento, e o caráter central de conversão”.

A noção de congruência e não-congruência semântica no contexto da Matemática, apresentada por Duval (1988a), é um fenómeno característico da atividade de conversão, assim como também é a heterogeneidade dos dois sentidos da conversão. A substituição de uma expressão por outra é uma característica muito importante do funcionamento cognitivo do pensamento matemático e uma propriedade intrínseca aos registos de representação semióticos. Os fenómenos de congruência e não-congruência são importantes para esta substituição (Duval, 1988b).

Para que ocorra o fenómeno da congruência na conversão de um registro de representação para outro, são necessários três critérios: correspondência semântica entre unidades significantes que constituem os registos de representação; a mesma ordem possível de compreensão destas unidades, nos dois registos de representação; e a conversão de uma unidade significante do registo representação de partida a uma só unidade significante no registro de representação de chegada (Duval, 2009). As dificuldades associadas à não-congruência semântica podem estar associadas a situações que impõem ou não um operador (conceito); bem como às situações em que não impõem um operador ou ainda podem depender do desconhecimento das representações semióticas (Duval, 1988b; 2009).

Duval (1993), no intuito de elucidar a relevância do fenómeno de não-congruência na aprendizagem dos conceitos matemáticos, analisou algumas situações. Por exemplo, o seguinte problema diz respeito à compreensão do enunciado de um problema de proporcionalidade:

Eu paguei 51 francos por 6 kg de laranjas [...]

1. Que quantidade de laranjas terei com 85 francos?

2. Quanto deverei pagar por 4 kg de laranjas? (Duval, 1993, p. 9)

A primeira questão deste problema permite utilizar diretamente o operador “função” – “a (kg) custam b (francos)”, a questão então é congruente ao enunciado. A segunda questão implica uma inversão do operador “função”, a questão não é congruente ao enunciado. No estudo de Duval (1993), refere-se que os alunos, que realizaram esta tarefa, obtiveram sucesso na primeira questão, mas não na segunda questão. Consequentemente, Duval (2003) sugere que, na escolha das tarefas a lecionar, se deve ter em conta duas condições: tarefas que abordem os dois sentidos da conversão