DISCIPLINA: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Módulo 2: Análise Combinatória

DISCIPLINA: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Módulo 2: Análise Combinatória

Nome do Professor: Munira Assad Simão

Nome da Disciplina: Análise Combinatória e Probabilidade Faculdade Campos Elíseos (FCE) – São Paulo – 2018.

Guia de Estudos – Módulo 02 Faculdade Campos Elíseos

SUMÁRIO

1. COMBINAÇÃO SIMPLES 2. NÚMEROS BINOMIAIS 3. BINÔMIO DE NEWTON 4. TRIÂNGULO DE PASCAL

MÓDULO 02 – Análise Combinatória - Continuação Conversa Inicial

O módulo dois apresenta a continuação da Análise Combinatória. Isto implica quantificar todas as combinações possíveis com problemas de contagem, utilizando elementos e algarismos que se diferem ou não pela ordem e pela natureza.

A Análise Combinatória é um campo de estudo que desenvolve métodos para a contagem de forma eficiente e mostra a aplicação nas mais diversas situações e nas áreas além da Matemática. Por exemplo, na Química, ao investigar a união entre átomos, ou no esporte, na montagem das tabelas, para competições e campeonatos.

Este módulo contempla as Combinações Simples, os números binomiais, o Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton, sempre buscando exemplificar e mostrar o conteúdo de forma prática para auxiliar o aluno de maneira produtiva e eficiente, visando também o mercado de trabalho.

O conhecimento sobre a matemática deve unir os cálculos à realidade e às situações práticas do estudante, mostrando significado para a vida.

Com incentivo, vamos aos estudos!

Sucesso!

1- COMBINAÇÃO SIMPLES

Combinação simples são tipos de agrupamentos presentes na Análise Combinatória. Os agrupamentos formados são um tipo particular de Arranjo Simples, que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.

Figura 1 - Combinação Simples¹

Nos problemas de contagem, o conceito de Combinação Simples está intuitivamente associado à noção em criar subconjuntos e agrupamentos onde a ordem dos elementos não interfere no resultado.

Como exemplo, nota-se que o subconjunto {A, B} e {B, A} são iguais, porém, devem ser considerados somente uma única vez na contagem da quantidade de combinações.

Outro exemplo onde a ordem não importa, pode ser citado em um torneio de futebol. Cada equipe enfrentará a outra apenas uma vez e, ao representar qualquer jogo considera-se somente a natureza das equipes: A contra B será igual a B contra A e cada jogo será representado pelas equipes, sem considerar a ordem.

Então, completando a definição de Combinação temos:

1Fonte: disponível em:< https://www.slideshare.net/joycemicielle/combinao-simples> Último acesso em: 31 de março de 2018.

A Combinação Simples é utilizada pela fórmula:

n é a quantidade de elementos de um conjunto p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.

Combinações simples de n elementos tomados p a p,

com p ≤ n,

Curiosidade!

Critério para diferenciar Arranjo e Combinação:

Ao encontrar problemas e atividades que envolvam agrupamentos de qualquer elemento, deve-se primeiramente, verificar se os agrupamentos são Arranjo ou Combinação.

Para isso, analisa-se o agrupamento pedido pela atividade, com pelo menos dois elementos distintos mudando a ordem destes agrupamentos.

- Se esta mudança gerar um agrupamento diferente do original então, estes agrupamentos serão Arranjos.

- Se esta mudança gerar um agrupamento igual ao original, então teremos agrupamentos de Combinações.

Exemplos:

1- Se considerarmos o conjunto S = {A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares.

Qual a quantidade de triângulos que podemos formar?

Nesse problema de análise combinatória são realizados agrupamentos, ou seja, combinações para formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares: A,B,C,D.

Serão construídos agrupamentos tomados por 3 pontos que são triângulos iguais, formados com os mesmos pontos, pois se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.

Possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:

ABC, BAC, CAB, DAB ABD, BAD, CAD, DAC ACB, BCA, CBA, DBA ACD, BCD, CBD, DBC ADB, BDA, CDA, DCA ADC, BDC, CDB, DCB Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples, utilizamos a fórmula:

C^n,p = n!

p! (n – p)!

Substituindo os dados acima na fórmula teremos:

n = 4 = {A,B,C,D}

p = 3 = combinações de 3 elementos

C^4,3 = 4!

3! (4-3)!

C^4,3 = 4 . 3!

3!. 1

C^4,3 = 4

2- Considerando o conjunto formado pelas letras da palavra AMOR, quantos subconjuntos com três elementos podemos formar?

Ao permutar as letras e formar conjuntos com estes elementos viu-se que, as combinações com os conjuntos não se modificam.

Com a palavra AMOR construímos A, M, O; A, M, R ; A, O, R e M,O,R.

C^4,3 = 4 . 3!

3!. 1

C^4,3 = 4

3- Há seis tipos de frutas. De quantas maneiras podemos escolher três frutas para fazer um suco?

Pelo princípio multiplicativo, contamos o total de possibilidades e descontamos as escolhas repetidas. Assim temos:

C^6,3 = 6. 5. 4 . 3!

3!. 3!

C^6,3 = 6. 5.4 3.2.1 C^6,3 = 120 = 60

60

Observação:

Sequência é um agrupamento ordenado: a,b é diferente de b,a.

Conjunto é um agrupamento não ordenado: a, b é igual b,a

Exercícios Resolvidos:

1. Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salda contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas ? Como temos 10 espécies, n vai ter valor: n = 10. E a salada deve conter 6 espécies, então p = 6.

Usando a fórmula da Combinação:

Teremos 210 tipos de salada.

2. Os 30 alunos de uma classe irão fazer um trabalho em equipes de 4 pessoas. Há 20 garotas e 10 garotos. Quantas equipes podem ser formadas?

Serão formados grupos de 4 pessoas escolhidas entre os 30 alunos da classe.

C ^30,4 = 30!_____

4!. (30 – 4)!

C^30,4 = 30. 29. 28. 27. 26!

4. 3.2.1. 26!

C^30,4 = 27. 405

3-

2 – NÚMEROS BINOMIAIS

2.1 Coeficientes binomiais

Os coeficientes binomiais são relações estabelecidas entre dois números naturais, podendo ainda ser chamados de números binomiais.

Chamamos o coeficiente binomial de classe p do número n ou, simplesmente, coeficiente binomial n sobre p.

São parecidos com as frações, onde n é o numerador e p é o denominador de .

Chamamos de coeficiente binomial ou número binomial a relação estabelecida entre dois números naturais n e p, tais que n ≥ p:

.

Exemplos:

Os coeficientes binomiais apresentam propriedades e casos particulares:

I) Casos particulares de coeficientes binomiais:

1° caso) Quando n = p:

2° caso) Quando p = 0:

Observação:

Alguns números binomiais são realizados de forma simples, já definidos, sem realizar todo o cálculo da combinação simples, como:

Importante:

Não poderemos nunca considerar n e p uma fração!

3° caso) Quando p = 1:

II) Propriedades dos Coeficientes Binomiais

1ª Propriedade: Binomiais Complementares

Dizemos que dois coeficientes binomiais são complementares se seus numeradores forem iguais e a soma de seus denominadores for igual ao numerador.

Dados os números naturais n, p e q, e p + q = n, então os binômios e são complementares. Podemos confirmar que todos os coeficientes binomiais complementares são iguais, então:

Exemplo:

, , e .

2ª Propriedade:

Sejam n e p números naturais tais que n ≥ p – 1 ≥ 0, podemos dizer

que .

Essa propriedade é conhecida como Relação de Stifel, em homenagem ao matemático alemão Michael Stifel.

Outra forma de representar a relação de Stifel sem qualquer perda de valor

é .

Exemplos:

, , e .

3 – BINÔMIO DE NEWTON

O Binômio de Newton é representado pela expressão (a+b) ⁿ ,desenvolvendo as propriedades de potências e utilizando as regras dos produtos notáveis para encontrar os

resultados possíveis.

CURIOSIDADE!

Michael Stifel foi um matemático alemão, que fez pesquisas em Álgebra e Aritmética. Seu trabalho mais famoso é ArithmeticaIntegra, publicado em 1544, no qual inclui o triângulo de Pascal e o tratamento dos números negativos, radicais e potências.

Figura 2 - Binômio de Newton ²

Cada termo mostra que em cada parcela a soma dos expoentes de a e b coincidem com o expoente de (a+b) ⁿ na expressão correspondente.

Os Coeficientes de :1, 1.

● Os Coeficientes de :1, 2, 1.

● Os Coeficientes de :1, 3, 3, 1.

● Os Coeficientes de :1, 4, 6, 4, 1.

E, como mostrado nos cálculos acima também coincidem com os termos do triângulo de Pascal.

O produto notável: (a + b)ⁿ foi desenvolvido como mostra abaixo:

Exemplo:

Calcular o exercício seguinte na forma da expressão (x + y)ⁿ : 1) Considerando n ≤ 3:

(x + y)⁰ = 1 (x + y)¹ = x + y

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³

2) Considerando n > 3

2Fonte: disponível em: < https://www.infoescola.com/matematica/binomio-de-newton/> Último acesso em: 03 de abril de 2018.

(x + y)⁴ = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³) x⁴ + 3x³y + 3x²y² + xy³ + x³y + 3x²y² + 3xy³ + y⁴

x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ Exercício resolvido:

Desenvolva (4x + 2)⁵ utilizando o binômio de Newton.

1*1024x⁵ * 1 + 5*256x⁴ * 2 + 10*64x³ * 4 + 10*16x² * 8 + 5*4x * 16 + 1*1 * 32 1024x⁵ + 2560x⁴ + 2560x³ + 1280x² + 320x + 32

(4x + 2)⁵ = 1024x⁵ + 2560x⁴ + 2560x³ + 1280x² + 320x + 32

Para cálculos em que n assume valores elevados, como n > 3, onde as resoluções são mais complexas e trabalhosas utilizamos então a definição do binômio de Newton.

4 TRIÂNGULO DE PASCAL CURIOSIDADE!

Isaac Newton (1642-1727) foi um cientista inglês e é considerado um dos maiores estudiosos da História. Contribuiu grandemente com a Matemática e a Física. Criou o Binômio de Newton, a lei da gravitação, entre outras criações.

Figura 3 – Triângulo de Pascal³

Os coeficientes binomiais podem ser organizados num triângulo denominado triângulo de Pascal.

Também conhecido como Triângulo de Pascal, triângulo de Tartaglia ou de Yang- Hui, o triângulo aritmético já era conhecido pelos matemáticos há muito tempo. Obras indianas e chinesas já mostravam referências do triângulo antes de Cristo.

Na organização do triângulo os numeradores iguais se encontram numa mesma linha, e os denominadores iguais se encontram numa mesma coluna.

Substituindo os binomiais pelos seus respectivos valores:

3Fonte: disponível em:< http://webpages.fc.ul.pt/~ommartins/seminario/fibonacci/cap3_3.htm>Último acesso em: 31 de março de 2018.

Soma dos elementos por linha no triângulo de Pascal:

Linha 1 = 1 = 2⁰ Linha 2 = 1 + 1 = 2¹

Linha 3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2² Linha 4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³ Linha 5 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴ Linha 6 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵ E assim sucessivamente.

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL:

- Todas as linhas começam e terminam por 1.

CURIOSIDADE!

Blaise Pascal (1623 – 1662) foi um físico, filósofo e teólogo francês que estudou os problemas matemáticos relacionados aos jogos de dados, e um dos resultados dessa pesquisa foi a tabela numérica denominada triângulo de Pascal.

- Em uma mesma linha, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. Veja na figura abaixo como os números estão dispostos na linha 5:

- Cada um dos elementos, com exceção do primeiro e do último, é igual à soma de dois elementos da linha anterior. Essa propriedade é chamada de Relação de Stifel.

- A soma dos elementos da linha k é igual a 2^k. Essa propriedade é chamada de Teorema das Linhas. Veja o exemplo da quarta linha:

- Os elementos da linha k são os coeficientes na expansão do binômio de Newton, que é um binômio da forma (a + b)^k. Veja o exemplo da terceira linha:

- É possível também extrair a sequência de Fibonacci do triângulo de Pascal. Observe as diagonais marcadas pelas linhas riscadas de vermelho, cujas somas formam a sequência.

Figura 4 – Triângulo de Pascal⁴

- As potências de 11 podem ser obtidas a partir das linhas do triângulo, onde a potência 11^k está localizada na linha k. A partir da quinta linha já aparecem números com mais de um algarismo e os algarismos que não correspondem à unidade podem ser acrescentados à próxima potência de 10.

Veja o exemplo da linha 4:

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O módulo mostrou o estudo sobre a continuação da Anállise Combinatória, propondo complementar os conteúdos já analisados pelos alunos.

A Análise Combinatória pode ser complementada com definições e fórmulas que estudiosos matemáticos criaram para auxiliar seus cálculos como Blaise Pascal, que criou um meio de soluções, para os problemas de contagem, através do Triângulo de Pascal.

4Fonte: disponível em< http://sabermatematica.com.br/triangulo-de-pascal.html

> Último acesso em: 03 de abril de 2018.

A partir de novos conteúdos e observações o aluno pode aumentar o conhecimento e analisar os dados de forma eficiente, melhorando a compreensão necessária do tema junto à matemática e a vida.

A juventude de hoje age diferente e necessita de recursos e da tecnologia para atender a demanda atual, por isso, novas pesquisas diante dos meios, como o computador, sites e vídeos podem contribuir com a aprendizagem.

Ao conseguir resolver problemas e cálculos envolvendo Análise Combinatória e Probabilidade, o aluno deve sentir-se mais motivado e incentivado a estudar e progredir, compreendendo realmente as atividades propostas.

O aluno deve reconhecer que a Probabilidade deve ser utilizada de forma produtiva e se tornar uma poderosa ferramenta que visa a obtenção dos resultados, analisando recursos para medir avanços, manutenção, desenvolvimento e contribuir com a finalização de um trabalho em diversos setores.

6 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Conexões com a Matemática; Matemática: Ensino Médio. 2ª ed. São Paulo: Moderna, 2013.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações; 2ª ed. São Paulo: Ática, 2013.

PAIVA, Manoel; Matemática Paiva; 3ª ed. São Paulo: Moderna, 2015.

STOCCO Smole, Kátia, Maria Ignez Diniz; Matemática no Ensino Médio; 8ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013.

Brasil Escola; Números Binomiais. disponível em: <

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-binomiais.htm>. Acesso em 03 de abril de 2018.

Brasil Escola; Combinação simples: disponível em:

<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm>. Acesso em 03 de abril de 2018.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2004. Disponível em <

http://www.matematicadidatica.com.br/NumeroBinomial.aspx> Acesso em 30 de março de 2018.

Matemática Didática: Disponível em:

<http://www.matematicadidatica.com.br/CombinacaoSimples.aspx> . Acesso em 03 de abril de 2018.

Mundo Educação: disponível em: <

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/coeficientes-binomiais.htm>. Acesso em 03 de abril de 2018.

Mundo Educação: Combinação simples: disponível em: <

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm> Acesso em 30 de marco de 2018.

Saber matemática. Disponível em: <http://sabermatematica.com.br/triangulo-de- pascal.html> Acesso em 03 de abril de 2018.

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Números Binomiais"; Brasil Escola. Disponível em

<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-binomiais.htm>. Acesso em 30 de março de 2018.

Só matemática. disponível em:

<https://www.somatematica.com.br/emedio/combinatoria5.php> Acesso em 03 de abril de 2018.