e para {0,1,...} 0 para os demais valores

Exercício Geoestatística :

1)O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson.

Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é dada por:

para {0,1,...}

( ) !

0 para os demais valores e

p x x



 



 

  

a)Qual é a probabilidade de que haja exatamente 18 chamadas telefônicas em 1 hora?

Exercício Geoestatística :

1)O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson.

Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é dada por:

para {0,1,...}

( ) !

0 para os demais valores e

p x x



 



 

  

a)Qual é a probabilidade de que haja exatamente 18 chamadas telefônicas em 1 hora?

(18) ?

P 

20 18

(18) 20 0, 084

18!

P e



  

 ^{P (18)  0, 084}

Exercício Geoestatística :

1)O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é frequentemente modelado com uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson.

Considere que, em média, há λ=20 chamadas por hora. A distribuição de Poisson é dada por:

para {0,1,...}

( ) !

0 para os demais valores e

p x x



 



 

  

a)Qual é a probabilidade de que haja 3 ou menos chamadas telefônicas em 30 minutos?

( 3) ?

P x  

20 60 min

? 30 min 10







 

 



( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)

P x   p x   p x   p x   p x 

10 0 10 1

10 10

(0) 0; (1) 0, 0005;

0! 1!

(2) 0, 0023; (3) 0, 0076

e e

P p

p p

 

   

 

( 3) 0 0, 0005 0, 0023 0, 0076 0, 0104 ( 3) 0, 0104

P x        P x  

2) Considere que o número de erros ao longo de uma superfície magnética gravadora seja uma variável aleatória de Poisson, com uma media de um erro a cada 10⁵ bits. Um setor de dados consiste em 4096 bytes de 8 bits.

para {0,1,...}

( ) !

0 para os demais valores

p x x



 

 

 

  ⁵

1 10 bits

 

1 setor de dados = 4096 8 = 32768  bits 1 100000

32768 0, 32768

bits

x bits







 

 



a)Qual a probabilidade de mais de um erro em um setor?

b)Qual a probabilidade de observar menos de dois erros em um setor?

1)A função densidade de probabilidade do tempo em horas de falha de um componente eletrônico de uma copiadora é f(x)=exp(-x/3000 para x>0 e f(x)=0, para ^x0 . Determine a probabilidade de que:

3000

para 0 ( ) 3000

0 para 0

x

e x

p x

x

 

 

  

a)Um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas.

(1000 2000) ?

P   x 

1)A função densidade de probabilidade do tempo em horas de falha de um componente eletrônico de uma copiadora é f(x)=exp(-x/3000 para x>0 e f(x)=0, para ^x0 . Determine a probabilidade de que:

3000

para 0 ( ) 3000

0 para 0

x

e x

p x

x

 

 

  

a)Um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas.

(1000 2000) ?

P   x 

2000 3000 2 1

3 3

1000

(1000 2000) [ ]

3000 [ 0, 2031] 0, 2031

x

P x e dx e e

  

     

   



Para qual valor de K a função f(x)=Ke^-x para x<0 é uma função densidade de probabilidade. Determine a sua média e variância.

Obs.: Lembrando que: Regra de integração por partes:

 udv  uv   vdu

Exemplo: Encontrar

2 x

x e dx



^{u  x}

^{dv  e dx}

2

du  xdx

^{v  e}

 x e dx

 x e

 2  xe dx

Agora, aplicamos integração por partes para a integral à direita. Seja

u  x

dv  e dx

^{du  dx}

^{v  e}

x x x x x

xe dx  xe  e dx  xe   e C

 

2 2 2

2[ ] 2 2

x x x x x x x

x e dx  x e  xe   e C  x e  xe  e  C



Distribuições Contínuas de Probabilidade: Seja X uma variável aleatória contínua. A função f(x) é uma função densidade de probabilidade se: f(x) 0 e









 1 dx ) x ( f

 Obs: P(a <X<b)=



a

dx ).

x ( f

Variância: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). Então, a variância de X é dada por:

2 2) [ ( )]

( )

(X E X E X

Var   , onde ^{E X( 2) x f x dx2. ( ).}







Resposta:

x

1 ke dx

 







0^

ke dx

 1



0

0

1 [ ] 1 [0 1] 1 1

ke

  k e

 e

  k     k

0 0

[ ] ( )

x x

x

dv e dx u x E x xf x dx xe dx

v e du dx

   



  

   

  

  

0 0 0

0

[ ] ( 1) (1)]

x x x x x

xe dx xe e dx xe e e e

 

 



 



 

  

 

0

0^

xe dx

    [ 1] 1



2 2

var[ ] x  E x [ ] ( [ ])  E x

2

2 2

0

[ ]

2

x x

x

u x dv e dx

E x x e dx

du xdx v e

  



  

  

  

 

2 2 2

0 0

[ ] 2 2[ ( 1)]

0

x x x x

E x x e e xdx x e e x



  



        

2 2 0

[ ] 0 2 1 2

E x   e

 e

  

0 0

var[ ] x    2 1

var[ ] 1 x 

1)Para qual valor de K a função f(x)=2Ke^-2x para x > 0 é uma função densidade de probabilidade. Determine a sua média e variância.

1)Para qual valor de K a função

( )

2 k

f x  e

para x > 0 é uma função densidade de probabilidade. Determine a sua média e variância.

EXERCÍCIO: