Hélio Magalhães de Oliveira,

Hélio Magalhães de Oliveira, hmo@ufpe.br Departamento de Eletrônica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco

Cidade Universitária Recife - PE

2

Wavelets:

Uma Evolução na Representação de

Sinais

• _{A análise espectral constitui uma das}

ferramentas clássicas mais poderosas.

• _{Uma teoria mais potente e geral foi}

introduzida nos anos 80: A Transformada de Wavelet

• _{Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada}

de Fourier, a Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas.

• _{Wavelets constituem hoje uma das}

ferramentas potentes em PDS.

ORIGEM- Escola Francesa

(Morlet, Grossmann,Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)

Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar, análise escalonada.

As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são continuamente diferenciáveis.

Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets

Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden Award 1997.

Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu

a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais.

Yves Meyer (França) construiu uma das

primeiras Wavelets não triviais, continuamente diferenciáveis.

Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais

4

Jean Morlet. (ecce homo!)

Gama de aplicações:

geologia sísmica

visão computacional e humana radar e sonar

computação gráfica

predição de terremotos e maremotos turbulência

distinção celular (normais vs patológicas) modelos para trato auditivo

compressão de imagens

análise de tons musicais neurofisiologia

detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais médicos

espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica

modelagem geométrica

caracterização de sinais acústicos reconhecimento de alvos

transitório e falhas em linhas de potência Metalurgia (rugosidade de superfícies) visualização volumétrica

Telecomunicações

6

Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:

"La Théorie Analytique de la Chaleur":

Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas  verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo.

Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no domínio da freqüência.

A decomposição evoluiu para a representação via transformada de Fourier.

Definição (ANÁLISE DE FOURIER):

A transformada de Fourier de um sinal f(t),

-∞< t < +∞ é

∫

+∞ ∞ − − = f t e dt w F( ) : ( ) jwt _{, denotada}

Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao domínio temporal (SÍNTESE DE FOURIER):

∫

−+∞∞ =

F

w

e

dw

t

f

(

)

jwt

2

1

)

(

π . oo par transformada: f(t) ↔ F(w). TEOREMA DE PARSEVAL.

Seja f(t)

↔

F(w) um sinal real, de energia

finita. Então a energia do sinal pode ser calculada

em qualquer dos domínios, i.e,

∫

∫

−+∞∞ +∞ ∞ −

f

t

dt

=

F

f

df

2 2

|

)

(

|

)

(

. o

8

Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários

Os sinais devem ser tratados não no

domínio t ou domínio f, mas em ambos

(espaço conjunto tempo-freqüência)!

Conceito de estacionaridade

Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta um caráter local.

Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim dos tempos (+∞) é levado em consideração.

(a)

(b)

Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal

(possivelmente) estacionário,

(b) Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário.

10

O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou menos" semelhante em qualquer trecho analisado...

Abordagem (pouco formal, mas suficiente).

Figura. Sinal com linha de base.

Evolução na TF clássica:

(STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela (transformada de Fourier de tempo curto).

Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um caráter local.

Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral fosse analisada, resultando em um espectro local.

seqüência de "fotos" do espectro:

... F(w,t-1), F(w, t0), F(w,t1), F(w,t2) .... evoluindo

temporalmente.

Sinais práticos " bem comportado" com relação à estacionaridade: sinais periódicos.

12

FOTOS:

• _{Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos,}

15, 20, 25 e 30 anos).

• _{Uma única foto representativa do indivíduo,}

uma "foto média". Essa foto média representa o espectro de Fourier.

• _{Um caráter local (no tempo) => trabalhar com}

mais fotos, => maior complexidade, capacidade de armazenamento/ processamento

A classe de sinais, cujo espectro permanece relativamente independente no tempo, são referidos como sinais estacionários.

É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3×4 de fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal completamente diferente (e.g., girafa).

Diferentes níveis de "estacionaridade":

Ø seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes tempos;

Ø seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de uma mesma raça (origem);

Ø seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém de origens diferentes;

Ø seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes (levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu);

14

Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido?. A resposta não é fechada.

Depende do que se deseja e quanto se pode "pagar".

A Transformada de Gabor

Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem.

A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas freqüencial.

Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT

A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário.

A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do cálculo do espectro.

Formalmente,

16

Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo.

Janela: a mais comum é janela Gaussiana.

f t f1 f2 f f1 f2 t1

Figura. Análise espectral com Transformada de

Fourier clássica e em tempo curto.

As próximas perguntas:

q Por que a STFT não é suficiente?

q O que seria mais apropriado, além de um

A necessidade da segunda operação básica das wavelets, o escalonamento, também pode ser entendida neste contexto.

A Guisa de uma Análise de Wavelets

Alternativa para abordar o plano conjunto tempo-freqüência :

A análise visualizada como um banco de filtros.

resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência central dos filtros, ou ∆f/f=cte (ou fator de qualidade Q constante).

18

FOTOS NOVAMENTE:

Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com uma meia dúzia de fotos

(0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos). (1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos).

O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas".

Figura. Exemplo de uma ondinha:

ondelette de Morlet (Matlab).

domínios tempo e freqüência (f × t)

domínios escala e deslocamento (a × b).

Interpretação: "mapas".

Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior, ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global.

1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo 1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do Brasil como um todo.

20

Na Transformada Contínua de Wavelet

CWT, todas as respostas ao impulso no banco de filtros são versões (expandidas ou comprimidas) da mesma ψ(t), chamada de Wavelet básica.

Assim,

t

a

t

t

f

a

a

,

)

:

1

(

)

(

)d

CWT(

∫

+∞ * ∞ − − = ψ τ τ . o

no rol das Transformadas Lineares...

A função ψψ(t) é conhecida como wavelet mãe.

A partir dela geram-se versões modificas no decorrer da transformada.

f f_{0 0 0 0}2f 3f 4f ...

f f 2f 4f 8f ....

0 0 0 0 Banda passante constante (STFT)

Banda passante relativa (Q) constante (WT)

Figura. Análise Espectral com banco de Filtros:

(a) STFT e (b) WT.

Toos os filtros são da mesma família (e.g., filtros BPFs Gaussianos, centrados em freqüências distintas, porém todos com o mesmo fator de qualidade Q).

22

|H(w)|=Π(w-w0)+Π(w+w0) e a resposta ao

Wavelets Contínuas

Introdução a Transformada Contínua de Wavelet

A Transformada de Wavelet foi

desenvolvida como uma alternativa à STFT

para solucionar o problema da resolução.

Fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constante em todo o plano t-f.

CWT:

§ Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas

24

Freqüência Freqüência

Tempo Tempo

(a) (b)

Figura . Resolução no plano t-f pela análise

A Transformada de Wavelet Contínua CWT

ψ(t) wavelet-mãe ψ(t) ∈ L2₍ℜ_{). ∫}+∞ ∞ − (t)dt < +∞ 2 ψ Operações: a) escalonamento = _ _a_ t a t a ψ ψ | | 1 ) ( _{, a≠0.} b) deslocamento ψ b(t) = ψ (t − b). c) deslocamento com escalonamento

=

−

=

(

)

)

(

,b

t

a

t

b

a

ψ

ψ

      − a b t a |ψ | 1 . o

)}

(

{

)}

(

{

ψ

t

→

ψ

_a,b

t

_{(∀a, a≠0) (∀b∈ ℜ).} versão:

26

O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando garantir a isomeria: todas as ondelettes tem a mesma energia!

2 , 2

||

)

(

||

||

)

(

||

ψ

t

=

ψ

_{a b}

t

_.

Portanto, a escolha das wavelets como sendo

versões       − a b t a|ψ | 1

garante a mesma energia para

qualquer wavelet! Define-se CWT(a,b):=

∫

+∞ ∞ − f (t) a,b(t)dt * ψ _{=< f(t),ψψa,b>. oo} Analogia com Fourier:

Ø Fourier F(w), em cada w:

Projeção de f(t) na direção das ondas

{ }

w∈ℜ jwt

e

que constituem uma "base" do espaço de sinais.

Esta "base" de Fourier é composta por sinais

oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que

Fourier está associado a um comportamento não-local no tempo, mas de -∞ a +∞.

Ø Wavelets:

decomposição de f(t) em sinais

{

ψ a,b(t)

}

a∈ℜ*₊ b∈ℜ

que constitui um novo conjunto de análise do espaço de sinais.

Esta nova "base" é composta por sinais

oscilatórios de curta duração - e não sinais ab

aeterno.

28

Um critério para definir wavelets:

• _{Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu}

valor médio no domínio temporal é nulo.

∫

−+∞∞ψ

( dt

t

)

=

0

•

Condição de admissibilidade,

Dado o par transformada de Fourier:

Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros, note os seguintes fatos:

0 ) 0 ( = Ψ _{(pela admissibilidade)} 0 ) (±∞ =

Ψ _{(pois ψ é de energia finita).}

Dado ε >0 arbitrário, ∃ α , β ∈ ℜ, 0 < α < β < +∞ tal que

|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β. o

Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro

Ψ _{pode ser essencialmente não nulo.}

30

O escalonamento é o processo de

compressão e dilatação do sinal. O

parâmetro de escala "a" usado em Wavelets

tem interpretação grosso modo idêntica à

escala empregada em mapas cartográficos.

O termo |a|-1/2 _{é um fator de normalização da}

energia do sinal e , 0 1 ) ( ,  ≠      − = a a b t a t b a ψ ψ é uma transformada afim.

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes

escalas e localizações.

Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via 2 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( a dadb a b t a b a CWT C t f

∫ ∫

+∞ ∞ − ∞ + ∞ − _     − = ψ ψ .

32

A Transformada Inversa (CWT-1) e a

Condição de Admissibilidade

Sejam f(t)∈ L2₍ℜ _{) e ψa,b(t)} ∈ _L2₍ℜ_-{0}× ℜ_{). Sob}

que condições é possível "pegar uma onda"? (catch

the wave...)

Escolher uma wavelet protótipo tal que

ψ(t) ↔ Ψ(w) e < +∞ Ψ =

_∫

+∞ ∞ − ζ ζ ζ ψ

d

|

|

|

)

(

|

C

2 .

Formula de inversão sob condições menos restritivas

Definição (Wavelets diádicas). Uma wavelet ψ(t) ∈ L2₍ℜ_{), ψ(t)} ↔ Ψ_{(w), é dita ser uma wavelet diádica}

se e somente se satisfaz a condição de estabilidade, i.e., ∃ A,B ∈ ℜ  0<A≤B<+∞

tais que

∑

∈ − ≤ Ψ ≤ Z m m B w A | (2 ) | _{. o}

Estas wavelets não obedecem a condição de admissibilidade (porém obedecem a condição de estabilidade, menos restringente) e não são wavelets ortogonais.

34

Exemplos: Um mar de Wavelets

Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como wavelets mãe.

Nome da família de Wavelets 'haar' Haar wavelet.

'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets.

'coif' Coiflets.

'bior' Biorthogonal wavelets.

'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet.

'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets.

'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet.

'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets.

'deO' de Oliveira wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'mth' Mathieu wavelets.

Wavelet de Haar

Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.

contrário caso 1 t 0 0 t 1 0 2 1 2 1 : ) ( ) ( ≤ < ≤ <          − = t H ψ .

36

Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes.

Wavelet Sombrero

Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que

)

(

''

)

(

t

ρ

t

ψ = − _{é a wavelet sombrero (chapéu}

mexicano), por razões óbvias.

3 ) 1 ( 2 ) ( 4 / 1 2 / 2 ) ( 2 π ψ t Mhat t e t − − = .

Wavelet densidade Gaussiana

Uma wavelet simples derivada da função densidade gaussiana (gaus1) é dada por:

4 1 2 2

2

1

_/ / t ) fdG (

te

:

gaus

)

t

(

π ψ − = = . 10 5 0 5 10 1 0.5 0 0.5 1 0.644 0.644 − ψ( )x 8 8 − x

Figura. Wavelet derivada da densidade de

38

Wavelet complexa de Morlet

Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de sinais.

Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), empregou a wavelet complexa: t jw t Mor

e

e

t

0 2 2 / 4 / 1 ) (

1

)

(

= − − π ψ .

Figura. Wavelet complexa de Morlet.

Wavelet de Shannon

A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon.

Espectro da Wavelet real:

∏

∏

      + +       − = Ψ π π π π /2 3 /2 3 ) (w w w _.

Tomando a transformada inversa:

40

No caso da wavelet complexa, pode-se usar t j CSha e t Sinc t π ψ ( ) 2 ) ( ) ( = − _. (a) (b)

Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet

complexa de Shannon (Matlab).

Wavelet de Meyer

A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como:          ≤ ≤             ₋ ≤ ≤             ₋ = Ψ contrário. caso 0 /3 8 | w | /3 4 1 4 | | 3 2 cos 2 1 /3 4 | w | /3 2 1 2 | | 3 2 sen 2 1 ) ( /2 2 / π π π υ π π π π π υ π π jw jw e w e w w .

Figura. Wavelet de Meyer:

42

Wavelets de Daubechies

Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na decomposição são ortogonais.

As 1as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto.

Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são diferenciáveis.

Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto.

Figura. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...):

Figura. Diversas versões de uma db2.

44

Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets

Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ (t) quanto na wavelet-mãe ψ (t)_.

Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em 1989. São também wavelets de suporte compacto.

Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é

Wavelet de "de Oliveira"

Nova família de wavelets ortogonais complexas.

Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a Q-constante.

Basta escolher Φ(w) (raiz de cosseno elevado).

( ) π α π α π α π α π α α π π ) 1 ( | | ) 1 ( | | ) 1 ( ) 1 ( | | 0 0 ) 1 ( | | 4 1 cos 2 1 2 1 ) ( + > + < ≤ − − < ≤          − − = Φ w w w w w .

• _{não são de suporte compacto.}

46

−(1+α)π −(1−α)π (1−α)π (1+α)π

Figura. Característica frequencial da AMR

ortogonal "de Oliveira" .

A função pulso cossenoidal PCOS desempenha um papel importante na AMR cosseno elevado.

Definição. A função pulso cossenoidal de parâmetros t0, θ0,w0 e B é definida por ( )

_∏

      − + = B w w wt B w t w PCOS 2 ) cos( : , , , ; ₀ θ _{0 0 0} θ ₀ 0 , t0,θ0,w0,B ∈ ℜ, 0<B<w0. o

a sua transformada inversa é:

(

t t w B

)

PCOS

(

w t w B

)

(

t

t

w

B

)

rpc

( )

t

j

ipc

( )

t

pcos

;

₀

,

θ ₀

,

₀

,

= +

.

_{em que}

( )

t

e

(

pcos

(

t

t

w

B

)

)

rpc

:

= ℜ

;

₀

,

θ ₀

,

₀

,

_e

( )

t

m

(

pcos

(

t

t

w

B

)

)

ipc

:

= ℑ

;

₀

,

θ ₀

,

₀

,

_. Mostra-se que: { t t t} t t Sa t deO ) 1 ( sen . 4 ) 1 ( cos ) 4 ( 1 1 . 4 . 2 1 ] ) 1 [( ). 1 .( 2 1 ) ( ₂ ) ( _{π α α π α} α π α π π α α π φ + + − − + − − = 4 2 0 2 4 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 alpha=0.1 alpha=0.2 alpha=0.3 0.435 0.087 − φ(t 0.1, ) φ(t 0.2, ) φ t 1 3 ,       5 5 − t

48

Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por

( )

.

)

(

/ 2 ( ) ) (

w

S

e

w

jw deO deO − = Ψ _,

onde

|

Ψ (deO)

(

w

)

|

=

S

(deO)

( )

w

.

( ) ( )            + > + < < − − − − < < + + < < + − < = ) (1 2 se 0 ) (1 2 ) (1 2 se ) 1 ( 2 8 1 cos 2 1 ) (1 2 ) (1 se 2 1 ) (1 ) -(1 se ) 1 ( 4 1 cos 2 1 ) -(1 se 0 ) ( ) ( α π α π α π α π α π α π α π π α π α π α π α π α π w w w w w w w w S deO

Figura. Wavelet ψ (deO)(t): Parte real

50

Wavelets Discretas

A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que é altamente redundante.

As wavelets agora não são transladadas nem escalonadas continuamente, mas sim em intervalos discretos.

Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua.

        − = ⇒       = _m m o m b a a a nb t a t a b a t 0 0 0 n m, , 1 ) ( -t 1 ) ( ψ ψ ψ ψ

onde m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro de

dilatação fixo, b0 é o fator de translação fixo e b

A Transformada Discreta de Wavelets:

As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS)

Formas discretas são atraentes do ponto de vista:

i) implementação e ii) computacional.

A discretização da WT

1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de escala e translação),

2) não na variável independente do sinal a ser analisado (tempo ou espaço).

Retículado 2D no plano escala-translação:

A grade é indexada por dois inteiros m e n:

52

Escala discreta (logarítmica): a=a0m m=1,2,3,...

Translações discretas: b=nb0a0m n=1,2,3,... dado m.

Assim

∫

−+∞∞       − = = dt a a nb t t f a n m CTWS b a WT _m m m 0 0 0 0 ) ( 1 : ) , ( ) , ( ψ . o Note que:

f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo,

coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos.

Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo

CTWS: L2(ℜ) → l2(Ζ+-{0} × Ζ) f(t) |→ CTWS(m,n)

Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet.

Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma representação em série de Fourier ao invés de uma DFT: • _Série

∑

+∞ −∞ = n t jnw n

e

F

0 representação de tempo contínuo, com coeficientes discretos

54

Reticulado: A escolha da grade.

Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no domínio escala-translação.

A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a discretização da escala e translado.

O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por:

{

}

_{m n Z} b a =

ma

nb

∈ ∆ _,

(

₀

,

₀

)

_, 0 0 .

Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento é o reticulado hiperbólico

m (escala)

n (deslocamento)

Figura. Resolução de transformadas wavelets:

plano translação-escala.

A Transformada Discreta de Wavelets:

Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)

Além da discretização do plano escala-translação, a variável independente do sinal pode também ser discretizada.

56

∑

+∞ −∞ =      − = = k m m m _a a nb k k f a n m DTWS b a WT 0 0 0 0 ) ( 1 : ) , ( ) , ( ψ . o

Assim, as DTWS consiste em um mapeamento do tipo

DTWS: l2₍Ζ₎ → _l2₍Ζ+_-{0} × Ζ₎

f(k) |→ DTWS(m,n).

Enunciado de forma alternativa: sinais discretos de energia finita são mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes.

Interessante observar que a DTWS é mais análoga à uma representação do tipo DFT que em série de Fourier.

O menor passo inteiro para a escala é a0=2. Usa-se

A Análise de Multirresolução

Introdução à Multirresolução

A Função de Escala

A função de escala (LPF), denotada aqui por )

(t

φ _{, foi introduzida por Mallat em 1989.}

O princípio fundamental é analisar o sinal através de uma combinação de uma função de escala

)

(t

60

Análise de Multirresolução Ortonormal

Método de construção de wavelets ortogonais, (Mallat e Meyer): a análise de multirresolução.

Este método permite construir a maioria das wavelets ortogonais. Notação:

U

m m A clos

denota a união dos conjuntos Am , incluindo todos os pontos limites em L

2

(ℜ).

(∀m ∈Z), cria-se um subespaço fechado Vm ⊂ L

2

Formalmente:

Definição (AMR).

Uma análise de multirresolução em L2(ℜ) consiste numa seqüência de subespaços fechados Vm ⊂ L

2

(ℜ), m ∈Z, satisfazendo as seguintes relações:

(AMR1) Vm ⊂ Vm-1 (∀m). (AMR2) f(t) ∈ Vm ⊂ L2(ℜ) ⇔ f(2t) ∈ Vm-1. (AMR3) = ∈

U

Z m m V clos _L2 (ℜ). (AMR4)

I

Z m m V ∈ = {0}_.

(AMR5) ∃ φ

(t

)

∈ V0 tal que {φ (t − n)}n∈Z é uma base

62

Equação Básica de Dilatação (refinamento)

Considerando como espaço de referência V0 ⊂ V -1, qualquer sinal nele contido pode ser decomposto

em termos das funções de uma base de V-1.

Em particular, isto deve ser válido para a função de escala φ

(t

)

∈ V0.

Subespaço Base

V0

{

φ

(

t

−

n

)

}

n∈Z

V-1

{

2

φ

(

2

t

−

n

)

}

n∈Z .

Assim, existe uma seqüência {hn} tal que

∑

∈ − = Z n n

t

n

h

t

)

2

(

2

)

(

φ φ com

∑

_n∈Z

h

n < +∞ 2

|

|

.

Ela tem solução única, de forma que os coeficientes {hn} podem ser usados para determinar univocamente a função de escala φ (t)_.

64

Um Estudo de Caso:

Decomposição via Daubechies db2 para ECG

Decomposição wavelet (AMR) usando db2 para um sinal ECG, com seis níveis de decomposição.

ECG

A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db2.

Lembra decomposição em série de Fourier: Os

"harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas,

mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não

perpétuas).

Uma característica diferente: A6=S6 (versão grosseira

ou passa-baixa), a qual devem ser adicionados os detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para compor a aproximação.

66

Filtragem, Wavelets e

Análise de Multirresolução

Filtros suavizador e de detalhes (H e G)

As seqüências

{

h

n

}

n∈Z e

{

g

n

}

n∈Z , (

∑

< +∞ ∈Z n n h |2 | ,

∑

< +∞ ∈Z n n g |2

| _{) podem ser exploradas}

como definindo um processo de filtragem.

Condições de normalização:

∫

−+∞∞φ

( dt

t

)

=

1

⇒

2

=

∑

∈Z n n

h

;

∫

−+∞∞ψ ( dtt) = 0 ⇒

0

=

∑

∈Z n n

g

.

{h_n} Filtro suavizador ou filtro de escala

Condições sobre os coeficientes dos filtros resultam em multirresolução ortogonal:

(aide mémoire). C1.

∑

= 2 ∈Z n n h (condição passa-baixa) C2.

∑

= 0 ∈Z n n g (condição passa-faixa) C3. g_n=(-1)n h_1-n. (condição QMF) C4. m Z n m n n

h

h

₂ = δ _0,

∑

∈ + _{. o}

68

A relação de escala dupla estabelece que

∑

∈ − = Z n n

t

n

h

t

)

2

(

2

)

(

φ φ .

Aplicando-se Fourier em ambos os membros, com

)

(

)

(

t

↔ Φ

w

φ _{, tem-se:}

∑

∈ − ℑ = Φ Z n n t n h w) 2 (2 ) ( φ ₌ /2 ) 2 / ( 2 1 2 jwn Z n n w e h − ∈ ∑ Φ _. Assim,

=

Φ

(w

)

( /2) 2 1 _/2 w e h jwn Z n n Φ      − ∈

∑

_.

Definindo o "espectro" do filtro {hn} pela

De modo análogo, partindo-se de:

∑

∈ − = Z n n

t

n

g

t

)

2

(

2

)

(

φ ψ ,

Definindo o "espectro" do filtro {gn} pela relação:       = − ∈

∑

jwn Z n ne g w G( ) : , chega-se a       Φ       = Ψ 2 2 2 1 ) (w G w w _.

As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial são portanto (Equações de

70

Construção de AMR Ortogonal - QMF

A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida impondo as condições de ortogonalidade:

{ }

φ

(

t

)

_n∈Z ⊥ {φ (t − n)}_n∈Z ⇔ < φ(t),φ(t − n) >= δ_0,n

{φ(t − n)}n∈Z ⊥ {ψ (t)}n∈Z ⇔ < φ(t − n),ψ (t) >= δ0,n

{ψ (t)}_n∈Z ⊥ {ψ (t − n)}_n∈Z ⇔ < ψ (t),ψ (t − n) >= δ_0,n

em que δ 0,n representa o símbolo de Kronecker.

Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier, permitindo estabelecer:

Proposição 1. A Função de Transferência H(w) verifica a relação

Proposição 2. A Função de Transferência G(w) verifica a relação

(∀w) | G(w) |2 + | G(w + π ) |2= 2. o

Proposição 3. As Funções de Transferência H(w) e G(w) verificam a relação

(∀w) H( w).G*( w)+ H( w+ π ).G*( w+ π ) = 0 . o

Note que em w=0, tem-se:

72

Lema (AMR).

Uma condição (necessária) sobre a função de escala de uma AMR ortogonal, obtida como passo intermediária na demonstração das proposições acima corresponde a:

∑

+∞ −∞ = = + Φ n

n

w

π π

2

1

|

)

2

(

|

2 . o Proposição 4. (Escolha QMF):

)

w

(

G

.

e

)

w

(

H

= − − jw * + π

)

(

.

)

(

w

=

e

−

H

*

w

− π

G

jw _.

Tabela. Relações Básicas

Wavelets e Funções Escala.

Escala Wavelet φ(t) ψ(t) ) ( ) (t ↔ Φ w φ _{ψ (t) ↔ Ψ (w)} 1 ) ( =

∫

−+∞∞φ t dt

∫

( ) = 0 +∞ ∞ − ψ t dt       Φ       = Φ 2 . 2 2 1 ) (w H w w       Φ       = Ψ 2 . 2 2 1 ) (w G w w       = Φ

∏

∞ = m m w H w 2 2 1 ) ( 1             = Ψ ∏ ∞ = m m w H w G w 2 2 1 . 2 2 1 ) ( 1 2 | ) ( | | ) ( | H w 2 + H w+ π 2= |G(w) |2 + |G(w + π ) |2= 2 0 ) ( 2 ) 0 ( = H π = H G(0) = 0 G(π ) = 2

0

= + + +

H

(

w

).

G

(

w

)

)

w

(

G

).

w

(

H

* * π π

74

Estas condições podem ser convertidas para o domínio do tempo, obtendo as relações sobre os

coeficientes {hn}n∈Z e

{

g

n

}

n∈Z . 0 , * 2 m Z n n n m

h

h

= δ

∑

∈ + _. 0 , * 2 m Z n n n m g g = δ

∑

∈ + gn=(-1)n h1-n.

Codificação em Sub-Bandas

wavelets discretas => uma série de coeficientes wavelet, também chamada de Série de Decomposição de Wavelet.

É possível implementar uma WT sem implementar explicitamente as wavelets!

As translações são limitadas à duração do sinal, logo existe um limite superior. Resta então analisar o escalonamento. "Quantas escalas serão necessárias para se analisar um sinal?" - Infinitas!

A solução para este obstáculo é simplesmente não cobrir o espectro até a origem! Com este valor calcula-se o limite inferior para o escalonamento, único parâmetro restante.

76

A idéia de se analisar um sinal via um banco de filtros é conhecida como Codificação em Sub-bandas (Subband Coding).

O modo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal modo que “particione” o espectro do sinal exatamente ao meio.

Figura. Banco de filtros / Codificação

A Codificação em sub-bandas.

Mudança de notação (apropriada p/ filtragem digital)

dm[n]:=dm,n e cm[n]:=cm,n; h[l]:=hl.

Œ Avaliação dos coeficientes de escala cm[n]

∑

∈ + = − Z k N N

[

n

]

h

[

k

n

].

c

[

k

]

c

₁

2

.

Os coeficientes da decomposição (versão aproximada) podem ser obtidos iterativamente  uma filtragem discreta; sem necessitar uma fórmula explicita para φ(.).

Apenas os coeficientes do filtro suavizador {h

k

}

78

• Avaliação dos coeficientes de escala dm[n].

Os coeficientes da decomposição wavelet (detalhes), i.e., os coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via:

∑

∈ + = − Z k N N

[

n

]

g

[

k

n

].

c

[

k

]

d

₁

2

.

Assim, os coeficientes da decomposição (versão detalhada) podem ser obtidos iterativamente  uma filtragem discreta; sem necessitar uma fórmula explicita para ψ(.).

A expressão de filtragem de sub-banda requer uma sub-amostragem por 2 (down-sampling), processo conhecido por Dizimação (ou decimação).

O tamanho da seqüência cai para metade!.

Figura.

80

Figura. Cálculo dos coeficientes da Transformada

Os valores de g[n] e h[n] correspondem a LPF e HPF, respectivamente.

Ø Wavelets de suporte infinito (e.g. wavelets de Meyer, Battle-Lemarié ...) possuem infinitos valores não nulos de h[n] e g[n]  implementada com IIR.

82

Aplicações de Wavelets

Provocações... (!)

Wavelets em Descontaminação de Sinais

Infelizmente, descontaminação é um problema difícil  não há fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído.

Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes "incoerentes" com o sinal de informação.

• _{sinal original fk}

• _{ruído aditivo nk v.a. - ruído branco gaussiano.} • _{observações}

y

_k =

f

_k + σ

n

_{k , k=0,1,2,...,K-1,}

Matricialmente, y=f+σn .

Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se

)

(

)

(

)

(

y

DWT

f

DWT

n

DWT

=

+

σ

_.

Os coeficientes wavelet do ruído

superpõem-se aos coeficientes wavelets do sinal.

SNR alta:

Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do sinal em que o ruído é "comparável" ao sinal, mantendo apenas coeficientes wavelets onde a contribuição do sinal é "importante".

É comum o uso de um limiar abrupto (hard

84

Algoritmo Waveshrink

P1. Fixe um nível m≥1 e normalize as observações via yk yk / Km

~ ₌

.

P2. Calcule a DWT da observações normalizadas.

P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes wavelet obtidos.

O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é definido por: contrário caso T | x | se T | x | ). x ( Sgn ) x ( C m > m    − = 0 , em que Tm é um limiar.

Figura. Waveshrink:

descontaminação de sinais usando wavelets.

Compressão via wavelets

A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão:

Ø Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.

Ø padrão do FBI (Federal Bureau of

86

Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de

Transmissão

Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na detecção de faltas em linhas de transmissão, inclusive na análise de faltas de difícil detecção

(e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com compensação série e faltas em linhas com acoplamento mútuo).

Identificação de Faltas

Um Método Baseado nos Sinais de Fase

Solanki e colaboradores apresentaram um método para detectar e classificar faltas em linhas de transmissão de extra-alta tensão, para aplicação em relés de proteção de alta velocidade.

Tempo real => MRA foi considerada.

88

Um Método Baseado nas Componentes Modais

Magnago e Abur propuseram o uso da teoria das ondas viajantes e da transformada de wavelet na localizar faltas em linhas de transmissão.

LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs

Os algoritmos utilizados para localizar faltas em LTs podem ser classificados:

1) aqueles baseados nas componentes na freqüência fundamental;

2) aqueles que fazem uso das componentes de alta freqüência dos sinais transitórios relacionados à falta.

Ø Determinação da reatância aparente da linha de transmissão durante a falta.

Ø Determinação do tempo de viagem da onda e da velocidade de propagação da onda viajante na linha de transmissão.