Análise Combinatória e Probabilidade
Augusto César de Oliveira Morgado
João Bosco Pitombeira de Carvalho
Paulo Cesar Pinto Carvalho
Pedro Fernandez
Conteúdo
A Q ~ I S I C A ~ ~ ~ ~
ADQUIRIDO DE
1. Introdução
1.1 43 que é Combinatória?
1.2 Um Pouco d e Histbria 1.3
Conjuntos2. Combinações e Permutaçcies 17
2.1
Introdução17
2.2
PermutaçõesSimples
272.3 Combinações
Simples31
2.4
Permutações Circulares 41
2.5 Permutações d e
Elementos nem TodosDistintos 45
2.6 Combinações
Completas48
3. Outros Métodos de Contagem 56 3 . 1 O Princípio da t nclusão-Exclusão 56
3.2 Permutações Caóticas 68
3.3 0 s
Lemasde Kaplansky
723.4 O Princípio
daReflexão 77 3.5 O princípio
deDirichlet 81 4. Números Binomiais
4 . 1
O Triângulo
de Pascal 4.2O
Binômiode
Newton4.3 Polinômio de Leibniz
5 . Probabilidade 118
5.1
Introdução118
5.2
Espaço Amostrat eProbabilidades de
laplace119
5.3
Espaçosde Probabilidade 125
5.4Probabilidades Condicionais 140
5.5A Distribuição
Binomial165
Conteúdo
A Q ~ I S I C A ~ ~ ~ ~
ADQUIRIDO DE
1. Introdução
1.1 43 que é Combinatória?
1.2 Um Pouco d e Histbria 1.3
Conjuntos2. Combinações e Permutaçcies 17
2.1
Introdução17
2.2
PermutaçõesSimples
272.3 Combinações
Simples31
2.4
Permutações Circulares 41
2.5 Permutações d e
Elementos nem TodosDistintos 45
2.6 Combinações
Completas48
3. Outros Métodos de Contagem 56 3 . 1 O Princípio da t nclusão-Exclusão 56
3.2 Permutações Caóticas 68
3.3 0 s
Lemasde Kaplansky
723.4 O Princípio
daReflexão 77 3.5 O princípio
deDirichlet 81 4. Números Binomiais
4 . 1
O Triângulo
de Pascal 4.2O
Binômiode
Newton4.3 Polinômio de Leibniz
5 . Probabilidade 118
5.1
Introdução118
5.2
Espaço Amostrat eProbabilidades de
laplace119
5.3
Espaçosde Probabilidade 125
5.4Probabilidades Condicionais 140
5.5A Distribuição
Binomial165
Apêndice 1 Apêndice 2 Apêndice 3
Respostas dos Exercícios Bibliografia
Prefácio
Este l e x t o foi escrito como parte. de iim projeto de treina- mento de professores de Matemática do 2Q grau, financiado pela Fundasão VITAE, e iniciado no Rio de Janeiro, em janeiro de 1991. Aproveitamos para agradecer h VITAE por esta iniciativa.
A Analise Combinatória tem sido frequentemente indicada por professores do 2Q grau como sendo a parte d a Matemática mais difícil de ensinar.
Apesar de repleta de problemas capazes de motivar os alunos, é considerada uma disciplina complicada, em que os alunos têm dificuldade de encontrar a fórmula correta para cada problema.
Neste texto procuramos resolver problemas de contagem através do uso de alguns princípios fundamentais, evitando, sempre que possível, recorrer ao uso de fórmiilas.
O livro incorpora a experiência dos autores em ensinar Análise Combinatória a alunos de 2Q grau, especialmente por parte do primeiro autor.
Rio de Janeiro, marco de 1991.
Augusto César de Oliveira Morgado João Bosco Pitombeira de Carvalho Paulo Cezar Pinto Carvalho
Pedro Fernandez
Apêndice 1 Apêndice 2 Apêndice 3
Respostas dos Exercícios Bibliografia
Prefácio
Este l e x t o foi escrito como parte. de iim projeto de treina- mento de professores de Matemática do 2Q grau, financiado pela Fundasão VITAE, e iniciado no Rio de Janeiro, em janeiro de 1991. Aproveitamos para agradecer h VITAE por esta iniciativa.
A Analise Combinatória tem sido frequentemente indicada por professores do 2Q grau como sendo a parte d a Matemática mais difícil de ensinar.
Apesar de repleta de problemas capazes de motivar os alunos, é considerada uma disciplina complicada, em que os alunos têm dificuldade de encontrar a fórmula correta para cada problema.
Neste texto procuramos resolver problemas de contagem através do uso de alguns princípios fundamentais, evitando, sempre que possível, recorrer ao uso de fórmiilas.
O livro incorpora a experiência dos autores em ensinar Análise Combinatória a alunos de 2Q grau, especialmente por parte do primeiro autor.
Rio de Janeiro, marco de 1991.
Augusto César de Oliveira Morgado João Bosco Pitombeira de Carvalho Paulo Cezar Pinto Carvalho
Pedro Fernandez
I. Introdução
1.1 O que é Combinatória ?
O que é Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória?
A maior parte dos alunos do 2Q grau responderia que ela é o es- tudo das combinações, arranjos e permutações. Isso no entanto é uma resposta parcial pois, embora conibinações, arranjos e per- mutações façam parte da Análise Combinatória, são conceitos que permitem resolver um tipo de problemas de Analise Com- binatória: os de contagem de certos tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que seja necessário enumerar seus elemen- tos.
N o
entanto, a Análise Combinatória trata de vários outros tipos de problemas e dispõe, além das combinações, arranjos e permutações, de outras técnicas para atacá-los: o princípio da in- clusk-exclusão, o principio das gavetas de Dirichlet, as funções geradoras, a teoria de Ramsey são exemplos de técnicas poderosas de Análise Combinatória. Pelo menos uma delas, o princípio das gavetas de Dirichlet, é mais simples ou pelo menos tão simples quanto o estudo das combinações, arranjos e permutações.De maneira mais geral, podemos dizer que a Análise Com- binatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas.
Dois tipos de problemas que ocorrem frequentemente em
I. Introdução
1.1 O que é Combinatória ?
O que é Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória?
A maior parte dos alunos do 2Q grau responderia que ela é o es- tudo das combinações, arranjos e permutações. Isso no entanto é uma resposta parcial pois, embora conibinações, arranjos e per- mutações façam parte da Análise Combinatória, são conceitos que permitem resolver um tipo de problemas de Analise Com- binatória: os de contagem de certos tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que seja necessário enumerar seus elemen- tos.
N o
entanto, a Análise Combinatória trata de vários outros tipos de problemas e dispõe, além das combinações, arranjos e permutações, de outras técnicas para atacá-los: o princípio da in- clusk-exclusão, o principio das gavetas de Dirichlet, as funções geradoras, a teoria de Ramsey são exemplos de técnicas poderosas de Análise Combinatória. Pelo menos uma delas, o princípio das gavetas de Dirichlet, é mais simples ou pelo menos tão simples quanto o estudo das combinações, arranjos e permutações.De maneira mais geral, podemos dizer que a Análise Com- binatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas.
Dois tipos de problemas que ocorrem frequentemente em
2 Introdução C a p . 1
Anklise Comhinatorja são:
1) Demonstrar a existência de suhconjiintos de elementos de um conjunto finito dado e que satisfazem certas condições
2)
Contar ou classificar os subconjuntos de u m conjunto finito e que satisfazem certas condições dadas.Embora a Análise Combinatória disponha de técnicas gerais que permitem atacar certos tipos de problemas, é verdade cluc a soliição de iim problema combinatório cxige qiiase sempre e n g e nhosidade e a compreensão plena d a situaqão descrita pela pro- blema. Essc i! um dos encantos desta parte da matemática, em que problemas fáceis de eniinciar revelam-se por vezes difíceis, exigindo uma alta dose de criatividade para sua solução.
Por que privilegiar o estudo das combinaqões, arranjos e permutações em um primeiro curso de Análise Combinatória? i
Em primeiro lugar, entre os vários tipos de "números para contagem" da Análise Combinatória, eles são certamente os mais simples e de liso mais amplo. Além disso, eles permitem resolver uma grande quantidade de problemas de Análise Combinatória.
Outra razão para sei1 estiido é a aplicalriilidade desses números a problemas de probabilidades finitas, um campo de aplicaqão impoi-tantc da Análise Combinatória.
Por outro lado, se a aprendizagem destes conceitos se faz de maneira mecânica, limitando-se a empregá-los em situações padronizadas, sem procurar habituar o aluno com a análise cuida- dosa de cada problema, cria-se a impressão dc que a Análise Com- binakória é somente um jogo de fórmulas complicaclas.
1.2 Um pouco de Hist8ria
O desei~volvimcnto do binômio (1
+
z)" esth entre os primeiros problemas estudados ligados à Análise Combinatória. O caso n = 2 já pode ser encontrado nos Elementos de Euclides, emCap.1 h Introdução 3
torno dc: 300 a.C. O triângulo de Pascal era conhecido por Chu Shih-Chieh, na China, (cm torno de 1300) e antcs disso pelos hindiis e árabes. O matemático hindu Báskhara (1 1 14-1 185?), conhecido geralmente pela "fórmula dc B áskhara" para a solução de equações do 2Q graii, sabia calcular o níimcro de permutações, de combinações c dc arranjos de 71 objetos. O mesmo aconte- ceu com o matemático e filósofo religoso francês Levi ben Gerson (1288- 1344), que nasceu e trabalhou no siil da França, e que, entre outras coisas, tentou demonstrar o 5" Postulado de Euelides. O nome coeficiente binomial foi introduzido mais tardc por Michael Stifel (1486'7-1567), yiie mostrou, em torno dc 1550, como calcu- lar ( I
+
s)'& a partir do desenvolvimento de (1 i x)''-'. Sabemos também qiie o matemático árabe Al-Karaji (fins do seciilo X) co- nhecia a lei de ror.mação dos elementos do triângulo de Pascal,O primeiro aparecimento do triângulo de Pascal no Ocidente foi no fsontispício de u m livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nic- cal8 Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os clernentos do t r i h g u l o de Pascal com as potências de (a:
+
ZJ). Pascal (1623-1662) piiblicou um tratado em 1654 mostrando como iitilizblos para achar os coeficientes do desenvolvimento de ( a
+
h)". JaimeBernoulli (1654-1705), em seu Ars Conjectandi, de 1713, usou a inlerpretação dc Pascal para demonstrar que
A segunda parte deste livro de Jaime. Bernoiilli 6 dcdicada h teoria das combinaqões e permiitações.
Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calciilar direta- mentc (1
+
2)" sem antes calciilar (1 -t- s ) " - ' . Ele mostrou quec.ada coeficiente pode ser detei-minado, iisando o anterior, pela fósmilla
2 Introdução C a p . 1
Anklise Comhinatorja são:
1) Demonstrar a existência de suhconjiintos de elementos de um conjunto finito dado e que satisfazem certas condições
2)
Contar ou classificar os subconjuntos de u m conjunto finito e que satisfazem certas condições dadas.Embora a Análise Combinatória disponha de técnicas gerais que permitem atacar certos tipos de problemas, é verdade cluc a soliição de iim problema combinatório cxige qiiase sempre e n g e nhosidade e a compreensão plena d a situaqão descrita pela pro- blema. Essc i! um dos encantos desta parte da matemática, em que problemas fáceis de eniinciar revelam-se por vezes difíceis, exigindo uma alta dose de criatividade para sua solução.
Por que privilegiar o estudo das combinaqões, arranjos e permutações em um primeiro curso de Análise Combinatória? i
Em primeiro lugar, entre os vários tipos de "números para contagem" da Análise Combinatória, eles são certamente os mais simples e de liso mais amplo. Além disso, eles permitem resolver uma grande quantidade de problemas de Análise Combinatória.
Outra razão para sei1 estiido é a aplicalriilidade desses números a problemas de probabilidades finitas, um campo de aplicaqão impoi-tantc da Análise Combinatória.
Por outro lado, se a aprendizagem destes conceitos se faz de maneira mecânica, limitando-se a empregá-los em situações padronizadas, sem procurar habituar o aluno com a análise cuida- dosa de cada problema, cria-se a impressão dc que a Análise Com- binakória é somente um jogo de fórmulas complicaclas.
1.2 Um pouco de Hist8ria
O desei~volvimcnto do binômio (1
+
z)" esth entre os primeiros problemas estudados ligados à Análise Combinatória. O caso n = 2 já pode ser encontrado nos Elementos de Euclides, emCap.1 h Introdução 3
torno dc: 300 a.C. O triângulo de Pascal era conhecido por Chu Shih-Chieh, na China, (cm torno de 1300) e antcs disso pelos hindiis e árabes. O matemático hindu Báskhara (1 1 14-1 185?), conhecido geralmente pela "fórmula dc B áskhara" para a solução de equações do 2Q graii, sabia calcular o níimcro de permutações, de combinações c dc arranjos de 71 objetos. O mesmo aconte- ceu com o matemático e filósofo religoso francês Levi ben Gerson (1288- 1344), que nasceu e trabalhou no siil da França, e que, entre outras coisas, tentou demonstrar o 5" Postulado de Euelides. O nome coeficiente binomial foi introduzido mais tardc por Michael Stifel (1486'7-1567), yiie mostrou, em torno dc 1550, como calcu- lar ( I
+
s)'& a partir do desenvolvimento de (1 i x)''-'. Sabemos também qiie o matemático árabe Al-Karaji (fins do seciilo X) co- nhecia a lei de ror.mação dos elementos do triângulo de Pascal,O primeiro aparecimento do triângulo de Pascal no Ocidente foi no fsontispício de u m livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nic- cal8 Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os clernentos do t r i h g u l o de Pascal com as potências de (a:
+
ZJ). Pascal (1623-1662) piiblicou um tratado em 1654 mostrando como iitilizblos para achar os coeficientes do desenvolvimento de ( a
+
h)". JaimeBernoulli (1654-1705), em seu Ars Conjectandi, de 1713, usou a inlerpretação dc Pascal para demonstrar que
A segunda parte deste livro de Jaime. Bernoiilli 6 dcdicada h teoria das combinaqões e permiitações.
Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calciilar direta- mentc (1
+
2)" sem antes calciilar (1 -t- s ) " - ' . Ele mostrou quec.ada coeficiente pode ser detei-minado, iisando o anterior, pela fósmilla
4 Introdução C a p . 1 C a p . 1 Introdução 5
Em verdade: Newton foi além disso, e mostrou como de- senvolver (x
+
y)", onde ?. 6 iim níinieru racional, obtendo neste caso um desenvolvimento em síirie infinita.lJma outra dircqão dc gciicraliza~ão do t~?or.ema do binômio é considerar potãicias da forma
o chamado teorema mutinomial, que foi descoberto por Leibniz (1646-1 716) e demonsti-aclo também por Johann Bemoiilli (1667- 1748).
Abraham De Moivre (1667-1754), Daniel Bei-noulli (1700- 1782) e Jacques Phillipc Marie Binet (1786-1 856) mostraram como achar diretamente os níimeros de Fibonacci*, se? ser necessário calcular todos eles, até o qiie desejamos. Para isso, De Moivl-e utilizou pela primeira vez uma técnica extremamente poderosa, a das funções geradoras. Esta técnica, miiilo útil para estiidar sucessões recorrentes, foi bastante desenvolvida por Euler (1 707- 1783), em sei1 1ivr.o clássico Introductio in Analysan Infinitorum, onde ele a utiliza para, atacar o problema das partiqõcs de um inteiro. O interesse de Eiiler por este problema siirgiir devido a uma pergunta cliie lhe foi feita pelo matemátic.~ frances Phillipe Naudé, cliie trabalhava em Berlim, em uma carta, na qual, cntr-e outras coisas, ~iergiii~lava de qiiantas maneiras iim níimeio pode ser. esc,r.ito corno soma de inteiros positivos distintos. Esta pcr- gunta, prontamente respondida por Euler: foi a origem da "teo- ria das partiqões" ou "11ai.t i tio numerorum"
,
c.omo esc.reveu Euler.Mas suas contribiiiç.ões h Análise C:omliii~atória não se limitaram a isso. Várias obras suas, militas M a s sobre ~irobabilidades, contêm resiil tados importantes da Análise Combinaliiria. Em particiilar-, devemos a ele o eniinc,iado e ct solução do P r o b l ~ r n a da.9 S e t e Pontes
d e Konigsberg, iim leor-ema da Teoria dos Gra,fos, parte miiito im- portante, atiialmente, da Analise C:ornbjnatória.
*Fibonacci. tambCiii conhecido par L ~ o t i n r d o de Pisa ( 11 7 5 ? - 1250?)
*
A Ailálise Comhinatór-ia tcni tido iim c.r+escimento explosivo nas últimas ci6cadas. A irriportância dc problemas de enumeração terri cr-esr:ido enormerrierite, devido a necessidades cm tcoria dos grafos, em análise de algoritmos, etc,. Muitos problemas impor- tantes pode.m sei. mode.lados matematicamente cmmo problemas de teoria dos grafos (I>ioblemas de pesqiiisa operacional, de ar- mazenamento de infoi-maqões em bancos de dados nos compiita- dores, e tambkm problemas de matematica "riura"
,
como o famoso prohlerna das4
cores).J k em 193 7 o matemático híiiigaio-anieric:ano Cieorge Pólya (1 887- 19S5) iiltroduziii nova e imy ortailte técnica de enumeraqão, qire se tem prestado as mais variadas aplicaçõe.~, permitindo tratar, de maneira iinificada, desdc a eniirncração do níimero de isômeros dc iima substância, ati! a eiiumeração de grafos, principalmente árvores, resolvendo problemas qiie ate então eram atacados so- rrietlte por m6todos "ad hoc". Como dissc Pólya, sua teoria é lima maneira dc enumerar configuraqões não- equivalentes rela- tivamente a iim grupo de permiitações dado. TJm exemplo sim- ples de aplicação da teoria do Pólya éI o de determiizar o numero dc: tctraedros regulares "difer.entes" com faces pintadas com duas ('01-es, preto e braiico, por exemplo. Podemos ter iim tetraedro todo prcto, outro lodo bi-ai1c.0, u m com uma face branca E? as oiitras pretas, etc. Dois tetraedros são considerados "diferentes"
se iini deles ilão pode s ~ i . obtido do oiiti-o por. meio de i-otaqões.
Oiitra tcoria importante de Cornliinatáiia foi criada pelo lógico inglês F. P. ltamsey (1903- 1930) ; ela garante a existêiw.ia de certas configurações. 1.Jm dos exemplos mais simples do chamado leorema dc Ramsey afirma que se tivermos no plano u m conjunto de 71. po~itos, com ?i
