19. h z 3 e z dz 20. h x tg 2 xdx. xe 2x (1 2x) h dx 22. h (arcsen x) 2 dx 1/ h 0. x cos px dx 24. h h 1. r3 ln r dr 28.

Texto

(1)7.1. Exercícios. 1–2 Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e dv indicadas. 1.. yx. 2.. y cos d ;. ln x dx ; u 苷 ln x, dv 苷 x 2 dx. 2. u 苷 , dv 苷 cos d. 3–36 Calcule a integral. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17.. h x cos 5x dx h re dr h (x 2x) cos x dx h ln √–x dx h arctg 4t dt h t sec 2t dt h (ln x) dx h e sen 3u du. 4.. r/2. 6.. 2. 8.. 3. 2. 2. 2u. 10. 12. 14. 16. 18.. h xe dx h t sen 2t dt h t sen bt dt h sen x dx h p ln p dp h s 2 ds h t senh mt dt h e cos 2u du. 19.. hz e. 20.. h x tg x dx. 21.. h. 22.. h (arcsen x) dx. 23.. h. 0. 24.. h. 25.. h. 0. t cosh t dt. 26.. ln y h – √y. 27.. h. 1. r3 ln r dr. 28.. h. 29.. y h e. dy. 30.. h. 31.. h. cos1x dx. 32.. x) h (ln x. 33.. h cos x ln(sen x) dx. 34.. r h ––––– dr √4 r. 35.. h. 36.. he. 3 z. dz. xe2x 2 dx (1 2x) 1/2. 1. x cos px dx. x. 2. 1. 5. s. u. 3. 1. 0. 2y. 1/2 0. 2. 1. x4 (ln x)2 dx. 2. 2. 1 0. (x2 1) ex dx. 9. 4. 2p. t2 sen 2t dt. 0 – √3 1. arctg (1/x) dr 2. 2. 1. 3. t. dx. 3. 1. 0. 0. dy. 2. s. sen(t s) ds.

(2) 37–42 Primeiro faça uma substituição e então use integração por par- ; 59–60 Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas x. tes para calcular a integral. – 37. h cos √x dx 39. 41.. – √p –– √p/2. 3. h t e dt h e sen 2t dt h sen(ln x) dx. 2. t. 3. 38.. h u cos(u ) du h x ln(1 x) dx. dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, ache (aproximadamente) a área da região delimitada pelas curvas.. 2. p. 40.. 1. 59. y arcsen (2 x),MMy 2 x2. cos t. 0. 42.. 60. y x ln (x 1),MMy 3x x2. ; 43–46 Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta. é razoável, usando o gráfico da função e de sua primitiva (tome C 0). 43. 45.. h xe x dx – h x √–––– 1 x dx 2. 3. hx hx. 44. 46.. 2. 3/2. 2. ln x dx. 63. y ex,My 0,Mx 1,Mx 0;Mem torno de x 1. 47. (a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que. 2x h sen x dx x sen C 2. 4. (b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular hsen4x dx. 48. (a) Demonstre a fórmula de redução. h cos x dx 1 cos n. n1. n. x sen x . n1. h cos n. x dx. 49. (a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que p/2. 0. sennx dx . n1. h0 n. p/2. senn2x dx. onde n 2 é um inteiro. p/2 p/2 (b) Use a parte (a) para calcular h0 sen3x dx e h0 sen5x dx. (c) Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno, 2

(3) 4

(4) 6

(5) . . .

(6) 2n h0p/2 sen2n1x dx 3

(7) 5

(8) 7

(9) . . .

(10) (2n 1) 50. Demonstre que, para as potências pares de seno, 3

(11) 5

(12) 7

(13) . . .

(14) (2n 1) p h0p/2 sen2n x dx 2 2

(15) 4

(16) 6

(17) . . .

(18) 2n 51–54 Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redu-. ção.. h (ln x) dx x(ln x) n h (ln x). 52.. h x e dx x e n h x. 53.. h tg x dx tgx h tg. 54.. tg x sec x n2 h sec x dx h sec. n x. n. n x. n1. n. n2. n1. x dxMM(n ⬆ 1). h (ln x) dx. Use o Exercício 52 para encontrar h x e dx. 4 x. 57–58 Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.. 58. y x2ex,My xex. dade igual a v(t) t2et metros por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante os primeiros t segundos?. 68. Se f (0) t(0) 0 e f e t forem contínuas, mostre que. h. a 0. f (x)t (x) dx f (a)t (a) f (a)t(a) h0 f (x)t(x) dx. a. h f (x) dx x f (x) h x f (x) dx. 3. 55. Use o Exercício 51 para encontrar. 57. y x2 ln x,My 4 ln x. 67. Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem veloci-. x dxMM(n ⬆ 1). n2. 56.. onde t é a aceleração da gravidade e t não é muito grande. Se t 9,8 m/s2, m 30.000 kg, r 160 kg/s e ve 3.000 m/s, encontre a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento.. 70. (a) Use integração por partes para mostrar que. n. n1. sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo seu combustível) seja m, o combustível seja consumido a uma taxa r, e os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante ve (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete no instante t é dado pela seguinte equação rt v(t) tt ve ln m , m. 4. e dx. n2. n1. 65. Calcule o valor médio de f (x) x sec2 no intervalo [0, p/4].. contínua. Encontre o valor de h1 x f (x) dx.. dx. n1 x. n1. curvas y ln x, y 0 e x 2 em torno de cada eixo. (a) o eixo y (b) o eixo x. 69. Suponha que f (1) 2, f (4) 7, f (1) 5, f (4) 3 e f seja. 51.. n. 64. Calcule o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas. 66. Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, n2. (b) Use a parte (a) para calcular hcos2x dx. (c) Use as partes (a) e (b) para calcular hcos4x dx.. h. 61. y cos(px/2),My 0,M0 x 1;Mem torno do eixo y 62. y ex,My ex,Mx 1;Mem torno do eixo y. sen 2x dx. 2. 61–63 Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.. (b) Se f e t forem funções inversas e ƒ for contínua, demonstre que. h. b. a. f (x) dx bf (b) af (a) hf (a) t(y) dy f (b). [Dica: Use a parte (a) e faça a substituição de y f (x).] (c) No caso em que f e t forem funções positivas e b a 0, desenhe um diagrama para dar uma interpretação geométrica à parte (b). (d) Use a parte (b) para calcular h1 ln x dx. e.

(19) 71. Chegamos à Fórmula 6.3.2, V . h. b. 2px f (x) dx, utilizando cascas cilíndricas, mas agora podemos usar integração por partes para demonstrá-la usando o método das fatias da Seção 6.2, ao menos para o caso em que f for injetora e, portanto, tiver uma função inversa t. Use a figura para mostrar que. e deduzir que limn m ' I2n1/I2n 1.. a. V pb2d pa2c hc p[t(y)]2 dy. (d) Use a parte (c) e os Exercícios 49 e 50 para mostrar que lim. nm'. 2. 2. 4. 4. 6. 6. 2n. 2n. p.

(20) 1

(21) 3

(22) 3

(23) 5

(24) 5

(25) 7

(26) . . .

(27) 2n 1 2n 1 2. d. Essa fórmula geralmente é escrita como um produto infinito:. Faça a substituição y f (x) e então use integração por partes na integral resultante para demostrar que V ha 2px f (x) dx b. y. x t(y). y ƒ(x). xb. 72. Seja In . h. p/2. 0. a. b. sennx dx.. (a) Mostre que I2n2 I2n1 I2n. (b) Use o Exercício 50 para mostrar que 2n 1. I2n2. I2n 2n 2 (c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que 2n 1. 2n 2. . I2n1. 2. 4. 4. 6. 6. (e) Construímos retângulos como a seguir. Comece com um quadrado de área 1 e coloque retângulos de área 1 alternadamente ao lado ou no topo do retângulo anterior (veja a figura). Encontre o limite da relação largura/altura desses retângulos.. xa 0. 2. que é chamado produto de Wallis.. d c. p. 2 1

(28) 3

(29) 3

(30) 5

(31) 5

(32) 7

(33) . . .. 1 I2n. x.

(34) 7.2. Exercícios. 1–49 Calcule a integral. 1.. h sen x cos x dx. 3.. h. 5.. h sen (px) cos (px) dx. 7.. h. 9.. 3. p/2 0. 2. sen7u cos5u du 2. p/2 0. h. p 0. 5. cos u du 2. cos4 (2t) dt. 11.. h. 13.. h t sen t dt. p/2 0. sen2x cos2x dx 2. 2.. h sen x cos x dx. 4.. h. cos5x dx. 6.. h. – sen3(√x ) dx – √x. 8.. h. 2 1. 10.. 6. p/2 0. p/2 0. h. p 0. sen (3 u) du. sen2t cos4t dt. h. 14.. h cos u cos (sen u) du. 0. h. 38.. h cossec x cotg x dx. 39.. h cossec x dx. 40.. h. 41.. h sen 8x cos 5x dx. 42.. h cos px cos 4 px dx. 43.. h sen 5u sen u du. 44.. cos x sen x h dx. 45.. h. 46.. h. 47.. 1 tg x h dx. 48.. dx h . p/2 p/4. p/6 0. cotg5 f cossec3 f df. ––––––––– √1 cos 2x dx 2. sec x. (2 sen u)2 du 49.. 5. 4. p/3. p/6. 6. cossec3x dx. sen 2x. 2. 12.. p/2. 37.. 3. p/4 0. ––––––––– √1 cos 4u du. cos x 1. hx tg x dx 2. tg6x sec x dx I, expresse o valor de h0 tg8 x sec x dx em termos de I.. 50. Se. h. p/4. p/4. 0. 15.. cos a h ––––– da. 16.. h x sen x dx. 17.. h cos x tg x dx. 18.. h cotg u sen u du. 19.. cos x sen 2x h dx. 20.. h cos x sen 2x dx. 21.. h tg x sec. 22.. h tg u sec u du. 53.. 23.. h tg x dx. 24.. h (tg x tg x) dx. 55. Encontre o valor médio da função f (x) sen2x cos3x no inter-. 25.. h tg x sec. 26.. h. 27.. h. 28.. h tg x sec x dx. 29.. h tg x sec x dx. 30.. h. 31.. h tg x dx. 32.. h tg x sec x dx. 33.. h x sec x tg x dx. 34.. sen f h df. 35.. h. 36.. h. 5. √sen a 2. 3. sen x 3. x dx. 2. 4. p/3 0. 6. x dx. tg5x sec4x dx 3. 5. p/2. p/6. cotg2x dx. 3. 5. 4. ; 51–54 Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico o integrando e sua primitiva (tome C 0).. 2. 2. 4. 2. p/4 0. 0. 4. tg4t dt. cos3f. p/2. p/6. cotg3x dx. 2. 2. 52. 54.. h sen x cos x dx h sec x dx 5. 3. 4. 2. h sen x cos x dx por quatro métodos: (a) a substituição u cos x, (b) a substituição u sen x, (c) a identidade sen 2x 2 sen x cos x (d) integração por partes Explique os aspectos diferentes de suas respostas.. 56. Calcule. 3. 2. h x sen (x ) dx h sen 3x sen 6x dx valo [p, p].. sec4u tg4u du 5. p/2. 51.. ;. 57–58 Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas. 57. y sen2x,MMy cos2x,MMp/4 x p/4 58. y sen3x,MMy cos3x,MMp/4 x 5p/4.

(35) 59–60 Use um gráfico do integrando para conjecturar o valor da integral. Então, utilize os métodos desta seção para demonstrar que sua conjectura está correta. 59.. h. 2p 0. cos3x dx. 60.. h. 2 0. onde t é o tempo em segundos. Os voltímetros leem a voltagem RMS (raiz da média quadrática), que é a raiz quadrada do valor médio de [E(t)]2 em um ciclo. (a) Calcule a voltagem RMS da corrente doméstica.. sen 2px cos 5px dx. (b) Muitos fornos elétricos requerem a voltagem RMS de 220 V. Encontre a amplitude A correspondente necessária para a voltagem E(t) A sen(120pt).. 61–64 Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados. 61. y sen x,My 0,Mp/2 x p;Mem torno do eixo x 62. y sen x,My 0,M0 x p;Mem torno do eixo x. 67–69 Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos. 67.. h. sen mx cos nx dx 0. 68.. h. sen mx sen nx dx . 69.. h. cos mx cos nx dx . 2. 63. y sen x,My cos x,M0 x p/4;Mem torno do y 1 64. y sec x,My cos x,M0 x p/3;Mem torno do y 1. p p p p. p p. 65. Uma partícula se move em linha reta com função velocidade. v(t) sen t cos2 t. Encontre sua função posição s f (t) se f (0) 0.. { {. 0 se m ⬆ n p se m n 0 se m ⬆ n p se m n. 70. Uma série de Fourier finita é dada pela soma N. 66. A eletricidade doméstica é fornecida na forma de corrente al-. ternada que varia de 155 V a 155 V com uma frequência de 60 ciclos por segundo (Hz). A voltagem então é dada pela seguinte equação: E(t) 155 sen(120pt). f (x) - an sen nx n1. a1 sen x a2 sen 2x . . . aN sen Nx Mostre que o m-ésimo coeficiente am é dado pela fórmula am . p hp f (x) sen mx dx 1. p.

(36) 7.3. Exercícios. 1–3 Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. 1. 2. 3.. ––––––. 19.. √1 x h dx 2. 20.. x h –––––– √1 x. x. 1 h x –––––– dx;Mx 3 sec u 2 √ x2 9 h x3 √––––– 9 x2 dx;Mx 3 sen u. x2. 5.. 7.. 9.. dx. 21.. h √ –––––––– dx 9 25x. 22.. h. 23.. ––––– h √––––– 5 4x x dx. 24.. dt h –––––––––– √ t 6t 13. 25.. x h ––––––––– dx √x x 1. 26.. h (3 4x 4x ). 27.. – h √––––– x 2x dx. 28.. x 1 h (x 2x 2). – h x √––––– 1 x dx. 30.. 0,6. 0. 2. 1. 0. ––––– √ x2 1 dx. x3. h dx;Mx 3 tg u – ––––– √x 9 2. 2. 4–30 Calcule a integral. 4.. 2. h. 1. 0. ––––– x3 √ 1 x2 dx 1. h√ ––––– t √t 1 2 – 2. 3. 2. dt. dx. h ;MMa 0 (a x ) a. 0. h. 2. 2 3/2. dx ––––––– 2 √ x 16. 6.. 8.. 10.. x. h √ ––––––– 36 x 3. 0. 2. dx. dt h t –––––– √ t 16 2. h. 2. t5 ––––– dt 2 √t 2. 29.. 2. ––––– √ x2 9 13. h dx x3. 2. 4. –––––– 15. h0 x √ a2 x2 dx a. 2. x 17. h –––––– dx √ x2 7. 16.. h. 18.. 1. 0. 2/3 – √2/3. 2. 2. dx. cos t. h –––––––– dt √ 1 sen t p/2. 0. 2. 2. 2. 2. 2. (b) Use a substituição hiperbólica x a senh t para mostrar que dx. x. h –––––– senh ( ) C. √x a a. 2. 2. dx ––––––– x5√ 9x2 1 dx. h [(ax) b] 2. dx. 31. (a) Use substituição trigonométrica para mostrar que. dx. h (x 1). 2 3/2. –––––– h –––––– ln(x √ x a ) C. √x a. du 12. h –––––– u√ 5 u2 14.. x2. 2. 2. dx. ––––––– 11. h √ 1 4x2 dx. 2. 2 3/2. 1. 2. Essas fórmulas estão interligadas pela Fórmula 3.11.3. 32. Calcule. x2. h dx (x a ) 2. 2 3/2.

(37) (a) por substituição trigonométrica. (b) por substituição hiperbólica x a senh t. ––––– 33. Encontre o valor médio de f (x) √ x2 1/x, 1 x 7. 34. Encontre a área da região delimitada pela hipérbole. 9x 4y 36 e a reta x 3. 2. 1. 40. A parábola y 2 x2 divide o disco x2 y2 8 em duas partes.. Encontre as áreas de ambas as partes. 41. Um toro é gerado pela rotação do círculo x2 (y R)2 r 2 ao. redor do eixo x. Ache o volume delimitado pelo toro.. 2. 42. Uma barra carregada de comprimento L produz um campo elé-. 1. 35. Demonstre a fórmula A 2 r2 u para a área de um setor circular. com raio r e ângulo central u. [Dica: Suponha que 0 u p/2 e coloque o centro do círculo na origem, assim ele terá a equação x2 y2 r 2. Então A é a soma da área do triângulo POQ e a área da região PQR na figura.] y. P. trico no ponto P(a, b) dado por E(P) ha. La. lb. 4pe (x2 b2)3/2. dx. 0. em que l é a densidade de carga por unidade de comprimento da barra e e0, a permissividade do vácuo (veja a figura). Calcule a integral para determinar uma expressão para o campo elétrico E(P). y. P (a, b) ¨. O. Q. ; 36. Calcule a integral. R. x. 0. L. x. dx. h x –––––– √x 2 4. 2. Coloque em um gráfico o integrando e a integral indefinida e verifique se sua resposta é razoável.. 43. Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada. pelos arcos dos círculos de raios r e R. (Veja a figura.). 37. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do. eixo x da região delimitada pelas curvas y 9/(x2 + 9), y 0, x 0 e x 3. 38. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da. ––––– reta x = 1 da região sob a curva y x √ 1 x2, 0 x 1.. r R. 39. (a) Use substituição trigonométrica para verificar que. h. x. 0. –––––– –––––– 1 1 √ a2 t2 dt 2 a2 sen1(x/a) 2 x √ a2 x2 .. (b) Use a figura para dar interpretações geométricas de ambos os termos no lado direito da equação na parte (a). y a. a@-t@ y=œ„„„„„ ¨ ¨. 0. x. t. 44. Um tanque de armazenamento de água tem a forma de um cilin-. dro com diâmetro de 10 m. Ele está montado de forma que as secções transversais circulares são verticais. Se a profundidade da água é 7 m, qual a porcentagem da capacidade total usada?.

(38) Exercícios. 7.4. 1–6 Escreva as formas de decomposição em frações parciais da fun15.. x 2x 4 h dx x 2x. 16.. x 4x 10 h dx x x6. 17.. 4y 7y 12 h dy y(y 2)(y 3). 18.. x 2x 1 h dx x x. 19.. x 1 h dx. 20.. x 5x 16 h dx. 21.. x 4 h dx. 22.. h s (s 1). 23.. h dx (x 1)(x 9). 24.. x x6 h dx. (x2 x 1)(x2 2)2. 25.. h dx x x x 1. 26.. x x1 h dx. x5 1. 27.. x x 2x 1 h dx. 28.. x 2x 1 h dx (x 1) (x 1). 29.. x4 h dx. 30.. 3x x 4 h dx. 31.. h dx x 1. 32.. h dx x 4x 13. 33.. x 2x h dx x 4x 3. 34.. x1 h x dx. 35.. h x(x 4). 36.. x 3x 1 h dx. 37.. x 3x 7 h dx. 38.. x 2x 3x 2 h dx. ção (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes. 1.. 2.. (a). 1 6x. . (4x 3)(2x 5) x. x2 x 2. (a). (b). (b). x 1 4. 3.. (a). x5 4x3 x 2x x 2x 1 4. 4.. 5.. 3. 2. x2 2x 1. (a). (a). (b). x6. x2 4. t6 1 6. (a) t 6 t3. 7.. 9.. 11.. 13.. h dx x6 x9 h dx (x 5)(x 2) 2. h 2x dx 3x 1 1. 0. 2. ax. h dx x bx 2. 2. 3. 3. 2. 3. 1. 0. 2. 10. 5x2 2x3 x. 2. 2. 1. 2. 3. 2. x2 x 2. 2. (x 3)(x 2)2. 2. (2x 1)(x 2)2. 1. (x2 9)2. 3. x 1. x 4 2. ds. 2. 2. 2. (b). (b). (b). x3 x2 x x4. . 8.. 10.. 12.. (x2 x)(x4 2x2 1). 14.. r2. h dr r4 1. h dt (t 4)(t 1) x4 h dx x 5x 6 1. 0. 10. 2. 4x. 3. 2. 3. 7–38 Calcule a integral.. x. 3. 4. (x 1)(x 2). x 2x 5 2. 1. 3. 4. 1. 2. dx. 2. 2. 2. 2. 2. x 3x2 2 4. x. 1. 0. 2. 5. x3 1. 4. 2. (x2 4x 6)2. (x2 1)2 2. 3. 1. 2. h (x dx a)(x b). 2. x3 3x. 2. 2. 2. 0. 2. 2. x5 5x3 5x 3. 2. (x2 2x 2)2.

(39) 446. CÁLCULO. (c) Mostre que. 39–52 Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ––––– dx √x 1 39. h dx 40. h ––––– 2√ x 3 x x. dx. 41.. h – x x√x. 43.. h ––––– dx √x 1. 45.. 2. 1 h – dx 1 √x. 44.. √x h dx x x. 60–63 Use a substituição do Exercício 59 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.. 1. 3. 0. 2. 1/3. 2. 1. h e dx 3e 2. 49.. h dt tg t 3 tg t 2. 51.. h 1e. x. sec2t. 2. dx. x. 2. h dx 3 sen x 4 cos x. 1. p/2. p/3. 63.. h dx 2 cos x p/2. sen 2x. 0. 65. y . x2 1. 3x x2. y 1/(x2 3x 2) de x 0 a x 1 for girada em torno do: (a) eixo x e (b) eixo y.. e2x. h ln(x. 1. 61.. 66. Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva. sen x. 67. Um método de retardar o crescimento de uma população de inse-. ex. tos sem usar pesticidas é introduzir na população um número de machos estéreis que cruzam com fêmeas férteis, mas não produzem filhotes. Se P representar o número de fêmeas na população de insetos, S, o número de machos estéreis introduzidos a cada geração e r, a taxa de crescimento populacional natural, então a população de fêmeas está relacionada com o instante t através de. 48.. h cos dx x 3cos x. 50.. h (e dx 2)(e 1). 52.. h sen t senh t. 2. x. 2x. cosh t. 2. 4. PS t h dP P[(r 1)P S]. dt. Suponha que uma população de insetos com 10 000 fêmeas cresça a uma taxa de r 0,10 e que 900 machos estéreis sejam adicionados. Calcule a integral para dar uma equação relacionando a população de fêmeas com o tempo. (Observe que a equação resultante não pode ser resolvida explicitamente para P.). 53–54 Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral. 53.. h 1 dx sen x cos x 1 x x. x. 2x. 62.. 64. y 3. –––––– –. 47.. h 1 cos x. 64–65 Encontre a área da região sob a curva dada de 1 até 2.. 6. 3. √1 √ x h dx. dx. 60.. 3. – h – – dxMMM[Dica: Substitua u √ x.] √x √ x. 46.. 2. dt 1 t2. –. x3. 3. 42.. dx . x 2)dx. 54.. h x tg. 1. x dx. um gráfico de f (x) 1/(x2 2x 3) para decidir se ; 55. Use 2. 68. Fatore x4 1 como uma diferença de quadrados adicionando e. estimativa aproximada do valor da integral e então use frações parciais para encontrar o valor exato.. subtraindo a mesma quantidade. Use essa fatoração para calcularh 1 (x4 1)dx.. h0 f (x) dx é positiva ou negativa. Utilize o gráfico para dar uma. SCA. 56. Calcule. composição em frações parciais da função 1. h dx x k. 4x3 27x2 5x 32 f (x) 30x5 13x4 50x3 286x2 299x 70. 2. considerando diversos casos para a constante k.. (b) Use parte (a) para encontrar h f (x) dx (manualmente) e compare com o resultado se for usado um SCA para integrar f diretamente. Comente qualquer discrepância.. 57–58 Calcule a integral completando o quadrado e usando a Fór-. mula 6. 57.. dx. h dx x 2x. 58.. 2. 2x 1 h dx 4x 12x 7 2. 59. O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou. que a substituição t tg(x/2) converte qualquer função racional de sen x e cos x em uma função racional ordinária de t. (a) Se t tg(x/2), p x p, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que 1 t x x cos ––––– MMMeMMMsen ––––– 2 2 31 t 2 31 t2 (b) Mostre que. ( ). cos x . 69. (a) Use um sistema de computação algébrica para encontrar a de-. ( ). 1 t2. 2t. MMMeMMMsen x 1 t2 1 t2. SCA. 70. (a) Encontre a decomposição em frações parciais da função. 12x5 7x3 13x2 8 f (x) 6 5 100x 80x 116x4 80x3 41x2 20x 4 (b) Use a parte (a) para encontrar h f (x) dx e trace os gráficos de f e de sua integral indefinida na mesma tela. (c) Use o gráfico de f para descobrir as principais características do gráfico de h f (x) dx. 71. Suponha que F, G e Q sejam polinômios e. F(x). Q(x). . G(x). Q(x).

(40) TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO. para todo x exceto quando Q(x) 0. Demonstre que F(x) G (x) para todo x. [Dica: Use a continuidade.]. 73. Se a ⬆ 0 e n for um inteiro positivo, encontre a decomposição. em frações parciais de. 72. Se f for uma função quadrática tal que f (0) 1 e. 1 f (x) xn(x a). f (x). h dx x (x 1) 2. Dica: Primeiro encontre o coeficiente de 1/ (x – a). Então subtraia o termo resultante e simplifique o que restou.. 3. for uma função racional, encontre o valor de f (0).. Tabela de Fórmulas de Integração As constantes de integração foram omitidas. 1.. yx. n. dx 苷. x n1 n1. 共n 苷 1兲. 1 dx 苷 ln x x. 2.. y. 4.. ya. ⱍ ⱍ. ax ln a. 3.. ye. 5.. y sen x dx 苷 cos x. 6.. y cos x dx 苷 sen x. 7.. y sec x dx 苷 tg x. 8.. y cossec x dx 苷 cotg x. 9.. y sec x tg x dx 苷 sec x. 10.. y cossec x cotg x dx 苷 cossec x. 11.. y sec x dx 苷 ln ⱍ sec x tg x ⱍ. 12.. y cossec x dx 苷 ln ⱍ cossec x cotg x ⱍ. 13.. y tg x dx 苷 ln ⱍ sec x ⱍ. 14.. y cotg x dx 苷 ln ⱍ sen x ⱍ. 15.. y senh x dx 苷 cosh x. 16.. y cosh x dx 苷 senh x. 17.. y. 18.. y sa. *20.. y sx. *19.. x. dx 苷 e x. 2. y. 冉冊冟冟. dx 1 1 x tg 2 苷 x a a a 2. dx 1 xa ln 2 苷 x a 2a xa 2. 447. x. dx 苷. 2. 冉冊. dx x 苷 sen1 2 x a. 2. ⱍ. dx 苷 ln x sx 2 a 2 a2. 2. ⱍ.

(41) Exercícios. 7.5. 1–82 Calcule a integral. 1.. 3.. 5.. h cos x (1 sen x) dx. 2.. sen x sec x h dx. 4.. 2. tg x. 2t. h dt (t 3) 2. 0. 2. earctg y. h (3x 1). – √2. 1. 4 cotg x h 1 dx 4 cotg x. 35.. h cos 2x cos 6x dx. 36.. h. 37.. h. tg3u sc2u du. 38.. sen u cotg u h du sec u. 39.. sec u tg u h du. 40.. h ––––––––––– dy √4y 4y 3. 41.. h u tg u du. 42.. tg x h dx. 43.. – √x dx 1 x3. 44.. h √––––– 1 e dx. h dx x 4x 5. h. 33.. h –––––– dx √1 x. 15.. h (1 x ). 16.. h√ –––––– dx √1 x. 17.. h. 18.. h. 19.. he. 20.. he. 2 3/2. 34.. 10.. 31.. 14.. dx. ––––– 3 2x x dx h √–––––. hln(x √––––– x 1) dx. h sen t cos t dt 4. √2x 1 h dx. 29.. 13.. 5. 32.. h t sen t cos t dt. h dx x x 1. x 4x 5. h e. 8.. 12.. 2. 30.. h 1e. 4. x1 h dx. r ln r dr. at dt h sen √––. 27.. x. 11.. 1. 28.. h –––––– dx √3 x. 6.. x1. 4. 0. x. 4. 2. x3. 2. x2. – 2/2. 21.. 0. 2. 0. 2. t cos t dt xex. dx. h arctg √–x dx. 22.. e√ t – dt √t. 4 1. 2. 8. dx. x 2x 8 2. dx. x. 2. 2. –. p. 1. 0. 2. h. 4. 3x 2 h dx. 3x 2 h dx. 3. 9.. 3. 2. 26.. 25.. h tg u du. h dy 1y 1. 6z 5 h dz 2z 1. h (1 √–x ). dx. 7.. 1. 24.. 23.. 0. dx ln x. h ––––––––– dx x √1 (ln x) 2. 冑. 1x dx 1x. 2. p/4. 0. sec u sec u 2. z. h. 4. 0. 2. x 2x 8 3. 2. 1 dx. x. 1. ––––––. 2x 3. p/2. p/4. x2 tg x. 1 cos4 x. p/4. p/4. dx. p/3. p/6. 1. 2. 1. x2. x.

(42) hxe. 47.. h x (x 1). 49.. 51. 53.. 55.. 57.. 59.. 61.. 46.. 1) e h (x dx. 5 x 3. dx 4. 3. dx. 48.. h. 1. h –––––– dx x √ 4x 1 1. 50.. h x ––––– – dx √ 4x 1. 52.. hx. 54.. 2. 2. senh mx dx dx. h x – x√x. 56.. h x √––––– x c dx. 58.. 3. h cos x cos x(sen x) dx. 60.. du h . 62.. 3. 1 cos u. x2. 1. 0. –––––– ––––––– x√ 2 √1 x2 dx. √1 x h dx x. 70.. h dx 1 2e e. 71.. e h dx 1e. 72.. 1) h ln(x dx. 2. 73.. x arcsen x h ––––– dx √. 74.. 4 10 h dx. 75.. 1 h (x dx . 76.. h – – √ x (2 √ x ). 77.. xe h –––––– dx √1 e. 78.. 1 sen x h dx. 79.. h x sen x cos x dx. 80.. h dx sen x sec x. 81.. ––– 1 sen x dx h √–––––. 82.. h dx sen x cos x. dx. h x(x 1) 4. h (x sen x). 2. dx. 2. 1. 2. x. 1 x2. 2)(x 4) 2. x. 2. x ln x. h √ ––––– dx x 1 2. h. dx ––––– – x2 √ 4x2 1. du h 1 cos u 2. 1. x. x. x2. x. x. dx. h – – √ x x√ x. – √3. 2x. 1. h –––––– dx x √ 4x 1. –––––. 69.. x. 45.. x. 2x. dx. 4. 1 sen x. sec x cos 2x. sen x cos x 4. 4. 83. As funções y ex e y x2ex não têm primitivas expressas por 2. 2. meio de funções elementares, mas y (2x2 1) ex tem. Cal2 cule h(2x2 1) ex dx. 2. 84. Sabemos que F(x) . h. x. 0. eet dt é uma função contínua pelo TFC1,. embora não seja uma função elementar. As funções 63.. h. – – √ x e√ x dx sen 2x. 65.. h dx 1 cos x. 67.. h ––––– – dx √x 1 √x. 4. 1. 64.. h. 1 –––––– –x 1 dx √ √. h dx sen x cos x. 68.. h x dx 3x 2. p/4. x2. 6. x. ln(tg x). 66.. p/3. ex. h. 3. dx. e. 1. h ln x. dx. também não são elementares, mas podem ser expressas em termos de F. Calcule as seguintes integrais em termos de F.. (a). ex. h 2. 1. x. dx. (b). 1. h 3. 2. ln x. dx.

(43) 35. 5 共ln 2兲2 25 ln 2 125 1 37. 2 sx sen sx 2 cos sx C 39. 2 兾4 1 1 2 1 3 2 41. 2 共x 1兲 ln共1 x兲 4 x 2 x 4 C 1 1 43. 2xe2x 4e2x C 1 32. 64. 62. f _1. 3 F _1. 45. x 共1 x 兲 1 3. 2. 2 3兾2. 共1 x 兲 2 15. 2 5兾2. C 4. F _2. 2 f _4. (b) 14 cos x sen 3x 38 x 163 sen 2x C 2 (b) 3 , 158 55. x[共ln x兲3 3共ln x兲2 6 ln x 6] C 16 29 59. 1,75119; 1,17210; 3,99926 3 ln 2 9 63. 2 e 65. 1 (2/p) ln 2 4 8兾 2 et共t 2 2t 2兲 m 69. 2. 47. 49. 57. 61. 67.. EXERCÍCIOS 7.2 1 cos 5x 13 cos 3x C 3. 120 2 1 1 sen 3 共px兲 sen 5 共px兲 sen 7 共px兲 C 5. 3p 5p 7p 7. 兾4 9. 3p兾8 11. p兾16 1 1 1 13. 4 t2 4 sen 2t 8 cos 2t C 2 15. 45 ssen a 共45 18 sen 2a 5 sen 4a兲 C. 1.. 1 5. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. 17. 21. 25. 29.. 1 2 1 3 1 9 1 3. cos 2x ln cos x C 19. ln sen x 2 sen x C sec 3x C 23. tg x x C 117 tg9x 27 tg7x 15 tg5 x C 27. 8 3 sec x sec x C. 31.. 1 4. sec 4x tg 2x ln sec x C. 33. 37. 41. 45. 49.. 1 x sec x ln sec x tg x C 35. s3 3 22 8 39. ln cossec x cotg x C 105 s2 105 1 1 1 1 6 cos 3x 26 cos 13x C 43. 8 sen 4u 12 sen 6u C 1 1 47. 2 sen 2x C 2 s2 x tg x ln sec x 12x2 C. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ ⱍ. ⱍ. ⱍ. 51. 4 x 2 4 sen共x 2 兲 cos共x 2 兲 C 1. 1. π F. CAPÍTULO 7. _π. EXERCÍCIOS 7.1 1. 3 x 3 ln x 9 x 3 C 3. 5 x sen 5x 25 cos 5x C 5. 2共r 2兲e r兾2 C 7. (x2 2x) sen x (2x 2) cos x 2 sen x C 1 3 9. x ln s 11. t arctg 4t 8 ln共1 16t 2 兲 C x 13x C 1 1 13. 2 t tg 2t 4 ln sec 2t C 15. x 共ln x兲2 2x ln x 2x C 1 17. 13 e 2u共2 sen 3u 3 cos 3u兲 C 19. z3ez 3z2ez 6zez 6ez C 1. 1. 1. ⱍ. π f. 1. _π. 53.. 1 6. sen 3x 181 sen 9x C. 1. ⱍ. e2x p2 23. C 4(2x 1) 2p2 81 1 3 25. 1 1兾e 27. 4 ln 3 5 29. 4 4 e2 1 31. 6 ( 6 3 s3 ) 33. sen x 共ln sen x 1兲 C. ƒ F _2. 2. 1. 21.. 57. 1 59. 0 55. 0 65. s 苷共1 cos 3 t兲兾共3 兲. 61. 2兾4. 63. (2 s2 . 5 2. ).

(44) EXERCÍCIOS 7.3 1. sx 2 9兾共9x兲 C. 3. 3 共x 2 18兲 sx 2 9 C 1. 1 1 p s3 5. 7. 24 8 4 s2a2 1 1 9. ln (sx 2 16 x) C 11. 4 sen1共2x兲 2 x s1 4x 2 C 1 1 2 13. 6 sec 共x兾3兲 sx 2 9兾共2x 兲 C 1 15. 16 a 4 17. sx 2 7 C 19. ln 23.. 9 2. ⱍ (s1 x. 2. ⱍ. 1)兾x s1 x C. 1. 9 500. 21.. 2. . sen 共共x 2兲兾3兲共 x 2兲s5 4x x C 1 2. 2. 25. sx 2 x 1 ln (sx 2 x 1 x 1 2. ⱍ. 1 2. )C. ⱍ. 27. 共x 1兲 sx 2x ln x 1 sx 2x C 1 2. 29.. 1 4. 1 2. 2. 2. sen1 共x 2 兲 4 x 2 s1 x 4 C 1. 33. 6 (s48 sec1 7) 37. 8p2 4p 2 2 2 41. 2 Rr 43. r sR r 2 pr 2兾2 R 2 arcsen共r兾R兲 1. 3. 3. EXERCÍCIOS 7.4 B A B C A (b) 2 4x 3 2x 5 x x 5 2x B C Dx E A 3. (a) 2 3 2 x x x x 4 A B D C (b) x3 (x 3)2 x3 (x 3)2 1. (a). A B x2 x2 Cx D Ex F Ax B (b) 2 2 2 x x1 x 2 共x 2兲 2 7. x 6 ln x 6 C 3 9. 2 ln x 5 ln x 2 C 11. 2 ln 2 7 2 13. a ln x b C 15. 6 ln 3 5. (a) x4 4x2 16 . ⱍ. ⱍ ⱍ. 17.. 27 5. ⱍ. ⱍ ⱍ. ⱍ. ⱍ. 8. ⱍ. ⱍ. 1 2. 1. ln共x 2 1兲 (1兾s2 ) tg1(x兾s2 ) C. 冉冊 x1 2. 29.. 1 2. ln共x 2 2x 5兲 2 tg1. 31.. 1 3. ln x 1 16 ln共x 2 x 1兲 . 33.. 1 4. ln 83. 3. ⱍ. ⱍ. 35.. 37. 8 s2 tg1 7. 1 16. 冉冊 x2 s2. . 1 C 8(x 4). 3x 8 C 4共x 2 4x 6兲. ⱍ. 2. ⱍ. 39. 2sx 1 ln(sx 1 1) ln sx 1 1 C. 2 2 ln共sx 1兲 C 41. 2 lnsx sx 3 3 2 5兾3 43. 10 共x 1兲 4 共x 2 1兲2兾3 C. ⱍ. ⱍ. 45. 2 sx 3 sx 6 sx 6 ln sx 1 C 3. 6. 6. 共e 2兲 C ex 1 49. ln tg t 1 ln tg t 2 C 51. x ln(ex 1) C x. 2. 47. ln. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. 63. 4 ln 3 2. 61.. 65. 1 . 2. 1 5. 11 3. ln. 冟. C. 冟. 2 tg共x兾2兲 1 C tg共x兾2兲 2. ln 2. 67. t 苷 ln P ln共0,9P 900兲 C, onde C ⬇ 10,23 1 9. 1 668 1 9 438 1 24 110 4 879 5x 2 323 2x 1 80 155 3x 7 1 22 098x 48 935 260 015 x2 x 5 334 3 146 4 822 (b) ln 5x 2 ln 2x 1 ln 3x 7 4 879 323 80 155 11 049 75 772 2x 1 tg1 C ln共x 2 x 5兲 260 015 260 015 s19 s19. 69. (a). ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. O SCA omite os sinais do valor absoluto e a constante de integração. 1 1 1 1 73. n n n1 2 . . . n a (x a) ax a x ax. EXERCÍCIOS 7.5 1. sen x 3 sen 3 x C 3. sen x ln | cossec x cotg x | C 5. 4 ln 9 7. e 兾4 e兾4 1 243 242 9. 5 ln 3 25 11. 2 ln共x 2 4x 5兲 tg1共x 2兲 C 1 2 1 5 7 13. 5 cos t 7 cos t 9 cos9t C 2 15. x兾s1 x C 1 17. 4p2 19. ee C 21. 共x 1兲 arctg sx sx C 1. ⱍ. 23. ⱍ. ⱍ. 5. ⱍ. 冉冊 ⱍ. 1. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. ⱍ. 冟. 2. 冟. 冟. 冟. s4x 1 1 s4x 2 1 1 C C 51. ln 2x s4x 1 1 2 2 1 2 x cosh共mx兲 2 x senh共mx兲 3 cosh共mx兲 C 53. m m m 55. 2 ln sx 2 ln (1 sx ) C 49. ln. 1 2x 1 tg1 C s3 s3. ⱍ ⱍ. 冟. x2 C x. ⱍ. C. ln x 321 ln共x 2 4兲 . 冟. 冊. 41. u tg u 2u 2 ln sec u C 43. 3 tg1 共x 3兾2兲 C 1 3 x 3 45. 3 共x 1兲e C 3 1 47. ln x 1 3共x 1兲1 2 共x 1兲2 3 共x 1兲3 C. 25. 2 ln | x 1 | ln(x 1) 2 tg x C 27.. ln. ⱍ. 1. 2. 1 2. 33. 2 sen1. 23. ln x 1 2 ln共x 2 9兲 3 tg1共x兾3兲 C 1. 57.. 2x 1 s7. x1 x1 s3 2x x 2 C 2 2 1 1 1 35. 8 sen 4x 16 sen 8x C 37. 4 39. ln sec 1 ln sec C. ⱍ. 19. 10 ln x 3 9 ln x 2 . ⱍ. 55. ln 3 ⬇ 0,55 1 2. 4 097. 5 C x2 1 21. 2 x 2 2 ln共x 2 4兲 2 tg1共x兾2兲 C. ⱍ. 冉. ) ln共x 2 x 2兲 2x s7 tan1. 23. 45 25. 3x 3 ln x 4 3 ln x 2 C 27. x ln 共1 e x 兲 C 29. x ln 共x sx2 1兲 sx2 1 C 31. sen1x s1 x 2 C. ⱍ. 9. 1 2. x. ln 2 5 ln 3 (ou 5 ln 3) 9. 53. ( x . 57. 7 共x c兲7兾3 4 c共x c兲4兾3 C 3. 3. 59. 61. 63. 65. 69. 71. 73.. sen共sen x兲 13 sen 3 共sen x兲 C cossec u cotg u C ou tg(u/2) C – 2(x 2sx 2) e√x C 2 67. 3 关共x 1兲3兾2 x 3兾2 兴 C tg1 共cos 2 x兲 C s2 2兾s3 ln (2 s3 ) ln (1 s2 ) e x ln共1 e x 兲 C 1 s1 x 2 2 共arcsen x兲 2 C. 75.. 1 8. ⱍ. ⱍ. ln x 2 161 ln共x 2 4兲 18 tg1共x兾2兲 C. s1 e x 1 C s1 e x 1 1 1 1 79. 3 x sen 3 x 3 cos x 9 cos 3x C 77. 2共x 2兲s1 e x 2 ln. 81. 2s1 sen x C. 2. 83. xe x C.

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