INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS

(1)

INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES

INTEGRO-DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES

INTEGRO-DIFERENCIAIS

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RL

RESPOSTA NATURAL e FORÇADA

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e

PARALELO

RESPOSTA NATURAL

RESPOSTA SUPERAMORTECIDA

RESPOSTA SUBAMORTECIDA

RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RL

RESPOSTA NATURAL e FORÇADA

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e

PARALELO

RESPOSTA NATURAL

RESPOSTA SUPERAMORTECIDA

RESPOSTA SUBAMORTECIDA

RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA

INTRODUÇÃO

Com a chave no lado esquerdo o capacitor recebe carga da bateria.

Chave no lado

direito

o capacitor se

descarrega

através da

lâmpada.

(2)

dx

x

f

e

t

x

e

t

x

e

t t TH x t t

)

(

1 )

(

)

(

0 0 0

=

∫

−

τ

RESPOSTA GERAL: CIRCUITO DE PRIMEIRA ORDEM

0

)

0 (

;

x

f

x

dt

dx

TH

+

=

+

τ

IncluIindo a condição inicial

no modelo do capacitor (tensão)

ou no indutor (corrente):

Resolvendo a equação diferencial, usando o fator de integração, tem-se:

dx

x

f

e

t

x

e

t

x

t

TH

x

t

)

(

1 )

(

)

(

0 0

0 ∫

−

+

=

τ

0

)

0 (

);

(

)

(

)

(

t

ax

t

f

t

x

dt

dx

₊

₌

₊

₌

τ

t

e

−

/

*

τ

É denominada de

constante de tempo e

esta associada a

resposta do circuito.

É denominada de

constante de tempo e

esta associada a

resposta do circuito.

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM COM FONTES CONSTANTES 0

)

0 (

;

x

f

x

dt

dx

TH

+

=

+

τ

(

₍

₎

)

τ

0

)

(

₀ t t TH TH

x

t

f

e

f

t

x

− −

−

+

=

t

≥

t

0

A forma da solução é:

0 2 1

;

)

(

0

t

e

K

t

x

t t

≥

+

=

− −τ

Qualquer variável do circuito é

da forma:

0

2

1 ;

)

(

0

t

e

K

t

y

t

≥

+

=

−

τ

Somente os valores das constantes

K

₁

, K

₂

podem mudar

TRANSIENTE TEMPO CONSTANTE

(3)

EVOLUÇÃO DO TRANSIENTE E A INTERPRETAÇÃO DA CONSTANTE DE TEMPO

VISÃO QUALITATIVA:

MENOR CONSTANTE DE TEMPO MAIS RÁPIDO O TRANSITÓRIO DESAPARECE

Erro menor que 2% Transiente é zero a partir deste ponto Descarrega de 0.632 do valor

Inicial em uma constante de tempo

Tangente atinge o eixo x no valor da constante de tempo

C

R

_TH

=

τ

CONSTANTE DE TEMPO − + v_S RS a b C + v_c _

Carga em um capacitor

TH C C TH

v

dt

dv

C

R

+

=

O modelo:

0 )

0 (

,

=

S C S

V

v

Assume

A solução pode ser escrita como:

τ t S S C

t

V

e

v

(

)

=

−

C

R

_TH

=

τ

transiente Para efeitos práticos, o capacitor é “carrregado” quando o transitório é insignificante.

0067

.

0 0183

.

0 0498

.

0

135 .

0

5

4

3

2

368 .

0 τ

τ

τ t

e

t

− dt dv C C S S C

R

v

−

0 =

−

+

S S C c

R

v

dt

dv

C

:

KCL@a

(4)

Efeito do Capacitor na fase de carga.

Robert L. Boylestad

Introductory Circuit Analysis, 10ed.

ASSUME FIND 2 ) 0 ( . 0 ), (_t _t _v VS v > = ) (t v @ KCL USE 0. t FOR MODEL >

0 )

(

)

(

=

+

−

_t

dt

dv

C

R

V

t

v

_S

2 /

)

0 (

V

_S

v

=

condition

initial

PASSO 1 CONSTANTE DE TEMPO

f

y

dt

dy

₊

₌

τ

PASSO 2 ANÁLISE DO ESTADO INICIAL

value)

state

(steady

,

t

and

0 for

IS

SOLUTION

1 2 1

,

0 )

(

K

v(t)

t

e

K

t

v

t

→

∞

→

>

+

=

−

τ

τ S

V

K

=

∴

1

values)

state

steady

(equating

f

K

f

y

dt

dy

=

+

THEN

1

IS

MODEL

THE

IF

τ

PASSO 3 USO DA CONDIÇÃO INICIAL

1 2 2 1

(

0 )

)

0 (

0 K

v

K

v

t

−

=

⇒

+

=

AT

f

v

K

₂

=

(

0 )

−

v

(

0 )

=

V

S

/

2 ⇒

K

2

=

−

V

S

/

2

0 ,

)

2 /

(

)

(

t

=

V

−

V

e

−

t

>

v

RC t S S

:

ANSWER

EXAMPLE s V t v t dt dv RC ()+ ( )= R / *

(5)

Resumo: Sentido das tensões e correntes quando

a chave é fechada

Corrente no capacitor durante a fase de

carga.

(6)

Tensão no capacitor durante a fase de carga

Após fase de carga: Capacitor circuito aberto

(7)

A função e

-x

_(x

_≥

_0).

Curto circuito p/ Capacitor (chave fechada t= 0).

(8)

Gráfico Universal de Constantes de tempo.

Corrente i

_C

x tempo, durante a fase de carga.

(9)

Tensão v

_C

x tempo durante a fase de carga.

(10)

Ciclos de carga e descarga da rede básica.

) (t i

0 ),

(

t

>

i

FIND

0 t FOR KVL USE MODEL. > − +vR − + L v ) (t i KVL

)

(

)

(

t

dt

di

L

t

Ri

v

V

_S

=

_R

+

_L

=

+

0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 = +    + = − ⇒ = − ⇒ < i i i i t inductor CONDITION INITIAL PASSO 1 R V t i t dt di R L ₍₎₊ ₍₎₌ S R L =

τ

PASSO 2 ESTADO ESTACIONÁRIO

R V K i_∞ ₌ ₌ S 1 ) (

PASSO 3 CONDIÇÃO INICIAL

2 1

)

0 (

K

i

+

=

+













−

=

−LR t S

_e

R

V

t

i

(

)

1 :

ANS

EXAMPLE ) 0 ( ); ( 0 , ) ( 2 1 1 2 1 + = + ∞ = > + = − x K K x K t e K K t x t τ

(11)

0 t

FOR

KCL

MODEL.

>

) ( ) ( t i R t v I_S= + ) (t v

⇒

=

(

)

(

t

dt

di

L

t

v

(

t

)

i

(

t

)

dt

di

R

L

I

S

=

+

PASSO 1 PASSO 2

i

(

∞

)

=

I

S

⇒

K

1

=

I

S PASSO 3

i

(

0 +

)

=

0 =

K

₁

+

K

₂













−

=

−LR t S

e

I

t

i

(

)

1 :

ANS

0 )

0 (

+

=

i

:

CONDITION

INITIAL

R L =

τ

PROBLEMA

(12)

O circuito no instante em que a chave é fechada.

(13)

Gráfico da forma de onda de i

_L

durante o ciclo carga.

(14)

Forma da onda de i

_L

durante a fase de carga para

três valores diferentes de L.

(15)

0 t FOR MODEL > 2 ) ( ) ( R t v t i =

É MAIS SIMPLES DETERMINAR ATRAVÉS DO MODELO DE TENSÃO 0 t FOR STATE STEADY IN CIRCUIT < INITIAL CONDITIONS V v V k k k vC (12) 4 (0 ) 4 6 3 3 ) 0 ( = ⇒ + = + = − 0 ) ( ) ( || ; 0 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 = + = = + + P P R t v t dt dv C R R R R t v t dt dv C R t v Ω = = k k k R_P 3 ||6 2 s F C R_P =(2×103Ω)(100×106 )=0.2 = −

τ

PASSO 1 PASSO 2 v(∞)=K₁=0 PASSO 3 v(0+)=K1+K2=4V⇒K2=4V 0 ], [ 4 ) (_t = _e−0.2_V _t> v t

0 ],

[

3

4 )

(

:

ANS

_i

_t

=

_e

−0.2

_mA

_t

>

t 0 , ) (t =K₁+K₂e− t> i t τ 0 ), (t t> v_O FIND C 1 R 2 R KCL USE 0. t FOR MODEL > 0 ) ( ) ( 0 ) ( 1 2 2 1 = + + ⇒ = + + C C c C _t _v dt dv C R R R R v t dt dv C s F C R R ) (6 10 )(100 10 ) 0.6 ( 1+ 2 = × 3Ω × 6 = = −

τ

PASSO 1 ) ( 3 1 ) ( 4 2 2 ) (t v t v t vO C = C + = PASSO 2 0 , ) (t =K₁+K₂e− t> v t C τ K1=0

CONDIÇÃO INICIAL. CIRCUITO NO ESTADO INICIAL t<0

− − + ) 0 ( C v (12)V 9 6 = ] [ 8 8 ) 0 ( K₁ K₂ K₂ V v_C + = = + ⇒ = PASSO 3

0 ],

[

8 )

(

_t

=

_e

−0.6

_V

_t

>

v

t C

0 ],

[

3

8 )

(

_t

=

_e

−0.6

_V

_t

>

v

t O EXEMPLO ) (t v_c DETERMINE ) 0 ( ); ( 0 , ) ( 1 2 1 1 2 1 + = + ∞ = > + = − i K K v K t e K K t v C t C τ

(16)

0 ), ( 1 t t> i FIND KVL USE 0. t FOR MODEL > ⇒ = +18₁( ) 0 1 _i _t dt di L L 0 ) ( ) ( 9 1 1 1 _t +_i _t = dt di ) 0 ( ); ( 0 , ) ( 1 2 1 1 1 2 1 1 + = + ∞ = > + = − i K K i K t e K K t i t τ PASSO 1 s 9 1 =

τ

PASSO 2 K1=0 CONDIÇÃO INICIAL

CORRENTE NO INDUTOR PARA t<0

) 0 ( 1 −

i

CIRCUITO NO ESTADO INICIAL

A V i 1 12 12 ) 0 ( 1 − = _Ω= PASSO 3

]

[

1 )

0 (

)

0 (

₁ ₁ ₂ ₂ 1

i

K

A

i

−

=

+

=

+

⇒

=

0 ],

[

]

[

)

(

19 9 1

=

−

>

−

t

A

e

A

e

t

i

t t

:

ANS

) ( 1 t i − + L v EXEMPLO Robert L. Boylestad

Exemplo: Ilustrar v

_C

e i

_C

do circuito abaixo,

para chave em 1 em t = 0 e em 2 apos 9 ms.

(17)

Solução: Aplica-se Thévenin para determinar RTh da

constante de tempo.

Substitui-se o equivalente de Thévenin.

(18)

Formas de onda da tensão e corrente no capacitor.

(19)

Determinando R

_Th

para o circuito.

(20)

Circuito equivalente de Thévenin.

(21)

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM

EQUAÇÃO BÁSICA Simples Nó: Uso KCL R i iL i_C

0 =

+

−

i

S

i

R

i

L

i

C ) ( ); ( ) ( 1 ; ) ( 0 0 t dt dv C i t i dx x v L i R t v i L C t t L R= =

∫

+ = S L t t

i

t

dt

dv

C

t

i

dx

x

v

L

R

v

₊

₌

∫

(

)

(

)

(

)

1

0 0 Diferenciando

dt

di

L

v

dt

dv

R

dt

v

d

C

₂

+

1 +

=

S 2

Malha simples: Uso KVL − +vR − +vC − + L v

0 =

+

−

v

S

v

R

v

C

v

L ) ( ); ( ) ( 1 ; ₀ 0 t dt di L v t v dx x i C v Ri v _C _L t t C R= =

∫

+ =

dt

dv

C

i

dt

di

R

dt

i

d

L

₂

+

=

S 2 S C t t

v

t

dt

di

L

t

v

dx

x

i

C

Ri

+

1 ∫

(

)

+

(

₀

)

+

(

)

=

0

EXEMPLO _WRITE_THE_DIFFERENTI_AL_EQUATION_FOR_v₍_t_),_i₍_t_),_RESPECTIVE_LY







>

<

=

0

0 )

(

t

I

t

i

S S S i

MODEL O PARA RLC PARALELO

dt

di

L

v

dt

dv

R

dt

v

d

C

₂

+

1 +

=

S

2

0 ;

0 )

(

t

=

t

>

dt

di

_S

0

1

2 2

=

+

L

v

dt

dv

R

dt

v

d

C

− + S v







>

<

=

0

0 )

(

t

V

t

v

_S S

MODELO PARA RLC SÉRIE

dt

dv

C

i

dt

di

R

dt

i

d

L

₂

+

=

S 2

0 ;

0 )

(

t

=

t

>

dt

dv

_S

0

2 2

=

+

C

i

dt

di

R

dt

i

d

L

(22)

A RESPOSTA DA EQUAÇÃO

)

(

)

(

)

(

)

(

₁ ₂ 2 2

t

f

t

x

a

t

dt

dx

a

t

dt

x

d

=

+

EQUATION

THE

FOR

SOLUTIONS

THE

STUDY

WE

solution

ary

complement

solution

particular

:

KNOWN

c p c p

x

t

x

t

x

t

x

(

)

=

(

)

+

(

)

0 )

(

)

(

)

(

₁ ₂ 2 2

=

+

t

a

x

t

dt

dx

a

t

dt

x

d

c c c

SATISIFES

SOLUTION

ARY

COMPLEMENT

THE

SE A FUNÇÃO FORÇADA É UMA CONSTANTE

solution

particular

a

is

2

)

(

a

A

x

A

t

f

=

⇒

p

=

A x a dt x d dt dx a A x p p p p= ⇒ = 2 = ⇒ 2 = 2 2 0 : PROOF

)

(

)

(

)

(

2

t

x

a

A

t

x

A

t

f

c

+

=

FUNCTION

FORCING

ANY

FOR

0 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 2 2 = + + t x t dt dx t dt x d EXEMPLO 0 ) ( 16 ) ( 8 ) ( 4 ₂ 2 = + + t xt dt dx t dt x d FREQUENCY NATURAL AND RATIO DAMPING EQUATION, STIC CHARACTERI THE DETERMINE

COEFICIENTE DA SEGUNDA DERIVADA

0 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 2 2 = + + t xt dt dx t dt x d 2 n

ω

n

ςω

2 0 4 2 2₊ ₊ ₌ s s EQUATION STIC CHARACTERI

RAZÃO DE DECAIMENTO, FREQ. NATURAL

2 = ⇒

ω

_n 5 . 0 = ⇓

ς

A EQUAÇÃO HOMOGÊNEA

0 )

(

)

(

)

(

₁ ₂ 2 2

=

+

t

a

x

t

dt

dx

a

t

dt

x

d

0 )

(

)

(

2 )

(

2 2 2

=

+

t

x

t

dt

dx

t

dt

x

d

n n

ω

ςω

FORM

NORMALIZED

2 1 1 2 2 2

2

2 a

a

n n n

=

⇒

=

⇒

=

ς

ςω

ω

ratio

damping

frequency

natural

(undamped)

ς

ω

n

0

2

2 2

₊

₌

n n

s

ςω

ω

EQUATION

STIC

CHARACTERI

(23)

ANALISE DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA 0 ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 = + + t x t dt dx t dt x d n n

ω

ςω

FORM NORMALIZED

0

2 )

(

2 2

₊

₌

=

n n st

s

Ke

t

x

ω

ςω

iff

solution

a

is

st st Ke s dt x d sKe t dt dx 2 2 2 ; ) ( = = : PROOF st n n n n t xt s s Ke dt dx t dt x d ) 2 ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2

ω

ςω

ω

ςω

+ = + + + 0 2 2 2₊ ₊ ₌ n ns s

ςω

ω

EQUATION STIC CHARACTERI roots) distinct and (real : 1 CASE

ς

>1 t s t s e K e K t x 1 2 2 1 ) ( = + roots) conjugate (complex : 2 CASE

ς

<1 d n n j s j s

ω

σ

ς

ω

ςω

± − = − ± − = 2 1

(

A t A t

)

e t x d d t

_ω

σ sin cos ) ( = − 1 + 2 t j t t j st _e n d _e n_e d e = −(ςω ±ω ) = −ςω mω : HINT t j t e d d t jωd _cos

ω

_m _sin

ω

m = roots) equal and (real 1 : 3 CASE

ς

= n s=−

ςω

(

_B _B_t

)

_e nt t x( )= 1+ 2 −ςω ) 0 2 2 ( ) 0 2 ( 2+ n + n2= + n= st s AND s s te

ςω

ω

ςω

iff solution is : HINT t s t s e K e K t x 1 2 2 1 ) ( = + frequency n oscillatio damped = d

ω

* 1 2 ) (t K K x real⇒ =

[

j t

]

d d e K t x j s K K ( ) 1 * 1 2 ₍ ₎ ₂_Re σ ω

ω

σ

⇒ = − +  ± − = = 2 / ) ( ₁ ₂ 1 A jA K = + ASSUME 1 0 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 − ± − = − ± − = = − + +

ς

ω

ςω

ω

ς

ςω

ω

ς

ω

ςω

n n n n n n n n s s s

(modes of the system)

factor damping =

σ

EXEMPLO

0 )

(

4 )

(

4 )

(

2 2

=

+

t

x

t

dt

dx

t

dt

x

d

0 4 4 2₊ ₊ ₌ s s EQUATION STIC CHARACTERI

0 )

2 (

0

4

2 2

₊

_s

₊

₌

_⇒

_s

₊

₌

s

2 4 2₌ _⇒ ₌ n n

ω

2

ςω

n=4⇒

ς

=1 system 3) (case damped critically a is this t st

e

t

B

t

x

e

t

B

t

x

2 2 1 2 1

)

(

)

(

)

(

)

(

−

+

=

+

=

DETERMINAR A FORMA DA SOLUÇÃO GERAL

0 )

(

16 )

(

8 )

(

4

2 2

=

+

t

x

t

dt

dx

t

dt

x

d

0 )

(

4 )

(

2 )

(

2 2

=

+

t

x

t

dt

dx

t

dt

x

d

2 4 2₌ _⇒ ₌ n n

ω

2

ςω

n=2⇒

ς

=0.5

system

2)

(case

d

underdampe

3 25 . 0 1 2 1 ; 1 = − 2= − = = =

ςω

ω

ς

σ

n d n

(

)

(

A

t

A

t

)

e

t

x

t

A

t

A

e

t

x

t d d t

3 sin

3 cos

)

(

sin

cos

)

(

2 1 2 1

+

=

+

=

− −σ

_ω

3 1 0 3 ) 1 ( 4 2 2 2 j s s s s + + = + + = ⇒ =− ±

Raizes reais e iguais

Raizes complexas conjugadas

CRITICAMENTE AMORTECIDO CRITICAMENTE AMORTECIDO

SUBAMORTECIDO SUBAMORTECIDO

(24)

PROBLEMA F C H L R RLC 2 , 2 , 1Ω = = = WITH CIRCUIT PARALLEL

0

1

2 2

=

+

L

v

dt

dv

R

dt

v

d

C

₂ 0 2 = + + C i dt di R dt i d L

0

4

2

1

0

2

2 2 2 2

=

+

=

+

v

dt

dv

dt

v

d

v

dt

dv

dt

v

d

0 16 3 ) 4 1 ( 4 1 2 2 2₊ ₊ ₌ ₊ ₊ ₌ s s s 2 1 4 1 ; 2 1 ₌ _⇒ ₌ =

ςω

ς

ω

n n       + =e− A t A t t v t c 4 3 sin 4 3 cos ) ( 4 ₁ ₂ 4 3 4 1 1 2 1 1− 2= − = =

ω

ς

ω

d n F F F C H L R RLC 2 , 1 , 5 . 0 , 1 ; 2Ω = = = WITH CIRCUIT SERIES EQUAÇÃO HOMOGÊNEA 0 2 2 2 = + + C i dt di dt i d values replace & L / : C C n n=

ςω

= ⇒

ς

=

ω

1 ; 2 2 C=0.5 subamortecido C=1.0 criticamente amortecido C=2.0 superamortecido

Classificar a resposta para um dado valor de C 4 1 =

σ

EXEMPLO

F

C

H

L

R

5

1 ,

5 ,

2 Ω

=

i

L

(

0 )

=

−

1 A

,

v

C

(

0 )

=

4 V

∫

+ + = + t L dt dv C i dx x v L R v 0 0 ) 0 ( ) ( 1 0 1 1 2 2 = + + v LC dt dv RC dt v d 0 1 5 . 2 2₊ ₊ ₌ s s EQUATION STIC CHARACTERI 25 . 1 ; 1 = = ⇒ωn ς 2 5 . 1 5 . 2 2 4 ) 5 . 2 ( 5 . 2 2 − ± = − ± − = s t t e K e K t v()= ₁ −2 + ₂ −0.5

To determine the constants we need

) 0 ( ); 0 ( + + dt dv v V v v v(0+)= _C(0+)= _C(0)=4 + =0 t KCL AT 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( = + + + + + dt dv C i R v L C 5 ) 5 / 1 ( ) 1 ( ) 5 / 1 ( 2 4 ) 0 ( + =− − − =− dt dv 2 ; 2 5 5 . 0 2 4 2 1 2 1 2 1 _⇒ ₌ ₌    − = − − = + K K K K K K 0 ; 2 2 ) (t = e−2 + e−0.5 t> v t t R i iL C i 0 = + + L C R i i i PASSO 1 MODELO PASSO 2 PASSO 3 RAIZES PASSO 4 FORMA DA SOLUÇÃO PASSO 5: OBTER AS CONSTANTES

) 0 ( ), 0 ( _L C i v FIND GIVEN NOT IF ANALIZAR CIRCUITO t=0+

(25)

%script6p7.m

%plots the response in Example 6.7 %v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0

t=linspace(0,20,1000); v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t);

plot(t,v,'mo'), grid, xlabel('time(sec)'), ylabel('V(Volts)') title('RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')

USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA

SUPERAMORTECIDO

EXAMPLO

F

C

H

L

R

=

6 Ω

,

=

1 ,

=

0 .

04 V

v

A

i

L

(

0 )

=

4 ;

C

(

0 )

=

−

4 ∫

+ = + + ti xdx vC C t dt di L t Ri 0 0 ) 0 ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 2 = + + i t LC t dt di L R dt i d 0 ) ( 25 ) ( 6 2 2 = + + t i t dt di dt i d 0 25 6 2₊ ₊ ₌ s s : Eq. Ch. 6 . 0 6 2 5 25 2 = ⇒ = = ⇒ =

ς

ςω

ω

n n n 4 3 2 100 36 6 j s=− ± − =− ± : roots

ω

d ) 4 sin 4 cos ( ) ( 1 2 3 t A t A e t i = −t + A i i(0)= L(0)=4 ) 0 ( + dt di COMPUTE TO ) ( ) ( t dt di L t v_L = ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( Ri v_C dt di L =− − ⇒ (0+)=−20 dt di 4 1= ⇒ A ) 4 cos 4 4 sin 4 ( ) ( 3 ) (_t _i _t _e 3 _A₁ _t _A₂ _t dt di ₌₋ ₊ −t ₋ ₊ 2 4 ) 4 ( 3 20 : 0 @t= − =− × + A2⇒A2=− 0 ]; )[ 4 sin 2 4 cos 4 ( ) (t =e−3 t− t A t> i t + − R v − +vL − + C v 0 = + + L C R v v v

∫

+ = − − = C t C i xdx C v t dt di L t Ri t v 0 ) ( 1 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( 0 ]; )[ 4 sin 22 4 cos 4 ( ) (t =e−3 − t+ t V t> vC t model Form:

(26)

%script6p8.m

%displays the function i(t)=exp(-3t)(4cos(4t)-2sin(4t)) % and the function vc(t)=exp(-3t)(-4cos(4t)+22sin(4t)) % use a simle algorithm to estimate display time

tau=1/3; tend=10*tau; t=linspace(0,tend,350); it=exp(-3*t).*(4*cos(4*t)-2*sin(4*t)); vc=exp(-3*t).*(-4*cos(4*t)+22*sin(4*t)); plot(t,it,'ro',t,vc,'bd'),grid,xlabel('Time(s)'),ylabel('Voltage/Current') title('CURRENT AND CAPACITOR VOLTAGE')

legend('CURRENT(A)','CAPACITOR VOLTAGE(V)')

SUBAMORTECIDO

EXEMPL0

_R

₁

_,

_R

₁

_,

_C

₀

_,

₁₉₅

_F

_,

_L

₁

_,

₁₄

_H

2 1

=

Ω

=

Ω

=

A

i

V

v

_C

(

0 )

=

1 ,

_L

(

0 )

=

0 .

5

KVL 0 ) ( ) ( ) (t +R₁i t +v t = dt di L KCL ) ( ) ( ) ( 2 t dt dv C R t v t i = + 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 2 2 = +       + +       + t vt dt dv C R t v R dt v d C t dt dv R L 0 ) ( ) ( 1 ) ( 2 2 1 1 2 2 2 = + +       + + v t LC R R R t dt dv L R C R t dt v d 0 ) ( 9 ) ( 6 ) ( 2 2 = + + t vt dt dv t dt v d Ch.Eq.: s2+6s+9=0

1

6

2 ,

3 =

⇒

=

ςω

ς

ω

n n 2 2

)

3 (

0

9

6 +

=

+

s

:

Eq.

Ch.

(

B

t

)

e

t

v

(

)

=

−3t ₁

+

₂

V

v

(

0 +

)

=

_c

(

0 +

)

=

1

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 0 2 dt dv C R v i i t L = + = + = KCL AT

56 ,

2 )

0 (

=

−

⇒

dt

dv

1

1 )

0 (

B

v

=

44 ,

0

56 ,

2 )

0 (

3 )

0 (

=

−

v

+

B

₂

=

−

⇒

B

₂

=

dt

dv

(

1

0 ,

44 )

;

0 )

(

t

=

e

−3

+

t

>

v

t

(

1 ,

025

0 ,

26 )

;

0 )

(

t

=

e

−3

+

t

>

i

t

(27)

%script6p9.m

%displays the function v(t)=exp(-3t)(1+6t)

tau=1/3;

tend=ceil(10*tau); t=linspace(0,tend,400); vt=exp(-3*t).*(1+6*t);

plot(t,vt,'rx'),grid, xlabel('Time(s)'), ylabel('Voltage(V)') title('CAPACITOR VOLTAGE')

CRITICAMENTE AMORTECIDO

Second Order