Ancoragem da Unidade no Programa de Matemática

O Programa Nacional de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007) em vigor quando da minha intervenção pedagógica está organizado por temas e não por anos. Assim, no 9.º ano de escolaridade, por decisão do Departamento de Matemática e Ciências Experimentais da escola, são abordados seis tópicos: Probabilidades; Funções; Equações; Circunferência; Números Reais e Inequações; e Trigonometria no Triângulo Retângulo. O tema de ensino abrangido neste trabalho denomina-se Inequações do 1.º Grau a uma Incógnita e é um subtópico que se insere no quinto tópico, dos Números Reais e Inequações e na unidade de ensino de Álgebra. Os autores do Programa de Matemática optaram por associar o estudo dos Números Reais e das Inequações, devido à estreita ligação existente entre as propriedades das relações de ordem em |R e a resolução de inequações (DGIDC, 2007).

O principal propósito do estudo da Álgebra nos ensinos básico e secundário, previsto pelo Programa de Matemática, consiste em desenvolver o pensamento algébrico dos alunos. Kieran (2007) refere que, num nível mais avançado, este pensamento se manifesta no uso de expressões simbólicas e de equações em vez de números e operações. No entanto, para os alunos que ainda não aprenderam as notações algébricas, as formas de pensamento mais geral sobre números, operações e notações, como o sinal de igual, podem efetivamente ser consideradas algébricas. Esta investigadora afirma que: “O pensamento algébrico pode ser interpretado como uma abordagem às situações quantitativas, que evidencia os aspetos relacionais das mesmas, com recurso a ferramentas que não são necessariamente letras usadas como símbolos e que podem ser utilizadas como suporte cognitivo para a introdução e sustentação do discurso mais característico da Álgebra escolar” (Kieran, 1996, pp. 274-275).

Pensar algebricamente abrange conhecer várias formas de representação, nomeadamente as simbólicas. Implica flexibilidade na mudança entre modos de representação, bem como a capacidade de operar com símbolos, em contexto e quando adequado (Schoenfeld, 2008). Este pensamento inclui a capacidade de lidar com relações e estruturas matemáticas, como por exemplo expressões algébricas, equações,

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inequações, sistemas de equações e de inequações e funções; e usá-las na interpretação e resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios (Ponte, Branco & Matos, 2009).

O trabalho envolvendo relações tem início no 1.º ciclo, no tema Números e Operações. Estabelecem-se relações numéricas e promove-se a compreensão das operações, das suas propriedades e das relações entre diferentes operações. Neste ciclo, os alunos devem descrever e representar as relações que identificam usando a linguagem natural e, progressivamente, usando também alguns símbolos matemáticos, como o sinal de igualdade (=) e os sinais de desigualdade menor e maior (< e >) (DGIDC, 2007).

No 2.º ciclo, procura-se que os alunos desenvolvam a capacidade de identificar relações e de as representar recorrendo à linguagem simbólica, contribuindo, assim, para o desenvolvimento do seu pensamento algébrico, e consequentemente, preparando-os para a compreensão da linguagem algébrica. Neste ciclo, as relações de igualdade e de ordem (menor e maior) desempenham um papel importante na aprendizagem da comparação e ordenação no tópico Números Racionais Não Negativos (DGIDC, 2007). No 3.º ciclo, trabalha-se com relações matemáticas mais complexas como funções e condições envolvendo expressões algébricas (equações, inequações, sistemas de equações e inequações) (Ponte, Branco & Matos, 2009). Neste ciclo, pretende-se que os alunos sejam capazes de simplificar essas expressões algébricas, em simultâneo com a aprendizagem das sequências, das funções, das equações e das inequações, procurando-se assim que estas façam sentido para os alunos (DGIDC, 2007). No entanto, o trabalho com expressões algébricas implica uma atenção específica, de modo a que os alunos percebam com que objeto estão a trabalhar, que operações podem efetuar e que equivalências podem obter.

Na preparação das aulas a lecionar, no âmbito da minha intervenção letiva, tive em consideração o principal propósito de ensino e os objetivos gerais de aprendizagem de Álgebra (DGIDC, 2007), respeitantes ao 3.º ciclo do ensino básico, com as devidas adaptações ao tópico de Inequações. Assim, de acordo com o Programa Nacional de Matemática do Ensino Básico, a unidade de ensino de Álgebra tem como propósito principal:

Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébrico, bem como a capacidade de interpretar, representar e resolver problemas usando procedimentos algébricos e de utilizar estes conhecimentos e

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capacidades na exploração e modelação de situações em contextos diversos. (DGIDC, 2007, p. 55)

Adicionalmente, segundo este programa, ao longo de toda a unidade, os alunos devem ter oportunidade de interpretar e representar situações em contextos diversos, usando linguagem e procedimentos algébricos; resolver problemas, comunicar, raciocinar e modelar situações recorrendo a conceitos e procedimentos algébricos; justificar os raciocínios que elaboram e as conclusões a que chegam. Consequentemente, estes objetivos gerais de aprendizagem da Álgebra foram então trabalhados ao longo da sequência das tarefas propostas aparecendo uns de forma mais evidente do que outros nas várias atividades.

O Programa de Matemática refere ainda que: “No 3.º ciclo, institucionaliza-se o uso da linguagem algébrica, trabalha-se com expressões, equações, inequações e funções, procurando desenvolver no aluno a capacidade de lidar com diversos tipos de relações matemáticas e estudar situações de variação em contextos significativos.” (DGIDC, 2007, p. 7).

O subtópico de Inequações do 1.º grau é abordado pela primeira vez no 9.º ano, devendo ter-se presente os conhecimentos previamente adquiridos, em particular no que respeita ao tópico Equações e ao tópico Números Reais. Assim, com base nos objetivos específicos do Programa de Matemática, as aulas lecionadas no âmbito deste estudo foram planeadas na perspetiva de, após o conjunto das aulas, os alunos fossem capazes de:

 Compreender a noção de inequação e a sua terminologia:

Os alunos devem ter presente que o estudo das inequações baseia-se, não na noção de igualdade como as equações, mas sim na noção de desigualdade. Além disso, para evitar uma mecanização de procedimentos na resolução de inequações, propus numa primeira fase aos alunos experiências informais simples antes da resolução algébrica formal. Essas experiências são essenciais para a compreensão dos conceitos e do fundamento dos procedimentos a seguir.

 Resolver inequações do 1.º grau utilizando as regras de resolução:

A resolução formal de inequações surgiu, numa segunda fase, como o processo adequado para lidar com situações de maior complexidade.

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Introduzi progressivamente a formalização de questões para ajudar os alunos a fazer uma transição progressiva da linguagem natural para a linguagem matemática.

Além disso, “É importante verificar em que casos as regras para a resolução de inequações não mudam em relação às regras conhecidas para as equações (transposição de termos e multiplicação de ambos os membros por um mesmo número positivo) e em que casos são diferentes (multiplicação de ambos os membros por um mesmo número negativo).” (DGIDC, 2007, p. 156). A razão de ser desta diferença foi analisada, tendo por base desigualdades numéricas.

 Compreender a noção de solução de uma inequação:

Na resolução das tarefas evidenciei o facto de uma inequação poder ter infinitas soluções, ao contrário de uma equação. Adicionalmente, incentivei os alunos a analisar se todas as soluções de uma inequação são solução de um dado problema salientando que essa escolha depende do objetivo da questão e/ou contexto da situação.

 Compreender qual a natureza do conjunto-solução de uma inequação; e representar o conjunto-solução graficamente, em compreensão e na forma de intervalos de números reais:

Para resolver inequações, os alunos necessitam de conhecer bem o conjunto dos números reais. É fundamental que os alunos compreendam os intervalos como subconjuntos de |R, representem e interpretem intervalos de números reais (Ponte, Branco & Matos, 2009). Este tema foi estudado no tópico dos Números Reais na turma. Tendo presente esse facto, enfatizei a diferença entre os sinais de desigualdade (≤, ≥, < e >) e o tipo de intervalo correspondente (aberto ou fechado). Além disso, salientei a importância de elaborar a respetiva representação na reta real, uma vez que esta facilita a identificação do conjunto-solução. O uso de representações gráficas desempenha um papel positivo na aprendizagem dos alunos, uma vez que os ajuda a compreender melhor o que é uma inequação e a natureza do seu conjunto-solução (Tsamir, Almog & Tirosh, 1998).

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 Compreender as noções de disjunção e de conjunção de inequações (ou sistemas de inequações):

Os alunos devem estabelecer corretamente a reunião e a intersecção de conjuntos em situações de disjunção e conjunção de condições.

 Conceber e pôr em prática estratégias de resolução de situações problemáticas envolvendo inequações, disjunção e conjunção de inequações, e verificar a adequação dos resultados obtidos:

O estudo das inequações proporciona aos alunos um amplo conjunto de ferramentas para a modelação de situações da realidade. A resolução de problemas, como já referido no Capítulo 2, constitui a primeira capacidade transversal do Programa de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007), e estabelece uma ligação entre o conhecimento matemático e a realidade. Assim, durante as aulas, propus situações problemáticas envolvendo inequações, para que os alunos pudessem aplicar os conhecimentos adquiridos no âmbito deste tema e desenvolver novas aprendizagens.

Salientei igualmente a importância de verificar se a solução resultante da resolução das inequações é adequada ao contexto do problema. Além disso, abordei a formulação de novos problemas.

 Estabelecer conexões com outros temas da Matemática:

Para proporcionar uma maior riqueza de significados aos objetos e procedimentos algébricos, explorei, na sala de aulas, o estabelecimento de conexões entre o estudo das inequações com outros temas da Matemática, nomeadamente Geometria e Probabilidades.

Quanto às capacidades transversais, pretendia que o estudo das inequações contribuísse para o aluno desenvolver:

 O raciocínio matemático: formulação e verificação de conjeturas.

O estudo das inequações baseia-se na noção de desigualdade, o que proporciona aos alunos um tipo de raciocínio muito diferente do que se usa na resolução de equações e sistemas de equações. As tarefas exploratórias propostas exigiram que os alunos compreendessem e praticassem a resolução

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de inequações, e comparassem com a resolução de equações. Além disso, os alunos tiveram que enfrentar situações problemáticas ligadas à realidade, e raciocinar sobre o que aprenderam sobre inequações para os resolver.

 A comunicação matemática oral e escrita, recorrendo à linguagem natural e à linguagem matemática, interpretando, representando, expressando e discutindo resultados, processos e ideias matemáticos:

Os alunos tiveram que participar oralmente, utilizando uma linguagem matemática e um raciocínio matemático apropriados, nas discussões que se seguiram às atividades exploratórias, exercícios e situações problemáticas/problemas. Tiveram também que justificar por escrito as suas opções na resolução de situações problemáticas.

 A resolução de exercícios e problemas: compreensão; conceção, aplicação e justificação de estratégias.

A resolução de problemas é essencial. Como já foi referido anteriormente, a resolução de problemas é um dos principais objetivos da aprendizagem em Matemática, e permite a ligação entre o conhecimento matemático e a realidade.