Teoria dos Grafos e Análise Combinatória

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Teoria dos Grafos e Análise Combinatória

Apresentação da disciplina e revisão de Matemática Discreta

Rodrigo Machado rma@inf.ufrgs.br Instituto de Informática

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Porto Alegre, Brasil

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Conteúdo

Apresentação da disciplina

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Conteúdo

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Sobre a disciplina

INF05512 – Teoria dos Grafos e Análise Combinatória

Sobre o que trata: • matemática discreta

• resolução de problemas de contagem e enumeração • grafos e resolução de problemas envolvendo grafos

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Sobre o conteúdo

A disciplina possui duas etapas bem caracterizadas: inicia com análise

combinatória e conclui com teoria dos grafos.

Cronograma aproximado:

• ±4 semanas: princípios de contagem e aplicações.

• ±4 semanas: funções geradoras e resolução de recorrências. • ±4 semanas: grafos simples e problemas associados.

• ±4 semanas: grafos valorados e problemas associados, planaridade e coloração de grafos simples.

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Sobre a bibliografia

Análise combinatória

• Introdução à Análise Combinatória (José Plínio O. Santos, Margarida P. Mello, Idani T. C. Murari)

• Enumerative Combinatorics (Richard Stanley)

• Enumerative Combinatorics (Charalambos A. Charalambides) • A Walk Through Combinatorics: An

Introduction to Enumeration and Graph

Theory (Miklós Bóna)

Teoria dos Grafos

• Introduction to Graph Theory (Douglas B. West)

• Introduction to Graph Theory (Richard J. Trudeau)

• Graph Theory (Frank Harary) • Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos

(Paulo Oswaldo Boaventura Netto) Nota: os exercícios numerados apresentados nestes slides referem-se aos exemplos desenvolvidos no livro Introdução à Análise Combinatória, de José

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Sobre o professor

Rodrigo Machado

• Interesses: programação funcional, reescrita algébrica de grafos, lógica e semântica de programas.

• Página pessoal: http://www.inf.ufrgs.br/∼rma

Contato:

• Pessoalmente: sala 217, prédio 72 (a caminho das impressoras)

• Por email: rma@inf.ufrgs.br

• Via Moodle: ele envia automaticamente um email para mim, e fica registrado (forma preferencial).

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Sobre a metodologia

O que está na súmula:

• 60 h teóricas (em sala de aula)

• 0 h práticas (em laboratório). Nota: na verdade serão várias horas bem práticas resolvendo exercícios extra-classe.

É uma disciplina matemática: o que significa

• assistir passivamente: não adianta muito para absorver o conteúdo.

• melhor forma de estudar = mão na massa (resolver problemas).

• vamos ver uma série de tipos de problemas e técnicas de resolução.

• listas de exercício

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Sobre a metodologia (2)

Exemplos de problemas que aprenderemos a resolver:

• De quantas formas podemos distribuir 10 bolas idênticas entre 4 caixas numeradas de forma que cada caixa não esteja vazia?

• Qual o número mínimo de pessoas que precisamos ter em um grupo para garantir que ao menos 3 delas façam aniversário no mesmo dia da semana?

• Quantos anagramas distintos possui a palavra ASSASSINOS?

• A população de sapos de um lago quadruplica a cada ano. No primeiro dia de cada ano, 100 sapos são removidos do lago e transferidos para outro local. Assumindo que inicialmente havia 50 sapos no lago, quantos sapos o lago terá após 20 anos? Há uma fórmula que nos diga o número de sapos emXanos?

• Considerando o mapa rodoviário de uma dada localidade:

◦ Como verificar eficientemente se exista um trajeto que passe exatamente uma vez por cada trecho de rodovia?

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Sobre a metodologia (3)

Plataforma de acompanhamento do curso: Moodle da UFRGS (não é o do INF).

http://moodle.ufrgs.br

Acesso pelo usuário e senha institucionais (Cartão UFRGS)

Toda a comunicação oficial do professor com a turma se dará através do Moodle! Ex:

• marcação e possível troca de data de prova • disponibilização de slides e listas de exercício • determinação de trabalhos práticos

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Sobre a avaliação

Atividades de avaliação:

• M1 = Prova 1 (análise combinatória)

• M₂ = Prova 2 (teoria dos grafos, peso 0.8) + Trabalhos (peso 0.2) Ao longo do semestre serão definidos o número total de trabalhos (tipicamente 2) e o seu respectivo tipo (lista de exercício e/ou implementação).

Cálculo da média final:

M = (M₁+ M₂)/2

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Sobre o conceito final

Frequência menor que 75%: FF

Frequencia maior que 75%, com médiaM:

M < 6 D

6 ≤ M < 7.5 C 7.5 ≤ M < 9 B

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Sobre a recuperação

Se o aluno tiver frequência mínima porém não tiver nota mínima, estará habilitado à um exame de recuperaçãoR.

Sobre o exame:

• versa sobre todo o conteúdo do semestre

• a nota do exame é utilizada para substituir a menor nota entre prova 1 e prova 2, sendo recalculada uma média de recuperaçãoMRutilizando a mesma fórmula anterior.

SeMRfor maior que 6, o aluno estará aprovado.

Alunos que queiram realizar exame para aumento de conceito deverão manifestar interesse até 48h da realização do mesmo.

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Conteúdo

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Conjuntos

• Coleções de elementos ◦ Sem ordem ◦ Sem repetição

• Descritos por extensão ou compreensão:

◦ Extensão: Enumeração dos elementos entre chaves

{4, 5} {a, b, c} {}

◦ Compreensão: Propriedade que caracteriza os elementos

Ex.: Conjunto dos números inteiros maiores que 42 {x | x ∈ Z ∧ x > 42}

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Operações sobre conjuntos

• x ∈ A(pertinência): Relaciona um elementox a um conjuntoA, sendo válida sex pertencer aA.

4 ∈ N {4} 6∈ N

• A ⊆ B(continência): Relaciona um conjuntoAa um conjuntoB, sendo válida se todo elemento deA for também elemento de B.

4 6⊆ N {4} ⊆ N

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Operações sobre conjuntos (cont.)

• A ∪ B(união): Conjunto contendo todos os elementos que ocorrem emA ou emB.

{1, 2, 3} ∪ {5} = {1, 2, 3, 5} {a, b} ∪ {a} = {a, b}

• A ] B(união disjunta): Conjunto contendo todos os elementos que ocorrem emAou emB, diferenciando ocorrências do mesmo elemento em cada conjunto de origem. Intuição: introdução de anotações nos elementos para diferenciar origem.

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Operações sobre conjuntos (cont.)

• A ∩ B(interseção): Conjunto contendo todos os elementos que ocorrem emAe emB.

{1, 2, 3} ∩ {5} = ∅ {a, b} ∩ {a} = {a}

• A × B(conjunto dos pares): Conjunto de todos os pares ordenados (a, b), ondea ∈ Aeb ∈ B.

A = {a, b} B = {1, 2}

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Operações sobre conjuntos (cont.)

•

P

(A)ou2A (conjunto potência): Conjunto de todos os subconjuntos de A.

P

({a, b}) = { {}, {a}, {b}, {a, b} }

Exercício:Escreva o conjunto potência

P

(A × B), ondeA = {1, 2} e B = {x, y}.

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Principais conjuntos numéricos

Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} Naturais positivos N+= {1, 2, 3, 4, . . .} Inteiros _{Z = {. . . – 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . . , }} Racionais (frações) _{Q = {–}1₂, –1, 0,1₂, 1, . . .} Irracionais _{I = {–}√2,√2,√3, π, e, . . .} Reais _{R = Q ∪ I = {–π, –1, 0, 1,}√2,1₂, e, 2, . . .}

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Relações

• Uma relação bináriaR ⊆ A × Bé uma associação entre elementos de um conjuntoAe elementos de um conjunto B.

Exemplo:

A = {a, b} B = {1, 2} R = { (a, 1), (a, 2), (b, 2) }

R :

a 1

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Relações: propriedades

Uma relaçãoR ⊆ U × Upode ser (para todoa, b, c ∈ U) • reflexiva: aRa

• transitiva: aRb ∧ bRc ⇒ aRc • simétrica: aRb ⇒ bRa

• anti-simétrica: aRb ∧ bRa ⇒ a = b • total: para todoaexistebtal queaRb • sobrejetora: para todobexisteatal queaRb • funcional: aRb ∧ aRc ⇒ b = c

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Relações: tipos importantes

• função parcial (funcional) Ex: _{(x 7→ x – 1) ⊆ N × N} • função (funcional e total) Ex: _{(x 7→ x + 1) ⊆ N × N}

• ordem parcial (reflexiva, transitiva e anti-simétrica) Ex: _{(≤) ⊆ N × N}

• equivalência (reflexiva, transitiva e simétrica)

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Funções

• Uma funçãof : A → B é um mapeamento de elementos deApara elementos deB

◦ Aé o domínio (ou origem) def. Escritodom(f).

◦ Bé o contradomínio (ou destino) def. Escritocod(f).

◦ O conjunto de todos os elementos deBaos quais alguma ∈ Aestá associado é chamado de imagem def. Escritoimg(f).

a 1 b 2 c 3 4 dom(f) = {a, b, c} cod(f) = {1, 2, 3, 4} img(f) = {1, 2}

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Funções parciais

• Funções parciais são aquelas onde é possível (mas não necessário) que um elemento do domínio não tenha associação no contradomínio.

Exemplo:

a 1

b 2

c 3

• f(c) = ⊥denota quef é indefinida para o elementoc.

• Utiliza-sef : A * Bpara denotar que f é parcial ef : A → B para denotar quefé totalmente definida.

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Composição de funções parciais

• Consideref : A → Beg : B → C. a 1 x b 2 y c 3 z A f B g C

• A funçãog ◦ f : A → Cé denominada a composição def eg, onde g ◦ f(x) = g(f(x)).

a x

b y

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Cardinalidade

• Cardinalidade = tamanho de um conjunto. • |X|,#(X) oun(X)denotam a cardinalidade deX. • Exemplo: |∅| = 0 |{7}| = 1 |{a, b, {c, d}}| = 3 |N| = infinito contável |R| = infinito incontável

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Cardinalidade e funções totais

Uma função totalf : A → Bpode ser Injetora: x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y) Exemplo: a 1 b 2 3 Nota:|A| ≤ |B| Sobrejetora: cod(f) = img(f) Exemplo: a 1 b 2 c Nota:|A| ≥ |B| Bijetora: injetora e sobrejetora Exemplo: a 1 b 2 c 3 Nota:|A| = |B| Dois conjuntosAeBpossuem a mesma cardinalidade sss existe uma função

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Cardinalidade e operações de conjuntos

Cardinalidade do resultado de operações sobre conjuntos finitos: |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|

|A ] B| = |A| + |B|

|A ∩ B| = |A| + |B| – |A ∪ B| |A × B| = |A| × |B|

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Somatório

Somatório: maneira compacta de descrever somas de termos que possuam um padrão de formação.

• faixa de valores em inteiros: 5 X

i=1

xi = x1+ x2+ x3+ x4+ x5

• faixa de valores em conjuntos: sejaA = {1, 3, 7} X i∈A xi i = x1 1 + x3 3 + x7 7

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Produtório

Produtório: maneira compacta de descrever produtos que possuam padrão de

formação. Exemplo: Y i∈N,i<12 e i é primo i2 = 22× 32× 52× 72× 112 Nota:

• Somatório 0-ário = 0 (elemento neutro da adição). • Produtório 0-ário = 1 (elemento neutro da multiplicação)

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Multiconjuntos

• Coleções de elementos ◦ Sem ordem

◦ Com possível repetição (finita) • Notação:B =_{Hd, a, b, d, c, a, dI}

• Um multiconjuntoBde elementos tirados de um conjuntoXé uma função do tipo_{X → N}+que associa um número finito de ocorrências para cada elemento deX

Exemplo:B : {a, b, c, d} → N+, ondeB = {a 7→ 2, b 7→ 1, c 7→ 1, d 7→ 3}

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Multiconjuntos: cardinalidade

A cardinalidade de um multiconjunto é o número de elementos que este possui, contando repetições.

Exemplo:se A =Ha, a, a, b, b, c, dI, então|A| = 7 ComoAé uma função do tipo_{{a, b, c, d} → N}+, onde a 7→ 3, b 7→ 2, c 7→ 1, d 7→ 1temos que|A| = 3 + 2 + 1 + 1. Deﬁnição:sejaAum multiconjunto do tipo_{X → N}+. Então

|A| =X x∈X

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Tuplas ou sequências

• Coleções de elementos ◦ Finitas

◦ Com ordem

◦ Com possível repetição

◦ Generalização do produto cartesiano (pares ordenados)

• Notação:(): tupla vazia,(a): produto unário,(a, b): dupla, (a, b, c): tripla, (a, b, c, d): quádrupla, . . .

• Uman-tupla sobre um conjuntoU é um elemento do produto n

z }| {

U × U × · · · × U

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Coleções de elementos

Conjuntos vs Multiconjuntos vs Tuplas

Ordem\Repetição Sim Não

Sim Tupla(a, b, a) Tupla(a, b, c)

Não Multiconjunto _{Ha, b, aI} Conjunto{a, b, c} Exercício:dados os elementosa, b,c, gere todas as coleções abaixo:

1. conjuntos com no máximo 3 elementos 2. multiconjuntos com no máximo 3 elementos 3. pares (com repetição e sem repetição) 4. triplas (com repetição e sem repetição)

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Função fatorial

A função fatorial_{: N → N} ocorre frequentemente na resolução de problemas de análise combinatória. Notação:fact(n)oun! Deﬁnição: n! = ( 1 se n = 0 Q 1≤i≤ni se n > 0 Exemplo: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

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Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é famosa por possuir relação com diversos processos naturais. Deﬁnição: F₁ = 1 F2 = 1 Fn= Fn–1+ Fn–2 para n > 2 Primeiros termos: n F_n 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 .. . ...

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Indução matemática

Indução matemática é uma importante técnica de prova de propriedades satisfeitas por todos os elementos de um conjunto infinito.

Aplicável quando os elementos do conjunto são construídos de forma indutiva, como por exemplo:

• Números naturais: 0 : Ne

succ : N → N

• Listas:

empty : Lista(A)e

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Indução matemática (cont.)

• Para provar que propriedadePvale para todos os elementos de um conjuntoA, devemos demonstrar que:

1. Pvale no caso base (para os naturais, 0)

2. supondo quePvalha para um elemento qualquern(hipótese indutiva), deve continuar valendo após aplicarmos um construtor sobren(para os naturais, succ(n)).

Em outras palavras, a propriedade é preservada pela construção dos elementos deA.

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Indução matemática: exemplo

Exemplo:prove por indução que a seguinte igualdade vale para todo_{n ∈ N}+: n X i=1 2i – 1 = n2 Nota: 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 · · ·

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Indução matemática forte

Na indução matemática, justificamos a validade de um propriedadePparana partir da hipótese quePvale paran – 1.

Algumas estruturas (como árvores binárias) podem ter construção mais complexa e que não necessariamente referenciar o elemento imediatamente inferior.

Exemplo:construção de árvore com 8 folhas baseada em duas árvores de 4 folhas.

Para provar propriedades de tais estruturas, utilizamos uma descrição alternativa do princípio da indução matemática (chamado de indução forte).

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Indução matemática forte (cont.)

Ao utilizarmos a indução matemática forte:

• provamos quePvale para o caso base (0paraN)

• provamos quePvale para_{n ∈ N}a partir da hipótese indutiva quePvale para todo_{k ∈ N}tal que k < n.

Nota:indução matemática (fraca) e indução matemática forte são princípios equivalentes.

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Indução matemática forte: exemplo

Exemplo:Demonstre que, para todo_{n ∈ N}+, Fn< 7 4 n Nota: n Fn 7 4 n 1 1 1, 75 2 1 3, 06 3 2 5, 35 4 3 9, 37 5 5 16, 41 6 8 28, 72 7 13 50, 26 .. . ... ...

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Indução matemática: exercício 1

Exercício:

Demonstre que, para todo_{n ∈ N}+, F_n= √1 5(φ n_{– φ}n₎ onde φ = 1 +√5 2 e φ = 1 –√5 2

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Indução matemática: exercício 2

Exercício:

Considere a seguinte definição deS_m

Sm= m X

i=1 i2

Demonstre que, para todo_{m ∈ N}+, S_m= 1