Razões - Introdução

(1)

metade

metade do do comprimecomprimento nto do do carro carro de de corrida.corrida. A

A comparacompara!o !o entre entre dois dois n"meros n"meros racionaisracionais,, através de uma divis!o, chama#se

através de uma divis!o, chama#se razãorazão..

A

A razraz!o !o podpode e tamtambém bém ser ser reprepreseresentadntadaa po

por r $:$:% % e e sisi&n&nifificica a quque e cacada da memetrtro o do do kakartrt corresponde a %m do carro de corrida.

corresponde a %m do carro de corrida. 'e

'enonomiminanamomos s dede razãorazão enentre doistre dois n"

n"memerosros aa ee bb ((bb difediferenrente te de zero)de zero)

o

o quociente quociente ouou a:ba:b.. A

A ppalalaavvrraa razãorazão, , vveem m ddo o llaattiimm ratioratio, , ee si&nifica divis!o. omo no e*emplo anterior, s!o si&nifica divis!o. omo no e*emplo anterior, s!o di

diveversrsas as as as sisitutuaa+e+es s em em quque e ututililizizamamos os oo conceito de raz!o. *emplos:

conceito de raz!o. *emplos:

•

• 'o'os s $%$%-- -- ininscscriritotos s nnum um coconcncurursoso,,

p

paassssaarraam m %%- - ccaannddiiddaattooss.. /a

/azz!!o o ddoos s cacannddididaatotos s aapprrovovaaddoos s nnesesssee concurso:

concurso:

(d

(de e cacada da 00 candidatos inscritos, $ foi aprovado).

candidatos inscritos, $ foi aprovado).

•

• PaPara ra cacada da $-$-- - coconvnvididadadosos, , 10 10 ereramam

mulheres. mulheres.

/az!o entre o n"mero de mulheres e o n"mero /az!o entre o n"mero de mulheres e o n"mero de convidados:

de convidados:

((dde e ccaadda a  convidados, 2 eram mulheres).

convidados, 2 eram mulheres). 3bserva+es:

3bserva+es:

A

A raz!o raz!o entre entre é é .. Termos de uma razão

Termos de uma razão

3bserve a raz!o: 3bserve a raz!o:

(l4#se

(l4#se a a est5 est5 para para b b ou ou aa para b).

para b).

7a

7a raraz!z!oo aa::bb oou u , o , o nn""mmeerroo aa éé de

denonomiminanadodo antecedenteantecedente e o e o nn""mmeerroo bb éé denominado

denominado consequenteconsequente. Ve8a o e*emplo:. Ve8a o e*emplo:

2:0 2:0 99

e

eituitura da ra da razraz!o:!o: 3 está para 5 3 está para 5 ouou 33 para 5

para 5 ..

Razões inversas

onsidere

onsidere as as raz+es raz+es .. 3bserve

3bserve que que o o produto produto dessas dessas duas duas raz+esraz+es

é

é i&ual i&ual a a $, $, ou ou se8a, se8a, ..

7esse

7esse casocaso, , podpodemoemos s afirafirmar mar queque s!o

s!o razões inversasrazões inversas.. 'ua

'uas s razraz+es +es s!o s!o invinverersas sas enentre tre sisi quando o produto delas é i&ual a $. quando o produto delas é i&ual a $.

*emplo:

s!

s!o o rraazz+e+es s iinvnveerrsasas, s, ppooisis

.. V

Veerirififiqque ue quque e nanas s raraz+z+es es ininveversrsas as oo antecedente de uma é o consequente da outra, e antecedente de uma é o consequente da outra, e vice#versa. vice#versa. 3bserva+es: 3bserva+es: 1 1 R R AA ZZ ÕÕ EE S S E E PP RR OO PP OO RR ÇÇ ÕÕ EE S S

(2)

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(3)

$) ;

$) ;ma rma raz!o az!o de de antecedenantecedente zete zero nro n!o !o possuipossui inversa.

inversa. %) Pa

%) Para dera determterminar inar a raa raz!o iz!o invernversa de sa de umauma raz!o dada, devemos permutar (trocar) os seus raz!o dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

termos.

*emplo:

*emplo: 3 3 inverso inverso de de .. Razões equivalentes

Razões equivalentes

'ada uma

'ada uma raz!raz!o o entrentre e dois n"merodois n"meros, s, obtobtemosemos uma raz!o equivalente da se&uinte maneira:

uma raz!o equivalente da se&uinte maneira: <ult

<ultipliciplicandando#se o#se ou ou dividividinddindo#so#se e osos termos de uma raz!o por um mesmo termos de uma raz!o por um mesmo n"mero racional (diferente de zero), n"mero racional (diferente de zero), obtemos uma

obtemos uma razão equivalenterazão equivalente..

*emplos:

s

são ão rraazõzõeses equivalentes

equivalentes..

s

sãão o rraazzõõeess equivalentes

equivalentes..

Razões entre grandezas da mesma espécie

3 conceito é o se&uinte: 3 conceito é o se&uinte:

'eno

'enominamina#se #se raz!raz!o o entrentre e &ra&randendezas zas dede me

mesmsma a esespépécicie e o o ququococieientnte e enentrtre e osos n"

n"memeroros s quque e e*e*prpresessasam m as as memedididadass dessas &randezas numa mesma unidade. dessas &randezas numa mesma unidade. *emplos:

*emplos: 1)

1) alcular a raz!o entre a altura de dois alcular a raz!o entre a altura de dois an+es, sabendo que o

an+es, sabendo que o primeiro possui uma alturaprimeiro possui uma altura h

h$$9 $,%-m e o se&undo possui uma altura h9 $,%-m e o se&undo possui uma altura h%%99

$,0-m. A raz!o entre as alturas h

$,0-m. A raz!o entre as alturas h$$ e h e h%% é dada por: é dada por:

2)

2) 'eterminar a raz!o entre as 5reas das 'eterminar a raz!o entre as 5reas das sup

supererf=cif=cies es dadas s ququadradras as de de v>lv>lei ei e e babasqusqueteete,, sabendo que a quadra de v>lei possui uma 5rea sabendo que a quadra de v>lei possui uma 5rea de $?%m

de $?%m%%_{e a de basquete possui uma 5rea de}_{e a de basquete possui uma 5rea de}

%-m %-m%%_..

/az!

/az!o o entrentre e as as 5re5rea a da da quaquadra dra de de v>lev>lei i ee

Pa

Para ra dedetetermrmininar ar a a raraz!z!o o enentrtre e duduasas &r

&ranandedezazas s dde e espéespécicies es didifefererentnteses,, de

detetermrminina#a#se se o o qquouocicienente te enentrtre e asas med

medidas idas dessdessas as &ra&randezndezas. as. ssa ssa razraz!o!o deve ser acompanhada da nota!o que deve ser acompanhada da nota!o que relaciona as &randezas envolvidas.

relaciona as &randezas envolvidas. *emplos:

*emplos: 1)

1)Consumo médio:Consumo médio:

•

• @e@eatatririz z fofoi i de de !!o o PaPaululo o a a aampmpininasas

(B

(B%C%Cm) m) no no seseu u cacarrrro. o. DDororam am &a&aststos os nenessssee per

percurscurso o 6 6 litrolitros s de de comcombust=bust=vel. Eual a vel. Eual a razraz!o!o entre a distFncia e o combust=vel consumidoG 3 entre a distFncia e o combust=vel consumidoG 3 que si&nifica essa raz!oG

que si&nifica essa raz!oG olu!ão:olu!ão:

/az!o 9 /az!o 9

/

/aazz!!o o 9 9 ((ll44##sse e $$$$,,00 quil>metros por litro).

quil>metros por litro). s

ssa sa raraz!z!o o sisi&n&nifificica a quque e a a cacada da lilitrtroo consumido foram percorridos em média $$,0 km. consumido foram percorridos em média $$,0 km.

2)

2)"elocidade média:"elocidade média:

•

• <o<oaciacir r fez fez o o pepercurcursrso o /io/io#!#!o o PaPauloulo

(

(0-0-CmCm) ) em em 0 0 hohorrasas. . EuEual al a a raraz!z!o o enentrtre e aa medida dessas &randezasG 3 que si&nifica essa medida dessas &randezasG 3 que si&nifica essa raz!oG raz!oG olu!ão: olu!ão: /az!o 9 /az!o 9 /a

/az!z!o 9o 9 90 km/h90 km/h (l4#se B- quil>metros (l4#se B- quil>metros por hora).

por hora). ss

ssa a razraz!o !o si&si&nifnifica ica quque e a a cadcada a horhoraa foram percorridos em média B- km.

foram percorridos em média B- km. #)

#)$ensidade demogr%fica:$ensidade demogr%fica:

•

• 3 estado do ear5 no "ltimo censo teve3 estado do ear5 no "ltimo censo teve

u

umma a ppooppuullaa!!o o aavvaalliiaadda a eem m ??..11--$$..BB%% h

haabbititaanntetes. s. uua a 55rreea a é é dde e $$00.?.?B B kmkm%%_..

'etermine a raz!o entre o n"mero de habitantes 'etermine a raz!o entre o n"mero de habitantes e

e a a 5r5rea ea dedesssse e esestatadodo. . 3 3 quque e sisi&n&nifificica a esessasa raz!oG raz!oG olu!ão: olu!ão: /az!o 9 /az!o 9 /az!o 9

/az!o 9 46 hab/km46 hab/km2 2 _{(l4#se ? habitantes}_{(l4#se ? habitantes}

por quil>metro quadrado). por quil>metro quadrado).

s

ssa sa raraz!z!o o sisi&n&nifificica a quque e em em cacadada qu

quilil>m>metetro ro ququadadrarado do e*e*isistetem m em em mémédidia a ?? habitantes.

habitantes. 4)

4) $e$ensnsididadade e a&a&sosoluluta ta ou ou mamassssaa espec'fica:

(4)

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(5)

Volume

Volume 9 9 $cm . $cm . $cm . $cm . $cm $cm 9 9 $cm$cm22

/az!o 9 /az!o 9 /az!o 9

/az!o 9 7,8 g/cm7,8 g/cm33_{(l4#se 1,6 &ramas por}_{(l4#se 1,6 &ramas por}

cent=metro c"bico). cent=metro c"bico).

ssa

ssa razraz!o !o si&nsi&nifica ifica que que $cm$cm22_{de ferro}_{de ferro}

pesa 1,6&. pesa 1,6&.

/o

/o&e&eriri!o !o e e llauaudidinhnho o papasssseieiam am cocom m seseusus cac

cachorhorrosros. . /o&/o&ereri!o i!o pepesa sa $%$%-k&-k&, , e e seseu u c!c!o,o, -k&. laudinho, por sua vez, pesa 6k&, e seu -k&. laudinho, por sua vez, pesa 6k&, e seu c!o, $?k&.

c!o, $?k&. 3b

3bseservrve e a a raraz!z!o o enentrtre e o o pepeso so dodos s dodoisis rapazes:

rapazes:

3bserve, a&ora, a raz!o entre o peso dos 3bserve, a&ora, a raz!o entre o peso dos cachorros:

cachorros:

Verificamos que as duas raz+es s!o i&uais. Verificamos que as duas raz+es s!o i&uais. 7esse caso, podemos afirmar que a i&ualdade 7esse caso, podemos afirmar que a i&ualdade

é uma

é uma propor!ãopropor!ão. Assim:. Assim: (ropor!ão

(ropor!ão é uma i&ualdade é uma i&ualdade entre duas raz+es.

entre duas raz+es. lementos de uma propor!ão

lementos de uma propor!ão

'ados quatro n"meros racionais a, b, c, d, n!o# 'ados quatro n"meros racionais a, b, c, d, n!o# nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma propor!o quando a raz!o do $H para o %H for uma propor!o quando a raz!o do $H para o %H for i&ual I raz!o do 2H para o H. Assim:

i&ual I raz!o do 2H para o H. Assim:

ou

a:b=c:d a:b=c:d (l4#se 

(l4#se aa est5 para est5 para bb assim como assim como c c est5 para est5 para d d ))

*emplo: *emplo:

'

'aadda a a a pprrooppoorr!!o o , , tteemmooss:: eit

eitura: ura: 2 2 est5 est5 parpara a   assiassim m comcomo o %1 %1 est5est5 p

paarraa 22??..

Meios:

Meios:  e %1  e %1 !tremos:!tremos: 2 e 2? 2 e 2? (ropriedade fundamental das propor!ões

(ropriedade fundamental das propor!ões

3bserve as se&uintes propor+es: 3bserve as se&uintes propor+es:

Prod

Produto uto dos dos meiomeioss 9

9 ..22- - 9 9 $$%%- -P

Prroodduutto o ddooss e*t

e*treremos 9 mos 9 2.2.- - 99

$%-Prod

9 BB..%%- - 9 9 $$66- -P

e*treremos 9 mos 9 ..0 0 99

$6-Prod

9 66..0 0 9 9 22??- -P

e*treremos 9 mos 9 0.10.1% % 99

2?-'e

'e modo modo &eral, &eral, temos temos que:que:

'a=

'a= popodedemomos s enenununciaciar r a a prpropropriediedadadee fundamental das propor+es:

fundamental das propor+es: m

m totoda da prpropoporor!!o, o, o o prprododututo o dodoss m

meeiioos s é é ii&&uuaal l aao o pprroodduutto o ddooss e*tremos.

e*tremos.

+plica!ões da propriedade fundamental

$etermina!ão do termo descon,ecido de uma $etermina!ão do termo descon,ecido de uma propor!ão

propor!ão *emplos: *emplos:

•

• 'etermine o valor de * na propor!o:'etermine o valor de * na propor!o:

olu!ão: olu!ão: 5

5 " " ! ! = = 8 8 " " ##5 5 (ap(aplicanlicando do aa p

prroopprriieeddaadde e ffuunnddaammeennttaall)) 5 5 " " ! ! = = ##220 0

roporções

Introdução

(6)

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(7)

•

• 'etermine o valor de * na propor!o:'etermine o valor de * na propor!o:

olu!ão: olu!ão: 5

5 " " $!%$!%3& 3& = = 4 4 " " $2$2!'#!'#&& (aplicand(aplicando o aa p

prroopprriieeddaadde e ffuunnddaammeennttaall)) 5 5! ! % % ##5 5 = = 88! ! ' ' 44 5 5! ! % % 88! ! = = 4 4 ' ' ##5 5 %%33! ! = = ##99 3 3! ! = = %%##99 ! = ! = o&o, o valor de

o&o, o valor de ! ! é é ..

•

• 3s n"meros 0, 6, 20 e * formam, nessa3s n"meros 0, 6, 20 e * formam, nessa

ordem, uma propor!o. 'etermine o valor de *. ordem, uma propor!o. 'etermine o valor de *.

olu!ão: olu!ão:

(aplicand

(aplicando o a a propriedpropriedadeade fundamental) fundamental) 5 " ! 5 " ! = = 8 8 " " 335 5 5 5!! == 228800 ! = 56 ! = 56 o&o,

o&o, o o valor valor dede ! ! é é 0?0?.. Re

Resolsolu!u!ão ão de de propro&le&lemamas s envenvolvolvenendodo propor!ões

propor!ões *emplo: *emplo:

•

• 7uma salina, de cada metro c"bico (m7uma salina, de cada metro c"bico (m22))

de 5&ua sal&ada, s!o retirados - dm

de 5&ua sal&ada, s!o retirados - dm22_{de sal.}_{de sal.}

Pa

Para ra obobtetermrmos os % % mm22 _de_{de sal}_sal,_{, qu}_quan_antos_{tos me}_metro_tros_s

c"bicos de 5&ua sal&ada s!o necess5riosG c"bicos de 5&ua sal&ada s!o necess5riosG

olu!ão: olu!ão:

A

A quantidaquantidade de de de sal sal retirada retirada éé proporcional

proporcional ao voao volulume me de de 5&5&ua ua sasal&l&adadaa.. Jndi

Jndicamocamos s por por * * a a quaquantidntidade ade de de 5&u5&uaa sa

sal&l&aadda a a a seser r dedeteterrmiminanadda a e e aarrmmamamos os aa propor!o: propor!o: embre#se que -dm embre#se que -dm22_{9 -,-m}_{9 -,-m}22_.. ! = 50 m ! = 50 m22 o

o&o&o, , s!s!o o nenececess5ss5ririosos 0- 0- mm22 _{de 5&u}_{de 5&ua}_a

sal&ada. sal&ada.

-uarta proporcional

'ados tr4s n"meros racionais

'ados tr4s n"meros racionais a, ba, b e e c c , , n!o#nun!o#nulos,los, d

deennoommiinnaa##ssee quarta quarta propropoporcirciononalal dessesdesses n"meros um n"mero

n"meros um n"mero ! ! tal que: tal que:

•

• 'e'eterterminmine e a a ququararta ta prpropooporcirciononal al dosdos

n"meros 6, $% e ?. n"meros 6, $% e ?. olu!ão:

olu!ão: JnJndidicacamomos s popor r * * a a qquauartrtaa proporcional e armamos a propor!o:

proporcional e armamos a propor!o:

(ap

(apliclicanando do a a prpropropriediedadadee fundamental) fundamental) 8 8 " " ! = ! = ##2 2 " " 6 6 8 8 " " ! ! = = 772 2 ! ! = = 99 o&o,

o&o, a a quarta quarta proporcional proporcional éé BB.. (ropor!ão cont'nua

(ropor!ão cont'nua

onsidere a se&uinte propor!o: onsidere a se&uinte propor!o:

3b

3bserserve ve quque e os os seuseus s memeioios s s!o i&uas!o i&uais,is, s

seennddoo, , ppoor r iissssoo, , ddeennoommiinnaaddaa propor!ãopropor!ão cont'nua

cont'nua. Assim:. Assim:

Propor!o cont=nua é toda a propor!o Propor!o cont=nua é toda a propor!o que apresenta os meios i&uais.

que apresenta os meios i&uais. 'e

'e um um modo modo &eral, &eral, uma uma propor!propor!o o cont=nuacont=nua pode ser representada por:

pode ser representada por:

Terceira proporcional Terceira proporcional

'ados

'ados dois dois n"meros n"meros naturaisnaturais aa ee bb, n!o#, n!o# n

nuullooss, , ddeennoommiinnaa##ssee terterceceira ira proproporporciocionanall desses n"meros o n"mero

desses n"meros o n"mero ! ! tal que: tal que:

*emplo:

'ete

(8)

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(9)

(aplicando

(aplicando a a propriedadepropriedade fundamental) fundamental) 2 20 0 " " ! ! = = ##0 0 " " ##0 0 2 200! ! = = ##000 0 ! = 5 ! = 5

o&o, a terceira proporcional é 0. o&o, a terceira proporcional é 0.

.édia geométrica ou média proporcional .édia geométrica ou média proporcional

'ad

'ada a uma uma proproporpor!o !o contcont=nua =nua , , oo n"

n"mermeroo bb é deno é denominaminadodo média geométricamédia geométrica ouou média proporcional

média proporcional entre entre aa e e c c . *emplo:. *emplo:

•

• 'ete'eterminrmine e a a médimédia a &eo&eométrmétrica ica pospositivaitiva

e ennttrre e 0 0 e e %%--.. olu!ão: olu!ão: 5 " 2 5 " 20 0 = = b b " " bb # #0000 == bb2 2 b b2 2 ₌₌ _#_#0₀₀₀ b b == b = #0 b = #0

o&o, a média &eométrica positiva é $-. o&o, a média &eométrica positiva é $-. (ropriedades das propor!ões

(ropriedades das propor!ões

1/ propriedade: 1/ propriedade:

7u

7uma ma prpropoporor!!o, o, a a sosoma ma ddos os ddoioiss primeiros termos est5 para o %H (ou $H) primeiros termos est5 para o %H (ou $H) termo,

termo, ass

assim im comcomo o a a somsoma a dodos s dodois is "l"ltimtimosos est5 para o H (ou 2H).

est5 para o H (ou 2H).

Demonstração

onsidere

onsidere as as propor+es:propor+es:

Adicionan

Adicionando do $ $ a a cada cada membromembro obtemos:

obtemos:

•

• 'e'eterterminmine e * * e e K K na na prpropoopor!r!o o ,,

s saabbeennddo o qquue e **LLKK9966.. olu!ão: olu!ão: Assim: Assim: !'( = !'( = 84 84 =) =) ! = ! = 84%( 84%( =) =) ! = ! = 84%4884%48 =) !=36" =) !=36" o&o,

o&o, !=36 !=36 e e (=48 (=48 .. 2/ propriedade: 2/ propriedade: 7um

7uma a proproporpor!o, !o, a a difediferenrena a dos dos doisdois primeiros termos est5 para o %H (ou $H) primeiros termos est5 para o %H (ou $H) termo,

termo,

assim como a diferena dos dois "ltimos assim como a diferena dos dois "ltimos est5 para o H (ou 2H).

est5 para o H (ou 2H).

Demonstração

onsidere

onsidere as as propor+es:propor+es:

ubtraindo $ a cada membro obtemos: ubtraindo $ a cada membro obtemos:

(<ul (<ul t. os % membros por t. os % membros por #$) #$) *emplo: *emplo: •

• abendo#se queabendo#se que !%(=#8 !%(=#8 , determine, determine ! ! ee ( (

n

na a pprrooppoorr!!o o .. olu!ão:

olu!ão:

Pela %M propriedade temos que: Pela %M propriedade temos que:

!%(

(10)

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(11)

an

antetececededentntes es esest5 t5 papara ra a a sosoma ma dodoss consequentes,

consequentes,

assim como cada antecedente est5 para assim como cada antecedente est5 para o seu consequente.

o seu consequente.

Demonstração



oonnssiiddeerre e a a pprrooppoorr!!oo::

P

Peerrmmuuttaannddo o oos s mmeeiiooss, , tteemmooss::

Aplicando

Aplicando a a $M $M propriepropriedade, dade, obtemos:obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos: Permutando os meios, finalmente obtemos:

4/ propriedade: 4/ propriedade: 7

7uumma a pprrooppoorr!!oo, , a a ddiiffeerreenna a ddooss ante

antecedecedentes est5 ntes est5 parpara a a a difediferenrena a dosdos consequentes,

consequentes,

assim como cada antecedente est5 para o assim como cada antecedente est5 para o seu consequente.

seu consequente.

Demonstração



P

Peerrmmuuttaannddo o oos s mmeeiiooss, , tteemmooss::

Aplicando

Aplicando a a %M %M propriepropriedade, dade, obtemos:obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos: Permutando os meios, finalmente obtemos:

•

• abeabendo quendo que a%b = %24a%b = %24, determine, determine aa ee bb

n

na a pprrooppoorr!!o o .. olu!ão:

olu!ão:

Pela M propriedade, temos que: Pela M propriedade, temos que:

0/ propriedade: 0/ propriedade: 7

7uumma a pprrooppoorr!!oo, , o o pprroodduutto o ddooss an

antectecededenentes tes estest5 5 parpara a o o prprododuto uto dodoss consequentes,

consequentes, a

assssiim m ccoommo o o o qquuaaddrraaddo o dde e ccaaddaa ante

antecedecedente est5 nte est5 parpara a quaquadraddrado o do do seuseu consequente.

consequente.

Demonstração



<u

<ultltipiplilicacandndo os do os doiois mes membmbroros pos por r ,, temos:

temos:

Assim: Assim:

*bser+a-o:

*bser+a-o: a a 0M 0M prpropoprieriedadade de popode de seser r est

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EXPRESSÃO CULTURAL

la&orado (3R la&orado (3R *pressão Cultural *pressão Cultural