Nota importante: U é a matriz condensada obtida no processo de condensação da matriz

(1)

Decomposi¸c˜

ao P

T

LU

A denominada decomposi¸cão PT_{L U é um processo que pode ser extremamente útil no}

cálculo computacional, na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares.

Propriedade 1 Seja A uma matriz do tipo m × n. Ent˜ao existem matrizes P , L e U tais

que

A = PTL U

em que P é uma matriz de permuta¸cão de ordem m, L é uma matriz quadrada triangular

inferior de ordem m com elementos diagonais iguais a um e U ´e uma matriz em escada de linhas do tipo m × n.

Nota importante: U ´e a matriz condensada obtida no processo de condensa¸c˜ao da ma-triz A.

Gra¸cas a esta decomposi¸c˜ao, o sistema AX = b pode ser resolvido nos seguintes passos:

AX = b ⇔ PT_{L UX = b ⇔ P P}T_{L UX = P b ⇔ L UX} |{z} Y = P b ↑ ↑ ↑ A = PT_{L U} _PT _{= P}−1 _{P P}T _{= P P}−1_{= I} m

1. Resolver o sistema (triangular) L Y = P b ; 2. Resolver o sistema (condensado) U X = Y ;

A vantagem fundamental deste processo reside no facto de a resolu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares com uma matriz A dos coeficientes qualquer poder ser feita à custa da resolu¸cão de um sistema triangular e de um sistema condensado (no caso particular de A ser quadrada, então o sistema U X = Y é também um sistema triangular).

Por outro lado, a decomposi¸cão PT_{L U é particularmente útil em processos em que temos}

que resolver um elevado número de sistemas de equa¸cões lineares com a mesma matriz dos coeficientes e em que apenas o vector dos termos independentes muda. Neste caso, para cada novo sistema, apenas temos que resolver um sistema triangular e um sistema condensado, uma vez que a decomposi¸cão PT_{L U é sempre a mesma.}

(2)

Seguidamente, apresentamos algumas defini¸cões e propriedades, assim como os passos ne-cessários à obten¸cão da decomposi¸cão PT_{L U de uma matriz:}

Defini¸c˜ao 1 Chama-se matriz elementar de ordem n a uma matriz, habitualmente

denotada por Eij(α), com i, j = 1, 2, ..., n, i 6= j e α ∈R, que se obt´em da matriz identidade

de ordem n substitu´ındo o zero na posi¸c˜ao (i, j) por α.

Exemplos:

1. Nas matrizes de ordem 3, podemos considerar as seguintes matrizes elementares:

E21(−3) =   _{−3 1 0}1 0 0 0 0 1   _E₃₁_{(2) =}   1 0 0_{0 1 0} 2 0 1  

2. Nas matrizes de ordem 4, podemos considerar as seguintes matrizes elementares:

E31(5) =     1 0 0 0 0 1 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1     E43(−1 2) =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −1 2 1    

Propriedade 2 Seja A uma matriz do tipo m × n.

1. O produto Eij(α) A corresponde a efectuar a opera¸c˜ao elementar por linhas Li ←

Li+ α Lj;

2. O produto A Eij(α) corresponde a efectuar a opera¸c˜ao elementar por colunas Cj ←

Cj + α Ci;

3. Eij(α)−1 = Eij(−α) .

Defini¸c˜ao 2 Chama-se matriz de permuta¸c˜ao de ordem n a uma matriz, habitual-mente denotada por Pij, com i, j = 1, 2, ..., n, i 6= j, que se obt´em da matriz identidade de

ordem n por troca das suas linhas i e j.

Exemplos:

1. Nas matrizes de ordem 3, podemos considerar as seguintes matrizes de permuta¸c˜ao:

P13 =   0 0 1_{0 1 0} 1 0 0   _P₂₃₌   1 0 0_{0 0 1} 0 1 0  

(3)

2. Nas matrizes de ordem 4, podemos considerar as seguintes matrizes de permuta¸c˜ao: P13 =     0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1     P24=     1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0    

Propriedade 3 Seja A uma matriz do tipo m × n.

1. O produto PijA corresponde a efectuar a opera¸c˜ao elementar por linhas Li ↔ Lj;

2. O produto A Pij corresponde a efectuar a opera¸c˜ao elementar por colunas Ci ↔ Cj;

3. PT

ij = Pij (ou seja, a matriz Pij ´e sim´etrica) e Pij−1 = Pij.

Observa¸c˜ao: Por 3, tem-se portanto P−1

ij = PijT .

De acordo com as defini¸cões e propriedades apresentadas anteriormente, constata-se facil-mente que o processo de condensa¸cão, que transforma uma matriz numa matriz em escada de linhas, pode ser descrito à custa de multiplica¸cões por matrizes elementares e por ma-trizes de permuta¸cão.

Podemos ent˜ao escrever, sem perda de generalidade,

Ei1j1(α1) Ei2j2(α2) Pk1l1Ei3j3(α3) . . . Pk2l2Eimjm(αm) . . . PktltEipjp(αp) A = U

Atendendo a que Ei1j1(α1)−1 = Ei1j1(−α1), temos que

Ei2j2(α2) Pk1l1Ei3j3(α3) . . . Pk2l2Eimjm(αm) . . . PktltEipjp(αp) A = Ei1j1(−α1) U e ent˜ao tamb´em

Pk1l1Ei3j3(α3) . . . Pk2l2Eimjm(αm) . . . PktltEipjp(αp) A = Ei2j2(−α2) Ei1j1(−α1) U Uma vez que P−1

k1l1 = Pk1l1,

Ei3j3(α3) . . . Pk2l2Eimjm(αm) . . . PktltEipjp(αp) A = Pk1l1Ei2j2(−α2) Ei1j1(−α1) U e assim sucessivamente.

Este processo termina com

(4)

Sendo A uma matriz do tipo m × n, ´e poss´ıvel mostrar que se podem multiplicar as sucessivas matrizes elementares pelas matrizes de permuta¸c˜ao, de forma a obter

A = P_|ktlt . . . P_{zk2l2Pk1l_}1 PT Eipjp(−αp) . . . Ei2j2(−α2) Ei1j1(−α1) | {z } L U

em que PT _{(de ordem m) se escreve como produto de matrizes de permuta¸c˜ao e L (de}

or-dem m) se escreve como produto de matrizes elementares da forma Eij(α), com i > j, que

são matrizes triangulares inferiores com elementos diagonais iguais a um e cujo produto é também uma matriz triangular inferior com elementos diagonais iguais a um.

Tem-se ent˜ao

A = PTL U

Nota importante: PT _{= I}

m se n˜ao houve trocas (de linhas ou colunas) no processo de

condensa¸c˜ao da matriz A. Exemplos:

1. Determinar a decomposi¸c˜ao PT_{L U da matriz A =}

  1 1 0_{3 3 1} 0 2 1   3×3 . Procedamos `a condensa¸c˜ao desta matriz:

A =   1 1 0_{3 3 1} 0 2 1   −→ L2 ← L2 − 3 L1   1 1 0_{0 0 1} 0 2 1   −→ L2 ↔ L3   1 1 0_{0 2 1} 0 0 1   = U Podemos ent˜ao concluir que

P23E21(−3) A = U

Ent˜ao

P23E21(−3) A = U ⇔ E21(−3) A = P23U ⇔ A = E21(3) P23U

↑ ↑

(5)

Portanto A = E21(3) P23U =   1 0 0_{3 1 0} 0 0 1   P23U =   1 0 0_{3 0 1} 0 1 0   | {z } Primeiro trocar colunas (2 e 3) U = P23   1 0 0_{0 1 0} 3 0 1   | {z } Depois trocar linhas (2 e 3) U Temos ent˜ao A = PT_{L U} com PT _{= P} 23 =   1 0 0_{0 0 1} 0 1 0   3×3 e L =   1 0 0_{0 1 0} 3 0 1   3×3 . 2. Resolver o sistema    x + y = −1 3 x +3 y + z = 0 2 y + z = 5 , usando a decomposi¸c˜ao PT_{L U da}

matriz dos coeficientes do sistema.

forma matricial    x + y = −1 3 x +3 y + z = 0 2 y + z = 5 ⇔   1 1 0_{3 3 1} 0 2 1   | {z } A ×   x_y z   | {z } X =   −1₀ 5   | {z } b

Observa¸c˜ao: A matriz A dos coeficientes do sistema ´e a matriz do exemplo anterior; tem-se portanto A =   1 0 0_{0 0 1} 0 1 0   | {z } PT_(=P₂₃₎ ×   1 0 0_{0 1 0} 3 0 1   | {z } L ×   1 1 0_{0 2 1} 0 0 1   | {z } U

(6)

Ent˜ao 1. Resolver o sistema L Y = P b L Y = P b ⇔   1 0 0_{0 1 0} 3 0 1   ×   y_y1₂ y3   = P23×   −1₀ 5   ⇔    y1 = −1 y2 = 5 3 y1 + y3 = 0 ⇔    y1 = −1 y2 = 5 y3 = 3 , ou seja, Y =   −1₅ 3   2. Resolver o sistema U X = Y U X = Y ⇔   1 1 0_{0 2 1} 0 0 1   ×   x_y z   =   −1₅ 3   ⇔    x + y = −1 2 y + z = 5 z = 3 ⇔    x = −2 y = 1 z = 3 , ou seja, X =   −2₁ 3  

O sistema ´e portanto poss´ıvel determinado e tem como solu¸c˜ao X =   −2₁

3  .

C´alculo de A−1 _{usando a decomposi¸c˜}_{ao P}T_{L U de A}

n×n (regular):

A = PT_{L U = P}−1_{L U ⇒ A}−1 _{= (P}−1_{L U )}−1 _{= U}−1_L−1_P

↑

PT _{= P}−1

Caso particular: Se n˜ao houve trocas (de linhas ou colunas) no processo de condensa¸c˜ao,

PT _{= I}

n e tem-se